函数概念典型例题

函数概念及其表示---典例分析

例1．下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）. 选题理由：函数三要素。 A. 1,x

y y x

==

B. 11,y x y =

+= C. ,y x y ==

D. 2||,y x y ==

点评：有利于理解函数概念，强化函数的三要素。 变式：

1．函数f (x )= 2(1)x

x x ⎧⎨+⎩

,0,0x x ≥< ，则(2)f -=（ ）.

A. 1 B .2 C. 3 D. 4

例2．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M

为定义域，N 为值域的函数关系的是（ B ）.

选题理由：更好的帮助学生理解函数概念，同时也体现函数的重要表示法图像法，图形法是数形结合思想应用的前提。

变式：

1．下列四个图象中，不是函数图象的是（B ）.

2．设集合A ＝｛x ｜0≤x ≤6｝，B ＝｛y ｜0≤y ≤2｝，从A 到B 的对应法则f 不是映射的是（ ）. A. f ：x →y ＝

1

2x B. f ：x →y ＝

1

3x C. f ：x →y ＝1

4x

D. f ：x →y ＝1

6

x

A. B. C. D.

函数的表达式及定义域—典例分析

【例1】 求下列函数的定义域： （1）1

21

y x =

+-；（2

）y =

.

选题理由：考查函数三要素，定义域是函数的灵魂。 解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-， 所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.

（2

）由30

20

x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，

所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞. 选题理由：函数的重要表示法，解析式法。

变式：

1

．函数y =的定义域为（ ）.

A. (,1]-∞

B. (,2]-∞

C. 11(,)(,1]22-∞--

D. 1

1(,)

(,1]2

2

-∞-- 2．已知函数()f x 的定义域为[1,2)-，则(1)f x -的定义域为（ ）. A ．[1,2)- B ．[0,2)- C ．[0,3)- D ．[2,1)-

【例2】已知函数1(

)1x

f x x

-=+. 求：

（1）(2)f 的值； （2）()f x 的表达式 解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1

(2)3f =-.

（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=

+，所以1()1t f t t -=+，即1()1x

f x x

-=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.

变式：

1．已知()f x

＝2x ＋x ＋1，则f ＝______；f ［(2)f ］＝______． 2．已知2(21)2f x x x +=-，则(3)f = .

【例

2】 已知f (x )=33x x

-+⎪⎩ (,1)

(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.

选题理由：分段函数生活重要函数，是考察重点。

解：∵ 0(,1)∈-∞

， ∴ f

又 ∵

>1，

∴ f

)3)-3=2+

12=52，即f [f (0)]=5

2

. 点评：体现了分类讨论思想。

2．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为

t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是（ ）.