高数第七章(13)二阶差分方程PPT
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第6节一阶和二阶常系数线性差分方程
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。对于 f ( x) 是一般的 n 次多项 式的情况可类似求解。
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
当 a 1时，取 s 1，此时将
y x x(B0 B1x Bn xn )
代人方程，比较同次系数，确定出 B0, B1, B2, , Bn 得到方程的特解。这种情况下，方程的左端为 yx , 方程为 yx cxn ，可将 xn化成 x(n) 的形式 求出它的一个特解。
2 , 1
对应的齐次方程的通解为 yx A1(2)x A2 因为 1 a b 1 1 2 0 ,a 1 2 所以特解为
yx
12 x 21
4x
故原方程的通解为
yx 4x A1(2)x A2 ( A1, A2为任意常数)
8/8/2024 1:07 AM
第7章 微分方程与差分方程
其中 r
2 2
b , tan
4b a2 ,
A1, A2 为任意常数。
a
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第7章 微分方程与差分方程
2.方程（4）中 f ( x)取某些特殊形式的 函数时的特解（利用待定系数法求出）
(1) f ( x) c (c 为常数)
方程（4）为
yx2 a yx1 byx c (6)
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第7章 微分方程与差分方程
利用待定系数法 设方程具有yx kxs形式 的特解。
当 a 1时，取 s 0 ，代人方程得 k ak c
k c , 1a
所以方程的特解为
yx
c 1
a
又因对应的齐次方程的通解为 yx Aa x
数学建模差分方程PPT课件
或 G(x , yi , yi1 , , yin ) 0 或 H (x , yi , yi , , n yi ) 0
的方程都是差分方程。 方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的差数称为差分
方程的阶。 若一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为
差分方程的解。如果解中所含相互独立的任意常数的个数等于方 程的阶数，则称该解为差分方程的通解。满足初始条件的解称为 特解。
• 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡
w (k)w (k1)1 w ( k 1 ) w ( k ) c ( k 1 ) w ( k )
c(k1) 1[w(k)1] w (k)w (0)k
c(k1) w (0) 1(1k)
1 8000
0.025
120 200 k 00Cm 10000 k 10
2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0 , k 1 , 2 ,
二阶线性常系数差分方程
x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广 2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0
方程通解
xk
c1
k 1
c2
k 2
(c1, c2由初始条件确定)
相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡；
3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关；
4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥至75千克。
1 2 k 是（3）的 k 重根，则只要将 Y1 (i),Y2 (i),,Yk (i) 换为
的方程都是差分方程。 方程中所含未知函数角标的最大值与最小值的差数称为差分
方程的阶。 若一个函数代入差分方程后，方程两端恒等，则称此函数为
差分方程的解。如果解中所含相互独立的任意常数的个数等于方 程的阶数，则称该解为差分方程的通解。满足初始条件的解称为 特解。
• 第一阶段: w(k)每周减1千克, c(k)减至下限10000千卡
w (k)w (k1)1 w ( k 1 ) w ( k ) c ( k 1 ) w ( k )
c(k1) 1[w(k)1] w (k)w (0)k
c(k1) w (0) 1(1k)
1 8000
0.025
120 200 k 00Cm 10000 k 10
2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0 , k 1 , 2 ,
二阶线性常系数差分方程
x0为平衡点 研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件
模型的推广 2 x k 2 x k 1 x k 2 ( 1 ) x 0
方程通解
xk
c1
k 1
c2
k 2
(c1, c2由初始条件确定)
相当于70千克的人每天消耗2000千卡 ~ 3200千卡；
3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动 形式有关；
4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5 千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。
减肥计划
某甲体重100千克，目前每周吸收20000千卡热量， 体重维持不变。现欲减肥至75千克。
1 2 k 是（3）的 k 重根，则只要将 Y1 (i),Y2 (i),,Yk (i) 换为
常微分方程及差分方程-实用PPT
欧拉一生著书颇丰，其中有许
多成为数 学中的经典。由于长
期大量的写作，加上生 活条件
欧拉 (1707～1783)
不良，他1735年患眼疾竟致右 眼失明 ，并且于1771年
左眼也完全失明。欧拉一生著书颇丰，其中有许多
成为数 学中的经典。由于长期大量的写作，加上生
活条件不良，他1735年患眼疾竟致右眼失明 ，并且
程.
解 :设所求的曲线方程y=y(x)，则据题意应满足
y 2x
y
(1)
2
要求出满足上组关系式的函数y=y(x)，只需求一次 不定积分，显然，所要求函数的一般形式为：
y x2 C(C为任意常数)， 5
几何上表示一簇曲线，将y｜x=1=2代入上式，可
求出C=1, 则 y x2 1即为过点(1，2)，且切线斜
解 取垂直向上的方向为正方向，由牛顿第二定律：
F=ma ，它的运动路程S=S (t)的变化规律为:
m
d 2S dt 2
mg.
即
d 2S g.
dt2
二阶微分方程积分一次得：SgtC1,
一阶微分方程再积分一次得通解：
S12g2tC1tC2
10
由题意有初始条件：S(0)S0,S(0)V 0
如 的特解.
1u du dx
1u2
x
28
两边积分得
arcuta1lnn 1 (u2)ln |x|C 2
通解为
arctyalnnx2y2C. x
29
例7.2.5 解方程 y2xy2xex2
解法1 ：先解对应的齐次方程 y2xy0
分离变量，得 dy 2xdx y
两边积分，得 lnyx2lnC
即齐次方程的通解为 y Cex2
《高阶差分方程式》课件
04
高阶差分方程式的应用实例
金融领域的应用实例
股票价格预测
高阶差分方程式可以用于描述股 票价格的动态变化，通过历史数 据来预测未来的股票价格走势。
风险评估
在金融领域，高阶差分方程式可 以用于评估投资组合的风险，通 过分析资产价格的变动规律来预 测未来的市场波动。
期货价格建模
在期货市场中，高阶差分方程式 可以用于建立期货价格模型，以 预测未来期货价格的变化趋势。
数值分析法求解高阶差分方程式
数值分析法是一种基于数值计算的方法，通过将高阶差分方程式转化为数值求解问题，利用数值计算的方法得到近似解。常 用的数值分析法包括欧拉法、龙格-库塔法等。
数值分析法的优点是适用范围广，可以求解各种类型的高阶差分方程式。然而，数值分析法的精度和稳定性取决于所选择的 数值方法和计算步长，需要进行合理的选择和控制。
解释
高阶差分方程式在数学、物理、工程等领域有广泛应用，用于描述各种动态系统的行为。
高阶差分方程式的形式
线性形式
如果差分方程中不含有 (y) 的非线性项，则称为 线性差分方程。例如：(y_{n+1} - 2y_n + y_{n1} = 0)。
非线性形式
如果差分方程中含有 (y) 的非线性项，则称为非 线性差分方程。例如：(y_{n+1}^2 - y_n^2 = 0) 。
物理学中的应用
高阶差分方程式在物理学中的波动方程、热传导方程等领域有广泛应用，为解决实际问 题提供了有效工具。
工程学中的应用
在工程学中，高阶差分方程式被用于描述信号处理、图像处理等领域的问题，推动了相 关领域的科技进步。
高阶差分方程式未来的研究方向
01
高效算法研究
差分方程模型PPT课件
回到全国竞赛题。这里提出了新的问题： (1)潜伏期病人如何描述？ (2)死亡病人在模型中的描述。 (3)需要考虑人口的迁移影响，如何描述？ (4)如何控制疾病的蔓延？
问题的图示
b O
a
d
d
利用简单的几何关系即得到 yk1 f ( yk ), y1 b
例2：按年龄分组的种群增长模型。
问题考虑两个要点：增长和人口分布 人口分布：对于连续问题，可以利用分布函数和 密度函数描绘。
我们也可以利用离散的方法描述人口分布。把t时
刻人口从小到大分为n组，第k 组人数xk(t)，则离 散人口分布可以利用向量
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发， 参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和 补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型， 并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出 预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
附录1 《国家人口发展战略研究报告》 附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部 分数据）及其说明
差分方程建模：设第k天病人所占比例为i(k)，健 康人数量为s(k)，则第k天病人数量变化为
Ni(k 1) Ni(k) s(k)Ni(k) Ni(k)
第k天健康人数量变化为
Ns(k 1) Ns(k) s(k)Ni(k)
把两个式子化简即得到差分方程组。
差分方程和微分方程的建模过程没有差异，差别 在于：变化率和的意义不同。
一阶线性差分方程组的稳定性： 设一阶线性差分方程组的解为{Xk}, 而受扰动解为 {Yk}。记扰动误差为
k X k Yk 则扰动误差满足
k1 A k
对任意初始扰动0，k0的充分必要条件为
( A) 1
这就是差分方程的稳定性条件。
《差分方程》PPT课件
方程变为yt+1+ayt=b, a,b均为非零常数．
试以 yt (为待定常数)形式的特解代入方程得 +a (1+a) b．
当a≠-1时,可求得特解
b yt 1 a
当a1时,改设特解 yt t (为待定系数),将其代 入方程得 (t+1)+a t(1+a) t+ b
返回 上页 下页 求得特解 yt bt
6
返回 上页 下页
三、 差分方程的解 定义4 如果将已知函数yt=j(t)代入方程F(t,yt,yt+1,…， yt+n)=0, 使 其 对 t=…,-2,-1,0,1,2,… 成 为 恒 等 式 , 则 称 yt=j(t) 为方程的解.含有n个任意(独立)常数C1,C2,…,Cn的解
yt=(t,C1,C2,…,Cn)
依此定义类推,有
D2yt+1= Dyt+2- Dyt+1=yt+3-2yt+2+yt+1, D2yt+2= Dyt+3- Dyt+2=yt+4-2yt+3+yt+2,
………………
类推,计算两个相继的二阶差分之差,便得到三阶差分 D3yt= D2yt+1- D2yt=yt+3-3yt+2+3yt+1-yt,
5
返回 上页 下页
定义3′ 含有两个或两个以上函数值yt,yt+1,…的函数方 程,称为(常)差分方程,出现在差分方程中未知函数下 标的最大差,称为差分方程的阶．
n阶差分方程的一般形式为 F(t,yt,yt+1,…，yt+n)=0,
《数学建模》课件：第7章 差分方程模型(投影版)
求得的方程的解
x=x =
b
n
称为该差分方程的平衡点（奇解）。
ai
i0
若记该差分方程的一般解（通解）为 xk，它若满足：lkim xk x，
则称 x 是稳定的， 否则，称 x 是不稳定的。
6. 特征方程
称代数方程： an n an1 n1 a1 a0 0
为差分方程 an xkn a1xk1 a0xk b 对应的特征方程。
x1 y1 x2 y2 x3
xk x0 , yk y0
P1 P2 P3 P0
xk x0 , yk y0 P1 P2 P3 P0
P0是稳定平衡点
y
f
y2 P3
yy30 y1
P2
g 曲线斜率
P4
P0
K f Kg
P1
0 x2 x0 x3 x1 x
P0是不稳定平衡点
y
P3 f
根据导数的定义：
f
'(xk )
lim =
x xk
f
(x) f (xk ) x xk
lim = f (x) f (xk ) lim = f (x) f (xk )
x xk
x xk
x xk-
x xk
于是，当分割足够细时，用差商代替微商，则得到如下差分公式：
向前差分：
f
'(xk )
数学建模
第七章 差分方程模型
数学建模
第七章 差分方程与代数方程模型
主讲教师：邵红梅
数学建模
第七章 差分方程模型
差分方程稳定性理论简介
一、差分方程
所谓n阶差分方程，简单地说，是指对于一个点列 xk ，把它的前n+1项
高数第七章(13)二阶差分方程
第八节 二阶常系数线性差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形如yx2 ayx1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数，f ( x)为已知函数)
的差分方程，称为二阶常系数线性差分方程．
f ( x) 0时称为非齐次的，否则称为齐次的． yx2 ayx1 byx 0称为相应的齐次方程．
0时，取s
0，即y
x
k,代入原方程得
k c 1 a b
所 求 特 解yx
1
c a
b
ii)当1
a
b
0且a
2时, 取s
1,
即y
x
kx，
代入原方程得 k c 2a
此
时
有
特
解y
x
cx 2a
iii)当1 a b 0且a 2时，取s 2，即yx kx2，
y
x
cx qx1 2q a
iii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 2得其特解为
y
x
cx qx1 4q a
(3) f ( x) cxn (c为常数)，即方程为
yx2 ayx1 byx cxn 设其具有形式为yx x s (B0 B1 x Bn xn ) 的特解(其中B0 , B1, , Bn为待定系数). i)当1 a b 0时，取s 0; ii)当1 a b 0且a 2时，取s 1;
1 a
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形如yx2 ayx1 byx f ( x)
(其中a, b 0均为常数，f ( x)为已知函数)
的差分方程，称为二阶常系数线性差分方程．
f ( x) 0时称为非齐次的，否则称为齐次的． yx2 ayx1 byx 0称为相应的齐次方程．
0时，取s
0，即y
x
k,代入原方程得
k c 1 a b
所 求 特 解yx
1
c a
b
ii)当1
a
b
0且a
2时, 取s
1,
即y
x
kx，
代入原方程得 k c 2a
此
时
有
特
解y
x
cx 2a
iii)当1 a b 0且a 2时，取s 2，即yx kx2，
y
x
cx qx1 2q a
iii)当q2 aq b 0但2q a 0时，取s 2得其特解为
y
x
cx qx1 4q a
(3) f ( x) cxn (c为常数)，即方程为
yx2 ayx1 byx cxn 设其具有形式为yx x s (B0 B1 x Bn xn ) 的特解(其中B0 , B1, , Bn为待定系数). i)当1 a b 0时，取s 0; ii)当1 a b 0且a 2时，取s 1;
1 a
差分方程讲解老师优秀课件
定理1.4 若数列{an}具有性质: 对一切n有2an c, c为一个常数, 则该数列的项遵从二次变化模式, 而且表达其通项的公式是一个二次多项式.
注: 一般地, 由k次多项式定义的数列的k1阶 差分为零, 反之, 若数列{an}的k1阶差分为 零, 则存在一个生成该数列的k次多项式.
§1 数列的差分
问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系 需求函数 yk f(xk) 减函数
生产者的供应关系 供应函数 xk1h(yk) 增函数
§2 一阶线性差分方程
解析解给出了一个我们可以直接计算数列 中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点 是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时 得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的 解只从属于某个初始条件.
§2 一阶线性差分方程
二. 齐次线性差分方程的解析解
定理2.1 一阶线性差分方程an1 ran b的解为
§2 一阶线性差分方程
定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当 把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还 满足任何给定的初始条件. 差分方程 an1 an 0.07an 若把函数ak (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差 分方程就得到一个恒等式:
ak1 (1.07)k1c (1.07)k c 0.07(1.07)k c,
an
an
2an
1
0
1
2
2
1
1
2
3
0
3
2
4
3
5
2
5
8
7
注: 一般地, 由k次多项式定义的数列的k1阶 差分为零, 反之, 若数列{an}的k1阶差分为 零, 则存在一个生成该数列的k次多项式.
§1 数列的差分
问 题 商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定
当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定
蛛网模型
xk~第k时段商品数量；yk~第k时段商品价格
消费者的需求关系 需求函数 yk f(xk) 减函数
生产者的供应关系 供应函数 xk1h(yk) 增函数
§2 一阶线性差分方程
解析解给出了一个我们可以直接计算数列 中任何特定项的函数. 解析解的另一个优点 是, 当我们求得一个解析解时, 通常也同时 得到了通解. 相比之下, 用迭代计算求得的 解只从属于某个初始条件.
§2 一阶线性差分方程
二. 齐次线性差分方程的解析解
定理2.1 一阶线性差分方程an1 ran b的解为
§2 一阶线性差分方程
定义2.5 差分方程的一个解析解是一个函数, 当 把它代入差分方程时就得到一个恒等式, 而且还 满足任何给定的初始条件. 差分方程 an1 an 0.07an 若把函数ak (0.07)kc, 其中c为任意常数, 代入差 分方程就得到一个恒等式:
ak1 (1.07)k1c (1.07)k c 0.07(1.07)k c,
an
an
2an
1
0
1
2
2
1
1
2
3
0
3
2
4
3
5
2
5
8
7
二阶差分方程
二阶差分方程
二阶差分方程（Second-Order Difference Equation）是一种基本的线性差分方程，它可以对描述时间序列数据或者定常系统的特征进行建模。
二阶差分方程是一类递归式，它在应用中往往比较重要，因为其能够提供较好的模型拟合效果。
在统计学、经济学、信号处理等领域都广泛使用。
定义：二阶差分方程是一类递推函数，它描述了一组相互关联的数据集之间的动态变化，它的递推式如下：X(t+2) = ax(t+1)+ bx(t) + c
其中，x(t)代表时间t的数据，a，b，c为三个实数系数。
特征：二阶差分方程的特征是它将时刻t的数据与时刻t-1和t-2的数据结合起来，由此产生了一种递推的解决方案，即把每个时刻的数据作为前两个时刻数据的函数，通过不断求解系数a、b、c，就可以得到该二阶差分方程的解。
应用： 1. 统计学：二阶差分方程在统计学中可以用来描述时间序列的变化趋势，如人口、物价指数等。
2. 经济学：二阶差分方程可以用来描述经济系统的演变规律，如GDP、汇率等。
3. 信号处理：二阶差分方程可以用来处理信号，比如自动增益控制，还可以用于滤波、调制、数据编码等应用。
4. 智能控制：二阶差分方程可以用来描述系统的动态特性，从而可以用于智能控制系统中。
5. 其他：二阶差分方程的原理也可以用于控制系统的设计，以及位置估计等应用。
总之，二阶差分方程是一类常用的线性差分方程，它可以用来描述时间序列或者定常系统的特征，它的应用非常广泛，在统计学、经济学、信号处理等领域都有很多应用。
高数-微分方程与差分方程68页PPT
谢谢！
68
高数-微分方程与差分方程
41、俯仰终宇宙，不乐复何如。 42、夏日长抱饥，寒夜无被眠。 43、不戚戚于贫贱，不汲汲于富贵。 44、欲言无予和，挥杯劝孤影。 45、盛年不重来，一日难再晨。及时 当勉励 ，岁月 不待人 。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
(优选)高数第七章二阶差分方程
A1 (4) x
A2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1、 求 下 列 差 分 方 程 的 通解 及 特 解 ． (1) yx2 4 yx1 16 yx 0, ( y0 1, y1 1) (2) yx2 2 yx1 2 yx 0, ( y0 2, y1 2)
iii)当1 a b 0，且a 2时，取s 2.
分别就以上情形，将设定特解代入原方程, 可确定 其特解.
例 1 求差分方程 yx2 5 yx1 4 yx x的特解．
解 1 a b 1 5 4 10 0
可
设y
x
B0
B1 x
代入方程 B0 B1( x 2) 5B0 5B1( x 1) 4B0 4B1 x x 比较两端同次项系数有
的和组成：
一 项 是 该 方 程 的 一 个 特解yx， 另一项是对应的齐次差分方程的通解Yx .
即差分方程（2）的通解为y x
Yx
y
x
.
(1) f ( x) c(c为常数),即方程为 yx2 ayx1 byx c
可设
其
特解
形
式为y
x
kxs .
i)当1
a
b
0时，取s
0，即y
x
k,代入原方程得
a 2
)
x
(
A1
,
A2为 任 意 常 数)
(3)第三种情形 a2 4b时
方程有一对共轭的复特征根,
1
1 2
a
i
4b a2 i
2
1 2
a
i
4b a2 i
把它们化为三角表示式：
《高阶差分方程式》PPT课件
18.2 薩繆爾遜乘數加互動模型
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.2 薩繆爾遜乘數加互動模型
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.1 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
範例5
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.1 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
範例5
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.2 薩繆爾遜乘數加互動模型
圖形摘要結論
範例1
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.2 薩繆爾遜乘數加互動模型
範例2
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.3 離散時間的通貨膨脹與失業
模型
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.4 推論變數項與高階方程式
範例1
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.4 推論變數項與高階方程式
圖18.1
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
18.1 二階線性差分方程式： 常數係數與常數項
範例8
© The McGraw-Hill Companies, Inc., 2008
二阶差分方程
二阶差分方程1. 引言二阶差分方程是微分方程的一种特殊形式，常用于描述离散系统的动态演化过程。
与一阶差分方程相比，二阶差分方程包含了更多的信息，可以描述更为复杂的动态行为。
本文将介绍二阶差分方程的基本概念和解法，帮助读者理解和应用二阶差分方程。
2. 二阶差分方程的定义二阶差分方程是形如a n+2=f(a n,a n+1)的离散时间方程，其中a n表示第 n 个时间点的状态，f(a n,a n+1)表示根据第 n 和 n+1 个时间点的状态计算得到的第n+2 个时间点的状态。
3. 线性二阶差分方程线性二阶差分方程是指形如a n+2=c1a n+c2a n+1的二阶差分方程，其中c1和c2是常数。
线性二阶差分方程的解法可以通过特征方程来求解。
3.1 特征方程对于线性二阶差分方程a n+2=c1a n+c2a n+1，假设存在解a n=r n，带入方程得到r n+2=c1r n+c2r n+1，整理得到r2−c2r−c1=0。
这个方程称为特征方程。
3.2 解特征方程解特征方程可以得到特征根，从而可以求得线性二阶差分方程的通解。
设特征方程的两个根为r1和r2，则线性二阶差分方程的通解为a n=Ar1n+Br2n，其中 A和 B 是根据初始条件确定的常数。
3.3 示例假设我们有线性二阶差分方程a n+2=3a n+2a n+1，初始条件为a0=1，a1= 2。
我们可以先求解特征方程r2−2r−3=0，得到特征根r1=−1，r2=3。
根据初始条件，我们可以得到常数 A 和 B 的值为A=1，B=1。
因此，线性二阶差分方程的通解为a n=(−1)n+3n。
4. 非线性二阶差分方程非线性二阶差分方程是指形如a n+2=f(a n,a n+1)的二阶差分方程，其中f(a n,a n+1)是非线性函数。
非线性二阶差分方程的求解一般比线性二阶差分方程更加困难，常常需要借助数值方法进行近似求解。
5. 总结本文介绍了二阶差分方程的基本概念和解法。
高数下册第七章微分方程一、二、三节
变形处理方法
通过适当的变量代换，将伯努利方程化为可分离变量或一阶线性微分方程进行求解。例如，当 $n > 0$ 时，可作变换 $z = y^{1-n}$，将方程化为关于 $z$ 的一阶线性微分方程。
03 二阶常系数线性微分方程 求解
二阶常系数齐次线性微分方程通解结构
方程形式
$y'' + py' + qy = 0$，其中$p, q$为常数。
注意事项
在求解共振情况下的特解时，需要 注意避免与齐次方程的通解形式重 复，否则会导致求解错误。
应用举例：弹簧振子模型分析
01
02
03
04
弹簧振子模型
弹簧振子是一个经典的 物理模型，其运动方程 可以表示为二阶常系数 线性微分方程。
求解方法
通过求解弹簧振子的运 动方程，可以得到其运 动规律，如振幅、周期
、频率等。
应用场景
弹簧振子模型在机械振 动、电磁振荡等领域有 广泛的应用，是工程技 术和科学研究中不可或
缺的重要工具。
注意事项
在分析弹簧振子模型时 ，需要注意选择合适的 坐标系和初始条件，以 确保求解结果的正确性 和有效性。同时，还需 要考虑阻尼、外力等因 素对振子运动的影响。
04 高阶微分方程及降阶法简 介
缺x型降阶法
对于形如$y''=f(y,y')$的方程，同样令$y'=p$，则$y''=frac{dp}{dy}p'$，将原方程化为关于 p的一阶微分方程。注意此时自变量为y。
y*型降阶法
对于形如$y''=f(y',y/x)$的方程，令$y'=p$，则$y''=pfrac{dp}{dy}$，将原方程化为关于p 的一阶微分方程。注意此时自变量为y/x。
通过适当的变量代换，将伯努利方程化为可分离变量或一阶线性微分方程进行求解。例如，当 $n > 0$ 时，可作变换 $z = y^{1-n}$，将方程化为关于 $z$ 的一阶线性微分方程。
03 二阶常系数线性微分方程 求解
二阶常系数齐次线性微分方程通解结构
方程形式
$y'' + py' + qy = 0$，其中$p, q$为常数。
注意事项
在求解共振情况下的特解时，需要 注意避免与齐次方程的通解形式重 复，否则会导致求解错误。
应用举例：弹簧振子模型分析
01
02
03
04
弹簧振子模型
弹簧振子是一个经典的 物理模型，其运动方程 可以表示为二阶常系数 线性微分方程。
求解方法
通过求解弹簧振子的运 动方程，可以得到其运 动规律，如振幅、周期
、频率等。
应用场景
弹簧振子模型在机械振 动、电磁振荡等领域有 广泛的应用，是工程技 术和科学研究中不可或
缺的重要工具。
注意事项
在分析弹簧振子模型时 ，需要注意选择合适的 坐标系和初始条件，以 确保求解结果的正确性 和有效性。同时，还需 要考虑阻尼、外力等因 素对振子运动的影响。
04 高阶微分方程及降阶法简 介
缺x型降阶法
对于形如$y''=f(y,y')$的方程，同样令$y'=p$，则$y''=frac{dp}{dy}p'$，将原方程化为关于 p的一阶微分方程。注意此时自变量为y。
y*型降阶法
对于形如$y''=f(y',y/x)$的方程，令$y'=p$，则$y''=pfrac{dp}{dy}$，将原方程化为关于p 的一阶微分方程。注意此时自变量为y/x。
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1 a 2 a 2 4 b ,2 a 2 a 2 4 b
称为相应方程的特征根 .
现根据 a2 4b的符号来确定其通式解 . 形
(1)第一种情形 a2 4b时
有 两 个 相 异 的1与 实2， 特此 征时 根的 通
如下形式：
yxA11xA22x(A1,A2为 任 意 ) 常 数
(2)第二种情形 a2 4b时
例2 求差分方程yx2 3yx1 4yx 2的通解． 解 1 a b 1 3 4 0 , 且 a 3 2
y xx(B0B1x) 代入方程得: B 0 (x 2 ) B 1 (x 2 )2 3 B 0 (x 1 ) 3 B 1 (x 1 )2 4 B 0 x 4 B 1 x 2 x 可B 得 0570 ,B1110
代入方程 B 0 B 1 (x 2 ) 5 B 0 5 B 1 (x 1 ) 4 B 0 4 B 1 x x 比较两端同次项系数有
1100BB10
7B1 1
0
B0170,0B1110
则yx
7 1 x 10010
故y x 通 1 7 0 1 1 解 x 0 A 1 ( 1 为 ) x A 2 ( 4 ) x
即 ( 2 )( 1 ) 0 解 1 得 2 ,2 1
yxA 1(2)xA2
1 a b 1 1 2 0 , 但 a 1 2 ,
yx
12x 12
4x
所给方yx 程 4x通 A 1( 解 2)x为 A 2 由 y0A 1A 2,即 A 1A 20 y142A 1A 2,即 2A 1A 24
i)i当 1ab0且 a 2时， s1 ; 取 ii)当 i1 a b0 ， a 且 2 时s ， 2 . 取
分别就以上定 情特 形解 ，代 将,入 设 可原 确方 定程 其特 . 解
例1 求差分方程yx2 5yx1 4yx x的特解．
解 1 a b 1 5 4 1 0 0
可y设 xB0B1x
yx rx(A1cosxA2sinx)
(A1,A2是 任 意)常 数
二、 二阶常系数非齐次线性差分方程的求解
二阶常系数非齐次差线分性方程的通解由两项 的和组成： 一项是该方程的一解个yx特 ， 另一项是对应的齐分次方差程的通Y解 x. 即 差 分 2） 方 的 程 y 通 x （ Yx 解 y x.为
(1)f(x)c(c为常 )即 ,数方程为 y x 2 a x 1 y b x y c
可设其特解形yx式 k为 xs. i)当 1ab0时， s0， 取y x 即 k,代入原
k c 1ab
所 求y特 x1解 a cb
i) 当 i1 a b 0 且 a 2 时 ,取 s 1 ,即 y x k ， x
方 程 有 两 个 征 相 根 等 1的 2实 a2， 特此 时
的通解具有如下形式：
yx(A1A2x)(a2)x(A1,A2为任意 ) 常数
(3)第三种情形 a2 4b时
方程有一对共轭的复特征根,
1
1ai 2
4ba2 i
2
1ai 2
4ba2 i
把它们化为三角表示式 ：
r2 2b , ta n 4 b a a 2
代入原方程得
k c 2a
此 时 有yx特 2解 cxa
i) 当 i1 i a b 0 且 a 2 时 s ， 2 ， y x k 取 即 2 ， x
此时有特解
y
x
1 cx 2 2
例 1 求差分方程
yx2 2 yx1 yx 12的通解及y0 0, y1 0 的特解.
解 220
则 rc o , srs in
1 r (c i s o ) i 2 , n r s (c i s o ) in s
yx(1) 1xrx(cosisin )
y(2) x
2xrx(cosisin )
都是对应齐次方程的 解特 ．可以证明
1 2 (yx (1 )yx (2 ))及 2 1 i(yx (1 )yx (2 )) 也都是特解．故可有得以具下形式的通解：
y
x
cx qx1 2q a
ii)当 iq2a qb0但 2qa0时， s2得 取其特
y
x
cx qx1 4q a
(3)f(x)cxn(c为常)， 数即方程为
yx 2 ax y 1 bxy cn x 设其具y x 有 xs(形 B 0B 式 1x 为 B nxn) 的特 (其解 B 中 0,B 1,,B n为待)定 . 系 i)当 1ab0时 ， s0取 ;
可A 得 14 3,A24 3 故此时 ~ yx特 4x4 3 解 (2)x为 4 3
(2)f(x)cq x(c,q1都是)， 常即 数方程
yx2axy 1bxycx q
设其具有y x形 k式 xsqx的 为特. 解
i)当q2aqb0时,取s0，得其特解为
yx
q2
cqx aqb
i)i当 q2a qb0但 2qa0时 ， s1得 取其 特
第八节 二阶常系数线性差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形 y x 2 如 ax 1 y bx yf(x )
(其a中 ,b0均为常 f(x)为 数已 ，知 ) 函
的差分方程，称 常为 系二 数阶 线性差分方
f(x)0时称为非齐次的 称， 为否 齐则 次的． yx2 ayx1 byx 0称为相应的齐次方
yx
x(
7 50
1 x), 10
又yx A1(4)x A2,
通解为 yxx ( 5 7 0 1 1x 0 )A 1 ( 4 )xA 2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1、求下列差分方 解程 及的 特通 解． (1)yx24yx116yx 0,(y0 1, y1 1) (2)yx22yx12yx 0,(y0 2, y1 2)
练习题答案
1.(1)yx
4x(Aco
s
3
xBsin
4
x),
yx
4x( 1 )sin
23 3
x;
(2)yx (
2)x(Ac
os
xBs
in
x),
4
yx (
2)x2•c
os
x1
4
2.解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解
等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个
特解.即 yx yxyx.
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解
设Yx x(0)为对应齐次方， 程代 一入 个得 解
x 2 a x 1 b x 0
即 2ab0
此方程称为对应程 齐的 次特 方征方 ,其程 根
称为相应方程的特征根 .
现根据 a2 4b的符号来确定其通式解 . 形
(1)第一种情形 a2 4b时
有 两 个 相 异 的1与 实2， 特此 征时 根的 通
如下形式：
yxA11xA22x(A1,A2为 任 意 ) 常 数
(2)第二种情形 a2 4b时
例2 求差分方程yx2 3yx1 4yx 2的通解． 解 1 a b 1 3 4 0 , 且 a 3 2
y xx(B0B1x) 代入方程得: B 0 (x 2 ) B 1 (x 2 )2 3 B 0 (x 1 ) 3 B 1 (x 1 )2 4 B 0 x 4 B 1 x 2 x 可B 得 0570 ,B1110
代入方程 B 0 B 1 (x 2 ) 5 B 0 5 B 1 (x 1 ) 4 B 0 4 B 1 x x 比较两端同次项系数有
1100BB10
7B1 1
0
B0170,0B1110
则yx
7 1 x 10010
故y x 通 1 7 0 1 1 解 x 0 A 1 ( 1 为 ) x A 2 ( 4 ) x
即 ( 2 )( 1 ) 0 解 1 得 2 ,2 1
yxA 1(2)xA2
1 a b 1 1 2 0 , 但 a 1 2 ,
yx
12x 12
4x
所给方yx 程 4x通 A 1( 解 2)x为 A 2 由 y0A 1A 2,即 A 1A 20 y142A 1A 2,即 2A 1A 24
i)i当 1ab0且 a 2时， s1 ; 取 ii)当 i1 a b0 ， a 且 2 时s ， 2 . 取
分别就以上定 情特 形解 ，代 将,入 设 可原 确方 定程 其特 . 解
例1 求差分方程yx2 5yx1 4yx x的特解．
解 1 a b 1 5 4 1 0 0
可y设 xB0B1x
yx rx(A1cosxA2sinx)
(A1,A2是 任 意)常 数
二、 二阶常系数非齐次线性差分方程的求解
二阶常系数非齐次差线分性方程的通解由两项 的和组成： 一项是该方程的一解个yx特 ， 另一项是对应的齐分次方差程的通Y解 x. 即 差 分 2） 方 的 程 y 通 x （ Yx 解 y x.为
(1)f(x)c(c为常 )即 ,数方程为 y x 2 a x 1 y b x y c
可设其特解形yx式 k为 xs. i)当 1ab0时， s0， 取y x 即 k,代入原
k c 1ab
所 求y特 x1解 a cb
i) 当 i1 a b 0 且 a 2 时 ,取 s 1 ,即 y x k ， x
方 程 有 两 个 征 相 根 等 1的 2实 a2， 特此 时
的通解具有如下形式：
yx(A1A2x)(a2)x(A1,A2为任意 ) 常数
(3)第三种情形 a2 4b时
方程有一对共轭的复特征根,
1
1ai 2
4ba2 i
2
1ai 2
4ba2 i
把它们化为三角表示式 ：
r2 2b , ta n 4 b a a 2
代入原方程得
k c 2a
此 时 有yx特 2解 cxa
i) 当 i1 i a b 0 且 a 2 时 s ， 2 ， y x k 取 即 2 ， x
此时有特解
y
x
1 cx 2 2
例 1 求差分方程
yx2 2 yx1 yx 12的通解及y0 0, y1 0 的特解.
解 220
则 rc o , srs in
1 r (c i s o ) i 2 , n r s (c i s o ) in s
yx(1) 1xrx(cosisin )
y(2) x
2xrx(cosisin )
都是对应齐次方程的 解特 ．可以证明
1 2 (yx (1 )yx (2 ))及 2 1 i(yx (1 )yx (2 )) 也都是特解．故可有得以具下形式的通解：
y
x
cx qx1 2q a
ii)当 iq2a qb0但 2qa0时， s2得 取其特
y
x
cx qx1 4q a
(3)f(x)cxn(c为常)， 数即方程为
yx 2 ax y 1 bxy cn x 设其具y x 有 xs(形 B 0B 式 1x 为 B nxn) 的特 (其解 B 中 0,B 1,,B n为待)定 . 系 i)当 1ab0时 ， s0取 ;
可A 得 14 3,A24 3 故此时 ~ yx特 4x4 3 解 (2)x为 4 3
(2)f(x)cq x(c,q1都是)， 常即 数方程
yx2axy 1bxycx q
设其具有y x形 k式 xsqx的 为特. 解
i)当q2aqb0时,取s0，得其特解为
yx
q2
cqx aqb
i)i当 q2a qb0但 2qa0时 ， s1得 取其 特
第八节 二阶常系数线性差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形 y x 2 如 ax 1 y bx yf(x )
(其a中 ,b0均为常 f(x)为 数已 ，知 ) 函
的差分方程，称 常为 系二 数阶 线性差分方
f(x)0时称为非齐次的 称， 为否 齐则 次的． yx2 ayx1 byx 0称为相应的齐次方
yx
x(
7 50
1 x), 10
又yx A1(4)x A2,
通解为 yxx ( 5 7 0 1 1x 0 )A 1 ( 4 )xA 2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1、求下列差分方 解程 及的 特通 解． (1)yx24yx116yx 0,(y0 1, y1 1) (2)yx22yx12yx 0,(y0 2, y1 2)
练习题答案
1.(1)yx
4x(Aco
s
3
xBsin
4
x),
yx
4x( 1 )sin
23 3
x;
(2)yx (
2)x(Ac
os
xBs
in
x),
4
yx (
2)x2•c
os
x1
4
2.解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解
等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个
特解.即 yx yxyx.
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解
设Yx x(0)为对应齐次方， 程代 一入 个得 解
x 2 a x 1 b x 0
即 2ab0
此方程称为对应程 齐的 次特 方征方 ,其程 根