高数第七章(13)二阶差分方程PPT

代入方程 B 0 B 1 (x 2 ) 5 B 0 5 B 1 (x 1 ) 4 B 0 4 B 1 x x 比较两端同次项系数有
1100BB10
7B1 1
0
B0170,0B1110
则yx
7 1 x 10010
故y x 通 1 7 0 1 1 解 x 0 A 1 ( 1 为 ) x A 2 ( 4 ) x
1 a 2 a 2 4 b ,2 a 2 a 2 4 b
称为相应方程的特征根 .
现根据 a2 4b的符号来确定其通式解 . 形
(1)第一种情形 a2 4b时
有 两 个 相 异 的1与 实2， 特此 征时 根的 通
如下形式：
yxA11xA22x(A1,A2为 任 意 ) 常 数
(2)第二种情形 a2 4b时
i)i当 1ab0且 a 2时， s1 ; 取 ii)当 i1 a b0 ， a 且 2 时s ， 2 . 取
分别就以上定 情特 形解 ，代 将,入 设 可原 确方 定程 其特 . 解
例1 求差分方程yx2 5yx1 4yx x的特解．
解 1 a b 1 5 4 1 0 0
可y设 xB0B1x
y
x
cx qx1 2q a
ii)当 iq2a qb0但 2qa0时， s2得 取其特
y
x
cx qx1 4q a
(3)f(x)cxn(c为常)， 数即方程为
yx 2 ax y 1 bxy cn x 设其具y x 有 xs(形 B 0B 式 1x 为 B nxn) 的特 (其解 B 中 0,B 1,,B n为待)定 . 系 i)当 1ab0时 ， s0取 ;
第八节 二阶常系数线性差分方程
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解 二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解 三、小结
1.定义
形 y x 2 如 ax 1 y bx yf(x )
(其a中 ,b0均为常 f(x)为 数已 ，知 ) 函
的差分方程，称 常为 系二 数阶 线性差分方
f(x)0时称为非齐次的 称， 为否 齐则 次的． yx2 ayx1 byx 0称为相应的齐次方
则 rc o , srs in
1 r (c i s o ) i 2 , n r s (c i s o ) in s
yx(1) 1xrx(cosisin )
y(2) x
2xrx(cosisin )
都是对应齐次方程的 解特 ．可以证明
1 2 (yx (1 )yx (2 ))及 2 1 i(yx (1 )yx (2 )) 也都是特解．故可有得以具下形式的通解：
2.解的结构定理 二阶常系数线性差分方程的通解
等于对应齐次方程的通解加上非齐次方程的一个
特解.即 yx yxyx.
一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解
设Yx x(0)为对应齐次方， 程代 一入 个得 解
x 2 a x 1 b x 0
即 2ab0
此方程称为对应程 齐的 次特 方征方 ,其程 根
可A 得 14 3,A24 3 故此时 ~ yx特 4x4 3 解 (2)x为 4 3
(2)f(x)cq x(c,q1都是)， 常即 数方程
yx2axy 1bxycx q
设其具有y x形 k式 xsqx的 为特. 解
i)当q2aqb0时,取s0，得其特解为
yx
q2
cqx aqb
i)i当 q2a qb0但 2qa0时 ， s1得 取其 特
例2 求差分方程yx2 3yx1 4yx 2的通解． 解 1 a b 1 3 4 0 , 且 a 3 2
y xx(B0B1x) 代入方程得: B 0 (x 2 ) B 1 (x 2 )2 3 B 0 (x 1 ) 3 B 1 (x 1 )2 4 B 0 x 4 B 1 x 2 x 可B 得 0570 ,B1110
代入原方程得
k c 2a
此 时 有yx特 2解 cxa
i) 当 i1 i a b 0 且 a 2 时 s ， 2 ， y x k 取 即 2 ， x
此时有特解
y
x
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1 cx 2 2
例 1 求差分方程
yx2 2 yx1 yx 12的通解及y0 0, y1 0 的特解.
解 220
yx rx(A1cosxA2sinx)
(A1,A2是 任 意)常 数
二、 二阶常系数非齐次线性差分方程的求解
二阶常系数非齐次差线分性方程的通解由两项 的和组成： 一项是该方程的一解个yx特 ， 另一项是对应的齐分次方差程的通Y解 x. 即 差 分 2） 方 的 程 y 通 x （ Yx 解 y x.为
即 ( 2 )( 1 ) 0 解 1 得 2 ,2 1
yxA 1(2)xA2
1 a b 1 1 2 0 , 但 a 1 2 ,
yx
12x 12
4x
所给方yx 程 4x通 A 1( 解 2)x为 A 2 由 y0A 1A 2,即 A 1A 20 y142A 1A 2,即 2A 1A 24
练习题答案
1.(1)yx
4x(Aco
s
3
xBsin
4
x),
yx
4x( 1 )sin
23 3
x;
(2)yx (
2)x(Ac
os
xBs
in
x),
4
4
yx (
2)x2•c
os
x1
4
yx
x(
7 50
1 x), 10
又yx A1(4)x A2,
通解为 yxx ( 5 7 0 1 1x 0 )A 1 ( 4 )xA 2
三、小结
1.二阶常系数齐次线性差分方程求通解 2.二阶常系数非齐次线性差分方程求通解
练习题
1、求下列差分方 解程 及的 特通 解． (1)yx24yx116yx 0,(y0 1, y1 1) (2)yx22yx12yx 0,(y0 2, y1 2)
方 程 有 两 个 征 相 根 等 1的 2实 a2， 特此 时
的通解具有如下形式：
yx(A1A2x)(a2)x(A1,A2为任意 ) 常数
(3)第三种情形 a2 4b时
方程有一对共轭的复特征根,
1
1ai 2
4ba2 i
2
1ai 2
4ba2 i
把它们化为三角表示式 ：
r2 2b , ta n 4 b a a 2
(1)f(x)c(c为常 )即 ,数方程为 y x 2 a x 1 y b x y c
可设其特解形yx式 k为 xs. i)当 1ab0时， s0， 取y x 即 k,代入原
k c 1ab
所 求y特 x1解 a cb
i) 当 i1 a b 0 且 a 2 时 ,取 s 1 ,即 y x k ， x