2015届高考数学总复习第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示课时训练

第二章 函数与导数第1课时 函数及其表示

1. 下列对应f 是从集合A 到集合B 的函数有________个． ① A ＝N ，B ＝N *，f ：x →y ＝|x －2|；

② A ＝{1，2，3}，B ＝R ，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4； ③ A ＝[－1，1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0. 答案：2

2. 已知函数y ＝f(x)，集合A ＝{(x ，y)|y ＝f(x)}，B ＝{(x ，y)|x ＝a ，y ∈R }，其中a 为常数，则集合A ∩B 的元素有________个．

答案：0或1

解析：设函数y ＝f(x)的定义域为D ，则当a ∈D 时，A ∩B 中恰有1个元素；当a ÎD 时，A ∩B 中没有元素．

3. 若f(x ＋1)＝x ＋1，则f(x)＝___________． 答案：x 2－2x ＋2(x ≥1)

解析：令t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，所以f(t)＝(t －1)2＋1.

4. 已知函数φ(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x 的反比例函数，且φ⎝⎛⎭⎫13＝16，φ(1)＝8，则φ(x)＝________．

答案：3x ＋5

x

(x ≠0)

解析：由题可设φ(x)＝ax ＋b

x

，代入φ⎝⎛⎭⎫13＝16，φ(1)＝8，得a ＝3，b ＝5. 5. 已知函数f(x)＝3x －1，g(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2－1，x ≥0，2－x ，x<0.若x ≥1

3，则g(f(x))＝________．

答案：9x 2－6x

解析：当x ≥1

3

时，f ()x ≥0，所以g(f(x))＝(3x －1)2－1＝9x 2－6x.

6. 工厂生产某种产品，次品率p 与日产量x(万件)间的关系为p ＝⎩

⎨⎧

1

6－x

，0

3

，x>c (c

为常数，且0

答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3（9x －2x 2）2（6－x ），0

0，x>c

解析：当x>c 时，p ＝23，所以y ＝⎝⎛⎭⎫1－23·x ·3－23·x ·32＝0；当0

6－x

，所以y ＝⎝⎛⎭⎫1－16－x ·x ·3－16－x ·x ·32＝3（9x －2x 2

）2（6－x ）

.

7. 已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ＝

1－x 21＋x 2

，则f(x)的解析式为____________． 答案：f(x)＝2x

x 2＋1

8. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x （x ≥0），

－x 2－4x （x<0）.

若f(x)≤3，则x 的取值范围是________．

答案：[－1，9]∪(－∞，－3]

解析：f(x)≤3等价于⎩

⎨⎧x ≥0，x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧

x<0，－x 2

－4x ≤3，解得0≤x ≤9或－1≤x ＜0或x ≤－3，即－1≤x ≤9或x ≤－3.

9. (1) 已知f(x)是二次函数，且方程f(x)＋3x ＝0有两根0和1.若f(x ＋4)＝f(－x)，求f(x)； (2) 设f(x)是定义在实数集R 上的函数，满足f(0)＝1，且对任意实数a 、b ，有f(a －b)＝f(a)－b(2a －b ＋1)，求f(x)．

解：(1) 设f(x)＋3x ＝ax(x －1)(a ≠0)，即f(x)＝ax 2－(a ＋3)x ，由f(x ＋4)＝f(－x)，得f(x)

的图象关于x ＝2对称，所以a ＋3

2a

＝2，解得a ＝1，所以f(x)＝x 2－4x.

(2) 令a ＝b ＝x ，则f(x －x)＝f(x)－x(2x －x ＋1)，即f(0)＝f(x)－x 2－x.由于f(0)＝1，所以f(x)＝x 2＋x ＋1.

10. 已知函数f(x)＝⎩

⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，

1，x<0，g(x)＝x ＋2.

(1) 若f(g(a))＝g(f(－1)，求a 的值； (2) 解不等式f(1－x 2)>f(2x)．

解：(1) 由条件，g(f(－1))＝3，g(a)＝a ＋2， 所以f(g(a))＝g(f(－1))即为f(a ＋2)＝3.

当a ＋2≥0，即a ≥－2时，(a ＋2)2＋1＝3，

所以a ＝－2＋2；当a ＋2<0，即a<－2时，显然不成立， 所以a ＝－2＋ 2.

(2) 由f(1－x 2

)>f(2x)，知⎩

⎪⎨⎪⎧1－x 2

>0，1－x 2

>2x ， 解得－1

所以不等式的解集为(－1，2－1)．

11. 是否存在正整数a 、b ，使f(x)＝x 2ax －2

，且满足f(b)＝b 及f(－b)<－1

b ？若存在，求

出a 、b 的值；若不存在，说明理由．

解：假设存在正整数a 、b 满足题意．

∵ f(x)＝x 2ax －2，f(b)＝b ，∴ b 2

ab －2

＝b ，即(a －1)b ＝2.

∵ a 、b ∈N *，∴ ⎩⎪⎨⎪

⎧a ＝3，b ＝1或⎩

⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2.

当a ＝3，b ＝1时，f(x)＝x 23x －2

，此时－b ＝－1，∴ f(－b)＝f(－1)＝－15>－1＝－1

b ，因

此a ＝3，b ＝1不符合题意，舍去；

当a ＝2，b ＝2时，f(x)＝x 22x －2

，此时－b ＝－2，∴ f(－b)＝f(－2)＝－23<－12＝－1

b ，符

合题意．

∴ 存在a ＝2，b ＝2满足条件使f(x)＝x 2

2x －2

.