初中中考数学一题多解详细讲解一题

题目：如图1，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB=10cm，点P由点C出发以每秒2cm 的速度沿着线段CA向点A运动(不运动至A点)，⊙O的圆心在BP上，且⊙O分别与AB、AC相切，当点P运动2秒钟时，⊙O的半径是( )

A、cm

B、cm

C、cm

D、2cm

一、相似三角形与面积

解法一：在Rt△ABC中，∵AB=10cm，AC=8cm，∴BC=6cm。∵PC=4cm，∴PA=4cm。设OD=x，⊙O的半径为r，∵OD∥AC，∴。∴x=4-r。

∵S△ABC=S△AOC+ S△BOC+ S△AOB

∴×10r+×8r+×6r=×6×8。∴5r+4r+3(4-r)=24，∴r=

(图1) (图2)

解法二：如图2，在Rt△ABC中，∵AB=10cm，AC=8cm，

∴BC=6cm

∵P是AC的中点，

∴S△ABP=×S△ABC=12

∴AB×PH=24，PH=

∵OE∥BC，OF∥PH，

∴

由①+②得

∴r=

(图3) (图4)

二、相似三角形与勾股定理

解法三：如图3，设OD=x，⊙O的半径为r，∵OD∥AC，∴。∴x=4-r ①

∵AE=AF=8-x，∴BF=2+x

∴OD2+BD2=OF2+BF2，

∴x2+(6-x)2=r2+(2+x)2，

∴x=8-3r ②

由①、②得4-r=8-3r，解得r=.

三、三角函数与勾股定理

解法四：如图4，设PE=x，⊙O的半径为r

∵tg∠CDB=，∴x=r，

由勾股定理得：PO=r，∴BO=2，解得r=

四、三角形内角平分线性质

解法五：如右图，∵AE、AF是⊙O的切线，

∴∠1=∠2，

∴，

∴

∵OE∥BC，∴，∴r=