第五章 静定平面桁架

弦杆
上弦杆 Top chard
竖杆Vertical chard
腹杆
下弦杆 Bottom chard
桁高
d 节间
跨度
经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷 载作用的直杆、铰结体系”的工程结构—桁架
§5-1 平面桁架的计算简图
结构力学
桁架计算简图假定：
(1) 各杆在两端用绝对光滑而无摩擦的铰（理想铰）相互联结。
由几何关系 FNHC=-40.4kN
§5.5 各式桁架比较
结构力学
一、桁架的外形对内力的影响
桁架的外形对桁架内力的分布有比较大的影响，在 设计时应根据这些影响来选择合适的桁架外型。
F/ 2 F F F F F F/ 2 h
F F/ 2
F F
F F F/ 2 h
l
平行弦桁架
F F/2
FF
FF F/2
h
l
梯形桁架
l
三角形桁架
F F
F
F
F
F/ 2
F/ 2
h
l
抛物线形桁架
§5.5 各式桁架比较
结构力学
桁架的外形对弦杆内力的影响
F/2 F F F F
2
4 Ⅱ6 Ⅰ 8
F F/2
等代梁
A
1
3
3F
5Ⅱ Ⅰ 7
6d
h B 3F
F/2 F
FF
F F F/2 h
B
3F
6d
3F
平行弦桁架，由截面Ⅰ-Ⅰ截断桁架，取左侧部份为隔离
结构力学 第五章 静定平面桁架
§5-1 平面桁架的计算简图 §5-2 结点法 §5-3 截面法 *§5-4 截面法与结点法的联合应用 *§5-5 各式桁架比较 *§5-6 组合结构的计算
§5-1 平面桁架的计算简图
结构力学
桁架是由杆件相互连接组成的格构状体系，它的 结点均为完全铰结的结点，它受力合理用料省，在 建筑工程中得到广泛的应用。
取C点为隔离体，由
X 0 ， FNCE FNCH 0
Y 0 ， 10kN 2FNCE sin FNCD 0
得
FNCD
10 kN 2
1 (22.36kN) 10 kN 5
FNCH FNCE 22.36 kN
§5-2 结点法
10 kN
10 kN
10 kN
5 kN
C
5 kN
2m
分类 力矩法和投影法
1. 求反力(同静定梁)；
2. 作截面(用平截面，也可用曲截面)截断桁架，取隔离体；
3. (1)选取矩心，列力矩平衡方程(力矩法)(2)列投影方程(投影法)；
4. 解方程。
注意事项
1、尽量使所截断的杆件不超过三根(隔离体上未知力不超过三个)，
可一次性求出全部内力；
2、选择适宜的平衡方程，最好使每个方程中只包含一个未知力，
1
AJ M
B
G
75 kN D a E
75 kN FNEC
G
Da E
1C
5 m 6=30 m
4m 75 kN 2 m
解 (1) 求支座反力。
(2)直接求出a 杆的位置困难。首先作截面Ⅰ-Ⅰ，求 出FNEC ，然后取结点E 就可求出a 杆的轴力。
作截面Ⅰ-Ⅰ，取截面左侧部份为隔离体，由
故
M J 0
FNEC
FNEC FNED 10 5 33.5 联立解出 FNEC 22.36 kN ， FNED 11.18 kN
§5-2 结点法
结构力学
5 kN 2m
10 kN E
10 kN 10 kN
C
F
A 20 kN
G
D
H
2 m 4=8 m
5 kN
B 20 kN
C F NCE
10 kN
FNCF FNCD
结构力学
1. 结点法和截面法
结点法—最适用于计算简单桁架。
取结点为隔离体，建立（汇交力系）平衡方程求解。 原则上应使每一结点只有两根未知内力的杆件。
通常假定未知的轴力为拉力，计算结果得负值表示轴力 为压力。
§5-2 结点法
结构力学
例5-1 试用结点法求三角形桁架各杆轴力。
5 kN 2m
10 kN E
避免求解联立方程。
3、若所作截面截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中， 除一杆外，其余均汇交于一点(力矩法)或均平行(投影法)，则该杆 内力仍可首先求得。
§5-3 截面法
结构力学
示例1：试求图示桁架a 杆的内力。
30 kN 30 kN AJ M
30 kN 30 kN 30 kN 30 kN 30 kN
FP FP
结构力学
平行情况
b为截面单杆
§5.4 截面法与结点法的联合应用
结构力学
在桁架的计算中，结点法和截面法一般结合起来使用。 尤其当（１）只求某几个杆力时；
（２）联合桁架或复杂桁架的计算。
例5-1 试求图示 K 式桁架中a 杆和b杆的内力。
如何合理选择截面？ 杆件数大于3
§5.4 截面法与结点法的联合应用
体,
对结点7
取力矩求得 FN68
(FyA
F 2
) 3d
h
F
2d
F
d
§5.5 各式桁架比较
结构力学
FN68
(FyA
F 2
)
3d
h
F
2d
F
d
FN68的分子相当于此桁架的等代梁上与结点7对应处
截面的弯矩M70，分母h则为FN68对矩心的力臂。上式
可写为:
FN68
M
0 7
h
同理，其他弦杆的力可以表示成类似的公式
为什么?
12
F
F
A
§5-3 截面法
结构力学
截面法定义:
作一截面将桁架分成两部分，然后任取一部分为隔离体 (隔离体包含一个以上的结点)，根据平衡条件来计算所截 杆件的内力。
应用范围 1、求指定杆件的内力；
2、计算联合桁架。
联合桁架(联合杆件)
指定杆件(如斜杆)
§5-3 截面法
结构力学
截面法计算步骤
§5-1 平面桁架的计算简图
结构力学
2、桁架的分类
一、根据维数分类
1）. 平面（二维）桁架（plane truss） ——所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在同一
平面内
§5-1 平面桁架的计算简图
结构力学
2）. 空间（三维）桁架（space truss） ——组成桁架的杆件不都在同一平面内
§5-1 平面桁架的计算简图
0 0
练习: 试指出零杆
P
结构力学
P
受力分析时可以去掉零杆, 是否说该杆0在结构中是可 有0 可无的?
P
§5-2 结点法
0 0
练习: 试指出零杆
结构力学
P 0
0
P
P
P
§5-2 结点法
0 0
练习: 试指出零杆
返回
P 0
0
结构力学
P
P P P
P
P
§5-2 结点法
练习: 试指出零杆
结构力学
下图示对称结构在正对称荷 载作用下，若A 点无外荷载， 则位于对称轴上的杆1、2都 P 是零杆。
75 5
87.5 kN
30
5
FNEC
6
0
§5-3 截面法
结构力学
30 kN 30 kN
AJ
M G
FNEG
75 kN D a E
FNEC
FN a E
(3) 取结点E 为隔离体，由
X 0 FNa cos FNEC 0
FNEC
FNa
29 87.5 94.24 kN 5
思考：是否还有不同的途径可以求出FNα？
1、桁架的计算简图(truss structure)
屋架
计算简图
16m
128m
64m
武汉长江大桥所采用的桁架型式
§5-1 平面桁架的计算简图
空间桁架荷载传递途径：
结构力学
横梁 主桁架 纵梁
荷载传递: 轨枕-> 纵梁-> 结点横梁-> 主桁架
§5-1 平面桁架的计算简图
结构力学
桁架各部分名称：
斜杆 Diagonal chard
E
F
A 20 kN
G
D
HB
2 m 4=8 m
20 kN
结构力学
可以看出，桁架在对称轴右边各杆的内力与左边 是对称相等的。
结论：对称结构，荷载也对称，则内力也是 对称的。
§5-2 结点法
结点法计算简化的途径：
结构力学
1. 对于一些特殊的结点，可以应用平衡条件直 接判断该结点的某些杆件的内力为零。 零杆
截面法不能直接求解 截取结点K为隔离体， 由K形结点的特性可知(结点法)
结构力学
FNa=-FNc 或 Fya=-Fyc
由截面I-I(截面法)根据∑Fy=0有 3F-F/2-F-F+Fya-Fyc=0
即 F/2+2Fya=0 得Fya=-F/4 由比例关系得 FNa=-F/4×5/3=-F/12
§5.4 截面法与结点法的联合应用
2 30 k（N 拉） 5
§5-2 结点法
5 kN 2m
10 kN E
10 kN 10 kN
C 5 kN
F
A 20 kN
G
D
HB
wk.baidu.com
2 m 4=8 m
20 kN
F NGE
结构力学
FNGA G FNGD
取G点为隔离体
X 0 Y 0
FNGD FNGA 30 kN FNGE 0
§5-2 结点法
§5-3 截面法
截面法技巧：
结构力学
截面单杆: 用截面切开后，通过一个方程 可求出内力的杆.
截面上被切断的未知轴力的 杆件只有三个,三杆均为单杆.
截面上被切断的未知轴力的 杆件除一个外交于一点,该杆 为单杆.
§5-3 截面法
相
交
情
FP FP FP FP FP
况
FP
结构力学
a 为 截 面 单 杆
§5-3 截面法
(2) 各杆的轴线都是直线,而且处在同一平面内，并且通过铰 的几何中心。
(3) 荷载和支座反力都作用在结点上,其作用线都在桁架平面内。
思考: 实际桁架是否完全符合上述假定?
主内力: 按理想桁架算出的内力，各杆只有轴力。
次内力：实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲， 由此引起的内力。
实际桁架不完全符合上述假定, 但次内力的影响是次要的。
二、按外型分类
1. 平行弦桁架
2. 三角形桁架
3. 抛物线桁架
结构力学
§5-1 平面桁架的计算简图
三、按几何组成分类
1. 简单桁架 （simple truss）
2. 联合桁架 （combined truss）
3. 复杂桁架 （complicated truss）
结构力学
§5-2 结点法 二、桁架的内力计算
(1) 两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都 为零。
F N1
F N2
F N1
=
F
N2=
0
§5-2 结点法
结构力学
(2) 三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则 第三杆是零杆，而在直线上的两杆内力大小相等，且性质相 同（同为拉力或压力）。
FN1
FN2
FN3
FN1 = FN2 FN3= 0
F F N2
FN3 FN3
F N2
FN1 FN3
==FFFFNNNN4231==FFNN42
FN1 = FFNN21 = FN2 FN3= FFN3= F
§5-2 结点法
结构力学
值得注意：若事先把零杆剔出后再进行计算， 可使计算大为简化。
FP
FP
FP/ 2
FP/2FP
§5-2 结点法
零杆: 轴力为零的杆
§5-2 结点法
结构力学
(3) 四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则 在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同。
推论，若将其中一杆换成外力F，则与F 在同一直
线上的杆的内力大小为F ，性质与F 相同。
FN1 FN1 FN3 FN3
F N4 F F N4 N1 F N2 F N2
F FN1
20 kN
10 kN
10 kN
10 kN
5 kN
C
5 kN
2m
E
F
A 20 kN
G
D
HB
2 m 4=8 m
20 kN
取A点为隔离体，由
X 0 Y 0
FNAE cos FNAG 0 20 kN 5 kN FNAE cos 0
有 所以
FNAE 15 kN 5 33.54 kN（压）
FNAG FNAE cos 33.5
结构力学
由截面I-I(截面法)根据∑MC=0即可求得FNb，
也可作截面II-II(曲截面)并取左半边为隔离 体，(更简捷)
由∑MD=0 FNb×6+3F×8-F/2×8-F×4=0
FNb=-(3F×8-F/2×8-F×4)/6=-8F/3
§5.4 截面法与结点法的联合应用
例5-2 试求图示桁架HC 杆的内力。
结构力学
支座反力如图。 取截面I-I以左为隔离体，由∑MF=0可得 FNDE=90×5/4=112.5kN(拉)(截面法-力矩法)
由结点E的平衡得 FNEC=FNED=112.5kN (拉)
§5.4 截面法与结点法的联合应用
结构力学
再取截面II-II以右为隔离体，由∑MG=0并将FNHC 在C点分解为水平和竖向分力，可得 FxHC=(30×15-112.5×6)/6=-37.5kN(拉) FyHC过铰G，不产生力矩，先求FxHC(截面法-力矩法)
结构力学
10 kN E
FNEC
5 kN 2m
10 kN E
10 kN 10 kN
C 5 kN
F
F NEA
FNED
A 20 kN
G
D
HB
2 m 4=8 m
20 kN
取E点为隔离体，由
X 0 FNEC cos FNED cos FNEA cos 0
FNEC FNED 33.54 kN
Y 0 FNEC sin - FNED sin FNEA sin 10 kN 0
10 kN 10 kN
C 5 kN
F
A 20 kN
G
D
HB
2 m 4=8 m
20 kN
解: (1) 求支座反力。
FxA 0
FyA 20 kN (↑)
FyB 20 kN (↑)
(2) 依次截取结点A，G，E，C，画出受力图， 由平衡条件求其未知轴力。
§5-2 结点法
结构力学
5 kN
FNAE
A
FNAG