第一讲_概率论概述

第一讲 概率论概述

1． 概率空间

定义 （概率空间）称一个三元组(,,)P ΩF 是概率空间，其中，Ω是样本空间，F 是Ω

上的一个σ代数，而P 是ℑ上的一个概率测度。

关于σ代数

定义 （代数和σ代数）集合Ω的一个子集类ℑ被称为代数，如果满足条件，

(1) ℑ∈φΩ,；(2) ℑ∈21B B ，ℑ∈-21B B ，ℑ∈∀i B ，2,1=i 。

如果一个代数对可列并运算封闭，则称其为σ代数。

为什么要引入σ代数？

以掷骰子为例：{1,2,3,4,5,6}Ω=，所有子集构成一个σ代数。但是，如感兴趣的问题是出现的点数是偶数还是奇数，那么考虑的事件集只有两个：{1,3,5},{2,4,6}A B ==，包含它们的最小σ代数为{,,,}A B ΩΦℑ=。因此，只要限制在ℑ上研究问题。

关于概率测度

定义 （σ代数上的概率测度）一个概率测度是满足如下条件的映射]]1,0[:→ℑP ：

(1) 可列可加性：∑∞

=∞

==

1

1)()(n n

n n A P A P ，n m A A A

n m n

≠=ℑ∈∀,,φ ；

(2) 规一性：1)(=ΩP 。

概率测度一般化的意义：涵盖了可能出现的各种问题。

以抛硬币为例：{0,1}S =，那么直观上的概率1

({0})({1})2

P P ==只是可能出现的情况中的一个：硬币是均匀的。硬币不均匀，则完全可能有其它选择。 例 古典概率模型。

关于可列可加性 可列的含义。

可列可加不能用于任意个集合的并：例如[0,1]Ω=，均匀投点，取每一点的概率为0，但其总和仍为1。

概率函数的一些性质

概率函数P 显然可视为可测空间上的一个测度，所以测度的许多性质也可用于概率。 序列极限意义下的连续性：可列可加性蕴涵了概率函数的连续性。

定理 若}1,{≥n A n 是单调增加序列（或减小序列），则 )lim ()(lim n n n n A P A P ∞

→∞

→=。

关于集合序列极限的定义 单调上升序列的极限：1

lim n n n n A A ∞→∞

==

；

单调下降序列的极限：1

lim n n n n A A ∞→∞

==

。

一般集合序列的极限：上极限1lim n k n n k n

A A ∞

∞

→∞

===

；下极限1lim n k n k n

n A A ∞∞

==→∞

=

。

概率解释：

事件n n k n n n A A ∞

=∞

=∞

→= 1lim 概率意义：表示事件序列}{n A 中，有无限多个发生。

思考题 事件n n

k n n n A A ∞

=∞=∞

→= 1lim 的概率意义是什么？（某个n 后，所有的事件发生）。

定理（Borel-Cantelli 引理） 若

∞<∑∞

=1

)(n n

A P ，那么0)(1=∞

=∞=n

n

k n A P 。

证 1(

)lim (

)lim ()0n n k n n n k n

k n

k n

P A P A P A ∞

∞

∞

∞→∞

→∞

=====≤=∑。

（直观解释）

定理 若

∞=∑∞

=1)(n n

A P ，且}{n

A 相互独立，那么1)(1=∞

=∞

=k

n

k n A P 。

证 )(lim )(1k n

k n k n

k n A P A P ∞=∞

→∞

=∞

== ∏∞

=∞

→∞

=∞

→-=-=n

k C k

n C

k

n

k n A

P A P )(lim

1)](1[lim ，但

∏∏∞=∞

=-=n

k k n

k C k

A P A

P )](1[)(∏∞

=-=n

k A P k e

)]

(1log[0)

(=∑≤∞

=-

n

k k A P e

，即得结论。

2． 一维随机变量

定义（随机变量X ）称可测函数1

:R X →Ω是概率空间上的（值域空间当然也可以更

一般），随机变量。

关于直线上的可测集

通常直线上的可测集就用Borel 集，记为B 。

例（随机变量）：掷骰子时，{1,2,3,4,5,6}Ω=，(2)0,(21)1X k X k =-=，1,2,3k =。

随机变量诱导的σ域

由X 可导出Ω上的一个σ代数：1{()|}X X B B -=∈F B 。对于该随机变量，只要考虑该σ代数中的所有事件。

上述例子中{,,{1,3,5},{2,4,6}}X ΩΦ=F 。

思考题 集族1{:()}X X ω-=F B 是一个σ域。

定义（分布函数）对随机变量X ，称事件{(,]}X x ∈-∞的概率1

(){(,]}

F x P X x -=-∞为该随机变量的分布函数。

分布函数的意义：Borel 集B 由集类1

{(,]|}x x R -∞∈通过集合的可列运算生成。因此确定

X 对应的事件的概率可由分布函数()F x 确定。