高考数学一轮复习 二次函数与幂函数

答案 －1
二、走近高考 3．(2017·浙江高考)若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 在区间[0,1]上的最大值是 M， 最小值是 m，则 M－m( ) A．与 a 有关，且与 b 有关 B．与 a 有关，但与 b 无关 C．与 a 无关，且与 b 无关 D．与 a 无关，但与 b 有关
解析 设 x1，x2 分别是函数 f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点，则 m ＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b。所以 M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值 与 a 有关，与 b 无关。故选 B。
B．y＝2(x＋1)2＋3
C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3
解析 设所求函数的解析式为 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，由题意可知 a＝ －2，h＝1，k＝3，故 y＝－2(x＋1)2＋3。故选 D。
答案 D
5．已知幂函数
y
＝
f(x)
的
图
象
过
点

2，

22，则此 函数的 解 析式为
答案 (1)x2＋2x＋1
(2)已知二次函数 f(x)的图象经过点(4,3)，它在 x 轴上截得的线段长为 2， 并且对任意 x∈R，都有 f(2－x)＝f(2＋x)，则 f(x)＝________。
解析 (2)因为 f(2－x)＝f(2＋x)对任意 x∈R 恒成立，所以 f(x)图象的对 称轴为直线 x＝2。又因为 f(x)的图象被 x 轴截得的线段长为 2，所以 f(x)＝0 的两根为 1 和 3。设 f(x)的解析式为 f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，又 f(x)的图 象过点(4,3)，所以 3a＝3，即 a＝1，所以 f(x)的解析式为 f(x)＝(x－1)(x－3)， 即 f(x)＝x2－4x＋3。
【变式训练】 已知函数 f(x)＝(m2－m－1)·xm2＋m－3 是幂函数，且 x
∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，则 m 的值为( )
A．－1
B．2
C．－1 或 2
D．3
m2－m－1＝1， 解析 由题意知，m2＋m－3>0， 解得 m＝－1或m＝2， m2＋m－3>0， 所以 m＝2，故选 B。 答案 B
【题点对应练】 1．(方向 1)如图，若 a<0，b>0，则函数 y＝ax2＋bx 的大致图象是 ________(填序号)。
①
②
③
④
解析 函数图象的开口向下，对称轴方程为 x＝－2ba>0，且过原点，故 大致图象是③。
答案 ③
2．(方向 2)若函数 y＝mx2＋x＋5 在[－2，＋∞)上是增函数，则 m 的取 值范围是________。
________；在区间________上递减。
解析
设
y＝f(x)＝xα，因为图象过点2，

22，代入解析式得
α＝－12，
则
y＝x－
1 2
，由性质可知函数
y＝x－
1 2
在(0，＋∞)上递减。
答案 y＝x－12 (0，＋∞)
6．已知函数 f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上不等式 f(x)>2x＋m 恒成立， 则实数 m 的取值范围是________。
解析 f(x)>2x＋m 等价于 x2－x＋1>2x＋m，即 x2－3x＋1－m>0，令 g(x) ＝x2－3x＋1－m，要使 g(x)＝x2－3x＋1－m>0 在[－1,1]上恒成立，只需使 函数 g(x)＝x2－3x＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于 0 即可。因为 g(x)＝x2 －3x＋1－m 在[－1,1]上单调递减，所以 g(x)min＝g(1)＝－m－1。由－m－ 1>0，得 m<－1。因此满足条件的实数 m 的取值范围是(－∞，－1)。
第二章 函数、导数及其应用
第四节 二次函数与幂函数
微知识·小题练 微考点·大课堂
2019 考纲考题考情
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教材回扣 基础自测
1．幂函数 (1)定义：一般地，函数___y_＝__xα___叫做幂函数，其中底数__x__是自变量，
α 是常数。
(2)幂函数的图象比较：
2．二次函数
(1)解析式： 一般式：f(x)＝___a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_≠__0_)__。 顶点式：f(x)＝__a_(_x_－__h_)_2＋__k_(_a_≠__0_)__。 两根式：f(x)＝_a_(_x_－__x_1)_(_x_－__x2_)_(a_≠__0_)_。
1．对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置， 若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解。
2．利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次 函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较。
方向 3：二次函数的最值 【例 5】 已知函数 f(x)＝ax2－2x(a>0)，求函数 f(x)在区间[0,2]上的最 小值。
f(m)≤f(0)，则实数 m 的取值范围是( )
A．(－∞，0]
B．[2，＋∞)
C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0,2]
解析 依题意 a≠0，二次函数 f(x)＝ax2－2ax＋c 图象的对称轴是直线 x＝1，因为函数 f(x)在区间[0,1]上单调递减，所以 a>0，即函数图象的开口 向上，所以 f(0)＝f(2)，则当 f(m)≤f(0)时，有 0≤m≤2。故选 D。
答案 (1)B
解析 答案 (2)D
1．对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为 六个区域，即 x＝1，y＝1，y＝x 分区域。根据 α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1 的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定。
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借 助其单调性进行比较。
答案 (2)x2－4x＋3
求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点坐标，宜选用一般式； (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与 x 轴两交点的坐标，宜选用两根式。
【变式训练】 (1)已知二次函数 f(x)与 x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－ 2,0)且有最小值－1，则 f(x)＝________。
解析 当 m＝0 时，函数在给定区间上是增函数；当 m≠0 时，函数是 二次函数，图象对称轴为 x＝－21m≤－2，得 m≤14，又 m>0，因此 0<m≤14。 综上，0≤m≤14。
答案 0，14
3．(方向 3)设二次函数 f(x)＝ax2－2ax＋c 在区间[0,1]上单调递减，且
减知a3<－ 2a0a，≤－1， 解得－3≤a<0。综上，a 的取值范围为[－3,0]。
答案 D
【互动探究】 若函数 f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1 的单调减区间是[－1，＋ ∞)，则 a 的取值为________。
解析
－3。 答案
由题意知，f(x)必为二次函数且 a<0，又3－ 2aa＝－1，所以 a＝ －3
解 因为 a>0，所以 f(x)＝ax2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为 直线 x＝1a。
①当1a<2，即 a>12时，1a∈(0,2)， 所以 f(x)在0，a1上单调递减，在1a，2上单调递增， 所以 f(x)min＝f1a＝1a－2a＝－1a。
②当1a≥2，即 0<a≤12时，f(x)在[0,2]上单调递减， 所以 f(x)min＝f(2)＝4a－4。
2．(必修 1P38B 组 T1 改编)函数 y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则 y 的最 小值为________。
解析 函数 y＝2x2－6x＋3＝2x－322－32的图象的对称轴为直线 x＝32 >1，所以函数 y＝2x2－6x＋3 在[－1,1]上为单调递减函数，所以 ymin＝2－6 ＋3＝－1。
一、走进教材
1．(必修 1P79 习题 T1 改编)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点21， 22，则 k
＋α＝( )
A．12
B．1
C．32
D．2
解析 因为 f(x)＝k·xα 是幂函数，所以 k＝1。又 f(x)的图象过点21， 22，
所以12α＝ 22，所以 α＝12，所以 k＋α＝1＋12＝32。故选 C。 答案 C
(2)图象与性质：
与二次函数有关的不等式恒成立的条件 (1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是ab>2－0，4ac<0； (2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是ab<2－0，4ac<0； (3)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min。
答案 (2)－2x2＋4
考点三 二次函数的图象和性质微点小专题 方向 1：二次函数的图象 【例 3】 对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)与二次函数 y＝(a－1)x2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )
A
B
C
D
解析 当 0<a<1 时，y＝logax 为减函数，y＝(a－1)x2－x 的图象开口向 下，其对称轴为直线 x＝2a1－1<0，排除 C，D；当 a>1 时，y＝logax 为增 函数，y＝(a－1)x2－x 的图象开口向上，其对称轴为直线 x＝2a1－1>0，排 除 B。故选 A。
(2)若函数 f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞， 4]，则该函数的解析式为 f(x)＝________。
解析 (2)由 f(x)是偶函数知 f(x)的图象关于 y 轴对称，所以－a＝－ －2ba，即 b＝－2，所以 f(x)＝－2x2＋2a2，又 f(x)的值域为(－∞，4]，所 以 2a2＝4，故 f(x)＝－2x2＋4。