第4章部分习题参考解答

4.1 证明以下矢量函数满足真空中的无源波动方程222210EE c t∂∇−∂G =G ，其中2001c με=，为常数。

(1) 0E 0cos()x E e E t z c ωω=−G G ；(2) 0sin()cos()x E e E z t c ωω=G G ； (3) 0cos()y E e E t z cωω=+G G 。

证：(1) 222002cos()cos()x x E e E t z e E t z cz c ωωωω∂∇=∇−=−∂G G G20()cos()x e E t c cz ωωω=−−G2220022cos()cos()x x E e E t z e E t z t t c cωωωωω∂∂=−=−∂∂GG G − 22220022211()cos()cos()0x x E E e E t z e E t z c t c c c c ωωωωωω∂⎡⎤∇−=−−−−−=⎢⎥∂⎣⎦G G G G即矢量函数0cos()x E e E t z cωω=−G G 满足波动方程222210EE c t ∂∇−=∂G G 。

(2) 222002sin()cos()sin()cos()x x E e E z t e E z t c z c ωωωω∂⎡⎤⎡⎤∇=∇=⎢⎥⎢⎥∂⎣⎦⎣⎦G G G 20()sin()cos()x e E z c ct ωωω=−G2220022sin()cos()sin()cos()x x E e E z t e E z t t t c c ωωωωω∂∂⎡⎤⎡⎤==−⎢⎥⎢⎥∂∂⎣⎦⎣⎦GG G 22220022211()sin()cos()sin()cos()0x x E E e E z t e E z t c t c c c c ωωωωωω∂⎡⎤∇−=−−−=⎢⎥∂⎣⎦G G G G即矢量函数0sin()cos()x E e E z t cωω=G G 满足波动方程222210EE c t ∂∇−=∂G G 。

(3) 222002cos()cos()y y E e E t z e E t z cz c ωωωω∂∇=∇+=+∂G G G20()cos()y e E t c cz ωωω=−+G2220022cos()cos()y y E e E t z e E t z t t c cωωωωω∂∂=+=−∂∂GG G + 22220022211()cos()cos()0y y E E e E t z e E t z c t c c c c ωωωωωω∂⎡⎤∇−=−+−−+=⎢⎥∂⎣⎦G G G G即矢量函数0cos()y E e E t z cωω=+G G 满足波动方程222210EE c t ∂∇−=∂G G 。

4.2 在无损耗的线性、各向同性媒质中，电场强度()E r G G的波动方程为22()()0E r E r ωμε∇+=G G G G已知矢量函数j 0()e k r E r E −⋅=G G G G G ，其中0E G和k G 是常矢量。

试证明()E r G G 满足波动方程的条件是22k ωμε=，这里k k =G 。

证：在直角坐标系中x y z r e x e y e z =++G G G G设x x y y z k e k e k e k =++G G G G z则()()x x y y z z x y z x y z k r e k e k e k e x e y e z k x k y k z ⋅=++⋅++=++G G G G G G G G故j()j 00()e e x y z k x k y k z k r E r E E −++−⋅==G G G G G G j()22j 200222j()0222j()22220()e ee ()e x y z x y z x y z k x k y k z k r k x k y k z k x k y k z x y z E r E E E x y z k k k E k E r −++−⋅−++−++∇=∇=∇⎛⎞∂∂∂=++⎜⎟∂∂∂⎝⎠=−−−=−G G G G G G G G G ()G代入方程，得22()()0E r E r ωμε∇+=G G G G 220k E E ωμε−+=G G故22k ωμε=4.3 已知无源的空气中的磁场强度为90.1sin(10π)cos(6π10) A/m y H e x t kz =×G G− 利用波动方程求常数k 的值。

解：在无源的空气中的磁场强度满足波动方程22002(,)(,)0H r t H r t t με∂∇−=∂G G G G而229229(,)[0.1sin(10π)cos(6π10)][(10π)]0.1sin(10π)cos(6π10)]y y H r t e x t kz e k x t ∇=∇×−=−−×−G kz G GG 22922929(,)0.1sin(10π)cos(6π10)(6π10)0.1sin(10π)cos(6π10)]y y H r t e x t kz t te x ∂∂=×−∂∂=−××−G GG Gt kz代入方程22002(,)(,)0H r t H r t tμε∂∇−∂=G G G G，得 {}2292900[(10π)](6π10)0.1sin(10π)cos(6π10)0y e k x t k με−−+××−=Gz 于是有 229200[(10π)](6π10)0k με−−+×=故得k ==4.4 证明：矢量函数0cos()x E e E t x cωω=−G G 满足真空中的无源波动方程222210EE c t ∂∇−=∂G G但不满足麦克斯韦方程。

证：22220002(,)cos()cos()()cos()x x x E r t e E t x e E t x e E t x c x c c cωωωωω∂∇=∇−=−=−−∂G G G G G ωω22220022(,)cos()cos()x x E r t e E t x e E t x t t c c ωωωωω∂∂=−=−∂∂G G G G − 所以22220022211()cos()cos()0x x E E e E t x e E t x c t c c cc ωωωωωω∂⎡⎤∇−=−−−−−=⎢⎥∂⎣⎦G G G G 即矢量函数0cos()x E e E t x c ωω=−G G 满足波动方程222210EE c t ∂∇−=∂G G 。

另一方面，00cos()sin()0E E t x E t x x c c c ωωωωω∂∇⋅=−=−≠∂G而在无源的真空中，应满足麦克斯韦方程为E G0E ∇⋅=G故矢量函数0cos()x E e E t x cωω=−G G 不满足麦克斯韦方程组。

以上结果表明，波动方程的解不一定满足麦克斯韦方程。

4.5 证明：在有电荷密度ρ和电流密度J G的均匀无损耗媒质中，电场强度E G 和磁场强度的波动方程为H G222()E J E t t ρμεμε∂∂∇−=+∇∂∂G G G ，222H H J t με∂∇−=−∇∂×G G G证：在有电荷密度ρ和电流密度J G的均匀无损耗媒质中，麦克斯韦方程组为E H J t ε∂∇×=+∂GG G (1)H E t μ∂∇×=−∂GG (2)0H ∇⋅=G(3) E ρε∇⋅=G (4)对式(1)两边取旋度，得()H J tεE ∂∇×∇×=∇×+∇×∂G G G而2()H H ∇×∇×=∇∇⋅−∇H G G G故2()(H H J tε)E ∂∇∇⋅−∇=∇×+∇×∂G G G G (5)将式(2)和式(3)代入式(5)，得222H H J tμε∂∇−=−∇×∂G G G这就是的波动方程，是二阶非齐次方程。

H G同样，对式(2)两边取旋度，得()E H tμ∂∇×∇×=−∇×∂G G即2()(E E H tμ)∂∇∇⋅−∇=−∇×∂G G G将式(1)和式(4)代入式(6)，得2221E J E t t μεμε∂∂∇−=+∇∂∂ρG G G此即满足的波动方程。

E G4.6 在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用库仑条件0A ∇⋅=G，导出A G 和ϕ所满足的微分方程。

解：将电磁矢量位A G的关系式B A =∇×G G和电磁标量位ϕ的关系式A E t ϕ∂=−∇−∂GG代入麦克斯韦第一方程EH J t ε∂∇×=+∂GG G得1()A A J t t εϕμ⎛⎞∂∂∇×∇×=+−∇−⎜⎟∂∂⎝⎠GG G利用矢量恒等式2()A A ∇×∇×=∇∇⋅−∇A G G G得2()A A A J t t μμεϕ⎛⎞∂∂∇∇⋅−∇=+−∇−⎜⎟∂∂⎝⎠GG G G (1)又由D ρ∇⋅=G得A t ρϕε⎛⎞∂∇⋅−∇−=⎜⎟∂⎝⎠G即2()A t ρϕε∂∇+∇⋅=−∂G (2)按库仑条件，令0A ∇⋅=G，将其代入式(1)和式(2)，得222A A J t t ϕμεμμε∂∂⎛∇−=−+∇⎜⎞⎟∂∂⎝⎠G G G (3)2ρϕε∇=−(4) 式(3)和式(4)就是采用库仑条件时，电磁位函数A G和ϕ所满足的微分方程。

4.7 证明在无源空间（0ρ=、0J =G）中，可以引入矢量位m A G 和标量位m ϕ，定义为m D A =−∇×G G ，m m AH tϕ∂=−∇−∂GG并推导和m A Gm ϕ的微分方程。

证：无源空间的麦克斯韦方程组为D H J t ∂∇×=+∂GG G (1)B E t ∂∇×=−∂G G (2)0B ∇⋅=G(3) 0D ∇⋅=G(4)根据矢量恒等式0A ∇⋅∇×=G 和式(4)，知D G可表示为一个矢量的旋度，故令m D A =−∇×G G(5) 将式(5)代入式(1)，得m ()H A t∂∇×=−∇×∂G G即m 0A H t ⎛⎞∂∇×+=⎜⎟∂⎝⎠G G (6) 根据矢量恒等式0ϕ∇×∇=和式(6)，知mA H t∂+∂G G 可表示为一个标量函数的梯度，故令m m A H tϕ∂+=−∇∂G G即m m AH tϕ∂=−∇−∂GG (7)将式(5)和式(7)代入式(2)，得m m m 1A A t tμϕε⎛⎞∂∂−∇×∇×=−−∇−⎜⎟∂∂⎝⎠GG (8) 而2m m ()m A A A ∇×∇×=∇∇⋅−∇G G G故式(8)变为22mm m 2()A A A tt ϕμεμε∂∂⎛⎞∇∇⋅−∇=−∇−⎜⎟m ∂∂⎝⎠G G G (9) 又将式(7)代入式(3)，得m m 0A t ϕ⎛⎞∂∇⋅−∇−=⎜⎟∂⎝⎠G即2m m ()A tϕ0∂∇+∇⋅=∂G (10)令m m A tϕμε∂∇⋅=−∂G将它代入式(9)和式(10)，即得m A G和m ϕ的微分方程22mm 20A A tμε∂∇−=∂G G 22mm 20tϕϕμε∂∇−=∂解：(1) ()x A t x x c c∇⋅==−==∂∂ ()x ct c t t ϕ∂∂=−=−=∂∂ 故 0000(t ϕμεμε∂−=−=∂ 则 00A tϕμε∂∇⋅=−∂G(2) 0x z yz A A B A e e z y∂∂=∇×=−=∂∂G GG G 00B H μ==G G而 ()x x A xE e e t x t cϕϕ∂∂∂=−∇−=−−−∂∂∂GG t G G()x x e x ct e x∂=−−+=∂G G00D E ε==G G解：(1) 瞬时坡印廷矢量222650cos () W/m z S E H e t kz ω=×=−G G G G(2) 平均坡印廷矢量2π/22av 02650cos ()d 1325 W/m 2πz z S e t kz t e ωωω=−=∫G G G (3) 任一时刻流入如图题4.9所示的平行六面体中的净功率为n 0122d ()26500.25[cos ()cos (0.42)]270.2sin(20.42) Wz z S z z P S e S S e S e t t t ωωω==⎡⎤=−⋅=−⋅−+⋅×⎣⎦=×−−=−−∫G G G G G G v 0.25解：(1) 和的瞬时矢量为E G H Gj 0000(,)Re j sin()e sin()sin() V/m t x x E z t e E k z e E k z t ωω⎡⎤==−⎣⎦G G Gj 0000(,)Re cos()e cos()cos() A/m tH z t e k z e k z t ωω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦G G G则瞬时坡印廷矢量为020020(,)(,)(,)sin()cos()sin()cos())sin(2) W/m z S z t E z t H z t e k z k z t t e k z t ωωω=×=−=−G G G G G故2(0,)0 W/m S t =G20(/8,))W/m zS t e t λω=−G G 20(/4,)0 W/m S t λ=G(2) *2av 1()Re[()()]0 W/m 2S z E z H z =×=G G G4.11 在横截面积为的矩形金属波导中，电磁场的复矢量为a b ×j 0j 00πj sin()e V/mπππj sin()cos()e A πz y z x z a x E e H aa x x H e H e H a a ββωμβ−−=−⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦/m G GG G G式中、0H ω、μ和β都是实常数。