高中数学直线的参数方程优质课教学设计

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2022年《直线的参数方程》优秀教案

第二讲参数方程直线的参数方程〔第一课时〕谷杨华一、教学目标〔一〕核心素养通过这节课学习，了解直线参数方程的推导过程、掌握参数的几何意义，体会参数方程的优越性，在逻辑推理、数学抽象中感受参数方程的特点．〔二〕学习目标1．利用向量，推导直线的参数方程，体会直线的普通方程与参数方程的联系．2．掌握并理解直线参数方程中参数的几何意义．3．能初步利用直线参数方程解决一些几何问题，体会参数方程的优越性．〔三〕学习重点1．直线参数方程的推导．2．直线参数方程中参数的几何意义．3．直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．〔四〕学习难点1．对直线参数方程的几何意义的理解．2．对直线参数方程中参数的几何意义的初步应用．二、教学设计〔一〕课前设计1．预习任务读一读：阅读教材第35页至第36页，填空：过定点M00，0，倾斜角为α的直线的参数方程为，这种形式称为直线参数方程的标准形式．其中参数t的几何意义是：直线上的动点到定点M0的距离等于参数t绝对值，即|M0M|＝|t| 假设_，那么的方向向上；假设______，那么的方向向下；假设______，那么M与M0重合．2．预习自测〔1〕直线的倾斜角等于A．30°B．60°C．－45°D．135°【知识点】直线的参数方程【数学思想】【解题思路】根据直线标准的参数方程可知直线的倾斜角【思路点拨】熟记直线的标准参数方程【答案】B．〔2〕直线必过点A．1，－2 B．－1,2C．－2,1 D．2，－1【知识点】直线的参数方程【数学思想】【解题过程】消去参数得到直线的普通方程为，所以恒过定点1，－2．【思路点拨】消去参数化为普通方程【答案】A．〔3〕．以下可以作为直线2－＋1＝0的标准参数方程的是A BC t为参数【知识点】直线的参数方程【数学思想】【解题过程】由直线的标准参数方程形式易得选C【思路点拨】熟记直线的标准的参数方程形式【答案】C．〔4〕直线的参数方程为t为参数与曲线C：2＝8 交于A，B两点，求弦长|AB| 【知识点】直线的标准参数方程、直线与抛物线的位置关系【数学思想】【解题过程】将直线的参数方程错误!代入2＝8，并整理得3t2－16t－64＝0，t1＋t2＝错误!，t1t2＝－错误!所以|AB|＝|t1－t2|＝错误!＝错误!【思路点拨】充分理解直线标准参数方程中参数的几何意义【答案】错误!二课堂设计1．问题探究探究一结合实例，认识直线参数方程★●活动①温故知新在必修2我们学习了直线及其方程，在平面直角坐标系中，两点或一点和直线的倾斜角确定一条直线，直线的方程形式主要有：1.点斜式：,其中为直线的倾斜角，定点；2.斜截式：，其中为直线的斜率，为直线在轴上的截距；3.两点式：，其中直线经过两点的坐标为4.截距式：，其中分别为直线在轴、轴上的截距5一般式：，其中不同时为【设计意图】简要回忆直线的有关内容，为得到直线的参数方程作铺垫．●活动②利用旧知、推导新概念直线的倾斜角和定点，如何建立直线的参数方程？取直线的一个单位向量由∥,根据向量共线根本定理，存在实数,使，即于是整理得当倾斜角时，即直线的方程：时，也满足上式．因此，经过点，倾斜角为的直线直线的标准参数方程为【设计意图】利用向量的知识，推导得出直线的参数方程，培养学生严谨的思维和逻辑推理能力．探究二探究直线标准参数方程中参数的几何意义★▲●活动①稳固理解，加深认识在上述直线的标准参数方程中，参数是否和圆中参数类似，具有一定的几何意义呢？因为，所以，而，所以，所以参数的几何意义为：等于直线上动点到定点的距离，即：【设计意图】通过对推导过程分析，得出参数几何意义，培养学生解析问题的能力．●活动②升华认识、理解提升当时，，所以直线的单位向量的方向是向上的，于是的可得：假设，那么的方向向上；假设，那么的方向向下；假设，那么M与M0重合．【设计意图加深对参数的认识，对直线参数方程进一步的了解．探究三理论实践，探究直线参数方程的简单应用★▲活动①稳固根底，检查反应例1 在平面直角坐标系中，曲线C：错误!t为参数的普通方程为________．【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】由＝2＋错误!t，且＝1＋错误!t，消去t，得－＝1，即－－1＝0【思路点拨】通过参数方程与普通方程互化求解．【答案】－－1＝0．同类训练求直线2－＋1＝0的参数方程的标准形式，【知识点】直线普通方程化为参数方程．【数学思想】【解题过程】根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为α，那么tan α＝2，in α＝错误!，co α＝错误!，所以直线的参数方程是错误!t为参数．．【思路点拨】通过直线确定斜率和定点，从而得到直线倾斜角α的的值．【答案】错误!t为参数．【设计意图】稳固检查直线参数方程与普通方程互化，熟悉直线的参数方程．例2 直线：错误!t为参数．1求直线的倾斜角；2假设点M－3错误!，0在直线上，求t，并说明t的几何意义．【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】1由于直线：错误!t为参数表示过点M0－错误!，2且斜率为tan 错误!的直线，故直线的倾斜角α＝错误!2由1知，直线的单位方向向量e＝错误!＝错误!∵M0－错误!，2，M－3错误!，0，∴错误!错误!错误!对应的参数t＝－4，几何意义为|错误!错误!在直线上点M0的左下方．【思路点拨】将直线的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t【答案】〔1〕α＝错误!；〔2〕|错误!错误!在直线上点M0的左下方同类训练直线的参数方程t为参数（1）求直线的普通方程，并求倾斜角；（2）假设点在直线上，求t，并说明t的几何意义．【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】〔1〕由消去参数t，得直线的普通方程为错误!－＋3错误!＋1＝0故＝错误!＝tan α，即α＝错误!，因此直线的倾斜角为错误!〔2〕令，解得，所以对应的参数几何意义为|错误!错误!在直线上点M0的右上方．【思路点拨】将直线的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t 【答案】〔1〕倾斜角为错误!；〔2〕几何意义为|错误!错误!在直线上点M0的右上方．【设计意图】稳固检查直线参数方程与普通方程互化、参数的几何意义的理解．●活动②强化提升、灵活应用例3 直线：与抛物线交于两点，求线段的长和点到两点的距离之积．【知识点】直线参数方程的应用．【数学思想】【解题过程】因为直线定点，且的倾斜角为，所以参数方程为代入抛物线的方程，得设两点对应的参数分别为，由根与系数的关系得．所以，由的几何意义得【思路点拨】求出直线的标准参数方程，再利用参数的几何意义．【答案】〔1〕；〔2〕．同类训练直线1过点00，0，倾斜角为α的直线的参数方程为，这种形式称为直线参数方程的标准形式．〔2〕参数t的几何意义是：直线上的动点到定点M0的距离等于参数t绝对值，即|M0M|＝|t| 假设，那么的方向向上；假设，那么的方向向下；假设，那么M与M0重合．重难点归纳〔1〕在直线的参数方程中，都是常数，其中为直线的倾斜角，是直线上一定点的坐标，为参数．〔2〕利用直线参数方程中参数的几何意义解决问题时，必须先将直线化为标准的参数方程形式．〔三〕课后作业根底型自主突破1．直线不经过A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】直线经过点-3,2,倾斜角α=,所以不经过第四象限【思路点拨】转化为普通方程求解．【答案】D．2．直线的参数方程为错误!t为参数，M0－1,2和M，是该直线上的定点和动点，那么|t|的几何意义是A．错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!错误!01,5，倾斜角是错误!的直线的参数方程为_______________．【知识点】直线的参数方程．【解题过程】代入直线的参数方程中可得．【数学思想】【思路点拨】熟记直线的参数方程．【答案】错误!t为参数6．过点,N两点1写出直线MN的参数方程2求的最小值【知识点】直线的参数方程．【数学思想】【解题过程】1因为直线MN过点N的参数方程为:t为参数2将直线MN的参数方程代入曲线,得2-1tcoα23tinα2=6,整理得3-co2α·t2-4coα·t-4=0,设M,N对应的参数分别为t1,t2,那么||·|PN|取得最小值为．【思路点拨】利用直线的参数方程中参数的几何意义求解．【答案】〔1〕t为参数；〔2〕．。

《直线的参数方程》教学设计

《直线的参数方程》教学设计一、教学目标知识与技能：通过分析质点在匀速直线运动中时间与位置的关系，了解直线参数方程，体会参数的意义；通过直线的点斜式方程及向量法推导直线参数方程的标准形式与一般形式，理解标准形式中参数t 的几何意义，会初步利用参数的几何意义解决问题，体会直线参数方程在解决问题中的作用。

过程与方法：通过直线参数方程的推导与应用，培养学生分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想。

情感态度与价值观：通过建立直线参数方程的过程，培养学生数学抽象、数学建模以及逻辑推理的能力。

二、教学重、难点教学重点：建立直线的参数方程。

教学难点：理解参数t 的几何意义及其应用。

三、学情分析学生前面已经学习过参数方程的概念，普通方程与参数方程的互化，体验了参数方程在解决问题中的一些应用。

但是，由于学生刚刚接触参数方程的概念，所以对于直线参数方程中参数的选定还是比较困难的，根据确定直线的几何条件联想到向量进而建立联系也是难点。

四、教学过程复习引入：问题：选取适当参数，把直线方程23y x =+化为参数方程.【师生活动】教师提问，学生回答【设计意图】本问题是教材上一节课2.1中的例题，通过学生的回忆，既节省了时间，又让学生体会到直线参数方程对于大家来说是不陌生的，让学生认识到直线参数方程的形式不是唯一的。

探究一：把直线看作质点的匀速运动曲线，建立直线的参数方程问题：设质点从点00(,)M x y 出发，沿着与x 轴成α角的方向作匀速直线运动，其速率为0v .（1）写出质点在x 轴、y 轴上的速度分量；（2）设(,)M x y 为t 时刻质点所在位置，试用t 表示,x y【师生活动】教师提问，学生思考并回答【设计意图】从物理的角度引出直线的参数方程，选取时间t 为参数，这样可以使学生更深刻且自然的理解参数的意义，若不顾及t 的物理意义，则可以在参数t 与质点位置(,)x y 之间建立一个一一对应的关系。

《2-3 直线的参数方程》教案

选修4-4 2-3直线的参数方程（第二课时）一、教学目标：知识与技能：掌握直线的参数方程。

过程与方法：.通过直线参数方程的应用，培养学生综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会数形结合、转化等数学思想。

情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二重难点：教学重点：对直线的参数方程的考查。

教学难点：直线的参数方程中参数t 的几何意义。

三、教学方法：自主学习与合作交流.四、教学过程（一）复习引入：（1）经过定点00(,)M x y ，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）。

【师生活动】教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数t 的取值范围是什么？ ③参数t 的几何意义是什么？总结如下：①00,x y ，α是常量，,,x y t 是变量； ②t R ∈；③由于||1e =，且0M M te =，得到0M M t =，因此t 表示直线上的动点M 到定点0M 的距离．当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相同时，0t >；当0M M 的方向与数轴（直线）正方向相反时，0t <；当0t =时，点M 与点0M 重合．（2）直线 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）与曲线()y f x =交于12,M M 两点，对应的参数分别为12,t t 。

（1）曲线的弦12M M 的长是多少？（2）线段12M M 的中点M 对应的参数t 的值是多少？12121M M t t =-（）， 1222t t t +=（）【设计意图】复习直线的参数方程，体会参数的几何意义。

（二）基础练习1．直线的倾斜角为________________。

2．已知直线l 1：⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)与直线l 2：2x －4y ＝5相交于点B ，求B 点坐标 ________。

《直线的参数方程》教案

《直线的参数方程》教案（第1课时）一、【教学目标】1、知识与技能：能根据直线的几何条件，选择参数写出直线的参数方程；能比较深刻的理解直线参数方程中参数t的几何意义并初步应用;2、过程与方法：启发引导→讨论探究→归纳概括→简单应用3、情感态度价值观：在探求直线参数方程中注重锻炼学生的发散式思维，在探究活动中培养学生思考问题的严密性和概括能力.二、【教学重点、难点】重点：联系向量知识写出直线的参数方程,并理解参数的几何意义；难点：从直线的几何条件联想到向量；参数t的几何意义及简单应用的探究.三、【教学方法与手段】启发引导→讨论探究→归纳概括→简单应用四、【教学过程】（一）复习引入1、在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？2、根据直线的几何条件，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？3、根据直线的这个几何条件，你认为应当怎样选择参数？（二）任务一：探求直线的参数方程1.我们知道过定点000(,)M x y ，且倾斜角为α（2πα≠）的直线l 可以唯一确定，其普通方程是00tan ()y y x x α-=-.2.其参数方程如何建立呢？引导学生思考：倾斜角可以刻画直线的方向，那么能否换一个量来刻画直线的方向呢？从而引进直线l 的单位方向向量(c o s ,s i n ),[e αααπ=∈.又000(,)M M x x y y =--，0//M M e ，由向量共线定理的坐标表示易知存在实数t R ∈，使得00(,)(cos ,sin ),x x y y t αα--=化简得直线的参数方程为（三）梳理归纳（1）直线的参数方程中的变量和常量；（2）直线参数方程的形式；(3) 参数t 的取值范围是什么?（4) 参数t 的意义是什么? （问而不答，通过探究表让学生自己探究，见附页）{00cos ,(t )sin ,x x t y y t αα=+=+为参数随堂检测：（四）探究参数的几何意义及简单应用梳理归纳：参数t 的意义主要体现在2个方面：①t 的大小（即绝对值）等于0M M 的长度（即0M 与M 的距离）； ②t 的正负决定了0M M 的方向.（五）、任务二：例题讲解通过例题数学生对直线参数方程以及参数t 的几何意义理解更清楚，如下例。

直线参数方程课时优秀教案

直线参数方程（第一课时）学案目标点击：1．掌握直线参数方程地标准形式和一般形式，理解参数地几何意义； 2．熟悉直线地参数方程与普通方程之间地互化；基础知识点击：1、直线参数方程地标准式(1)过点P 0(00,y x )，倾斜角为α地直线l 地参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）t 地几何意义：t 表示有向线段0p p u u u u r 地数量，P(y x ,) 为直线上任意一点.则0p p u u u u r=t ∣0p p u u u u r∣=∣t ∣(2)若P 1、P 2是直线上两点，所对应地参数分别为t 1、t 2，则1p p u u u r =t 2－t 1∣1p p u u u r∣=∣t 2－t 1∣(3) 若P 1、P 2、P 3是直线上地点，所对应地参数分别为t 1、t 2、t 3则P 1P 2中点P 3地参数为t 3＝221tt +,∣P 0P 3∣=221t t +(4)若P 0为P 1P 2地中点，则t 1＋t 2＝0，t 1·t 2<0 2、直线参数方程地一般式过点P 0(00,y x )，斜率为abk =地直线地参数方程是 ⎩⎨⎧+=+=bty y atx x 00 （t 为参数）一、直线地参数方程问题1：（直线由点和方向确定）求经过点P 0(00,y x )，倾斜角为α地直线l设点P(y x ,)是直线l 上任意一点，直线L 地正方向）过点P 作y 轴地平行线，过P 0轴地平行线，两条直线相交于Q 点.1)当P P 0与直线l 同方向或P 0和P 重合时，P 0P ＝|P 0P | 则P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 02)当P P 0与直线l 反方向时，P 0P 、P 0Q 、Q P P 0P ＝－|P 0P | P 0Q ＝P 0Pcos α Q P ＝P 0Psin α 设P 0P ＝t ，t 为参数，又∵P 0Q ＝0x x -， 0x x -＝ Q P ＝0y y -∴0y y -=t sin α即⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x 求地直线l 地参数方程∵P 0P ＝t ，t 为参数，t 知点P 0(00,y x )到点 P(y x ,)P在点P 0地上方；2.当t ＝0时，点P 与点P 0重合；3.当t<0时，点P 在点P 0地下方；x l特别地，若直线l 地倾斜角α＝0时，直线l⎧+=0tx x ① 当t>0时，点P 在点P 0地右侧； ② 当t ＝0时，点P 与点P 0重合； ③ 当t<0时，点P 在点P 0地左侧；问题2：直线l 上地点与对应地参数t 是不是一对应关系？我们把直线l 看作是实数轴，以直线l 向上地方向为正方向，以定点P 0原坐标系地单位长为单位长，这样参数t 数轴上地点P 建立了一一对应关系. 问题3：P 1、P 2为直线l 则P 1P 2＝？∣P 1P 2∣=？ P 1P 2＝P 1P 0＋P 0P 2＝－t ∣问题4：若P 0为直线l 上两点P 1、P 2地中点，1、t 2 ，则t 1、t 2之间有何关系？根据直线l P 1P ＝t 1，P 2P ＝t 2，∵P 0为直线l 上两点P 1、P 2∴|P 1P |＝|P 2P | P 1P ＝－P 2P ，即t 1＝－t 2, t 1t 2一般地，若P 1、P 2、P 3是直线l 别为t 1、t 2、t 3，P 3为P 1、P 2地中点则t 3＝221t t +（∵P 1P 3＝－P 2P 3, 根据直线l 参数方程t ∴P 1P 3= t 3－t 1,P 2P 3=t 3－t 2,∴t 3－t 1=－(t 3－t 2,) ）基础知识点拨：1、参数方程与普通方程地互化例1：化直线1l 地普通方程13-+y x ＝0为参数方程，并说明参数地几何意义,说明∣t ∣地几何意义.解：令y=0,得x ＝1，∴直线1l 过定点(1,0). k ＝－31=－33设倾斜角为α，tg α=－33,α=π65, cos α =－23, sin α=211l 地参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=t y t x 21231 （t 为参数） t 是直线1l 上定点M 0（1，0）到t 对应地点M(y x ,)地有向线段M M 0地数量.由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-(2) 21(1) 231t y t x (1)、(2)两式平方相加,得222)1(t y x =+-∣t ∣＝22)1(y x +-∣t ∣是定点M 0（1，0）到t 对应地点M(y x ,)地有向线段MM 0地长.点拨：求直线地参数方程先确定定点，再求倾斜角,注意参数地几何意义.例2：化直线2l 地参数方程⎩⎨⎧+=+-= t313y tx （t 为参数）为普通方程，并求倾斜角，x x说明∣t ∣地几何意义.解：原方程组变形为⎩⎨⎧=-=+ (2) t31(1) 3y t x (1)代入(2)消去参数t ，得)3(31+=-x y (点斜式)可见k=3, tg α=3,倾斜角α=3π普通方程为 01333=++-y x(1)、(2)两式平方相加,得2224)1()3(t y x =-++∴∣t ∣=2)1()3(22-++y x∣t ∣是定点M 0（3，1）到t 对应地点M(y x ,)地有向线段M M 0地长地一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t 地几何意义是不同地，直线1l 地参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=ty t x 21231即⎪⎩⎪⎨⎧=+=ππ65sin 65cos 1t y t x 是直线方程地标准形式，(-23)2+(21)2=1, t 地几何意义是有向线段M M 0地数量.直线2l 地参数方程为⎩⎨⎧+=+-= t 313y tx 是非标准地形式，12＋(3)2=4≠1，此时t 地几何意义是有向线段M M 0地数量地一半.你会区分直线参数方程地标准形式？例3：已知直线l 过点M 0（1，3），倾斜角为3π，判断方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211（t 为参数）和方程⎩⎨⎧+=+= t 331y tx （t 为参数）是否为直线l 地参数方程？如果是直线l 地参数方程，指出方程中地参数t 是否具有标准形式中参数t 地几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得到直线l 地地普通方程 0333=+--y x ，所以，以上两个方程都是直线l 地参数方程，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 233211 cos α =21, sin α=23，是标准形式，参数t 是有向线段M M 0地数量.，而方程⎩⎨⎧+=+= t331y t x 是非标准形式，参数t 不具有上述地几何意义.点拨：直线地参数方程不唯一，对于给定地参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 地几何意义解决有关问题.问题5：直线地参数方程⎩⎨⎧+=+= t 331y tx 能否化为标准形式？是可以地，只需作参数t 地代换.(构造勾股数，实现标准化)⎩⎨⎧+=+= t 331yt x ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=))3(1()3(13 3))3(1()3(11122222222t y t x 令t '=t 22)3(1+ 得到直线l参数方程地标准形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'+='+=t 233211y t x t '地几何意义是有向线段M M 0地数量.2、直线非标准参数方程地标准化一般地，对于倾斜角为α、过点M 0(00,y x )直线l 参数方程地一般式为，.⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00（t 为参数），斜率为a b tg k ==α (1) 当22b a +＝1时，则t 地几何意义是有向线段M M 0地数量. (2)当22b a +≠1时，则t 不具有上述地几何意义.⎩⎨⎧+=+=bt y y at x x 00可化为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=)()(2222022220t b a b a b y y t b a b a a x x 令t '=t b a 22+ 则可得到标准式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++='++=t b a by y t b a a x x 220220 t '地几何意义是有向线段M M 0地数量. 例4：写出经过点M 0（－2，3），倾斜角为43π地直线l 地标准参数方程，并且求出直线l 上与点M 0相距为2地点地坐标.解：直线l 地标准参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=ππ43sin 343cos 2t y t x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=t y t x 223222（t 为参数）（1）设直线l 上与已知点M 0相距为2地点为M 点，且M 点对应地参数为t,则|M 0M |＝|t| =2, ∴t=±2 将t 地值代入(1)式当t=2时，M 点在 M 0点地上方，其坐标为（－2－2，3＋2）；当t=-2时，M 点在 M 0点地下方，其坐标为（－2＋2，3－2）.点拨：若使用直线地普通方程利用两点间地距离公式求M 点地坐标较麻烦，而使用直线地参数方程，充分利用参数t 地几何意义求M 点地坐标较容易.例5：直线⎩⎨⎧-=+=οο20cos 420sin 3t y t x （t 为参数）地倾斜角 . 解法1：消参数t,地34--x y ＝－ctg20°=tg110°解法2：化为标准形式：⎩⎨⎧-+=-+=οο110sin )(4110cos )(3t y t t x （－t 为参数）∴此直线地倾斜角为110°。

直线的参数方程教案

直线的参数方程教案教案标题：直线的参数方程教案目标：1. 理解直线的参数方程的定义和概念；2. 掌握求解直线的参数方程的方法；3. 能够应用直线的参数方程解决实际问题。

教学重点：1. 直线的参数方程的定义和概念；2. 求解直线的参数方程的方法。

教学难点：1. 运用直线的参数方程解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：教学投影仪、白板、黑板、彩色粉笔、教案、课件；2. 学生准备：课本、笔记本。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线的概念，复习直线的一般方程和斜率截距方程。

二、知识讲解（15分钟）1. 介绍直线的参数方程的概念和定义；2. 讲解直线的参数方程的一般形式和求解方法；3. 通过示例演示如何将直线的一般方程或斜率截距方程转化为参数方程。

三、示范演练（15分钟）1. 给出一些直线的一般方程或斜率截距方程，要求学生转化为参数方程；2. 学生跟随教师的指导进行演练。

四、拓展应用（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用直线的参数方程解决；2. 学生独立或小组合作完成拓展应用题。

五、讲评与总结（10分钟）1. 教师对学生的演练和拓展应用进行讲评；2. 总结直线的参数方程的求解方法和应用。

六、作业布置（5分钟）1. 布置课后作业：完成课后习题中与直线的参数方程相关的题目。

教学反思：本节课通过引入直线的概念，再结合直线的一般方程和斜率截距方程，引出了直线的参数方程的概念和定义。

通过示例演示和学生的跟随指导进行演练，加深了学生对直线的参数方程求解方法的理解和掌握。

通过拓展应用，培养了学生运用直线的参数方程解决实际问题的能力。

在讲评与总结环节，对学生的答案进行了讲评，巩固了学生的学习成果。

最后，布置了课后作业，巩固学生的学习效果。

整节课教学内容紧凑，学生参与度高，达到了预期的教学目标。

高中数学直线参数方程教案

高中数学直线参数方程教案
目标：学习如何用参数方程表示直线
一、直线方程的一般形式
在平面直角坐标系中，一条直线可以用一般形式的方程表示为：
Ax + By + C = 0
其中A、B、C为常数，A和B不同时为0。

二、直线的参数方程
一个方程组可以用参数形式表示为：
x = x0 + at
y = y0 + bt
其中x0、y0分别是直线上的一个点的坐标，a、b为实数。

三、如何求直线的参数方程
1.已知直线上的两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)，可以先求出直线的斜率：
m = (y2 - y1) / (x2 - x1)
然后，根据直线的斜率和一个已知点的坐标，可以得出直线的参数方程。

2.已知直线的一般形式方程Ax + By + C = 0，可以先求出一个点P(x0, y0)：
x0 = -C / A
y0 = 0
然后，根据这个点和直线的斜率，可以得出直线的参数方程。

四、练习题
1.已知直线L过点P(1, 2)和Q(-2, 5)，求直线L的参数方程。

2.已知直线L的一般形式方程2x - 3y + 6 = 0，求直线L的参数方程。

五、思考题
1.直线的参数方程和一般形式方程有何区别？
2.如果已知直线的参数方程x = 2t - 1，y = 3t + 4，如何表示这条直线的斜率？
六、作业
1.完成练习题。

2.思考题中的问题，并写下自己的回答。

本节课重点：学习如何用参数方程表示直线，以及如何根据已知条件求出直线的参数方程。

直线的参数方程课时教案(第一课时)

课时教案一、课题直线的参数方程（第一课时，共两课时）二、教学目的1.了解直线参数方程的条件以及参数的几何性质2.能根据直线的几何条件，写出直线的参数方程3.通过观察、探索、发现的过程，发展学生数学核心素养的“知识理解”、“知识迁移”、“知识创新”三级目标。

三、课型与教法新授课引导—发现模式四、教学重点直线参数方程的构建五、教学难点从动点M点的坐标变成直线l的参数方程的转化、t的几何意义、证明直线的参数方程、辨别是否是直线的标准参数方程六、教学过程探究一建立已知直线的参数方程1.复习引入（1）若点是直线l上的两相异点，则直线l的方向向量为，倾斜角为时，直线单位方向向量为；（2）已知两个向量),则共线的充要条件是；（3）如果直线l过定点，且倾斜角为，则直线l的方程为。

2. 讲授新课问题1 如图1，位于原点的机器人以单位速度沿单位方向向量行走时间t到达点M，求M点的坐标。

借助前面准备的知识由三角函数的定义不难得到，写成方程即。

问题2 如图2，如果初始位置不在原点，而在点，其他条件不变，求点M的坐标。

借助前面问题1和坐标的定义，不难得到，写成方程即。

问题3一般地，设直线l过点，且倾斜角为，点为其上任意一点，求M点的坐标。

可以提示学生引入参数t，则学生可类比得到（t为参数），此即为过点且倾斜角为的直线l的参数方程。

问题4 你能写出具体推导过程吗？指导学生利用向量法证明，同时指导学生借助点斜式方程进行证明。

探究二直线参数方程中t的几何意义问题5直线的参数方程（t为参数）中哪些是变量？哪些是常量？很容易由问题1,2,3得出是变量，是常量。

问题6 参数的几何意义是什么？为什么？结合参数方程的推导过程，可以引导学生从，且，得到，也可由。

由此可知|t|表示直线上的动点到定点的距离，即为参数的几何意义。

问题7参数t的取值范围是什么？t的正负与点的位置之间有什么关系？由中的正负可确定和的大小，从而确定的正负与点位置之间的关系，再利用图3可知：当时，点在点的上方；当时，点在点的下方；当时，点与点重合。

直线的参数方程教案

直线的参数方程教案直线的参数方程教案一、教学目标1. 知识与技能（1）掌握直线的参数方程的概念；（2）掌握直线的一般方程与参数方程的互相转化方法；（3）能够根据直线的参数方程绘制直线的图像。

2. 过程与方法（1）引导学生通过观察、实验等方式发现直线的参数方程的特点；（2）通过讲解和举例引导学生理解直线的参数方程的定义及其性质；（3）通过练习题巩固学生对直线的参数方程的掌握程度；（4）通过绘制直线的图像帮助学生加深对直线的参数方程的理解。

3. 情感、态度和价值观培养学生观察、发现、分析和解决问题的能力，培养学生的数学思维能力和创新能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点掌握直线的参数方程的概念和性质，掌握直线的一般方程与参数方程的互相转化方法。

2. 教学难点能够根据直线的参数方程绘制直线的图像。

三、教学过程1. 导入新课通过展示几何平面坐标系上的一条直线图像，引导学生观察，思考直线的方程与参数方程之间的关系，并提问学生：你对直线的参数方程有什么了解？2. 探究活动（1）教师用实物或几何软件展示一条直线和坐标系，并选取直线上两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)。

（2）教师引导学生观察并发现直线上每个点都可以由参数t确定，并写出该点的坐标为(x, y)，并尝试找出x和y与t之间的关系。

（3）学生根据已知的两个点的坐标、点A和点B的参数t值，写出点A和点B的参数方程。

（4）通过实际计算验证参数方程是否正确。

3. 理论总结通过探究活动，引导学生总结直线的参数方程的定义和性质，并帮助学生理解直线的参数方程与一般方程的转化方法。

4. 拓展（1）教师提问：已知直线的参数方程x = 2 + 3t，y = -1 + t ，如何将其转化为一般方程？（2）学生尝试将参数方程转化为一般方程，并进行实际计算和验证。

5. 练习巩固（1）教师出示几道直线的参数方程的题目，要求学生逐步转化为一般方程，并进行计算验证。

（2）学生独立完成练习题，并核对答案。

直线的参数方程教案(新的)优秀教案

课题：直线的参数方程＜第一课时＞课型：新授课教学目的要求：1、知识与技能：掌握直线的参数方程，明确参数t的几何意义会灵活应用。

2、过程与方法：通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合等数学思想3、情感态度与价值：通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度教学重点：分析直线的几何条件，选择适当的参数写出直线的参数方程教学难点：从直线的几何条件联系到向量法，并选择“有向线段的数量”为参数。

关键：参数的选择课时进度：第一课时教学方法:先学后教，当堂训练教具：多媒体课件步骤及时间分配内容备注教学构想教学流程阶段教师活动学生活动教学素材达成目标导入出示学习目标提问：我们学过经过定点,倾斜角为的直线的普通方程，那么怎样建立直线的参数方程呢？学习目标1．怎样选择参数t，建立直线的参数方程？2.直线的方向向量与MM有怎样的关系？3.直线的参数方程是什么？4.参数t的几何意义是什么？5.参数t的几何意义的应用.1名学生回答学生明确学习目标阅读教材完成【自学指导1】导学案教材导学案教材导学案通过回忆所学知识，为学生推导直线的参数方程做好准备让学生明确学习任务把新知识化成小问题逐一突破教学流程探究新知当堂训练例题解读1.当点M在直线上运动时，根据直线的几何条件，你认为应当怎样选择参数？2.你能写出直线的参数方程吗？板书1. 直线的参数方程教师提出如下问题让学生加强认识：①直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？②参数的取值范围是什么？③参数的几何意义是什么？板书2 t 的几何意义当堂训练例题解读(1)已知直线与抛物线交于A,B两点，(1)判断点)2,1(M是否在直线l上，倾斜角为多少？(2)写出直线l的参数方程（3）线段AB的长度(4)点到A,B两点的距离之积通过例题我们得到哪些结论？板书3 t的几何意义的应用思考，讨论，研究2名同学回答针对性训练11名同学回答多名同学回答阅读教材完成【自学指导2】并总结参数的几何意义针对性训练21名同学回答学生练习小组合作相互交流根据学生做题情况可采取兵教兵环节学生通过做题小组合作讨论总结出结论2名同学回答导学案导学案导学案教材导学案综合运用所学知识，获取直线的方向向量，把向量坐标化，得到直线的参数方程，培养学生探索精神，体会数形结合思想．通过对点M的拖拽，体会参数的几何意义通过本题训练，使学生进一步体会直线的参数方程，并能利用参数解决有关问题，培养学生从分析问题和解决问题能力以及动手能力．通过特殊到一般，及时让学生总结有关结论，为进一步应用打下基础，培养归纳、概括能力．使学生对本节课所学知识有一个系统全面的认识。

《直线的参数方程》教学案3

《直线的参数方程》教学案3教学目标1. 了解直线参数方程的条件及参数的意义.2. 能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义.3. 通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识.教学重点直线参数方程的定义及方法教学难点选择适当的参数写出曲线的参数方程.教学用具PPT 课件多媒体教学过程直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α(α≠π2)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M →|.课堂互动1．若直线l 的倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？【提示】参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0.(t 为参数)2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？【提示】过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上； ②当t ＜0时，M 0M →的方向向下；例题讲解已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)若点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．【思路探究】将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .【自主解答】 (1)由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量e ＝(cos π6，sin π6)＝(32，12)． ∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4(32，12)＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．规律方法1．一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (a 、b 为常数，t 为参数)．变式训练设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6.(1)写出直线l 的参数方程；(2)设此直线与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.【解】 (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 56π＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 56π＝3＋t 2.(t 为参数)(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4(－3－32t )2＋(3＋12t )2－16＝0. 即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0.由t 的几何意义，知 |PA |·|PB |＝|t 1·t 2|，故|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.课堂作业1．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 60°，y ＝3＋t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A ．30°B ．60°C ．－45° D．135°【解析】由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，故选B. 【答案】 B2．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(2，－1)【解析】直线表示过点(1，－2)的直线．【答案】 A3．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22t y ＝2＋22t (t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1C.22 D ．－22【解析】消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0， ∴直线l 的斜率k ＝－1. 【答案】 B4．(2013·濮阳模拟)若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t(t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.【解析】将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直． ∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k.依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×(－32)＝－1，∴k ＝－6.【答案】－6课后作业(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列可以作为直线2x －y ＋1＝0的参数方程的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t ，y ＝3＋t (t 为参数)B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t ，y ＝5－2t (t 为参数)C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－t ，y ＝1－2t (t 为参数)D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋255t ，y ＝5＋55t (t 为参数)【解析】题目所给的直线的斜率为2，选项A 中直线斜率为1，选项D 中直线斜率为12，所以可排除选项A 、D.而选项B 中直线的普通方程为2x －y ＋3＝0，故选C.【答案】 C2．(2013·许昌模拟)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t y ＝2＋t(t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．直线、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．圆、直线【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，即x 2＋y 2＝x ，即(x －12)2＋y 2＝14，∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－ty ＝2＋t (t 为参数)消参得：x ＋y ＝1，表示直线．【答案】 D3．原点到直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋4t y ＝－32＋3t (t 为参数)的距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】消去t ，得3x －4y －15＝0， ∴原点到直线3x －4y －15＝0的距离 d ＝|3×0－4×0－15|32＋－42＝3. 【答案】 C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12ty ＝－33＋32t ，(t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)【解析】将x ＝1＋t 2，y ＝－33＋32t 代入圆方程，得(1＋t 2)2＋(－33＋32t )2＝16，∴t 2－8t ＋12＝0，则t 1＝2，t 2＝6，因此AB 的中点M 对应参数t ＝t 1＋t 22＝4，∴x ＝1＋12×4＝3，y ＝－33＋32×4＝－3，故AB 中点M 的坐标为(3，－3)．【答案】 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2013·湖南高考)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a 消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 【答案】 36．(2012·广东高考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数，0≤θ≤π2)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t (t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】曲线C 1和C 2的普通方程分别为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5x －y ＝1(0≤x ≤5，0≤y ≤5)①②联立①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(2,1)．【答案】 (2,1)三、解答题(每小题10分，共30分)7．化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋ty ＝1＋3t，(t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义．【解】由⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0.故k ＝3＝tan α，即α＝π3.因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎨⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t .得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2，∴|t |＝x ＋32＋y －122.故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3,1)的向量M 0M →的模的一半．8．已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t ，(t 为参数)求直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长．【解】由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.∴直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋1，y ＝22t .(t 为参数)化为普通方程为x －y －1＝0. 曲线C 的圆心(2,0)到直线l 的距离为12＝22，所以直线l 与曲线C 相交所成的弦的弦长为24－12＝14. 9．(2013·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2tan 2θ，y ＝2tan θ(θ为参数)．试求直线l 和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】因为直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝2t (t 为参数)，由x ＝t ＋1，得t ＝x －1，代入y ＝2t ，得到直线l 的普通方程为2x －y －2＝0. 同理得到曲线C 的普通方程为y 2＝2x .联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y 2＝2x ，解得公共点的坐标为(2,2)，(12，－1)．教后反思。

教案直线的参数方程

课题：直线的参数方程（1）教学设计教学目标:(一）知识目标1．了解直线参数方程的建立过程，会与普通方程进行互化；2. 初步掌握运用参数方程解决问题，理解其中参数t 的几何意义. (二)能力目标1.通过思考引入，让学生感受学习直线参数方程的必要性；2.通过学习直线的参数方程探究直线与圆锥曲线的位置关系，培养学生数形结合以及运算求解能力. (三）情感目标1.培养学生的探究,研讨,综合自学应用能力；2.培养学生分析问题，解决问题的能力. 教学重点:1.联系数轴、向量积等知识；2.求出直线的参数方程. 教学难点:通过向量法，建立参数t 与点在直角坐标系中的坐标y x ,之间的联系. 教学过程：一、学前准备(1)若由a b →→与共线，则存在实数λ，使得 . (2)设e →为a →方向上的，则a →=︱a →︱e →.(3)已知=AB y x B y x A 则),,(),,(2211.==y x ),( . (4)经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的普通方程为 .(5)直线0=++C By Ax 的斜率=k ，倾斜角α与斜率k 的关系为 . 二、新课讲授探究新知（预习教材P35～P36，找出疑惑之处）1、选择怎样的参数，才能使直线上任一点M 的坐标,x y 与点0M 的坐标00,x y 和倾斜角α 联系起来呢？由于倾斜角可以与方向联系，M 与0M 可以用距离或线段0M M 数量的大小联系，这种“方向”和“有向线段数量大小”启发我们想到利用向量工具建立直线的参数方程. 如图，在直线上任取一点(,)M x y ，则0MM = ，而直线l 的单位方向向量e →=（，）因为M 0//e，所以存在实数t R ∈，使得0MM = ，即有()()00,cos ,sin x x y y t αα--=，因此，经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα当堂训练（1）经过点)5,1(0M ,倾斜角为3π的直线l 的参数方程为 . （2）直线)(20cos 20sin 3为参数t s t y t x ⎝⎛=+=︒︒的倾斜角是( )︒20.A ︒70.B ︒110.C ︒160.D2、直线l 的参数方程的几种形式直线的参数方程形式不是唯一的，令ααsin ,cos ==b a ,则直线参数方程的标准形式可以是)1,0,(22200=+≥⎩⎨⎧+=+=b a b t bty y atx x 为参数直线的参数方程的一般式可以写成)(00为参数t dt y y ctx x ⎩⎨⎧+=+=，这里R d c ∈,,其中122=+d c 时，t有明确的几何意义，当122≠+d c 时，t 没有明确的几何意义. 直线的参数方程的一般式化为直线的参数方程的标准式的方法：),,0,,0()()(2222222222222222022220b dc da d c c t t d c db dcd a d c c t t d c d t d c d c d y y t d c d c c x x =+-=+-'=⋅+-≤=+=+'=⋅+≥⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅+++=⋅+++=时，令，时，令其中，3、直线的参数方程中参数的几何意义x参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0t =.由于α为直线的倾斜角,且),0[πα∈，α是第二象限角，0sin ≥α.所以e的方向总是向上的，当M M 0与e (直线的单位方向向量)同向时，0>t ，当M M 0与e反向时，0<t ，当M 与M 0重合时，0=t .4、用直线l 的参数方程求弦长和弦的中点坐标的方法①已知直线l 过),(00y x M ，倾斜角为α，l 与圆锥曲线相交于B A ,两点，则求弦长AB 的方法如下：将直线l 的参数方程)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα代入圆锥曲线的方程，消去y x ,得到关于t 的一元二次方程，由判别式∆和韦达定理得到21t t +，21t t 的值，代入弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙. ②弦的中点坐标对应的参数221t t t +=，先计算221tt t +=，再把t 代入直线l 的参数方程，即得到弦中点的坐标.三、知识应用例．已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A 、B 两点，求线段AB 的长和点(1,2)M -到A ，B 两点的距离之积.四、课堂检测直线)(,2333,211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=和圆1622=+y x 交于B A ,两点，则B A ,的中点坐标为（）)3,3.(-A )3,3.(--B )3,3.(-C )3,3.(-D五、课堂小结（1）经过点00(,)M x y ，倾斜角为()2παα≠的直线的参数方程的标准形式为：)(s i n c o s 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα，其中参数t 具有明确的意义. （2）直线的标准方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲线相交时的弦长或距离，它可以避免求交点时解方程组的繁琐运算，但是应用直线的参数方程时，应先判别是否是标准形式，再考虑t 的几何意义.(3)弦长公式21221214)(t t t t t t AB -+=-=，定点M 到两交点的距离之积为21t t MB MA =∙.弦的中点坐标对应的参数221t t t +=. 六、高考衔接(2016江苏)在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为)(23211为参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=，椭圆C 的参数方程为)(sin 2cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==y x .设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.七、作业布置课本p39 习题2.3第3题八、课后反思。

直线的参数方程教学设计[全文5篇]

直线的参数方程教学设计[全文5篇]第一篇：直线的参数方程教学设计《直线的参数方程》教学设计教学目标：1.联系数轴、向量等知识，推导出直线的参数方程，并进行简单应用，体会直线参数方程在解决问题中的作用．2.通过直线参数方程的推导与应用，培养综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力，进一步体会运动与变化、数形结合、转化、类比等数学思想．3.通过建立直线参数方程的过程，激发求知欲，培养积极探索、勇于钻研的科学精神、严谨的科学态度．教学重点：联系数轴、向量等知识，写出直线的参数方程．教学难点：通过向量法，建立参数（数轴上的点坐标）与点在直角坐标系中的坐标之间的联系．教学方式：启发、探究、交流与讨论.教学手段：多媒体课件．教学过程：一、回忆旧知，做好铺垫教师提出问题：1.在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么？2.根据直线的几何条件，你认为应当怎样选择参数，如何建立直线的参数方程？这些问题先由学生思考，回答，教师补充完善。

【设计意图】引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线的参数方程做好准备．二、直线参数方程探究1．问题：数轴是怎样建立的？数轴上点的坐标的几何意义是什么？教师提问后，让学生思考并回答问题．【设计意图】回顾数轴概念，通过向量共线定理理解数轴上的数的几何意义，为选择参数做准备．2.问题：（1）类比数轴概念，平面直角坐标系中的任意一条直线能否定义成数轴？（2）把直线当成数轴后，直线上任意一点就有两种坐标．怎样选取单位长度和方向才有利于建立这两种坐标之间的关系？【设计意图】使学生明确平面直角坐标系中的任意直线都可以在规定了原点、单位长度、正方向后成为数轴，为建立直线参数方程作准备．3.问题（1）：当点M在直线L上运动时，点M满足怎样的几何条件？【设计意图】明确参数．问题（2）：如何确定直线L的单位方向向量？教师启发学生：如果所有单位向量起点相同，那么终点的集合就是一个圆．为了研究问题方便，可以把起点放在原点，这样所有单位向量的终点的集合就是一个单位圆．因此在单位圆中来确定直线的单位方向向量．【设计意图】综合运用所学知识，获取直线的方向向量，培养学生探索精神，体会数形结合思想．4.问题：如何建立直线的参数方程?（得出直线的参数方程）【设计意图】把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义．三、例题讲解例1.（题略）先由学生思考并动手解决，教师适时点拨、引导，鼓励一题多解。

直线的参数方程教案

直线的参数方程教案一、教学目标1.理解直线的参数方程的概念和基本思想；2.掌握直线的参数方程的求解方法；3.能够应用直线的参数方程解决相关问题。

二、教学内容1.直线的参数方程的定义和思想；2.直线的参数方程的求解方法；3.直线参数方程的应用。

三、教学重难点1.直线参数方程的概念和思想；2.直线参数方程的求解方法。

四、教学过程1. 引入教师可以通过一个生活中的例子引入直线的参数方程，如一辆汽车在直线道路上的行驶。

引导学生思考，如何用一个参数来描述汽车在直线上的位置。

2. 知识讲解2.1 直线的参数方程的定义直线的参数方程是指用参数的形式来表示直线上的点的坐标。

一般形式为：x = x0 + t * ay = y0 + t * b其中，(x0, y0)为直线上的一点，(a, b)为直线的方向向量，t为参数。

2.2 直线参数方程的求解方法求解直线的参数方程，可以根据直线上的已知点和方向向量来确定参数方程的具体形式。

步骤如下：1.确定直线上的一点(x0, y0)和方向向量(a, b)；2.应用参数方程的定义，写出直线的参数方程。

3. 实例演练教师可以选择一些具体实例，引导学生运用直线的参数方程解决问题。

例如，求直线L上距离(1, 2)最近的点。

解：已知直线L的参数方程为：x = 3 + ty = -1 + t点(1, 2)到直线L上的任意点(3 + t, -1 + t)的距离可以表示为：d = sqrt((1 - 3 - t)^2 + (2 + 1 - t)^2)为了求d最小，可以对d求导，令导数为零。

通过求导和解方程，可得t = 1。

代入参数方程，得(4, 0)。

故直线L上距离(1, 2)最近的点为(4, 0)。

4. 拓展应用教师可以引导学生思考直线参数方程在其他几何问题中的应用，如求两直线的交点、求直线与平面的交点等。

五、教学本节课我们学习了直线的参数方程的概念、基本思想和求解方法。

通过实例演练，我们掌握了如何应用直线的参数方程解决相关问题。

直线参数方程教案

直线参数方程教案一、教学目标1. 理解直线参数方程的概念及意义。

2. 学会将直线的标准参数方程和一般参数方程进行转换。

3. 能够运用直线参数方程解决实际问题。

二、教学内容1. 直线参数方程的定义及表示方法。

2. 直线参数方程与直角坐标方程的互化。

3. 直线参数方程的应用。

三、教学重点与难点1. 重点：直线参数方程的概念、表示方法及应用。

2. 难点：直线参数方程与直角坐标方程的互化。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解直线参数方程的概念、表示方法及应用。

2. 利用数形结合法，引导学生直观地理解直线参数方程与直角坐标方程的关系。

3. 运用实例分析法，让学生学会运用直线参数方程解决实际问题。

五、教学准备1. 投影仪或黑板。

2. 直线参数方程的相关教案、PPT等教学资源。

3. 练习题及答案。

教案一、导入（5分钟）1. 复习直线的直角坐标方程。

2. 提问：如何用参数表示直线上的一点？二、新课讲解（20分钟）1. 讲解直线参数方程的概念。

参数方程：对于一条直线，设其上任意一点P的坐标为(x, y)，参数为t，则直线上的点P可以表示为(x=x0+at, y=y0+bt)，其中a、b、t为常数。

2. 讲解直线参数方程的表示方法。

标准参数方程：对于直线y=kx+b，其标准参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，其中a=1/k，b=y0-bx0。

一般参数方程：对于直线ax++c=0，其一般参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，其中a、b、t为常数，且满足at+by0+c=0。

3. 讲解直线参数方程与直角坐标方程的互化。

将直线参数方程中的t表示为x或y的函数，代入直角坐标方程中，即可得到直线参数方程与直角坐标方程的互化关系。

三、实例分析（10分钟）1. 分析直线参数方程在实际问题中的应用。

举例：一辆火车以每小时60公里的速度沿着直线轨道行驶，从原点出发，经过3小时后，离原点的距离为180公里，求火车的行驶路线方程。

“直线的参数方程”(第一课时)教学设计

ANLI POUXI案例剖析117数学学习与研究2019.17“直线的参数方程”（第一课时）教学设计◎王进（山东省聊城市第三中学，山东聊城252000）一、教材分析本课是普通高中课程标准教科书数学（选修4－4）人教A 版第二讲第三节第一课时．参数方程相对普通方程，是曲线的另一种表达形式，它弥补了普通方程表示曲线方程的不足，是“数”与“形”的又一次完美结合．本节是在认识了曲线的参数方程的基础上，进一步探究直线的参数方程．本节课所学内容是前面学习内容的延续，符合数学逻辑，所涉及的研究方法可类比之前研究圆和圆锥曲线的参数方程的方法，具有延续性．从本节课的内容特点分析，学习过程中历经发现问题、提出问题，在讨论和比较中充分体会直线的参数方程在解决直线上两点间距离时的优越性，体会直线的参数方程的应用价值．通过上述过程，学生完善了知识结构，体会到直线的参数方程式参数方程内容的延续、方法的再现，并从中培养学生的探究习惯和使用类比的方法来研究问题，提高应用意识．二、学情分析在必修2已学习了直线的5种方程和圆的两种方程，在选修2－1也已学习了圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程，这些都是在直角坐标系中建立的普通方程；在本册第二讲的前两节刚刚学习圆锥曲线的参数方程，会普通方程和参数方程的互化，体验了参数方程在解决问题（如最值问题、定值问题）中的一些应用，对参数方程在求轨迹与解题方面的优越性有了一定的体验．从方法上看，关于参数方程中参数的选择，圆的参数方程中参数是从物理意义引入，再阐明其几何意义，抛物线的参数选择有两个方向，首先在参数方程的引例中物理意义引入，在后面抛物线的参数方程中，又得到了两种几何意义上的参数．直线的参数方程中参数的选定对学生相当困难，虽然可以根据确定直线的几何条件联想到向量，但是，如何建立联系是难点，特别是学生对单位向量不了解．授课对象为山东省聊城第三中学高二下学期学生，学生对平面向量（高一必修四学习过）的知识有所遗忘，但学生的学习习惯较好，课堂所设计的问题基本解决．三、教学目标设计根据内容解析与学情分析，参照《普通高中数学课程标准（实验）》的要求，作为第一课时，确定这节课的教学目标如下．（1）通过确定直线的几何条件，引导学生利用向量工具建立直线的参数方程，培养数学建模的素养；会求解直线上两点间的距离，直线上某些特殊点对应的参数，体会参数方程相对普通方程的优越性，提升数学运算素养；在参数方程推理过程中，提升数学抽象、数学建模的核心素养；（2）体会从特殊到一般，数形结合等数学思想在参数方程中的应用；（3）体会参数在应用的过程中要经历引参、用参、消参，体会参数的“无私奉献的精神”，对学生适当地进行情感态度价值观培养．根据以上背景分析与目标分析，确定本节课的教学重点与教学难点如下．教学重点：直线的参数方程中对参数几何意义的理解以及参数方程的简单应用．教学难点：直线的参数方程中参数的选择、直线的单位方向向量的确定．四、教学设计思路与教法分析按照提出问题—独立思考—探究合作—小组展示—应用回顾的顺序，学习的过程中，体验从特殊到一般，一般到特殊探索、解决问题的途径．在数形结合、转化与化归的过程中，在提出问题、解决问题的过程中，提升学生利用数学知识分析问题、解决问题的能力，提升数学素养，提高应用意识．教学方法：根据新课程理念，坚持“以学生为主体，教师为主导”的原则，结合学生特点，本节主要采用启发学生自主探究和引导小组讨论的教学方法，并借助多媒体辅助教学来提高课堂效率．五、教学过程设计（一）问题引入教师引语：同学们，我们在必修2已经学习了直线的五种方程，在选修2－1也已学习了圆锥曲线的普通方程，在本册前面两节，我们刚刚学过圆、椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，体会到了参数方程在解决最值、距离等问题时的优越性，那么直线的参数方程是什么呢？它又会给我们带来哪些惊喜呢？下面我们进入今天的学习．设计意图：联系前面的知识，回忆有关内容，激发学生兴趣，面对解析几何部分学生有些望而生畏，本节又激发了学生学好解析几何的信心．展示本节课的学习目标．问题1（1）在平面直角坐标系中，确定一条直线需要哪几个条件？（2）当已知直线上一个定点（x 0，y 0），倾斜角为α时说出直线的方程．（3）①数乘向量λa 的长度与方向是怎样规定的？②共线向量定理师生活动：教师提出问题，学生思考后回答，引导学生对本源性的知识回顾．第（1）个问题中，学生说两个点，或是一个点和斜率，在此就暴露了学习中的不严谨．紧接着第（2）个问题，学生使用了点斜式方程，但又忽略了斜率不存在的情况，在此纠正错误，并为参数方程中不需讨论倾斜角等不等于90度埋下伏笔；另外，从向量的角度，倾斜角体现了方向，一个点，为直线参数方程的推导中向量这个工具的引入打下基础．第（3）个问题，学生可能不知道和本节课的联系，但在接下来借助向量的运算中推导参数的几何意义提供理论依据，让学生体会基础知识的重要性．设计意图：通过对直线和向量知识的回顾，回归本源，启发知识联想，为利用向量解决参数方程问题做好铺垫．在此体会解析几何研究问题的视角，数与形的结合．（二）新知探究问题2（1）如何利用倾斜角α写出直线l 的单位方向向量e ？并说明e 的方向；（2）如何用e 和M 0的坐标表示直线上任意一点M 的坐标？师生活动：学生阅读教材后思考，然后小组讨论，并将讨论结果展示．第（1）个问题中表示单位方向向量e 时用到了任意角三角函数的定义，这里体现学生的学习基础，并体会知识的联系（本身向量和三角函数就有很紧密的联系），说明e 的方向需要数形结合来看；第（2）个问题是难点，在此需要引入参数，怎么想到设t ，学生在已经阅读完教材后再回答，难度降低，在此用到了共线向量基本定理，又是基础知识的应用，学生进一步体会到基础的重要性．教师板演，推出M 点坐标的表达式．设计意图：学生阅读教材，思考，小组讨论，展示，这些案例剖析ANLI POUXI118数学学习与研究2019.17环节的设计，培养学生独立思考的习惯，交流展示激发学生的参与感，培养学生的交流能力，表达的能力．在这两个问题中用到了任意角三角函数的定义、共线向量基本定理，使学生体会知识的连贯性和基础知识的重要性．展示直线的参数方程．设计意图：学生可以体会到直线的参数方程可以理解为平面上两种不同坐标系下的坐标变换，即平面上同一点的一维坐标t 与二维坐标（x ，y ）之间的换算式．问题3（1）我们是否可以根据t 的值来确定向量M 0→ M 的方向呢？（2）直线的参数方程中参数t 的几何意义是什么？范围是什么？师生活动：学生思考三分钟并回答．第（1）（2）两个问题，分别使用数乘向量对方向和大小的规定推导出，基于前面已经回顾过这个知识，学生应该能联想到；设计意图：明确参数决定向量的方向和几何意义，第（1）个问题为下面推导直线上两点间的距离做好铺垫，理解参数中各个量的意义，为正确使用打下基础．（三）典例探究例1（1）若直线的参数方程为x =－1+t sin40ʎ，y =3+t cos40{ʎ（t 为参数），则其倾斜角等于．（2）求经过点M 0（1，2槡3），倾斜角是π3的直线l 的参数方程；并判断点P （2，3），Q （－1，0）是否在直线上？如果在请求出该点对应的参数t ，在下面网格中标出该点，并指出t 的几何意义．师生活动：学生练习，体验写出直线的参数方程的步骤以及关注的问题．设计意图：第（1）个小题使学生加深理解直线的参数方程的特征；第（2）个小题使学生加深对参数t 的几何意义的理解，在图中标出使学生初步理解了参数的作用，为例2的求解作铺垫．思考1通过例题1你的收获有哪些？师生活动：学生思考后回答．设计意图：再次加深对参数t 的几何意义的理解，培养学生思考的习惯，总结归纳的方法．例2已知直线l ：x +y －1=0与抛物线y =x 2交于A ，B 两点，求线段的长度和点M （－1，2）到A ，B 两点的距离之积．师生活动：学生练习，引导学生思考在学习本节前，我们已经有方法来求解这个问题了，PPT 中展示：联立方程组使用弦长公式求AB 长度，以及求出A 、B 两点坐标再求距离之积，学生能感受这种方法的麻烦，计算量大；教师在此引导，基于直线参数方程中t 的几何意义表示距离，我们是否能尝试使用直线的参数方程来解决这个问题呢？在此设计了三个问题引导做出例2．（1）如何写出直线l 的参数方程？（2）如何求出交点A ，B 对应的参数t 1，t 2？（3）|AB |，|MA |，|MB |与t 1，t 2有什么关系？学生边说，教师画图板演解题步骤．第（3）问题在前面的铺垫下学生不难得出结果．设计意图：仍然以问题做引导，从中体会参数方程在解决这类距离问题中的优越性，如计算量小等；在第（3）个问题的解答中使用数形结合，共同推导出结果．巩固对直线的参数方程的理解，特别是参数的几何意义的理解，掌握利用直线的参数方程求解直线与圆锥曲线位置关系问题的思路与方法，在此过程中体验直线的参数方程在解题中的优越性．探究与合作直线x =x 0+t cos α，y =y 0+t sin {α（t 为参数）与曲线y =f （x ）交于M 1，M 2两点，对应的参数分别和t 1，t 2．曲线的弦M 1M 2的长是多少？师生活动：学生独立思考，小组讨论，小组代表讲解展示．设计意图：依照从特殊到一般的推导的手法，学生不难找到方法，这是利用直线的参数方程求解直线与圆锥曲线相交弦长问题的思路与方法，其实可以推广到直线上任意两点间的距离．学生在黑板上讲解锻炼了其表达的能力，增加了学生的参与度．思考2通过例2你的收获有哪些？师生活动：学生独立思考，回答．设计意图：加深直线的参数方程的应用意识，培养学生思考的习惯，总结归纳的方法．（四）课堂达标1．经过原点，斜率等于－1的直线的参数方程为（）．A．x =槡22t ，y =槡22{t （t 为参数）B．x =－槡22t ，y =槡22{t（t 为参数）C．x =－槡22t ，y =－槡22{t（t 为参数）D．x =－t ，y =－{t （t 为参数）2．若直线的参数方程为x =2+t sin410ʎ，y =3+t cos410{ʎ（t 为参数），则该直线的倾斜角为（）．A．410ʎB．50ʎC．40ʎD．130ʎ3．求直线x =2+12t ，y =槡32{t（t 为参数）被双曲线x 2－y 2=1所截得的弦长|AB |．师生活动：学生练习，板演．设计意图：这3个问题是对本节课所学内容的考查，夯实基础．（五）课堂小结（1）通过本节课的学习，你对直线的参数方程有哪些认识？（2）本节用到的数学思想方法有哪些？师生活动：学生回答，教师补充．设计意图：培养学生总结归纳的习惯，数学思想方法（本节主要用到是数形结合、从特殊到一般、转化等数学思想方法）的总结能使学生体会方法的普遍性和应用性，体会数学是普通的，是简单的．（六）课后作业教材39页习题2．31．2预习教材37页至39页例2、例3、例4六、教学反思优点：学生在课堂的参与度很高，充分调动了学生积极性．会求解直线上两点间的距离，直线上某些特殊点对应的参数，体会参数方程相对普通方程的优越性，提升数学运算素养；在参数方程推理过程中，提升数学抽象、数学建模的核心素养；体会从特殊到一般，数形结合等数学思想在参数方程中的应用；体会参数在应用的过程中要经历引参、用参、消参，体会参数的“无私奉献的精神”，对学生适当地进行情感态度价值观培养．不足：（1）现代教学工具使用不足，比如，在研究t 的几何意义时，如果使用几何画板进行动态展示，然学生先体会t 取特殊值1，2，－1，－2等时对应的几何意义，再进行归纳，学生可能更容易接受．（2）在作业布置中，本节没有涉及直线的标准参数方程和直线的非标准参数方程的对比，而这恰是学生在以后做题时的一个易错点，所以可以布置一个探究性问题，探究非标准直线的参数方程，提高解题能力．。

直线参数方程教案

直线参数方程教案教学目标：1. 理解直线参数方程的概念和特点；2. 学会将直线参数方程转换为普通方程；3. 能够应用直线参数方程解决实际问题。

教学重点：1. 直线参数方程的概念和特点；2. 直线参数方程与普通方程的转换方法。

教学难点：1. 直线参数方程的理解和应用；2. 直线参数方程与普通方程的转换。

教学准备：1. 教学课件或黑板；2. 直线参数方程的相关例题和练习题。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入直线的概念，引导学生回顾直线的普通方程；2. 提出直线参数方程的概念，引导学生思考直线参数方程的特点和应用。

二、直线参数方程的概念和特点（15分钟）1. 讲解直线参数方程的定义和形式；2. 解释直线参数方程的特点，如参数的意义和直线的截距式表示；3. 通过示例展示直线参数方程的应用，如直线的倾斜角和斜率的计算。

三、直线参数方程与普通方程的转换（20分钟）1. 讲解直线参数方程与普通方程的转换方法；2. 引导学生通过转换方法将直线参数方程转化为普通方程；3. 通过示例和练习题巩固转换方法。

四、直线参数方程的应用（15分钟）1. 讲解直线参数方程在实际问题中的应用，如物体的运动轨迹和工程中的直线测量；2. 引导学生运用直线参数方程解决实际问题；3. 通过示例和练习题巩固直线参数方程的应用。

五、总结和作业布置（5分钟）1. 总结直线参数方程的概念、特点和应用；2. 强调直线参数方程与普通方程的转换方法的重要性；3. 布置相关作业，巩固所学内容。

教学反思：在教学过程中，要注意通过示例和练习题让学生充分理解和掌握直线参数方程的概念和应用。

要引导学生思考直线参数方程的特点和与普通方程的关系，提高学生的数学思维能力。

六、直线参数方程的图形分析（15分钟）1. 使用课件或黑板展示直线参数方程的图形；2. 分析直线参数方程中参数t的变化对直线位置的影响；3. 引导学生观察直线参数方程的图形特征，如直线倾斜角的变化和截距的变化。

高中数学直线的参数方程优秀教案

三直线的参数方程学习目标：1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义．(重点、难点)2.能用直线的参数方程解决简单问题．(重点、易错点)教材整理直线的参数方程阅读教材P 35～P 39，完成以下问题．经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，其中参数t 的几何意义是：|t |是直线l 上任一点M (x ，y )到定点M 0(x 0，y 0)的距离，即|t |＝|M 0M —→|.曲线⎩⎨⎧x ＝－2＋5t y ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15、⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 C ．(0，－4)、(8,0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，59、(8,0) [解析] 当x ＝0时，t ＝25，而y ＝1－2t ，即y ＝15，得与y 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15；当y ＝0时，t ＝12，而x ＝－2＋5t ，即x ＝12，得与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.[答案] B直线参数方程的简单应用【例1】直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)，则该直线被圆x 2＋y 2＝9截得的弦长是多少？[思路探究] 考虑参数方程标准形式中参数t 的几何意义，所以首先要把原参数方程转化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′，再把此式代入圆的方程，整理得到一个关于t 的一元二次方程，弦长即为方程两根之差的绝对值．[自主解答] 将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2＋t (t 为参数)转化为直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋25t ′，y ＝2＋15t ′(t ′为参数)，代入圆方程x 2＋y 2＝9，得⎝⎛⎭⎪⎫1＋25 t ′2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋15 t ′2＝9，整理，有5t ′2＋8t ′－45＝0. 由根与系数的关系，t ′1＋t ′2＝－85， t ′1·t ′2t ′的几何意义． |t ′1－t 2′|＝(t ′1＋t ′2)2－4t ′1t ′2＝1255.故直线被圆截得的弦长为1255.1．在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t 1－t 2|来求．此题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，无视了参数t 的几何意义．2．根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： (1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； (2)定点M 0是弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0；(3)设弦M 1M 2中点为M ，则点M 对应的参数值t M＝t 1＋t 22(由此可求|M 1M 2|及中点坐标)．1．在极坐标系中，圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6，半径r ＝1.(1)求圆的直角坐标方程； (2)假设直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32ty ＝12t(t 为参数)与圆交于A ，B 两点，求弦AB 的长．[解] (1)由得圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3cos π6，3sin π6，半径为1，圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1，即x 2＋y 2－33x －3y ＋8＝0. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t y ＝12t (t 为参数)得直线的直角坐标系方程x －3y ＋1＝0，圆心到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪332－332＋12＝12，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝1，解得|AB |＝ 3.参数方程与极坐标的综合问题【例2】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，假设点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. [思路探究] (1)利用公式可求．(2)可考虑将参数方程、极坐标方程化为普通方程，求交点A 、B 的坐标，也可考虑利用t 的几何意义求解．[自主解答] (1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ，∴x 2＋y 2－25y ＝0，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)法一直线l 的普通方程为y ＝－x ＋3＋ 5.与圆C ：x 2＋(y －5)2＝5联立，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝2＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1,2＋5)，B (2,1＋5)．又点P 的坐标为(3，5)，故|P A |＋|PB |＝8＋2＝3 2.法二将l 的参数方程代入x 2＋(y －5)2＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0，(*) 由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0.故可设t 1，t 2是(*)式的两个实根， ∴t 1＋t 2＝32，且t 1t 2＝4， ∴t 1>0，t 2>0.又直线l 过点P (3，5)，∴由t 的几何意义，得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝3 2.1．第(2)问中，法二主要运用直线参数方程中参数t 的几何意义，简化了计算．2．此题将所给的方程化为考生所熟悉的普通方程，然后去解决问题，这是考生在解决参数方程和极坐标方程相互交织问题时的一个重要的思路．2．曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φy ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围． [解] (1)由可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos π3，2sin π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π2， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π， D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋3π2，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)． (2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝(2cos φ－1)2＋(3－3sin φ)2＋(－3－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－3－3sin φ)2＋(3－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.∵0≤sin 2φ≤1，∴S 的取值范围是[32,52]．直线的参数方程[探究问题1．假设直线l 的倾斜角α＝0，则直线l 的参数方程是什么？ [提示] 参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t ，y ＝y 0(t 为参数)．2．如何理解直线参数方程中参数的几何意义？[提示] 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，(t 为参数)，其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M →的长度，即|t |＝|M 0M →|.①当t ＞0时，M 0M →的方向向上； ②当t ＜0时，M 0M →的方向向下； ③当t ＝0时，点M 与点M 0重合．【例3】直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t ，(t 为参数)．(1)求直线l 的倾斜角；(2)假设点M (－33，0)在直线l 上，求t ，并说明t 的几何意义．[思路探究] 将直线l 的参数方程化为标准形式，求得倾斜角，利用参数的几何意义求得t .[自主解答] (1)由于直线l ： ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sinπ6(t 为参数)表示过点M 0(－3，2)且斜率为tan π6的直线，故直线l 的倾斜角α＝π6.(2)由(1)知，直线l 的单位方向向量 e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. ∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ，∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4，且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)．1．一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α＜π)惟一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．2．直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(a 、b 为常数，t 为参数)．3．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为5π6. (1)写出直线l的参数方程；(2)设此直线与曲线C：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)交于A ，B 两点，求|P A |·|PB |.[解] (1)直线l 的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos 5π6＝－3－32t ，y ＝3＋t sin 5π6＝3＋t 2(t 为参数)．(2)把曲线C 的参数方程中参数θ消去，得4x 2＋y 2－16＝0. 把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程中，得 4⎝⎛⎭⎪⎫－3－32t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2－16＝0，即13t 2＋4(3＋123)t ＋116＝0. 由t 的几何意义，知|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|，故|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|＝11613.1．直线⎩⎨⎧x ＝－2＋t cos 60°，y ＝3＋t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α等于( )A ．30°B ．60°C ．－45°D ．135°[解析] 由直线的参数方程知倾斜角α等于60°，应选B. [答案] B2．直线⎩⎨⎧x ＝1＋t cos αy ＝－2＋t sin α(α为参数，0≤a ＜π)必过点( )A ．(1，－2)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(2，－1)[解析] 直线表示过点(1，－2)的直线． [答案] A3．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－22ty ＝2＋22t(t 为参数)，则直线l 的斜率为( )A ．1B ．－1 C.22 D ．－22 [解析] 消去参数t ，得方程x ＋y －1＝0， ∴直线l 的斜率k ＝－1. [答案] B4．假设直线⎩⎨⎧x ＝1－2ty ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，则常数k ＝________.[解析] 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t y ＝2＋3t 化为y ＝－32x ＋72，∴斜率k 1＝－32，显然k ＝0时，直线4x ＋ky ＝1与上述直线不垂直， ∴k ≠0，从而直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k .依题意k 1k 2＝－1，即－4k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－1，∴k ＝－6. [答案] －65．化直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t |的几何意义．[解] 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t ，y ＝1＋3t 消去参数t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋33＋1＝0. 故k ＝3＝tan α，即α＝π3，因此直线l 的倾斜角为π3.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝t ，y －1＝3t ，得(x ＋3)2＋(y －1)2＝4t 2， ∴|t |＝(x ＋3)2＋(y －1)22.故|t |是t 对应点M 到定点M 0(－3,1)的向量M 0M →的模的一半．。

直线的参数方程优秀教案

高考复习小专题——直线的参数方程刘天鑫教学目标：1.掌握直线的参数方程的标准式和非标准式，理解标准式中参数t 的几何意义，能体会通过直线参数方程中参数的几何意义解决问题；2.熟悉直线的参数方程与普通方程之间的互化；3.利用直线的参数方程求线段的长，求距离，求与中点有关的问题。

教学重点：直线的参数方程标准式中参数t 的几何意义教学难点：利用直线的参数方程参数t 的几何意义解决问题教学手段：多媒体教学教学方法：启发式教学教学过程：二、本节知识点回顾：（1）标准式：过定点),(000y x M ,倾斜角为α的直线l 的参数方程为：（2）非标准式：过定点),(000y x M ,斜率)90(tan ≠==ααab k 的直线l 的参数方程为：（3）直线的参数方程标准式中，参数t 的几何意义是：M M t 0=, 即表示直线上任意一点M 到定点0M 的距离,且如果将此直线看成一条数轴（以M0为原点,直线向上的方向为数轴的正方向，长度单位与坐标轴的长度单位相同），那么M 点对应t 值就是M 点在此数轴上的坐标，)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα0220()1x x at t a b y y bt =+⎧+≠⎨=+⎩为参数，此时这就是t 的几何意义的真正含义。

（4）在直线的参数方程)(sin cos 00为参数t t y y t x x ⎩⎨⎧+=+=αα中，设B A ,为直线上的两点，其对应的参数分别为21,t t 则有：点B A ,之间的距离为： 21t t AB -=；线段AB 的中点M 对应的参数t 的值为221t t t +=；定点),(000y x M 到B A ,两点的距离之和为2100t t B M A M +=+；距离之积为 212100t t t t B M A M =⋅=⋅。

怎样判断点M 0与A,B 的位置？ 21t t +和21t t ⋅的正负。

全国优质课- 直线的参数方程——学案

直线的参数方程
一．课题引入
问题1．已知直线:10l x y +-=与抛物线2y x =交于A ，B 两点，求(1,2)M - 到A ，B 两点的距离之积．
二．直线的参数方程（直线的参数的发现与确定）
探究1．
三．参数t 的几何意义
探究2．
探究3．参数t 的符号又有什么意义呢？
问题3．如果直线水平放置，那么直线上的定点和动点的关系可以和我们学过的那个知识联系起来？
四．直线参数方程的应用
例1．已知直线l 过点(1,2)M -，倾斜角为34
π，写出直线l 的参数方程．
变式1．已知直线l 过点(1,2)M -，斜率为1-，写出直线l 的参数方程．
变式2．已知直线l 过点(1,2)M -，斜率为1-，且与抛物线2y x =交于A ，B 两点．求线段AB 的长和点(1,2)M - 到A ，B 两点的距离之积．
变式3．已知直线l 过点(1,2)M -，斜率为1-，且与抛物线2y x =交于A ，B 两点．求线段AB 中点Q 的坐标．
练习．经过点(2,1)M 作直线l ，交椭圆22
+1164
x y =于A ，B 两点．如果点M 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程．
五．本节课你有什么收获？
六．作业
教材P39习题2．3 第1，2，3，4题．。

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