2015电磁场期末考试精彩试题

三、简答题1、说明静电场中的电位函数，并写出其定义式。

答：静电场是无旋的矢量场，它可以用一个标量函数的梯度表示，此标量函数称为电位函数(3 分)。

静电场中，电位函数的定义为grad ϕϕ=-=-∇E v(3 分) 2、什么叫集肤效应、集肤深度？试写出集肤深度与衰减常数的关系式。

高频率电磁波传入良导体后，由于良导体的电导率一般在107S/m 量级，所以电磁波在良导体中衰减极快。

电磁波往往在微米量级的距离就衰减得近于零了。

因此高频电磁场只能存在于良导体表面的一个薄层， 这种现象称为集肤效应(Skin Effect)。

电磁波场强振幅衰减到表面处的1/e 的深度，称为集肤深度(穿透深度)， 以δ表示。

集肤深度 001E e E eαδ-=⋅ ⇒ 1δα=3、说明真空中电场强度和库仑定律。

答：电场强度表示电场中某点的单位正试验电荷所受到的力，其定义式为：()()r r q=F E v v (3 分)。

库仑定律是描述真空中两个静止点电荷之间相互作用的规律，其表达式为：'20=4Rq q Re πεF u uv v(3 分)。

4、用数学式说明梯度无旋。

答：x y z x y zϕϕϕϕ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e u u r u u r u u r (2 分) ()x y z x y z x y zϕϕϕϕ∂∂∂∇⨯∇=∂∂∂∂∂∂∂∂∂e e e u u r u u r u u r (2 分) 222222()()()x y z z y z y x z x z x y x yϕϕϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂=---+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂e e e u u r u u r uu r (2 分)0=()0ϕ∴∇⨯∇=5、什么是真空中的高斯定理?请利用高斯定理求解下面问题：假设真空中有半径为a 的球形带电体，电荷总量Q 均匀分布在球体，求任意点的电场强度。

0()SQ E r dS ε=⎰v v v g Ñ分析：电场方向垂直于球面。

电场大小只与r 有关。

在球外区域：r>a0()SQ E r dS ε=⎰v v v g Ñ 20()(4)r Q E r r πε⇒⋅=a v r v g 204r Q E r πε⇒=⋅a v r在球区域：r<a由334Q QV a ρπ== 因为0'()S Q E r dS ε=⎰v v v g Ñ得 32043()(4)r r E r r ρππε⋅⋅=a v rv g 30034r r r QrE aρεπε⇒==⋅a a vr r 6、试解释坡印亭矢量的物理意义？答：坡印亭矢量E×H 相当于功率流的面密度,(3分)即垂直于功率流动方向单位面积上流过的电磁场功率.(3分)7、为什么说体电荷密度就是电荷的体密度，而体电流密度不是电流的体密度？8、什么是高斯定理?在电场具有什么特征时可以用它来求解静电场问题?.S d D sϖϖ⎰⋅=q当电场具有对称性质时，可以用来求解静电场。

9、波的圆极化(写出波的方程及与x 轴夹角表达式)若电场的水平分量E x 与垂直分量E y 振幅相等，相位相差±90°，合成电场为圆极化波。

E=2y 2x E E + =Em=常数与x 轴夹角tanα=ExEy=tanωt10、在良导体电场强度E 等于零，磁感应强度是否也为零？为什么？可以不为零。

（2分）因为E=0，只表明磁通及磁场的变化率为零，但磁感应强度可为任意常数。

（3分）11、如何由电位求电场强度?试写出直角坐标系下的表达式。

答：即电场强度是电位梯度的负值。

表达式：()x y z E e e e x y z∂ϕ∂ϕ∂ϕϕ∂∂∂=-∇=-++v v v v12、在静电场中，两点之间的电位差与积分路径有关吗？试举例说明。

无关。

（2分）如图所示，取电场强度积分路径为⎰⎰⋅=⋅=baacbab l E l E U d d Θ (1分)⎰⎰⎰=⋅+⋅=⋅acbdabdaacbl E l E l E 0d d d 又(1分)⎰⎰⎰⋅=-=⋅∴acbadbbdal E l E l E d d d (1分)13、说明矢量场的环量和旋度。

矢量A u v沿场中某一封闭的有向曲线l 的曲线积分为环量，lA dl Γ=⋅⎰u v v Ñ(3 分)。

矢量A u v 在M 点的旋度：方向为M 点A u v的最大环量面密度最大的方向，其模等于此最大环量面密度的矢量：rot A u v =∇⨯A u v(3 分)14、写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。

答：1212()0n n B B ⋅-==n B B v vv 或； (3 分)12()S ⨯-=n H H J vv v v (3 分)15、试解释坡印亭矢量的物理意义？坡印亭矢量E×H 相当于功率流的面密度,(2分)即垂直于功率流动方向单位面积上流过的电磁场功率.(3分)16、为什么说体电荷密度就是电荷的体密度，而体电流密度不是电流的体密度？ 体电荷密主是单位体积中的电荷量,所以是电荷的体密度.(2分)体电流密度是垂 直于电荷运动方向上单位面积上流过的电流,所以不是电流的体密度。

（4分）四、计算题1、已知空气填充的平板电容器的电位分布为2ax b ϕ=+，求与其相应的电场及其电荷分布。

解：由E =-∇ϕv(2 分) 已知ϕ=+2ax b得2E a =-∇ϕ=-v vx ax (2 分)根据高斯定理：0.E ∇=v ρε得 (2 分)电荷密度为：00.E ==∇v-2a ρεε (2 分)(1 分)2、真空中有两个点电荷，一个-q 位于原点，另一个q/2位于(a,0,0)处，求电位为零的等位面方程。

解： 两个点电荷－q,+q/2在空间产生的电位：1(,,)4x y z ⎡⎤ϕ=+πε (2 分)令(,,)0x y z ϕ= 得方程： (2 分)104⎡⎤=πε (1 分)方程化简得222242()33x a y z a ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭ (2 分)由此可见，零电位面是以点（4 a/3,0,0）为球心，2 a/3为半径的球面。

(1 分) (1 分)6、相互成直角的两个导电平面构成的系统，在x =1,y =1处放置一个点电荷q ，试用镜像法确定镜像电荷位置和大小，并求x =2,y =2处的电位。

(设无穷远为电位参考点)。

镜像电荷位置为-q(-1,1),-q(1,-1),q(-1,-1)由点电荷的电位ϕ=R4q0πε可得 x=2,y=2处电位ϕ=04q πε()10223121-+7、已知无源自由空间中的电场强度矢量sin()y m E E t kz ω=-a u r r， 求 (1) 由麦克斯韦方程求磁场强度H v；(2) 证明w/k 等于光速；(3) 求坡印亭矢量的时间平均值。

解：（1）将E u r 表示为复数形式，有 a -=-u r rjkz y m E jE e (2 分)由复数形式的麦克斯韦方程，得11a a --=-∇⨯=-=u u r u r r r jkz jkz m x m x kEH E kE e j e j j ωμωμωμ磁场H u u r的瞬时表达式为()sin()a =--u u r r m x kEH t t kz ωωμ (2 分)（2）由于是无源自由空间，根据无源自由空间的波动方程得：220020∂∇-=∂u r u r EE tμε (2 分)由于E u r只有y 分量，得y 分量的标量波动方程22220022220∂∂∂∂++-=∂∂∂∂y y y y E E E E xyztμε (1 分)由于22∂∂y E x 、22∂∂y E y为0，得2200220∂∂-=∂∂y y E E z t με对正弦电磁场，上方程可以写成2200()()0-=y y jk E j E μεω 得==C kω(1 分)（3）坡印廷矢量的时间平均值为11Re[]Re[()(.())]22a a *-=⨯=-⨯-u u u r u r u r rr jkz jkz m av y m x kE S E H jE e j e ωμ (3 分)201.2a =r mz kE ωμ (1 分) 8、理想介质中平面电磁波的电场强度矢量为8()5cos2(10) (V/m)x E t t z π=-a u r r试求： (1) 介质及自由空间中的波长；(2) 已知介质0μμ=，0r εεε=，确定介质的r ε； (3) 求磁场强度矢量的瞬时表达式。

解： (1)介质中2212ππλ===πk （m ） (2 分) 自由空间中80802310310π⨯λ======c k f （m ） (2 分)(2) 由于=k 故 22282282(2)(310)9(210)π⋅⨯ε===ωπ⨯r k c (3 分) (3)由于0ηηππ=⨯1=120=403 (2 分) 磁场强度的瞬时表达式80()cos 2(10)m y E t t z πη=-H a u u r r 80cos 2(10)40m y Et z ππ=-a r85cos 2(10)40y t z ππ=-a r81cos 2(10)8y t z ππ=-a r (A/m)9、空气中的电场为()2() jkz x y E t j e -=+u r r ra a 的均匀平面波垂直投射到理想导体表面（z=0）,求反射波的极化状态及导体表面的面电流密度。

解：对理想导体，有20,1,0T ηΓ==-= (1分)所以，此时反射波写为： ()2() jkz r x y E t j e =-+u r r ra a (1分)由此得知：反射波沿-z 方向传播，反射波两个分量幅度相等，且x 分量的相位滞后y 分量/2π，故反射波为右旋圆极化波。

(2 分)由于理想导体无电磁场，故 0t H =u u r令空气一侧为介质1，导体一侧为介质2，又由于()i i z j H E z ωμ∂=⨯∂u u r u r r a (1 分)12()jkz y x j e η-=-r ra a (1 分)()r r z j H E z ωμ∂=⨯∂u u r u r r a (1 分)12()jkz y x j e η=-r ra a (1 分)1i r H H H =+u u r u u r u u r 012()()jkz jkz y x j e e η-=-+rr a a 014()cos y x j kz η=-r r a a (2 分)故210()s z J n H H ==⨯-u r u ur u u r r 10()z z H ==⨯-u u r ra =014()z y x j η=⨯-+r r r a a a 014()x y j η=+rr a a (2 分)10、例题3.12求半径为a 的无限长直导线单位长度自感。