杨辉三角与二项式定理
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卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日 本等国均有译本出版，流传世界。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》 一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等 于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用 过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．
在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现 的（Blaise Pascal, 1623年～1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡 三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可 见我国古代数学的成就是非常值得自豪的．
a b1
11
a b2 a b3
121 1331
a b4
2、杨辉三角的基本性质和对称性
1.对 称 性：杨辉三角形的每一行中的
数字左右对称.
即Cnr
C nr n
2.基本性质：杨辉三角形的两条斜边都
是数字1，而其余的数都等于它肩上的两
个数字相加.
即Cnr
C r1 n1
wenku.baidu.com
Cr n1
性质3：增减性与最大值
二项式系数在对称轴的左边
11
是逐渐增大的.在对称轴右边
121
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnr ... Cnn ？2n
11
赋值法
121
也就是说, (a+b)n的 展开式中的各个二项式系 数的和为2n
1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
性质5：奇数项二项式系数与偶数项二项式系 数的和
Cn0 Cn2 Cn4 ... 2n-1
第n行各数的和为２n
尝 2、对称性：
表中的数字左右对称 ，即
试探 C
r n
C nr n
索
3、结构特征：除底边上1以外的各数，都等于它肩上的两数之和，
即
C
r n
C r 1 n1
Cr n1
１、杨辉三角第n行各数的特点
第0行
1
第1行 杨辉三角的第1n行1中的数对应于
第2行
121
第二3行项式(a+b)n展1开式3 的二3 项1 式系数
杨
一、引入
辉
三
角
一
——
一一
一 二一
一 三 三一
一 四 六 四一
一 五 十 十 五一
一 六 十五 二十 十五 六 一
二、杨辉简介:
杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学 教育家．著作甚多，著有《详解九章算法》十二卷 （1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三 卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二
Cn1 Cn3 Cn5 ... 2n-1
性质1:
Cnm
C nm n
性质2:
Cm n 1
C m1 n
Cnm
性质3：如果二项式的幂指数是偶数，中间一
项的二项式系数最大；如果二项式的
幂指数是奇数，中间两项的二项式系
数最大；
性质4： Cn0
Cn1
Cn2
Cnk
C
n n
2n
性质5：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系
14641
a b5 1 5 10 10 5 1
a b6 1 6 15 20 15 6 1
……
……
a bn
c
0 n
c
1 n
c n2
……
c
r n
……
c n1 n
c
n n
三、教学过程 探究１： 杨辉三角之雾里看花
1、与二项式定理的关系：
表中的每个数都是二项式
C 系数，第n行的第r+1个数是 r n
第4行
1 4 6 41
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 杨辉三1 角6 的…1各5…行…20数…字…15的6和等1 于与 第第n之 式n行-1对系行1 应数1Cn1的的CCn1(和a1n2 C+为nb2…1)2…nn…的。C…展nrC11…开nCr nr式…1 的……各C个nn12二Cnn项11 1
是逐渐减小的, 且在中间取得 1 3 3 1
最大值.
1 4641
n
当n是偶数时,中间的一项Cn2 1 5 10 10 5 1
取得最大值;当n是奇数时, 1 6 15 20 15 6 1
n1 n1
中间的两项Cn 2 ,Cn 2 相等,
且同时取得最大值.
课堂练习: 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式
数的和等于偶数项的二项式系数和.
例1.设 (2x 1)5 a0 a1x a2 x2 a3x3 a4 x4 a5x5， 求：
(1) a0 a1 a2 a3 a4; (2) | a0 | | a1 | | a 2| | a3 | | a4 | | a5 |; (3) a1 a3 a5; (4)(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 a5 )2
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求 (2) | a0 | | a1 | | a 2| | a3 | | a4 | | a5 |;
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243
系数相同的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大
的项是( A ).
A.第6项 B.第7项 C.第6和第7项 D.第5和第7项
在(a-b)10展开式中，系数最大的项又是什么？
性质4：各二项式系数的和
(1 x)n Cn0 Cn1x Cnr xr Cnnxn (n N*)
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求 (1) a0 a1 a2 a3 a4;
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243 (1) a5 25 32
a0 a1 a2 a3 a4 f (1) 32 31
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》 一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等 于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用 过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．
在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现 的（Blaise Pascal, 1623年～1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡 三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可 见我国古代数学的成就是非常值得自豪的．
a b1
11
a b2 a b3
121 1331
a b4
2、杨辉三角的基本性质和对称性
1.对 称 性：杨辉三角形的每一行中的
数字左右对称.
即Cnr
C nr n
2.基本性质：杨辉三角形的两条斜边都
是数字1，而其余的数都等于它肩上的两
个数字相加.
即Cnr
C r1 n1
wenku.baidu.com
Cr n1
性质3：增减性与最大值
二项式系数在对称轴的左边
11
是逐渐增大的.在对称轴右边
121
Cn0 Cn1 Cn2 ... Cnr ... Cnn ？2n
11
赋值法
121
也就是说, (a+b)n的 展开式中的各个二项式系 数的和为2n
1 33 1 1 46 41 1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
性质5：奇数项二项式系数与偶数项二项式系 数的和
Cn0 Cn2 Cn4 ... 2n-1
第n行各数的和为２n
尝 2、对称性：
表中的数字左右对称 ，即
试探 C
r n
C nr n
索
3、结构特征：除底边上1以外的各数，都等于它肩上的两数之和，
即
C
r n
C r 1 n1
Cr n1
１、杨辉三角第n行各数的特点
第0行
1
第1行 杨辉三角的第1n行1中的数对应于
第2行
121
第二3行项式(a+b)n展1开式3 的二3 项1 式系数
杨
一、引入
辉
三
角
一
——
一一
一 二一
一 三 三一
一 四 六 四一
一 五 十 十 五一
一 六 十五 二十 十五 六 一
二、杨辉简介:
杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学 教育家．著作甚多，著有《详解九章算法》十二卷 （1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三 卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二
Cn1 Cn3 Cn5 ... 2n-1
性质1:
Cnm
C nm n
性质2:
Cm n 1
C m1 n
Cnm
性质3：如果二项式的幂指数是偶数，中间一
项的二项式系数最大；如果二项式的
幂指数是奇数，中间两项的二项式系
数最大；
性质4： Cn0
Cn1
Cn2
Cnk
C
n n
2n
性质5：(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系
14641
a b5 1 5 10 10 5 1
a b6 1 6 15 20 15 6 1
……
……
a bn
c
0 n
c
1 n
c n2
……
c
r n
……
c n1 n
c
n n
三、教学过程 探究１： 杨辉三角之雾里看花
1、与二项式定理的关系：
表中的每个数都是二项式
C 系数，第n行的第r+1个数是 r n
第4行
1 4 6 41
第5行
1 5 10 10 5 1
第6行 杨辉三1 角6 的…1各5…行…20数…字…15的6和等1 于与 第第n之 式n行-1对系行1 应数1Cn1的的CCn1(和a1n2 C+为nb2…1)2…nn…的。C…展nrC11…开nCr nr式…1 的……各C个nn12二Cnn项11 1
是逐渐减小的, 且在中间取得 1 3 3 1
最大值.
1 4641
n
当n是偶数时,中间的一项Cn2 1 5 10 10 5 1
取得最大值;当n是奇数时, 1 6 15 20 15 6 1
n1 n1
中间的两项Cn 2 ,Cn 2 相等,
且同时取得最大值.
课堂练习: 1、在(a＋b)20展开式中，与第五项二项式
数的和等于偶数项的二项式系数和.
例1.设 (2x 1)5 a0 a1x a2 x2 a3x3 a4 x4 a5x5， 求：
(1) a0 a1 a2 a3 a4; (2) | a0 | | a1 | | a 2| | a3 | | a4 | | a5 |; (3) a1 a3 a5; (4)(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 a5 )2
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求 (2) | a0 | | a1 | | a 2| | a3 | | a4 | | a5 |;
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243
系数相同的项是( C ).
A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 2、在(a＋b)10展开式中，二项式系数最大
的项是( A ).
A.第6项 B.第7项 C.第6和第7项 D.第5和第7项
在(a-b)10展开式中，系数最大的项又是什么？
性质4：各二项式系数的和
(1 x)n Cn0 Cn1x Cnr xr Cnnxn (n N*)
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243
设 (2x 1)5 a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4 a5x5，求 (1) a0 a1 a2 a3 a4;
解：设 f (x) (2x -1)5 a0 a1x a5x5, 则 f (1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 15 1
f (-1) a0 a1 a2 a3 a4 a5 (3)5 243 (1) a5 25 32
a0 a1 a2 a3 a4 f (1) 32 31