浅谈化归思想在中学数学中的应用
化归思想在初中数学教学中的应用
化归思想在初中数学教学中的应用化归思想是数学中一种非常重要的思想方法,它在初中数学教学中有着广泛的应用。
化归思想的核心是将复杂问题化简为简单问题,并通过解决简单问题来解决复杂问题。
化归思想在初中数学教学中的应用主要体现在以下几个方面。
一、化归思想在初中数学解题中的应用在初中数学解题中,我们经常会遇到一些复杂的问题,如方程、不等式、几何图形的证明等等。
而化归思想可以帮助我们将这些复杂的问题化简为简单问题,从而更容易得到解答。
1.方程的化归在解方程时,通过引入新的变量或进行恰当的变换,可以将复杂的方程化归为一次方程或二次方程,从而更容易求解。
例如,对于一个三次方程,我们可以通过令新的变量等于该方程的根,再进行适当的变换,将该三次方程化归为一个二次方程。
这样一来,我们只需要求解这个二次方程,就可以找到原方程的解。
2.几何证明的化归在几何证明中,有时我们遇到的问题相对复杂,而化归思想可以帮助我们将复杂的几何证明化归为简单的证明。
例如,在证明一点为某个角的平分线时,我们可以通过绘制一条垂直平分线,将原问题化归为证明两个直角三角形全等的问题。
这样一来,我们只需要证明这两个直角三角形全等即可得到结论。
3.不等式的化归在解不等式时,通过引入新的变量或进行恰当的变换,也可以将复杂的不等式化归为简单的不等式。
例如,对于一个含有绝对值的不等式,我们可以通过将绝对值拆分为两个情况,分别进行讨论,从而化归为不含绝对值的简单不等式。
这样一来,我们只需要分别求解这两个简单不等式,就可以得到原不等式的解集。
二、化归思想在初中数学教学中的教学模式化归思想在初中数学教学中还有一种重要的应用,即可以用来引导学生形成良好的解题习惯,提高学生解题能力。
1.引导学生合理化归问题在教学中,教师可以通过设计一些具体问题,引导学生尝试将复杂问题化归为简单问题。
例如,在教学解一次方程时,教师可以设计一些与现实生活有关的问题,让学生先找到问题中的未知数,并通过列方程解决问题。
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是指把一个复杂的问题转化成一个简单的问题来解决。
在中学数学解题中,化归思想具有广泛的应用。
下面以几个具体的例子来说明化归思想在中学数学解题中的应用。
化归思想在方程解题中的应用。
当我们遇到一元一次方程时,通过化归可以将复杂的方程变成简单的等式。
对于方程2x+3=7,可以通过化归思想将3移到等号右边,得到2x=4,再除以2得到x=2,从而解得方程的根为x=2。
这个例子中,通过化归可以简化方程,使得求解过程更加简单。
化归思想在几何证明中的应用。
几何证明常常需要利用一些几何定理和性质来推导出结论。
通过化归思想,可以把一个几何证明问题转化成另一个等价的几何证明问题,从而简化证明的过程。
在证明两条平行线之间的距离相等时,可以通过化归思想将该问题化归到已知两平行线与第三条直线相交而得到的相似三角形的证明问题,从而简化证明过程。
化归思想在概率问题中的应用也是非常重要的。
概率问题中经常需要计算一些复杂事件的概率,利用化归思想可以将复杂的事件化归为简单的事件来计算概率。
当我们需要计算从一组有重复元素的样本空间中抽取出不同元素的事件的概率时,可以将该问题化归为从一组无重复元素的样本空间中抽取出不同元素的事件的概率来计算。
化归思想在数学归纳法证明中的应用也非常重要。
数学归纳法是一种证明方法,通过化归思想可以将证明问题化归为更简单的情况来进行证明。
当我们需要证明一个数学命题对于所有自然数都成立时,可以通过化归思想将该问题化归为该命题对于一个自然数成立的情况来证明。
化归思想在中学数学解题中具有广泛的应用。
无论是在方程解题、几何证明、概率问题还是数学归纳法证明中,通过化归思想可以将复杂的问题转化为简单的问题来解决,从而提高解题的效率和准确性。
在中学数学学习中,学生应该充分理解化归思想的应用,培养灵活运用化归思想解决问题的能力。
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是一种在数学问题求解中经常应用的思维方式,它通过将问题进行逻辑转化,从而使得原本复杂的问题得到简化和解决。
在中学数学教学中,化归思想的应用是十分重要的,它能够帮助学生更好地理解和解决各种数学问题,并且培养学生的逻辑思维能力。
本文将通过几个具体的例子来说明化归思想在中学数学解题中的应用。
我们来看一个简单的例子。
假设有一个数学问题:甲乙两人一起做一件事情需要5天完成,如果甲一个人做,需要7天完成,那么乙一个人做需要多少天完成?这个问题实际上就是一个典型的化归思想的应用。
我们可以假设甲乙两人一起一天完成的工作量为1,那么甲的单日工作量为1/5,乙的单日工作量为1/x。
根据题意可以列出方程:1/7 + 1/x = 1/5,通过化简和代数运算可以求解得到x=35/4。
所以乙一个人做需要35/4=8.75天完成。
这个例子展示了如何通过化归思想将原本复杂的问题转化为一个简单的代数方程,从而实现问题的解决。
我们来看一个关于几何题目的例子。
已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,求斜边的长度。
这个问题看似简单,但如果没有化归思想的引导,很容易被逻辑混乱所困扰。
通过利用勾股定理可以得出斜边长度为5。
这个例子中,化归思想的应用表现在将几何问题转化为代数问题,并且通过代数运算得到了问题的解。
再来看一个关于代数题目的例子。
已知一个一元二次方程的两个根分别为2和3,求方程的系数。
这个问题可以通过化归思想来解决。
设该一元二次方程为ax^2+bx+c=0,根据题意可以列出方程:(x-2)(x-3)=0,通过展开和比较系数可以得到a=1,b=-5,c=6。
这个例子展示了如何通过化归思想将一个抽象的代数问题转化为具体的数值问题,并且解决了系数的求解问题。
我们来看一个组合数学的例子。
已知一个集合中有n个元素,求该集合的子集个数。
这个问题可以通过化归思想来解决。
当n=1时,集合包含一个元素,子集个数为2;当n=2时,集合包含两个元素,子集个数为4;当n=3时,集合包含三个元素,子集个数为8……可以发现子集的个数是以2的指数递增的,所以当n个元素时,子集个数为2^n。
化归思想在中学数学解题中的运用
化归思想在中学数学解题中的运用
化归思想在中学数学解题中是非常常见的一种思维方式,它可以将一个复杂的问题化简成一个简单的问题,从而更容易求解。
以下是化归思想在中学数学解题中的几个具体应用:
1. 化简式子:可以利用化归思想将一个复杂的式子化简成一个简单的式子。
如将一个多次方程式化成一次方程式,或者将一个分数式子化成整数式子等。
2. 设变量:有时我们会遇到一些看似复杂的问题,但如果我们将问题中的某个量设为变量,则问题可能就变得简单了。
通过使用化归思想,我们可以将问题中的某个量设为变量,从而降低难度。
3. 找规律:通过对一组数据进行化归,我们可以找到其中的规律。
这种方法常常用于数列问题的解题过程中。
4. 分类讨论:化归思想也可以用于将一个问题分成不同的情况来讨论。
通过将问题化归为不同的情况,我们可以将复杂的问题变得更加简单,易于解决。
总之,化归思想是一种非常强大的思维方式,可以帮助我们高效地解决中学数学中的各种问题。
转化与化归思想在中学数学中的应用
转化与化归思想在中学数学中的应用转化思想和化归思想是中学数学中非常重要的两个思想,它们在解决问题和证明定理过程中起着至关重要的作用。
本文将分别探讨转化思想和化归思想在中学数学中的应用。
一、转化思想在中学数学中的应用转化思想是指通过变换问题的形式或等效变形,使问题转化为熟悉的或易于处理的问题。
它就像是把难题中的棘手一面剥离,使问题变得简单易懂,进而更好地解决问题。
在中学数学中,转化思想主要体现在以下几个方面:1.利用等量代换简化方程式在代数运算中,我们会遇到很多组长方程式,而这些方程式中经常出现相同的项。
这时候,我们可以采用等量代换的方法,将其化简,使问题更容易解决。
例如,我们可以利用x+y=1这个式子,将x^3+y^3转化为(x+y)^3-3xy(x+y),从而简化计算过程。
2.利用等式变形证明定理在证明数学定理时,通过大量变量之间的等式变形,可以大大简化证明过程。
例如,在证明勾股定理中,我们可以把原方程式a^2+b^2=c^2转化为a^2+b^2-c^2=0,继续变形成(a+c)(a-c)+(b+c)(b-c)=0,再变形成其它等式,最终证明了定理。
3.利用变量的代数变换简化问题有些问题需要建立函数关系式,但是常见的函数关系式过于复杂,不容易解决。
这时候,我们可以尝试采用代数变换的方法,将其变成简单的函数关系式。
例如,在解决极值问题时,我们可以利用三角函数的性质进行变量的代数变换,将复杂的函数关系式变得简单清晰。
二、化归思想在中学数学中的应用化归思想是指将问题按一定规律,通过变形而归约成一个与原问题相关的子问题,然后逐步化简子问题,最终解决原问题。
通过化归,我们可以更容易地理解问题,从而更好地解决问题。
在中学数学中,化归思想主要体现在以下几个方面:1.将高阶次问题化归为低阶次问题有些问题是高阶次或高维的,很难直接解决。
这时候,我们可以采用化归的方法,将其化归为低阶次问题。
例如,在解决n阶递推数列时,我们可以将n阶递推数列化归为n-1阶递推数列,从而简化问题的处理。
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是数学解题中一种重要的思维方法,通过将原问题转化为更简单的问题来解决复杂的数学问题。
在中学数学解题中,应用化归思想可以帮助学生提高问题解决能力,并加深对数学概念的理解。
1. 确定问题的等价变形:在解决数学问题时,往往可以通过将原问题转化为更简单的等价问题来解决。
在解决一元二次方程的时候,可以通过将方程化为标准形、配方法等等来简化求解过程。
这样做不仅可以减少计算量,还可以帮助学生更好地理解数学概念。
2. 利用对称性进行化简:对称性是数学中常见的一种性质,利用对称性可以简化问题的求解过程。
在解决平面几何问题时,可以利用图形的对称性质来简化分析,找出相应的对称点或线,从而有助于解题。
3. 利用递推关系进行化简:递推关系是数学中经常遇到的一种数学关系,利用递推关系可以通过找出问题中的规律,将问题化简为递推公式,从而简化求解过程。
在解决数列问题时,可以通过找出数列中的递推关系,写出递推公式,从而求解问题。
4. 利用特殊性质进行化简:某些数学问题具有特殊的性质,利用这些特殊性质可以简化问题的求解过程。
在解决组合数学问题时,可以利用排列组合的性质,例如乘法原理、加法原理等,进行合理的化简,以便更好地解决问题。
化归思想在中学数学解题中的应用可以帮助学生理解、把握问题的本质,减少解题过程中的复杂性,提高解题效率。
化归思想也能培养学生的逻辑思维能力、抽象思维能力和创造思维能力,提升他们解决问题的能力。
在中学数学教学中,应该注重培养学生的化归思维,引导他们灵活运用化归思想,更好地解决数学问题。
浅谈“化归”思想在中学数学中的应用
浅谈“化归”思想在中学数学中的应用作者:赵华明来源:《新校园·中旬刊》2015年第06期化归是一个极为重要的数学思想。
它不仅是解决具体数学问题的重要数学思想,而且是在较广的数学领域(各学科),以及数学的各个阶段(章节)通用的数学思想。
什么是化归思想?数学家皮·罗莎作过如下生动的比喻。
她说:“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴,现在的任务是要烧水,你应当怎样去做?”正确回答是:“在水壶中放上水,点燃煤气。
再把水壶放到煤气灶上。
”接着,罗莎又提出第二个问题,“假设所有的条件都和原来一样,只是水壶中已经有了足够的水,这时你又应当怎样回答呢?”也许你回答:“点燃煤气,再把水壶放到煤气灶上。
”但罗莎认为这并不是最好的回答。
最好的回答是:“把壶中的水倒掉。
”为什么呢?因为数学家认为已经把后一问题划归为先前的问题了。
这个比喻尽管有点夸张,但却深刻地道出了“化归”思想的本质特征——不直接对问题进行“攻击”,而是对它进行变形、转化,直至化为已经解决或容易解决的问题。
在中学数学教学中,在解数学问题的过程中,需要将数(式)与数(式)、形与形、形与数(式)互化,需要将抽象的概念直观化,隐蔽的条件明显化,复杂的问题简单化,综合的问题基本化,无限过程有限化……这种“化”的思维活动和思维过程就是“化归”思想。
方程(组)是中学代数的重要内容。
通过分解因式(或求解),一元二次方程可以“化归”为一次方程。
运用消元法,二元一次方程组“化归”为一元一次方程。
运用“降幂法”,高次方程“化归”为二次或一次方程。
运用“消元法”,多元方程组“化归”为二元方程组或一元方程。
通过去分母,分式方程“化归”为整式方程。
通过去根号,无理方程“化归”为有理方程。
非简单的指数方程、对数方程、三角方程等超越方程要“化归”为代数方程。
“化归”思想是求解各类方程(组)通用的基本思想。
解析几何是用代数方法研究几何问题的数学学科。
通过建立坐标系,使点(集)和数对应起来,从而使研究点集、形的问题“化归”为研究数、方程、函数的一些问题。
浅谈化归思想方法及其在中学数学的应用
浅谈化归思想方法及其在中学数学的应用化归思想方法是数学中一种重要的解题方法,通过将问题转换成等价的形式进行求解,常用于解决复杂的数学问题。
在中学数学中,化归思想方法广泛应用于各个领域,如代数、几何、函数等,能够帮助学生提高解题能力和数学思维能力。
本文将分析化归思想方法及其在中学数学中的应用。
首先,化归思想方法是将原问题转化成一个或多个等价的问题。
通过观察问题的特点,找到其中的规律和共性,然后将问题化简成形式简单、易于解决的问题。
例如,在代数中,将复杂的多项式进行配方、分解或合并同类项,化简成更简单的形式,从而更好地掌握问题的本质;在几何中,通过引入辅助线、图形变换等方法,将复杂的几何问题转化成简单的几何证明,可以更清楚地分析问题的本质。
其次,化归思想方法在中学数学中的应用非常广泛。
在代数中,化归思想方法可以用于解决多项式的因式分解、方程的求解、等差数列和等比数列等问题。
通过观察和运用化归思想方法,可以将复杂的多项式因式分解成简单的多项式的乘积,或者将复杂的方程化简成简单的一次方程或二次方程等,从而更好地解决问题。
在几何中,化归思想方法可以用于解决证明和计算问题。
例如,在证明几何图形的性质时,可以通过引入辅助线,将复杂的几何问题化简成简单的直角三角形、等腰三角形等,从而更容易进行证明和计算。
此外,化归思想方法还可以应用于函数的研究和运用。
在函数的图像研究中,通过化归思想方法,可以将复杂的函数图像转化成简单的函数图像,从而更好地描述函数的性质和规律。
在函数的运用中,化归思想方法可以用于找出函数的特殊性质,进而推导出函数的一些重要性质,如函数的单调性、奇偶性、对称性等。
通过化归思想方法,可以更好地理解函数的本质和运用。
在教学中,应加强对化归思想方法的讲解和引导。
教师可以通过分析典型题目和解题方法,引导学生掌握化归思想方法的基本原理和具体应用。
同时,教师还可以设计一些启发性问题和实践性活动,让学生能够主动思考、发现问题,通过化归思想方法解决问题,培养学生的问题解决能力和创新思维能力。
化归思想在初中数学教学中的运用
探索篇•方法展示化归就是在研究和解决数学问题时采用某种方式,借助某种函数性质、图象、公式或已知条件等将问题通过变换使之转化,进而达到解决问题的一种思想。
化归思想是中学数学最基本的思想方法,也是最重要的思想方法之一,在数学解题中几乎无处不在,它不仅是一种重要的解题思想,也是一种最基本的思维策略,更是一种有效的数学思维方式。
应用化归思想解题时的原则是化难为易、化生为熟、化繁为简、化未知为已知,本文就谈谈化归的几种常用方法在数学解题中的运用。
一、数与形的转化通过挖掘已知条件的内涵,发现式子的几何意义,利用几何图形的直观性化繁为简,从而解决问题。
乘法公式中的平方差公式(a+b )(a-b )=a 2-b 2的几何意义表述就是一个很好的例证,利用几何图形的面积完美地验证了公式的正确性。
例1.如下图,在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为b 的小正方形(a 跃b ),再重新拼图,两图中的阴影部分面积分别为a 2-b 2和(a+b )(a-b ),则可得到公式(a+b )(a-b )=a 2-b 2。
a+ba-bbba-ba类似的,完全平方公式(a+b )2=a 2+2ab +b 2也可用数与形的转化来验证。
数与形是数学研究的两大基本对象,由于坐标系的建立,使数与形互相联系,互相渗透,因此,函数问题中此种方法更常见,用函数图象来刻画函数解析式就是很好的例证。
二、函数与方程或不等式的转化函数是中学数学的一个重要概念,它渗透在数学的各部分内容中,是用运动变化的观点分析和研究具体问题中的数量关系。
方程和不等式则是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系。
方程f (x )=0的解就是函数y =f (x )的图象与x 轴交点的横坐标,不等式f (x )>0的解集就是函数图象位于x 轴上方时自变量的取值范围。
要确定函数变化过程中的某些量,经常要转化为求出这些量满足的方程或不等式的解或解集,函数是变量的动态研究,而方程不等式是动中求静,研究运动中的变量关系。
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用1. 引言1.1 化归思想在数学解题中的重要性化归思想在数学解题中的重要性体现在其能够帮助学生有效地理清解题思路,简化解题步骤,提高解题效率。
通过化归思想,学生可以将复杂的问题转化为简单的形式,从而更好地理解问题的本质和规律。
在解代数方程时,化归思想可以让学生找到问题的共同因子,简化计算过程,快速求解方程;在几何证明中,化归思想可以帮助学生将复杂的证明问题简化为易于理解和推导的步骤,提高证明的准确性和严谨性;在数列求和过程中,化归思想可以帮助学生找到规律,快速求解数列的和。
在数学竞赛中,灵活运用化归思想更是能够让学生在短时间内解决复杂的问题,赢得比赛的机会。
化归思想在中学数学解题中起着至关重要的作用,能够帮助学生提高解题能力和思维能力,培养他们的逻辑思维和分析问题的能力。
2. 正文2.1 化归思想的概念及特点化归思想是指将一个复杂的问题通过逐步归纳、简化等方法,转化为相对简单的问题来解决的一种思维方式。
化归思想的核心理念在于将问题分解,找到其中的规律和共性,通过对问题的归纳和简化,最终达到解决复杂问题的目的。
化归思想具有以下几个特点:化归思想注重整体性和系统性,通过对问题的整体把握和系统分析,找出问题的本质和规律。
化归思想强调逻辑性和严密性,要求在问题分解和简化的过程中,逻辑严谨,不漏掉任何细节。
化归思想强调灵活性和创新性,在解题过程中可以灵活运用各种方法和技巧,创造性地寻找解题路径。
2.2 化归思想在代数方程解题中的应用化归思想在代数方程解题中的应用十分重要。
在解决代数方程时,我们经常会遇到复杂的方程形式,需要通过化归思想将其简化,从而更容易求解。
化归思想可以帮助我们将复杂的问题转化为简单的形式,从而更好地理解和解决问题。
在解决代数方程时,化归思想也可以帮助我们从一个更宏观的角度来看待问题。
通过将问题分解为更小的部分,我们可以更好地理解每个部分的作用和相互关系,从而更好地解决整个方程。
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是中学数学中非常重要的一种解题思想,它可以将已知的问题转化为不同但等价的形式,使问题更加简单易懂,从而有助于提高解题的效率和质量。
针对不同的中学数学题型,化归思想都有其相应的应用方法,下面就分别进行讨论。
1. 代数式求值问题代数式求值问题是中学数学中较为基础的题型之一,通过对已知代数式进行化归,可以大大简化计算过程,提高解题效率。
例如,对于求$A+B$、$A-B$、$A\times B$及$A\div B$的值给定$A=3$,$B=4$,可以分别将其化归为如下形式:$A+B=3+4=7$,$A\times B=3\times4=12$$A\div B=\frac{3}{4}$。
化归后的代数式只需简单计算即可得到答案,相比于直接计算,这种方法更加简便。
2. 几何问题通过化归思想,可以将几何问题转化为代数问题,以达到解题的目的。
例如,已知等腰三角形底角的度数为$60^\circ$,求其顶角的度数。
可以将此问题化归为求等腰三角形底角度数的问题,由于已知底角的度数为$60^\circ$,根据等腰三角形的性质,可得顶角的度数为$180^\circ-2\times60^\circ=60^\circ$。
这种化归方法不仅简化了计算过程,而且能够使复杂的几何问题更加清晰直观,易于解决。
3. 数列问题对于数列问题,化归思想可以通过寻找数列的通项公式来解决。
例如,已知等差数列的首项为3,公差为4,求第10个数的值。
可以利用等差数列通项公式$an=a_1+(n-1)d$,其中$a_n$表示数列中第n项的值,$a_1$表示首项的值,$d$表示公差,将问题化归为代数问题,计算得到第10个数的值为$3+(10-1)4=39$。
通过化归方法,可以将数列问题转化为代数问题,更加直观,易于解决。
综上所述,化归思想在中学数学解题中有着广泛的应用,可以帮助我们将问题转化为易于理解和计算的形式,提高解题效率和质量。
化归思想在中学数学方程中的运用
化归思想在中学数学方程中的运用
在数学方程中,术语“化归”是指将一些数学问题简化到更容易理解和解决的程度上。
这个概念最早可以追溯到古希腊哲学家和数学家们,他们认为用数学来解决问题是一种有效的方式,即将各种繁琐的计算过程中“化归”到“易”求解。
在中学时期,学生们学习始终面临着大量复杂的方程,这些方程往往难以理解及解决。
采用“化归”思想可以使学生们更容易地理解和解决这些复杂的数学方程,从而加深对该课题的理解,同时更好地把握数学原理。
“化归”思想在解决中学数学方程的过程中可以采取不同的策略。
比如,学生可以将复杂的数学方程简化为可以更方便求解的运算式,并分解为相应的模块来求解;另外,学生也可以尝试将复数分解为实部和虚部,以及利用数学技巧,用间接猜拳的方式进行求解。
另外,“化归”思想也可以用来帮助学生理解数学方程式中的各
种学科概念。
比如,在求解图形变换方程时,学生可以尝试将其视为一系列变换的组合,从而更好地理解最终变换的效果;另外,当学生研究数学函数的性质时,可以借助“化归”思想,用图形的形式来更形象地反映函数的性质。
同时,“化归”思想也可以运用于数学模型分析,例如,可以采
用矩阵运算方式分析复杂的数学模型,用更简洁的运算方式更清晰地表示解决方案,并发现解决问题的结构规律。
总而言之,“化归”思想是一种理解和解决中学数学方程的重要
方法,它可以帮助学生们理解数学原理,同时也有助于更好地掌握数学方程的解题技巧。
培养学生运用“化归”思想解决数学问题的能力,有助于促进学生数学学习的深入发展。
浅谈化归思想在中学数学中的应用
浅谈化归思想在中学数学中的应用1、化归思想的概念与作用1.1化归思想的概念化归思想是中学数学中最基本、最重要的解题思想和思维策略之一。
所谓化归就是把那些待解决的问题,通过某种手段将之转化为已经解决或比较容易解决的问题,最终求得原问题的解答的一种方法。
实际解题的过程,就是转化的过程。
中学数学中的转化方法有很多,比如将复杂的问题转化为简单的问题,未知问题转化为已知问题,空间问题转化为平面问题,高次问题转化为低次问题,多元问题转化为一元问题等,它们都是化归思想的具体体现。
在化归的过程中需要确定化归的对象,就是待解决问题;化归的目标,就是能解决的问题;化归的途径,就是采用什么手段化归;只有确定了这些我们才能实现问题的有效转化和顺利的解决问题。
1.2化归思想的在中学数学中的基本功能及实质数学的发展就是不断的提出问题,分析问题,解决问题。
而化归思想在分析问题和解决问题时起到重要的作用。
在中学数学学习中应用化归思想解决问题的例子很多。
例如,在代数中解方程的一般思想是多元向一元、高次向低次的化归,分式方程向整式方程的化归,无理方程向有理方程的化归等。
在解决这些数学问题的过程中,要善于通过观察、分析、联想、类比的等思想方法去研究对象的来龙去脉和内部结构与联系,在复杂的数学环境中找到规律,实现化未知为已知,化复杂为简单,从而解答待解问题。
由此可见,化归思想几乎已经渗透到了中学数学的每个角落,是中学数学中的一种最重要、最基本的解题和思维方法。
在以上的这些化归的过程中,我们都是用运动发展的观点透过题目问题,看清楚题目问题的本质,使之与我们所熟悉的、掌握的知识联系起来,从而把问题化归为我们能解答的问题。
例如,解方程的根,这道题目是一元四次方程,这是我们所不熟悉的题目,我们最最熟悉的是一元二次方程。
可是我们可以把写成,然后用代入方程,得到这样的一个方程,这是一个一元二次方程,我们能很快的算出结果,从而解答出一元四次方程的根。
化归思想在中学数学方程中的运用
化归思想在中学数学方程中的运用从古至今,数学是人类智慧的体现。
它有其自身独特的魅力,这种魅力就是方程思想。
用数学方法解决问题就叫做化归思想。
化归思想具有普遍性和一般性,要使化归思想得以广泛运用,必须掌握一定的方法,因此,化归思想与几何画板相结合是将其发挥的有效途径。
初中数学的方程在教学中经常被提到,许多知识点也是从方程过来的,但却未对方程进行系统深入地研究。
我们利用几何画板进行化归思想教学尝试。
1、方程变形法4、化归思想与函数思想相结合。
化归思想在方程中的应用在函数中比较常见,而函数又是方程思想的源泉之一。
数学中的一个问题常常用数学符号或几何图形描述,但又不能确切地表示成某些简单的式子,于是,便通过分析研究把它变换成用函数来描述的形式,从而便于人们用字母表达或计算。
把已知转化为未知,用函数的图像去描绘,这就是化归思想的重要方面之一。
中学数学的方程是用一般形式出现的数学模型,学生由于长期对“模型”的依赖,认为方程是很抽象、很深奥的概念,忽视了对模型的研究。
实际上,方程是最基本的、最简单的数学模型。
利用几何画板可以在画板中直观演示化归思想,如下图: 2、正、逆反例法一般来说,一个方程只含有一个未知数,当给出的方程中除了这个未知数外,还含有其他的未知数时,称之为复方程。
它实际上是由两个方程相加或相减得到的。
对于所含未知数较少的复方程,往往可以采取分步分析的方法,把未知数逐步加到方程中去,这样便可求得未知数。
4、化归思想与函数思想相结合。
化归思想在方程中的应用在函数中比较常见,而函数又是方程思想的源泉之一。
数学中的一个问题常常用数学符号或几何图形描述,但又不能确切地表示成某些简单的式子,于是,便通过分析研究把它变换成用函数来描述的形式,从而便于人们用字母表达或计算。
把已知转化为未知,用函数的图像去描绘,这就是化归思想的重要方面之一。
以上三点即是利用几何画板进行化归思想教学的几种方法。
方程是学生在小学里已经接触过的,有关方程的教学内容在初中仍占有重要地位,方程在物理、化学中都有应用,而且随着计算机技术的发展,方程在社会、经济等各个领域都显示出它强大的生命力。
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用1. 引言1.1 化归思想在数学中的重要性化归思想在数学中的重要性可以说是至关重要的。
在数学问题解决过程中,化归思想是一种非常有效的解题方法,可以帮助我们将复杂的问题简化为更容易解决的子问题。
通过将问题化归为更小的部分,我们可以更清晰地理解问题的结构和逻辑,从而更容易找到解题的突破口。
化归思想在数学中的应用范围非常广泛,几乎涵盖了所有数学领域。
无论是代数、几何、概率还是数论,都可以运用化归思想来解决问题。
在代数中,化归思想可以帮助我们简化方程、证明和计算;在几何中,化归思想可以帮助我们理清各种几何关系;在概率中,化归思想可以帮助我们分析各种概率事件的关系;在数论中,化归思想可以帮助我们探讨数学规律。
掌握化归思想对于学生来说是非常重要的,不仅可以帮助他们更好地理解数学知识,还可以提高他们的解题能力和逻辑思维能力。
化归思想不仅可以帮助学生在课堂上解决问题,还可以帮助他们在生活中更好地应对各种复杂情况。
化归思想在中学数学解题中的重要性不可忽视。
1.2 化归思想的定义化归思想是数学中一种重要的解题思维方式,指的是将一个复杂问题化归为简单问题来解决的方法。
在数学中,化归思想常常通过分解问题、引入适当的假设、转化问题形式等方式帮助解题者更好地理解和解决问题。
通过化归思想,原本看似难以解决的问题可以转化为易于处理的形式,从而大大提高解题效率和准确性。
化归思想的核心在于将问题分解为更小的部分,并逐步解决每一个部分,最终将整个问题得以解决。
这种思维方式要求解题者具备分析问题、合理假设、推理推断等能力,通过不断剖析和转化问题,找到解决问题的突破口。
化归思想是数学解题中一种重要且常用的策略,能够帮助解题者更好地理清问题的本质,提高解题效率,培养解决问题的能力。
在实际解题中,灵活运用化归思想可以让复杂的数学问题变得简单而直观,从而更好地理解和掌握数学知识。
2. 正文2.1 基本化归法的应用基本化归法是一种常用的数学解题方法,特别适用于解决一些复杂的问题。
化归思想在中学数学解题中的应用
化归思想在中学数学解题中的应用
化归思想是指将一个问题重新表示为另一个等价的问题,以便
更容易解决。
在中学数学解题中,化归思想通常用于以下几个方面:
1. 消元求解方程:将一个复杂的方程式化为一个较为简单的形式,使得求解过程更加容易。
例如,把含有分式的方程化为分母通
分的形式,将含有根式的方程平方等。
2. 合并同类项:将一个多项式中相似的项合并为一个,使得计
算过程更简便。
例如,将 $2x+3x$ 合并为 $5x$。
3. 将式子化简:将一个复杂的式子转化为一个比较简单的形式,以更方便进行计算。
例如,将 $(a+b)^2$ 化简为 $a^2 +2ab +b^2$。
4. 利用等价的代数式:通过将一个式子变形为另一个等价的代
数式,使得问题变得更易于解决。
例如,能运用倍角公式、和差公
式等将含有三角函数的式子化简。
综上所述,化归思想可以帮助解决不同类型的数学问题,使得
求解过程更加简单和直观。
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是一种重要的数学思想,在中学数学中具有广泛的应用。
它主要是指将复杂的问题转化为简单的问题,使得问题的解决变得简单。
本文将从三个方面探讨化归思想在中学数学中的应用。
第一个方面是化归思想在代数中的应用。
在代数中,常常会遇到一些复杂的式子需要进行化简或者变形,这就需要用到化归思想。
比如:(a+b)^2的展开式为a^2+2ab+b^2,可以通过化归思想将其化简为(a+b)(a+b),再使用乘法公式进行计算。
再比如:2x-3y=5,5x+7y=9,这是一组二元一次方程组,可以通过化归思想将其中一个未知量用另一个未知量表示出来,再代入另一个方程进行求解。
第二个方面是化归思想在几何中的应用。
在几何中,化归思想主要是利用几何形状的相似性和对称性进行变形,得到一些简便的结论。
比如在三角形中,根据三线合一定理可以得到AD:DB=AE:EC=AF:FC,接着可以利用这个比例将题目中的长度进行化简计算。
再比如在椭圆中,可以通过将椭圆上的点分别在一条直线上投影,得到一个矩形的面积,而且这个矩形的面积和椭圆面积是一样的,这样可以简化椭圆面积的计算。
第三个方面是化归思想在数论中的应用。
在数论中,化归思想主要是利用整数的奇偶性进行判断和推理。
比如在证明素数分布的定理时,可以通过将所有奇数分成一组,再将所有3的倍数分成一组,类推地进行分组,最后发现只有6的倍数和相邻的两个数是素数,这就是所谓的素数筛法。
再比如在证明一个数是平方数时,可以通过该数的奇偶性判断其平方根的奇偶性,从而求得其平方根的值。
转化与化归思想在中学数学中的应用
转化与化归思想在中学数学中的应用一、引言数学是一门重要且广泛应用的学科,其中转化与化归思想是数学中一个重要的思维方式和解题方法。
本文将介绍转化与化归思想在中学数学中的应用,并讨论其对学生的思维能力和解题能力的提升。
二、转化与化归的基本概念转化与化归是数学中一种将复杂问题转化为简单问题的方法。
在解决数学问题时,我们经常会遇到一些复杂的问题,难以直接解决。
这时,我们可以通过转化与化归的方法将问题转化为相对简单的问题,从而更容易解决。
转化是指将一个问题转化为另一个与之等价的问题。
通过适当的变换,将原问题转化为新问题,新问题的解可以等价于原问题的解。
例如,在解决二次方程时,我们可以通过变量替换将其转化为一次方程。
这样,原问题的解就可以通过解一次方程得到。
化归是指将一个复杂问题化归为若干个相对简单的问题。
通过将原问题分解为若干个小问题,并解决这些小问题,最终得到原问题的解。
例如,在解决函数的极限问题时,我们可以通过分解计算极限,并利用极限的基本性质来求解原问题。
三、转化与化归在代数中的应用1.方程的转化与化归解方程是中学数学中的一个重要内容,而转化与化归思想在解方程问题中有着广泛的应用。
例如,在解二次方程时,我们可以通过变量替换将二次方程转化为一次方程。
通过设定适当的关系式,将二次方程的变量替换为新变量,然后解一次方程得到新变量的值,最后再通过逆变换得到原变量的值。
这样,我们将原问题转化为了相对简单的一次方程的解决。
2.几何问题的转化与化归在几何问题中,转化与化归思想同样发挥着重要的作用。
例如,在解决一些三角形的问题时,我们可以将其转化为对应辅助图形的问题。
通过引入适当的辅助线或辅助点,我们可以将原问题转化为辅助图形的问题。
由于辅助图形往往具有简单的性质,我们可以更容易地解决这些问题。
3.函数的转化与化归函数是数学中一个重要的概念,而转化与化归思想在函数问题中同样有重要的应用。
例如,在解决函数的极限问题时,我们可以通过极限的性质将复杂的极限问题化归为一些简单和已知的极限。
浅谈化归思想在数学教学中的应用
浅谈化归思想在数学教学中的应用在研究和解决数学问题时,借助已知条件将问题转变进而达到解决问题的一种思想——化归思想。
化归思想在中学数学中的应用极其广泛,因此是一种最基本的思维策略。
作为一种有效的数学思维模式,其原则是化难为易,化生为熟,化繁为简,化未知为已知,化综合为基本,这也是人们认识问题的基本规律。
标签:化归思想;数学教学;化归原则;化归方法;教学策略如果说知识是“鱼”,那思想方法便是“渔”,“授之以鱼,不如授之以渔”,这句名言体现了思想方法在学习中的重要性,学生毕业走出校门,不管他们是从事科学工作者,技术人员,还是教育工作者,唯有深深地铭刻于脑中的数学思维方法随时随地的发生作用,而受益终生。
所以数学思想方法相对于数学知识而言,对我们的影响更大。
初中数学中,化归思想的运用尤为突出,本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。
一、化归的涵义“化归”是转化和归结的简称,化就是变化原问题,转化原问题,变化原问题;归说的是变化、转化,变换原问题是有目的、有方向的。
把待解决的问题,通过某种转化过程归结到已解决或较容易解决的问题,最终求得解答的数学思想。
所以,作为一名教育工作者,在平时教学过程中要把这种思想渗透进去,让学生体会其中的精髓。
二、化归方法的基本原则数学中的化归有其特定的方向,一般为:化复杂为简单;化抽象为具体;化生疏为熟悉;化难为易;化一般为特殊;化特殊为一般;化“综合”为“单一”;化“高维”为“低维”等。
为了更好地把握化归方向,我们必须遵循一些化归的基本原则,化归思想的基本原则主要有熟悉化原则,简单化原则,直观化原则,和谐化原则。
1.熟悉化原则将陌生的问题转化为熟悉的问题,将新知识转化为旧知识,以便于我们运用熟悉的经验来解决。
在初中阶段的数学知识几乎都是将新问题转化为旧知识而得到的。
如:二元一次方程组转化为一元一次方程;一元二次方程化为一元一次方程;函数问题化为方程问题;方程问题转化为函数图像等等。
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
化归思想是数学中常用的一种解题方法,它通过将原问题转化成一个更简单、更容易解决的问题来寻求解决方案。
在中学数学解题中,化归思想可以应用于代数、几何、概率等各个领域,能够提高问题的解决效率和解题的准确性。
在代数中,化归思想常常用于方程的求解问题。
对于二次方程ax^2+bx+c=0,我们可以利用化归思想将其转化为一个平方的形式,进而求解方程的根。
具体来说,我们可以通过b^2-4ac的正负性来判断方程的根的性质,并且可以将其转化成两个平方的形式,从而得到方程的解。
化归思想在几何中也有广泛的应用。
在证明几何问题时,我们常常需要利用相似三角形的性质进行化归。
通过观察图形,找到相似的三角形并且建立它们之间的对应关系,可以简化问题的推导过程,使得证明更加简洁明了。
化归思想在几何中还可以用于求解线段长度、角度、面积等问题,通过通过类似三角形的相似关系,化归到已知条件下的问题,从而求解出所要求的未知量。
化归思想在概率中也有重要的应用。
概率问题常常需要通过化归思想将复杂的问题转化为简单的问题,进而求解出所需要的概率。
计算一个事件发生的概率时,我们可以通过计算其对立事件发生的概率,再用1减去对立事件的概率,就可以得到这个事件发生的概率。
这种化归思想在解决概率问题时很常见,并且能够极大地简化计算的过程。
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浅谈化归思想在中学数学中的应用
发表时间:2010-11-08T15:05:44.580Z 来源:《中小学教育》2010年第11期供稿作者:苏炳堂
[导读] 数与数之间的转化遵循着一些原则,例如具体化原则、简单化原则、和谐统一化原则等等。
苏炳堂广西柳州市第一中学545007
在中学数学中,化归思想不仅是一种重要的数学思想,也是一种最基本的思维策略。
化归思想在中学数学中有着很广泛的应用,其关键就在于把原问题转化和归结。
对于具体的数学问题,如何实行化归和选择有效的化归手段并没有固定的模式,中学数学常见的化归基本形式有以下三种:
一、数与数之间的转化
数与数之间的转化是中学数学中最常用的一种化归形式,通过转化可以使得原问题简单化、具体化、熟悉化,从而使问题迎刃而解。
在中学数学中很多化归都是数与数之间的转化,例如变形所给出的方程求解,数学解法在于不断将高层次的解法化归为较低层次的解法,这就是我们常说的把问题“初等化”。
例1、关于x的方程cos2x+sinx+a=0在(0,π)内有解,求a的取值范围。
分析:假设由题意把x看作未知数,那么那就是一个复合的方程,很难下手,但若考虑以sinx为未知数,再由1-cos2x=sin2x,则问题转化为常见的一元二次方程了,原问题即可解决。
所以由1-cos2x=sin2x,原式可化为:a=sin2x-sinx-1即a=(sinx- )2- 。
因为x∈(0,π),所以0<sinx≤1。
所以0≤(sinx- )2≤ ,即- ≤a≤-1。
所以当a∈[- ,-1] 时,方程在(0,π)上有解。
.
例2、在△ABC中,已知2(sinA+sinB+sinC)(ctgA+ctgB)=(a2+b2+c2)
求证:∠C=90°。
.
分析:已知条件既出现了三角函数,又出现了三角形的边,很自然的,先用正弦定理将已知等式的两边统一化,即把一部分的三角函数关系化成三角形的边的关系。
在上述两题中运用了化归原则中和谐统一原则的解题思维过程中,将元素统一、将条件和结论统一是关键。
在中学数学中,许多问题都遵循着统一性的原则,如统一几个分式的分母、统一几个根式的次数、统一对数或指数的底、把三角函数化成同名或同角的三角函数;数与数之间的转化遵循着一些原则,例如具体化原则、简单化原则、和谐统一化原则等等。
二、数与形之间的转化
数与形之间的转化包括两点:
1、“数”上构“形”。
有些数学问题本身是代数方面的问题,但通过观察可发现它具有某种几何特征,由这种几何特征可以发现数与形之间的新关系,将代数问题化归为几何问题来解决。
2、“形”中觅“数”。
即问题中已知图形作出或容易作出,要解决这类问题,主要是寻找恰当的表达问题的数量关系式,就可以把几何问题代数化,以数助形,使问题获得解决。
例如函数与其图像的关系,以及解析几何中曲线与方程的概念,复数及其运算的集合意义等等进行转化。
例3、x、y满足方程x2+y2-4x+a=0,求的最大值和最小值。
分析:由x2+y2-4x+1=0联想到圆的方程,由联想到斜率,即可将问题化归为数形的问题加以解决。
将x2+y2-4x+1=0整理得(x-2)2+y2=3,表示一个以(2,0)为圆心,半径长为3的圆;令=t,则y=tx表示一条斜率为t且过坐标原点的直线。
因为点(x,y)在圆上,所以求t的最值就是求过原点和圆上任意一点的直线斜率的最值。
三、形与形之间的转化
比如利用图像变换的知识做出函数的图像,利用分割、补形、折叠、展开、作辅助线、辅助面处理空间图形或平面图形,还有立体几何问题化归为平面问题等等。
例4、如图,正三棱锥P-ABC中,各条棱的长都是2,E是侧棱PC的中点,D是侧棱PB上任一点,求△ADE的最小周长。
分析:如图2,由于AE是定长:故只要把侧面PAB、PBC展开,那么当A、D、E三点共线时的AE的长,即AD+DE的最小值。
在图3中的△AED中,PA=2,PE=1,∠APE=120°,
故依余弦定理有AE2=22+12-2×2×1×cos120°=7,所以AE= 7,于是得△AED的最小周长为3+ 7。
把空间问题化归成平面问题,是立体几何中化归思想最重要的内容,这样也使得原问题简单化了。
前面的例子中有个共同的地方,即把空间中复杂图形的问题化归成基本图的问题,在这之中,展开、割、补和转移是常常运用的手法,通过这些手法都可以达到化归的目的。
一个数学问题,组成的主要元素之间相互依存和相互联系的形式是可变的,其形式并非唯一,而是多种多样。
所以应用数学变换的方法去解决有关数学问题时,就没有一个统一的模式可以遵循。
应用化归思想方法解题时应注意以下三点:
1、注意紧盯化归目标,保证化归的有效性、规范性。
化归作为一种思想方法,应包括化归的对象、化归的目标以及化归的方法、途径三个要素。
因此,化归思想方法的实施应有明确的对象,要设计好目标、选择好方法,而设计目标是问题的关键。
设计化归目标时,总
是以课本中那些基础知识、基本方法在应用上已形成固定的问题为依据,而把要解决的问题化归为规律问题。
化归能不能如期完成,与化归方法的选择有关,同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。
2、注意转化的等价性,保证逻辑上的正确。
化归包括等价化归和非等价化归,在中学数学中的化归多为等价化归(关于不等价化归本文不作讨论)。
等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的,又是必要的,以保证转化后的结果为原题的结果。
3、注意转化的多样性,设计合理的转化方案。
前面我们讨论的内容从一个侧面也体现了化归思想方法在中学数学解题中的重要地位。
利用化归思想解题时,转化的途径和方法不一定相同,但有一个共同的规律,就是在待解决的问题和已解决问题之间架起一个联系的桥梁,这就是知识之间的“关系键”。
化归思想的成功应用是以“数学发现”为前提的,因此,我们不能只停留在化归的分析上,还必须有创新的精神,不断地进行新的研究,在研究中获得新方法、新理论。
参考文献
[1]徐树道.数学方法论.广西师范大学出版社,2001.12。
[2]黄翔.数学方法论选论.重庆大学出版社,1995.4。
[3]钱珮玲.邵光华.数学思想方法与中学数学.北京师范大学出版社,2000.3。