与圆有关的计算
和圆有关的知识
和圆有关的知识圆是几何学中的基本概念之一，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面我将介绍一些与圆有关的知识。
一、圆的定义和性质1. 定义：圆是由平面上与一个固定点的距离等于常数的所有点组成的图形。
2. 圆心和半径：圆心是固定点，半径是圆心到圆上任一点的距离。
3. 直径：通过圆心的两个点构成的线段叫做直径，直径是半径的两倍。
4. 弦：圆上任意两点之间的线段叫做弦。
5. 弧：圆上两点之间的弧是圆心所在的圆周的一部分。
6. 切线：与圆只有一个公共点的直线叫做切线。
7. 弦切角定理：一个圆的弦切角等于其所对的弧的一半。
二、圆的计算公式1. 圆的面积：圆的面积等于半径的平方乘以π（圆周率），即S=πr²。
2. 圆的周长：圆的周长等于直径乘以π，即C=2πr。
三、圆的应用1. 圆在几何学中的应用：a. 圆的相交关系：两个圆相交于两个交点，相交关系可以分为外离、外切、内切、内含和相交五种情况。
b. 圆的切线：圆与切线的切点构成的线段与切线垂直。
c. 圆的垂径定理：垂直于弦的直径经过弦的中点。
d. 圆的切线定理：切线与半径垂直。
e. 圆的切线长度定理：切线与圆心连线构成的直角三角形中，切线长度的平方等于切点到圆心距离的平方减去半径的平方。
2. 圆在物理学中的应用：a. 圆的运动：物体在圆周上做匀速圆周运动时，其速度大小不变，但方向不断改变。
b. 圆的加速度：物体在圆周运动时，由于方向改变而产生的速度变化叫做加速度，大小等于速度大小的平方除以半径。
3. 圆在工程中的应用：a. 圆锥曲线：圆的截面在垂直于圆轴线方向上的投影是圆锥曲线，如圆锥、圆柱等。
b. 圆环结构：圆环是由圆形截面所构成的结构，常用于桥梁、建筑等工程中。
四、著名的圆相关问题1. 蒙哥马利问题：给定一个圆和一根切线，求切线上的一点，使得从该点到圆上任意一点的距离之和最小。
2. 圆的三等分：如何利用直尺和圆规将一个给定的圆分成三等份。
《与圆有关的计算》教学设计
《与圆有关的计算》教学设计一、教材分析圆是一个看来简单，实际上很美妙的图形，对于初中生来说了解圆未必理解圆，往往一提到圆大多望而生畏，因为圆是初中阶段几何教学中涉及的第一个曲线形图形，有许多性质都是有异于直线型图形的，如果不是从圆的本质进行教学并挖掘圆的美妙，学生的认识是有障碍和抵触的。
由认识平面的直线图形到认识平面上的曲线图形，是学生认识发展的一次飞跃。
而且中考复习中圆的解答题也是一道综合性极强的题目，需要有极其熟练的三角形、四边形的知识做铺垫，是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
二、教学目标：（一）知识目标:1、梳理圆的相关性质及判定定理，加深定理的图形语言、符号语言的再认识2、体会怎样依据题目的条件、图形、及结论联想到圆中相关定理来解决较简单的数学问题；体会圆中条件在寻找解题思路中的重要作用（二）能力目标：体会圆中定理和其他几何知识有机结合解决较复杂数学问题的思路，渗透数形结合、转化化归与方程思想，进一步提高学生的分析问题与解决问题的能力。
（三）情感目标：通过动手操作、观察比较、合作交流，激发学生的学习兴趣，让学生增强学习信心，体验探索与创造的快乐。
三、教学重点：依据基本图形构建方程解决圆中的计算问题四、教学难点：（一）如何添加辅助线构建基本图形（二）与圆中几何知识有机结合解决较复杂数学问题五、教学用具：PPT课件电子白板，希沃多媒体授课助手六、教学过程：．72.ABC AB=AC,AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M,经过B,M两与⊙O相切，当BC=4,AB=6+垂径定理（提供中点）B O FD勾股定理双垂图三角函数OM A字型”相似。
圆的判定和相关计算
圆的判定和相关计算一、圆的定义与特性1.圆是平面上所有与给定点（圆心）距离相等的点的集合。
2.圆心：圆的中心点，用符号“O”表示。
3.半径：从圆心到圆上任意一点的距离，用符号“r”表示。
4.直径：通过圆心，并且两端点都在圆上的线段，用符号“d”表示。
5.圆周：圆的边界，即圆上所有点的集合。
6.圆弧：圆上任意两点间的部分。
7.圆周率（π）：圆的周长与其直径的比值，约等于3.14159。
二、圆的判定1.定理1：如果一个多边形的所有边都相等，那么这个多边形是圆。
2.定理2：到定点的距离等于到定直线的距离的点轨迹是圆。
3.定理3：圆心角相等的两条弧所对的圆周角相等。
4.定理4：同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。
三、圆的计算1.圆的周长（C）：圆的周长等于圆周率乘以直径，即C = πd。
2.圆的面积（A）：圆的面积等于圆周率乘以半径的平方，即A = πr²。
3.圆弧的长度（l）：圆弧的长度等于圆周率乘以圆心角（以弧度为单位）再乘以半径，即l = θr（θ为圆心角的弧度数）。
4.圆的内接多边形面积：圆的内接正多边形面积可以通过半径和边长计算得出，公式为A = (s² * n) / (4 * tan(π/n))，其中s为边长，n为边数。
四、圆与直线的关系1.定理5：直线与圆相交，当且仅当直线的距离小于圆的半径。
2.定理6：直线与圆相切，当且仅当直线的距离等于圆的半径。
3.定理7：直线与圆相离，当且仅当直线的距离大于圆的半径。
五、圆的位置关系1.外切：两个圆的外部边界相切。
2.内切：两个圆的内部边界相切。
3.相离：两个圆的边界没有交点。
4.相交：两个圆的边界有交点。
5.包含：一个圆完全包含在另一个圆内部。
六、圆的特殊性质1.等圆：半径相等的两个圆。
2.同心圆：圆心重合的两个或多个圆。
3.直角圆周角定理：圆周角等于其所对圆心角的一半。
4.四边形内切圆：一个四边形的四个顶点都在圆上，这个圆称为四边形的内切圆。
圆有关的计算公式
圆有关的计算公式圆是一个非常重要的几何形状，有着广泛的应用。
在数学中，使用圆的特性和计算公式可以解决许多与圆相关的问题。
本文将介绍与圆有关的一些常见公式，包括圆的面积、周长、弧长、扇形面积、以及圆锥、圆柱和圆球的体积等。
1.圆的面积计算公式：圆的面积公式是圆的半径r的平方乘以π（pi）。
即：A = πr^2 2.圆的周长计算公式：圆的周长公式是圆的直径d乘以π。
即：C=πd也可以使用半径r来计算周长，公式为：C=2πr其中，C表示圆的周长，d表示圆的直径。
3.圆的弧长计算公式：圆的弧长是圆周上两个点之间的弧所对应的圆心角所对应的弧长。
计算圆的弧长公式为：L=s=rθ其中，L表示弧长，s表示弧所对应的弧长，r表示圆的半径，θ表示圆心角的度数（以弧度制表示）。
4.扇形面积计算公式：扇形是圆上由圆心引出的两条半径所夹的角所对应的区域。
计算扇形面积的公式为：S=0.5r^2θ其中，S表示扇形的面积，r表示圆的半径，θ表示圆心角的度数（以弧度制表示）。
5.圆锥的体积计算公式：圆锥是一个以圆为底面，顶点位于圆心上方并与底面相连的三维几何体。
计算圆锥的体积的公式为：V=1/3πr^2h其中，V表示圆锥的体积，r表示圆的半径，h表示圆锥的高。
6.圆柱的体积计算公式：圆柱是一个由两个平行的圆底面和它们之间的侧面组成的三维几何体。
计算圆柱的体积的公式为：V=πr^2h其中，V表示圆柱的体积，r表示圆底面的半径，h表示圆柱的高。
7.圆球的体积计算公式：圆球是一个由所有到圆心距离相等于半径的点组成的三维几何体。
计算圆球的体积的公式为：V=4/3πr^3其中，V表示圆球的体积，r表示圆球的半径。
除了以上介绍的公式，还有许多与圆相关的计算公式，如圆的切线与半径的关系、圆锥的侧面积计算公式、圆柱的侧面积计算公式等。
这些公式在解决具体问题时会有所应用。
总结：圆是一个基本的几何形状，在数学和实际应用中都有着广泛的用途。
使用与圆有关的计算公式，可以准确计算圆的面积、周长、弧长，以及与圆相关的三维几何体（如圆锥、圆柱和圆球）的体积。
圆的直径与周长计算
圆的直径与周长计算圆是几何中的基本图形之一，具有许多特殊的性质。
其中，直径和周长是圆的重要属性，它们可以用于计算和描述圆的大小和形状。
本文将介绍如何计算圆的直径和周长，并提供相应的计算公式和实例。
一、圆的直径在圆的内部，可以连接任意两个点，这条连接两点的线段称为圆的直径。
直径是经过圆心且两端点均在圆上的线段，同时也是圆的最长的一条线段。
要计算圆的直径，我们只需知道圆的半径或圆的周长，并利用以下公式进行计算：直径 = 2 ×半径实际上，直径的长度始终是半径长度的两倍。
例如，假设一个圆的半径为5厘米，我们可以通过以下计算得到其直径：直径 = 2 × 5厘米 = 10厘米因此，该圆的直径为10厘米。
二、圆的周长圆的周长是指围绕圆的边缘一周的长度，也称为圆周长或圆的周长。
在计算圆的周长时，我们需知道圆的直径或半径，并利用以下公式进行计算：周长= π × 直径其中，π是一个数学常数，约等于3.14159，它代表圆的周长与直径的比值。
以下是一个实例，演示如何通过圆的直径来计算圆的周长：假设一个圆的直径为8米，我们可以通过以下计算得到其周长：周长 = 3.14159 × 8米≈ 25.13272米（四舍五入到小数点后五位）因此，该圆的周长约为25.13272米。
三、综合实例现在，让我们通过一个综合实例来进一步理解如何计算圆的直径和周长。
假设一个圆的直径为12厘米，我们首先可以计算出圆的半径：半径 = 直径 / 2 = 12厘米 / 2 = 6厘米接下来，我们可以利用半径计算出圆的周长：周长 = 3.14159 × (2 × 6厘米) ≈ 37.69908厘米（四舍五入到小数点后五位）最后，我们可以将结果进行四舍五入，得到最接近的数值：半径≈ 37.69908厘米因此，该圆的周长约为37.69908厘米。
总结：本文详细介绍了如何计算圆的直径和周长。
直径是连接圆上任意两点并通过圆心的线段，其长度始终是半径长度的两倍。
与圆有关的计算公式
与圆有关的计算公式圆是数学中一个非常重要的几何图形，它具有许多特殊的性质和规律。
在学习圆的相关知识时，我们经常会接触到一些与圆有关的计算公式。
这些公式可以帮助我们计算圆的周长、面积、弧长等重要参数，对于解决实际问题和理解圆的性质都具有重要的意义。
在本文中，我们将介绍一些与圆有关的常用计算公式，并且解释它们的应用场景和推导过程。
1. 圆的周长和面积。
圆的周长和面积是最基本的参数，它们可以帮助我们了解圆的大小和形状。
对于半径为r的圆来说，其周长C和面积S的计算公式如下：周长C = 2πr。
面积S = πr²。
其中，π是一个无理数，约等于3.14159。
通过这两个公式，我们可以很容易地计算出任意圆的周长和面积。
比如，如果给定一个圆的半径为5cm，那么它的周长就是2π5=10π≈31.42cm，面积就是π5²=25π≈78.54平方厘米。
2. 圆心角和弧长。
圆心角是指圆心的两条半径所夹的角度，它和圆的弧长之间有着特殊的关系。
对于半径为r的圆来说，圆心角θ和弧长l的计算公式如下：弧长l = rθ。
圆心角θ = l/r。
其中，弧长l表示圆上的一段弧的长度，θ表示对应的圆心角。
这两个公式可以帮助我们在已知圆的半径和圆心角的情况下，计算出弧长和圆心角的具体数值。
比如，如果给定一个圆的半径为10cm，圆心角为60°，那么它的弧长就是1060°=600cm，圆心角就是600/10=60°。
3. 圆锥、圆柱和圆环的体积。
除了平面上的圆，我们还可以将圆应用到三维空间中，从而得到一些特殊的几何体。
比如，圆锥、圆柱和圆环就是由圆衍生而来的三维几何体，它们具有一些特殊的性质和计算公式。
对于半径为r、高度为h的圆锥来说，其体积V的计算公式如下：圆锥体积V = 1/3πr²h。
对于半径为r、高度为h的圆柱来说，其体积V的计算公式如下：圆柱体积V = πr²h。
圆的有关计算
圆的有关计算考点一1．如果弧长为l，圆心角为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为：l＝nπr 180.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，扇形面积为S，则S＝nπr2360，或S＝12lr.考点二1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面周长c，宽是圆柱的母线长l，如果圆柱的底面半径是r，则S圆柱侧＝cl＝2πrl.2．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥的底面周长c，半径等于圆锥的母线长l.若圆锥的底面半径为r，这个扇形的圆心角为α，则α＝rl·360°，S圆锥侧＝12cl＝πrl.考点三1．规则图形：按规则图形的面积公式去求．2．不规则图形：采用“转化”的数学思想方法．把不规则图形的面积采用“割补法”、“等积变形法”、“平移法”、“旋转法”等转化为规则图形的面积．(1)(2010·昆明)如图，已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65π cm2，扇形的弧长为10π cm，则圆锥母线长是()A．5 cm B．10 cm C．12 cm D．13 cm(2)(2010·兰州)现有一个圆心角为90°，半径为8 cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面(接缝处忽略不计)．该圆锥底面圆的半径为()A．4 cm B．3 cm C．2 cm D．1 cm(3)(2010·哈尔滨)将一个底面半径为5 cm，母线长为12 cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是________度．(4)(2010·龙岩)如图是圆心角为30°，半径分别是1、3、5、7、……的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3、……，则S50＝________(结果保留π)．例二图(2010·宁波)如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF 与半径OB相交于点P，连结EF、EO，若DE＝23，∠DPA＝45°.(1)求⊙O的半径；(2)求图中阴影部分的面积．举一反三1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）(结果保留π)(第1题)(第2题)2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝23，⊙A与BC相切于点D，且交AB、AC于M、N两点，则图中阴影部分的面积是（）(结果保留π)3．一个圆锥的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥母线长与底面半径之比为()A．2∶1B．1∶2C．3∶1D．1∶34．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示．它的底面半径OB＝6 cm，高OC＝8 cm.则这个圆锥漏斗的侧面积是()A．30 cm2B．30π cm2C．60π cm2D．120 cm2(第4题) (第5题)5．如图，已知菱形ABCD的边长为1.5 cm，B、C两点在扇形AEF的EF上，求BC的长度及扇形ABC的面积．圆的有关计算经典练习弧长的计算公式为：l ＝nπr 180 .扇形面积为S ，则S ＝nπr 2360，或S ＝12lr. S 圆锥侧＝12cl ＝πrl.1．如图，若圆锥底面圆的半径为3，则该圆锥侧面展开图扇形的弧长为( ) A ．2π B ．4π C ．6π D ．9π3图4图1图2．如图，一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则该圆锥的底面半径是( )A ．1 B.34 C.12 D.133．如图，5个圆的圆心在同一条直线上，且互相相切，若大圆直径是12,4个小圆大小相等，则这5个圆的周长的和为( )A ．48πB ．24πC ．12πD ．6π 4．△ABC 中，∠A ＝30°，∠C ＝90°，作△ABC 的外接圆，如图，若AB 的长为12 cm ，那么AC 的长是( )A ．10 cmB ．9 cmC ．8 cmD ．6 cm5图6图7图5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是 ( )A ．64π－127B ．16π－32C ．16π－247D ．16π－1276．如图，已知点A 、B 、C 、D 均在已知圆上，AD ∥BC ，AC 平分∠BCD ，∠ADC ＝120°，四边形ABCD 的周长为10 cm ，则图中阴影部分的面积为 ( )A.32 B.3 C ．2 3 D ．4 37．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分的包装纸的面积(接缝忽略不计)是( )A ．20 cm 2B ．40 cm 2C ．20π cm 2D ．40π cm 28图9图10图8．如图，A 是半径为2的⊙O 外的一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，点B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，则图中阴影部分的面积等于( )A.23πB.83π C ．π D.23π＋ 39．如图，将圆沿AB 折叠后，圆弧恰好经过圆心，则AMB 的度数等于( ) A ．60° B ．90° C ．120° D ．150°10．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OB ＝6 cm ，高OC ＝8 cm ，则这个圆锥漏斗的侧面积是( )A ．30 cm 2B ．30π cm 2C ．60π cm 2D ．120 cm 211．如图，现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40 cm ，小红同学为了在“六一”儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm 的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，那么剪去的扇形纸片的圆心角为( )11图12图A ．9°B ．18°C ．63°D ．72° 12．如图，圆柱的高线长为10 cm ，轴截面的面积为240 cm 2，则圆柱的侧面积是( ) cm 2. A ．240 B ．240π C ．480 D ．480π 二、填空题13．已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于________度． 14．若一个圆锥的侧面积是18π，侧面展开图是半圆，则该圆锥的底面圆半径是________．15．如图，在4×4的方格纸中(共有16个小方格)，每个小方格都是边长为1的正方形，O 、A 、B 分别是小正方形的顶点，则扇形OAB 的弧长等于________．(结果保留根号及π)15图16图16．如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝90°，⊙P 与OA 、OB 分别相切于点F 、E ，并且与弧AB 切于点C ，则扇形OAB 的面积与⊙P 的面积比是________．三、解答题17．(10分)如图，线段AB与⊙O相切于点C，连结OA、OB，OB交⊙O于点D，已知OA＝OB＝6 cm，AB＝6 3 cm.求：(1)⊙O的半径；(2)图中阴影部分的面积．19．(10分)如图所示，AC与⊙O相切于点C，线段AO交⊙O于点B.过点B作BD∥AC 交⊙O于点D，连结CD、OC，且OC交DB于点E.若∠CDB＝30°，DB＝5 3 cm.(1)求⊙O的半径长；(2)求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．(结果保留π)20．(12分)如图，PA、PB是半径为1的⊙O的两条切线，点A、B分别为切点，∠APB ＝60°，OP与弦AB交于点C，与⊙O交于点D.(1)在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有的全等三角形；(2)求阴影部分的面积．(结果保留π)圆的有关计算例一答案【解答】(1)∵12lr ＝S 扇形，∴12×10π×r ＝65π，∴r ＝13，故选D.(2)∵2πr ＝90180π×8，∴r ＝2，故选C.(3)∵nπ360×122＝π×5×12，∴n ＝150(4)设每个扇形大圆半径为R ，小圆半径为r ，则R 1＝3，R 2＝7，R 3＝11，……，R n ＝4n －1，r 1＝1，r 2＝5，r 3＝9，……，r n ＝4n －3.则当n ＝50时，S 50＝30360π(R 250－r 250)＝π12×[(4×50－1)2－(4×50－3)2]＝66π. 例二、【解答】(1)∵直径AB ⊥DE ，∴CE ＝12DE ＝ 3.∵DE 平分AO ，∴CO ＝12AO ＝12OE.又∵∠OCE ＝90°，∴∠CEO ＝30°.在Rt △COE 中，OE ＝CEcos30°＝ 3 32＝2.∴⊙O 的半径为2.(2)连结OF ，如图所示．在Rt △DCP 中，∵∠DPC ＝45°， ∴∠D ＝90°－45°＝45°， ∴∠EOF ＝2∠D ＝90°.∵S 扇形OEF ＝90360×π×22＝π，S △OEF ＝12×OE ×OF ＝12×2×2＝2.∴S 阴影＝S 扇形OEF －S △OEF ＝π－2. 举一反三答案： 1、52π－4.2、3－π3.3、A 4、C 5、BC 的长为π2 cm ，S 扇形ABC ＝38π cm 2练习1-12 CCBCD ＢＣＡＣＣ BB 5、【解析】由题意可知，该图形关于直线AD 成轴对称，所以AD ⊥BC ，BD ＝DC.因为BC ＝12，所以BD ＝6，在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝82－62＝27，所以S △ABD ＝12AD·BD ＝12×27×6＝67.由于阴影部分的面积即为半圆ADB 的面积减去△ABD 面积的2倍，所以S 阴影＝2×(12π×42－S △ABD )＝2(8π－67)＝16π－127.6、【解析】设圆心为O ，由题意得∠B ＝60°，∠ACB ＝30°，∴∠BAC ＝90°.∴BC 为⊙O 的直径，连结OA 、OD ，则S 阴影＝S 等边△OAD ＝34×22＝ 3. 9、【解析】由圆的轴对称性得，过O 作OC ⊥AB 于C ，连结OA ，则OC ＝12OA ，∴∠OAB ＝30°，∴∠AOB＝120°，∴AMB 的度数是120°.11、【解析】设剩下的纸片的圆心角为n°，则nπ180×40＝2π×10，∴n ＝90，∴剪去的圆心角为360°×30%－90°＝108°－90°＝18°.13、【解析】∵nπ×62360＝12π，∴n ＝120.14、【解析】设圆锥的底面圆的半径是r 1，圆锥母线长为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧πrl ＝18π，2πr ＝12×2πl.∵r 、l 都是正数，∴r ＝3，l ＝6.15、【解析】易知∠AOB ＝90°，则扇形OAB 的弧长为14圆周长，扇形OAB 的半径r ＝22＋22＝2 2.即扇形OAB 的弧长为14×2πr ＝14×2π×22＝2π.16、【解析】设⊙O 半径为R ，则扇形的半径为(1＋2)R ，则扇形OAB 的面积与⊙P 的面积比为14π(1＋2)2R 2：πR 2＝3＋224.18、解：(1)连结OC ，则OC ⊥AB ，∵OA ＝OB ，∴BC ＝12AB ＝12×63＝3 3 cm.在Rt △OCB 中，OC ＝OB 2－BC 2＝62－(33)2＝3，即⊙O 的半径为3 cm.(2)在Rt △OCB 中，sin ∠COB ＝BC OB ＝336＝32，∴∠COB ＝60°，∴S 阴影＝S △OBC －S 扇形COD ＝12×OC ×BC －nπr 2360＝12×3×33－60π×32360＝923－32π.即图中阴影部分的面积为(923－32π)cm 2.19、解：(1)∵AC 与⊙O 相切于点C ，则OC ⊥AC ，∴BD ∥AC ，∴OE ⊥DB ，则EB ＝12BD ＝523cm.∵∠CDB ＝30°，∴∠O ＝60°，在Rt △OEB 中，sinO ＝EB OB ，∴OB ＝EBsinO ＝523sin60°＝5 (cm)．即⊙O 的半径长为5 cm.(2)在Rt △OEB 中，OE ＝OB 2－EB 2＝52，∴CE ＝5－52＝52，即CE ＝OE.又∵∠CED ＝∠OEB ，ED ＝EB ，∴△CED ≌△OEB ，∴S 阴影＝S 扇形BOC ＝60π×52360＝256π (cm 2)．20、解：(1)△ACO ≌△BCO ，△APC ≌△BPC ，△PAO ≌△PBO. (2)∵PA 、PB 为⊙O 的切线，∴PO 平分∠APB ，PA ＝PB ， ∠PAO ＝90°，∠PBO ＝90°，PO ⊥AB.于是由圆的对称性可知：S 阴影＝S 扇形AOD .∵在Rt △PAO 中，∠APO ＝12∠APB ＝12×60°＝30°，∴∠AOP ＝90°－∠APO ＝90°－30°＝60°. ∴S 阴影＝S 扇形AOD ＝60×π×12360＝π6.。
第26课 与圆有关的计算
略不计)．
图 26-13
【正解】 如解图，将容器的半个侧面展开，作点 A 关于 EF 的对称 点 A′，连结 A′B，则 A′B 即为最短距离．
(典例 1 正解) ∵A′D＝12，DE＝2，BE＝18－4＝14， ∴A′B＝ A′D2＋BD2＝ 122＋162 ＝20(cm)． ★ 名师指津 圆柱或圆锥的最短路径问题往往需要把侧面展开成平面图 形，常用“两点之间线段最短”来解决，当两点不在同一平面上时， 需转化到同一平面上．
4．圆锥的侧面积和全面积： 圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的母线长为 l，底面半径 为 r，则这个扇形的半径为 l，扇形的弧长为 2πr． (1)圆锥的侧面积公式：S 圆锥侧＝πrl． ((23))圆 圆锥锥的 侧全 面面 展积 开图公式 扇： 形的S 圆圆锥全心＝角πr度2＋数π的rl．计算公式：θ＝rl·360°．
题型二 扇形面积
已知半径、圆心角或半径、弧长都能直接求出扇形面 积，要注意公式的选择．求不规则图形的面积时，通常有 两种思路，一是转化成规则图形面积的和、差，二是进行 图形的割补．
【典例 2】 (2019·张家界)如图 26-6，AB 为⊙O 的直径，且 AB＝4 3， ︵
C 是AB上的一动点(不与点 A，B 重合)，过点 B 作⊙O 的切线，交 AC 的延长线于点 D，E 是 BD 的中点，连结 EC． (1)求证：EC 是⊙O 的切线． (2)当∠D＝30°时，求阴影部分的面积．
的比．
(5)构造方程法．
(6)去重法．
1．(2018·成都)如图 26-1，在▱ ABCD 中，∠B＝60°，⊙C
的半径为 3，则图中阴影部分的面积是
()
A． π
B． 2π
C． 3π
圆的体积公式和面积公式
圆的体积公式和面积公式圆是一个几何图形，它是指平面上到一些固定点距离相等的所有点的集合。
圆是几何学中的基本概念，由于它的特殊性质，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍圆的体积公式和面积公式。
一、圆的面积公式圆的面积公式就是计算圆形面积的公式。
设圆的半径为r，则圆的面积S可以通过公式S=πr²来计算，其中π（pi）是一个无理数，近似值为3.14、这个公式也可以写成S=πd²/4，其中d是圆的直径。
圆的面积公式可以通过推导得到。
我们可以将圆按照半径等分成多个扇形，就像把一个圆形的比萨切成多块一样。
如果我们把这些扇形按照半径方向展开，就得到了一个近似的长方形。
当我们越细分这些扇形，得到的近似长方形就越接近圆形，面积也越准确。
通过这个近似长方形，可以得到圆的面积公式。
二、圆的体积公式圆的体积公式主要用于求解与圆相关的立体体积，例如球体的体积。
球体是由一个二维圆绕着一些轴旋转形成的立体图形。
设球体的半径为r，则球体的体积V可以通过公式V=4/3πr³来计算，其中π是一个无理数，近似值为3.14圆的体积公式可以通过对球体进行等分求和得到。
我们将球体等分成多个小球形部分，然后对这些小球形进行求和。
随着小球形的个数越来越多，得到的体积也越接近真实的球体体积。
通过这个等分求和的方式，可以得到圆的体积公式。
三、圆的应用圆的面积和体积公式在数学和工程领域有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用。
1.圆的面积公式可以用于计算圆形的面积。
例如，在建筑设计中，需要计算一个圆形花坛的面积，可以利用圆的面积公式直接计算。
另外，在土地测量中，也常用圆的面积公式计算土地面积。
2.圆的体积公式可以用于计算球体的体积。
例如，对于一个容器内装有液体的问题，可以通过球的体积公式计算液体的体积，从而确定容器所能容纳的液体量。
3.圆的面积和体积公式也被广泛应用于科学研究中的计算。
例如，在物理学中，有时需要计算球体的质量密度，可以通过球的质量和体积公式进行计算。
关于初中数学圆方面的计算公式
关于初中数学圆方面的计算公式1.圆的周长C=2πr=πd2.圆的面积S=πr²3.扇形弧长l=nπr/1804.扇形面积S=nπr²/360=rl/25.圆锥侧面积S=πrl6.圆锥的表面积S=πrl+πr²〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗1、圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820 9749445923078164062862089986280348253421170679...，通常用π表示，计算中常取3.14为它的近似值(但奥数常取3或3.1416)。
2、圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
3、圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4、内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
5、扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
圆的基本性质与计算公式(知识点总结)
圆的基本性质与计算公式（知识点总结）圆是几何学中的重要概念，具有许多特殊的性质和计算公式。
本文将从不同的角度来总结和介绍圆的基本性质和计算公式，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、圆的基本概念和性质1. 定义：圆是由平面上任意一点到一个固定点的距离等于常数的所有点的集合。
2. 圆心：固定点称为圆心，通常用字母O表示。
3. 半径：圆心到圆上任意一点的距离称为半径，通常用字母r表示。
4. 直径：通过圆心的一条线段，两个端点在圆上的线段称为直径，直径等于半径的两倍。
5. 弦：在圆上任意两点之间的线段称为弦，圆的直径也是一种特殊的弦。
6. 弧：在圆上两点之间的一段弧，圆心夹的角称为圆心角，它等于所对圆弧的一半。
7. 切线：与圆相切于圆上一点的直线称为切线，切线与半径的夹角为90度。
二、圆的计算公式1. 圆的周长：周长即圆的周长，用C表示，由于圆是一个闭合曲线，所以其周长是所有弧长的总和。
周长计算公式为C = 2πr，其中π取近似值3.14。
2. 圆的面积：面积是圆所包围的平面区域，用A表示，计算公式为A = πr²。
3. 弧长：弧长是指圆上一段弧的长度，用字母L表示。
弧长的计算公式为L = 2πr(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。
4. 扇形面积：扇形是由圆心和两个弧上的点组成的区域，扇形面积即扇形所包围的平面区域，用字母S表示。
扇形面积的计算公式为S = 0.5πr²(θ/360)，其中θ表示圆心角的度数。
5. 弓形面积：弓形是由圆上的弧和圆心到弧的两条切线组成的区域，弓形面积即弓形所包围的平面区域，用字母A表示。
弓形面积的计算公式为A = 0.5r²(θ/360 - sinθ)，其中θ表示圆心角的度数。
三、应用举例1. 例题一：已知一个圆的半径为6cm，求其周长和面积。
解：周长C = 2πr = 2π × 6 ≈ 37.68 cm，面积A = πr² = π × 6² ≈ 113.04 cm²。
第30讲 与圆有关的计算 参考答案
第30讲 与圆有关的计算 参考答案二、【课前热身---经典链接】（磨刀不误砍柴功！！！） 得分： 1．D 2．B 3．π2 4．π2 5．π313- 三、【知识要点梳理—知识链接】1. d C π=d π3601 d n π360 180360rn d n l ππ== 2. 2r S π= 23601r S π=360n lr 21 3. 圆柱底面 圆柱 4. 圆锥底面 圆锥母线五、【中考链接一湛江真题】快乐一练！ 得分___________1. π 2．π150 3．A 4．B 5. 解：（1）AB 切O ⊙于点B ∴OB AB ⊥，即90B ∠=° 又90DC OA OCD ⊥∴∠= ，° 在Rt COD △与Rt BOD △中 OD OD OB OC == ， R tR t ()C O D B O D H L ∴△≌△ CDO BDO ∴∠=∠．（2）在Rt ABO △中，304A OB ∠==°， 8OA ∴=844AC OA OC ∴=-=-=在Rt ACD △中，tan CDA AC∠= 又304A AC ∠==°，tan 30CD AC ∴==·° 132242O C D O C D B S S ∴==⨯⨯=△四边形又3060A BOC ∠=∴∠=°，°． 260π48π3603OBCS ∴==扇形·．8π33OCDB OBC S S S ∴=-=-阴影四边形扇形．六、【中考演练二----2010-2012年中考题】 得分___________1．A 2．C 3．60 4．15.7 5．324 6．5 cm 7．π3 8．π1259．π2 10． 解：（1）在△OCE 中，∵∠CEO=90°，∠EOC=60°，OC=2， ∴OE=21OC=1 ∴CE=23OC=33七、【中考演练三---备考核心演练】 得分___________ 1．4 2. 2r π 3．3000π 4.B 5．C 6.D 7. A 8.（1）∵AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上∴∠ACB = 90o∵AB ＝13，BC ＝5 135sin ==∠∴AB BC BAC （2）在Rt △AB C 中，621125132222==∴=-=-=AC AD BC AB AC （3）4.3612521213212≈⨯⨯-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=π阴影部分S 9.解：（1）答案不唯一，只要合理均可．例如：①BC=BD ；②OF ∥BC ；③∠BCD=∠A ；④⊿BCE ∽⊿OAF ；⑤AB BE BC ∙=2；⑥222BE CE BC +=；⑦⊿ABC 是直角三角形；⑧⊿BCD 是等腰三角形． （2）连结OC ，则OC=OA=OB ．∵∠D=300 ，∴∠A=∠D=300，∴∠AOC=1200∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB=900在Rt ⊿ABC 中，∴∠ACB=900 ∠A=300BC=1， ∴AB=2 ,AC=3 ∵OF ⊥AC ，∴AF=CF又∵OA=OB ．∴OF 是⊿ABC 的中位线∴OF=21BC=21 ∴432132121=⨯⨯=∙=∆OF AC S ABC 33601202ππ=⨯=OA S AOC 扇形433-=-=∆πAOC AOC S S S 扇形阴影。
与圆有关的计算知识点
与圆有关的计算知识点嘿，朋友们！今天咱就来聊聊“与圆有关的计算知识点”这一有趣的话题。
说到圆啊，那可真是个神奇的形状。
你看看那一个个圆滚滚的家伙，在生活中无处不在。
车轮是圆的，盘子是圆的，连咱那可爱的脸蛋有时候看起来都像个小圆球。
先说说圆的周长吧，那就是绕着圆走一圈的长度。
想象一下，这圆就像个会跑步的小家伙，你得计算它跑一圈要多远。
嘿，其实就跟咱围着操场跑圈差不多，只不过这个圈更圆滑些罢了。
再有就是圆的面积，这就像是要给圆盖个房子，看看这房子能占多大的地儿。
算这个的时候可得细心点，不然一不小心就给它算小了，那圆可就不乐意了，“我明明这么大，你咋给我算小啦！”弧长和扇形面积也挺有意思。
弧长就像是圆上的一段小旅程，嘿，咱得算算这段旅程有多长。
而扇形面积呢，就像是从圆这个大蛋糕上切下来的一块，得搞清楚这块蛋糕有多大。
学这些知识点的时候，有时候还真让人有点头大。
就像面对一个调皮的小孩，得有耐心哄着它，才能搞清楚它的小脾气。
不过啊，一旦咱掌握了，那就有种征服了这个小调皮的成就感。
比如说在做练习题的时候，算出了一个圆的周长或者面积，那感觉就像是解开了一个小谜团，“哈哈，我可算出你啦！”。
有时候遇到难题，苦思冥想，突然灵光一闪，找到了解题方法，那心情，简直比吃了蜜还甜。
总的来说呢，与圆有关的计算知识点虽然有时候有点小麻烦，但它们也是数学世界中很有趣的一部分。
就像生活中的一个个小挑战，虽然会让咱头疼一下，但克服了之后就会收获满满的成就感。
所以啊，朋友们，别怕那圆滚滚的家伙，和它好好较量一番，你会发现其中的乐趣和惊喜的！加油哦，一起征服圆的世界！。
与圆周率有关的公式
与圆周率有关的公式1.弧长公式：弧长公式用来计算围绕一个圆的弧的长度。
给定一个圆的半径r和弧的夹角θ（以弧度为单位），弧长L可以通过以下公式计算：L=rθ这个公式的推导基于π的定义，因为一个完整的圆的弧长等于2πr。
2.角度转弧度公式：在数学和物理中，角度通常用度数来表示，但有时也需要将角度转换为弧度。
弧度是一个角所对应的弧的长度等于其半径的倍数。
角度（θ）和对应的弧度（r）之间的转换可以通过以下公式完成：r=θ*π/180这个公式中，θ是以度数为单位的角度，r是对应的弧度。
3.圆面积公式：用于计算一个圆的面积的公式是基于π的定义的。
给定圆的半径r，面积A可以通过以下公式计算：A=πr²这个公式的推导可以通过将一个圆分割成无数个微小的扇形，并计算这些扇形的面积之和得到。
4.圆锥体积公式：用于计算一个圆锥的体积的公式也基于π的定义。
给定圆锥的半径r和高h，体积V可以通过以下公式计算：V=(1/3)*πr²h这个公式可以通过将圆锥分割成无数个微小的圆柱体，并计算这些圆柱体的体积之和得到。
5.渐近级数公式：渐近级数是一个无穷级数的和，其中每一项的绝对值小于前一项的绝对值。
π可以用一个无穷级数来近似计算，称为莱布尼兹级数：π/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-...这个级数的和通过不断地增加级数的项来逼近π/4、当级数的项数越多时，逼近结果越精确。
使用这个级数只需计算有限个项的和，就可以得到对π的近似值。
6.高斯-勒让德公式：高斯-勒让德公式是一种用于计算π的算法，它通过不断迭代来逼近π的值。
公式为：π=(2^n*n!²)/(2n+1)!这个公式中，n是一个正整数，n!表示阶乘，即n的所有正整数乘积。
使用这个公式，通过不断增加n的值，可以得到对π的近似值。
这些公式只是关于π的一小部分，还有许多关于π的其他公式和定理，如麦克劳林级数、斯特林公式、皮亚诺公式等。
圆周率作为数学中一个重要的常数，它的研究不仅限于基本公式的推导，还涉及到数论、几何、解析学、概率统计等多个领域。
圆的基本概念与计算方法
圆的基本概念与计算方法在数学中，圆是一个基本的几何形状，具有独特的特征和计算方法。
本文将详细介绍圆的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和运用圆。
一、圆的基本概念圆是一个平面几何图形，它由与一个固定点距离相等的所有点组成。
这个固定点被称为圆心，而与圆心距离相等的长度则称为半径。
通常用字母"O"表示圆心，用字母"r"表示半径。
圆的形状可以由半径完全确定，半径越长，圆的尺寸越大。
二、圆的计算方法1. 圆的周长计算圆的周长即为圆周上所有点到圆心的距离之和。
根据圆的定义，可以得到圆的周长公式为：周长= 2πr其中π是一个无理数，约等于 3.14159，它是圆周长和直径的比值。
根据这个公式，我们可以通过圆的半径计算出其周长。
2. 圆的面积计算圆的面积指的是圆内部的区域面积。
计算圆的面积需要使用圆的半径，公式如下：面积= πr²同样地，通过圆的半径，我们可以计算出其面积。
需要注意的是，圆的面积的单位是平方单位，如平方米、平方厘米等。
3. 相关计算公式除了圆的周长和面积的计算公式，还有一些与圆相关的计算公式：（1）直径与半径的关系：直径是指通过圆心的一条线段，它的长度是圆的两倍。
因此，直径与半径的关系可以表示为：直径 = 2r（2）周长与直径的关系：根据圆的定义，周长是圆周上所有点到圆心的距离之和。
而直径则是通过圆心的一条线段，它是周长的两倍。
因此，周长与直径的关系可以表示为：周长= πd其中d表示圆的直径。
（3）面积与直径的关系：根据面积的计算公式，可以将半径表示为直径的一半，即r = d/2。
代入面积公式可得到：面积= π(d/2)²三、圆的应用举例圆广泛应用于日常生活和各个领域。
以下是一些圆的应用举例：1. 轮胎汽车轮胎是圆形的，其圆形的特性可以提供更好的操控性和平衡性。
2. 农田在农田中，常见的田地形状是圆形或近似圆形。
这样的形状可以最大程度地利用农田的面积，并更容易进行农作物的管理。
关于初中数学圆方面的计算公式
1. 圆的周长C=2 πr= πd2. 圆的面积S= πr23. 扇形弧长l=n πr/1804. 扇形面积S=n πr2/360=rl/25. 圆锥侧面积S= πrl6. 圆锥的表面积S= πrl+ πr2〖圆的定义〗几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。
定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗1、圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974 9445923078164062862089986280348253421170679... ，通常用π表示，计算中常取 3.14 为它的近似值(但奥数常取 3 或3.1416) 。
2、圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。
大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。
连接圆上任意两点的线段叫做弦。
经过圆心的弦叫做直径。
3、圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。
顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
4、内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。
和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
5、扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。
圆锥侧面展开图是一个扇形。
这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S〖圆和其他图形的位置关系〗圆和点的位置关系：以点P 与圆O 的为例（设P 是一点，则PO 是点到圆心的距离），P 在⊙O 外，PO＞r；P 在⊙O 上，PO＝r；P 在⊙O 内，PO＜r。
直线与圆有3 种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。
圆的知识点公式总结
圆的知识点公式总结一、圆的定义和性质圆是平面上到一个固定点距离等于一个常数的所有点的集合。
这个固定点叫做圆心，这个常数叫做圆的半径。
圆的定义非常简单，但却涵盖了许多有趣的性质。
1. 圆心和半径：圆心是圆的中心点，通常表示为O。
圆的半径是指从圆心到圆上任意一点的距离，通常表示为r。
2. 直径：圆上任意两点连线的长度叫做直径，通常表示为d，直径的长度等于半径的两倍，即d=2r。
3. 弧长和圆心角：圆上的一段弧对应于圆心的一个角度，称为圆心角。
圆心角的度数等于弧长所占据的圆周角的度数。
圆周角是360度。
4. 切线和切点：与圆相切的直线称为切线，切点是切线和圆相交的点。
切线与半径的夹角等于90度。
5. 正割线、割线和弦：穿过圆的直线称为割线。
穿过圆的直线的延长线称为正割线。
圆上两点之间的线段称为弦。
6. 垂径定理：如果一个弦上的两个垂直平分线相交于圆心，则这两条垂直平分线互相垂直。
7. 直径定理：如果一个四边形的一条对角线是这个四边形所在的圆的直径，则这个四边形是一个直角四边形。
以上是圆的基本定义和性质，通过这些性质，我们可以推导出一些有用的定理和公式。
二、圆的相关定理1. 圆的面积公式：圆的面积等于π乘以半径的平方，即A=πr²。
2. 圆的周长公式：圆的周长等于直径乘以π，即C=πd=2πr。
3. 圆心角定理：同一个圆内的圆心角所对的弧长是相等的。
4. 正切定理：相切直线与同一条过圆心的直径相交的角相等。
5. 圆的切线定理：切线和半径的夹角是直角，切线的长度等于切点到圆心的距离。
6. 垂径定理：如果两条垂直平分线相交于圆心O，则这两条平行线的公共部分即为弦AB的中点。
这些定理和公式为解决圆相关问题提供了重要的依据和方法。
三、圆的参数方程圆的参数方程通常用来描述一个圆的轨迹。
当圆的圆心在坐标轴上时，圆的参数方程可以表示为：x = r·cosθy = r·sinθ其中r表示圆的半径，(x,y)表示圆上任意一点的坐标，θ表示这个点所在的角度。
圆的直径和半径的计算
圆的直径和半径的计算在数学中，圆是一个非常基础且重要的几何图形。
而要完全描述一个圆，我们需要了解其直径和半径的概念以及计算方法。
本文将详细介绍如何计算圆的直径和半径，并给出相关例题进行演示。
一、直径的定义与计算方法直径是圆的最长的一条线段，且经过圆心。
在几何中，我们可以通过以下两种方式计算直径：1. 通过半径计算直径圆的直径是半径的两倍，即直径 = 2 ×半径。
这是因为直径是连接圆周上任意两点的线段，其中包括了圆心和半径的两个端点。
举例说明，假设一个圆的半径为r，则其直径为2r。
若半径r=5cm，那么直径d=2×5cm=10cm。
2. 通过周长计算直径圆的周长可以通过公式C = π × d进行计算，其中C代表周长，π（pi）是一个数学常数，约等于3.14159，d是直径。
如果已知圆的周长，可以通过周长公式反推计算出直径。
将周长C除以π，即可得到直径d，即d = C / π。
举例说明，假设一个圆的周长为20cm，则直径d = 20cm / 3.14159 ≈ 6.37cm。
二、半径的定义与计算方法半径是连接圆心和圆周上任意一点的线段，且是圆心到圆周的距离。
在几何中，我们可以通过以下两种方式计算半径：1. 通过直径计算半径圆的半径等于其直径的一半，即半径 = 直径 / 2。
这是因为直径将圆分成两等分，半径是直径的一半。
举例说明，假设一个圆的直径为d=12cm，那么半径r=12cm /2=6cm。
2. 通过周长计算半径同样地，我们也可以通过圆的周长计算其半径。
圆的周长公式为C = π × d，将该公式变形可得半径计算公式：r = C / (2 × π)。
举例说明，假设一个圆的周长为C=30cm，半径r = 30cm / (2 ×3.14159) ≈4.77cm。
总结：本文详细介绍了圆的直径和半径的定义与计算方法。
直径是连接圆上任意两点并经过圆心的线段，计算方法包括通过半径或周长计算；半径是连接圆心和圆周上任意一点的线段，计算方法包括通过直径或周长计算。
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与圆有关的计算（一）
一、关于弦长的计算。
在圆中，关于弦长、弦心距的计算，通常是利用垂径定理构造出由半径、弦心距以及半弦组成的直角三角形，再根据勾股定理，直角三角形中的边角关系来求未知量。
1．已知⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，且BC=BD ，，EB=2，则弦CD 的长为 。
2
．四边形ABCD 是⊙O 的内接梯形，AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，
AB=6cm ，CD=8cm ，则梯形的高为 。
3．在以O 为圆心，半径分别为5cm 和8cm 的两个圆中有点
Q ，OQ=4cm 。
过点Q 分别作大圆的弦AB ，小圆的弦EF ，则AB 的最大值与EF 的最小值的和为 。
4．如图1，⊙O
的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=7cm ，EB=3cm,∠BED=30°，则CD 的长为 。
5．如图2，⊙O
的直径AB=10cm ，C 是⊙O 上一点，点D 平分BC ，OD 交BC 于E,DE=2cm ，则弦AC= 。
6．如图3，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，以C 为圆心，CA 为半径作圆交斜边AB 于D ，则AD 的长为 。
7．如图4，一弓形弦AB 的长为cm 64，弓形所在圆的半径为7cm ，HG 为⊙O 的直径，求弓形的高为 。
8．如图5，已知AB 是⊙O 的直径，过A 、B 分别作弦EF 的垂线交直线EF 于C 、D ，AC=2cm ，BD=4cm ，⊙O 的半径为5cm ，则EF 的长为 。
9．如图6，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC 的平分线交⊙O 于D ，交AC 于E ，AB=7，AE=3，DE=1，则AD 的长为 。
10．如图7，已知AB 、CD 是⊙O 内两条互相垂直的弦，它们相交于圆内一点P ，圆的半径是5，两条弦长均为8，则OP 的长为 。
图6
图7 图5
图2
图1
图3
图4
二、关于角度的计算。
求圆中角的度数主要是利用圆中有关角的定理来求解。
这些定理包括： （1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等。
（2）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
（3）直径所对的圆周角是直角。
（4）同弧或等弧所对的圆周角相等。
（5）圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角。
（6）弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。
1．如图1，两圆相交于A 、B 两点，且⊙2O 过⊙1O 的圆心。
若∠D=40°，求则∠C 的度数为 。
2．如图2，CD 是⊙O 的直径，AE 切⊙O 于点B ，DC 的延长线交AB 于点A ，∠A=20°，则∠DBE= 。
3．在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角= 。
4．如图3，已知∠BAC=50°，求∠D+∠E 的度数为 。
5．已知：如图4，△ABC 内接于⊙O ，∠A=60°，∠ABC=80°，D 是BC 上一点，AB=AE ，则∠BDE= 。
6．已知：如图5
，A 、B 、E 、D 、C 都在同一圆周上，量得BE 和ED 分别是32°
和48°，则∠P+∠E= 。
7．已知：如图6，延长⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线相交于点E ，且ED=OB ，∠E=20°。
则∠ODC= ，∠AOC= 。
8．已知：如图7，AB 是直径，CD 是弦，过C 点的切线与AD 的延长线交于E 点，若∠A=56°，∠B=64°，则∠CED= 。
9．已知：如图8，BD 、CE 是⊙O 的直径，弦AE ∥BD ，AD 交CE 于F ，∠A=20°。
则∠AFC= 。
10．如图9，∠E=40°，AB=BC=CD ，则∠ACD= 。
图6 图7
图8 图9
图5
E
P 图2
图1
图3
图4
三、半径的求法。
圆半径是圆内的特殊线段，其计算的主要方法包括：勾股定理、相交弦定理、切割线定理、利用相似三角形的对应边成比例等等。
1．如图1，在△ABC 中，AB=AC=6，BC=4，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，则⊙O 的半径长为 。
2．如图2，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM=MC ，若AM=1.5，BM=4，则半径的长为 。
3．如图3，∠AOC=60°，点B 在OA 上，且OB=32，若以B 为圆心，R 为半径的圆与直线OC 相离，则R 的取值范围是 。
4．如图4，PT 是⊙O 的切线，切点为T ，M 是⊙O
BM=BP=2，
PT=52，OM=3，试求⊙O 的半径。
5．如图5
，⊙O 和⊙O ′相交于点A 、B ，AC 是⊙O 的直径，CA 延长线交⊙O ′于点D ，CB 的延长线交⊙O ′于点E ，又CE=10，DE=AC=6，求⊙O ′半径的长。
6．如图6，已知等腰△ABC 中，点O 在BC 上，以O 为圆心作圆切两腰于D 、E ，
AB=10cm ，BC=12cm ，求⊙O 的半径。
C
D 图1
C
图2
图4 P 图6
图5
O C B
A
图3
7．如图7，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PBC 是过圆心O 的割线。
已知PA=10，PB=5，求：（1）⊙O 的半径；（2）P sin 的值。
8．如图8，已知⊙1O 与⊙2O 相交于C 、D 两点，连心线1O 2O 和⊙2O 相交于B 、A 两点，AC 、AD 的延长线分别和⊙1O 相交于点E 、F 。
（1）求证：CE=DF 。
（2）如果⊙2O 的半径为2，∠ABC=60°，且EC=CD ，求⊙1O 的半径。
9．已知：如图9，△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，⊙O 、⊙O ′分别是△ABC 的外接圆、内切圆，⊙O ′切AB 、BC 、CA 于D 、E 、F 。
求OO ′的长。
10．已知：如图10，⊙O 的直径AB=4cm ，半径OC ⊥AB ，OC 为⊙1O 的直径，⊙2O 与⊙O 内切，与⊙1O 外切，且与OA 相切，求⊙2O 的半径。
B
图9
图10
图8
【本课小结】认真思考并解决以下问题，会有意想不到的收获。
1．看到弦，则作。
2．看到直径，则作。
3．求弦所对的圆周角，注意。
4．看到同弧或等弧，注意。
5．看到切线，则。
6．看到弦切角，注意。
7．看到两圆相交，则作。
8．看到没有给出图形的几何题，小心。
1．如图1，AB是半圆的直径，AC=AD，OC=2，∠CAB=30°，则点O到CD的距离OE= 。
2．已知△ABC内接于⊙O，点D是CA延长线上一点，若∠BOC=120°，则∠BAD= 。
3．如图2，在⊙O中，AB=AC=CD，AB=3,5
=
⋅ED
AE,到EC的长为
4．如图3，ABCD是⊙O的内接正方形，AB=4，F是BC的中点，AF的延长线交⊙O于点E，则AE的长为。
5．△ABC是半径为2cm的圆内接三角形，若BC=3
2cm，则∠A的度数
为。
6．圆内接四边形ABCD中，若∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,则∠D的度数为。
7．A是半径为5的⊙O内一点，且OA=3，过点A且长小于8的弦有条。
8．如图4，AB、BC是⊙O的两条弦，且AB⊥BC，又BE=
3
2
AE，CF=
5
3
BC，若⊙O 半径为5cm，那么EF= cm。
9．如图5，已知半圆的圆心在Rt△ABC的斜边上，且半圆分别切AB、AC于D、E，AB=3cm，AC=4cm，则半圆的半径是。
10．如图6，PC切⊙O于C，PO交⊙O于A，DA切⊙O于A交PC于D，若=
DP
CD:1:3，
图2
图3 图1
AD=2，则⊙O 的半径为 。
11．如图7，点O 为⊙O ′上任意一点，⊙O 与⊙O ′相交于A 、B ，E 是优弧AB 上的一点，EO 交⊙O 于C 、D ，交AB 于F ，且CF=1，EC=2，则⊙O 的半径是 。
12．如图8，点P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PT 切⊙O 于点T ，已知PT=4，PB=2，⊙O 的半径是 。
图7
P
图8
A
图5
图6
P
图4。