高中数学 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及函数的图像

(一)复习指导

单调性：

设函数y ＝f (x )定义域为A ，区间M ⊆A ，任取区间M 中的两个值x 1，x 2，改变量Δx ＝x 2－x 1＞0，则当Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＞0时，就称f (x )在区间M 上是增函数，当Δy =f (x 2)－f (x 1)＜0时，就称f (x )在区间M 上是减函数．

如果y ＝f (x )在某个区间M 上是增(减)函数，则说y =f (x )在这一区间上具有单调性，这一区间M 叫做y =f (x )的单调区间．

函数的单调性是函数的一个重要性质，在给定区间上，判断函数增减性，最基本的方法就是利用定义：在所给区间任取x 1，x 2，当x 1＜x 2时判断相应的函数值f (x 1)与f (x 2)的大小．

利用图象观察函数的单调性也是一种常见的方法，教材中所有基本初等函数的单调性都是由图象观察得到的．

对于y =f [φ(x )]型双重复合形式的函数的增减性，可通过换元，令u =φ(x )，然后分别根据u =φ(x )，y =f (u )在相应区间上的增减性进行判断，一般有“同则增，异则减”这一规律．

此外，利用导数研究函数的增减性，更是一种非常重要的方法，这一方法将在后面的复习中有专门的讨论，这里不再赘述．

奇偶性：

(1)设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=－f (x )，则这个函数叫做奇函数；设函数f (x )的定义域为D ，如果对D 内任意一个x ，都有－x ∈D ，且f (－x )=f (x )，则这个函数叫做偶函数．

函数的奇偶性有如下重要性质：

f (x )奇函数⇔f (x )的图象关于原点对称． f (x )为偶函数⇔f (x )的图象关于y 轴对称．

此外，由奇函数定义可知：若奇函数f (x )在原点处有定义，则一定有f (0)=0，此时函数f (x )的图象一定通过原点．

周期性：

对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x +T )=f (x )成立，则函数f (x )叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．

关于函数的周期性，下面结论是成立的．

(1)若T 为函数f (x )的一个周期，则kT 也是f (x )的周期(k 为非零整数)．

(2)若T 为y =f (x )的最小正周期，则

|

|ωT 为y =Af (ωx +φ)+b 的最小正周期，其中ω≠0．

对称性：

若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2

b

a x +=

对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (b +x )则y =f (x )的图象关于点(

2

b

a +，0)对称．

函数的图象：

函数的图象是函数的一种重要表现形式，利用函数的图象可以帮助我们更好的理解函数的性质，我们首先要熟记一些基本初等函数的图象，掌握基本的作图方法，如描点作图，三角函数的五点作图法等，掌握通过一些变换作函数图象的方法．同时要特别注意体会数形结合的思想方法在解题中的灵活应用．

(1)利用平移变换作图：

y =f (x )−−−→−左右平移

y =f (x ＋a ) y =f (x )−−−→−上下平移

y =f (x )＋b

(2)利用和y =f (x )对称关系作图：

y =f (－x )与y =f (x )的图象关于y 轴对称；y =－f (x )与y =f (x )的图象关于x 轴对称

y =－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称；y =f -1(x )与y =f (x )的图象关于直线y =x 对称 (3)利用y =f (x )图象自身的某种对称性作图

y =|f (x )|的图象可通过将y =f (x )的图象在x 轴下方的部分关于x 轴旋转180°，其余部分不变的方法作出． y =f (|x|)的图象：可先做出y =f (x )，当x ≥0时的图象，再利用偶函数的图象关于y 轴对称的性质，作出y =f (x )(x ＜0)的图象．

此外利用伸缩变换作图问题，待三角的复习中再进行研究．

还要记住一些结论：若函数y =f (x )满足f (a －x )=f (b +x )则y =f (x )的图象关于直线2

b

a x += 对称，若函数y =f (x )满足f (a －x )=－f (

b +x )则y =f (x )的图象关于点(2

b

a +，0)对称．

(二)解题方法指导

例1．设a ≠0，试确定函数2

1)(x

ax

x f -=在(－1，1)上的单调性．

例2．讨论x

x x f 2

)(+

=的增减性．

例3． f (x )在(－∞，2)上是增函数，且对任意实数x 均有f (4－x )=f (x )成立，判断f (x )在(2，+∞)上的增减性．

例4*．已知函数f (x )的定义域为R ，对任意实数m ，n ，都有2

1)()()(++=+n f m f n m f 且当21

>x 时，

f (x )＞0．又.0)2

1

(=f

(Ⅰ)求证;1)2

1

(,21)0(-=--=f f (Ⅱ)判断函数f (x )的单调性并进行证明

例5．在R 上求一个函数，使其既是奇函数，又是偶函数