高中数学直线平面平行的性质及判定

一、空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和
2 圆柱的表面积
3 圆锥的表面积2
r rl S ππ+=
4 圆台的表面积2
2R Rl r rl S ππππ+++=
5 球的表面积2
4R S π=
二、空间几何体的体积
1柱体的体积 h
S V ⨯=底
2锥体的体积 h
S V ⨯=底31
3台体的体积 h
S S S S V ⨯++=)31
下下上上（ 4球体的体积 3
34R V π=
三、直线、平面平行的判定与性质 1、直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行， 用符号表示为a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ⇒a ∥α。

(1)运用直线与平面平行的判定定理时，必须具备三个条件： ①平面外一条直线；②平面内一条直线；③两条直线相互平行．
(2)直线与平面平行的判定定理的关键是证明两直线平行，证两直线平行是平面几何的问题，所以该判定定理体现了空间问题平面化的思想．
(3)判定直线与平面平行有以下方法：一是判定定理；二是线面平行定义；三是面面平行的性质定理.
【例1】 如右图所示，已知P 、Q 是单位正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的面A 1B 1BA 和面ABCD 的中心．
求证：PQ ∥平面BCC 1B 1.
证：如右图，取B 1B 中点E ，BC 中点F ，连结PE 、QF 、EF ， ∵△A 1B 1B 中，P 、E 分别是A 1B 和B 1B 的中点， ∴PE
1
2
A 1
B 1.同理QF 1
2
AB .又A 1B 1AB ，∴PE QF .
∴四边形PEFQ 是平行四边形． ∴PQ ∥EF .
又PQ ⊄平面BCC 1B 1，EF ⊂平面BCC 1B 1， ∴PQ ∥平面BCC 1B 1.
2
22r rl S ππ+=
2、平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线
与另一个平面相交直线，则这两个平面平
行．用符号表示为：a ⊂β，b ⊂β，a∩b＝P ，a ∥α，b ∥α⇒β∥α
(1)运用判定定理证明平面与平面平行时，两直线是相交直线这一条件是关键，缺少这一条件则定理不一定成立．
(2)证明面与面平行常转化为证明线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，逐步由空间转化到平面．
(3)证明平面与平面平行的方法有：判定定理、线面垂直的性质定理、定义． (4)平面与平面的平行也具有传递性.
【例2】 如右图所示，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1各棱长为4，E 、F 、G 、H 分别是
AB 、AC 、A 1C 1、A 1B 1的中点， 求证：平面A 1EF ∥平面BCGH .
思晨分析：本题证面面平行，可证明平面A 1EF 内的两条相交直线分别与平面BCGH 平行，然后根据面面平行的判定定理即可证明． 证明：△ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 的中点， ∴EF ∥BC .
又∵EF ⊄ 平面BCGH ，BC ⊂平面BCGH ， ∴EF ∥平面BCGH .
又∵G 、F 分别为A 1C 1，AC 的中点，
∴A 1G FC .
∴四边形A 1FCG 为平行四边形． ∴A 1F ∥GC .
又∵A 1F ⊄平面BCGH ，CG ⊂平面BCGH ， ∴A 1F ∥平面BCGH . 又∵A 1F ∩EF ＝F ，
∴平面A 1EF ∥平面BCGH .
3、直线与平面平行的性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线 与该直线平行。

用图形表示为：
用符号表示为：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b ⇒a ∥b .
(1)线面平行的性质定理是证线线平行的一个途径．
(2)证线线平行的途径还有：三角形的中位线、梯形的中位线、线面垂直的性质定理、平面内平行线的判定定理、平行公理、平面与平面平行的性质定理等. 【例3】如右图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC
的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)判断BC与l的位置关系，并证明你的结论．
(2)判断MN与平面PAD的位置关系并证明你的结论．
解：
（1）BC∥l.
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD.
又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BC∥平面PAD.
又BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l.∴BC∥l.
(2)MN∥平面PAD.
证明：取CD的中点E，连结ME、NE.
∵M、N分别为AB、PC的中点，
∴ME∥AD，NE∥PD.
又ME⊄平面PAD，NE⊄平面PAD，
∴ME∥平面PAD，NE∥平面PAD，
又ME∩NE＝E，
∴平面MNE∥平面PAD.
而MN⊂平面MNE.∴MN∥平面PAD.
4．平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．
用图形表示为：
用符号表示为：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
【例4】如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间，点A、D∈α，C、F∈γ，AC∩β＝B，DF∩β＝E.
(1)求证：ABBC＝DEEF；
(2)设AF交β于M，AD与CF不平行，α与β间的距离为h′，α与γ之间的距离为h，当h′h的值是多少时，S△BEM的面积最大？
有关平行的经验总结：
(1)经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行．
(2)两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面．
(3)已知平面外的两条平行线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面．
(4)如果一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么它与另一个也相交．
(5)一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线必垂直于另一个平面．
(6)平行于同一个平面的两个平面平行．
(7)平行于同一条直线的两条直线平行．
由两个平面平行来推证两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线.
实战演练
1、直线a∥α，则 ( )
A．平面α内有且只有一条直线与直线a平行
B．平面α内有无数条直线与直线a平行
C．平面α内不存在与直线a垂直的直线
D．平面α内有且只有一条直线与直线a垂直
解析：如右图，在正方体中，直线BC∥平面A′C′，但是平面A′C′内的直线B′C′和A′D′均平行于直线BC，所以A错；直线A′B′⊥BC，直线C′D′⊥BC，即平面A′C′内有两条直线垂直于BC，所以C和D错，应选B.
2、已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是( ) A．a∥α，b⊂αB．a∥α，b∥α
C．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β＝b
解析：a∥α，b⊂α，则a∥b或a，b异面，A错；a∥α，b∥α，则a∥b或a，b异面或a，b相交，B错；a∥α，α∩β＝b，则a∥b或a，b异面，D错；事实上，a∥c，b∥c，则a∥b，这是公理4，所以C正确．
3、设l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列命题：
①若l∥n且m∥n，则l∥m；
②若l∥α且m∥α，则l∥m；
③若n∥α且n∥β，则α∥β；
④若α∥γ且β∥γ，则α∥β；
其中正确命题的序号是________．(把正确命题的序号都填上)
解析：根据平行的传递性，显然①④正确；如右图所示，长方体ABCD－A′B′C′D′中，直线AD∥平面A′C′，直线AB∥平面A′C′，但是直线AD与直线AB相交，所以②错；直线AB∥平面A′C′，直线AB∥平面C′D，但是平面A′C′∩平面C′D于直线C′D′，所以③错．
答案：①④
4、如右图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点．求证：MN∥平面AA1C1.
证明：设A1C1中点为F，连接NF，FC，
∵N为A1B1中点，
∴NF∥B1C1，且NF＝B1C1，
又由棱柱性质知B1C1BC，又M是BC的中点，
∴NF MC，∴四边形NFCM为平行四边形．
∴MN∥CF，又CF⊂平面AA1C1，MN ⊄平面AA1C1，
∴MN∥平面AA1C1.
四、直线与平面垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直
2．平面与平面垂直
3．直线与平面所成的角
4．二面角的有关概念
证明线面垂直的方法：
一是线面垂直的判定定理；
二是利用面面垂直的性质定理；
三是平行线法(若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面)．Array注：线线垂直⇒线面垂直
1．线面所成的角：
∠叫做这条PA是平面α的一条斜线，AO是PA在平面α内的射影，则锐角PAO
直线和这个平面所成的角
2．三垂线定理及其逆定理：跟斜线垂直的直线必定与斜线的射影垂直
跟斜线射影垂直的直线必定与此斜线垂直
：
性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行。

注：线面垂直⇒线线平行
【例1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC
＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．
证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.
实战演练
1、若平面α外一条直线l 与α内两条直线都垂直，则l 与α的位置关系为（ ）
l C l B l A ..//.α
α
⊥与α相交 D 。

无法确定
2、“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的（ ） A ．充分不必要条件 B 。

必要不充分条件 C ．充分必要条件 D 。

不充分也不必要条件
3、判断下列命题是否正确
（1） 垂直于同一条直线的两个平面互相平行； （2） 垂直于同一平面的两条直线相互平行； （3） 一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线相互垂直。

（4） 已知直线b a ,和平面α，且α⊥⊥a b a ,，则α//b
4、对于任意直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l （ ） A. 平行 B 。

垂直 C 。

相交 D 。

互为异面直线 5.正方体1111D C B A ABCD -中，求证：
（1）⊥AC 平面D D BB 11，（2）⊥D B 1平面B C A 11
6.已知α⊥a b a ,//，求证α⊥b
7．如图，已知PA ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，O 、D 分别为AB 、AC 的中点，求证：OD ⊥平面PAC 。

C
B
P
8．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，求证：MN ⊥CD 。

9．在正方体1111D C B A ABCD -中，证明()111112)1(BC C A B D C A ⊥⊥
10.在斜边为AB 的ABC RT ∆中，过点A 作⊥PA 平面PB AE ABC ⊥,于E ，
PC AF ⊥于F ，
（1）求证：⊥BC 平面PAC ；（2）求证：⊥PB 平面AEF 。

D
C
B
C
P。