第2章 交会法和小三角测量
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检查手簿、抄录起算数据（核 对）、坐标反算、归心投影计算、 求各点坐标、评定精度。
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2020年6月30日星期二
§9.2 前方交会
一.前方交会的 计算
一. 计算公式（余切公式、戎格公式） P
已知点： A(XA,YA)、B(XB,YB) 待定点： P 观测数据：、,( =180--)
A
8
B
2020年6月30日星期二
直接计算待定点坐标的公式：
余切公式
xP
xA
cot
xB cot ( yB cot cot
yA)
yP
yA cot
yB cot (xA cot cot
xB )
A
正切公式
xP
xA
tan
xB
tan ( yB yA) tan tan tan
tan
yP
yA
tan
yB
tan (xA xB ) tan tan tan
折迭图形
基线边不通视的情况
13
2020年6月30日星期二
基线边不通视的情况的计算
可以把它转换成典型的两点前方交会， 另外，也可以按下式计算：
xP
xAtg AP xBtgBP yA tg AP tgBP
yB
YP
yActg AP yBctgBP xA ctg AP ctgBP
xB
它省去了坐标反算的步骤。
Δε允 = 0.2M
S pc
(9 - 6)
Spc不能太短，否则Δε允可以允许很大。 四、图形要求：同前方交会
17
2020年6月30日星期二
五、变形图形
A与B不通视，但可以观测到另 一个已知点D，如何求出α角？
18
2020年6月30日星期二
§9.4 后方交会
一、适应条件 适应已知点不能安置仪器
或不易到达的情况。 二、基本图形及计算公式 1．余切公式
由测角交会和测边交会知道： 确定一个点的平面位置，需要两个
观测量。
5
2020年6月30日星期二
3、小三角网的布设形式
D
D
B
E
F C
A
A
C
E
单三角锁
B
C
B
F
中点多边形
B A
D F
A
D
大地四边形
6
C
E
线型锁
2020年6月30日星期二
二、作业步骤
1．外业 选点（图上选点、实地勘察）、
造标、埋石、观测（测角、测边） 2．内业
10
2020年6月30日星期二
二、检核 1．两组前方交会 双点前方交会，不能发现观测错误及用
错起算数据的错误。为了检核，通常是布 设成两组前方交会，比较两组计算结果， 其差异是否在允许范围之内。
2．限差规定
s
x
2 p
y
2 p
20.1M (mm)
(9 -3)
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2020年6月30日星期二
三、图形要求
数
Ⅱ组
Baidu Nhomakorabea
α2=53°48′45″
据
β2=57°33′33″
计
算 (1)由I组计算得： XP′=398.151m YP′=413.249m
结 果
(2)由Ⅱ组计算得：XP″= 398．127m YP″=413.215m
(3)两组坐标较差：
x
2 p
y
2 p
0.042m≤限差
(4)P点最后坐标为：XP= 398.139m YP=413.232m
两个N值可互为计算的检核。
3）求坐标
(9 - 8)
xp
xC
N 1 ctg 2Q
N
yp
yC
ctgQ • 1 ctg 2Q
(9 - 9)
20
2020年6月30日星期二
2．仿权公式（安谢麦特公式） ： B
Rc Rb
Ra Rc
Rb
Rb Ra
PA
1
cot A cot
tan tan A tan tan A
tan
前方交会计算公 式
P
B
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2020年6月30日星期二
1）计算公式是根据A、B、P为 逆时针组成的图形导出的，实际计 算时必须按这样的顺序编号；
2）为了检核计算，以求出的P 点坐标和A点计算B点，与B点已知 值相比较。这种检核只能检核计算 是否正确，不能发现角度测错、用 错，已知点坐标用错，也不能提高 计算精度。
• 1．交会角γ：在测角交会图 形中，由未知点至相邻两起始 点间方向的夹角。
• 交会角太小或太大，相同的测 角误差将使待定点的点位误差 增大，如右图所示。
• 2．要求：30°≤γ≤150°
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2020年6月30日星期二
四、变形图形
为了满足交 会角的要求， 有时需要改 变前方交会 的基本图形。
四点前方交会
出P点坐标。
2
2020年6月30日星期二
3）后方交会 如图，A、B、C为已 知点，P为待定点， 在待定点P上安置仪 器，观测水平角，求
出P点坐标。
3
2020年6月30日星期二
4）其它交会
旁点交会图形
双点后方交会图形
4
2020年6月30日星期二
2．测边交会 如图，A、B为已知点， P为待定点，测量两 待定边的距离，求出 P点坐标。
注意图形编号顺序，对地形控制点，坐标取
至cm，三角函数要取6位小数。
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2020年6月30日星期二
前方交会计算实例
野外点位略图
已
点号
x/m
y/m
知
数
D6
116.942 683.295
据
D7
522.909 794.647
D8
781.305 435.018
观
Ⅰ组
α1=59°10′42″
测
β1=56°32′54″
1）求 ctgQ
I ( yC yB )ctg ( y A yC )ctg (xA xB ) II (xC xB )ctg (xA xC )ctg ( yC y A )
ctgQ I II
(9 - 7)
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2020年6月30日星期二
2）求N
N ( yC yB )(ctg ctgQ) (xC xB )(1 ctgctgQ) N ( yA yC )(ctg ctgQ) (xA xC )(1 ctgctgQ)
第九章 交会法和小三角测量
§9.1 概 述 一、控制点的布设形式 1．测角交会
1）前方交会 如图，A、B为已知
点，P为待定点，在两 个已知点上安置仪器， 观测水平角，求出P点 坐标。
1
2020年6月30日星期二
2）侧方交会 如图，A、B为已知 点，P为待定点，B点不 能安置仪器，所以在已 知点A及待定点P上安置 仪器，观测水平角，求
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2020年6月30日星期二
§9.3 侧方交会
一、适应条件 一个已知点不能设站，而未知点上可以设站。
二、计算公式 把侧方交会转化为前方交会，
β=180°- α –γ
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2020年6月30日星期二
三、检核
在待定点观测另一个已知点C得检查角ε， 计算出P点坐标后，反算PC、PB的方位角，其差
值为ε计，两者的差异Δε应满足下式规定：
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2020年6月30日星期二
§9.2 前方交会
一.前方交会的 计算
一. 计算公式（余切公式、戎格公式） P
已知点： A(XA,YA)、B(XB,YB) 待定点： P 观测数据：、,( =180--)
A
8
B
2020年6月30日星期二
直接计算待定点坐标的公式：
余切公式
xP
xA
cot
xB cot ( yB cot cot
yA)
yP
yA cot
yB cot (xA cot cot
xB )
A
正切公式
xP
xA
tan
xB
tan ( yB yA) tan tan tan
tan
yP
yA
tan
yB
tan (xA xB ) tan tan tan
折迭图形
基线边不通视的情况
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2020年6月30日星期二
基线边不通视的情况的计算
可以把它转换成典型的两点前方交会， 另外，也可以按下式计算：
xP
xAtg AP xBtgBP yA tg AP tgBP
yB
YP
yActg AP yBctgBP xA ctg AP ctgBP
xB
它省去了坐标反算的步骤。
Δε允 = 0.2M
S pc
(9 - 6)
Spc不能太短，否则Δε允可以允许很大。 四、图形要求：同前方交会
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五、变形图形
A与B不通视，但可以观测到另 一个已知点D，如何求出α角？
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§9.4 后方交会
一、适应条件 适应已知点不能安置仪器
或不易到达的情况。 二、基本图形及计算公式 1．余切公式
由测角交会和测边交会知道： 确定一个点的平面位置，需要两个
观测量。
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3、小三角网的布设形式
D
D
B
E
F C
A
A
C
E
单三角锁
B
C
B
F
中点多边形
B A
D F
A
D
大地四边形
6
C
E
线型锁
2020年6月30日星期二
二、作业步骤
1．外业 选点（图上选点、实地勘察）、
造标、埋石、观测（测角、测边） 2．内业
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二、检核 1．两组前方交会 双点前方交会，不能发现观测错误及用
错起算数据的错误。为了检核，通常是布 设成两组前方交会，比较两组计算结果， 其差异是否在允许范围之内。
2．限差规定
s
x
2 p
y
2 p
20.1M (mm)
(9 -3)
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2020年6月30日星期二
三、图形要求
数
Ⅱ组
Baidu Nhomakorabea
α2=53°48′45″
据
β2=57°33′33″
计
算 (1)由I组计算得： XP′=398.151m YP′=413.249m
结 果
(2)由Ⅱ组计算得：XP″= 398．127m YP″=413.215m
(3)两组坐标较差：
x
2 p
y
2 p
0.042m≤限差
(4)P点最后坐标为：XP= 398.139m YP=413.232m
两个N值可互为计算的检核。
3）求坐标
(9 - 8)
xp
xC
N 1 ctg 2Q
N
yp
yC
ctgQ • 1 ctg 2Q
(9 - 9)
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2．仿权公式（安谢麦特公式） ： B
Rc Rb
Ra Rc
Rb
Rb Ra
PA
1
cot A cot
tan tan A tan tan A
tan
前方交会计算公 式
P
B
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2020年6月30日星期二
1）计算公式是根据A、B、P为 逆时针组成的图形导出的，实际计 算时必须按这样的顺序编号；
2）为了检核计算，以求出的P 点坐标和A点计算B点，与B点已知 值相比较。这种检核只能检核计算 是否正确，不能发现角度测错、用 错，已知点坐标用错，也不能提高 计算精度。
• 1．交会角γ：在测角交会图 形中，由未知点至相邻两起始 点间方向的夹角。
• 交会角太小或太大，相同的测 角误差将使待定点的点位误差 增大，如右图所示。
• 2．要求：30°≤γ≤150°
12
2020年6月30日星期二
四、变形图形
为了满足交 会角的要求， 有时需要改 变前方交会 的基本图形。
四点前方交会
出P点坐标。
2
2020年6月30日星期二
3）后方交会 如图，A、B、C为已 知点，P为待定点， 在待定点P上安置仪 器，观测水平角，求
出P点坐标。
3
2020年6月30日星期二
4）其它交会
旁点交会图形
双点后方交会图形
4
2020年6月30日星期二
2．测边交会 如图，A、B为已知点， P为待定点，测量两 待定边的距离，求出 P点坐标。
注意图形编号顺序，对地形控制点，坐标取
至cm，三角函数要取6位小数。
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2020年6月30日星期二
前方交会计算实例
野外点位略图
已
点号
x/m
y/m
知
数
D6
116.942 683.295
据
D7
522.909 794.647
D8
781.305 435.018
观
Ⅰ组
α1=59°10′42″
测
β1=56°32′54″
1）求 ctgQ
I ( yC yB )ctg ( y A yC )ctg (xA xB ) II (xC xB )ctg (xA xC )ctg ( yC y A )
ctgQ I II
(9 - 7)
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2020年6月30日星期二
2）求N
N ( yC yB )(ctg ctgQ) (xC xB )(1 ctgctgQ) N ( yA yC )(ctg ctgQ) (xA xC )(1 ctgctgQ)
第九章 交会法和小三角测量
§9.1 概 述 一、控制点的布设形式 1．测角交会
1）前方交会 如图，A、B为已知
点，P为待定点，在两 个已知点上安置仪器， 观测水平角，求出P点 坐标。
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2020年6月30日星期二
2）侧方交会 如图，A、B为已知 点，P为待定点，B点不 能安置仪器，所以在已 知点A及待定点P上安置 仪器，观测水平角，求
15
2020年6月30日星期二
§9.3 侧方交会
一、适应条件 一个已知点不能设站，而未知点上可以设站。
二、计算公式 把侧方交会转化为前方交会，
β=180°- α –γ
16
2020年6月30日星期二
三、检核
在待定点观测另一个已知点C得检查角ε， 计算出P点坐标后，反算PC、PB的方位角，其差
值为ε计，两者的差异Δε应满足下式规定：