上海市金山中学2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)

2018 2
2019 cos
2019 2
2019 2 504 0 2018 0
=1009 故答案为：1009. 【点睛】本题考查了周期性在数列中的应用，属于中档题。
12.已知数列{ an }满足 a1 1, a2 >a1, an1 an 2n (n N ) ，若数列{ a2n }单调递增，数列{
______；
2 【答案】 3
【解析】 【分析】
先分组求和得 a1 a2 a2n ，再根据极限定义得结果.
a1 【详解】因为
a2
1 2
a3
，
a4
1 23
a2n1
，……，
a2n
1 22n1
，
a1 a2 a2n
1 2
1
1 4n
1 1
21 3
1 4n
所以
4
则
lim
n
a1
a2
a2n
2 3
.
【点睛】本题考查分组求和法、等比数列求和、以及数列极限，考查基本求解能力.
1 a a2 an1 1 an2 a 1, n N * n
13.用数学归纳法证明：“
1 a
”，在验证 n 1 成
立时，左边计算所得结果是（ ）
A. 1
B. 1 a
C. 1 a a2
D.
1 a a2 a3
【答案】C 【解析】 【分析】
根据 n 1 ，给等式左边赋值，由此得出正确选项.
由 sin2 A sin2 B sin2 C ，结合正弦定理可得， a2 b2 c2 ，由余弦定理可得
cos C a2 b2 c2 2ab 可判断 C 的取值范围
【详解】解：sin2 A sin2 B sin2 C ，
由正弦定理可得， a2 b2 c2
cos C a2 b2 c2 0
2 24
2，
2k 3 x 2k
可得
42
4
4k 3 x 4k
2
2，
在
2
,
2
范围内单调递增区间为
3 2
, 2
。
故答案为：
3 2
,
2
.
【点睛】本题考查了正弦函数的单调区间，属于基础题。
9.数列 an
中，若 a1
1， an
an1
1 2n
n N
lim
，则 n
a1 a2 a2n
上海市金山中学 2018-2019 学年高一数学下学期期末考试试题（含 解析）
—、填空题(本大题满分 54 分)本大题共有 12 题，其中第 1 题至第 6 题每小题 4 分，第 7 题 至第 12 题每小题 5 分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零 分。 1.在单位圆中，面积为 1 的扇形所对的圆心角的弧度数为_ ． 【答案】2 【解析】
1 1
1 4
1
1 5
n
1 4
t1
1
1
5
， 4 ，实数 t 的最小值为 4 ，故答案为 4 .
11.数列{
an
}的前 n
项和为
Sn
，若
an
1
n cos
n 2
(n
N)
，则{
an
}的前
2019
项和
S2019 ____.
【答案】1009
【解析】
【分析】
cos n 根据 2 周期性，对 2019 项进行分类计算，可得结果。
a2n a2n1 22n1 …①
a2n1 a2n2 22n2
…②
①+②,得 a2n a2n2 22n2 ， n 2
故 a2n a2n a2n2 a2n2 a2n4 ...a4 a2 a2
2n2 2n4 ... 22 a2
4 1 4n1
3
1 4
5 22n , n 2 3
sin( a) 4 sin 4
【详解】解：
5
5
sin
4 5
，又
cos
是第二象限角故
3 5
，
cos(2 a) cos 3 5
-3 故答案为： 5 ．
【点睛】本题考查同角的三角函数的关系，本题解题的关键是诱导公式的应用，熟练应用诱
导公式是解决三角函数问题的必备技能，属于基础题．
故答案为：18．
【点睛】本题考查等比数列的通项公式，是基础题．
3.已知角 的终边上一点 P 的坐标为 (3t, 4t)(t>0) ，则 2sin cos ____. 【答案】 1
【解析】 【分析】
由已知先求 OP=r=5t ，再由三角函数的定义可得 sin , cos 即可得解．
【详解】解：由题意可得点 P 到原点的距离 r (3t)2 (4t)2 5 t t 0 ，r 5t ，
6 的图象重合 m n 的最小值为（ ）
2 A. 3
5 B. 6
C.
4 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数 y sin 2x(x R) 的图象分别向左平移 m(m 0) 个单位，向右平移 n(n 0) 个单位
y
sin(2x
)
后的函数解析式，再根据其图象与函数
6 的图象重合，可分别得关于 m ， n 的
sin
6.设
2
sin ,
(
2
,
)
,则
tan(2
) 的值是____.
【答案】 3
【解析】
【分析】
根据二倍角公式得出 tan 3 ，再根据诱导公式即可得解。
【详解】解：由题意知： sin 2 2sin cos sin
(
2
,
)
sin
0
故 2 cos 1，
cos 1 sin 3
代入
n
1 ，有
a2
3
成立，
a2
n
5 22n 3
,n
N*
又 a2n1 a2n2 22n2
…③
a2n2 a2n3 22n3
…④
③+④，得 a2n1 a2n3 22n3 ， n 2
故 a2n1 a2n1 a2n3 a2n3 ... a3 a1 a1
22n3 22n5 ... 2 a1
2即
2
tan 3
tan 2 tan 3 。
故答案为 3 .
【点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式的应用，属于基础题。
a8 7
S15
7.已知{ an }是等差数列， Sn 是它的前 n 项和，且 a3 5 ，则 S5 ____.
21 【答案】 5
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质得 S15 15 a8 ， S5 5 a3 由此得解.
6
， k z ，故 12 ， k z ，
(k Z) ，
当 k 0 时， m 取得最小值为 12 ．
将函数 y sin 2x(x R) 的图象向右平移 n(n 0) 个单位，得到函数
y sin 2(x n) sin(2x 2n) ，
y sin(2x )
其图象与
6 的图象重合，
f
(x)
arctan
x
的图象中 x 轴下方的部分对称到
x轴
上方，
函数在 (, 0) 上递减；在 (0, ) 上递增．
函数 f (x) | arctan(x 1) | 的图象可由 f (x) arctan x 的图象向右平移 1 个单位而得，
在 ( ，1] 上递减，在[1 ， ) 上递增，
若存在 x1 ， x2 [a ， b] ， x1 x2 ，使 f (x1)… f (x2 ) 成立，a 1 故选： A ．
n
cos
【详解】解：根据题意，
2
(n N ) 的值以 0, 1, 0,1 为循环周期，
S2019 a1 a2 ... a2019
2019 cos
2 cos
3 cos
3
...
2019 cos
2019
2
2
2
2
2019
0
2
0
4
0
6
0
8
... 2017 cos
2017 2
2018 cos
sin(2x
2n)
sin(2x
6
)
2n
，
6
2k
，k
z
，
n
故
12
k
，k
z ，当 k
11 1 时， n 取得最小值为 12
，
m n 的最小值为 ，
故答案为： C ．
【点睛】本题主要考查诱导公式，函数 y Asin(x ) 的图象变换规律，属于基础题．
15.已知函数 f (x) arctan x 1 ,若存在 x1, x2 [a,b] ，且 x1<x2 ，使 f (x1) f (x2 ) 成立，
则以下对实数 a, b 的推述正确的是（ ）
A. a<1
B. a 1
C. b 1
D. b 1
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据 f (x) arctan x 的图象性质，推得函数 f (x) | arctan(x 1) | 的单调区间，再依据条
件分析求解．
【详解】解：
f
(x)
arctan
x
是把
试题分析：由题意可得：
．
考点：扇形的面积公式．
aБайду номын сангаас1 3
2.在数列{ an }中， a1 2 ， an
则 a3 ____.
【答案】18
【解析】
【分析】
直接利用等比数列的通项公式得答案．
an1 q 3
【详解】解：在等比数列{an}中，由 a1 2 ，公比 an
，
得 a3 a1q2 2 32 18 ．
) 为等差数列，则称函数
f
(x)
为“保比差数列函数”.现有定义在 (0, ) 上的如下
a2n1 }单调递减，数列{ an }的通项公式为____.
(2)n 5 【答案】 3
【解析】
【分析】
分别求出{ a2n }、{ a2n1 }的通项公式，再统一形式即可得解。 【详解】解：根据题意， a2 a1 21
a2 a1, a2 3
又
a2n1
单调递减，
{ a2n }单调递减增
a2n a2 , a2n1 a1
____.
【答案】
3 2
,
2
【解析】
【分析】
y
将函数进行化简为
2
sin
x 2
4
，求出其单调增区间再结合
2
,
2
，可得结论.
y sin x cos x
【详解】解：
22
2
sin
x 2
cos
4
cos
x 2
sin
4
2
sin
x 2
4
，
2k x 2k
递增区间 为 ：
【点睛】本题考查单调函数的性质、反正切函数的图象性质及函数的图象的平
移． f (x a) 图象可由 f (x) 的图象向左 (a 0) 、向右 (a 0) 平移| a | 个单位得到，属于基
础题.
16.已知数列
an
是各项均为正数且公比不等于
1
的
等比数列.对于函数
y
f
(x) ，若数列
ln
f
(an
sin y 4 cos x 3
由三角函数的定义可得，
r 5，
r 5，
此时 2sin cos 1； 故答案为： 1．
【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
4.在△ABC 中，若 sin2 A sin2 B<sin2C ，则△ABC 的形状是 ____.
【答案】钝角三角形 【解析】 【分析】
由余弦定理可得
2ab
C 2
∴ABC 是钝角三角形
故答案为：钝角三角形．
【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属
于基础题
sin(
5.若
)
4 5
，其中
是第二象限角，则
cos(2
)
____.
-3 【答案】 5
【解析】 【分析】 首先要用诱导公式得到角的正弦值，根据角是第二象限的角得到角的余弦值，再用诱导公式 即可得到结果．
10.数列
an
的前 n
项和为
Sn
a1
，已知
1 5
，且对任意正整数 m, n
，都有 amn
am
an
，
若 Sn t 恒成立，则实数 t 的最小值为________.
1 【答案】 4
【解析】
令
m
1，可得
an1
1 5
an
,an
是首项为
1 5
，公比为
1 5
的等比数列，所以
Sn
1 5
1
1 5
n
【详解】当 n 1 时，左边为1 a a11 1 a a2 ，故选 C.
【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题.
14.设函数 y sin 2x(x R) 的图象分别向左平移 m(m>0)个单位，向右平移 n(n>0>个单位，
y sin(2x )
所得到的两个图象都与函数
5 22n1 , n 2 3
代入 n 1 ， a1 1成立。
a2n1
5
22n1 3
，
n
N*
an
综上，
5 2n
3
,n
N*
【点睛】本题考查了等比数列性质的灵活运用，考查了分类思想和运算能力，属于难题。
二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题只有一个正确答案，考生应在答题
纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分。
方程，解之即可．
【详解】解：将函数 y sin 2x(x R) 的图象向左平移 m(m 0) 个单位，得函数
y sin 2(x m) sin(2x 2m) ，
y sin(2x )
其图象与
6 的图象重合，
sin(2x 2m) sin(2x ) 2m 2k
m k
6，
S15
【详解】解：由题意可知，
15a1 a15 15 2a8
2
2
15 a8 ；同理 S5
5 a3 。
S15 15a8 3 a8 21
故 S5 5a3
a3 5
.
21 故答案为： 5
【点睛】本题考查了等差数列的性质，属于基础题.
y
8.函数
sin
x cos 2
x 2
在 (2 , 2 ) 内的单调递增区间为