数值分析习题含答案

Lagrange 基函数，则有恒等式
k
x i li ( x )
i 1 n
k
x ,
k
k
0 ,1 ,
,n
l i ( x )( x i
i 1
x)
0,
k
0 , 1,
,n
证明： (1)
f
( n 1)
R(x)
f ( x)
Pn ( x)
( )
(n
1 )!
wn
1
( x)
因为 f(x) 是 n 次多项式，所以它的 式就是它自己。 (2) 取 f ( x )
x 1 )( x x 1 )( x 0 x 1 )( x x 1 )( x 2 5) 2 x 2 )( x x 2 )( x 0 x3) x3) x3) x3 ) (x ( x1 x 0 )( x x 0 )( x 3 3 x( x 2( 2 x 0 )( x x 0 )( x1 x1 )( x x 1 )( x 3 1)( x 1)( 2 5) 5) x 2 )( x x 2 )( x 1 x2 ) x2) 12 x3) x3)
x ,
k
n+1 阶导数为零。故
f(x) 关于这组节点的
n 次插值多项
k
0 ,1 ,
, n ，在 x 0 , x 1 ,
n
, x n 处进行 n 次拉格朗日插值，则有
( n 1)
x
k
Pn ( x )
R n (x )
i 0
li (x)
xi
k
f
( ) 1 )!
(n
wn
1
(x)
n
由于 f
(n
1)
( )
0 ，故有
f (x0 ) (x (x3 5) 5)
f ( x1 )
f (x 2) 2 )( x 2 )( 1
f (x3) x(x 5 (5 1)( x 1)( 5 2) 2)
2 )( x 2)( x 5) 2
x( x (1
147
x
2
R3 ( x )
1 24
x( x (x ( x0
1)( x x 1 )( x x 1 )( x 0 x 1 )( x x 1 )( x 2 1) 2 5 2)( x
x3) x3 )
f (x0 ) (x (x3
f ( x1 )
x 0 )( x x 0 )( x 2 1) x ( x 1)( 9x
2
( x2 (x ( 2 x
3
f (x 2) (x
f (x3) 1) (x (1 2)( x 2 )( 1 1) x 1)
2) x ( x 2 )(
1) 1)
4
2)( x
2
2 )( x
5) f
(4)
( ),
0
5 (x ( x1 x 0 )( x x 0 )( x 3 x 0 )( x x 0 )( x1 x1 )( x x 1 )( x 3 (x x 2 )( x x 2 )( x 1 x2 ) x2) x3) x3)
(2)
L 3(x) (x
x 2 )( x x 2 )( x 0 x3) x3) 15
f ' ( x0 )
(x ( x1
x0 )
x0)
2
f ( x1 )
(x
x0) (x
x 1 ) f ' ' ' ( ),
(a , b )
证明：根据已知条件可得到如下表所示的插值条件： x y y’ 建立差商表： 自变量 x0 x0 x1 则由 newton 插值公式可得：
f ( x1 ) f (x) f (x0) f ' ( x 0 )( x x0 ) x1 f (x0) x0 x1 x0 f ' (x0) (x x0 )
习题二 2-1 已知 y=f(x) 的数值如下： (1) x y (2) x y 解： (1)
L 3(x) (x ( x2 (x (x ( x0 x 0 )( x x 0 )( x 2 1 )( x ( 1)( x
3
0 2
1 3
2 12
3 147
-2 15
-1 4
0 5
1 24
求 Lagrange 插值多项式并写出截断误差。
( f (x)
N 2 ( x ))
( x)
有
x 0 , x , x1
三个零点，
' ( x) 有 x 0 ,
1
,
2
三个零点，则
'' '(x)
至少有一个零点，记作
。
则
' '' ( ) f ' ' '( ) (x 3! x0 ) ( x
2
( f (x) x1 )
N
2
( x ))
0
R ( x)
f '' ' ( ) 3!
2 . 48491
x2) x2 )
(x f ( x1 ) (x 2
x 0 )( x x 0 )( x 2
x1 ) x1 )
2. 47221
f ( x2 )
1. 85 ( 0 .15 ) 4 14 ) 2
2 . 63906
误差估计：
( 11 . 85
10 )( 11 . 85
12 )( 11 . 85
0
1
2
,2
8
)
f
(8)
( )
0 。
8!
2-8 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 有三阶导数，
(x x 1 )( x (x1 1 6
2
x 0 , x1
[ a , b ] ，证明：当
x
[ a, b ]
2
f ( x)
2x 0 x0 )
2
x1 )
f ( x0 )
(x
x 0 )( x x0 x1
x1 )
P4 (x)=0.9950-0.149(x-0.1)-0.4867(x-0.1)(x-0.2)+0.0534(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4) +0.040375(x-0.1)(x-0.2)(x-0.4) (x-0.6) 当 x=0.47 时， P4 (x)= 0.8916
R2 ( x ) sin( 0 .9 ) 5! 1 5!
P ( x) 1 x 2 x(x 1) f x(x
( 4)
1)
2
1
x
3
。 。
误差估计式：
R( x )
( )
x(x
1) 2 ( x
2)
4!
2-10 求满足下列条件的
Hermite 插值多项式 xi yi y’ i 1 2 1
2 1 3x 5 )( x 1)
2
2 3 -1
(x 1 )( x 2)
2
解：
H
1
2
[ 2 (1 2x
3
2 8x
x 1
2
1
)( x
2)
2
3 (1
2
x
(x
1) ( x
2
2)]
1
2-11 求一个不高于
4 次的插值多项式
p ( 0) p ' ( 0)
P4(x) ，使得
0, p (1) p ' (1) 1, p ( 2) 1。
解：根据已知条件可得到如下表所示的插值条件： x P P’ 建立差商表： 自变量 0 0 1 1 2 函数值 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 -1 -1 -0.5 0.25 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 0 0 0 1 1 1 2 1
x
( 0 . 47
0 . 1)( 0 . 47
0 .2 )( 0 . 47
0 . 4 )( 0 . 47
0 . 6 )( 0 . 47
0 .9 )
2 . 5517
10
6
。
R2 ( x )
( 0 . 47
0. 1)( 0. 47
0 .2 )( 0 . 47
0. 4 )( 0 . 47
0 .6 )( 0. 47
j 0
x j l j (x )
k
x ,
k
k
0 , 1,
,n 。
k
(3) 将 ( x j
x ) 按二项式展开，得
k
(xj
x)
k i 0
( 1)
k
i
C kx j x
i
i
k
i
，
n
n
k
k
n
则
j 0
(x
j
x) l j ( x)
j 0 i 0
k
( 1) C k x j
i
i
k
i
x
i
l j ( x)
i 0
( 1) C k x
12 )
1 . 3875
10
3
二次插值：
L 2 (x )
(x (x0
0 .15 2
x 1 )( x x 1 )( x 0
2 . 15 4 R2 (x)
x2 ) x2 )
2 . 30259 1 3x
3
(x f ( x0 ) ( x1
1 . 85 ( 2. 15 ) 2 ( 2)
x 0 )( x x 0 )( x 1
0. 9 )
3. 2576
10
x
6
2-5 在区间 [-4,4] 上给出 f(x)=e 在等距节点下的函数表，若用二次插值求 截断误差不超过 10 ，问所用函数表的步长应怎样选取？
x x
i
e 的近似值，要使
-6
解：在区间 [x i-1 ,x i ] 上，记 误差
R2 i ( x ) e 3! 10
2
h
(x
x0 ) ( x
2
x1)
。
2-9 用下列函数值表构造不超过
3 次的插值多项式，并建立误差估计式。 x f(x) f’ (x) 0 1 1 2 3 2 9
解： 建立差商表：
自变量 0 1 1 2
函数值 1 2 2 9
一阶差商
二阶差商
三阶差商
1 3 7 2 4 1
则由 newton 插值公式可得：
1)( x
5
24
2)( 9x (x
1)
( 1
1)( 1
2 ( 1)
R3 ( x )
1 24
1 ) xf
(4 )
( ),
2
1
2-2 已知函数 lnx 的如下数据 x y 8 2.07944 10 2.30259 12 2.48491 14 2.63906
试分别用 Lagrange 线性插值和二次插值计算 解：线性插值公式： 当 x=11.85 时，
2
x1 )
f (x0)
(x
x 0 )( x x0 x1
x1 )
f ' ( x0 )
(x ( x1
x0)
2 2
x0 )
f ( x1 )
R ( x)
其中 R(x) 由以下计算得到： 构造辅助函数：
(t ) f (t ) N 2 (t ) (t (x x0 ) (t x0 ) ( x
2 2
x1 ) x1 )
i
0 , 1,
x
125 x
5
237 x
3
999 , 计算差商
f [ 2 ,2 ] , f [ 2 ,2 ,
0
1
0
1
,2 ] 及 f [ 2 , 2 ,
7
0
1
,2 ] .
8
函数值 -886 -2975
一阶差商
-2089
f (2 , 2 ,2 ,
,2
)
f
( 7)
( )
7!
1，
f (2 , 2 ,2 ,
1 2
s
2
[( x
xi
1
))( x
x
i
1 2
)( x
x i )]
e
4
h
3
来自百度文库
[ s( s
1)( s
1)] 24
3 9
e h
4
3
10
6
3!
8
h
1 . 317
则用二次插值的步长应：
h
0 .6585
10
2
2-6 对区间 [a,b] 作步长为 h 的剖分，且 做线性插值，其误差限为 证明：区间上的误差限： 误差限： 2-7 设 f ( x ) 解： 自变量 1 2
cos0.47 的近似值并估计截断误差。
解： 自变量 0.1 0.2 0.4 0.6 0.9 函数值 0.9950 0.9801 0.9211 0.8253 0.6216 -0.149 -0.295 -0.479 -0.679 -0.4867 -0.46 -0.4 0.0534 0.0857 0.040375 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商
1 .98875
10
4
。
2-3 设 x 0 , x 1 ,
, x n 为任意给定的
n+1 个互不相同的节点，证明： f(x) 关于这组节点的 n 次插值多项式就是它自己。
(1) 若 f(x) 为不高于 n 次的多项式，则 (2) 若 l i ( x ) ( i
0 ,1,
, n ) 是关于这组节点的
n
f [ 2 ,2 ] =-2089 ，
0 1 2 7
0 1 7
f (x)
M ,
x
[ a , b ] ，证明：在任意相邻两节点间
R1 ( x )
1 8
Mh
2
。
x xi x xi M
1
f ( ) R1 i ( x ) 2 M 8 h 2,
h ,
2
x
8 ,n
[ xi , xi
1
]
R1 ( x )
max R1 i ( x )
则由 newton 插值公式可得：
P ( x) 1 (x 0)
2
1
(x
0) ( x
2
1)
0 .25
(x
0) ( x
2
1)
2
0 . 25 x
4
1 .5 x
3
2 .25 x
2
。
2-12 根据下表建立三次样条插值函数 x f(x) f’ 1(x) 解：
1
1
1 2 1
1
2 4
3 2 -1
0
2
,
1
1
i
i
i j 0
x
k j
i
l j (x)
由上题的结论得：
k i i 0 i i k i k k i i 0 i
( 1) C k x x
x
( 1) C k
0。
2-4 已知函数表 x y 0.1 0.9950 0.2 0.9801 0.4 0.9211 0.6 0.8253 0.9 0.6216
试构造四次 Newton 插值多项式，计算
2
x0 f(x 0)
0) f ’ (x
x1 f(x 1 )
函数值 f(x 0) f(x 0) f(x 1)
一阶差商
二阶差商
f ’ (x 0)
f ( x1 ) x1 f ( x0 ) x0 f ( x1 ) x1 f ( x0 ) x0 x1 x0 f ' ( x0 )
R(x)
整理得：
f ( x) (x x1 )( x ( x1 2 x0 x0 )
L 1 (11 . 85 ) 1 2x
2
ln(11.85) 的近似值，并估计它的截断误差。
x x1 x0 x0 f ( x1 )
L1 ( x )
x x0
x1 x1
f ( x0 )
x 10
12 12
2 . 30259
x 12
10 10
2 . 48491
2 . 47124
R1 ( x )
(11 .85
10 )( 11 . 85