[精华版]《几何与代数》 科学出版社 第三章 几何空间3

例18. 求证L1:
x3 y3 z+1 4 = 1 = 1
L2: x y z+2 2 = 0 = 1
是两条异面直线，并求出它们之间的最短距离.
解： s1 4,1, 1 , s2 2,0, 1 , P1P2 3, 3, 1 ,
公垂线的方向为
s s1 s2 1, 2, 2 ,
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s1, s2 , P1P2 1 0, 所以是两条异面直线.
1 3
.
s1
法2： n1 s n 4,0,4 , s1 n1 n 8,8, 8 ,
cos
s s1
1, 2,1 1, 1,1 2
2,
arc cos
2 3
2.
s s1
63
3
第三章 几何空间 2. 距离
(1) 点P到直线L的距离:
d
=
||P0Ps|| ||s||
(2) 两平行直线之间的距离:
既不相交又不平行
d P1P2 s1s2
d
=
|(s1s2)·P1P2| ||s1s2||
P2 s1 s2
L1
s1
P1
d
=
|(s1, s2, P1P2)| ||s1s2||
s1s2 P1P2
几何意义: 以 s1, s2 , P1P2为相对棱
s2
的平行六面体的底面上的高.
s1
第三章 几何空间
§3.4 空间的平面和直线
1. 夹角 3.平面束方程
2. 距离
第三章 几何空间 三平面的相对位置
1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
§3.4 空间的平面和直线
3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0
A1 B1 记A = A2 B2
A3 B3
r2= r1= 3 交于一点
C1 C2 , C3
A~ =
A1 A2
B1 B2
C1 C2
D1 D2 .
A3 B3 C3 D3
r2= r1 = 2 < 3 交于一线 r2= r1 = 1 < 3 三平面重合 r2= r1+1 无解 平行 或 “ ” 或 “∆”
第三章 几何空间
例15. 讨论三个平面的相互位置, 其中a,b为参数.
11
b
3 a 1且b 0时, r2= r1= 3, 交于一点
0 a1 1b 1
00
b 1 b=0时,r2= r1+1,无公共点
第三章 几何空间
A~
11 b 3 0 a1 1b 1
00 b 1
§3.4 空间的平面和直线 a 1且b 0时, r2= r1= 3, 交于一点
b=0时, r2= r1+1, 无公共点
当 a=1,
b 1/2时, r2= r1+1, 无公共点
~ A
11 b 3 0 0 1b 1
r2+ r3
11b 3 001 2 0 0 0 1 2b
r3 br2
00 b 1
当a=1,
b=1/2时, r2= r1 =2 < 3 交于一线
r11/2r2
11 00
0 1
2 2
x 2 t
y t
z 2
s1, s2 , P1P2 1
d
.
s1 s2
3
第三章 几何空间
§3.4 空间的平面和直线
例18. L1: L2:
x3 y3 z+1
4 = 1 = 1
x 2
=
y 0
=
z+2 1
s2
L2
P2
2s
1
再求出公垂线的方程.
L1
解1： s1 4,1, 1 , s2 2,0, 1 , s 1, 2, 2 , s1 P1
d
=
||P2P1s|| ||s||
§3.4 空间的平面和直线
P○
○
P0 s
L
s L1 P1 d
s L2 P2
第三章 几何空间 2. 距离 (3) 点P(x1, y1, z1)到平面 : Ax+By+Cz+D=0的距离
§3.4 空间的平面和直线
d
=
|(P0P)n|
=
|n·P0P| ||n||
P· n
平面 1的法向量为
n1 s1 s 0,9,9 ,
平面 2的法向量为 平面 1的方程为
n2 s2 s 2, 5, 4 ,
(y 3)+(z+1)=0, 即: y+z 2=0.
平面 2的方程为 公垂线的方程为
2x+5y+4z+8=0
y+z2=0 2x+5y+4z+8=0
第三章 几何空间
§3.4 空间的平面和直线
1: x
+ y + bz = 3
§3.4 空间的平面和直线
2: 2x + (a+1)y + (b+1)z = 7
解：
3: (1 a)y + (2b 1)z = 0
11 b 3 A~ = 2 a+1 b+1 7
r22r1
11 b 3 0 a1 1b 1
0 1a 2b1 0
0 1a 2b1 0
r3+r2
第三章 几何空间
教学内容和学时分配
教学内容 §3.1 平面向量及其运算的推广 §3.2 空间坐标系 §3.3 空间向量的向量积和混合积 §3.4 平面和直线 §3.5 空间直角坐标变换 §3.6 用Matlab解题
学时数 1 1 1 2 0 1
第三章 几何空间
§3.4 空间的平面和直线 一. 平面的方程
重要信息: 重要工具:三个向量共面
n, P0
1. 点法式方程
2. 一般方程
3. 特殊位置的平面方程
4. 三点式方程
5. 截距式方程
s1
P1
P2 s2
二. 空间直线的方程
1. 参数方程
3. 一般方程
s n1 n2
三. 与直线、平面有关的一些问题
重要信息:
s, P0
2. 标准(对称)方程
4. 两点式方程
例18. L1:
d = |Ax1+By1+Cz1+D| A2+B2+C2
·
P0
(4) 两平行平面间的距离:
一平面上一点到另一平面距离
例17. 已知平面 1 // : x y z 1 0, 且相隔 3 个单位，求平面 1 的方程。
第三章 几何空间 (5) 异面直线之间的距离
§3.4 空间的平面和直线 s2 L2
s n
s1
第三章 几何空间
§3.4 空间的平面和直线
例16. 求直线L:
x+7 y6 z5 1 = 2 = 1
与平面 : x+2y+z+1=0之间的夹角.
解： s 1, 2,1 , n 1, 2,1 ,
sin cos s n 2 1 ,
sn 66 3
1
s
nπ s1
1
n1
s n
arcsin
第三章 几何空间 三. 与直线、平面有关的一些问题
§3.4 空间的平面和直线
1. 夹角
规定夹角的范围0
/2.
(1) 两条直线的夹角 (2) 两个平面的夹角
cos s1 s2
s1 s2
n1, n2
(3) 直线与平面的夹角
s, s1
2
sin cos
sn sn
s1
s2 n1 , n2