[精华版]《几何与代数》 科学出版社 第三章 几何空间3
几何代数 第三章
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
定理3.2 若向量1,2不平行, 则向量3与1,2共面 存在唯一的有序实数组(k, l), 使得3 = k1+l2. 3可由 1,2唯一的线性表示. 推论3.2 向量1, 2 , 3共面 存在不全为零的实数k1,k2 ,k3, 使得 k11+k22+k33 =. 存在一个向量可由其余向量线性表示(.但不知是哪个向量)
z P1
O x
P1P2 = OP2OP1 P2 = (x2, y2, z2) (x1, y1, z1) y = (x2x1, y2y1, z2z1). 后项减前项
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
例4. 设两个定点为P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2), 若点P(x, y, z)把有向线段P1P2分成定比, 即P1P = PP2 ( 1), 求分点P的坐标.
1,2不平行,3与1,2共面 3 可由1,2唯一线性表示
在平面上任意一个向量都可以由平面上两个不共线向 量唯一的线性表示. 在空间上任意一个向量都可以由空间上三个不共面向 量唯一的线性表示.
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
1,2不平行,3与1,2共面3 可由1,2唯一线性表示.
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
三. 空间坐标系 1.仿射坐标系{O; 1, 2, 3 } 坐标原点; 坐标向量(基); 坐标轴; 坐标(分量) ; 右(左)手仿射坐标系.
= x1+y2+z3= (x, y, z)
3
O
2
1
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
《几何与代数》 科学出版社 第三章 几何空间1
1715年，瑞士伯努力将平面解析几何推广到空间 解析几何. 解析几何为微积分的出现创造了条件.
几何向量是研究空间解析几何的工具；也是 研究数学中其它一些分支、力学及三维计算机 图形学、三维游戏设计等学科的工具.
第三章 几何空间
§3.1-2 空间向量及空间坐标系 一. 空间向量的线性运算 二. 共线、共面向量的判定 三. 空间坐标系 四. 空间向量线性运算的坐标表示 五. 空间向量的数量积
第三章 几何空间
§3.1-2空间向量及空间坐标系
3. 共面的判定
定理3.2 若向量1,2不平行, 则向量3与1,2共面
存在唯一的有序实数组(k, l), 使得3 = k1+l2. 3可由 1,2唯一的线性表示. 推论3.2 向量1, 2 , 3共面 存在不全为零 的实数k1, k2 , k3, 使得 k11+k22+k33 = . 推论3.2 向量1, 2 , 3共面 1,2 ,3 线性相关. 注：向量1, 2 , 3不共面 k11+k22+k33 = 只有零解，即k1= k2 = k3 =0 1,2 ,3 线性无关
一. 空间向量的线性运算
1. 向量的概念及其表示 既有大小又有方向的量 AB , , , , a, b 1). 向量： 2). 向量的长度或模： AB , , a 3). 自由向量： 只考虑向量的大小和方向不计较起点位置 4). 相等向量： 长度相等且方向相同 5). 负向量： 长度相等且方向相反 6). 零向量： 或 0 长度为零，方向任意 7). 单位向量：长度为1 8). 平行(共线)向量： // 方向相同或相反
向量的减法
几何原本简介
各卷简介
• • • • • • • • • • • • • • 第一卷：几何基础。重点内有三角形全等的条件， 三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形 等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是 毕达哥拉 斯定理的正逆定理； 第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形； 其中12、13命题相当于余弦定理。 第三卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些 定理。 第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质； 第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论,被认为是"最 重要的数学杰作之一" 第六卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质。 第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是 篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一 命题是极限思想的雏形。 第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容. 从这些内容可以看出，目前属于中学课程里的初等几何的主要内容已经 完全包含在《几何原本》里了。因此长期以来，人们都认为《几何原本》是 两千多年来传播几何知识的标准教科书。属于《几何原本》内容的几何学， 人们把它叫做欧几里得几何学，或简称为欧氏几何。 Arkey Works
在《几何原本》中，欧几里得首先给出了点、线、 面、角、垂直、平行等定义，接着给出了关于几何 和关于量的十条公理，如“凡直角都相等”、“整 体大于部分”以及后来引起的许多纷争“平行线公 理”等等。公理后面是一个一个的命题及其证明， 内容丰富多彩。公理化结构是近代数学的主要特征 而《几何原本》则是公理化结构的最早典范。欧 几里得创造性的总结了他以前的古希腊数学，将 零散的，不连贯的数学知识整理起来加上自 己的大量创造，构造出彼此内在联系的有机 的宏大大厦。 本书共分为13卷，有5条公设、五条公 理、119个定义和465个命题，构成 历史上的一个数学公理体系。
代数几何中文教材
代数几何中文教材
代数几何是现代数学的一个重要分支，以下是5本代数几何相关的中文教材及其出处、意思赏析：
- 《代数几何初步》，作者是吴子恺，由科学出版社出版。
这本书是一本简明的入门教材，适合初次接触代数几何的读者。
它以代数簇为主要对象，介绍了代数簇的基本概念、性质和定理，并通过具体的例子说明了这些概念和定理的应用。
- 《代数几何引论》，作者是范德瓦尔登，由科学出版社出版。
这是一本经典的代数几何教材，涵盖了代数几何的所有重要主题，包括交换代数、代数曲面、代数曲线等。
这本书的讲解深入浅出，适合作为本科生和研究生的教材。
- 《代数几何原理》，作者是亚历山大·格罗滕迪克，由高等教育出版社出版。
这本书是代数几何领域的一本里程碑式的著作，它以代数簇为中心，介绍了代数几何的基本概念、方法和定理，同时也探讨了代数几何的一些前沿问题。
这本书的内容非常深刻，适合数学专业的研究生和研究人员阅读。
- 《代数几何》，作者是陈志杰、冯克勤，由中国科学技术大学出版社出版。
这本书以代数簇为主要对象，介绍了代数簇的基本概念、性质和定理，并通过具体的例子说明了这些概念和定理的应用。
这本书的讲解比较详细，适合作为本科生和研究生的教材。
- 《代数几何学》，作者是吴文俊、李忠，由科学出版社出版。
这本书以代数簇为主要对象，介绍了代数几何的基本概念、方法和定理，
同时也探讨了代数几何的一些前沿问题。
这本书的内容比较基础，适合数学专业的本科生和研究生阅读。
代数几何是一门抽象的学科，学习时需要具备一定的数学基础和抽象思维能力。
如果你对代数几何感兴趣，可以选择适合自己的。
数学中的几何与代数
数学中的几何与代数数学是一门庞大而复杂的学科，包含了各种各样的分支领域。
其中，几何和代数是数学中两个重要而又截然不同的分支。
几何关注的是空间形状和它们之间的关系，而代数则研究数字和符号之间的运算、结构和变化。
尽管几何和代数可以独立发展，但它们之间有着深刻而关键的联系。
一、几何几何是关于形状、尺寸、位置和运动的数学分支。
它研究的对象包括点、线、面、体以及它们之间的关系。
几何的基础可以追溯到古希腊时期，并在欧几里德的《几何原本》中得到系统的整理。
在几何中，我们学习了很多重要的概念和定理，例如直线、角度、圆、三角形和多边形等。
这些概念和定理为我们对空间进行描述和分析提供了基础。
通过几何，我们可以研究物体的形状和属性，探索它们之间的相似性和差异性。
几何与代数的关系在于几何可以通过代数方法进行表达和推导。
例如，我们可以使用坐标系将点、线和图形表示为代数方程，从而更方便地进行分析和计算。
此外，几何中的一些定理和性质可以通过代数的推导和证明得到。
因此，几何与代数的结合使得我们能够在两个领域中更加灵活地运用数学方法。
二、代数代数是数学的一个分支，研究的是数和符号之间的运算和关系。
它使用符号和字母来表示数和未知数，并通过代数运算来解决各种数学问题。
代数中最基本的运算包括加法、减法、乘法和除法，其中的规则由代数的公理和定理来描述。
代数在几何中起着重要的作用。
它提供了一种抽象的方法来研究几何问题。
通过引入代数符号和方程，我们可以将几何问题转化为代数问题，并利用代数的方法解决。
这种代数与几何的联系被称为解析几何，为我们探索和分析几何中的复杂问题提供了有力的工具。
此外，代数还与其他数学分支有着密切的联系。
它是数论、线性代数、抽象代数等许多数学领域的基础。
代数的概念和方法在各种数学问题和应用中都扮演着重要的角色。
三、几何与代数的应用几何和代数在数学中的应用广泛而深远。
它们不仅仅是数学学科中的学习内容，也被应用在许多实际问题的解决中。
【东南大学】《几何与代数》总复习资料资料
主讲: 关秀翠
东南大学数学系
加法和数乘 一 AB: 交换律消去律 转置: (AB)T=BTAT 般
秩: r(A)=行(列)秩 矩 分块运算: 分块转置
阵 初等行(列)变换
Ak , f(A) |A|: Rnn R tr(A)=aii: Rnn R 方 A1: AB=BA=E A*=(Aji): AA*=|A|E 阵
n
i为特征值
①秩
①② ③
Rnn
P可逆, s.t.
B PT AP
实对称
Ep Eq
O
③r,p,q, 对称性, 正定性 ①秩
《几何与代数》复习要点
二次曲面
一般方程表示的二次曲面
f(x1, x2, x3) = xTAx + BTx + c = 0
作直角系的旋转变换
3) r(Amn) = r A Em(r)nP,Q可逆,A =PEm(r)nQ.
A中至少有一个 r级子式0, 任一k(>r)级子式=0.
A Rsn, B Rnt , r A r B n r AB minr A , r B
r
B
r
A O
O
B
n,
if r A n
9)
设A是n(2)阶方阵, 则
r
A*
1,
if r A n 1
0, if r A n 2
作用 初等变换 终止矩阵
结果
秩
行变换 阶梯阵
极大无 关组(基)
阶梯阵 行变换
行最简形
线性代数与空间解析几何(第3版)课件3.2
a
= (b1 - a1 )2 + (b2 - a2 )2 + (b3 - a3 )2
由此式可推出
a1b1+ a2b2 + a3b3 = 0.
返回
定义 设向量
a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3)
a
b
=
a1b1+
a2b2 +
a3b3
称为 aa
a与 b
记为
a的2 内积（或数量积）.
四面体 ABCD 的体积.
解 由立体几何知，四面体的体积等于以向量AB 、 AC 、 AD为棱的平行六面体的体积的六分之一.
V 1 [AB AC AD] 6
AB ( x2 x1, y2 y1, z2 z1 )
返回
AB ( x2 x1, y2 y1, z2 z1 )
AC ( x3 x1, y3 y1, z3 z1)
(4)
(a)
( b )
(a
b),
, R;
(5) a (b c) a b a c.
性质(2)—(5)很容易用内积定义作出证明.
返回
由余弦定理可知
|| a b
||
a
||2
||2
||
b
||2
2
||
a
||||
b
||
cos
b
2 ||
a
||||
b
|| cos
||
a
||2
(a b) c (a c) c 0 c (b c) c
0
0
(a b)
2(a
0 b)
c
a (a c)
第三章几何空间_线性代数与解析几何
几何与代数主讲: 张小向第三章几何空间第一节平面向量及其运算的推广第二节空间坐标系第三节空间向量的向量积和混合积第四节平面和直线第五节空间直角坐标变换第六节用Matlab解题笛卡儿[法] René Descartes(1596.3-1650.2)费马[法] Pierre de Fermat (1601.8-1665.1)伯努利[瑞士] Johann Bernoulli (1667.7-1748.1)欧拉[瑞士] Leonhard Euler (1707.4-1783.9)笛卡儿[法] René Descartes (1596.3-1650.2)费马[法] Pierre de Fermat (1601.8-1665.1)伯努利[瑞士] Johann Bernoulli (1667.7-1748.1)欧拉[瑞士]Leonhard Euler(1707.4-1783.9)拉格朗日[法]Joseph-Louis Lagrange(1736.1-1813.4)§3.1 平面向量及其运算的推广∙A (起点)∙B (终点)AB向量的AB 长度(模): ||AB ||零向量θ: ||θ|| = 0 单位向量: 长度= 1α两个向量相等: 长度相等, 方向一致一. 空间向量的线性运算1. 加法(1) 三角形法则B CαβAα+ β= AB + BC = AC注: ||α|| -||β|| ≤||α+β|| ≤||α|| + ||β||.一. 空间向量的线性运算1. 加法(1) 三角形法则(2) 平行四边形法则αβABCα+ β= AB + BC = AC(3) 负向量α-α注: θ= -θ.(4) 向量的减法α-β= α+ (-β).-βαα-ββ(4) 运算性质①交换律α+ β= β+ α.②结合律(α+ β) + γ= α+ (β+ γ).③α+ θ= α.④α+ (-α) = θ.α-α∙例1.CABD GE FHAG = AB + BF + FG= AB + AE + ADDE = DA + AE= -AD + AE= AE -AD2. 数乘α——向量k ——数k α——向量大小: |k |⋅||α|| 方向k = 0或α= θ时: 无k > 0且α≠θ时: 同αk < 0且α≠θ时: 同-ααβγβ= 2α, γ= --α. 1(1) 定义(2) 运算性质①1α= α;②(ab)α= a(bα);③(a+b)α= aα+ bα;④a(α+β) = aα+aβ.注: (-1)α= -α.数乘负向量3. 线性组合α1, α2, …, αs——向量k1, k2, …, k s——数k1α1+ k2α2+ … + k sαs——向量α1, α2, …, αs的一个线性组合组合系数例2.OL O A BCD FE I GH OA BCDFI L E = OF + FL = OF + FI 1 2= OF + OF + FI 1 2 1 2 1 2 = OF + OI 1 2 1 2例2.OL OI O A BCD FE I GH OA BCDFI L E = OF + OI 1 2 1 2 = (+ ) 12OA + AI OB + BI = (OA + OB ) 1 2= OD + OE例2.OL O A BCD FE I GH OA BCDFI L E = OF + OI 1 2 1 2 = OD + OE + OF 1 2 1 2 1 2例2.OL O A BCD FE I GH OABC D FJE= OD + OE + OF 1 2 1 2 1 2 GOJ = OD + OE + OF 1 2 1 2 1 2例2.OL O A BCD FE I GH OABCD FKE= OD + OE + OF 1 2 1 2 1 2 OJ = OD + OE + OF 1 2 1 2 1 2 OK = OD + OE + OF 1 2 1 2 1 2H例2.OJ O A BCD FE I GH = OK = OL= OD + OE + OF 1 2 1 2 1 2DG , EH , FI 交于一点且被交点平分4. 共线/共面问题OA 1A 2A sα1α2αs点O , A 1, A 2, …, A s 在同一直线上.α1, α2, …,αs 共线:点O , A 1, A 2, …, A s 在同一平面上.α1, α2, …,αs 共面:(1) 定义∃k 1, k 2, …, k s 使β= k 1α1+k 2α2+ … + k s αs β能由α1, α2, …,αs 线性表示:∃不全为零的k 1, k 2, …, k s 使α1, α2, …,αs 线性相关:α1, α2, …,αs , β——向量k 1α1+k 2α2+ … + k s αs =θk α+k α+ … +k α=θ⇒k =k = … =k = 0.α1, α2, …,αs 线性无关:(2) 判定αβγβ= 2α, γ= --α. 1 2 定理 3.1. α≠θ, 则β与α共线⇔β能由α线性表示且表示方式是唯一的. 推论. α, β共线⇔α, β线性相关.2α-β= θ, 2γ+α= θ.αβγk1αk2β= k 1α+ k2β定理3.2. α与β不共线, 则γ与α, β共面⇔γ能由α, β线性表示且表示方式是唯一的. 推论. α, β, γ共面⇔α, β, γ线性相关.-k1α-k2β+ 1γ= θ例3. 证明: A , B , C , D 四点共面⇔O AB DCa OA +b OB +c OC +d OD = θ.存在不全为零的实数a , b , c , d 使得a + b + c + d = 0且证明: (⇒) A , B , C , D 四点共面⇒O A B DCa DA +b DB +c DC = θ.存在不全为零的实数a , b , c 使得a (DO +OA )+b (DO +OB ) +c (DO +OC ) = a OA +b OB + c OC -(a +b +c )OD = 令d = -(a +b +c )即可.证明: (⇐) 不妨设a ≠0. O A B DCa DA +b DB +c DC= a OA +b OB + c OC -(a +b +c )OD a (DO +OA )+ b (DO +OB ) + c (DO +OC ) = ⇒d = -(a +b +c ).a +b +c +d = 0a OA + b OB + c OC + d OD = θ=证明: (⇐) 不妨设a ≠0. O A B D Ca DA +b DB +c DC⇒A , B , C , D 四点共面.= a OA + b OB + c OC + d OD = θ⇒DA , DB , DC 共面⇒d = -(a +b +c ).a +b +c +d = 0二. 空间向量的数量积1. 定义α, β——向量α⋅β——数0 ≤ϕ≤π0 ——α或β= θ||α||⋅||β||⋅cos ϕ——α与β夹角为ϕ=2. 性质(1) α2= α·α= ||α||2≥0,α2= 0 ⇔α= θ.(2) α·β= β·α.(3) (aα)·β= a(α·β).(4) (α+ β)·γ= α·γ+ β·γ.A B πP Q lA 'B 'P 在l 上的投影AB 在l 上的投影向量3. 投影A B l A 'B '3. 投影αAB 在α上的投影为一个实数AB α= ||A 'B '|| ——A 'B '与α同方向时0 ——A 'B '= θ时-||A 'B '|| ——A 'B '与α反方向时对于任意非零向量α, β,(1) 若α与β的夹角为ϕ, 则αβ= ||α||·cosϕ.(2) α·β= ||α||⋅||β||⋅cosϕ= ||β||·αβ.(3) α⊥β⇔α·β= 0 ⇔αβ= 0.⇔|αβ| = ||α||.(4) α与β共线⇔|α·β| = ||α||·||β||π点B 到平面π的距离n π'A 'B 'lA⋅B⋅例4. d = ||A 'B '|| = |AB n |§3.2空间坐标系一. 仿射坐标系ε3ε2ε1O PQ M OP = OM + MQ + QP= a ε+ b ε+ c εOP= aε1+ bε2+ cε3= a'ε1+ b'ε2+ c'ε3⇒(a-a')ε1+ (b-b')ε2+ (c-c')ε3= θε, ε2, ε3不共面1⇒a-a'= b-b'= c-c'= 0⇒a= a', b= b', c= c'., ε2, ε3}中的定理3.3. 对于仿射坐标系{O; ε1任意向量α, 存在唯一的有序数组(a, b, c)使得α= aε1+ bε2+ cε3.定理3.3. 对于仿射坐标系{O ; ε1, ε2, ε3}中的任意向量α, 存在唯一的有序数组(a , b , c )使得α= a ε1+ b ε2+ c ε3.ε3ε2ε1O P坐标原点点P 的向径坐标向量或基α的坐标Oε1ε2ε3右手仿射坐标系O ε2ε1ε3左手仿射坐标系i j k ε3ε2ε1O 坐标轴坐标平面卦限VI VIIIII III IV V VIIIy z x OOP = a i + b j + c k(a , b , c ) ——点P 的(直角)坐标y zx OPab c二. 空间向量线性运算的坐标表示α+ β= (a1+b1, a2+b2, a3+b3),α= (a1, a2, a3),β= (b1, b2, b3),α+ β= (a1+b1)i+ (a2+b2) j+ (a3+b3)k ,α= a1i+ a2j+ a3k ,β= b1i+ b2j+ b3k ,kα= k a1i+ k a2j+ k a3k , = (k a, k a, k a).α= (a, a2, a3), β= (b1, b2, b3),1kα+ lβ= k(a 1, a2, a3) + l(b1, b2, b3)= (k a 1, k a2, k a3) + (l b1, l b2, l b3)= (k a 1+l b1, k a2+l b2, k a3+l b3)例5. P1(x 1, y 1, z 1), P 2(x 2, y 2, z2).xy zP1P 2 O∙∙P1P2= OP2-OP1= (x2, y2, z2) -(x1, y1, z1) = (x2-x1, y2-y1, z2-z1).例6. P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2),P1P= λPP2(λ≠-1), 求P(x, y, z).xy zP1PO∙∙P2∙⇓OP-OP1= λ(OP2-OP)⇓OP =OP1+λOP21+λy =y1+λy21+λ,x =x1+λx21+λ,z =z1+λz21+λ.⇓三. 空间向量数量积的坐标表示α⋅β= (a1i+ a2 j+ a3k)⋅(b1i+ b2j+ b3k )α= a1i+ a2j+ a3kβ= b1i+ b2j+ b3k= a1i⋅(b1i+ b2j+ b3k )+ a2j⋅(b1i+ b2j+ b3k )+ a3k⋅(b1i+ b2j+ b3k )= a1b 1+ a2b 2+ a3b3三. 空间向量数量积的坐标表示α⋅β= a1b1+ a2b2+ a3b3α= (a1, a2, a3), β= (b1, b2, b3)例7. α⋅α= a12+ a22+ a32||α||2=||α|| = a12+ a22+ a32点P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2)之间的距离为||P1P2|| = ( )2+ ( )2+ ( )2x2-x1y2-y1z2-z1例8. 设非零向量α= (a1, a 2, a 3), β= (b1, b2, b3) 之间的夹角为ϕ, 则α·β= ||α||·||β||·cosϕ,cosϕ= α·β||α|| ||β||a1b1+a2b2+a3b3=b12+ b22+ b32a12+ a22+ a32αβ= ||α||·cosϕa1b1+a2b2+a3b3 =b12+ b22+ b32y z x O αcos ϕ1, cos ϕ2, cos ϕ3 ——α的方向余弦ϕ1ϕ2ϕ3ϕ1, ϕ2, ϕ3——α的方向角k cos ϕ1, k cos ϕ2, k cos ϕ3 ——α的方向数(k ≠0)α= (a 1, a 2, a 3)的方向余弦cos 2ϕ1+ cos 2ϕ2+ cos 2ϕ3= 1cos ϕ1=a 1a 12+ a 22+ a 32y z x O αϕ1ϕ2ϕ3cos ϕ2=a 2a 12+ a 22+ a 32cos ϕ3=a 3a 12+ a 22+ a 32§3.3 空间向量的向量积和混合积一.空间向量的向量积1. 物理背景. αβϕα⨯β2. 向量积α⨯β的定义. ||α⨯β|| = ||α||⋅||β||⋅sin ϕ.(3) ||α⨯β|| ≠0时,α⨯β的方向: r ϕF M (1) α⨯β为一个向量. (2) α或β= θ时, α⨯β= θ;α, β都非零且夹角为ϕ时,α, β, α⨯β符合右手螺旋法则.αβϕα⨯β3.向量积的几何意义.注: ①向量α与β共线⇔α⨯β= θ.特别地, α⨯α= θ.②α⊥β⇔||α⨯β|| = ||α||⋅||β||.||α⨯β|| = ||α||⋅||β||⋅sinϕ.例9. 证明(α·β)2+ (α⨯β)2= α2β2.例10. ||α|| = 3, ||β|| = 11, 且α·β= 30. 求||α⨯β||.。
几何代数知识点总结归纳
几何代数知识点总结归纳几何代数是数学中两个重要分支的结合，它涉及到了几何学和代数学的知识。
几何代数集合了这两个学科的思想和方法，用来研究空间中的几何图形，以及这些几何图形所对应的代数关系。
在几何代数中，我们既要考虑到几何图形的性质和性质之间的关系，也要研究这些几何图形所满足的方程式以及它们的解集。
几何代数的研究和应用极为广泛，它在数学、物理、工程等领域都有重要的应用。
在本文中，我们将对几何代数的基础知识点进行总结和归纳，包括几何图形的性质、几何代数方程、向量和矩阵等内容，并将这些知识点进行详细的阐述和举例说明，以帮助读者更好地理解几何代数的相关概念和方法。
一、几何图形的性质几何图形是几何代数研究的核心对象，它们是由点、线和平面组成的，并且具有一定的形状和性质。
在几何代数中，我们常常需要了解和研究几何图形的各种性质，这些性质包括但不限于：图形的面积和体积、直线与平面的交点、平行线和垂直线的性质、多边形的类型和性质等等。
下面我们将逐一介绍这些几何图形的性质。
1. 几何图形的面积和体积在几何代数中，我们常常需要计算各种几何图形的面积和体积，这些图形包括但不限于：矩形、三角形、圆形、球体、锥形、圆柱等。
计算这些几何图形的面积和体积，需要用到各种数学方法，比如使用数学公式和几何推理。
以矩形为例，它的面积可以通过长乘宽来计算得到；而球体的体积可以通过公式V=4/3πr^3来计算得到。
2. 直线与平面的交点在几何代数中，我们常常需要研究直线和平面的交点问题。
给定一个平面和一条直线，我们需要计算这条直线与平面的交点坐标。
这涉及到了向量和坐标几何的知识，需要通过代数方法来解决。
我们可以通过向量的方法或者坐标系的方法来解决这类问题，从而得到直线与平面的交点坐标。
3. 平行线和垂直线的性质在几何代数中，平行线和垂直线是常见的概念，它们有许多重要的性质需要研究。
比如，两条平行线之间的角度是相等的；而两条垂直线之间的角度是 90°。
现代数学译丛(科学出版社
现代数学译丛（科学出版社·2000年前）《交换代数导引》[英]M.F.阿蒂亚I.G.麦克唐纳著冯绪宁(译)《偏微分方程的现代方法》[以色列]M·谢克特著叶其孝(译)《具非负特征形式的二阶微分方程》[苏]О·А·奥列尼克Е·В·拉德克维奇著辜联昆(译)《几何(第1卷)：群的作用、仿射与射影空间》[法]M.贝尔热著周克希陈志杰(译)《几何(第2卷)：欧氏空间、三角形、圆及球面》[法]M.贝尔热著周克希陈志杰(译) 《几何(第3卷)：凸集和多形、正多面体、面积和体积》[法]M.贝尔热著马传渔周克希(译) 《几何(第4卷)：二次型、二次超曲面与圆锥曲线》[法]M.贝尔热著陈志杰周克希(译) 《几何(第5卷)：球面、双曲几何与球面空间》[法]M.贝尔热著周克希顾鹤荣(译)《力学和物理学中的变分不等方程》[法]G·迪沃J·L·利翁斯著王耀东(译)《动力系统几何理论引论》[巴西]J.帕利斯著陈藻平(译)《单叶函数》[德]Ch.泊茂仁克著扬维奇(译)《多复变数》[法]H.格劳尔特K.弗里切著黄沙李生训(译)《实流形和复流形上的分析》[美]R.纳拉西姆汉著《局部类域论》[日]岩泽健吉著冯克勤(译)《常微分方程》[苏]В·И·阿诺尔德著沈家骐周宝熙卢亭鹤(译)《常微分方程续论：常微分方程的几何方法》[苏]В·И·阿诺尔德著齐民友(译)《微分方程在平面上定义的曲线》[巴西]J·索托梅约尔著盛立人(译)《微分方程的最大值原理》[美]M·H·普劳特H·F·温伯格著叶其孝刘西垣(译)《拓扑空间论》[日]儿玉之宏永见启应著方嘉琳(译)《拟共形映射与黎曼曲面》[苏]С.Л.克鲁什卡著李忠陈怀惠(译)《整体微分几何》[德]H.霍普夫著吴大任(译)《曲面拓扑学》[美]A·格拉曼著张耀成(译)《有限置换群》[德]H·维兰特著王萼芳(译)《有限群的线性表示》[法]J·P·塞尔著郝鈵新(译)《积分论》[瑞典]T.克莱松L.霍曼德尔著黄明游(译)《组合数学(附：组合矩阵论)》[美]H·J·赖瑟著李乔(译)《编码理论导引》[荷]J.H·van·林特著余敏安陈冬生熊荣华(译)《莫尔斯理论》[美]J.米尔诺著江嘉禾(译)《解析数论基础》[苏]A.A.卡拉楚巴著潘承彪张南岳(译)《非线性与泛涵分析》[美]M.S.博格著余庆余(译)《非线性微分方程》[意]G.桑森R.康蒂著黄启昌(译)。
空间科学中的代数几何
空间科学中的代数几何在当代科技中，数学扮演了至关重要的角色。
在物理、化学、生命科学等各个领域中，数学的作用都是不容忽视的。
而在空间科学中，代数几何更是一门与之密不可分的学科。
代数几何起源于17世纪欧洲，它主要研究的是代数方程和几何形状之间的联系。
在空间科学中，代数几何则主要应用于研究天体的运行轨迹和空间结构等问题。
首先，代数几何可以用来描述天体的轨道。
例如，当我们研究一个行星绕另一个行星旋转时，我们可以使用椭圆方程来描述其轨道。
这个方程可以写成以下形式：$$\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=1$$其中 $x_0$、$y_0$、$z_0$ 是轨道的中心点坐标，$a$、$b$、$c$ 是轴长，代表轨道的形状和大小。
通过这个方程，我们可以精确地描述天体的轨道，包括其运行速度、轨道倾角等等。
其次，代数几何还可以用来研究星系的构成和结构。
例如，在研究银河系中的恒星分布时，我们可以使用代数曲线来描述它们的分布规律。
代数曲线是一个由若干个方程组成的集合，它们共同描述了一个图形的形状和位置。
通过研究代数曲线，我们可以了解银河系中星体的分布情况、密度分布等等。
另外，代数几何还可以用来研究时空结构。
在相对论中，我们知道时空的结构是由质量和能量所引起的弯曲所决定的。
而代数几何可以用来描述这种弯曲的形式。
例如，在描述黑洞时，我们可以使用 Schwarzschild 方程来描述其周围的时空结构。
这个方程是一个二次曲面方程，它可以用来描述在黑洞周围的时空弯曲情况。
除了上述应用之外，代数几何还可以用来研究星际物理和宇宙学中的一些问题。
例如，在研究宇宙膨胀的过程中，我们可以使用 Friedmann 方程来描述宇宙中物质的分布、运动和时空结构。
这个方程是一个高阶的微分方程，它可以通过代数几何方法求解得到，从而提供了宇宙学研究的基础。
数学中的几何与代数
数学中的几何与代数数学作为一门广泛应用于各个领域的学科，包括了多个分支，其中几何和代数是两个重要且密切相关的分支。
几何研究的是空间中的点、线、面及其相互关系，而代数则关注的是数与符号之间的运算。
两者的结合使得数学更加丰富和有力，为解决实际问题提供了多种途径。
本文将从几何和代数的概念、方法以及它们之间的联系等方面来探讨数学中的几何与代数。
一、几何几何，起源于古希腊时期，是研究空间形状、大小、相对位置以及运动的学科。
在几何中，我们可以通过点、线、面等基本元素以及其相互关系来描述和分析空间中的对象。
几何包含了各种几何定理和几何性质，通过这些定理和性质，我们可以推导出空间中各种形状的性质和相互关系，进而解决实际问题。
几何学中包含了多个分支，比如平面几何、立体几何、射影几何等。
其中，平面几何主要研究平面内的形状和性质，立体几何则研究空间中的形状和性质，而射影几何则研究几何对象在投影变换下的性质。
几何的研究方法主要包括了演绎法、归纳法和逆推法等。
演绎法是几何中常用的一种证明方法，通过从已知条件出发，运用几何定理和性质来推导出所需要证明的结论。
演绎法在解决几何问题时，要注意逻辑的严密性和推理的正确性。
归纳法则是通过观察一系列例子中的共性，得出一般性结论。
在几何研究中，通过观察和分析具体的几何形状，从中总结出普遍性的规律和性质。
逆推法则是从所需要证明的结论出发，逆向思维，通过逆向推导得出合适的条件，从而进行证明。
二、代数代数是研究数与符号之间运算及其规律的学科。
代数的基本概念包括了数、变量、常数、运算符号等，通过对这些概念的运算和推理，我们可以研究和解决各种数学问题。
代数包含了多个分支，比如线性代数、高等代数、群论等。
其中，线性代数主要研究线性方程组和线性变换的性质，高等代数则研究代数结构和抽象代数的理论，而群论则研究了代数结构中的群的性质和性质。
代数的研究方法主要包括了方程法、等式法和代数运算法等。
方程法是代数研究中常用的一种方法，通过建立方程来描述和分析数学问题，然后运用代数运算的性质解决方程。
高数课件30空间几何3
证明
（1）、（3）由定义可证 余下证明（2）
仅就下图所示的情形给出证明，其它情形可 仿此证明
(a b ) c
| c | Pr j c ( a b ) | c | (Pr j c a Pr j c b ) | c | Pr j c a | c | Pr j c b a c b c
ab
b
a
c
设 a a xi a y j azk ,
b b x i b y j bz k
a b (a x i a y j a z k ) (b x i b y j bz k ) i j k , i j j k k i 0, | i | | j | | k | 1 , i i j j k k 1. a b a x bx a y b y a z bz
| a |
2 1 2 2
b b 1 , b 2 , b 3
2 3
a a a
| b |
b1 b 2 b 3
2 2
2
a b a 1 b1 a 2 b 2 a 3 b 3 | a b | | a | | b | | cos( a , b ) |
数量积与向量积
一、两向量的数量积
实例 一 物 体 在 常 力 F 作 用 下 沿 直 线 从 点 M 1 移 动 到 点 M 2 ， 以 s 表 示 位 移 ， 则 力F 所 作 的 功 为 (其 中 为 F 与 s 的 夹 角 ) W | F || s | cos
代数几何 方程空间
代数几何方程空间代数几何是研究代数结构与几何结构之间的相互关系的数学分支。
它将代数的方法应用于几何问题的研究，通过研究方程空间中的各种几何体，揭示了其中的深刻数学结构。
方程空间是代数几何中的一个核心概念，它是指所有满足同一组代数方程的点的集合，这些代数方程通常是多项式方程。
通过对方程空间的研究，我们可以从代数的角度去理解各种几何结构。
一个经典的例子是平面直角坐标系中的直线方程。
在二维空间中，一个直线可以通过一个一次多项式方程表示，例如y = ax + b。
我们可以将所有满足这个方程的点(x,y)表示成方程空间中的一个点(a,b)。
在这个例子中，方程空间是二维平面，它的坐标可以表示为(a,b)。
通过对方程空间的研究，我们可以得出几何上的结论，例如两条直线相交于一点等。
在更高维的情况下，方程空间的结构也变得更加复杂。
例如在三维空间中，一个平面可以通过一个二次多项式方程表示，例如ax + by + cz + d = 0。
方程空间是四维空间，它的坐标可以表示为(a,b,c,d)。
方程空间中的点对应于三维空间中的平面，我们可以通过对方程空间的研究来了解平面的各种性质，例如共面性、相交性等。
方程空间中的几何体是代数几何的重要研究对象之一。
它们可以通过方程的性质来刻画。
例如，一个直线可以通过一个线性方程表示，一个平面可以通过一个二次方程表示。
我们可以通过对方程的系数和根的研究来获取几何体的性质，例如直线的斜率和截距，平面的法向量等。
除了代数方程，方程空间还可以用于研究其他类型的方程，例如差分方程、微分方程等。
通过对方程空间的研究，我们可以获得这些方程解的性质，例如稳定性、周期性等。
在代数几何的研究中，方程空间是一个重要的工具和概念。
通过对方程空间的研究，我们可以从代数的角度去理解各种几何结构。
方程空间的研究不仅有助于揭示既有的数学结构，还可以为新的数学结构的发现提供线索。
因此，方程空间在代数几何领域有着重要的地位和影响力。
几何与代数关系
几何与代数关系几何与代数是数学中两个重要的分支，它们之间存在着紧密的联系和相互依赖关系。
几何研究的是空间中的形状、大小和位置关系，而代数则研究的是数与数之间的关系以及数学结构。
几何和代数之间的关系可以通过坐标系来说明。
在二维几何中，我们可以使用直角坐标系来描述平面上的点的位置，而这个坐标系就是通过代数的思想引入的。
我们可以将平面上的点与代数中的有序数对（x，y）对应起来，这样就建立了几何与代数之间的桥梁。
通过坐标系，我们可以用代数的方式来描述几何中的线、圆、多边形等图形。
几何与代数之间的关系还体现在几何问题的解决过程中。
在解决几何问题时，我们常常需要将几何问题转化为代数问题，然后通过代数的方法来求解。
例如，在求解一个三角形的面积时，我们可以通过坐标系将三角形的三个顶点表示成坐标（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），然后利用代数的方法计算出三角形的面积。
这种将几何问题转化为代数问题的思想在解决几何问题中起着重要的作用。
几何和代数之间还存在着共同的概念和性质。
例如，几何中的对称性在代数中有着对应的概念。
在几何中，我们研究的是图形的对称性，而在代数中，我们研究的是函数的对称性。
两者都是研究某种变换下的不变性。
又如，几何中的相似性和代数中的比例概念是相互对应的。
在几何中，我们说两个图形相似，意味着它们的形状相似，而在代数中，我们说两个数的比例相等，意味着它们的大小关系相等。
几何和代数之间的关系还可以从教学的角度来看。
在数学教学中，几何和代数往往是分开教学的，但实际上它们是相互联系的。
几何可以帮助学生形象地理解抽象的代数概念，而代数可以帮助学生更好地理解几何中的一些性质和定理。
因此，在数学教学中，应该注重几何与代数的结合，使学生从几何中感受到代数的思想，从代数中理解几何的本质。
几何与代数之间存在着密切的关系。
几何通过坐标系将几何问题转化为代数问题，而代数通过抽象的符号和运算帮助我们解决几何问题。
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第三章 几何空间 三. 与直线、平面有关的一些问题
§3.4 空间的平面和直线
1. 夹角
规定夹角的范围0
/2.
(1) 两条直线的夹角 (2) 两个平面的夹角
cos s1 s2
s1 s2
n1, n2
(3) 直线与平面的夹角
s, s1
2
sin cos
sn sn
s1
s2 n1 , n2
例18. 求证L1:
x3 y3 z+1 4 = 1 = 1
L2: x y z+2 2 = 0 = 1
是两条异面直线，并求出它们之间的最短距离.
解： s1 4,1, 1 , s2 2,0, 1 , P1P2 3, 3, 1 ,
公垂线的方向为
s s1 s2 1, 2, 2 ,
s1, s2 , P1P2 1 0, 所以是两条异面直线.
1 3
.
s1
法2： n1 s n 4,0,4 , s1 n1 n 8,8, 8 ,
cos
s s1
1, 2,1 1, 1,1 2
2,
arc cos
2 3
2.
s s1
63
3
第三章 几何空间 2. 距离
(1) 点P到直线L的距离:
d
=
||P0Ps|| ||s||
(2) 两平行直线之间的距离:
重要信息: 重要工具:三个向量共面
n, P0
1. 点法式方程
2. 一般方程
3. 特殊位置的平面方程
4. 三点式方程
5. 截距式方程
s1
P1
P2 s2
二. 空间直线的方程
1. 参数方程
3. 一般方程
s n1 n2
三. 与直线、平面有关的一些问题
重要信息:
s, P0
几何空间
教学内容和学时分配
教学内容 §3.1 平面向量及其运算的推广 §3.2 空间坐标系 §3.3 空间向量的向量积和混合积 §3.4 平面和直线 §3.5 空间直角坐标变换 §3.6 用Matlab解题
学时数 1 1 1 2 0 1
第三章 几何空间
§3.4 空间的平面和直线 一. 平面的方程
平面 1的法向量为
n1 s1 s 0,9,9 ,
平面 2的法向量为 平面 1的方程为
n2 s2 s 2, 5, 4 ,
(y 3)+(z+1)=0, 即: y+z 2=0.
平面 2的方程为 公垂线的方程为
2x+5y+4z+8=0
y+z2=0 2x+5y+4z+8=0
第三章 几何空间
§3.4 空间的平面和直线
d
=
||P2P1s|| ||s||
§3.4 空间的平面和直线
P○
○
P0 s
L
s L1 P1 d
s L2 P2
第三章 几何空间 2. 距离 (3) 点P(x1, y1, z1)到平面 : Ax+By+Cz+D=0的距离
§3.4 空间的平面和直线
d
=
|(P0P)n|
=
|n·P0P| ||n||
P· n
r2= r1= 3 交于一点
C1 C2 , C3
A~ =
A1 A2
B1 B2
C1 C2
D1 D2 .
A3 B3 C3 D3
r2= r1 = 2 < 3 交于一线 r2= r1 = 1 < 3 三平面重合 r2= r1+1 无解 平行 或 “ ” 或 “∆”
第三章 几何空间
例15. 讨论三个平面的相互位置, 其中a,b为参数.
既不相交又不平行
d P1P2 s1s2
d
=
|(s1s2)·P1P2| ||s1s2||
P2 s1 s2
L1
s1
P1
d
=
|(s1, s2, P1P2)| ||s1s2||
s1s2 P1P2
几何意义: 以 s1, s2 , P1P2为相对棱
s2
的平行六面体的底面上的高.
s1
第三章 几何空间
§3.4 空间的平面和直线
s n
s1
第三章 几何空间
§3.4 空间的平面和直线
例16. 求直线L:
x+7 y6 z5 1 = 2 = 1
与平面 : x+2y+z+1=0之间的夹角.
解： s 1, 2,1 , n 1, 2,1 ,
sin cos s n 2 1 ,
sn 66 3
1
s
nπ s1
1
n1
s n
arcsin
当 a=1,
b 1/2时, r2= r1+1, 无公共点
~ A
11 b 3 0 0 1b 1
r2+ r3
11b 3 001 2 0 0 0 1 2b
r3 br2
00 b 1
当a=1,
b=1/2时, r2= r1 =2 < 3 交于一线
r11/2r2
11 00
0 1
2 2
x 2 t
y t
z 2
11
b
3 a 1且b 0时, r2= r1= 3, 交于一点
0 a1 1b 1
00
b 1 b=0时,r2= r1+1,无公共点
第三章 几何空间
A~
11 b 3 0 a1 1b 1
00 b 1
§3.4 空间的平面和直线 a 1且b 0时, r2= r1= 3, 交于一点
b=0时, r2= r1+1, 无公共点
例18. L1:
s1, s2 , P1P2 1
d
.
s1 s2
3
第三章 几何空间
§3.4 空间的平面和直线
例18. L1: L2:
x3 y3 z+1
4 = 1 = 1
x 2
=
y 0
=
z+2 1
s2
L2
P2
2s
1
再求出公垂线的方程.
L1
解1： s1 4,1, 1 , s2 2,0, 1 , s 1, 2, 2 , s1 P1
1: x
+ y + bz = 3
§3.4 空间的平面和直线
2: 2x + (a+1)y + (b+1)z = 7
解：
3: (1 a)y + (2b 1)z = 0
11 b 3 A~ = 2 a+1 b+1 7
r22r1
11 b 3 0 a1 1b 1
0 1a 2b1 0
0 1a 2b1 0
r3+r2
d = |Ax1+By1+Cz1+D| A2+B2+C2
·
P0
(4) 两平行平面间的距离:
一平面上一点到另一平面距离
例17. 已知平面 1 // : x y z 1 0, 且相隔 3 个单位，求平面 1 的方程。
第三章 几何空间 (5) 异面直线之间的距离
§3.4 空间的平面和直线 s2 L2
1. 夹角 3.平面束方程
2. 距离
第三章 几何空间 三平面的相对位置
1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0
2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
§3.4 空间的平面和直线
3: A3x + B3y + C3z + D3 = 0
A1 B1 记A = A2 B2
A3 B3