江苏省南京市秦淮中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题
2020-2021学年江苏省淮安市某校高三(上)10月月考数学试卷 (有答案)
2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 向量a →=(1,−2)，b →=(2,−1)，则a →⋅b →=( ) A.5 B.3 C.4 D.−52. 集合A ={x|−1<x <3} ，B ={x|x 2+x −6<0,x ∈Z }，则A ∩B =( ) A.(−1,2) B.(−3,3) C.{0,1} D.{0,1,2}3. α=30∘是sin α=12的( )A.充分必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件4. 函数f (x )=ln x −2x +1的零点所在的大致区间是( ) A.(2,e ) B.(1,2) C.(e,3) D.(3,+∞)5. 函数f(x)=sin (2x +π3)，若x 1x 2<0，且f(x 1)+f(x 2)=0，则|x 2−x 1|的取值范围为( ) A.(π6,+∞) B.(π3,+∞)C.(2π3,+∞)D.(4π3,+∞)6. 已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P (3,4)，则cos (2α+β)cos β+sin (2α+β)sin β的值是( ) A.−925B.725C.−725D.9257. 已知函数f(x)=sin ωx +√3cos ωx(ω>0)，x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，若|x 1−x 2|的最小值为π2，则( ) A.f(x)在(−5π12,π12)上单调递减B.f(x)在(−5π12,π12)上单调递增 C.f(x)在(−2π3,π3)上单调递减 D.f(x)在(−2π3,π3)上单调递增8. 已知函数f (x )={e −x +2mx +m, x <0,e x (x −1), x ≥0, (e 为自然对数的底)，若F (x )=f (x )+f (−x )且F (x )有四个零点，则实数m 的取值可以( ) A.1 B.2 C.e D.2e二、多选题已知向量a →=(2,−1)，b →=(−3,2)，c →=(1,1)，则( ) A.a →//b →B.(a →+b →)⊥c →C.a →+b →=c →D.c →=5a →+3b →下列函数中，存在极值点的是( ) A.y =x −1x B.y =2|x| C.y =−2x 3−x D.y =x ln x在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC =60∘, ∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD =√3. 则下列说法正确的是( ) A.ac 的最小值是4B.ac 的最大值是4C.a +2c 的最小值是2+2√2D.a +2c 的最小值是3+2√2设函数f(x)=sin (ωx −π6)(ω>0)，已知f(x)在[0, π]有且仅有3个零点，下列结论正确的是( )A.在(0, π)上存在x 1，x 2，满足f(x 1)−f(x 2)=2B.f(x)在(0, π)有且仅有1个最小值点C.f(x)在(0,π2)单调递增D.ω的取值范围是[136,196]三、填空题等腰直角三角形ABC 中， ∠C =90∘,CA =CB =√2，则有CA →⋅AB →=________.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则bc=________.设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知(b +c)sin (A +C)=(a +c)(sin A −sin C)，设D 是BC 边的中点，且△ABC 的面积为√3，则AB →⋅(DA →+DB →)等于________.已知函数f(x)=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)是偶函数，将y =f (x )的图象沿x 轴向左平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为y =g (x )．已知y =g (x )的图象相邻对称中心之间的距离为2π，则ω=________，若y =g (x )的图象在其某对称轴处对应的函数值为−2，则g(x)在[0,π]上的最大值为________． 四、解答题已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2cos C(a cos C +c cos A)+b =0. (1)求角C 的大小；(2)若b =2，c =2√3 ，求△ABC 的面积.如图，在△ABC 中，∠BAC =π3，AD →=2DB →，P 为CD 上一点，且满足AP →=mAC →+12AB →，若△ABC 的面积为2√3.(1)求m 的值；(2)求|AP →|的最小值．已知函数f(x)=log 121−ax x−1的图像关于原点对称，其中a 为常数．(1)求a 的值；(2)若当x ∈(1, +∞)时，f(x)+log 12(x −1)<m 恒成立，求实数m 的取值范围．如图，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a =c(sin B +cos B)．(1)求∠ACB 的大小；(2)若∠ACB =∠ABC ，点A ，D 在BC 的异侧，DB =2,DC =1，求平面四边形ABDC 面积的最大值．某市近郊有一块大约500m ×500m 的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形体育活动场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地(其中两个小场地形状相同)，塑胶运动场地占地面积为S 平方米．(1)分别用x 表示y 及S 的函数关系式，并给出定义域；(2)请你设计规划该体育活动场地，使得该塑胶运动场地占地面积S 最大，并求出最大值．已知函数f(x)=12x2−a ln x+1(a∈R).(1)若函数f(x)在[1,2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)若−2≤a<0，对任意x1,x2∈[1，2]，不等式|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|恒成立，求实数m的取值范围.参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】平面向量数量积的运算 【解析】根据平面向量数量积的坐标运算公式求解即可. 【解答】解：由题意得a →⋅b →=1×2+(−2)×(−1)=4. 故选C . 2. 【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义求解即可得结果. 【解答】解：因为B ={x |−3<x <2,x ∈Z }={−2,−1,0,1}， 所以A ∩B ={0,1}. 故选C . 3.【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】“α=π6”⇒“sin α=12”，反之不成立，例如α=5π6．即可判断出结论．【解答】解：“α=30∘”⇒“sin α=12”，反之不成立，例如α=150∘．因此“α=30∘”是“sin α=12”的充分不必要条件． 故选B ． 4. 【答案】 B函数零点的判定定理【解析】根据函数的单调性，零点的存在性定理求解特殊函数值即可判断．【解答】解：∵函数f(x)=ln x−2x+1在(0, +∞)上连续且单调递增，且f(1)=0−2+1=−1<0，f(2)=ln2−1+1=ln2>0，∴f(1)f(2)<0，∴根据函数零点的存在性定理得出：零点所在区间是(1, 2).故选B.5.【答案】B【考点】正弦函数的对称性【解析】此题暂无解析【解答】解：f(x1)+f(x2)=0⇔f(x1)=−f(x2)，|x2−x1|可视为直线y=m与函数y=f(x)、函数y=−f(x)的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y=f(x)与函数y=−f(x)的图象如图所示，设A，B分别为直线y=m与函数y=f(x)、函数y=−f(x)的图象的两个相邻交点，因为x1x2<0，且当直线y=m过y=f(x)的图象与y轴的交点(0,√32)时，直线为y=√32，|AB|=π3，所以当直线y=m向上移动时，线段AB的长度会增加，当直线y=m向下移动时，线段AB的长度为π2，所以|x2−x1|>π3．故选B．6.C【考点】任意角的三角函数二倍角的正弦公式两角和与差的余弦公式【解析】.【解答】解：由题意，角α终边经过点P(3,4)，则由三角函数定义可求出sinα=45，cosα=35，于是由二倍角公式可求出cos2α=925−1625=−725，而cos(2α+β)cosβ+sin(2α+β)sinβ=cos[(2α+β)−β]=cos2α，所以cos(2α+β)cosβ+sin(2α+β)sinβ=−725.故选C.7.【答案】B【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的单调性【解析】利用辅助角公式将函数f(x)化简为f(x)＝2sin(ωx+π3)，由题可知，最小正周期T＝π，从而求得ω的值和f(x)的解析式，再根据正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：函数f(x)=sinωx+√3cosωx=2sin(ωx+π3)，由题意可知，T2=π2⇒T=π，即2πω=π，∴ω=2，∴f(x)=2sin(2x+π3)．令2x+π3∈(2kπ−π2, 2kπ+π2)，k∈Z，则函数f(x)的单调递增区间为(kπ−5π12, kπ+π12)，k∈Z，当k=0时，可得函数f(x)的一个单调递增区间为(−512π,π12)，即B正确；令2x +π3∈(2kπ+π2, 2kπ+3π2)，k ∈Z ，则函数f(x)的单调递减区间为(kπ+π12, kπ+7π12)，k ∈Z ， 选项A 和C 的单调递减区间均不符合题意． 故选B . 8.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的单调性 导数的几何意义函数的零点与方程根的关系 函数奇偶性的判断【解析】根据定义域为R ，且F (−x )=F (x )，可知函数F(x)是偶函数．所以只需研究x >0时函数F(x)有两个零点即可，然后再转化为两个函数图象交点的问题，结合导数研究函数的切线等，即可解决问题． 【解答】解：∵ 函数的定义域为R ，且F (−x )=f (−x )+f (x )=F (x )， ∴ 函数F (x )是偶函数，∵ f(x)={e −x +2mx +m ，x <0，e x (x −1)，x ≥0，（e 为自然对数的底），∴ f (−x )={e −x (−x −1)， x ≤0，e 2−2mx +m ， x >0，又因为F (x )有四个零点，所以只需研究x >0时函数F (x )=0有两个不等根即可，即e 2(x −1)+e x −2mx +m =0在(0,+∞)上有两个互异根， 即x e 2=2m (x −12) 在(0,+∞)上有两个根，令H (x )=x e 2，L (x )=2m (x −12)过定点(12,0),∵ H ′(x )=e x (x +1)>0，所以H (x )在(0,+∞)上是增函数， 下面求H (x )过(12,0)的切线斜率． 设切点为Q (t,t e t )，t >0， 则切线斜率为k =e t (t +1)，故切线为y −t e t =e t (t +1)(x −t )， 将(12,0)代入得：−t e t =e t (t +1)(12−t)， 即2t 2−t −1=0，解得：t =1或t =−12（舍），此时切线斜率k =2e ，作出H (x )与L (x )图象：可见，当L (x )与H (x )相切，即2m =2e 时，只有一个公共点； 当m >e 时，就会有两个交点．故m 的值可以为2e ． 故选D .二、多选题【答案】 B,D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算平面向量共线（平行）的坐标表示 平面向量的坐标运算 平行向量的性质【解析】本题考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力． 【解答】解：a →+b →=(−1,1)， (a →+b →)⋅c →=−1+1=0， 故(a →+b →)⊥c →．设c →=λ1a →+λ2b →(λ1,λ2∈R )，则(1,1)=λ1(2,−1)+λ2(−3,2)=(2λ1−3λ2,−λ1+2λ2)， 则{2λ1−3λ2=1,−λ1+2λ2=1,所以{λ1=5,λ2=3, 所以c →=5a →+3b →．故选BD . 【答案】 B,D【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】逐项根据极值的定义以及导数符号可得．【解答】解：A求导得，y′=1+1x2>0，函数在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增，所以函数无极值点；B中x=0是函数的极小值点；C求导得，y′=−6x2−1<0恒成立，函数在R上递减，所以函数无极值点；D求导得，y′=1+ln x，当x∈(0, 1e)时，y′<0，当x∈(1e, +∞)时，y′>0，x=1e时，y′=0，所以x=1e是函数的极小值点.故选BD.【答案】A,D【考点】解三角形基本不等式在最值问题中的应用【解析】首先利用条件构造得到a×c=c+a，再由基本不等式求解即可. 【解答】解：由题意，BD为∠ABC的平分线，则由S△ABC=S△ABD+S△BCD，可知12AB⋅BC⋅sin60∘=12AB⋅BD⋅sin30∘+12BD⋅BC⋅sin30∘，化简得√3AB⋅BC=AB⋅BD+BC⋅BD，∵BD=√3，∴AB⋅BC=AB+BC，即a⋅c=c+a，则由基本不等式可知a+c≥2√ac，解得ac≥4，所以ac的最小值为4，故A正确，B错误；而由a⋅c=c+a可知a=cc−1，其中c>1，于是由基本不等式可知：a+2c=cc−1+2c=1+1c−1+2c=3+1c−1+2(c−1)≥3+2√2，当且仅当1c−1=2(c−1)，即c=1+√22时取等号，故D正确，C错误.故选AD.【答案】A,B【考点】正弦函数的周期性正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】由题意根据f(x)在区间[0, π]有3个零点画出大致图象，可得区间长度π介于周期[T+ |OA|, 32T+|OA|)，再用ω表示周期，得ω的范围．【解答】解：当x=0时，y=sin(−π6)=−12,又∵ω>0，∴画出函数f(x)=sin(ωx−π6)大致图象如图所示：又ω>0，所以x>0时f(x)在y轴右侧第一个最大值区间内单调递增，∵函数在[0, π]仅有3个零点时，∴(π，0)的位置在C∼D之间（包括C，不包括D），令f(x)=sin(ωx−π6)=0，则ωx−π6=kπ，解得：x=(π6+kπ)⋅1ω(k∈Z)，∴f(x)图象在y轴右侧与x轴的第一个交点横坐标为π6ω，最小正周期T=2πω，∴π6ω+T≤π<π6ω+32T，即π6ω+2πω≤π<π6ω+32⋅2πω，解得136≤ω<196，故D错误；可知在区间[0, π]上，函数f(x)达到最大值和最小值，∴ 存在x 1，x 2，满足f(x 1)−f(x 2)=2，故A 正确；由大致图象得，f(x)在(0, π)内有且只有1个最小值，故B 正确；∵ ω最小值为136，∴ 0<x <π2时，−π6<ωx −π6<17π12，又∵ 17π12∉(−π2, π2)， ∴ x ∈(0, π2)时，函数f(x)不单调递增，故C 错误．故选AB .三、填空题【答案】−2【考点】平面向量数量积的运算【解析】可画出图形，根据题意CA →⊥CB →，且|CA →|=√2，从而可得出CA →⋅AB →=CA →⋅(CB →−CA →)=−CA →2,进而求得结果.【解答】解：如图，可知CA →⊥CB →，且|CA →|=|CB →|=√2，∴ CA →⋅CB →=0，∴ CA →⋅AB →=CA →⋅(CB →−CA →)=CA →⋅CB →−(CA →)2=0−2=−2．故答案为：−2．【答案】6【考点】余弦定理正弦定理【解析】利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．【解答】解：∵ △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，∴ 由余弦定理、正弦定理可得{a 2−b 2=4c 2，cos A =b 2+c 2−a 22bc =−14， 解得3c 2=12bc ，∴ b c =6．故答案为：6.【答案】2【考点】解三角形平面向量数量积的性质及其运算律余弦定理正弦定理【解析】先根据正余弦定理求出A =2π3，bc ＝4，再将DA →，DB →化为AB →，AC →后用数量积可得． 【解答】解：∵ (b +c)sin (A +C)=(a +c)(sin A −sin C)，∴ (b +c)sin B =(a +c)(sin A −sin C)，∴ (b +c)b =(a +c)(a −c)，即b 2+c 2−a 2=−bc ，∴ cos A =b 2+c 2−a 22bc =−12， ∴ A =2π3，∴ S △ABC =12bc sin A ，即√3=12bc ×√32， ∴ bc =4，∴ AB →⋅(DA →+DB →)=AB →⋅[−12(AB →+AC →)+12CB →]=AB →⋅[−12(AB →+AC →)+12(AB →−AC →)] =−AB →⋅AC →=−bc ⋅cos A=−4×(−12) =2.故答案为：2.【答案】1,√3【考点】余弦函数的周期性由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换余弦函数的对称性【解析】利用函数为偶函数，求出φ=π2，根据三角函数平移变换规律得到g(x)=A cos(12ωx+ωπ6)，再利用周期性和最大最小值求出ω，A，求出g(x)解析式，再利用余弦函数性质求解即可．【解答】解：y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)为偶函数，则φ=π2+kπ(k∈Z)，又0<φ<π，∴ φ=π2，∴ f(x)=A sin(ωx+π2)=A cosωx．由题意得：g(x)=A cos(12ωx+ωπ6)，且y=g(x)相邻对称中心之间距离为2π，则T=4π，∴2π12ω=4π，∴ ω=1，∴ g(x)=A cos(12x+π6)．由g(x)在某对称轴处对应的函数值为−2，可得A=2．∴ g(x)=2cos(12x+π6)．∵ x∈[0,π]，则12x+π6∈[π6,2π3]，∴cos(12x+π6)∈[−12,√32]．∴ g(x)∈[−1,√3]．∴g(x)在[0,π]上的最大值为√3.故答案为：1；√3．四、解答题【答案】解：(1)△ABC中，∵2cos C(a cos C+c cos A)+b=0，由正弦定理可得2cos C(sin A cos C+sin C cos A)+sin B=0，∴2cos C sin(A+C)+sin B=0，即2cos C sin B+sin B=0.又0∘<B <180∘，∴ sin B ≠0，∴ cos C =−12，即C =120∘．(2)由余弦定理可得，(2√3)2=a 2+22−2×2a cos 120∘=a 2+2a +4，又a >0，∴ 解得a =2，∴ S △ABC =12ab sin C =√3，∴ △ABC 的面积为√3．【考点】两角和与差的正弦公式三角形的面积公式余弦定理正弦定理【解析】（1）由已知及正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得2cos C sin B +sin B =0, 可得cos C =12，即可得解C 的值．（2）由已知及余弦定理得解得a 的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：(1) △ABC 中，∵ 2cos C (a cos C +c cos A )+b =0，由正弦定理可得2cos C (sin A cos C +sin C cos A )+sin B =0，∴ 2cos C sin (A +C )+sin B =0，即2cos C sin B +sin B =0.又0∘<B <180∘，∴ sin B ≠0，∴ cos C =−12， 即C =120∘．(2)由余弦定理可得，(2√3)2=a 2+22−2×2a cos 120∘=a 2+2a +4，又a >0，∴ 解得a =2，∴ S △ABC =12ab sin C =√3，∴ △ABC 的面积为√3．【答案】解：(1)AP →=AC →+CP →=AC →+kCD →=AC →+k(AD →−AC →)=AC →+k(23AB →−AC →) =2k 3AB →+(1−k )AC → =mAC →+12AB →，得到1−k =m ，2k 3=12， ∴ m =14．(2)结合△ABC 的面积为2√3，得到12|AC →|⋅|AB →|⋅√32=2√3， 得到|AC →|⋅|AB →|=8，∴ |AB →|=8|AC →|， ∴ |AP →|=√116|AC →|2+14|AB →|2+18⋅|AC →|⋅|AB →| =√1+116|AC →|2+16|AC →|2≥√3， 当且仅当116|AC →|2=16|AC →|2时等号成立， ∴ |AP →|的最小值为√3．【考点】解三角形基本不等式在最值问题中的应用向量的加法及其几何意义向量的模【解析】【解答】解：(1)AP →=AC →+CP →=AC →+kCD →=AC →+k(AD →−AC →)=AC →+k(23AB →−AC →) =2k 3AB →+(1−k )AC →=mAC →+12AB →，得到1−k =m ，2k 3=12， ∴ m =14． (2)结合△ABC 的面积为2√3，得到12|AC →|⋅|AB →|⋅√32=2√3， 得到|AC →|⋅|AB →|=8，∴ |AB →|=8|AC →|， ∴ |AP →|=√116|AC →|2+14|AB →|2+18⋅|AC →|⋅|AB →| =√1+116|AC →|2+16|AC →|2≥√3， 当且仅当116|AC →|2=16|AC →|2时等号成立， ∴ |AP →|的最小值为√3．【答案】解：(1)由题意可得，函数图像关于原点对称 ∴ f(x)为奇函数，∴ f(−x)=−f(x)，即log 121−ax x−1=−log 121+ax −x−1，化简得：1−a 2x 21−x 2=1，a 2x 2=x 2，在函数定义域内恒成立，∴ a 2=1，∴ a =±1，当a =1时，1−ax x−1=−1不合题意；当a =−1时，f (x )=log 121+x x−1，定义域是(−∞,−1)∪(1,+∞)，符合题意． ∴ a =−1.(2)∵ a =−1，∴ f(x)=log 121+x x−1，∵ 当x ∈(1, +∞)时，f(x)+log 12(x −1)<m 恒成立， ∴ log 121+x x−1+log 12(x −1)=log 12(1+x)<m 恒成立，而在(1,+∞)上，g(x)=log12(x+1)是减函数，g(1)=log12(1+1)=−1，∴g(x)<−1，∴m≥−1，即m的取值范围是[−1,+∞).【考点】函数恒成立问题对数函数的单调性与特殊点对数函数的值域与最值对数函数的定义域对数及其运算奇函数【解析】（1）根据奇函数性质和对数的运算性质即可解得（2）根据对数函数的单调性即可求出【解答】解：(1)由题意可得，函数图像关于原点对称∴f(x)为奇函数，∴f(−x)=−f(x)，即log121−axx−1=−log121+ax−x−1，化简得：1−a 2x21−x2=1，a2x2=x2，在函数定义域内恒成立，∴a2=1，∴a=±1，当a=1时，1−axx−1=−1不合题意；当a=−1时，f(x)=log121+xx−1，定义域是(−∞,−1)∪(1,+∞)，符合题意．∴a=−1.(2)∵a=−1，∴f(x)=log121+xx−1，∵当x∈(1, +∞)时，f(x)+log12(x−1)<m恒成立，∴log121+xx−1+log12(x−1)=log12(1+x)<m恒成立，而在(1,+∞)上，g(x)=log12(x+1)是减函数，g(1)=log12(1+1)=−1，∴g(x)<−1，∴m≥−1，即m的取值范围是[−1,+∞).【答案】解：(1)在△ABC中，∵a=c(sin B+cos B)，∴sin A=sin C(sin B+cos B)，∴sin(π−B−C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin(B+C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin B cos C+cos B sin C=sin C sin B+sin C cos B，∴sin B cos C=sin C sin B.又∵B∈(0, π)，故sin B≠0，∴cos C=sin C，即tan C=1．又∵C∈(0, π)，∴∠ACB=π4．(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22−2×1×2×cos D=5−4cos D．又∠ABC=∠ACB=π4，∴△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54−cos D.又∵S△BDC=12×BD×DC×sin D=sin D，∴S ABDC=54−cos D+sin D=54+√2sin(D−π4)，∴当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+√2．【考点】两角和与差的正弦公式诱导公式三角形的面积公式三角函数的最值解三角形余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系三角函数值的符号【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)在△ABC中，∵a=c(sin B+cos B)，∴sin A=sin C(sin B+cos B)，∴sin(π−B−C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin(B+C)=sin C(sin B+cos B)，∴sin B cos C+cos B sin C=sin C sin B+sin C cos B，∴sin B cos C=sin C sin B.又∵B∈(0, π)，故sin B≠0，∴cos C=sin C，即tan C=1．又∵C∈(0, π)，∴∠ACB=π4．(2)在△BCD中，DB=2，DC=1，∴BC2=12+22−2×1×2×cos D=5−4cos D．又∠ABC=∠ACB=π4，∴△ABC为等腰直角三角形，∴S△ABC=12×BC×12×BC=14BC2=54−cos D.又∵S△BDC=12×BD×DC×sin D=sin D，∴S ABDC=54−cos D+sin D=54+√2sin(D−π4)，∴当D=3π4时，四边形ABDC的面积有最大值，最大值为54+√2．【答案】解：(1)由已知xy=3000，∴y=3000x，其定义域是(6, 500)．S=(x−4)a+(x−6)a=(2x−10)a，∵2a+6=y，∴a=y2−3=1500x−3，∴S=(2x−10)(1500x −3)=3030−(15000x+6x)，其定义域是(6, 500)．(2)S=3030−(15000x+6x)≤3030−2√6x⋅15000x=3030−2×300=2430，当且仅当15000x=6x，即x=50∈(6, 500)时，等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【考点】基本不等式在最值问题中的应用根据实际问题选择函数类型【解析】（1）总面积为xy＝3000，且2a+6＝y，则y=3000x ，a=y2−3=1500x−3（其中6<x<500），从而运动场占地面积为S＝(x−4)a+(x−6)a，代入整理即得；（2）由（1）知，占地面积S＝3030−6x−15000x =3030−(6x+15000x)，由基本不等式可得函数的最大值，以及对应的x的值．【解答】解：(1)由已知xy=3000，∴y=3000x，其定义域是(6, 500)．S=(x−4)a+(x−6)a=(2x−10)a，∵2a+6=y，∴a=y2−3=1500x−3，∴S=(2x−10)(1500x −3)=3030−(15000x+6x)，其定义域是(6, 500)．(2)S=3030−(15000x+6x)≤3030−2√6x⋅15000x=3030−2×300=2430，当且仅当15000x=6x，即x=50∈(6, 500)时，等号成立，此时，x=50，y=60，S max=2430．答：设计x=50m，y=60m时，运动场地面积最大，最大值为2430平方米．【答案】解：(1)易知f(x)不是常值函数，因为f(x)=12x2−a ln x+1在[1,2]上是增函数，所以f′(x)=x−ax≥0恒成立，所以a≤x2，只需a≤(x2)min=1.(2)因为−2≤a<0,由(1)知，函数f(x)在[1,2]上单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|，可化为f(x2)+mx2≤f(x1)+mx1，设ℎ(x)=f(x)+mx =12x2−a ln x+1+mx，则ℎ(x1)≥ℎ(x2)，所以ℎ(x)为[1,2]上的减函数，即ℎ′(x)=x−ax −mx2≤0在[1,2]上恒成立，等价于m≥x3−ax在[1,2]上恒成立，设g(x)=x3−ax，所以m≥g(x)max，因为−2≤a<0，所以g′(x)=3x2−a>0，所以函数g(x)在[1,2]上是增函数，所以g(x)max=g(2)=8−2a≤12（当且仅当a=−2时等号成立）.所以m≥12，即m的最小值为12.【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)易知f(x)不是常值函数，因为f(x)=12x2−a ln x+1在[1,2]上是增函数，所以f′(x)=x−ax≥0恒成立，所以a≤x2，只需a≤(x2)min=1.(2)因为−2≤a<0,由(1)知，函数f(x)在[1,2]上单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，则|f(x1)−f(x2)|≤m|1x1−1x2|，可化为f(x2)+mx2≤f(x1)+mx1，设ℎ(x)=f(x)+mx =12x2−a ln x+1+mx，则ℎ(x1)≥ℎ(x2)，所以ℎ(x)为[1,2]上的减函数，即ℎ′(x)=x−ax −mx2≤0在[1,2]上恒成立，等价于m≥x3−ax在[1,2]上恒成立，设g(x)=x3−ax，所以m≥g(x)max，因为−2≤a<0，所以g′(x)=3x2−a>0，所以函数g(x)在[1,2]上是增函数，所以g(x)max=g(2)=8−2a≤12（当且仅当a=−2时等号成立）. 所以m≥12，即m的最小值为12.。
江苏省南京市秦淮区2021届高三上学期期中三校联考数学试卷(解析版)
江苏省南京市秦淮区2020-2021学年度第一学期第一阶段质量检测（第三高级中学、第五高级中学、第二十七中学）期中联考高三数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．已知全集U=R ，集合M ={}13|<<-x x ，N ={}11|<<-x x ，则阴影部分表示的集合是（ ）A.[]11，- B ．(]13，- C ．(]13--， D ．()()∞+--∞-，，13 【答案】C【考点】集合的运算【解析】由题意阴影部分表示M 中去掉M ∩N 的部分，且M ∩N =N=()11，-，则阴影部分表示：(]13--，，故答案选C. 2．若复数i z -=1，则=-z z 1（ ） A ．1 B ．2 C ．22 D ．4【答案】B【考点】复数的运算【解析】由题意()211111111=+=--=-+=⋅-=-=-i i i i i i i i z z ，故答案选B. 3．已知函数()()x x f x x ln 22-+=的图象大致为（ ）【答案】B【考点】函数的图象 【解析】由题意该函数()()()x f x x f x x =-+=--ln 22，为偶函数，且非三角函数类型，则排除D 选项；因为()022>+-x x ，而x ln 可以取到负数，则排除C 选项；去特殊值()01=f ，且当()+∞→+∞→x f x ，，则排除A ，故答案选B.4．()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数是（ ） A ．1 B ．3C ．6D ．10【答案】D【考点】二项式定理展开式 【解析】由题意()()()432111x x x +++++的展开式中，含x 2的系数为10242322=++C C C ，故答案选D.5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若α β=m ，n ⊂α，则n ⊥β【答案】C【考点】立体几何的位置关系判断：平行与垂直【解析】对于A 选项，m 与n 可相交、异面，则选项A 错误；对于B 选项，m 与n 可异面，则选项B 错误；对于C 选项，若m ⊥α，m ∥n ，可推导出n ⊥α，又由n ⊂β，利用面面垂直的判定定理可推出α⊥β，则选项C 正确；对于D 选项，n 与β可平行、相交，则选项D 错误；故答案选C.6．已知奇函数()x f 的图象关于直线x =3对称，当[]30，∈x 时，()x x f -=，则()=-16f （ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D【考点】函数概念与基本性质【解析】由题意()x f 为奇函数，则()()x f x f -=-，又()x f 的图象关于直线x =3对称，则()()x f x f -=6，则有()()()x f x f x f --=-=6，即()()x f x f -=-6，所以()()()()()x f x f x f x f =--=--=-612，则周期为12，所以()()()()224416=-=-=-=-f f f f .故答案选D.7．历史上数列的发展，折射出很多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233……即F （1）=F （2）=1，F （n ）=F （n －1）＋F （n －2），()*3N n n ∈≥，．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4整除后的余数构成一个新数列{}n b ，则b 2020=（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】A【考点】文化题：利用周期性求数列的项【解析】由题意可知“兔子数列”被4整除后的余数构成一个新数列为：1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，……则可得到周期为6，所以b 2020=b 4=3，故答案选A.8．已知函数[](()⎩⎨⎧∞+∈--∈+-，，，，0220211x x f x x ，若方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{}02|<<-a aB ．{}02|≤<-a aC ．{}2102|<<<<-a a a 或D ．{}102|=<<-a a a 或【答案】D【考点】函数的概念与性质、函数方程（零点）【解析】由题意方程()a x x f +=在区间[]42，-内有3个不相等的实根，可等价于函数()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.因为当[]02，-∈x 时，()11+-=x x f ，当(]20，∈x 时，(]022，-∈-x ，所以()()()11222--=-=x x f x f ，因为当()42，∈x 时，()202，∈-x ，所以()()()31422--=-=x x f x f ， 如图，可画出函数()x f y =在[]42，-内的图象，有图象可知，当02<<-a 或a =1时，()x f y =与函数a x y +=的图象在[]42，-内有三个交点.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，部分选对得3分，不选或有错选的得0分．9．比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为5分，分值高者为优），绘制了如图所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A.甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值B.甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C.乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D.甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】AC【考点】信息统计与理解应用【解析】对于A选项，甲的逻辑推理能力指标值为4，乙的逻辑推理能力指标值为3，所以甲的逻辑推理能力指标值优于乙的逻辑推理能力指标值，故选项A 正确；对于B 选项，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的数学建模能力指标值优于甲的直观想象能力指标值，故选项B 错误；对于C 选项，甲的六维能力指标值的平均值为()62343543461=+++++⨯，乙的六维能力指标值的平均值为()623434534561>=+++++⨯，所以乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平，所以选项C 正确；对于D 选项，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，所以选项D 错误；故答案选AC.10．若将函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=122cos πx x f 的图象向左平移8π个单位长度，得到函数()x g 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．()x g 的最小正周期为πB ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递减C ．12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴D ．()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21- 【答案】ACD【考点】三角函数的图象与性质【解析】由题意可知()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32cos 1282cos πππx x x g ，对于选项A ，()x g 的最小正周期为ππ=22，所以A 选项正确；对于选项B ，若()x g 单调递减，则[]Z k k k x ∈+∈+，，ππππ2232，解得Z k k k x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-∈，，ππππ36，所以()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π，上单调递减，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡23ππ，上单调递增，所以B 选项错误；对于选项C ，当12π=x 时，103122cos 12±≠=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛πππg ，所以12π=x 不是函数()x g 图象的对称轴，故C 选项正确；对于选项D ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈66ππ，x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈+32032ππ，x ，则()x g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈121，，即()x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-66ππ，上的最小值为21-，故D 选项正确。
2021届江苏省南京市秦淮中学高三上学期期初调研数学试题(解析版)
2021届江苏省南京市秦淮中学高三上学期期初调研数学试题一、单选题1．设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()R C A B ⋂=（ ）A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x <<【答案】B【解析】化简集合B ，求出R C A ，利用交集的定义运算即可． 【详解】{}|1=≤R C A x x ，{}()(){}{}220=|210|12B x x x x x x x x =--<-+<=-<<则()R C A B ={}11x x -<≤故选：B 【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 2．若()11+=-z i i ，则z =（ ） A ．1–i B ．1+iC ．–iD ．i【答案】D【解析】先利用除法运算求得z ，再利用共轭复数的概念得到z 即可. 【详解】因为21(1)21(1)(1)2i i iz i i i i ---====-++-，所以z i . 故选：D 【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有（ ） A ．24 B ．36C ．48D ．64【答案】B【解析】根据题意，有两种分配方案，一是3:1:1，二是2:2:1，然后各自全排列，再求和. 【详解】当按照3:1:1进行分配时，则有133318C A =种不同的方案；当按照2:2:1进行分配，则有233318C A =种不同的方案. 故共有36种不同的派遣方案， 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合、数学文化，还考查数学建模能力以及分类讨论思想，属于中档题. 4．如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BB 1，P 为B 1C 1的中点.则异面直线AC 与BP 所成的角为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°【答案】B【解析】取A 1B 1中点Q ，可得∠BPQ 就是异面直线AC 与BP 所成的角或补角，进而可证明△BPQ 是等边三角形，从而求得. 【详解】A 1B 1中点Q ，连接PQ ，BQ ，∵PQ ∥AC ，∴∠BPQ 就是，异面直线AC 与BP 所成的角或补角，又∵1111ABCD A B C D -为正四棱柱，且12AB BB = ,P 为11B C 中点， ∴111111,,,B B B P B Q B B B P B Q ==两两垂直，111,,,Rt PB Q Rt PB B Rt BB Q 全等，∴PQ PB BQ ==， ∴△BPQ 是等边三角形， ∴∠BPQ ＝60°，即异面直线AC 与BP 所成的角为60°， 故选：B. 【点睛】本题考查异面直线所成的角，属基础题.5．甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ） A ．0.6076 B ．0.7516 C ．0.3924 D ．0.2484【答案】A【解析】先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率. 【详解】两人投中次数相等的概率P ＝2211220.40.3+0.60.40.70.3C C ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+220.60.70.3924⨯=，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076. 故选：A . 【点睛】本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6．ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为（ ） A ．58- B ．18C ．14D ．118【答案】B【解析】试题分析：设BA a =，BC b =，∴11()22DE AC b a ==-，33()24DF DE b a ==-， 1353()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，∴25353144848AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=. 【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题，一般有两个思路，一是建立直角坐标系，利用坐标研究向量数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种实质相同，坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是将“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．7．Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1et I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A ．60 B ．63C ．66D ．69【答案】C【解析】将t t *=代入函数()()0.23531t KI t e--=+结合()0.95I t K *=求得t*即可得解.【详解】()()0.23531t K I t e--=+，所以()()0.23530.951t K I t K e**--==+，则()0.235319t e*-=，所以，()0.2353ln193t *-=≈，解得353660.23t *≈+≈. 故选：C. 【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题. 8．设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2e -B ．1e-C ．2D ．2e【答案】D 【解析】利用()'f x 为奇函数求得a 的值，由此求得()'1f 的值.【详解】依题意()()'x x x x fx e ae x e ae --=++-，由于()'f x 是奇函数，所以()'010f a =+=，解得1a =-，所以()()'x x x x f x e e x e e --=-++，所以()'1112f e e e e e=-++=.故选：D 【点睛】本小题主要考查函数导数的计算，考查函数的奇偶性，属于基础题.二、多选题9．为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ）A ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则1r =B ．若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C ．若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D ．若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强 【答案】ABD【解析】根据相关系数与变量x 与y 的线性相关性之间的关系可判断出各选项的正误. 【详解】若所有样本点都在直线21y x =-+上，且直线斜率为负数，则1r =-，A 、B 选项均错误；若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强，C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABD. 【点睛】本题考查相关系数与线性相关性之间关系的判断，考查推理能力，属于基础题.10．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则有（ ）A ．渐近线方程为y =B ．渐近线方程为3y x =± C ．60MAN ∠=︒D ．120MAN ∠=︒【答案】BC【解析】由离心率公式222 22c a b a a+=化简可得渐近线方程，通过求圆心A到渐近线的距离结合直角三角形可得到MAN∠的值.【详解】双曲线2222:1y,x y bC xa b a-==±的渐近线方程为离心率为23ca=，2222222224131,,333c a b b b ba a a a a则则，+==+===±故渐近线方程为33y x=±，取MN的中点P,连接AP,利用点到直线的距离公式可得d APabc==,则cosabAP acPANAN b c∠===，所以221cos cos2212aMAN PANc∠=∠=⨯-=则60MAN∠=︒故选BC【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，考查双曲线的渐近线和离心率的应用，考查圆的有关性质，属于中档题.11．已知函数()()(0,0,0)f x Acos x Aωϕωϕπ=+>><<的图象的一个最高点为,312π⎛⎫-⎪⎝⎭，与之相邻的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，将()f x的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x的图象，则（）A．()g x为偶函数B．()g x的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()g x 为奇函数D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点 【答案】BD【解析】先根据余弦函数的图象和性质，求得()f x 的解析式，再结合三角函数的图象变换，求得函数()g x 的解析式，再结合余弦函数的图象与性质，即可求解. 【详解】 由题意，可得()46124T πππ=--=，所以T π=，可得22w Tπ==， 所以()3cos(2)f x x ϕ=+，因为()3cos[2()]31212f ππϕ-=⨯-+=，所以2,6k k Z πϕπ-=∈，因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，即()3cos(2)6f x x π=+，所以()3cos[2()]3cos(2)666g x x x πππ=-+=-， 可得函数()g x 为非奇非偶函数， 令222,6k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，可得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， 当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间为5[,]1212ππ-； 由2,,62x k k Z πππ-=+∈，解得,3x k k Z ππ=+∈，所以函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点. 故选：BD 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟记三角函数的图象变换，以及熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．若0a >，0b >，则下面有几个结论正确的有（ ） A ．若1a ≠，1b ≠，则log log 2a b b a +≥B ．2a b ≥+C ．若142a b +=，则92a b +≥ D ．若22ab b +=，则34a b +≥ 【答案】BCD【解析】根据基本不等式，对选项逐一分析即可. 【详解】对于A ：当01,1a b <<>时，log 0,log 0a b b a <<，即log log 0a b b a +<，故A 不正确；对于B ：若0a >，0b >，由基本不等式得:222a b ab +≥，即有()()2222a b a b +≥+a b ≥=+≥a b =”时取等号，故B 正确；对于C ：由0a >，0b >，11412a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以()1141415522922b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝+=+=， 当且仅当1442,b aa b a b +==，即3,32a b ==时取等号，故C 正确； 对于D ：由0a >，0b >，()22ab b a b b +=+=，即有()24b a b +=，根据基本不等式有：()324a b a b b +=++≥=，当且仅当22,2ab b a b b +=+=，即1a b ==时取等号，故D 正确.综上：BCD 正确. 故选：BCD. 【点睛】本题考查基本不等式，应用基本不等时：“一正，二定，三相等”缺一不可，属于基础题．三、填空题13．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.【答案】27n ⨯【解析】根据1个月后的老鼠为原来雌雄两只老鼠和新出生的小鼠有(16)227+⨯=⨯只，类似的方法得到2个月后有22(16)727+⨯=⨯只，3个月后有327⨯只，根据以上分析进行归纳推理即可得n 个月后老鼠的只数n a . 【详解】由题意可得1个月后的老鼠的只数1(16)227a =+⨯=⨯,2个月后老鼠的只数222(16)727a =+⨯=⨯, 3个月后老鼠的只数2332(16)727a =+⨯=⨯…， n 个月后老鼠的只数27nn a =⨯.故答案为：27n ⨯. 【点睛】本题考查利用不完全归纳法求数列的通项公式，考查运算求解能力.14．函数()log 31a y x =+-.（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，0n >），则12m n+的最小值等于__________. 【答案】8【解析】根据函数平移法则求出点A ()2,1--，得21m n +=，再结合基本不等式即可求解 【详解】由题可知，()log 31a y x =+-恒过定点()2,1--，又点A 在直线 10mx ny ++=上，故21m n +=，()121242448n m m n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当122n m ==时取到等号，故12m n+的最小值等于8 故答案为：8 【点睛】本题考查函数平移法则的使用，基本不等式中“1”的妙用，属于中档题15．已知椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，若直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，则圆O 的半径为___________【答案】1【解析】根据椭圆的性质写出点F 、P 的坐标，求出直线PF 的方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解. 【详解】由椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，则c =不妨取)F，(P ，则直线PF的方程：0y x -+=， 由直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，所以1R ==.故答案为：1 【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质以及点到直线的距离公式，考查了基本运算能力，属于基础题.四、双空题16．棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三棱锥E —BCD 的体积为_______，该正三棱锥内切球的半径为_______. 【答案】【解析】根据组合体的结构特征，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，列出方程组，求得,R x 的值，利用体积公式，即可求得三棱锥E BCD -的体积与表面积，再结合等体积法，即可求得内切球的半径，得到答案. 【详解】由棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E BCD -的底面重合， 若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上， 所以多面体ABCDE 的外接球即为正四面体ABCD 的外接球， 且其外接球的直径为AE ，设2AE R =，正三棱锥E BCD -侧棱长x ，则()((2222222122R x x R ⎧=+⎪⎨=+-⎪⎩，解得R x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 由题意得证四面体ABCD的高为，外接球的半径为 设正三棱锥E BCD -的高为h ，因为AE h ==，所以h =因为底面BCD ∆的边长为12，所以EB EC ED ===则正三棱锥E BCD -三条侧棱两两垂直，可得正三棱锥E BCD -的表面积为108S =+体积为V＝21123⨯= 设正三棱锥E BCD -的内切球的半径为r ，由13S r ⋅=r =故答案为：. 【点睛】本题主要考查了组合体的结构各种，以及正三棱锥内切球的半径的求法，三棱锥的体积的计算，其中解答中熟练应用组合体的结构特征，以及球的性质是解答的关键，着重考查空间想象能力，以及推理与计算能力.五、解答题17．在①cos 220B B +=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若_____，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC ∆是否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】①；证明见解析【解析】选择①：由余弦降幂公式代入即可求得sin B ，结合a ，b ，c 成等差数列可得2b a c =+，3B π=，代入余弦定理公式，即可得2b ac =，结合等式2b a c =+可求得a c =，进而证明ABC ∆为等边三角形. 【详解】选择①cos 220B B +=，证明：则由余弦降幂公式可得212sin 20B B -+=，即(2sin sin 0B B =，由0B π<<可得sin B =， 又因为a ，b ，c 成等差数列，则B 为锐角， 则2b a c =+，3B π=，由余弦定理可知2222cos b a c ac B =+-， 代入可得()223b a c ac =+-，即2b ac =，则22a c ac +⎛⎫= ⎪⎝⎭，化简可得()20a c -=， 即a c =，又因为3B π=，所以ABC ∆为等边三角形. 【点睛】本题考查了三角函数解析式的化简应用，余弦降幂公式化简三角函数式，余弦定理解三角形，等差中项性质的应用，综合性较强，属于中档题.18．记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =-；（2）4(1)nnT n =+.【解析】（1）本小题先借n S 与n a 的关系判断数列{}n a 为等差数列，再求通项公式即可；（2）本小题直接运用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为1n a +是4和n S 的等比中项，所以2(1)4n n a S +=①，当2n ≥时，211(1)4n n a S --+=②，由①②得：2211(1)(1)44n n n n a a S S --+-+=-，化简得221(1)(1)n n a a --=+，即111n n a a --=+或者11(1)0n n a a --++=（舍去），故12n n a a --=(2)n ≥，数列{}n a 为等差数列，因为211(1)4a S +=，解得11a =，所以数列{}n a 是首项为1、公差为2的等差数列， 通项公式：21n a n =-. （2）∵ 111111(1)(1)2(22)41n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++⋅++⎝⎭，∴12311111111(1)()()()42233414(1)n n nT b b b b n n n ⎡⎤=++++=-+-+-++-=⎢⎥++⎣⎦. 【点睛】本题考查数列通项公式的求法以及数列的前n 项和的求法，考查等差数列的判定，考查裂项相消法求和，考查推理能力与计算能力，是中档题.19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围.为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下： 得分 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 []90,100男性人数 49 12 13 11 6 3女性人数1 2 2 21 10 4 2（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率.现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，()n a b c d=+++.临界值表：【答案】（1）列联表见解析，有把握；（2）分布列见解析，()21 10E X=.【解析】（1）根据题中已知条件完善22⨯列联表，并计算出2χ的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）由题意可知7~3,10X B⎛⎫⎪⎝⎭，利用二项分布可得出随机变量X的分布列，并由此可计算出随机变量X的数学期望. 【详解】（1）由题意得列联表如下：不太了解 比较了解 合计男性 25 33 58女性 5 37 42合计30701002χ的观测值()22100253733511.29130704258χ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为11.29110.828>，所以有99.9%的把握认为学生家长对艺术素质评价的了解程度与性别有关；（2）由题意得该校1名学生家长“比较了解”的概率为70710010=， 73,10XB ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()33731010k kk P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k =、1、2、3， 即X 的概率分布列如下表所示：X123P271000189100044110003431000所以()72131010E X =⨯=. 【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了利用二项分布求随机变量的分布列与数学期望值，考查数据处理能力，属于中等题.20．如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆O 上除A ，B 外的一个动点，DC 垂直于半圆O 所在的平面，//DC EB ，1DC EB ==，4AB =.（1）证明：平面ADE ⊥平面ACD ；（2）当C 点为半圆的中点时，求二面角D AE B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6-.【解析】（1）结合线面垂直判定定理证明DE ⊥平面ACD 即可；（2）采用建系法，以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系，求出平面DAE 和平面AEB 的法向量，结合向量夹角公式即可求解 【详解】（1）证明：∵AB 是圆O 的直径，∴AC BC ⊥，∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC BC ⊥，又DC AC C ⋂＝，∴BC ⊥平面ACD ，∵//DC EB ，DC EB ＝，∴四边形DCBE 是平行四边形，∴//DE BC ，∴DE ⊥平面ACD ，又DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE . （2）当C点为半圆的中点时，AC BC ==以C 为原点，以CA ，CB ，CD 为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则()001D ，，，()0E，()0A ，，()0B ，∴()AB =﹣，0,0,1BE =（），()0,DE =，(21)DA =-， 设平面DAE 的法向量为111,m x y z =（）,，平面ABE 的法向量为222,,n x y z =（）， 则00m DA m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，00AB BE n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，22200z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x=得(m =，令21x =得()1,1,0n =.∴,63m n cos m n m n⋅===⨯. ∵二面角D AE B --是钝二面角， ∴二面角D AE B --的余弦值为6-.【点睛】本题考查面面垂直的证明，建系法求解二面角的余弦值，属于中档题 21．已知函数321(2)()232a f x x x ax +=++. （1）当2a =时，求过坐标原点且与函数()y f x =的图像相切的直线方程； （2）当()0,2a ∈时，求函数()f x 在[]2,a a -上的最大值. 【答案】（1）4y x =；y x =；（2）32max 5()36f x a a =+. 【解析】（1）设出切点坐标，代入a 的值，表示出切线方程，根据切线过(0，0)，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可． 【详解】（1）设切点坐标为()00,x y ，当2a =时，321()243f x x x x =++， 则2()44f x x x '=++ 所以切线方程为322000000124(44)()3y x x x x x x x ---=++-， 又过原点(0，0)，所以3232000000124443x x x x x x ---=---， 32002203x x +=，解得00x =或03x =-， 当00x =时，切线方程为4y x =﹔ 当03x =时，切线方程为y x =. （2）因321(2)()232a f x x x ax +=++，所以()()()()2222f x x a x a x x a '=+++=++，令()0f x '=，得x a =-，2x =-，①当22a -≥-，即01a <≤时，()f x 在()2,a a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()()(){}max 2,f x max f a f a =-. 因3322382(2)244033f a a a a a a -=-++-=-<， 33223215()230326a f a a a a a a =+++=+>，所以()()2f a f a -<，所以32max 5()()36f x f a a a ==+. ②当22a -<-，即12a <<时，()f x 在()2,2a --上单调递增，在()2,a --上单调递减，在(),a a -上单调递增，所以()(){}max (2,f x max f f a =-.842(2)2442333f a a a -=-++-=-+<-，3322321523()233266a f a a a a a a =+++=+>， 所以()()max f x f a =. 综上可得：32max 5()()36f x f a a a ==+. 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．22．已知点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点.求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）利用椭圆的定义求解即可；（2）由题意可知D ，E 两点与点P 不重合，设出D ，E 两点的坐标，求出直线PD 和PE ，设以MN 为直径的圆与直线32y =交于G ，H 两点，利用0GM GN ⋅=，可得出弦长为定值． 【详解】（1）依题意，椭圆的另一个焦点为()1,0F '-，且1c =.因为24a ==，所以2a =，b == 所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）证明：由题意可知D ，E 两点与点P 不重合.因为D ，E 两点关于原点对称，所以设(),D m n ，()E m n --，，()1m ≠±， 设以MN 为直径的圆与直线32y =交于3,2G t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,(0)2H t t ⎛⎫-> ⎪⎝⎭两点，所以GM GN ⊥直线PD ：332(1)21n y x m --=--当0x =时，33212n y m -=-+-，所以3320,12n M m ⎛⎫- ⎪-+ ⎪- ⎪⎝⎭直线PE ：332(1)21n y x m +-=-+当0x =时，3+32+12n y m =-+，所以3320,12n N m ⎛⎫+ ⎪-+ ⎪+ ⎪⎝⎭所以32,1n GM t m ⎛⎫- ⎪=-- ⎪- ⎪⎝⎭，32,1n GN t m ⎛⎫+ ⎪=-- ⎪+ ⎪⎝⎭，因为GM GN ⊥，所以0GM GN ⋅=，所以2224904(1)n GM GN t m -⋅=+=-. 因为22143m n +=，即223412m n +=，224933n m -=-，所以2304t -=，所以2t =，所以322G ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32H ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以GH =.所以以MN 为直径的圆被直线32y =. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查定值问题，考查数量积的坐标表示，属于中档题．。
2020-2021学年江苏省淮安市某校高三(上)10月第一学期第二次月考数学试卷有答案
2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月第一学期第二次月考数学试卷一、选择题1. 已知集合A ={−1,2}，B ={x|ax =1}，若B ⊆A ，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为( ) A.{1,12} B.{−1,12}C.{−1,0,12}D.{0,1,12}2. 函数f (x )=ln x +√x−1的定义域为（ ）A.[1,+∞)B.(0,+∞)C.(−∞,1)D.(1,+∞)3. 若sin (75∘+α)=√23，则cos (30∘−2α)=( )A.−59 B.−49C. 59D.494. 如图，已知点C 为△OAB 边AB 上一点，且AC =2CB ，若存在实数m ，n ，使得OC →=mOA →+nOB →，则m −n 的值为( )A.−13B.0C.13D.235. 《九章算术⋅衰分》中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何？”翻译为“今有甲持钱560，乙持钱350，丙持钱180，甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计100钱，要按个人带钱多少的比例交税，问三人各应付多少税？”则下列说法中错误的是( ) A.甲付的税钱最多B.乙、丙两人付的税钱超过甲C.乙应出的税钱约为32D.丙付的税钱最少6. 函数f (x )=(x −1x )cos x 在其定义域上的图像大致是（ ）A.B.C.D.7. 设向量a →=(1, 1)，b →=(−1, 3)，c →=(2, 1)，且(a →−λb →)⊥c →，则λ=( ) A.3 B.2 C.−2 D.−38. 函数f (x )=ln x −2x −1x 的单调减区间为（ ）A.(1,+∞)B.(0,1)C.(−12,1)D.(−∞,−12)和(1,+∞)二、多选题在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b =2√3，c =3，A +3C =π，则下列结论正确的是( ) A.cos C =√33B.sin B =√23C.a =3D.S △ABC =√2关于函数f(x)=sin 2x −cos 2x ，下列命题中为真命题的是( ) A.函数y =f(x)的周期为πB.直线x =π4是y =f(x)的一条对称轴C.点(π8, 0)是y =f(x)的图象的一个对称中心D.将y =f(x)的图象向左平移π8个单位，可得到y =√2sin 2x 的图象已知向量a →=(2,1)，b →=(1,−1)，c →=(m −2,−n)，其中m ，n 均为正数，且(a →−b →)//c →，下列说法正确的是( )A.a →与b →的夹角为钝角 B.向量a →在b →方向上的投影为√55 C.2m +n =4 D.mn 的最大值为2定义在R 上的奇函数f (x )满足f (1−x )=f (1+x )，则（ ） A.函数f (x )的图象关于原点对称 B.函数f (x )的图象关于直线x =1对称C.函数f (x )是周期函数且对于任意x ∈R ， f (x +2)=f (x )成立D.当x ∈(0,1]时， f (x )=e x −1，则函数f (x )在区间[1+4k,3+4k ](k ∈Z )上单调递减（其中e 为自然对数的底数） 三、填空题在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=60∘，a2=bc，则sin B sin C=________.函数f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)的图象关于直线x=π2对称，则ω的最小值为________．已知条件p:|x+1|>2，条件q:|x|>a，且q是p的必要不充分条件，则实数a的范围是________.已知函数f(x)={2x,x≤a，x2,x>a.①若a=1，则不等式f(x)≤2的解集为________；②若存在实数b，使函数g(x)=f(x)−b有两个零点，则a的取值范围是________．四、解答题在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且√3ac =2−cos Asin C.(1)求角A的大小；(2)若cos(B+π6)=14，求cos C的值.已知函数f(x)={−x2+2x，x≥0，ax2+bx，x<0为奇函数．(1)求a−b的值；(2)若函数f(x)在区间[−1, m−2]上单调递增，求实数m的取值范围．函数f(x)=6cos2ωx2+√3sinωx−3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x 0)=8√35，且x 0∈(−103,23)，求f(x 0+1)的值．已知a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，其中a →=(1, 2)． (1)若c →=(−2, k)，且c → // a →，求c →的坐标；(2)若|b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直，求a →与b →的夹角θ．某工厂拟制造一个如图所示的容积为36π立方米的有盖圆锥形容器.(1)若该容器的底面半径为6米，求该容器的表面积；(2)当容器的高为多少米吋，制造该容器的侧面用料最省？已知函数f(x)=ln x +ax +1，a ∈R ．(1)若函数f(x)在x =1处的切线为y =2x +b ，求a ，b 的值；(2)记g(x)=f(x)+ax ，若函数g(x)在区间(0,12)上有最小值，求实数a 的取值范围；参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省淮安市某校高三（上）10月第一学期第二次月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】分B 为空集和B 不为空集两种情况讨论，分别求出a 的范围，即可得出结果． 【解答】解：A ={−1,2}，B ={x|ax =1}， B ⊆A ， 若B 为空集，则方程ax =1无解，此时a =0； 若B 不为空集，则a ≠0， 由ax =1解得x =1a ，∴ 1a =−1或2， 解得a =−1或a =12，综上，由实数a 的所有可能的取值组成的集合为{−1,0,12}.故选C . 2.【答案】 D【考点】函数的定义域及其求法 【解析】直接利用对数的真数为正数，根号下为非负数，分母不为零，构造不等式组即可解出. 【解答】解：由题意得：{x >0，x −1>0，解得x >1，所以函数f (x )的定义域为(1,+∞). 故选D . 3.【答案】 A【考点】 诱导公式三角函数的恒等变换及化简求值同角三角函数间的基本关系 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：∵ sin (75∘+α)=√23， ∴ cos [90∘−(75∘+α)]=cos (15∘−α)=√23， ∴ cos (30∘−2α)=cos 2(15∘−α) =2cos 2(15∘−α)−1 =2×(√23)2−1 =−59.故选A . 4.【答案】 A【考点】平面向量的基本定理 【解析】结合已知及向量的线性表示可先利用OA →，OB →表示OC →，结合已知即可求解． 【解答】解：因为AC =2CB ，易得OC →=13OA →+23OB →，所以m −n =−13． 故选A . 5.【答案】 B【考点】 分层抽样方法 【解析】求出抽样比例，再计算乙应交的关税值． 【解答】解：根据分层抽样原理，可知甲付的税钱最多，丙付的税钱最少， 故A,D 正确；乙、丙两人付的税钱占总税钱的53109<12，不超过甲， 故B 错误；乙应付的税钱为100560+350+180×350≈32(钱)， 故C 正确. 故选B .6.【答案】 C【考点】 函数的图象 【解析】首先利用奇偶性排除选项，再利用正负分布排除选项. 【解答】解：因为f(−x)=(−x +1x )cos (−x)=−(x −1x )cos x =−f(x)， 所以函数f (x )为奇函数，故排除AD ；x −1x在(0,1)为负数，在(1,2π)为正数，而cos x 在(π2,3π2)为负数，在(0,π2)∪(3π2,2π)为正数，所以函数f (x )在(0,1)为负数，(1,π2)为正数，(π2,3π2)为负数，(3π2,2π)为正数，故排除B ， 故选C .7.【答案】 A【考点】平面向量的坐标运算数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】利用(a →−λb →)⊥c →，列出含λ的方程即可． 【解答】解：因为a →−λb →=(1+λ, 1−3λ)，(a →−λb →)⊥c →， 所以(1+λ, 1−3λ)⋅(2, 1)=2+2λ+1−3λ=0， 解得λ=3. 故选A . 8. 【答案】 A【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】直接求导，令导数小于零，即可解出单调减区间. 【解答】解：∵ f(x)=ln x −2x −1x (x >0)， ∴ f ′(x )=1x −2+1x 2=−2x 2+x+1x 2=−(2x+1)(x−1)x 2，令f ′(x )<0，解得：x <−12或x >1，又x>0，所以x>1，所以函数f(x)的减区间为(1,+∞).故选A.二、多选题【答案】A,D【考点】余弦定理正弦定理三角函数中的恒等变换应用同角三角函数间的基本关系【解析】直接利用已知条件，利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式求出结果．【解答】解：由于A+3C=π，则：A+B+C=A+3C，解得：B=2C．由于b=2√3，c=3，利用正弦定理：bsin B =csin C，则：bsin2C =csin C，整理得：2√32sin C cos C =3sin C，解得：cos C=√33，故A正确；故sin C=√63，所以sin B=sin2C=2sin C cos C=2√23，故B错误；由c2=a2+b2−2ab cos C，得a2−4a+3=0，解得：a=1或a=3，若a=c=3，则A=C=π4，可得B=π2，可得b=√a2+c2=√2c=3√2，矛盾，故C错误，则a=1.则S△ABC=12ab sin C=12×1×2√3×√63=√2．故D正确．故选AD.【答案】A,C,D【考点】两角和与差的正弦公式正弦函数的周期性正弦函数的对称性【解析】根据和差角公式化简函数f(x)的解析式，进而根据三角函数的图象和性质，逐一判断四个命题的真假，可得答案． 【解答】解：∵ f(x)=sin 2x −cos 2x =√2sin (2x −π4)，∴ ω=2，故T =2π2=π，故A 为真命题；当x =π4时，2x −π4=π4终边不在y 轴上，故直线x =π4不是y =f(x)的一条对称轴，故B为假命题；当x =π8时，2x −π4=0，终边落在x 轴上，故点(π8, 0)是y =f(x)的图象的一个对称中心，故C 为真命题；将y =f(x)的图象向左平移π8个单位，可得到y =√2sin [2(x +π8)−π4]=√2sin 2x 的图象，故D 为真命题； 故选ACD . 【答案】 C,D【考点】 向量的投影基本不等式在最值问题中的应用 平面向量数量积的运算 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：A ，a →⋅b →=2×1+1×(−1)=1>0， 故a →，b →的夹角为锐角，A 错误； B ，向量a →在b →方向上的投影为：a →⋅b →|b →|=√12+(−1)2=√22，B 错误； C ，a →−b →=(1,2)，由(a →−b →)//c →，得1×(−n)−2×(m −2)=0， 即2m +n =4，C 正确；D ，由基本不等式得4=2m +n ≥2√2mn ，即mn ≤2， 当且仅当2m =n =2时取等号， 因此mn 的最大值为2，D 正确． 故选CD ． 【答案】 A,B,D 【考点】函数的对称性函数的周期性函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】利用函数的单调性，逐个判断即可.【解答】解：因为函数f (x )在R 为奇函数，故图象关于原点对称，故A 正确；又f(1−x)=f(1+x)，故函数f (x )关于x =1对称，故B 正确；则f (−x )=f (2+x )，f (−x )=−f (x )，所以f (x +2)=−f (x )，故C 错误；所以f (x +2)=−f (x )=f (x −2)，即f (x )=f (x +4)，故函数f (x )是周期为4的函数，设x ∈(1,2]，则2−x ∈(0,1]，所以f (x )=f (2−x )=e 2−x −1，为减函数，此时f (x )min =f (2)=1−1=0，设x ∈(2,3]，则x −2∈(0,1]，所以f (x )=−f (x −2)=−e x−2+1，为减函数，此时f (x )max =0，所以函数f (x )在区间[1,3]为减函数，又周期为4，所以函数f (x )在区间[1+4k,3+4k](k ∈Z )为单调递减，故D 正确.故选ABD .三、填空题【答案】34【考点】正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ A =60∘ ，a 2=bc ，∴ 由正弦定理，得sin B sin C =sin 2A =(√32)2=34. 故答案为：34. 【答案】23【考点】余弦函数的对称性【解析】根据函数的对称性建立方程关系，求出ω的表达式，进行求解即可．【解答】解：∵ f(x)=cos (ωx −π3)(ω>0)的图象关于直线x =π2对称，∴ π2ω−π3=kπ+π，即ω=2k +83， ∵ ω>0，∴ 当k =−1时，ω取得最小值为−2+83=23.故答案为：23.【答案】a ≤1【考点】根据充分必要条件求参数取值问题【解析】利用q 是p 的必要不充分条件求解即可．【解答】解：∵ p:|x +1|>2，∴ x >1 或 x <−3.①当 a ≥0 时，q:|x|>a ⇒x >a 或 x <−a ；②当 a <0 时，q:|x|>a ⇒x ∈R ，∵ q 是 p 的必要不充分条件，∴ p ⫋q ,∴ a <0 或 {a ≥0,a ≤1,−a ≥−3⇒0≤a ≤1，即 a ≤1．故答案为：a ≤1.【答案】(−∞, √2],(−∞, 2)∪(4, +∞)【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】第一空：将a ＝1代入可得f(x)解析式，进而可解得f(x)≤2的解析；第二空：分类讨论a 的情况即可．【解答】解：①当a =1时，f(x)={2x ,x ≤1，x 2,x >1，则令f(x)≤2，即有2x ≤2或x 2≤2，解得x ≤1或1<x ≤√2，故f(x)≤2的解集为(−∞, √2]；②由函数g(x)=f(x)−b 只有一个零点时，2x =x 2时，x =2或x =4，当a =2时，f(x)={2x ,x ≤2，x 2,x >2， 此时g(x)=f(x)−b 只有一个零点；结合图象可得2<a <4时最多有一个零点；当a <2时，g(x)有2个零点；同理当a=4时，f(x)={2x,x≤4，x2,x>4，g(x)=f(x)−b只有一个零点；当a>4时，有2个零点.故可得a的取值范围是(−∞, 2)∪(4, +∞). 故答案为：(−∞, √2]；(−∞, 2)∪(4, +∞).四、解答题【答案】解：(1)由正弦定理asin A =bsin B=csin C，且√3ac =2−cos Asin C，得√3sin Asin C =2−cos Asin C，则有√3sin A=2−cos A，即√3sin A+cos A=2，2sin(A+π6)=2,则sin(A+π6)=1，因为A∈(0,π)，则A+π6∈(π6,7π6),则A+π6=π2，即A=π3.(2)在△ABC中，因为A=π3，则B∈(0,2π3)，B+π6∈(π6,5π6),则sin(B+π6)>0.又因为cos(B+π6)=14，则sin(B+π6)=√1−cos2(B+π6)=√154.又在△ABC中，A+B+C=π，所以cos C=cos(π−A−B)=−cos(A+B)=−cos(B+π3)=−cos[(B+π6)+π6]=−cos(B+π6)cosπ6+sin(B+π6)sinπ6=−√32×14+12×√154=√15−√38.【考点】三角函数的化简求值正弦定理运用诱导公式化简求值【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由正弦定理a sin A =b sin B =c sin C ， 且√3a c =2−cos A sin C ， 得√3sin Asin C =2−cos A sin C， 则有√3sin A =2−cos A ，即√3sin A +cos A =2，2sin (A +π6)=2,则sin (A +π6)=1， 因为A ∈(0,π)，则A +π6∈(π6,7π6),则A +π6=π2，即A =π3.(2)在△ABC 中，因为A =π3，则B ∈(0,2π3)， B +π6∈(π6,5π6),则sin (B +π6)>0. 又因为cos (B +π6)=14，则sin (B +π6)=√1−cos 2(B +π6)=√154. 又在△ABC 中，A +B +C =π，所以cos C =cos (π−A −B)=−cos (A +B)=−cos (B +π3) =−cos [(B +π6)+π6] =−cos (B +π6)cos π6+sin (B +π6)sin π6=−√32×14+12×√154 =√15−√38. 【答案】解：(1)令x <0，则−x >0，则f(x)=−f(−x)=−[−x 2−2x]=x 2+2x ，∴ a =1，b =2，∴ a −b =−1．(2)f(x)={−x 2+2x ，x ≥0,x 2+2x ，x <0,即有f(x)在[−1, 1]上递增，由于函数f(x)在区间[−1, m −2]上单调递增，∴ [−1, m −2]⊆[−1, 1]，∴ {m −2>−1,m −2≤1解得，1<m ≤3． 【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】（1）令x <0，则−x >0，运用已知解析式，结合奇函数的定义，即可得到a ，b 的值，进而得到a −b ；（2）求出f(x)的单调增区间，由区间的包含关系，得到不等式，解出即可．【解答】解：(1)令x <0，则−x >0，则f(x)=−f(−x)=−[−x 2−2x]=x 2+2x ，∴ a =1，b =2，∴ a −b =−1．(2)f(x)={−x 2+2x ，x ≥0,x 2+2x ，x <0,即有f(x)在[−1, 1]上递增，由于函数f(x)在区间[−1, m −2]上单调递增，∴ [−1, m −2]⊆[−1, 1]，∴ {m −2>−1,m −2≤1解得，1<m ≤3． 【答案】解：(1)由已知可得，f(x)=6cos 2ωx 2+√3sin ωx −3 =3cos ωx +√3sin ωx=2√3sin (ωx +π3)， 由于△ABC 为正三角形，∴ △ABC 的高为2√3，从而BC =4，∴ 函数f(x)的最小正周期T =4×2=8，即2πω=8，ω=π4， ∴ 函数f(x)的值域为[−2√3, 2√3]．(2)∵ f(x 0)=8√35， 由(1)得f(x 0)=2√3sin (π4x 0+π3)=8√35， 即sin (π4x 0+π3)=45，由x 0∈(−103,23)，知π4x 0+π3∈(−π2, π2)， ∴ cos (π4x 0+π3)=√1−(45)2=35．∴ f(x 0+1)=2√3sin (π4x 0+π4+π3)=2√3sin [(π4x 0+π3)+π4] =2√3[sin (π4x 0+π3)cos π4+cos (π4x 0+π3)sin π4] =2√3(45×√22+35×√22) =7√65． 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值正弦函数的定义域和值域【解析】(Ⅰ)将f(x)化简为f(x)＝2√3sin (ωx +π3)，利用正弦函数的周期公式与性质可求ω的值及函数f(x)的值域；(Ⅱ)由x 0∈(−103,23)，知π4x 0+π3∈(−π2, π2)，由f(x 0)=8√35，可求得即sin (π4x 0+π3)=45，利用两角和的正弦公式即可求得f(x 0+1)．【解答】解：(1)由已知可得，f(x)=6cos 2ωx 2+√3sin ωx −3 =3cos ωx +√3sin ωx=2√3sin (ωx +π3)，由于△ABC 为正三角形，∴ △ABC 的高为2√3，从而BC =4，∴ 函数f(x)的最小正周期T =4×2=8，即2πω=8，ω=π4，∴ 函数f(x)的值域为[−2√3, 2√3]．(2)∵ f(x 0)=8√35， 由(1)得f(x 0)=2√3sin (π4x 0+π3)=8√35， 即sin (π4x 0+π3)=45，由x 0∈(−103,23)，知π4x 0+π3∈(−π2, π2)， ∴ cos (π4x 0+π3)=√1−(45)2=35．∴ f(x 0+1)=2√3sin (π4x 0+π4+π3)=2√3sin [(π4x 0+π3)+π4] =2√3[sin (π4x 0+π3)cos π4+cos (π4x 0+π3)sin π4]=2√3(45×√22+35×√22) =7√65． 【答案】解：(1)∵ a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，a →=(1, 2)，c →=(−2, k)，且c → // a →，∴ −21=k 2，解得k =−4，∴ c →的坐标为(−2, −4)．(2)∵ |b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直， ∴ (a →+2b →)⋅(2a →−b →)=2a →2+3a →⋅b →−2b →2=0，∵ |a →|=√12+22=√5，∴ 2×5+3a →⋅b →−2×54=0， 整理，得a →⋅b →=−52，∴ cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−1，∵ θ∈[0, π]，∴ θ=π．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】（1）由向量平行的性质，能求出k ．（2）由向量垂直得(a →+2b →)•(2a →−b →)=0，由此能求出a →与b →的夹角θ．【解答】解：(1)∵ a →，b →，c →是同一平面内的三个向量，a →=(1, 2)，c →=(−2, k)，且c → // a →，∴ −21=k 2，解得k =−4，∴ c →的坐标为(−2, −4)．(2)∵ |b →|=√52，且a →+2b →与2a →−b →垂直， ∴ (a →+2b →)⋅(2a →−b →)=2a →2+3a →⋅b →−2b →2=0，∵ |a →|=√12+22=√5，∴ 2×5+3a →⋅b →−2×54=0， 整理，得a →⋅b →=−52，∴ cos θ=a →⋅b→|a →|⋅|b →|=−1，∵ θ∈[0, π]，∴ θ=π．【答案】解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为ℎ米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V =36π.(1)由r =6，得V =13πr 2ℎ=36π，得ℎ=3， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=6π√62+32=18√5π，又底面积为πr 2=36π（平方米）.故该容器的表面积为(18√5π+36π)=18(2+√5)π平方米.答:该容器的表面积为18(2+√5)π平方米.(2)因为V =13πr 2ℎ=36π，得r 2=3×36ππℎ=108ℎ，其中ℎ>0， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=π√r 4+r 2ℎ2=π√1082ℎ2+108ℎℎ2 =π√1082ℎ2+108ℎ =π√108√108ℎ2+ℎ. 记f(ℎ)=108ℎ2+ℎ，令f ′(ℎ)=−216ℎ3+1=ℎ3−216ℎ3=0，得ℎ=6.当ℎ∈(0,6)时，f ′(ℎ)<0，f(ℎ)在(0,6)上单调递减；当ℎ∈(6,+∞)时，f ′(ℎ)>0, f(ℎ)在(6,+∞)上单调递增.所以，当ℎ=6时，f(ℎ)最小，此时S 最小.答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省.【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积利用导数研究函数的最值柱体、锥体、台体的体积计算【解析】此题暂无解析【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r 米，高为ℎ米，母线为l 米，侧面积为S 平方米，容积为V 立方米，则V =36π.(1)由r =6，得V =13πr 2ℎ=36π，得ℎ=3， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=6π√62+32=18√5π， 又底面积为πr 2=36π（平方米）.故该容器的表面积为(18√5π+36π)=18(2+√5)π平方米. 答:该容器的表面积为18(2+√5)π平方米.(2)因为V =13πr 2ℎ=36π，得r 2=3×36ππℎ=108ℎ，其中ℎ>0， 所以S =πrl =πr√r 2+ℎ2=π√r 4+r 2ℎ2=π√1082ℎ2+108ℎℎ2 =π√1082ℎ2+108ℎ =π√108√108ℎ2+ℎ. 记f(ℎ)=108ℎ2+ℎ， 令f ′(ℎ)=−216ℎ3+1=ℎ3−216ℎ3=0，得ℎ=6.当ℎ∈(0,6)时，f ′(ℎ)<0，f(ℎ)在(0,6)上单调递减； 当ℎ∈(6,+∞)时，f ′(ℎ)>0, f(ℎ)在(6,+∞)上单调递增. 所以，当ℎ=6时，f(ℎ)最小，此时S 最小.答：当容器的高为6米时，制造容器的侧面用料最省.【答案】解：(1)f ′(x)=1x −a x 2，则f ′(1)=1−a =2，解得a =−1，则f(x)=ln x −1x +1，此时f(1)=ln 1−1+1=0，则切点坐标为(1,0)，代入切线方程，得b =−2，所以a =−1，b =−2.(2)g(x)=f(x)+ax =ln x +a x +ax +1,g ′(x)=1x −a x 2+a =ax 2+x−a x 2. ①当a =0时，g ′(x)=1x >0，则g(x)在区间(0，12)上为增函数，则g(x)在区间(0，12)上无最小值.②当a ≠0时，方程ax 2+x −a =0的判别式Δ=1+4a 2>0，则方程有两个不相等的实数根，设为x 1,x 2， 由韦达定理得x 1x 2=−1，则两根一正一负，不妨设x 1<0<x 2. 设函数m(x)=ax 2+x −a(x >0).(i)若a >0.若x 2∈(0，12)， 则m(0)=−a <0，m(12)=a 4+12−a >0. 解得0<a <23，此时x ∈(0，x 2)时，m(x)<0，则g(x)递减； x ∈(x 2，12)时，m(x)>0，则g(x)递增. 当x =x 2时，g(x)取极小值，即为最小值. 若x 2≥12，则x ∈(0,12), m(x)<0， 则g(x)在(0，12)单调减，无最小值. (ii)若a <0，x ∈(0,x 2)时，m(x)>0，则g(x)递增； x ∈(x 2，+∞)时，m(x)<0，则g(x)递减. 在区间(0，12)上，g(x)不会有最小值.所以a <0不满足条件.综上，当0<a <23时，g(x)在区间(0，12)上有最小值.【考点】利用导数研究函数的最值根与系数的关系利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)f ′(x)=1x −a x 2，则f ′(1)=1−a =2，解得a =−1，则f(x)=ln x −1x +1， 此时f(1)=ln 1−1+1=0，则切点坐标为(1,0)， 代入切线方程，得b =−2，所以a =−1，b =−2.(2)g(x)=f(x)+ax =ln x +a x +ax +1, g ′(x)=1x −a x 2+a =ax 2+x−a x 2.试卷第21页，总21页 ①当a =0时，g ′(x)=1x >0， 则g(x)在区间(0，12)上为增函数，则g(x)在区间(0，12)上无最小值. ②当a ≠0时，方程ax 2+x −a =0的判别式Δ=1+4a 2>0， 则方程有两个不相等的实数根，设为x 1,x 2，由韦达定理得x 1x 2=−1，则两根一正一负，不妨设x 1<0<x 2. 设函数m(x)=ax 2+x −a(x >0).(i)若a >0.若x 2∈(0，12)，则m(0)=−a <0，m(12)=a 4+12−a >0. 解得0<a <23，此时x ∈(0，x 2)时，m(x)<0，则g(x)递减；x ∈(x 2，12)时，m(x)>0，则g(x)递增.当x =x 2时，g(x)取极小值，即为最小值.若x 2≥12，则x ∈(0,12), m(x)<0，则g(x)在(0，12)单调减，无最小值.(ii)若a <0，x ∈(0,x 2)时，m(x)>0，则g(x)递增； x ∈(x 2，+∞)时，m(x)<0，则g(x)递减.在区间(0，12)上，g(x)不会有最小值. 所以a <0不满足条件.综上，当0<a <23时，g(x)在区间(0，12)上有最小值.。
江苏省南京市秦淮中学2021年高三数学文月考试题含解析
江苏省南京市秦淮中学2021年高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过点且与直线平行的直线方程是A．B．C．D．参考答案：D设所求的平行直线方程为，因为直线过点，所以，即，所以所求直线方程为，选D.2. 已知椭圆C：，的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆上异于长轴端点的一点，的内心为I，直线交x轴于点E，若，则椭圆C的离心率是（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】连接和，分别运用角平分线定理和比例的性质、椭圆的定义和离心率公式，计算可得所求值．【详解】解：的内心为，连接和，可得为的平分线，即有，，可得，即有，即有，故选：B．【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，主要是离心率的求法，考查角平分线定理的运用，以及运算能力，属于基础题．3. 已知，则sinα的值为（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】三角函数的化简求值．【分析】采用两边平方，根据同角函数关系式和二倍角的公式可得答案．【解答】解：由，可得：（sin2+cos2﹣2sin cos）=即1﹣sinα=，∴sinα=．故选：A．4. 要得到函数的图象,可以将函数的图象（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位参考答案：B略5. 执行如图的程序，则输出的结果等于A. B. C. D.参考答案：C 【知识点】程序框图L1执行程序框图，有i=1，s=0，t=0第1次执行循环，有s=1，T=1第2次执行循环，有i=2，s=1+2=3，T=1+第3次执行循环，有i=3，s=1+2+3=6，T=1++第4次执行循环，有i=4，s=1+2+3+4=10，T=1++…第99次执行循环，有i=99，s=1+2+3+..+99，T=1+++…+此时有i=100，退出循环，输出T的值．∵T=1+++…+，则通项a n===，∴T=1+（1﹣）+（﹣）+（）+（）+…+（）=2=．∴输出的结果等于．故选：C．【思路点拨】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，T的值，当i=100，退出循环，输出T的值．6. 执行如右图所示的程序框图，如输入，则输出的值为A.5B.C.9D.参考答案：D7. 已知函数，且，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.参考答案：A【分析】由函数，可得，得到函数为偶函数，图象关于y轴对称，又由由二次函数的性质可得，函数在上为单调递增函数，则函数在上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数，满足，所以函数为定义域上的偶函数，图象关于y轴对称，又当时，，由二次函数的性质可得，函数在上为单调递增函数，则函数在上为单调递减函数，又由，，，根据对称性，可得，即，故选A．8. 设向量，，给出下列四个结论：①；②；③与垂直；④，其中真命题的序号是 ( )A. ①B. ③C. ①④D. ②③参考答案：B9. 若与－都是非零向量，则“·=·”是“⊥（－）”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：C10. 从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A={抽到一等品}，事件B={抽到二等品}，事件C={抽到三等品}，且已知 P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（）A．0.7 B．0.65 C．0.35 D．0.3参考答案：C【考点】互斥事件的概率加法公式．【专题】概率与统计．【分析】根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．【解答】解：根据对立事件的概率和为1，得；∵事件A={抽到一等品}，且 P（A）=0.65，∴事件“抽到的不是一等品”的概率为P=1﹣P（A）=1﹣0.65=0.35．故选：C．【点评】本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，是基础题目．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，线段长度为，点分别在非负半轴和非负半轴上滑动，以线段为一边，在第一象限内作矩形，，为坐标原点，则的取值范围是▲ .参考答案：略 12. 设分别为的三个内角A ，B ，C 所对边的边长，且满足条件，则的面积等于.参考答案： 略13. 中国光谷（武汉）某科技公司生产一批同型号的光纤通讯仪器，每台仪器的某一部件由三个电子元件按如图方式连接而成，若元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则该部件正常工作.由大数据统计显示：三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布，且各个元件能否正常工作相互独立.现从这批仪器中随机抽取1000台检测该部件的工作情况（各部件能否正常工作相互独立），那么这1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值为______台.参考答案：375 【分析】先求得元件1和2并联电路正常工作的概率，乘以元件3正常工作的概率，由此求得部件正常工作超过10000小时的概率.利用二项分布均值计算计算公式，计算出1000台仪器中该部件的使用寿命超过10000小时的平均值.【详解】由正态分布可知，每个元件正常工作超过10000小时的概率为，则部件正常工作超过10000小时的概率为，又1000台仪器的该部件工作服从二项分布，所以平均值为台.故答案为：375【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查二项分布的识别和二项分布期望的计算，属于基础题. 14. 已知（），f ’(x )为f (x )的导函数，f ’(1)=2，则a =参考答案：215. 已知正项等比数列{an}满足：，若存在两项am ，an 使得＝4a1，则的最小值为_________.参考答案：略16. 动圆的圆心的轨迹方程是 .参考答案：17. 已知函数,若，则实数的取值范围是________ 参考答案：略.三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
江苏省南京市溧水二高、秦淮中学2021届高三上学期期中联考数学(解析Word版)
2020-2021学年度第一学期高三期中三校联考数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡指定的位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝[1，3)，N ＝(2，5]，则M ∩N ＝A ．[1，5]B ．(2，3)C ．[1，2)D ．(3，5]【答案】B【考点】集合的运算【解析】由集合的交集定义即可解出答案. 2．已知i 是虚数单位，设复数a ＋b i ＝2－i2＋i，其中a ，b ∈R ，则a ＋b 的值为A ．57B ．57-C ．51D ．51-【答案】D【考点】复数的运算【解析】由题意a ＋b i ＝2－i 2＋i ()()()5452222ii i i -=-+-=，则求得51541-=+-==b a b a ，，，故答案选D.3．从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有A ．20种B ．50种C ．80种D ．100种【答案】B 【考点】排列组合【解析】由题意可知到图书馆、食堂的志愿者选出4名或5名，根据分类计数原理可知，当选出4名同学时，为平均分配，即有3022222325=A A C C ；当选出5名同学时，可知一个地方为2名同学，一个地方为3名同学，则有20223325=A C C ，则每个地方至少去2名不同的安排方法共有30+20=50种，故答案选B.4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”你的计算结果是A ．80里B ．86里C ．90里D ．96里【答案】D【考点】文化题中数列的基础计算【解析】翻译为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请计算此人第二天走的路程。
2020-2021学年南京师大附中高三上学期10月月考数学试卷及答案
南京师大附中2020/2021学年度第一学期十月质量检测试卷高三数学一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.请把答案填在答卷纸相应位置上.1.记全集U=R，集合A= {x|x2≥16}，集合B= {x|2x≥2}，则(CuA)∩B=( )A.[4,+∞)B.(1，4]C.[1，4)D. (1，4)2.已知a= ，b=， c=0.5a-2，则a，b，c的大小关系为( )A.b<a< cB.a<b< cC. c<b<aD. c<a< b3.若cos(a+β)=，sin(β—)= ，a，β∈（0，）则cos（a+）=( )A. —B. —C.D. —4.我国即将进入双航母时代，航母编队的要求是每艘航母配2~3艘驱逐舰，1~2艘核潜艇.船厂现有5艘驱逐舰和3艘核潜艇全部用来组建航母编队，则不同的组建方法种数为( )A.30B.60C.90D.1205.已知= (2sin130, 2sin770), |-=1，与-的夹角为则*=( )A. 2B. 3C. 4D.%6.函数f(x) =在[π,0)∪(0，π]的图象大致为7.设F1，F2分别为双曲线C: :=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过B的直线l与0:x2+y2=a2相切，l与C的渐近线在第一象限内的交点是P，若PF2⊥x轴，则双曲线C的离心率为( )A. B.2 C.. D.48.对于函数y= f(x)，若存在区间[a,b]，当x∈[a,b]时的值域为[ka,kb](k>0)，则称y= f(x)为k倍值函数.若f(x)=e x+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是( )A. (e+1, +∞)B. (e+2, +∞)C.(e+十∞)，D.(e+,十∞)二、多选题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.9.已知函数f(x)=sin(3x+φ) ()的图象关于直线x=对称,则( )A. 函数f(x+)为奇函数B. 函数f(x)在[,]上单调递増C. 若|f()−f()|=2,则|−|的最小值为D. 函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数y=−cos3x的图象10.2020年初，突如其来的疫情改变了人们的消费方式，在目前疫情防控常态化背景下，某超市为了解人们以后消费方式的变化情况，更好地提高服务质量，收集并整理了该超市2020年1月份到8月份线上收入和线下收入法人数据，并绘制如下的折线图.根据折线图，下列结论正确的有( )A.该超市这8个月中，线上收入的平均值高于线下收入的平均值B.该超市这8个月中，线上收入与线下收入相差最小的月份是7月C.该超市这8个月中，每月总收入与时间呈现负相关D.从这8个月的线上收入与线下收入对比来看，在疫情逐步得到有效控制后，人们比较愿意线下消费11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是( ) A当0＜CQ＜时，S为四边形；B当CQ=时，S不为等腰梯形；C当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=D当CQ=1时，S的面积为．12. 关于函数f(x)=+ asinx, x∈(-π, +∞)，下列结论正确的有( )A.当a=1时，f(x) 在(O,f(0))处的切线方程为2x-y+1=0B.当a=1时，f(x)存在惟一极小值点C.对任意a>0，f(x)在(-π, +∞)上均存在零点D.存在a<0，f(x)在(-π, +∞)上有且只有一个零点三、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答卷纸相应位置上.13.在的展开式中，只有第三项的二项式系数最大，则含x项的系数为__ _.14.已知函数f(x) = xlnx-有两个极值点，则实数a的取值范围是_ _15. 在三棱锥P- ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB= AC=1，PA=2，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为__ _.16. 己知函数f(x)= 若函数F(x)= f(x) +a恰有2个零点，则实数a的取值范围是_______四、解答题：本大题共6小题，共计70分17.已知函数f(x)=alnx−b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=−.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)在[,e]上的最大值。
南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数学参考答案与评分建议
南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学参考答案与评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．1．{-101}，， 2．2 3．38 4．－1 5．2214x y -=6．6.8 7．19 8．12 9 10．1311．0<a <4 12．3 13．[－65，0] 14．(1,0)- 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)解：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以BD ∥EF ．…………………… 3分因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．…………………… 6分（2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AE ⊥CD ．…………………… 8分因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ，…………………… 10分又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ．…………………… 12分又CD 平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ．…………………… 14分16．(本小题满分14分)解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α．…………………… 2分 由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125， 即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425． 所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925． 因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75．…………………… 5分 所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35， 从而t ＝sin 2α＝925．…………………… 7分 （2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14．…………………… 9分 所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815．…………………… 11分 从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tan π41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237．…………………… 14分 17．(本小题满分14分)解：建立如图所示的平面直角坐标系，则D（1）小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB 长为定值，故只需要AB 最小即可． 作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥此时点D 为AB 中点．故小路的最短长度为4+(百米)．…………… 4分（2）显然，当广场所在的圆与△ABC 内切时，面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为11()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，…………… 6分由弦长公式AB =2244AB d =-， 所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+，………………… 8分 设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（）， 所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++，……………… 10分又因为0d CD <≤，即0d <所以)x AB ⎡==⎣，……………… 12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．…………………… 14分18．(本小题满分16分)解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b 2)． 所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )． 因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2， 整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ．…………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32．…………………… 5分 （2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1． 从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12．…………………… 7分 因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． 联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2．……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2， ……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2 ＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1·k 2为定值14．………………………16分 方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1． 从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12．…………………… 7分 设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1． 因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0． 联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，……………… 10分 解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)．……………………… 13分 所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14．……………………… 16分 19．(本小题满分16分)解：（1）因为f ′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f ′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0．………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx． 当λ≤0时，g ′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值．………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h ′(x )＝e x ＋λx 2＞0恒成立， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．………………………… 6分①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x 0∈(λe，1)，使得h (x 0)＝0． ②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0．…………………… 8分且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g ′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g ′(x )＞0，所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．…………………… 10分（3）g (x )＝f ′(x )＝e x －e －λln x ，g ′(x )＝e x －λx． 若g ′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立，所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ．…………………………… 12分 当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f ′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x )≥f (1)＝0恒成立．…………………………… 14分当λ＞e 时，由（2）知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减，即f ′(x )在(0，x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时，f ′(x )＜f ′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0．这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ．…………………………… 16分20．(本小题满分16分)解：（1）由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=， 两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………………… 2分解得1n n a a +=．…………………………… 4分 因为0n a >，所以1n n a a +=为常数， 故数列{}n a．…………………… 6分 （2）当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+，所以11122n n n n a b a a +==+．…………………………… 8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==，…… 10分 又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………………… 12分 所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-，………………… 14分 故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ………………… 16分 南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学 附 加 题参考答案与评分建议21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换] (本小题满分10分)解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………………… 5分 M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6或－1．所以矩阵M 的特征值为6或－1．……………………… 10分B ．[选修4－4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解：曲线C 的普通方程为221124x y +=．…………………… 2分由曲线C 方程与直线20x y --=联立,可求得AB = 4分三角形P AB 的面积最大，即点P 到直线l 的距离d 最大．设,sin )P θθ，|4cos()2|d θπ+-，……… 6分 当cos()16θπ+=-，即2,6k k θ5π=π+∈Z 时，m a x d == 8分三角形P AB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=．………………… 10分 C ．[选修4－5：不等式选讲] (本小题满分10分)解：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++． 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥， 即证明22213a b c ++≥．……………………… 5分 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++， 所以()2223a b c ++()2a b c ++≥．因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥．所以()()2211a b ++++()21613c +≥．……………………… 10分 22．(本小题满分10分)解：以A 为原点，AB 、AD 、AP 的方向分别作为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝b ，则：A (0,0,0)，B (b,0,0)，C (b,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)．（1）因为PC ＝(b,2，－1)，DB ＝(b ，－2,0)．易证得BD ⊥平面PAC ，从而PC ⊥DB ，……………………… 2分所以PC ·DB ＝b 2－4＝0，从而b ＝2．所以DB ＝(2，－2,0)是平面APC 的法向量．……………………… 4分现设n ＝(x ，y ，z )是平面BPC 的法向量，则n ⊥BC ，n ⊥PC ，即n ·BC ＝0，n ·PC ＝0． 因为BC ＝(0,2,0)，PC ＝(2,2，－1)，所以2y ＝0,2x －z ＝0．取x ＝1，则z ＝2，n ＝(1,0,2)．……………………… 6分（2）令θ＝〈n ，DB 〉， 则cos||||5DB DB θ⋅===n n 8分 sinθ，tan θ＝3． 由图可得二面角B －PC －A 的正切值为3．……………………… 10分23．(本小题满分10分)解：（1）因为 210122212121212121(1n n n n n n n C C C C ++++++++=++++，210122212121212121(1n n n n n n n C C C C +++++++-=-++-，又因为21(1n n n a ++=+，高三10月联考数学试卷参考答案与评分建议 第 11 页 共 11 页所以21(1n n n a +-=-，所以2121(1(1()()n n n n n n a a +++-=+-， 即222187n n n a b +-=-，所以228n n a b -能被7整除．…………………… 5分（2）由222187n n n a b +-=-得222187n n n b a +=+， 因为201111749(501)5050(1)50(1)(1)n n n nn n n n n n n nn C C C C ---==-=+-++-+-除最后一项外都是5的倍数，所以217n +用5除所得的余数是2或2-， 又因为2n a 是平方数，其末尾数可能是0,1,4,5,6,9， 所以2217n n a ++末尾数不可能是0或5， 因而不能被5整除，即28n b 不能被5整除，从而2n b 不能被5整除，所以n b 不能被5整除．………………………… 10分。
2020-2021学年江苏省南京市高一(上)10月月考数学试卷及答案
2020-2021学年江苏省南京市高一（上）10月月考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{（2，3）}2．（4分）下列图象表示函数图象的是（）A．B．C．D．3．（4分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}4．（4分）函数f（x）＝的值域是（）A．R B．[﹣8，1]C．[﹣9，+∞）D．[﹣9，1]5．（4分）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣1，1）6．（4分）若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）A．（0，4]B．C．D．7．（4分）若函数f（x）是R上的偶函数，当x＜0时，f（x）为增函数，若x1＜0，x2＞0，且|x1|＜|x2|，则（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）B．f（﹣x1）＜f（﹣x2）C．﹣f（x1）＞f（﹣x2）D．﹣f（x1）＜f（﹣x2）8．（4分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣2，0]C．（﹣2﹣2，﹣2+2）D．[0，1]二、不定项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）9．（5分）下列四个关系中错误的是（）A．1⊆{1，2，3}B．{1}∈{1，2，3}C．{1，2，3}⊆{1，2，3}D．空集∅⊆{1}10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最大值为B．f（x）在（﹣1，0）是增函数C．f（x）＞0的解集为（﹣1，1）D．f（x）+2x≥0的解集为[0，3]三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）已知集合A＝{x|ax+1＝0}，B＝{﹣1，1}，若A∩B＝A，则实数a的所有可能取值的集合为．12．（5分）函数f（x）＝的定义域是．13．（5分）函数y＝|x2﹣4x|的单调减区间为．14．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足x＞0时，f（x）＝x（1﹣x），则当x≤0时，f （x）＝．四、解答题（本大题共3小题，共38分）15．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4＞0}，B＝{x|2x2+x﹣6＞0}，求A∪（∁R B），A∩（∁R B）．16．（14分）小张周末自驾游．早上八点从家出发，驾车3个小时后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s（单位：km）与离家的时间t（单位：h）的函数关系为s（t）＝﹣5t（t﹣13）．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60km/h的速度沿原路返回．（Ⅰ）求这天小张的车所走的路程s（单位：km）与离家时间t（单位：h）的函数解析式；（Ⅱ）在距离小张家60km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．17．（14分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意a，b∈（0，+∞），都有f（a⋅b）＝f（a）+f（b）恒成立，当x＞1时，满足f（x）＞0．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；（2）若f（4）＝4，解关于实数m的不等式f（m2﹣2m﹣1）＜2．2020-2021学年江苏省南京市高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）1．（4分）下列集合中表示同一集合的是（）A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}B．M＝{2，3}，N＝{3，2}C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}D．M＝{2，3}，N＝{（2，3）}【分析】利用集合的三个性质及其定义，对A、B、C、D四个选项进行一一判断；【解答】解：A、M＝{（3，2）}，M集合的元素表示点的集合，N＝{3，2}，N表示数集，故不是同一集合，故A错误；B、M＝{2，3}，N＝{3，2}根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故B正确C、M＝{（x，y）|x+y＝1}，M集合的元素表示点的集合，N＝{y|x+y＝1}，N表示直线x+y＝1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故C错误；D、M＝{2，3} 集合M的元素是点（2，3），N＝{（5，4）}，集合N的元素是点（5，4），故D错误；故选：B．【点评】此题主要考查集合的定义及其判断，注意集合的三个性质：确定性，互异性，无序性，此题是一道基础题．2．（4分）下列图象表示函数图象的是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的定义可知：对于x的任何值y都有唯一的值与之相对应．紧扣概念，分析图象．【解答】解：根据函数的定义，对任意的一个x都存在唯一的y与之对应而A、B、D都是一对多，只有C是多对一．故选：C．【点评】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．3．（4分）设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【分析】由交集的定义可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．【解答】解：集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m＝0}．若A∩B＝{1}，则1∈A且1∈B，可得1﹣4+m＝0，解得m＝3，即有B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的解法，运用定义法是解题的关键，属于基础题．4．（4分）函数f（x）＝的值域是（）A．R B．[﹣8，1]C．[﹣9，+∞）D．[﹣9，1]【分析】分别求出f（x）＝2x﹣x2，f（x）＝x2+6x在其定义域上的值域，故得到答案．【解答】解：f（x）＝2x﹣x2＝﹣（x﹣1）2+1，开口向下，最大值为f（﹣1）＝1，f（0）＝0，f（3）＝﹣3，故函数f（x）＝2x﹣x2的值域为[﹣3，1]，f（x）＝x2+6x＝（x+3）2﹣9，开口向上，函数f（x）＝x2+6x在[﹣2，0]上单调递增，f （﹣2）＝﹣8，f（0）＝0，故函数f（x）＝x2+6x的值域为[﹣8，0]，故函数f（x）＝的值域为[﹣8，1]．故选：B．【点评】本题主要考查了函数的值域的求法，属于基础题．5．（4分）已知奇函数f（x）在x≥0时的图象如图所示，则不等式xf（x）＜0的解集为（）A．（1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣2，﹣1）∪（1，2）D．（﹣1，1）【分析】由f（x）是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得负，得出f（x）的正负，由图象可求出x的范围得结果．【解答】解：（1）x＞0时，f（x）＜0，∴1＜x＜2，（2）x＜0时，f（x）＞0，∴﹣2＜x＜﹣1，∴不等式xf（x）＜0的解集为（﹣2，﹣1）∪（1，2）．故选：C．【点评】由函数的奇偶性得出整个图象，分类讨论的思想得出函数值的正负，数形结合得出自变量的范围．6．（4分）若函数y＝x2﹣3x﹣4的定义域为[0，m]，值域为[﹣，﹣4]，则m的取值范围是（）A．（0，4]B．C．D．【分析】根据函数的函数值f（）＝﹣，f（0）＝﹣4，结合函数的图象即可求解【解答】解：∵f（x）＝x2﹣3x﹣4＝（x﹣）2﹣，∴f（）＝﹣，又f（0）＝﹣4，故由二次函数图象可知：m的值最小为；最大为3．m的取值范围是：[，3]，故选：C．【点评】本题考查了二次函数的性质，特别是利用抛物线的对称特点进行解题，属于基础题．7．（4分）若函数f（x）是R上的偶函数，当x＜0时，f（x）为增函数，若x1＜0，x2＞0，且|x1|＜|x2|，则（）A．f（﹣x1）＞f（﹣x2）B．f（﹣x1）＜f（﹣x2）C．﹣f（x1）＞f（﹣x2）D．﹣f（x1）＜f（﹣x2）【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是偶函数，x∈R，当x＜0时，f（x）为增函数，故x＞0时，f（x）为减函数，∵|x1|＜|x2|，∴f（|x1|）＞f（|x2|），则f（﹣x1）＞f（﹣x2）成立，故选：A．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．8．（4分）设函数f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的增函数，实数a使得f（1﹣ax﹣x2）＜f（2﹣a）对于任意x∈[0，1]都成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．[﹣2，0]C．（﹣2﹣2，﹣2+2）D．[0，1]【分析】解法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立，令g（x）＝x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可，分类讨论，求最值即可求出实数a的取值范围；解法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a，得（1﹣x）a＜x2+1，对x讨论，再分离参数，求最值，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：法一：由条件得1﹣ax﹣x2＜2﹣a对于x∈[0，1]恒成立令g（x）＝x2+ax﹣a+1，只需g（x）在[0，1]上的最小值大于0即可．g（x）＝x2+ax﹣a+1＝（x+）2﹣﹣a+1．①当﹣＜0，即a＞0时，g（x）min＝g（0）＝1﹣a＞0，∴a＜1，故0＜a＜1；②当0≤﹣≤1，即﹣2≤a≤0时，g（x）min＝g（﹣）＝﹣﹣a+1＞0，∴﹣2﹣2＜a＜﹣2+2，故﹣2≤a≤0；③当﹣＞1，即a＜﹣2时，g（x）min＝g（1）＝2＞0，满足，故a＜﹣2．综上a＜1．法二：由1﹣ax﹣x2＜2﹣a得（1﹣x）a＜x2+1，∵x∈[0，1]，∴1﹣x≥0，∴①当x＝1时，0＜2恒成立，此时a∈R；②当x∈[0，1）时，a＜恒成立．求当x∈[0，1）时，函数y＝的最小值．令t＝1﹣x（t∈（0，1]），则y＝＝＝t+﹣2，而函数y＝t+﹣2是（0，1]上的减函数，所以当且仅当t＝1，即x＝0时，y min＝1．故要使不等式在[0，1）上恒成立，只需a＜1，由①②得a＜1．故选：A．【点评】本题考查恒成立问题，考查分离参数法的运用，利用函数的单调性求出函数的最值是解决本题的关键．注意要利用分类讨论的数学思想．二、不定项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）9．（5分）下列四个关系中错误的是（）A．1⊆{1，2，3}B．{1}∈{1，2，3}C．{1，2，3}⊆{1，2，3}D．空集∅⊆{1}【分析】首先确定二者之间是元素与集合，还是集合与集合，再判断所用符号即可．【解答】解：A应该为1∈{1，2，3}；B应该为{1}⊆{1，2，3}；C：{1，2，3}⊆{1，2，3}，正确；D空集∅⊆{1}，正确；故选：AB．【点评】本题考查了集合与元素，集合与集合之间的关系的判断与应用，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，则下列说法正确的是（）A．f（x）的最大值为B．f（x）在（﹣1，0）是增函数C．f（x）＞0的解集为（﹣1，1）D．f（x）+2x≥0的解集为[0，3]【分析】由偶函数的定义求得x＜0时，f（x）的解析式，由二次函数的最值求法，可判断A；由x＜0时，f（x）的单调区间可判断B；讨论x＜0，x≥0，由二次不等式的解法可判断C、D．【解答】解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2，可得x＜0时，f（x）＝f（﹣x）＝﹣x﹣x2，当x≥0时，f（x）＝x﹣x2＝﹣（x﹣）2+，即x＝时，f（x）取得最大值，故A 正确；且f（x）在（﹣1，﹣）递增，在（﹣，0）递减，故B错误；当x≥0时，f（x）＝x﹣x2＞0，解得0＜x＜1；当x＜0时，f（x）＝﹣x﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜0，所以f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（0，1），故C错误；当x≥0时，f（x）+2x＝3x﹣x2≥0，解得0≤x≤3；当x＜0时，f（x）+2x＝x﹣x2≥0，解得x∈∅．所以f（x）+2x≥0的解集为[0，3]，故D正确．故选：AD．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）11．（5分）已知集合A＝{x|ax+1＝0}，B＝{﹣1，1}，若A∩B＝A，则实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}．【分析】根据题中条件：“A∩B＝A”，得到B是A的子集，故集合B可能是∅或B＝{﹣1}，或{1}，由此得出方程ax+1＝0无解或只有一个解x＝1或x＝﹣1．从而得出a的值即可【解答】解：由于A∩B＝A，∴A＝∅或A＝{﹣1}，或{1}，∴a＝0或a＝1或a＝﹣1，∴实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}故答案为：{﹣1，0，1}【点评】本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，方程的根的概念等基本知识，考查了分类讨论的思想方法，属于基础题12．（5分）函数f（x）＝的定义域是（﹣∞，1）．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：依题意，得1﹣x＞0，解得x＜1，∴函数的定义域是（﹣∞，1）故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围：注意分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．13．（5分）函数y＝|x2﹣4x|的单调减区间为（﹣∞，0），（2，4）．【分析】画出函数y＝|x2﹣4x|的图象，利用图象写出单调区间．【解答】解：画出函数y＝|x2﹣4x|的图象，由图象得单调减区间为：（﹣∞，0），（2，4）故答案为：（﹣∞，0），（2，4）【点评】本题考查了函数的单调性，画出图象是关键，属于基础题．14．（5分）定义在R上的奇函数f（x），满足x＞0时，f（x）＝x（1﹣x），则当x≤0时，f （x）＝x（x+1）．【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＜0，则﹣x＞0，由函数的奇偶性和解析式可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝x（x+1），综合2种情况即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，设x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）＝（﹣x）（1+x），又由函数为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝x（x+1），综合可得：当x≤0时，f（x）＝x（x+1）；故答案为：x（x+1）【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意f（0）＝0，属于基础题．四、解答题（本大题共3小题，共38分）15．（10分）已知集合A＝{x|x2﹣4＞0}，B＝{x|2x2+x﹣6＞0}，求A∪（∁R B），A∩（∁R B）．【分析】利用集合的交、并、补集的混合运算求解．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣4＞0}＝{x|x＞2或x＜﹣2}，B＝{x|2x2+x﹣6＞0}＝{x|x＞或x＜﹣2}，∴∁R B＝{x|﹣2}，A∪（∁R B）＝{x|x或x＞2}，A∩（∁R B）＝∅．【点评】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．16．（14分）小张周末自驾游．早上八点从家出发，驾车3个小时后到达景区停车场，期间由于交通等原因，小张的车所走的路程s（单位：km）与离家的时间t（单位：h）的函数关系为s（t）＝﹣5t（t﹣13）．由于景区内不能驾车，小张把车停在景区停车场．在景区玩到16点，小张开车从停车场以60km/h的速度沿原路返回．（Ⅰ）求这天小张的车所走的路程s（单位：km）与离家时间t（单位：h）的函数解析式；（Ⅱ）在距离小张家60km处有一加油站，求这天小张的车途经该加油站的时间．【分析】（Ⅰ）根据题意，可得分段函数解析式，关键是确定返回时函数的解析式；（Ⅱ）利用分段函数解析式，建立方程，即可求得结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意，0＜t≤3时，s（t）＝﹣5t（t﹣13），当t＝3时，s（3）＝150；3＜t≤8时，s（t）＝150；∵150÷60＝2.5，∴8＜t≤10.5时，s（t）＝150+（t﹣8）×60＝60t﹣330；∴s（t）＝；（Ⅱ）0＜t≤3时，令﹣5t（t﹣13）＝60，则t＝1或12，所以t＝1，即九点小张的车途经该加油站；8＜t≤10.5时，60t﹣330＝150+150﹣60，则t＝9.5，即17：30小张的车途经该加油站．【点评】本题考查函数模型的构建，考查函数解析式的运用，考查利用数学知识解决实际问题，确定函数的解析式是关键．17．（14分）已知定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意a，b∈（0，+∞），都有f（a⋅b）＝f（a）+f（b）恒成立，当x＞1时，满足f（x）＞0．（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性并用定义证明；（2）若f（4）＝4，解关于实数m的不等式f（m2﹣2m﹣1）＜2．【分析】（1）设0＜x1＜x2，根据f（x2）＝f（）+f（x1）即可得出f（x）的单调性；（2）根据f（x）的单调性和定义域列不等式组解出m的范围．【解答】解：（1）f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明如下：设x1，x2是（0，+∞）上任意两个数，且x1＜x2，则f（x2）＝f（•x1）＝f（）+f（x1），∴f（x2）﹣f（x1）＝f（），∵0＜x1＜x2，∴＞1，∴f（）＞0，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．（2）∵f（4）＝f（2×2）＝f（2）+f（2）＝4，∴f（2）＝2，∴f（m2﹣2m﹣1）＜2⇔f（m2﹣2m﹣1）＜f（2），由（1）知f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，∴0＜m2﹣2m﹣1＜2，解得：﹣1＜m＜1﹣或1+＜m＜3．【点评】本题考查了抽象函数单调性判断及应用，属于中档题．。
【数学】南京一中 2020-2021学年度第一学期10月月考 试题+解析
A. P Q
B. P Q
C. P Q
6. 若 x1, x2 是一元二次方程 2x2 6x 3 0 的两个根，则 x1 x2 的值为（
D. P Q ）．
A. 3 3
B. 3
C. 3
D. 15
7.
若不等的解集是
x
|
1
x
1
，则
a
b
的值为（
）．
2
3
A. 10
B. 14
C. 10
南京一中 2020-2021 学年度第一学期月考试卷
高一数学
本卷考试时间：100 分钟 总分：150 分
一、单项选择题：本大题共 10 小题,每小题 5 分，共 50 分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上
1. 设全集U 1, 2,3, 4 ，集合 S 1,3 ， T 4 ，则 U S T 等于（ ）．【支点培优】
A. 4
B. 2
C. 2
4. 对于任意实数 a,b,c, d ，以下四个命题中的真命题是（ ）．【支点培优】
D. 4
A. 若 a b,c 0 则 ac bc
B. 若 a b 0,c d 则 ac bd
C. 若 a b ，则 1 1 ab
D. 若 ac2 bc2 ，则 a b
5. 已知集合 P x | y x 1 ，集合 Q y | y x 1 ，则 P 与 Q 的关系是（ ）．
为
．
18. 已知函数 y x2 ax ba,b R 的最小值为 0 ，若关于 x 的不等式 x2 ax b c 的解集为 m, m 6 ，
则实数 c 的值为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 60 分，请把答案填写在答题卡相应位置上
南京市六校联合体2020届高三年级10月联考数学试卷及答案解析
南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．1．已知集合，，则A B I ＝ ▲ ． 2．复数(i)(12i)a ++是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a = ▲ ．3．甲盒子中有编号分别为1，2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3，4，5，6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，若输出y 的值为1，则输入x 的值为 ▲ ．5．已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线20x y +=垂直，则双曲线的方程为 ▲ ．6．如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定的那名运动员的得分的方差为 ▲ ．{|||2}A x x =<{1,0,1,2,3}B =-（第4题图）Read x If x ≥0 Theny ←2x ＋1 Else7 7 9 0 8 9 4 8 1 0 3 5 甲 乙（第6题图）A CB A 1B 1C 1D（第10题图）7．公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2514,,a a a 成等比数列，253S a =，则10a = ▲ ．8．已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数．当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ▲ ．9．若正实数,x y 满足2210x xy +-=，则2x y +的最小值为 ▲ ．10．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D为侧棱BB 1上的动点．当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D －ABC 1的体积为 ▲ ．11．已知函数3()1f x x x =++，若对任意的x ，都有2()()2f x a f ax ++>，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12．在凸四边形ABCD 中， BD ＝2，且AC →·BD →＝0，(AB →＋→DC )•(→BC ＋→AD )＝5，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ．13. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋3)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 与圆M上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30︒，则a 的取值范围为 ▲ ．14．已知函数4,0,e ()2,0,exx x f x x x ⎧+<⎪=⎨⎪⎩≥若123123()()()()f x f x f x x x x ==<<，则21()f x x 的范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本小题满分14分)如图，在三棱锥A －BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD ∥平面AEF ． （1）求证：EF ∥平面ABD ；（2）若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD ．16．(本小题满分14分)已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈(0，π2)．（1）若a －b ＝(25，0)，求t 的值；（2）若t ＝1，且a • b ＝1，求tan(2α＋π4)的值．17．(本小题满分14分)ABCFED（第15题图）有一块以点O 为圆心，半径为2百米的圆形草坪，草坪内距离O 点2百米的D 点有一用于灌溉的水笼头，现准备过点D 修一条笔直小路交草坪圆周于A ，B 两点，为了方便居民散步，同时修建小路OA ，OB ，其中小路的宽度忽略不计． （1）若要使修建的小路的费用最省，试求小路的最短长度；（2）若要在△ABO 区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞，试求这块圆形广场的最大面积．（结果保留根号和 ）18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点分别为A ，B ，M 为线段AB 的中点，且OM →·AB →＝－32b 2．（1）求椭圆的离心率；（2）已知a ＝2，四边形ABCD 内接于椭圆，AB ∥DC ．记直线AD ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值．19．(本小题满分16分)已知λ∈R ，函数f (x )＝e x －e x －λ(x ln x －x ＋1)的导函数为g (x )． （1）求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；xy OCBDMA （第18题图）ABOD（第17题图）（2）若函数g (x )存在极值，求λ的取值范围； （3）若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，求λ的最大值．20．(本小题满分16分)各项为正的数列{}n a 满足2*111,()2n n n aa a a n λ+==+∈N ．（1）当1n a λ+=时，求证：数列{}n a 是等比数列，并求其公比；（2）当2λ=时，令12n nb a =+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项之积为n T ，求证：对任意正整数n ，12n n n T S ++为定值．南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学 附 加 题注意事项：1．本试卷共2页，包括选做题（第21题）、必做题（第22题～第23题）两部分．本试卷满分为40分，考试时间为30分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修4－2：矩阵与变换] (本小题满分10分)已知在二阶矩阵M 对应的变换下将点(－2,1)与(1,0)分别变换成点(3,0)与(1,2)．求矩阵M 的特征值．B ．[选修4－4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为,x y θ⎧=⎨=⎩(θ为参数)，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．若点P 在曲线C 上运动，当三角形P AB 的面积最大时，求点P 的坐标及三角形P AB 的最大面积．C ．[选修4－5：不等式选讲] (本小题满分10分)已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥．22．(本小题满分10分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE ，设P A ＝1，AD ＝2． （1）求平面BPC 的法向量； （2）求二面角B －PC －A 的正切值．（第22题图）23．(本小题满分10分)设21(1n n n a ++=（*,N Z,Z n n n a b ∈∈∈）．（1）求证：228n n a b -能被7整除；（2）求证：n b 不能被5整除．南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学参考答案与评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在相应位置上．1．{-101}，， 2．2 3．38 4．－1 5．2214x y -=6．6.8 7．19 8．12 9 10．1311．0<a <4 12．3 13．[－65，0] 14．(1,0)-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分) 解：（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ， 所以BD ∥EF ．…………………… 3分 因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ， 所以EF ∥平面ABD ．…………………… 6分 （2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ， 所以AE ⊥CD ．…………………… 8分 因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ，…………………… 10分又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ， 所以CD ⊥平面AEF ．…………………… 12分 又CD ⊂平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ．…………………… 14分16．(本小题满分14分)解：（1）因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝(25，0)，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α．…………………… 2分由cos α－sin α＝15 得 (cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425．所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925．因为α∈(0，π2)，所以cos α＋sin α＝75．…………………… 5分所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925．…………………… 7分（2）因为t ＝1，且a • b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α．因为α∈(0，π2)，所以cos α≠0，从而tan α＝14．…………………… 9分所以tan2α＝2tan α1－tan 2α＝815．…………………… 11分从而tan(2α＋π4)＝tan2α＋tan π41－tan2α·tan π4＝815＋11－815＝237．…………………… 14分 17．(本小题满分14分)解：建立如图所示的平面直角坐标系，则D（1）小路的长度为OA OB AB ++，因为,OA OB 长为定值，故只需要AB 最小即可． 作OM AB ⊥于M ，记OM d =，则AB ==又d OD =≤，故AB =≥此时点D 为AB 中点．故小路的最短长度为4+(百米)．…………… 4分（2）显然，当广场所在的圆与△ABC 内切时，面积最大，设△ABC 的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为11()22ABC S AB AC BC r AB d ∆=++⋅=⋅，…………… 6分由弦长公式AB =2244AB d =-， 所以2222(16)4(4)AB AB r AB ⋅-=+，………………… 8分 设AB x =，则22222(16)(4)()444(4)x x x x r f x x x ⋅-⋅-===++（）， 所以3222228322(416)'()4(4)4(4)x x x x x x f x x x --+-⋅+-==++，……………… 10分 又因为0d CD <≤，即0d <所以)x AB ⎡==⎣，……………… 12分所以222(416)'()04(4)x x x f x x -⋅+-=<+，所以max ()6f x f ==-即△ABC 的内切圆的面积最大值为(6-π．…………………… 14分18．(本小题满分16分)解：（1）A (a ，0)，B (0，b )，由M 为线段AB 的中点得M (a 2，b 2)． 所以OM →＝(a 2，b 2)，AB →＝(－a ，b )． 因为OM →·AB →＝－32b 2，所以(a 2，b 2)·(－a ，b )＝－a 22＋b 22＝－32b 2， 整理得a 2＝4b 2，即a ＝2b ．…………………… 3分因为a 2＝b 2＋c 2，所以3a 2＝4c 2，即3a ＝2c ．所以椭圆的离心率e ＝c a ＝32．…………………… 5分 （2）方法一：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1． 从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12．…………………… 7分 因为AB ∥DC ，故可设DC 的方程为y ＝－12x ＋m ．设D (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)． 联立⎩⎨⎧y ＝－12x ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－2mx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝2m ，从而x 1＝2m －x 2．……………………… 9分直线AD 的斜率k 1＝y 1x 1－2＝－12x 1＋m x 1－2，直线BC 的斜率k 2＝y 2－1x 2＝－12x 2＋m －1x 2， ……………………… 11分所以k 1·k 2＝－12x 1＋m x 1－2·－12x 2＋m －1x 2 ＝14x 1x 2－12(m －1)x 1－12mx 2＋m (m －1)(x 1－2)x 2＝14x 1x 2－12m (x 1＋x 2)＋12x 1＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12m ·2m ＋12(2m －x 2)＋m (m －1)x 1x 2－2x 2＝14x 1x 2－12x 2x 1x 2－2x 2＝14， 即k 1·k 2为定值14．………………………16分 方法二：由a ＝2得b ＝1，故椭圆方程为x 24＋y 2＝1． 从而A (2，0)，B (0，1)，直线AB 的斜率为－12．…………………… 7分 设C (x 0，y 0)，则x 024＋y 02＝1． 因为AB ∥CD ，故CD 的方程为y ＝－12(x －x 0)＋y 0． 联立⎩⎨⎧y ＝－12(x －x 0)＋y 0，x 24＋y 2＝1，消去y ，得x 2－(x 0＋2y 0)x ＋2x 0y 0＝0，……………… 10分解得x ＝x 0（舍去）或x ＝2y 0．所以点D 的坐标为(2y 0，12x 0)．……………………… 13分 所以k 1·k 2＝12x 02y 0－2·y 0－1x 0＝14，即k 1·k 2为定值14．……………………… 16分19．(本小题满分16分)解：（1）因为f′(x )＝e x －e －λln x ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率为f′(1)＝0，又切点为(1，f (1))，即(1，0)，所以切线方程为y ＝0．………………………… 2分（2）g (x )＝e x －e －λln x ，g′(x )＝e x －λx． 当λ≤0时，g′(x )＞0恒成立，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增，故此时g (x )无极值．………………………… 4分当λ＞0时，设h (x )＝e x －λx ，则h′(x )＝e x ＋λx 2＞0恒成立， 所以h (x )在(0，＋∞)上单调递增．………………………… 6分①当0＜λ＜e 时，h (1)＝e －λ＞0，h (λe)＝e λe －e ＜0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数， 因此存在唯一的x 0∈(λe，1)，使得h (x 0)＝0． ②当λ≥e 时，h (1)＝e －λ≤0，h (λ)＝e λ－1＞0，且h (x )是(0，＋∞)上的连续函数，因此存在唯一的x 0∈[1，λ)，使得h (x 0)＝0．故当λ＞0时，存在唯一的x 0＞0，使得h (x 0)＝0．…………………… 8分且当0＜x ＜x 0时，h (x )＜0，即g′(x )＜0，当x ＞x 0时，h (x )＞0，即g′(x )＞0， 所以g (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增，因此g (x )在x ＝x 0处有极小值．所以当函数g (x )存在极值时，λ的取值范围是(0，＋∞)．…………………… 10分（3）g (x )＝f′(x )＝e x －e －λln x ，g′(x )＝e x －λx． 若g′(x )≥0恒成立，则有λ≤x e x 恒成立．设φ(x )＝x e x (x ≥1)，则φ′(x )＝(x ＋1) e x ＞0恒成立，所以φ(x )单调递增，从而φ(x )≥φ(1)＝e ，即λ≤e ．…………………………… 12分 当λ≤e 时，g (x )在[1，＋∞)上单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，即f′(x )≥0，从而f (x )在[1，＋∞)上单调递增．所以f (x )≥f (1)＝0恒成立．…………………………… 14分当λ＞e 时，由（2）知，存在x 0∈(1，λ)，使得g (x )在(0，x 0)上单调递减，即f′(x )在(0，x 0)上单调递减．所以当1＜x ＜x 0时，f′(x )＜f′(1)＝0，于是f (x )在[1，x 0)上单调递减，所以f (x 0)＜f (1)＝0．这与x ≥1时，f (x )≥0恒成立矛盾．因此λ≤e ，即λ的最大值为e ．…………………………… 16分20．(本小题满分16分)解：（1）由1n a λ+=，得211n n n n a a a a ++=+，所以22110n n n n a a a a ++--=， 两边同时除以2n a 可得：21110n n n n a a a a ++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，……………………… 2分解得1n n a a +=．…………………………… 4分因为0n a >，所以1n n a a +=为常数， 故数列{}n a．…………………… 6分 （2）当2λ=时，212n n n a a a +=+，得12(2)n n n a a a +=+， 所以11122n n n n a b a a +==+．…………………………… 8分 11211223111111111()()()()()22222n n n n n n n n a a a a T b b b a a a a a ++++=⋅=⋅⋅==L L ，…… 10分 又211111122n n n n n n n n a a b a a a a a +++===-⋅；……………………… 12分 所以121111112n n n n S b b b a a a ++=+++=-=-L ，………………… 14分 故1111111122()222n n n n n n n T S a a ++++++=⋅⋅+-=为定值． ………………… 16分 南京市六校联合体2020届高三年级10月联考试卷数 学 附 加 题参考答案与评分建议21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－2：矩阵与变换] (本小题满分10分)解：设矩阵=a b M c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则2311,1002a b a b c d c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以23,1,,20 2.a b a c d c -+==⎧⎧⎨⎨-+==⎩⎩且解得1,5,2,4a b c d ====.所以1524M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．……………………… 5分 M 的特征多项式15()(1)(4)10(1)(6)024f λλλλλλλ--==---=+-=--, 所以λ＝6或－1．所以矩阵M 的特征值为6或－1．……………………… 10分B ．[选修4－4：坐标系与参数方程] (本小题满分10分)解：曲线C 的普通方程为221124x y +=．…………………… 2分由曲线C 方程与直线20x y --=联立,可求得AB = 4分三角形P AB 的面积最大，即点P 到直线l 的距离d 最大．设,sin )P θθ，|4cos()2|d θπ+-，……… 6分 当cos()16θπ+=-，即2,6k k θ5π=π+∈Z 时，max d == 8分三角形P AB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=．………………… 10分 C ．[选修4－5：不等式选讲] (本小题满分10分)解：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++． 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥，即证明22213a b c ++≥．……………………… 5分 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++()2a b c ≥++-()2222a b c ++， 所以()2223a b c ++()2a b c ++≥． 因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥． 所以()()2211a b ++++()21613c +≥．……………………… 10分 22．(本小题满分10分)解：以A 为原点，AB u u u r 、AD u u u r 、AP u u u r 的方向分别作为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设AB ＝b ，则：A (0,0,0)，B (b,0,0)，C (b,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)．（1）因为PC u u r＝(b,2，－1)，DB u u u r ＝(b ，－2,0)．易证得BD ⊥平面PAC ，从而PC ⊥DB ，……………………… 2分 所以PC u u u r ·DB u u u r ＝b 2－4＝0，从而b ＝2．所以DB u u u r＝(2，－2,0)是平面APC 的法向量．……………………… 4分现设n ＝(x ，y ，z )是平面BPC 的法向量，则n ⊥BC u u r ，n ⊥PC u u r ，即n ·BC u u r ＝0，n ·PC u u r ＝0．因为BC u u r ＝(0,2,0)，PC u u r ＝(2,2，－1)，所以2y ＝0,2x －z ＝0．取x ＝1，则z ＝2，n ＝(1,0,2)．……………………… 6分（2）令θ＝〈n ，DB u u r〉，则cos ||||DB DB θ⋅===u u u r u u u r n n 8分sin θ，tan θ＝3．由图可得二面角B －PC －A 的正切值为3．……………………… 10分23．(本小题满分10分)解：（1）因为 210122212121212121(1n n n n n n n C C C C ++++++++=++++L ，210122212121212121(1n n n n n n n C C C C +++++++-=-++-L ，又因为21(1n n n a ++=+，所以21(1n n n a +-=-，所以2121(1(1()()n n n n n n a a +++-=+-，即222187n n n a b +-=-，所以228n n a b -能被7整除．…………………… 5分（2）由222187n n n a b +-=-得222187n n n b a +=+，因为201111749(501)5050(1)50(1)(1)n n n n n n n n n n n n n C C C C ---==-=+-++-+-L 除最后一项外都是5的倍数，所以217n +用5除所得的余数是2或2-，又因为2n a 是平方数，其末尾数可能是0,1,4,5,6,9，所以2217n n a ++末尾数不可能是0或5， 因而不能被5整除，即28n b 不能被5整除，从而2n b 不能被5整除， 所以n b 不能被5整除．………………………… 10分。
003-2021江苏省南京市秦淮中学2021届高三上学期期初调研考试数学试题
南京市秦淮中学2021届高三期初调研考试试卷数 学注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分．公式：球体积343V R π=，随机变量ξ的方差221ni i i Vx p ξμ==-∑（） 一、单项选择题：（本题共8小题．每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．） 1.设{}1A x x =>，{}220B x x x =--<，则()B A C R ⋂=A ．{}1x x >- B ．{}11x x -<≤ C ．{}11x x -<< D ．{}12x x <<2.若)(1i 1i z +=-，则z = A ．1–iB ．1+iC ．–iD ．i3．为了加强“精准扶贫”，实现伟大复兴的“中国梦”，某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加、、A B C 三个贫困县的调研工作，每个县至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个贫困县，则不同的派遣方案共有 A ．24 B ．36C ．48D ．644.如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2BB 1，P 为B 1C 1的中点.则异面直线AC 与BP 所成的角为（ ）A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°5甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（ ） A. 0.6076B. 0.7516C. 0.3924D. 0.24846.ABC ∆是边长为1的等边三角形，点,D E 分别是边,AB BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得2DE EF =，则·AF BC 的值为 A ．58-B ．18C ．14D ．1187.Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()I t （t 的单位：天）的Logisic 模型：()()0.23531et K I t --=+，其中K 为最大确诊病例数．当()0.95I tK *=时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（ln193≈）（ ）A ．60B ．63C ．66D ．69 8.设函数()()xxf x x e ae-=+的导函数为()'f x ，若()'f x 是奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ）A ．2e -B ．1e-C ．2D ．2e二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错得0分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）9.为了对变量x 与y 的线性相关性进行检验，由样本点()11,x y 、()22,x y 、、()1010,x y 求得两个变量的样本相关系数为r ，那么下面说法中错误的有（ ） A. 若所有样本点都直线21y x =-+上，则1r =B. 若所有样本点都在直线21y x =-+上，则2r =-C. 若r 越大，则变量x 与y 的线性相关性越强D. 若r 越小，则变量x 与y 的线性相关性越强10. 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2 33，右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点，则( )A. 渐近线方程为y ＝±3xB. 渐近线方程为y ＝±33x C. ∠MAN ＝60°D. ∠MAN ＝120°11．已知函数()()(0,0,0)f x Acos x A ωϕωϕπ=+>><<的图象的一个最高点为,312π⎛⎫-⎪⎝⎭，与之相邻的一个对称中心为,06π⎛⎫⎪⎝⎭，将()f x 的图象向右平移6π个单位长度得到函数()g x 的图象，则（ ） A ．()g x 为偶函数B ．()g x 的一个单调递增区间为5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()g x 为奇函数D ．()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点12.若0a >，0b >，则下面有几个结论正确的有（ ）A. 若1a ≠，1b ≠，则log log 2a b b a +≥B. ≥C. 若142a b +=，则92a b +≥ D. 若22ab b +=，则34a b +≥ 三、填空题：(本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．) 13.《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n 个月后共有老鼠n a 只，则n a =_____.14.函数()log 31,(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，n ＞0），则12m n+的最小值等于__________. 15.已知椭圆22142x y +=的焦点为F ，短轴端点为P ，若直线PF 与圆222:(0)O x y R R +=>相切，则圆O 的半径为___________16.棱长为12的正四面体ABCD 与正三棱锥E —BCD 的底面重合，若由它们构成的多面体ABCDE 的顶点均在一球的球面上，则正三楼锥E —BCD 的体积为_______，该正三棱锥内切球的半径为_______.四、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．)17．在①cos 220B B -+=，②2cos 2b C a c =-，③b a =三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若______，且a ，b ，c 成等差数列，则ABC △是否为等边三角形?若是，写出证明；若不是，说明理由， 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18记n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，1n a +是4和n S 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记()()1111n n n b a a +=+⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．根据教育部《中小学生艺术素质测评办法》，为提高学生审美素养，提升学生的综合素质，江苏省中考将增加艺术素质测评的评价制度，将初中学生的艺术素养列入学业水平测试范围．为初步了解学生家长对艺术素质测评的了解程度，某校随机抽取100名学生家长参与问卷测试，并将问卷得分绘制频数分布表如下：（1）将学生家长对艺术素质评价的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“学生家长对艺术素质评价的了解程度”与“性别”有关？（2）以这100名学生家长中“比较了解”的频率代替该校学生家长“比较了解”的概率现在再随机抽取3名学生家长，设这3名家长中“比较了解”的人数为X，求X的概率分布和数学期望．附：22()()()()()n ad bcXa b c d a c b d-=++++，()n a b c d=+++．临界值表：20.如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除A，B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.（1）证明：平面ADE⊥平面ACD；（2）当C点为半圆的中点时，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.21．已知函数321(2)()232a f x x x ax +=++． (1)当2a =时，求过坐标原点且与函数()y f x =的图像相切的直线方程； (2)当()0,2a ∈时，求函数()f x 在[]2,a a -上的最大值．22.已知点3(1,)2P 在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，(1,0)F 是椭圆的一个焦点。
2020-2021学年某校高三(上)10月月考数学试卷(有答案)
2020-2021学年某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1.已知集合A={x|x2−x−2>0}，则∁R A=( )A. {x|−1<x<2}B.{x|−1≤x≤2}C. {x|x<−1}∪{x|x>2}D.{x|x≤−1}∪{x|x≥2}2. 已知集合P={x|x2≤1}，M={a}.若P∪M=P，则实数a的取值范围为( )A.[−1, 1]B.[1, +∞)C.(−∞, −1]D.(−∞, −1]∪[1, +∞)3. 下列函数中，在区间(0, +∞)内单调递减的是( )A.y=1x−x B.y=x2−x C.y=ln x−x D.y=e x4. 已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为( )A.1B.2C.3D.45. 已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m//n”是“m//α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 下列说法正确的是( )A.“若a>1，则a2>1”的否命题是“若a>1，则a2≤1”B.“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为真命题C.存在x0∈(0, +∞)，使3x0>4x0成立D.“若sinα≠12，则α≠π6”是真命题7. 设U为全集，A，B是其两个子集，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=⌀”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8. 已知函数f(x)={e x ,x ≤0，ln x,x >0，g(x)=f(x)+x +a ，若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是( )A.[−1, 0)B.[0, +∞)C.[−1, +∞)D.[1, +∞) 二、填空题已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(−∞,0)时，f(x)=2x 3+x 2，则f(2)=________．三、解答题已知函数f(x)=x 3+(1−a)x 2−a(a +2)x ，g(x)=196x −13，若对任意x 1∈[−1,1]，总存在x 2∈[0,2]，使得f ′(x 1)+2ax 1=g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】一元二次不等式的解法补集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：由x 2−x −2>0,解得，{x|x <−1}∪{x|x >2}.所以∁R A ={x|−1≤x ≤2}.故选B .2.【答案】A【考点】集合关系中的参数取值问题并集及其运算【解析】化简集合P ，若P ∪M =P ，可得M ⊆P ，由此求得实数a 的取值范围，【解答】解：∵ 集合P ={x|x 2≤1}={x|−1≤x ≤1}=[−1, 1]，M ={a}，P ∪M =P ，∴ M ⊆P ，∴ a ∈[−1, 1].故选A .3.【答案】A【考点】函数的单调性及单调区间【解析】分别根据函数单调性的性质进行判断即可．【解答】解：A ，y =1x −x 在(0, +∞)内单调递减，故A 正确；B ，y =x 2−x 的对称轴为x =12，∴ 在(12, +∞)内单调递增，故B 错误；C ，y ′=1x −1=1−x x ，由y ′=1−x x <0得x >1，即函数的单调递减区间为(1, +∞)，故C错误；D，y=e x，在R上单调递增，故D错误．故选A.4.【答案】B【考点】复合命题及其真假判断逻辑联结词“或”“且”“非”【解析】先判断p，q的真假性，再利用复合命题真假进行判断即可求解.【解答】解：∵2是偶数为真，∴p真.∵2是质数为真，∴q真，∴命题p∨q，p∧q为真命题，∴¬p，¬q为假命题.故真命题的个数为2个.故选B.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断直线与平面平行的判定【解析】本题考查空间中线面位置关系以及充分条件、必要条件的判断．【解答】解：若m⊄α，n⊂α，m//n，由线面平行的判定定理知m//α．若m//α，m⊄α，n⊂α，不一定推出m//n，直线m与n可能异面，故“m//n”是“m//α”的充分不必要条件．故选A．6.【答案】D【考点】四种命题的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：对于A，“若a>1，则a2>1“的否命题是“若a≤1，则a2≤1”，故A错误；对于B，原命题的逆命题为“若a<b，则am2<bm2”，当m=0时，am2=bm2，故B 错误；对于C，当x0∈(0,+∞)时，4x0>3x0，故C错误；对于D，原命题的逆否命题为“若α=π6，则sinα=12”，是真命题，从而原命题为真命题，故D正确．故选D．7.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断并集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】由图可知，若“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C"，则一定有“A∩B=⌀；反过来，若“A∩B=⌀，则一定能找到集合C，使A⊆C且B⊆∁U C .故选：C .【解答】解：如图所示，由图可知，若“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C"，则一定有“A∩B=⌀；反过来，若“A∩B=⌀，则一定能找到集合C，使A⊆C且B⊆∁U C .故选C .8.【答案】C【考点】函数的零点【解析】由g(x)=0得f(x)=−x−a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：由g(x)=0得f(x)=−x−a，作出函数f(x)和y=−x−a的图象如图：当直线y =−x −a 的截距−a ≤1，即a ≥−1时，f(x)和y =−x −a 的图象都有2个交点，即函数g(x)存在2个零点，故实数a 的取值范围是[−1, +∞).故选C ．二、填空题【答案】12【考点】函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ f(x)为奇函数，∴ f(2)=−f(−2)=−[2×(−2)3+(−2)2]=12．故答案为：12．三、解答题【答案】解：由题意知，g (x )在[0,2]上的值域为[−13,6]. 令ℎ(x )=f ′(x )+2ax =3x 2+2x −a (a +2)，则ℎ′(x )=6x +2，由ℎ′(x )=0得x =−13.当x ∈[−1,−13)时，ℎ′(x )<0； 当x ∈(−13,1] 时，ℎ′(x )>0，所以[ℎ(x)]min =ℎ(−13)=−a 2−2a −13.又由题意可知，ℎ(x )的值域是[−13,6]的子集，所以{ ℎ(−1)≤6，−a 2−2a −13≥−13，ℎ(1)≤6，所以实数a 的取值范围是[−2,0].【考点】利用导数研究不等式恒成立问题导数求函数的最值函数的单调性与导数的关系【解析】（1）函数f(x)在区间(−1, 1)不单调，等价于导函数f′(x)在(−1, 1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数，即函数f′(x)在(−1, 1)上存在零点，但无重根；【解答】解：由题意知，g (x )在[0,2]上的值域为[−13,6].令ℎ(x )=f ′(x )+2ax =3x 2+2x −a (a +2)，则ℎ′(x )=6x +2，由ℎ′(x )=0得x =−13.当x ∈[−1,−13)时，ℎ′(x )<0； 当x ∈(−13,1] 时，ℎ′(x )>0，所以[ℎ(x)]min =ℎ(−13)=−a 2−2a −13. 又由题意可知，ℎ(x )的值域是[−13,6]的子集，所以{ℎ(−1)≤6，−a 2−2a −13≥−13，ℎ(1)≤6， 所以实数a 的取值范围是[−2,0].。
2020-2021学年江苏省南京市溧水二高、秦淮中学、天印中学高三上学期期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省南京市溧水二高、秦淮中学、天印中学三校高三（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）设集合M＝[1，3），N＝（2，5]，则M∩N＝（）A．[1，5]B．（2，3）C．[1，2）D．（3，5]2．（5分）已知i是虚数单位，设复数a+bi＝，其中a，b∈R，则a+b的值为（）A．B．﹣C．D．﹣3．（5分）从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（）A．20种B．50种C．80种D．100种4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”你的计算结果是（）A．80里B．86里C．90里D．96里5．（5分）若正数a是一个不等于1的常数，则函数y＝log a x与函数y＝x a（x＞0）在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）设a＝0.32.1，b＝2.10.3，c＝log0.32.1，d＝log2.10.3，则a，b，c，d的大小关系为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c 7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2＝9及圆C内的一点P（1，2），圆C的过点P的直径为MN，若线段AB是圆C的所有过点P的弦中最短的弦，则（﹣）•的值为（）A．8B．16C．4D．48．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，g（x）＝f（x+1）．若函数g（x）满足下列条件：①g（x）是偶函数；②g（x）在区间[0，+∞）上是增函数；③g（x）有一个零点为2．则不等式（x+1）f（x）＞0的解集是（）A．（3，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）二、选择题（共4小题）.9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，为了使方程x2+my2﹣2＝0表示准线垂直于x轴的圆锥曲线，实数m的取值范围可以是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，+∞）D．（0，+∞）10．（5分）若将函数y＝A sin（ωx+φ）的图象上所有的点向右平移个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数y＝sin（x+）的图象，则实数φ的值可能是（）A．B．C．﹣D．﹣11．（5分）设a＞0，b＞0，且a+2b＝4，则下列结论正确的是（）A．+的最小值为B．+的最小值为2C．+的最小值为D．+≥112．（5分）设常数a∈R，n∈N*，对于二项式（1+a）n的展开式，下列结论中，正确的是（）A．若a＜，则各项系数随着项数增加而减小B．若各项系数随着项数增加而增大，则a＞nC．若a＝﹣2，n＝10，则第7项的系数最大D．若a＝﹣，n＝7，则所有奇数项系数和为239三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过抛物线C：y2＝mx的焦点F作斜率为1的直线，与抛物线C交于A，B两点．若弦AB的长为6，则实数m的值为．14．（5分）今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是元．（四舍五入，精确到整数）15．（5分）数学家研究发现，对于任意的x∈R，sin x＝x+…+（﹣1）n﹣1+…（n∈N*），称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x，可以用这个展开式来求sin x的近似值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B的仰角∠BAC＝30°，气球的视角α＝2o，则该气球的高BC约为米．（精确到1米）16．（5分）如图所示，多面体ABCDEFGH中对角面CDEF是边长为6的正方形，AB CD，HG DE，且AB，GH到平面CDEF的距离都是3，则该多面体的体积为．四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设函数f（x）＝4cos2x﹣4sin x cos x+1．（1）求f（x）的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c．若f（A）＝1，a＝1，求△ABC周长的取值范围．18．（12分）阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①a n+1＝a n+1，②a n+1＝a n+2，③S n＝2a n﹣1中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的______处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，对任意的n∈N*，都有____﹣；等比数列{b n}中，对任意的n∈N*，都有b n＞0，2b n+2＝b n+1+3b n，且b1＝1，问：是否存在k∈N*，使得：对任意的n∈N*，都有a n b k≤a k b n？若存在，试求出k的值；若不存在，试说明理由．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM⊥平面PBD．（1）求PA的长；（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．20．（12分）在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如表所示．未感冒感冒使用血清173未使用血清146（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X，试写出X的分布律；（2）是否有把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：Ⅱ类1类2Ⅰ类A a b类B c d有χ2＝，其中n＝a+b+c+d．临界值表（部分）为P（χ20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k）k0.4450.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 21．（12分）设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）﹣x＝0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．（Ⅰ）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）﹣f（m）＝（n﹣m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）﹣x＝0只有一个实数根；（Ⅲ）设x1是方程f（x）﹣x＝0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2、x3，当|x2﹣x1|＜1，且|x3﹣x1|＜1时，|f（x3）﹣f（x2）|＜2．22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E与双曲线C ：﹣＝1有共同的中心和准线，且双曲线C的一条渐近线被椭圆E截得的弦长为4．（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P（0，m）存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合M＝[1，3），N＝（2，5]，则M∩N＝（）A．[1，5]B．（2，3）C．[1，2）D．（3，5]解：∵M＝[1，3），N＝（2，5]，∴M∩N＝（2，3）．故选：B．2．（5分）已知i是虚数单位，设复数a+bi＝，其中a，b∈R，则a+b的值为（）A．B．﹣C．D．﹣解：由a+bi＝，得（a+bi）（2+i）＝2﹣i，则（2a﹣b）+（a+2b）i＝2﹣i，∴，解得，∴a+b＝．故选：D．3．（5分）从5名同学中选若干名分别到图书馆、食堂做志愿者，若每个地方至少去2名，则不同的安排方法共有（）A．20种B．50种C．80种D．100种解：根据题意，分2种情况讨论：①从5人中选4人参加活动，先在5人中选出2人，安排到图书馆做志愿者，有C52＝10种分法，再从剩下的3人中选出2人，安排在食堂做志愿者，有C32＝3种分法，此时有10×3＝30种安排方法，②5人全部参加志愿活动，先在5人中选出3人，安排到图书馆或食堂做志愿者，有2C53＝20种分法，再把剩下的2人安排在剩下场所做志愿者，有1种情况，此时有20×1＝20种安排方法，此时有30+20＝50种安排方法，故选：B．4．（5分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”你的计算结果是（）A．80里B．86里C．90里D．96里解：由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，由题意和等比数列的求和公式可得＝378，解得a1＝192，∴此人第二天走192×＝96里，∴第二天走了96里，故选：D．5．（5分）若正数a是一个不等于1的常数，则函数y＝log a x与函数y＝x a（x＞0）在同一个坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．解：若0＜a＜1，幂函数f（x）＝x a（x＞0）为上凸的增函数，对数函数g（x）＝log a x 为减函数，四个选项均不适合，若a＞1，幂函数f（x）＝x a（x＞0）为下凹的增函数，对数函数g（x）＝log a x为增函数，故图象可能是C；综上可知，选C．故选：C．6．（5分）设a＝0.32.1，b＝2.10.3，c＝log0.32.1，d＝log2.10.3，则a，b，c，d的大小关系为（）A．a＞b＞c＞d B．d＞c＞b＞a C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c解：∵0＜0.32.1＜0.30＝1，2.10.3＞2.10＝1，，，∴b＞a＞c＞d．故选：C．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2＝9及圆C内的一点P（1，2），圆C的过点P的直径为MN，若线段AB是圆C的所有过点P的弦中最短的弦，则（﹣）•的值为（）A．8B．16C．4D．4解：由题意可知AB⊥MN，圆C的半径为r＝3，OP＝，∴＝0，AB＝2＝4，∴（）•＝[﹣（）]＝（+）＝+＝＝16．故选：B．8．（5分）设f（x）是定义在R上的函数，g（x）＝f（x+1）．若函数g（x）满足下列条件：①g（x）是偶函数；②g（x）在区间[0，+∞）上是增函数；③g（x）有一个零点为2．则不等式（x+1）f（x）＞0的解集是（）A．（3，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）解：已知g（x）是偶函数，在区间[0，+∞）上是增函数，且g（2）＝0，可得g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，且g（﹣2）＝0，因为f（x）是定义在R上的函数，g（x）＝f（x+1）．所以f（x）是函数g（x）的图象向右平移1个单位长度得到的函数，所以f（x）关于x＝1对称，在[1，+∞）上是增函数，在（﹣∞，1）上是减函数，且f（3）＝f（﹣1）＝0，所以当x＜﹣1或x＞3时，f（x）＞0，当﹣1＜x＜3时，f（x）＜0，则不等式（x+1）f（x）＞0可转化为或，即或，解得x＞3，即不等式的解集为（3，+∞）．故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，为了使方程x2+my2﹣2＝0表示准线垂直于x轴的圆锥曲线，实数m的取值范围可以是（）A．（1，+∞）B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，+∞）D．（0，+∞）解：当m＜0时，x2+my2﹣2＝0表示双曲线，焦点坐标在x轴，准线垂直于x轴的圆锥曲线，当m＞1时，x2+my2﹣2＝0的焦点坐标在x轴上的椭圆，满足准线垂直于x轴，所以实数m的取值范围：（﹣∞，0）∪（1，+∞）．故选：AB．10．（5分）若将函数y＝A sin（ωx+φ）的图象上所有的点向右平移个单位，再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），最后得到函数y＝sin（x+）的图象，则实数φ的值可能是（）A．B．C．﹣D．﹣解：若将函数y＝A sin（ωx+φ）的图象上所有的点向右平移个单位，可得y＝A sin（ωx ﹣+φ）的图象；再把得到的图象上各点的横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），y＝A sin（x﹣+φ）的图象．由于最后得到函数y＝sin（x+）的图象，∴ω＝2，﹣+φ＝+2kπ，k∈Z，∴令k＝0，可得φ＝，令k＝﹣1，可得φ＝﹣，故选：AC．11．（5分）设a＞0，b＞0，且a+2b＝4，则下列结论正确的是（）A．+的最小值为B．+的最小值为2C．+的最小值为D．+≥1解：∵a＞0，b＞0，且a+2b＝4，∴+＝1，∵+＝（+）（+）＝++≥+2＝+，当且仅当时取“＝“，∴A选项错误；∵+＝（+）（+）＝1++≥1+2＝2，当且仅当时取“＝“，∴B选项正确；∵+＝（+）（+）＝+（+）≥+×2＝，时“＝“，∴C选项正确；∵+＝+＝+﹣（+）＝+﹣（+）×（a+1+2b+2）＝×+×﹣≥2﹣＞2≥1，∴D 选项正确．故选：BCD．12．（5分）设常数a∈R，n∈N*，对于二项式（1+a）n的展开式，下列结论中，正确的是（）A．若a＜，则各项系数随着项数增加而减小B．若各项系数随着项数增加而增大，则a＞nC．若a＝﹣2，n＝10，则第7项的系数最大D．若a＝﹣，n＝7，则所有奇数项系数和为239解：二项式（1+a）n的展开式的通项为T r+1＝a r∁n r x，对于A：若a＜0，则各项系数一正一负交替出现，故A不对，对于B：对于任意的r＝0，1，2，…，n﹣1，都成立，所以a＞0，且对任意的r都成立，∴a＞n，故B正确；当a＝﹣2，n＝10，则展开式中奇数项的系数为正值，偶数项的系数为负值，所以，只需比较，，…，，，即可，可得，最大，即展开式中第7项的系数最大，故C正确；当a＝﹣，n＝7，则奇数项系数和为：＝239，故D正确；故选：BCD．三、填空题：本大题共4小题；每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．13．（5分）在平面直角坐标系xOy中，过抛物线C：y2＝mx的焦点F作斜率为1的直线，与抛物线C交于A，B两点．若弦AB的长为6，则实数m的值为±3．解：∵抛物线y2＝mx上的焦点F（，0），设A（x1，y1），B（x2，y2）则可设直线AB的方程为y＝x﹣，联立方程，整理得x2﹣x+＝0，由韦达定理可得：x1+x2＝，x1x2＝，∴|AB|＝•＝＝6，解得m＝±3；故答案为：±3．14．（5分）今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额是367209元．（四舍五入，精确到整数）解：设每次还款额为y元，则：106（1+5%）3＝y+y（1+5%）+y（1+5%）2，∴，∴y＝≈367209（元），所以每次还款额为367209元．15．（5分）数学家研究发现，对于任意的x∈R，sin x＝x+…+（﹣1）n﹣1+…（n∈N*），称为正弦函数的泰勒展开式．在精度要求不高的情况下，对于给定的实数x，可以用这个展开式来求sin x的近似值．如图，百货大楼的上空有一广告气球，直径为6米，在竖直平面内，某人测得气球中心B的仰角∠BAC＝30°，气球的视角α＝2o，则该气球的高BC约为86米．（精确到1米）解：如图所示，由题意知，Rt△ABC中，∠BAC＝30°，所以BC＝AB；在Rt△ABM中，∠MAB＝1°＝≈0.0174，所以sin0.0174＝≈0.0174，解得AB≈172，所以BC＝×172＝86（米），即该气球的高BC约为86米．故答案为：86．16．（5分）如图所示，多面体ABCDEFGH中对角面CDEF是边长为6的正方形，AB CD，HG DE，且AB，GH到平面CDEF的距离都是3，则该多面体的体积为108．解：∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形，则AD∥BC，AD⊄平面BCF，BC⊂平面BCF，∴AD∥平面BCF，又四边形CDEF为平行四边形，DE⊄平面BCF，CF⊂平面BCF，∴DE∥平面BCF，又AD∩DE＝D，∴平面ADE∥平面BCF，再由AB∥CD∥EF，可得ADE﹣CBF为三棱柱；同理可证DCH﹣EFG为三棱柱．在三棱柱ADE﹣CBF中，连接CE，BE，DB，∵AB到平面CDEF的距离都是3，∴B到平面CEF的距离为3，又CDEF是边长为6的正方形，∴，V B﹣CDE＝V B﹣CEF＝V E﹣BCD＝V E﹣ABD＝18，则V DAE﹣CBF＝3×18＝54；同理可得V DCH﹣EFG＝54．∴该多面体的体积为54+54＝108．故答案为：108．四、解答题：本题共6小题；共70分．将解答写在答题卡中相应的空白处．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）设函数f（x）＝4cos2x﹣4sin x cos x+1．（1）求f（x）的最小正周期和值域；（2）在锐角△ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c．若f（A）＝1，a＝1，求△ABC周长的取值范围．解：（1）因为f（x）＝4cos2x﹣4sin x cos x+1＝4•﹣2sin2x+1＝2cos2x﹣2sin2x+2+1＝4cos（2x+）+2+1所以f（x）的最小正周期T＝＝π，值域为[﹣3+2，5+2]．（2）因为f（A）＝4cos（2A+）+2+1＝1，可得cos（2A+）＝﹣，因为A为锐角，可得2A+∈（，），可得2A+＝，解得A＝，又因为a＝1，所以由正弦定理可得＝，所以b+c＝sin B+sin C＝sin B+sin（﹣B）＝cos B+sin B＝2sin （B+），又△ABC为锐角三角形，则，解得B∈（，），∴B+∈（，），故sin（B+）∈（，1]，则2sin（B+）∈（，2]，即△ABC周长a+b+c＝2sin（B+）+1的取值范围为（1+，3]．18．（12分）阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①a n+1＝a n+1，②a n+1＝a n+2，③S n＝2a n﹣1中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的______处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，对任意的n∈N*，都有____﹣；等比数列{b n}中，对任意的n∈N*，都有b n＞0，2b n+2＝b n+1+3b n，且b1＝1，问：是否存在k∈N*，使得：对任意的n∈N*，都有a n b k≤a k b n？若存在，试求出k的值；若不存在，试说明理由．解：设等比数列{b n}的公比为q，因为对任意的n∈N*，都有2b n+2＝b n+1+3b n，所以2q2＝q+3，解得a＝﹣1或q＝，因为对任意的n∈N*，都有b n＞0，所以q＞0，从而q＝，又b1＝1，所以b n＝（）n﹣1，显然，对任意的n∈N*，b n＞0，所以，存在k∈N*，对任意的n∈N*，都由a n b k≤a k b n，即≤，记c n＝，n∈N*，下面分别就选择①②③作为条件进行分析，①因为对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+1，即a n+1﹣2＝（a n﹣2），又a1＝1，即a1﹣2＝﹣1≠0，所以a n﹣2≠0，从而＝，所以数列{a n﹣2}是等比数列，公比为，得a n﹣2＝﹣（）n﹣1，即a n＝2﹣（）n﹣1，所以c n＝＝，从而＝，由≤1，即2n≥2，所以n≥1，得c1＝c2当n≥1时，c n+1＜c n，所以n＝1或2时，c n取得最大值，即取得最大值，所以对任意的n∈N*，都有≤＝，即a n b1≤a1b n，a n b2≤a2b n，所以存在k＝1，2使得对任意的n∈N*，都有a n b k≤a k b n．②对任意的n∈N*，都有a n+1＝a n+2，即a n+1﹣a n＝2，所以数列{a n}是等差数列，公差为2，又a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，所以c n＝＝（2n﹣1）（）n﹣1＞0，从而＝，由≤1，即2n≥5，解得n≥，得当n≤2时，c n+1＞c n；当n≥3时，c n+1＜c n，所以当n＝3时，c n取得最大值，即取得最大值．所以对任意的n∈N*，都有≤，即a n b3≤a3b n，a n b2≤a2b n，所以存在k＝3使得对任意的n∈N*，都有a n b k≤a k b n．③因为对任意的n∈N*，都有S n＝2a n﹣1，所以S n+1＝2a n+1﹣1，从而a n+1＝S n+1﹣S n＝2a n+1﹣1﹣（2a n﹣1）＝2a n+1﹣2a n，即a n+1＝2a n，又a1＝1＞0，所以a n＞0，且＝2，从而数列{a n}是等比数列，公比为2，得a n＝2n﹣1，所以c n＝＝（）n﹣1＞0，从而＝＜1，所以c n+1＜c n，所以，当n＝1时，c n取得最大值，即取得最大值，所以对任意的n∈N*，都有≤，即a n b1≤a1b n，所以存在k＝1，使得对任意n∈N*，都有a n b k≤a k b n．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM⊥平面PBD．（1）求PA的长；（2）求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．解：如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A （0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，a）．因为M是PC中点，所以M点的坐标为（，，），所以＝（，，），＝（﹣1，1，0），＝（﹣1，0，a）．（1）因为平面PBD，所以＝＝0．即﹣+＝0，所以a＝1，即PA＝1．（2）由＝（0，1，0），＝（，，），可求得平面AMD的一个法向量n＝（﹣1，0，1）．又＝（﹣1，﹣1，1），所以cos＜n，＞＝＝＝．设PC与平面AMD所成角为θ，则sinθ＝，即PC与平面AMD所成角的正弦值为．20．（12分）在20人身上试验某种血清对预防感冒的作用，把他们一年中是否患感冒的人数与另外20名未用血清的人是否患感冒的人数作比较，结果如表所示．未感冒感冒使用血清173未使用血清146（1）从上述患过感冒的人中随机选择4人，以进一步研究他们患感冒的原因．记这4人中使用血清的人数为X，试写出X的分布律；（2）是否有把握得出“使用该种血清能预防感冒”的结论？请说明理由．附：对于两个研究对象Ⅰ（有两类取值：类A，类B）和Ⅱ（有两类取值：类1，类2）统计数据的一个2×2列联表：Ⅱ类1类2Ⅰ类A a b类B c d有χ2＝，其中n＝a+b+c+d．临界值表（部分）为P（χ20.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001≥k）k0.4450.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828解：（1）使用血清的人数为X＝0，1，2，3，P（X＝0）＝＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，于是X的分布列为：X0123P（2）根据题目所给的数据，得到的2×2列联表如下；未感冒感冒总计使用血清17320未使用血清14620总计31940提出假设H0，是否使用这种血清与感冒没有关系，由表中数据χ2＝＝≈1.2903＜1.323，因为当H0成立时，χ2≥0.708的概率约为40%，χ2≥1.323的概率约为25%，所以有60%把握认为，是否使用这种血清与感冒有关系，即使用该种血清能预防感冒，得到这个结论的把握不到75%，由于得到这个结论的把握低于90%，因为我们的结论是：没有充分的证据显示使用该种血清能预防感冒，也不能说明使用这种血清不能预防感冒．21．（12分）设M是由满足下列条件的函数f（x）构成的集合：“①方程f（x）﹣x＝0有实数根；②函数f（x）的导数f′（x）满足0＜f′（x）＜1”．（Ⅰ）判断函数是否是集合M中的元素，并说明理由；（Ⅱ）集合M中的元素f（x）具有下面的性质：若f（x）的定义域为D，则对于任意[m，n]⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f（n）﹣f（m）＝（n﹣m）f'（x0）成立”，试用这一性质证明：方程f（x）﹣x＝0只有一个实数根；（Ⅲ）设x1是方程f（x）﹣x＝0的实数根，求证：对于f（x）定义域中任意的x2、x3，当|x2﹣x1|＜1，且|x3﹣x1|＜1时，|f（x3）﹣f（x2）|＜2．解：（I）因为，又因为当x＝0时，f（0）＝0，所以方程f（x）﹣x＝0有实数根0．所以函数是的集合M中的元素．（3分）（II）假设方程f（x）﹣x＝0存在两个实数根α，β（α≠β），则f（α）﹣α＝0，f（β）﹣β＝0不妨设α＜β，根据题意存在数c⊆（α，β）使得等式f（β）﹣f（α）＝（β﹣α）f'（c）成立．因为f（α）＝α，f（β）＝β，且α≠β，所以f'（c）＝1，与已知0＜f'（x）＜1矛盾，所以方程f（x）﹣x＝0只有一个实数根；（8分）（III）不妨设x2＜x3，因为f'（x）＞0，所以f（x）为增函数，所以f（x2）＜f（x3），又因为f'（x）﹣1＜0，所以函数f（x）﹣x为减函数，所以f（x2）﹣x2＞f（x3）﹣x3，所以0＜f（x3）﹣f（x2）＜x3﹣x2，即|f（x3）﹣f（x2）|＜|x3﹣x2|，所以|f（x3）﹣f（x2）|＜|x3﹣x2|＝|x3﹣x1﹣（x2﹣x1）|≤|x3﹣x1|+|x2﹣x1|＜2（13分）22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E与双曲线C：﹣＝1有共同的中心和准线，且双曲线C的一条渐近线被椭圆E截得的弦长为4．（1）求椭圆E的方程；（2）若过点P（0，m）存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点，求实数m的取值范围．解：（1）双曲线C：﹣＝1的准线为y＝±，即y＝±3，渐近线的方程为：y＝x，由题意可得椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的方程+＝1（a＞b＞0），所以可得＝＝3，可得b2＝①，将y＝x，代入椭圆中，可得（+）x2＝1，所以x＝±，所以弦长为|x1﹣x2|＝2×2＝4，整理可得＝2②，由①②可得a2＝24，b2＝，或a2＝9，b2＝6，所以椭圆的方程为+＝1或+＝1；（2）当椭圆的方程为+＝1，当﹣3≤m≤3时，过点P（0，m）存在两条互相垂直的直线都与椭圆E有公共点；当m＞3或m＜﹣3时，由题意可得直线的斜率存在且不为0，设为k，联立可得（3+2k2）x2+4kmx+2m2﹣18＝0，由△≥0可得（4km）2﹣4（3+2k2）（2m2﹣18）≥0，化为m2≤9+6k2，即k2≥①将k换为﹣，可得m2≤9+，即≥②首先＞0，所以满足①②的k存在等价为0＜≤1，即3＜|m|≤，综上可得m的范围是[﹣，]；当椭圆的方程为+＝1，同理可得m的范围是[﹣，]．。
江苏省南京、徐州名校联盟2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题
江苏省南京、徐州名校联盟2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．函数y =_______.2．已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是________． 3．某算法的流程图如图所示，则物出的n 的值为_______．4．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），［50，60)，［60，70)，［70，80），［80，90），［90，100〕，则图中x 的值为_______5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自选择其中一个参加，且每位同学参加各个兴趣小组的可能性相同，则这两位同学参加了不同的兴趣小组的概率为______6．把一个底面半径为3cm ，高为4 cm 的钢质实心圆柱熔化，然后铸成一个实心钢球(不计损耗），则该钢球的半径为_______cm7．在平面直角坐标系xoy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形，则该双曲线的离心率为______． 8．若函数()2sin()(0)6f x x πωω=->的最小正周期为π，则当[0,]2x π∈时，()f x 的值域为_______． 9．若锐角α满足tan （α＋4π）＝3tanα＋1，则tan 2α的值为_____． 10．已知函数()1||xf x x =+，则不等式(3)(2)0f x f x -+>的解集为____． 11．设数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，已知14799a a a ++=，25893a a a ++=，若对任意*n N ∈都有n k S S ≤成立，则k 的值为__________．12．在ABC △中，已知4CA =，CP =23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点，则CP CA ⋅的值为_____.13．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆M:22()(2)4x a y a -+-=，圆N ：22(2)(1)4x y -++=，若圆M 上存在一点P ，使得以点P 为圆心，1为半径的圆与圆N 有公共点，则实数a 的取值范围为________．14．已知函数32()31f x x x =-+，2211,0()1,04x x g x x x x ⎧-+>⎪=⎨--⎪⎩，若函数[]()y g f x a =-有6个零点（互不相同），则实数a 的取值范围为________．二、解答题15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且asin 2BbsinA . （1）求B 的大小； （2）若cosC，求sin()A C -的值． 16．如图，在三梭柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，E ，F 分别为AB ，A 1B 1的中点．（1）求证：AF ∥平面B 1CE ；（2）若A 1B 1⊥1B C ,求证：平面B 1CE ⊥平面ABC .17．随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利．根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足：4≤t ≤15，t ∈N ，平均每趟地铁的载客人数p(t)（单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足下列函数关系：()()21800159,491800,915t t p t t ⎧--≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩，其中t N ∈.(1）若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，试求发车时间间隔t 的值． (2）若平均每趟地铁每分钟的净收益为6()7920100p t Q t-=-（单位：元），问当发车时间间隔t 为多少时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大？井求出最大净收益．18．如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点（2a，3e )和(b）都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点C 是椭圆上异于左、右顶点的任一点，线段BC 的垂直平分线与直线BC ，AC 分别交于点P ，Q ，求证：OB PQ ⋅为定值． 19．已知函数2()2ln f x x ax bx =+-，,a b ∈R ．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线为23y x =-，求实教a ，b 的值．（2）若0a =，且()2f x -对一切正实数x 值成立，求实数b 的取值范围． （3）若4b =，求函数()f x 的单调区间．20．已知数列｛n a ｝的首项a 1＝2，前n 项和为n S ，且数列｛n S n｝是以12为公差的等差数列·（1）求数列｛n a ｝的通项公式；（2）设2nn n b a =，*n N ∈，数列｛n b ｝的前n 项和为n T ，①求证：数列｛nT n｝为等比数列， ②若存在整数m ，n (m ＞n ＞1)，使得()()m m n n T m S T n S λλ+=+，其中λ为常数，且λ≥－2，求λ的所有可能值．参考答案1．[1,)+∞ 【分析】根据被开方数是非负数，解不等式即可. 【详解】要使得函数有意义，则10x -≥，解得[)1,x ∈+∞.故答案为：[)1,+∞. 【点睛】本题考查具体函数的定义域，涉及被开方数是非负的求解，属基础题.2 【详解】(2)1z i i -=+，11323,i iz i i i++∴=+==-z =.3．4 【分析】循环代入,n p 的值，直到10p >时输出p 的值. 【详解】第一次循环：2,4n p ==，不满足，执行循环； 第二次循环：3,9n p ==，不满足，执行循环；第三次循环，4,16n p ==，此时满足10p >，结束循环得：4n =. 故答案为：4. 【点睛】本题考查程序框图循环结构中的判断问题，难度较易.程序框图问题主要是两种处理方法：（1）逐步列举，将退出循环前的情况依次列举；（2）根据循环结构中的特殊形式简化运算. 4．0.018【分析】根据频率和为1来计算x 的值. 【详解】因为(0.00630.010.054)101x ⨯+++⨯=，所以0.018x =. 【点睛】本题考查频率分布直方图中频率总和为1这一知识点，难度较易. 5．23【分析】甲、乙参加了不同的兴趣小组的可能数与可能的情况总数的比值即为对应概率. 【详解】甲、乙参加了不同的兴趣小组的情况有23A =6种，总的可能情况有339⨯=种，则概率62=93P =.【点睛】本题考查古典概型的概率计算，难度较易.古典概型的概率计算公式为：P =待求事件包含的基本事件个数可能出现的事件总数.6．3 【分析】根据熔化前后的体积不变求解钢球的半径即可. 【详解】圆柱体积：=94=36V ππ⨯⨯圆柱，球的体积：34=3V r π球，所以34363r ππ=，解得3r =.【点睛】圆柱的体积公式：2V r h π=；球的体积公式：343V r π=.7 【分析】根据准线与两条渐近线恰能围成一个等边三角形得到渐近线的斜率，然后再计算离心率的值. 【详解】由题意可知其中一条渐近线倾斜角为：30︒，所以tan 303b a =︒=，则c e a ===.【点睛】本题考查双曲线的离心率计算，难度较易.求解离心率的时候如果涉及到几何图形，可借助几何图形的特点去分析问题. 8．［－1，2］ 【分析】先根据最小正周期求出ω的值，再利用给定区间分析函数()f x 的最值. 【详解】 因为2||T ππω==，所以2ω=，则()2sin(2)6f x x π=-； 又[0,]2x π∈ ，所以5(2)[,]666x πππ-∈-，则max ()2sin22f x π==，min ()2sin()16f x π=-=-. 所以()f x 的值域为：[1,2]-. 【点睛】本题考查三角函数的周期以及值域，难度较易.对于求解()sin()f x A x ωϕ=+在给定区间D 上的值域：先分析x D ∈时，x ωϕ+的范围，再根据sin y x =的单调性求解()f x 的值域. 9．34【分析】先计算tan α的值，再利用二倍角公式计算2tan α的值. 【详解】 由题意可知：1tan 3tan 11tan ααα+=+-，则1tan 3α=或tan 0α=（舍，α为锐角），则22122tan 33tan 211tan 41()3ααα⨯===--. 【点睛】常用的二倍角公式：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，sin 22sin cos ααα=，22tan tan21tan ααα=-.10．（1，＋∞） 【分析】先分析()f x 奇偶性，再分析()f x 单调性，然后将不等式转化为自变量间的关系，计算出解集. 【详解】()f x 的定义域为R ，关于原点对称且()()1||xf x f x x -=-=-+，所以()f x 是奇函数；又因为0x >时1()111x f x x x ==-++是增函数，所以()f x 在R 上是增函数； 因为(3)(2)0f x f x -+>，所以(3)(2)f x f x ->-且(2)(2)f x f x -=-，则有32x x ->-，故1x >，即(1,)x ∈+∞.【点睛】解关于函数值的不等式，一般可先考虑函数的奇偶性（注意定义域）和单调性，将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系，然后求解出对应解集. 11．20 【分析】由已知条件得出关于首项和公差的方程组，解出这两个量，计算出n S ，利用二次函数的基本性质求出n S 的最大值及其对应的n 值，即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由14712581399931293a a a a d a a a a d ++=+=⎧⎨++=+=⎩，解得1392a d =⎧⎨=-⎩，()()()221139140204002n n n d S na n n n n n n -∴=+=--=-+=--+.所以，当20n =时，n S 取得最大值，对任意*n N ∈都有n k S S ≤成立，则k S 为数列{}n S 的最大值，因此，20k =. 故答案为：20. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和最值的计算，一般利用二次函数的基本性质求解，考查计算能力，属于中等题. 12．6 【分析】 根据()12CP CA CB =+，平方处理求得2CB =，()12CP CA CA CB CA ⋅=+⋅即可得解. 【详解】在ABC △中，已知4CA =，CP 23ACB π∠=，点P 是边AB 的中点， ()12CP CA CB =+ ()222124CP CA CB CA CB =++⋅211316842CB CB ⎛⎫⎛⎫=++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2CB =则()()21111162462222CP CA CA CB CA CA CB CA ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：6 【点睛】此题考查平面向量的基本运算，关键在于根据向量的运算法则求出模长，根据数量积的运算律计算求解. 13．［－2，2］ 【分析】可将问题转化为圆M 的半径增加1后与圆N 有交点，然后利用圆心距计算即可. 【详解】根据题意可知：圆22()(2)9x a y a -+-=与圆22(2)(1)4x y -++=有交点，则5≤，得24a ≤，即[2,2]a ∈-.【点睛】解答有关圆的问题的时候，要学会将所给的条件转化成更容易处理的条件，比如针对一些“存在”“恒成立”问题，一般只需要根据已知条件找到临界条件即可进行计算求解. 14．3(,2)4【分析】令()f x t =，则()g t a =，作出()f x ，()g t 的图象，通过对a 分类讨论并结合函数的图象即可得到答案. 【详解】由已知，'2()36f x x x =-，易知()f x 在(0,2)上单调递减，在(,0)-∞，(2,)+∞上单调递增，令()f x t =，则()g t a =，作出()f x ，()g t 的图象如图所示当0a <时，y a =与()y g t =只有1个交点4t <-，此时()y f x =与y t =只有1个交点，不满足题意；当0a =时，y a =与()y g t =有2个交点120,4t t ==-，此时()y f x =与0y =有3个交点，与4y =-有1个交点，故一共有4个交点，不满足题意；当01a <<时，y a =与()y g t =有2个交点12(4,2),(2,0)t t ∈--∈-，要使原函数有6个零点，只需1(3,2)t ∈--，所以3(,1)4a ∈；当1a =时，y a =与()y g t =只有2个交点1212,2t t =-=，此时()y f x =与2y =-有3个交点，与12y =有3个交点，故一共有6个交点，满足题意； 当12a <<时，y a =与()y g t =有2个交点1211(0,),(,1)22t t ∈∈，此时()y f x =与11(0,)2y t =∈有3个交点，与21(,1)2y t =∈有3个交点，故一共有6个交点，满足题意；当2a ≥时，y a =与()y g t =只有1个交点1t >，此时()y f x =与y t =只有1个交点，不满足题意；综上，a 的取值范围是3(,2)4. 故答案为：3(,2)4【点睛】本题考查函数的零点与方程的综合应用，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道有一定难度的题.15．（1）4B π=；（2）sin()10A C -=【分析】（1）根据正弦定理以及二倍角公式完成求解；（2）利用A B C π++=计算A 的正余弦值，再利用两角差的正弦公式完成结果求解. 【详解】解：（1）由正弦定理得：sin sin 2sin A B B A =即2sin sin cos sin ()A B B B A =*∵A ，B ∈(0，π)∴(*)可化简为cos B =∴4B π=(2）由(1)知cos 2B =，可得sin B =∵cos 05C =，C ∈(0，π)∴sin 0C =[]cos cos ()cos()cos cos sin sin A B C B C B C C B π=-+=-+=-+22=-=∵A ∈(0，π)∴sin A =sin()sin cos sin cos A C A C C A -=-==【点睛】（1）边化角、角化边的过程中，对于正余弦定理的选择一定仔细分析； （2）三角形的问题中有一个隐含条件：A B C π++=，要注意使用. 16．（1）见证明；（2）见证明 【分析】（1）先通过证1//AF B E ，由线线平行经过判定定理得到线面平行；（2）由线线垂直1(,)AB B C AB EC ⊥⊥经过判定定理得到线面垂直11(A B ⊥平面)ABC ，再由面面垂直的判定定理证明即可.【详解】（1）证：在三棱锥ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，AB=A1B1∵E，F是AB，A1B1的中点∴FB1∥12A1B1，AE∥12AB，FB1=12A1B1，AE=12AB∴FB1∥12AE，FB1=12AE，四边形FB1EA为平行四边形∴AF∥EB1又∵AF⊄平面B1CE，EB1⊂平面B1CE，∴AF∥平面B1CE(2）证：由(1)知，AB∥A1B1∵A1B1⊥B1C∴AB⊥B1C又∵E为等腰ΔABC的中点∴AB⊥EC又∵EC∩B1C=CAB⊥B1C∴AB⊥平面B1CE又∵AB⊂平面ABC∴平面ABC⊥平面B1CE【点睛】（1）线面平行的判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行；（2）面面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 17．（1）t=4.（2）当发车时间间隔为7min时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元.【分析】（1）分段考虑()1500p t≤的解；（2）净收益也是分段函数，将其写出，分别考虑每段函数的在对应t的范围内的最大值. 【详解】解: （1）9≤t≤15时，1800≤1500，不满足题意，舍去.4≤t <9时，1800-15(9-t )2≤1500，即218610t t -+≥ 解得t舍)或t≤9∵4≤t <9，t ∈N. ∴t =4.(2）由题意可得4410(90)1520,49,2880100,915,t t t N tQ t t N t⎧-++≤<∈⎪⎪=⎨⎪-≤≤∈⎪⎩4≤t <9，t =7时，1520Q ≤-=260(元) 9≤t ≤15，t =9时，28801009Q ≤-=220(元) 答:(1)若平均每趟地铁的载客人数不超过1500人，发车时间间隔为4min.(2)问当发车时间间隔为7min 时，平均每趟地铁每分钟的净收益最大，最大净收益为260元. 【点睛】处理函数的实际应用问题时，如果涉及到分段函数，一定要记得分段去处理，求解出每一段满足的解，同时在分析函数的时候也可以借助每段函数本身具备的性质，必要时利用导数这个工具也是可行的.18．（1）22143x y +=；（2）见证明 【分析】（1）将点的坐标代入方程，联立求解；（2）设出C 点坐标，然后求解出P Q 、的坐标，最后利用向量数量积的坐标表示计算结果得出定值. 【详解】（1）由题意知：222222191431e b b e a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，结合222a b c =+ 解得2a =，b =1c =.所以椭圆的标准方程为：22143x y +=.(2）由题意知：A (-2，0)，B (2，0)，O (0，0)，设C (0x ，0y )，则P (022x +，02y) AC l :00(2)2y y x x =++，PQ l :000022()22x x yy x x y -+=-+ 化简得：PQ l ：00026x yy x y -=- 连理AC ，PQ 直线的方程，解得Q 000014(18),22(2)x y x x ⎛⎫++⎪+⎝⎭所以(2,0)(6,)12P Q OB PQ y y ⋅=⋅-=. 【点睛】本题考查圆锥曲线中的椭圆方程以及定值问题，难度一般.对于求解方程，将满足条件的等式联立即可直接求解；定值问题中最难的就是如何将待求的式子表示出来，当能正确表示的时候，即可进行计算，中间可能会借助点自身满足的关系式进行化简. 19．（1）1,2a b ==；（2）2b ≥；（3）见解析. 【分析】（1）利用导数的几何意义即可；（2）分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可； （3）对a 分0a =，0a <，01a <<，1a ≥四种情况讨论即可. 【详解】（1）'2()2f x ax b x =+-，由题意(1)1(1)2f f '=-⎧⎨=⎩，即1222a b a b -=-⎧⎨+-=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩；（2）当0a =时，()2ln f x x bx =-，()2f x -对一切正实数x 值成立，即2ln 2x b x+≥对一切正实数x 值成立， 设2ln 2()x m x x +=，则'22ln ()x m x x -=，由'()0m x >得01x <<， 由'()0m x <得1x >，故()m x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减， 所以max ()(1)2m x m ==，所以2b ≥；（3）当4b =时，2()2ln 4f x x ax x =+-，2'22(21)()24ax x f x ax x x-+=+-=，令2()21g x ax x =-+当0a =时，由'()0g x >得102x <<，由'()0g x <得12x >， 所以()f x 的单调递增区间为1(0,)2，单调递减区间为1(,)2+∞；当0a <时，由'()0g x >得0x <<'()0g x <得x >()f x 的单调递增区间为，单调递减区间为)+∞；当0a >时，16(1)a ∆=-，若1a ≥，则16(1)0a ∆=-≤，()0g x ≥，'()0f x ≥，所以()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；若01a <<，由'()0g x >得0x <<x >'()0g x <得x <<所以()f x 的单调递增区间为，)+∞，单调递减区间为11(,a a； 综上，当0a =时，()f x 的单调递增区间为1(0,)2，单调递减区间为1(,)2+∞；当0a <时，()f x 的单调递增区间为1(0,a-，单调递减区间为1(,)a+∞；当1a ≥时，()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，无单调递减区间；当01a <<时，()f x 的单调递增区间为1(0,a-，1()a+∞，单调递减区间为； 【点睛】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数恒成立问题，函数单调性问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.20．（1）1n a n =+；（2）①见证明；②当n =2，m =4时，λ=-2，当n =2，m =3时，λ=-1. 【分析】（1）先求解等差数列{}nS n的通项公式，再根据1(2)n n n S S a n --=≥求解{}n a 的通项公式；（2）①采用错位相减法先求n T ，再根据11(0)n n T n c c T n++=≠，证明{}n T n 为等比数列；②将所给的等式变形，然后得到对应的等量关系，接着分析此等量关系（借助数列的单调性）在什么时候满足即m n λ、、取什么值时能满足要求. 【详解】（1）因为12a =，所以121S = 所以1132(1)222n S n n n =+-=+即21322n S n n ==+当2n ≥时，2211311(1)(1)12222n S n n n -=-+-=+-∴11(2)n n n a S S n n -=-=+≥当n=1时，12a =，符合上述通项，所以1()n a n n N *=+∈ (2）①因为1()n a n n N *=+∈，所以2(1)nn b n =+ 所以23222324...2(1)nn T n =⋅+⋅+⋅++⋅+ 则23412222324...2(1)n n T n +=⋅+⋅+⋅++⋅+ 两式相减，可整理得12n n T n +=⋅∴+12n n T n =，+12+1n n T n n T ⋅=，且141T =所以数列n T n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为首项，2为公比的等比数列.②由①可知，12n n T n +=⋅，且由（1）知21322n S n n ==+，代入()()m m n nT m S T n S λλ+=+可得21121322213222m n m m m m n n n n λλ++⎛⎫++ ⎪⋅⎝⎭=⋅⎛⎫++ ⎪⎝⎭整理得22232232m n m m n n λλ++=++即：22323222n m n n m m λλ++++=，设2322n nn n c λ++=，则m n c c = 则222111(1)3(1)23224222n n n n n n n n n n n c c λλλ+++++++++---+-=-= 因为2λ≥-，所以当3n ≥时，2112402n n n n n c c λ++---+-=＜，即1n n c c +＜ 因为1m n ＞＞，且245143160288c c λλλ+++-=-=≥ 所以2(5)n c c n ≥＞所以24c c =或23c c =，即n=2，m =4或3 当n =2，m =4时，λ=-2， 当n =2，m =3时，λ=-1. 【点睛】（1）错位相减法求和：能使用错位相减法的数列的通项公式必须满足:（等差数列）⨯（等比数列）的形式；（2）对于数列中探究等式成立的条件的问题解决方法：先将等式化简，得到一个容易直接证明或者可利用函数或数列性质分析的式子，对此进行分析，然后得出对应结论.。
江苏省南京市第一中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题
江苏省南京市第一中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数()2i i +的共轭复数的虚部是（ ） A ．2B ．-2C ．2iD ．2i -2．若集合()(){|130}M x x x =--≥，{|20}N x x =-≥，则M N ⋃=（ ） A ．{|23}x x ≤≤ B ．{|1}x x ≥ C ．{|1x x ≤或2}x ≥ D ．{|3}x x ≥3．已知6+的展开式中含2x 项的系数为12，则a 为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．某车间加工的零件数x 与加工时间y 的统计数据如下表：现已求得上表数据的回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( ) A ．84分钟 B ．94分钟 C ．102分钟D ．112分钟5．已知函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，函数()g x 的图象由()f x 图象向右平移π4个单位长度得到，则下列关于函数()g x 的说法正确的是( ) A ．()g x 的图象关于直线π6x =对称 B ．()g x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增 D ．()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减 6．2019年5月22日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有4名高三学生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游则恰有一个地方未被选中的概率为（ ） A ．2764B ．916C ．81256D ．7167．我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”，已知1F 、2F 是一对相关曲线的焦点，P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当1260F PF ∠=时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )A B C D ．28．若对函数()2sin f x x x =-的图象上任意一点处的切线1l ，函数()()2x g x me m x =+-的图象上总存在一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则m 的取值范围是（ ） A ．,02e ⎛⎫-⎪⎝⎭B ．0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,0-D ．()0,1二、多选题9．若a ，b ，R c ∈，则下列说法正确的是（ ） A ．若0ab >，则2a b ba+≥B ．若a b >，则22ac bc >C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，则11b a> 10．如图所示，在ABC 中，点D 在边BC 上，且2CD DB =，点E 在边AD 上，且3AD AE =，则（ ）A ．13CE AD AC =+ B ．13CE AD AC =- C ．2899CE AB AC =+D ．2899CE AB AC =-11．以下四个命题表述正确的是（ ）A ．直线()()34330m x y m m R ++-+=∈恒过定点()3,3--B ．圆224x y +=上有且仅有3个点到直线:0l x y -+=的距离都等于1C ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有三条公切线，则4m =D ．已知圆22:4C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点()1,212．设函数()ln f x x =，且()012,,0,x x x ∈+∞，下列命题：其中正确的命题是（ ） A ．若12x x <，则()()122121f x f x x x x ->-； B ．存在()012,x x x ∈，12x x <，使得()()120121f x f x x x x -=-； C ．若11x >，21>x ，则()()12121f x f x x x -<-；D ．对任意的1x ，2x ，都有()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭.三、填空题13．若点()cos ,sin P αα在直线2y x =上，则sin2α的值等于___________. 14．如图，某种螺帽是由一个半径为2的半球体挖去一个正三棱锥构成的几何体，该正三棱锥的底面三角形内接于半球底面大圆，顶点在半球面上，则被挖去的正三棱锥体积为_______．15．如图，在四边形ABCD 中，∠B =60°，AB =3，BC =6，且16AD BC =，若M ，N是线段BC 上的动点，且1MN ＝，则·DM DN 的最小值为___________16．秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作数书九章》中有已知三边求三角形面积的方法:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂余半之，自乘于上以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之为实一为从隅，开平方得积”如果把以上这段文字写成公式就是S =，共中a 、b 、c 是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边．若sin 2sin cos C A B =，且2b ，2，2c 成等差数列，则ABC 面积S 的最大值为____四、解答题17．在①222b a c +=+，②cos sin a B b A =，③sin cos B B +=条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，___________，3A π=，b =求ABC 的面积. 18．数列{}n a 满足212231n a a a n n n ++⋯⋯+=++，*n N ∈. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，求满足9n na S ≤的n 的最小值. 19．为了促进我国人口均衡发展，从2016年1月1日起，全国统一实施全面放开二孩政策，这也是为了重建大国人口观，重新认识人口价值、人口规律、人口问题，某研究机构为了了解人们对全面放开生育二孩政策的态度，随机调查了200人，得到的统计数据如下面的不完整的2×2列联表所示（单位：人）：（1）完成2×2列联表，并求是否有90%的把握认为是否“支持生育二孩”与性别有关？ （2）该研究机构从样本中筛选出4名男性和3名女性共7人作为代表，这7个代表中有2名男性和2名女性支持生育二孩现从这7名代表中任选3名男性和2名女性参加座谈会，记ξ为参加会议的支持生育二孩的人数，求ξ的分布列及数学期望()E ξ.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20．如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H ，设面P AB 与面PDE 的交线为l ．（1）求证：//l 面FGH ；（2）若PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小．21．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，以椭圆的2个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为 （1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB为直径的圆截直线1x =l 的方程．22．已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R. （1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；（2）当k ∈[1，2]时，求函数()f x 在[0，k ]上的最大值()g k 的表达式，并求()g k 的最大值.参考答案1．B 【解析】设()2,z i i =+ 所以21,12z i z i =-∴=--，所以复数()2i i +的共轭复数的虚部是-2，故选B. 2．B 【分析】首先求出集合M ，N ，再根据并集的定义计算可得； 【详解】解：因为()(){|130}M x x x =--≥，{|20}N x x =-≥ 所以{}|13M x x =≤≤，{|2}N x x =≥ 所以{}|1M N x x =≥故选：B 3．B 【分析】求出二项展开式的通项，令x 的幂指数等于2求得r 的值，即可根据2x 项的系数列出方程求解a . 【详解】6+的展开式通项为316r r r r T C a x -+=⋅⋅，令32r -=，解得1r =，故展开式中含2x 项的系数为612a =，解得2a =. 故选：B 【点睛】本题考查二项式系数，属于基础题. 4．C 【详解】 试题分析：将10203021303920,3033x y ++++====，代入ˆˆˆy bx a =+解得，a=12,即0.912y x =+，所以，x=100时，需要的加工时间约为102分钟,选C. 考点：线性回归直线方程点评：简单题，注意运用线性回归直线经过样本中心点(),x y ． 5．C 【分析】根据平移变换得出()g x 的解析式，再由整体代入法、代入验证法得出()g x 的单调性、对称轴和对称中心. 【详解】由题意可知()2sin 22sin 2436g x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22sin 1666g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1不是()g x 的最大值也不是最小值，故A 错误；22sin 2sin 203362g ππππ⎛⎫⎛⎫=-==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；由222,262k x k k Z πππππ-+-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈当0k =时，则函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，故D 错误； 又5,,242463ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则函数()g x 在π5π,2424⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递增，故C 正确；故选：C 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的对称轴，对称中心，单调性，属于中档题. 6．B 【分析】求出4名同学去旅游的所有情况种数，再求出恰有一个地方未被选中的种数，由概率公式计算出概率． 【详解】4名同学去旅游的所有情况有：44256=种恰有一个地方未被选中共有2113424322144C C C A A ⋅⋅=种情况； 所以恰有一个地方未被选中的概率：144925616p ==； 故选：B. 【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出基本事件的个数，本题属于中档题． 7．A 【分析】设1PF x =，2PF y = (x > 0)y >，设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为a ，根据余弦定理可得2222242cos60c x y xy x y xy =+-=+-，利用椭圆和双曲线的定义，结合离心率的公式，求得结果. 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ，椭圆的离心率为1e ，则11c e a =，11ca e =． 双曲线的实半轴长为a ，双曲线的离心率为e ，c e a =，c a e=， 设1PF x =，2PF y = (x > 0)y >，则2222242cos60c x y xy x y xy =+-=+-，当点P 被看作是椭圆上的点时，有()22214343c x y xy a xy =+-=-，当点P 被看作是双曲线上的点时，有24c = ()224x y xy a xy -+=+，两式联立消去xy 得222143c a a =+，即222143c c c e e ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以2211134e e ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又11e e =，所以2234e e+=，整理得42430e e -+=， 解得23e =或21e =（舍去），所以e =故选A ． 【点睛】该题考查的是有关椭圆和双曲的有关问题，涉及到的知识点有椭圆和双曲线的定义，新定义，椭圆和双曲线的离心率，余弦定理，属于中档题目. 8．D 【分析】 求导得到1()f x -'范围A ，再分0m >，0m <，0m =三种情况讨论得()g x '范围B ，最后根据条件得A 与B 包含关系，计算得到答案. 【详解】由()2sin f x x x =-，得()[]2cos 1,3f x x '=-∈，所以111,=2cos 3A x ⎡⎤-∈--⎢⎥-⎣⎦，由()()2xg x me m x =+-，得()2xg x me m '=+-.(1)当0m >时，导函数单调递增，()()2,g x m '∈-+∞， 由题意得()()1212211,,()1()x x f x g x g x A B f x '''∀∃=-∴=-∴⊆' 故21m -<-，解得01m <<；(2)当0m <时，导函数单调递减，()(),2g x m '∈-∞-，同理可得123m ->-，与0m <矛盾，舍去；（3）当0m =时，不符合题意. 综上所述：m 的取值范围为()0,1. 故选：D . 【点睛】本题考查了函数的切线问题，根据直线的位置关系求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力. 9．AC 【分析】利用不等式的性质以及基本不等式逐一判断即可. 【详解】对于A ，若0ab >，则a ，b 同正、同负所以2a b b a +≥=，故A 正确； 对于B ，若a b >，当2c =0时，则22ac bc =，故B 不正确； 对于C ，若0a b >>，则22a b >，故C 正确； 对于D ，若0a b >>，则11b a<，故D 不正确. 故选：AC 10．BD 【分析】根据向量的加减的几何意义和三角形法则即可求出． 【详解】 解：2CD DB =，点E 在AD 边上，3AD AE =∴2212()3333AD AC CD AC CB AC AB AC AC AB =+=+=+-=+ ∴1122839999CE AE AC AD AC AC AB AC AB AC =-=-=+-=-，故选：BD ． 11．BCD 【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A ；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B ；由题意知两圆外切；由圆心距等于半径即可求m 得值，即可判断选项C ；设出点P 坐标，求出以线段PC 为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线AB 的方程，即可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】对于选项A ：由()()34330m x y m m R ++-+=∈可得：()33430m x x y +++-=，由303430x x y +=⎧⎨+-=⎩可得33x y =-⎧⎨=⎩，所以直线恒过定点()3,3-，故选项A 不正确；对于选项B ：圆心()0,0到直线:0l x y -+=的距离等于1，圆的半径2r，平行于:0l x y -=且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切， 故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，故选项B 正确；对于选项C ：由22120C :x y x ++=可得()2211x y ++=，圆心()11,0C -，11r =，由 222480C :x y x y m +--+=可得()()2224200x y m -+-=->，圆心()22,4C ，2r 1212C C r r =+，1=4m =，故选项C 正确；对于选项D ：设点P 坐标为(),m n ，所以142m n+=，即24m n +=， 因为PA 、PB 分别为过点P 所作的圆的两条切线，所以CA PA ⊥，CB PB ⊥， 所以点,A B 在以OP 为直径的圆上，以OP 为直径的圆的方程为222222m n x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 整理可得：220x y mx ny +--=，与已知圆22:4C x y +=相减可得4mx ny，消去m 可得：()424n x ny -+=即()2440n y x x -+-=，由20440y x x -=⎧⎨-=⎩可得12x y =⎧⎨=⎩，所以直线AB 经过定点()1,2，故选项D 正确. 故选：BCD. 【点睛】 结论点睛：（1）圆221111:0C x y D x E y F ++++=和圆222222:0C x y D x E y F ++++=的公共弦的方程为两圆的方程相减即可.（2）已知()11,A x y ，()22,B x y ，以线段AB 为直径的圆的方程为：()()()()12120x x x x y y y y --+--=.12．BCD 【分析】结合割线与切线斜率的大小关系即可判断选项A 、B 、C ，根据中位线与函数值的大小比较可判断选项D ，进而可得正确选项.【详解】由()ln f x x =可得()1f x x'=， 如图：对于选项A ：21x 表示曲线在点B 处的切线斜率小于割线AB 的斜率，所以()()122121f x f x x x x -<-，故选项A 不正确； 对于选项B ：在点B 处的切线斜率小于割线AB 的斜率，在点A 处的切线斜率大于割线AB 的斜率，所以在曲线AB 上必存在某点()012,x x x ∈，使得该点处的切线斜率等于割线AB 的斜率，所以存在()012,x x x ∈，12x x <使得()()120121f x f x x x x -=-； 故选项B 正确； 对于选项C ： ()11f '=，由图知割线AB 的斜率，小于在点()1,0处的切线的斜率，所以()()()121211f x f x x x f -<-'=，故选项C 正确；对于选项D ：由图知梯形中位线CD 的长为()()122f x f x +，DE 的长为122x x f +⎛⎫⎪⎝⎭， 因为CD DE <，所以()()121222f x f x x x f ++⎛⎫>⎪⎝⎭，故选项D 正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用导数的几何意义，数形结合比较切线和割线的斜率，理解凸函数的性质.13．45【分析】先根据题意计算出tan 2α=，再利用二倍角公式以及化弦为切即可求解. 【详解】因为点()cos ,sin P αα在直线2y x =上，所以sin 2cos αα=，可得sin tan 2cos ααα==， 所以22222sin cos 2tan 224sin2sin cos tan 1125ααααααα⨯====+++， 所以sin2α的值等于45，故答案为：4514．【分析】设BC 的中点为D ，连结AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，角AD 于点O ，则A0=PO=R=2，AD=3，AB=BC=. 【详解】由题意，某中螺帽是由一个半径为R=2的半球体挖去一个正三棱锥P-ABC 构成的几何体， 该正三棱锥P-ABC 的底面三角形ABC 内接于半球底面的大圆，顶点P 在半球面上， 设BC 的中点为D ，连结AD ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，交AD 于点O ，则AO=PO=R=2，AD=3，AB=BC=所以132ABC S ∆=⨯=，所以挖去的正三棱锥的体积为11233ABC V S PO ∆==⨯=.【点睛】本题主要考查了组合体的结构特征，以及三棱锥的体积的计算，以及空间中线线、线面、面面位置关系等基础题知识，其中解答中根据组合体的结构特征，求得正三棱锥的底面边长和三棱锥的高，利用体积公式求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于中档试题. 15．132【分析】首先以点B 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示DM DN ⋅，配方求出最值即可. 【详解】16AD BC =，则1AD =，如图，建立平面直角坐标系，32A ⎛ ⎝⎭，52D ⎛ ⎝⎭，(),0M x ，()1,0N x +，5,2DM x ⎛=- ⎝⎭，3,2DN x ⎛=- ⎝⎭，[]0,5x ∈，22531527422244DM DN x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=--+=-++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()22132x =-+，当且仅当2x =时，取得最小值132， 所以DM DN ⋅的最小值为132.故答案为：132【点睛】关键点点睛：本题考查了向量数量积的坐标运算，解题的关键是利用坐标法解决数量积，将问题转化为函数问题，考查了运算求解能力.16 【分析】运用正弦定理和余弦定理可得a b =，再由等差数列中项性质可得2224a b c ==-，代入三角形的面积公式，配方，结合二次函数的最值求法，可得所求最大值． 【详解】sin 2sin cos C A B =，∴2cos c a B =，因此2222,2a c b c a a b ac+-=⨯=∵2b ，2，2c 成等差数列，∴224b c +=，因此S ===当285c =，即5c =时，S 取得最大值1255⨯=，即ABC 面积S . 【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式，以及等差数列中项性质，转化为求二次函数的最值是解题的关键，属于中档题．17．条件选择见解析；ABC . 【分析】选择①，用余弦定理求得B 角，选择②，用正弦定理化边为角后求得B 角，选择③用两角和的正弦公式变形后求得B 角，然后利用正弦定理求得a ，再由诱导公式与两角和的正弦公式求得sin C ，最后由面积公式计算出面积． 【详解】解：（1）若选择①，222b a c +=+由余弦定理，222cos 222a cb B ac ac +-===，因为()0,B π∈，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以113sin 2244ABC S ab C ===△. （2）若选择②cos sin a B b A =，则sin cos sin sin A B B A =， 因为sin 0A ≠，所以sin cos B B =， 因为()0,B π∈，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin 2b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭所以113sin 2244ABC S ab C ===△. （3）若选择③sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，所以5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 所以42B ππ+=，所以4B π=；由正弦定理sin sin a b A B=，得sin sin sin b A a B π===因为3A π=，4B π=，所以53412C ππππ=--=，所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭，所以11sin 22ABC S ab C ===△. 【点睛】关键点点睛：本题考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式，解题中要注意条件与结论之间的联系，确定选用的公式与顺序．用正弦定理进行边角转换是一种重要技巧，它的目的是边角分离，公式应用明确．本题是求三角形面积，一般要知道两边和夹角的正弦，在已知一角和一边情况下还需要求得一条边长及两边夹角，这样我们可以采取先求B 角，再求a 边和sin C ，从而得面积．18．（1）()21n a n n =+；（2）3. 【分析】（1）令1n =求出14a =；当2n ≥时，()21121123n a a a n n n-++⋯⋯+=-+-，与已知条件两式相减即可得n a 表达式，再检验14a =是否满足n a 即可； （2）由（1）知()1121n a n n =+利用裂项求和即可求n S ，再解不等式即可求解. 【详解】（1）当1n =时，11122a =+=，可得14a =， 由212231n a a a n n n ++⋯⋯+=++可得 当2n ≥时，()21121123n a a a n n n -++⋯⋯+=-+-，两式相减可得：()221121n a n n n n n n ⎡⎤=+--+-=⎣⎦+，所以()21n a n n =+()2n ≥， 14a =满足()21n a n n =+()2n ≥，所以()21n a n n =+，（2）由（1）知()21n a n n =+， 所以()111112121n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 所以()1111111111222312121n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 由9n na S ≤可得9n n a S ≥，()()21921n n n n +⨯≥+，即29n ≥，解得：3n ≥. 所以n 的最小值为3. 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解.19．（1）答案见解析，没有；（2）答案见解析，176. 【分析】（1）由表中的已知数据先补充列联表，再计算2K 与临界值2.706比较大小即可； （2））设参加座谈会的男性中支持生育二孩的人数为m ，女性中支持生育二孩的人数为n ，则m n ξ=+，且ξ的可能取值为2，3，4，利用离散型随机变量的取值求概率，画出分布列，求出数学期望即可.【详解】（1）补充完整的2×2列联表如下：()()()()()()22220070403060 2.198 2.70613070100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯，所以没有90%的把握认为是否“支持生育二孩”与性别有关.（2）设参加座谈会的男性中支持生育二孩的人数为m ，女性中支持生育二孩的人数为n ，则m n ξ=+，且ξ的可能取值为2，3，4.()()121122213243121,13C C C C P P m n C C ξ======， ()()()2111122222122232324343132,11,22C C C C C C C P P m n P m n C C C C ξ====+===+=， 22222324131(4)(2,2)6C C C P P m n C C ξ======， 所以ξ的分布列为则()111172343266E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列和数学期望.属于中档题.20．（1）证明见解析；（2）π6． 【分析】（1）先利用线面平行的判定定理证出//AB 平面PDE ，再利用线面平行的性质定理证出//AB l ，//AB FG ，则//l FG ，再利用线面平行的判定定理证明即可. （2）利用空间向量解决线面角，一般先建立恰当的空间直角坐标系，设各点坐标，利用方程组解出平面法向量，再根据向量数量积求夹角，最后根据线面角与向量夹角之间互余关系求大小即可. 【详解】解：（1）证明：在正方形AMDE 中， ∵B 是AM 的中点， ∴//AB DE ，又∵AB ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ， ∴//AB 平面PDE ， ∵AB平面P AB ，且平面ABP平面PDE l =，∴//AB l ， 又∵AB平面ABF ，且平面ABF平面PDE FG =，∴//AB FG ，则//l FG ，∵l ⊄平面FGH ，FG ⊂平面FGH ， ∴//l 面FGH ．（2）∵PA ⊥底面ABCDE ， ∴PA AB ⊥，PA AE ⊥，以A 为坐标原点，分别以AM ，AE ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()2,1,0C ，()002P ,,，()0,1,1F ， ()()()1,1,0,1,0,0,0,1,1BC AB AF ===，设平面ABF 的一个法向量为(),,n x y z =，由00n AB x n AF y z ⎧⋅==⎨=+=⎩，取1z =，得()0,1,1n =-．设直线BC 与平面ABF 所成角为α， ∴1sin cos ,22n BC n BC n BCα⋅====⋅． 因此，直线BC 与平面ABF 所成角的大小为π6． 【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理以及性质定理，考查了利用空间坐标系解决线面角的问题，属于中档题.21．（1）22162x y +=；（2）2y x =-或2y x =-+. 【分析】（1）根据椭圆的离心率，三角形的面积建立方程，结合a 2＝b 2+c 2，即可求椭圆C 的方程；（2）联立直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示出12x x +及12x x ⋅，结合弦即可求斜率k 的值，从而求得直线方程． 【详解】解：（1）由椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为3，得3c a =，3b a =.由21223S c b a =⋅⋅==a = b =，所以椭圆方程为22162x y +=． （2）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ．联立方程()222360y k x x y ⎧=-⎨+-=⎩得()222213121260k x k x k +-+-=， 2212122212126,1313k k x x x x k k -+==++.()2122113k AB x x k+=-=+． 所以202613k x k=+， 点M 到直线1x =的距离为22022316111313k k d x k k-=-=-=++． 由以线段AB 为直径的圆截直线1x =得2222AB d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22222221311313k k k k ⎤+⎛⎫-⎥-= ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 解得1k =±，所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，整理出12x x +及12x x ⋅，代入弦长公式AB =，考查学生的计算能力，属于中档题．22．（1）详见解析过程；（2）2()(1)e k g k k k k =--，[]1,2k ∈，()2max 24g k e =-.【分析】（1）求出()f x '，分别讨论0k ≤，02k <<，2k =时()f x '正负情况即可； （2）判断函数()f x 在[0，k ]上单调性，求出()g k ，再利用导数求最值即可. 【详解】（1）()2(2)x x f x kxe x x ke '=-=-，当0k ≤时20x ke -<，令'()0f x >得0x <，令'()0f x <得0x >，故()f x 的单调递增区间为(0)()f x -∞，，的单调递减区间为(0)+∞， 当02k <≤时，令'()0f x =得0x =，或2ln0x k=≥，当02k <<时2ln0k >，当'()0f x >时2ln x k >或0x <；当'()0f x >时20ln x k<<；()f x 的单调递增区间为()2,0,ln,k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；减区间为20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 当2k =时2ln0k=，当0x >时'()0f x >；当0x <时'()0f x >；()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；（2）当12k ≤<时，由（1）知，()f x 的单调递增区间为为()2,0,ln,k ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；减区间为20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 令2()ln[12]h k k k k =-∈，，，211()21102k h k k k ⎛⎫'=⨯--=--< ⎪⎝⎭，故()h k 在[12]，上单调递减，故2()(1)ln 210ln h k h k k=-<⇒<≤， 所以当x ∈[0，k ]时函数()f x 单调减区间为20ln k ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，单调增区间为2ln ,⎛⎫ ⎪⎝⎭k k ； 故函数2max ()max{(0)()}max{(1)e }[12].k f x f f k k k k k k ==---∈，，，， 由于2()(0)(1)[(1)1]kkf k f k k e k k k k e k -=--+=--+(1)(1)kk k e =--对于[12]k ∀∈，，(1)0,110k k k e e -≥-≥->，即()(0)f k f ≥，当1k =时等号成立， 故2max ()()(1)k f x f k k k e k ==--.当2k =时由（1）知；()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞；所以当x ∈[0，k ]时函数()f x 单调递增，故2max ()()(1)e k f x f k k k k ==--.综上所述：函数()f x 在[0，k ]上的最大值为2()(1)e k g k k k k =--，[]1,2k ∈2()(1)e 2k g k k k k '=+--，由于210k k +->，2k e e ≥>∴()()22()(1)e 222222110k g k k k k k k k k k '=+-->+--=+-≥对[]1,2k ∀∈恒成立∴()g k 在[]1,2上为增函数. ∴()()2max 224g k g e ==-.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性及求函数的最值，属于中档题.。
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江苏省南京市秦淮中学2020-2021学年高三上学期
10月月考数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）
A．–4 B．–2 C．2 D．4
2. 若，则z=（）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
3. 某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )
A．16种B．36种C．42种D．60种
4. 中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：”今有牛?马?羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主日：“我羊食半马.”马主日：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？”翻译过来就是：现有牛?马?羊吃了人家的田里的青苗，青苗主人要求三畜的主人一共赔偿粟米5斗.羊主人说；“我的羊所吃数是马的一半.”马主人说；“我的马所吃数是牛的一半.”现在按照三畜所吃青苗数的比例进行分配赔偿，问牛?马?羊的主人赔偿粟米斗数分别为（）
A．B．C．D．
5. 已知函数（其中为自然对数的底数），则图
象大致为（）
A．B．
C．D．
6. 已知则a，b，c的大小关系是（）
A．a<b<c B．b<a<c C．c<a<b D．b<c<a
7. 设向量满足，则=（）
A．1 B．2 C．3 D．5
8. 设函数,则使成立的的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、多选题
9. 已知P是双曲线C：右支上一点，分别是C的左，右焦点，O 为坐标原点，则（）
A．C的离心率为B．C的渐近线方程为
C．点P到C的左焦点距离是D．的面积为
10. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（）
A．函数的图象关于直线对称
B．函数的图象关于点(，0)对称
C．函数在区间(，)上单调递增
D．函数在区间(0，)上有两个零点
11. 设，则下列不等式一定成立的是（）
A．B．
C．
D．
12. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球；否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值可能是
（）
A．B．C．D．
三、填空题
13. 已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则____________．
14. 记S n为等比数列{a n}的前n项和．若，则
S
5
=____________．
15. 已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.
16. 已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
四、解答题
17. 已知的内角，，所对的边分别是，，，其面积
．
（1）若，，求．
（2）求的最大值．
18. 设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19. 如图，四棱锥P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，
PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点.
（Ⅰ）证明MN∥平面PAB;
（Ⅱ）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
20. 某学校高三年级数学备课组的老师为了解新高三年级学生在假期的自学情况，在开学初进行了一次摸底测试，根据测试成绩评定“优秀”、“良好”、“要加油”三个等级，同时对相应等级进行量化：“优秀”记10分，“良好”记5分，“要加油”记0分．现随机抽取年级120名学生的成绩，统计结果如
等级优秀良好要加油
得分
频数12 72 36
（1）若测试分数90分及以上认定为优良．分数段在，，内女生的人数分别为4人，40人，20人，完成下面的列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与数学成绩优良有关？
是否优良
优良非优良总计
性别
男生
女生
总计
（2）用分层抽样的方法，从评定为“优秀”、“良好”、“要加油”的三个等级的学生中选取10人进行座谈，现再从这10人中任选2人，所选2人的量化
分之和记为，求的分布列及数学期望．
P（）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635
21. 已知椭圆C：经过点且两焦点与短轴的两个端点的连线构成一正方形.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F的直线l(与x轴不重合)与椭圆C交于M，N两点.是否存在一定点E(t，0)，使得x轴上的任意一点(异于点E，F)到直线EM，EN的距离相等？若存在，求出t的值：若不存在，说明理由.
22. 已知函数，；
(Ⅰ)若函数在[1,2]上是减函数，求实数的取值范围；
(Ⅱ)令，是否存在实数，当(是自然对数的底数)时，函数的最小值是．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．。