圆锥曲线方程-椭圆知识点归纳

椭圆典例剖析知识点一 椭圆定义的应用方程x 225－m ＋y 216＋m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是________．解析：因为焦点在y 轴上，所以16＋m >25－m ，即m >92，又因为b 2＝25－m >0，故m <25，所以m 的取值范围为92<m <25.答案：92<m <25知识点二 求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)．(2)经过点A (13，13)，B (0，－12)．(1)解 方法一 椭圆的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆定义知：2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，所以a ＝5.又c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.故椭圆标准方程为x 225＋y 29＝1.方法二 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，因为c ＝4，所以a 2－b 2＝c 2＝16.又椭圆经过点(5,0)，所以25a 2＋0b2＝1，所以a 2＝25，所以b 2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，设标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(13)2a 2＋(13)2b 2＝1，0a 2＋(－12)2b 2＝1.解得⎩⎨⎧a 2＝15，b 2＝14.又因为a >b ，所以该方程组无解．②当椭圆焦点在y 轴上时，设标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(13)2a 2＋(13)2b2＝1，(－12)2a 2＋0b 2＝1.解得⎩⎨⎧a 2＝14，b 2＝15.所以方程为y 214＋x 215＝1.综上知，所求椭圆的标准方程为：y 214＋x 215＝1.方法二 设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，依题意有⎩⎨⎧19m ＋19n ＝1，14n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，n ＝4，所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1，即其标准方程为y 214＋x 215＝1.练习：过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________．解析：因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a 2＋4a 2－5＝1，所以a 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1.答案：x 215＋y 210＝1知识点三 根据方程研究几何性质求椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标．解 将方程变形为y 225＋x 216＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆的长轴和短轴的长分别为2a ＝10,2b ＝8，离心率e ＝c a ＝35，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，(－4,0)，(4,0)．知识点四 根据几何性质求方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是6，离心率是23.(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解 (1)设椭圆的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． 由已知得2a ＝6，a ＝3.e ＝c a ＝23，∴c ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.(2)设椭圆方程为22221x y a b+= (a>b>0)．如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c ，|A 1A 2|=2b ，∴c=b=3，∴a 2=b 2+c 2=18，故所求椭圆的方程为221189x y +=, 知识点五 求椭圆的离心率如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的23，求椭圆的离心率．解 方法一 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c.则焦点为F 1 (-c,0)，F 2 (c,0)，M 点的坐标为(c ，32b)，则△MF1F2为直角三角形．在Rt △M F 1F 2中： |F 1F 2|2+|MF 2|2=|MF 1|2， 即4c 2+94b 2=|MF 1|2.而|MF 1|+| MF 2|=224242,93c b b a ++=整理得3c 2=3a 2 -2 ab.又c 2=a 2 -b 2，所以3b=2a.所以2249b a =，所以2222222251,9c a b b e a a a -===-=所以e=35知识点六 直线与椭圆的位置关系问题当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144相切、相交、相离．解 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ， ①9x 2＋16y 2＝144. ②①代入②，得9x 2＋16(x ＋m )2＝144，化简，整理，得25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0， Δ＝(32m )2－4×25×(16m 2－144)＝－576m 2＋14 400. 当Δ＝0时，得m ＝±5，直线l 与椭圆相切． Δ>0时，得－5<m <5，直线l 与椭圆相交．当Δ<0时，得m <－5，或m >5，直线l 与椭圆相离．知识点七 中点弦问题已知点P (4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，求l 的方程．解 设l 与椭圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1.两式相减，得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－9(x 1＋x 2)36(y 1＋y 2)＝－2×44×2×2＝－12.∴l 的方程为：y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.考题赏析1．(江西高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx－c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能解析 ∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－ca.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ac a 2. ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫12a 2＝34a 2.∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a 2＝74<2. ∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内．答案 A2．(浙江高考)如图所示，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足．若点P 在平面α内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线解析 由题意可知P 点在空间中的轨迹应是以AB 为旋转轴的圆柱面，又P 点在平面α内，所以P 点的轨迹应是该圆柱面被平面α所截出的椭圆． 答案 B1．设F 1，F 2是椭圆x 225＋y 29＝1的焦点，P 为椭圆上一点，则△PF 1F 2的周长为( )A ．16B ．18C ．20D ．不确定 答案 B解析 △PF 1F 2的周长为|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c .因2a ＝10，c ＝25－9＝4，周长为10＋8＝18.2．a ＝6，c ＝1的椭圆的标准方程是( ) A.x 236＋y 235＝1 B.y 236＋x 235＝1 C.x 236＋y 25＝1 D ．以上都不对 答案 D解析 因焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上，故标准方程有两种可能．故选D.3．中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A.x 281＋y 272＝1B.x 281＋y 29＝1 C.x 281＋y 245＝1 D.x 281＋y 236＝1 答案 A解析 由题意2a ＝18,2c ＝13×2a ＝6∴a ＝9，c ＝3，b 2＝81－9＝72.4．已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率为( )A.33B.23C.22D.32 答案 A解析 |AF 1|＝b 2a ，故有tan60°＝|F 1F 2||AF 1|∴2c ＝3×b 2a ∴(2ac )2＝3(a 2－c 2)2解得e ＝c a ＝33.5．设椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 的值是( )A ．3 B.163C.163或3 D ．2或163 答案 C解析 当m >4时，此时有m －4m＝12，所以m ＝163； 当0<m <4时，4－m 2＝12，所以m ＝3.6．直线y ＝22x 与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的两个交点在x 轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为________．答案 22解析 当x ＝c 时，y ＝±b 2a ，∴b 2a ＝22c即a 2－c 2a ＝22c ∴e 2＋22e －1＝0，解得e ＝22.7．倾斜角为π4的直线交椭圆x24＋y 2＝1于A ，B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是________．答案 x ＋4y ＝0(－455<x <455)解析 设中点坐标为(x ，y )，A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线方程为y ＝x ＋b ，代入椭圆方程，整理，得5x 2＋8bx ＋4(b 2－1)＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22＝－45b ，y ＝b 5，所以x ＋4y ＝0.由Δ＝64b 2－4×5×4(b 2－1)>0，得－5<b <5， 故－455<x <455.8．求过点A (2,0)，且与圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程．解 将圆的方程化为标准形式(x ＋2)2＋y 2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B (－2,0)，半径为6，如图所示．设动圆圆心M 的坐标为(x ，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C. ∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离． ∴即|BC| -|MC|=|BM|. 而|BC|=6， ∴|BM|+|CM|=6. 又|CM|=|AM|， ∴|BM|+|AM|=6.根据椭圆的定义知点M 的轨迹是以点B(-2,0)和点A(2,0)为焦点， 线段AB 的中点(0,0)为中心的椭圆． ∴a=3，c=2，225a c -=∴所求圆心的轨迹方程为2223x , x 29＋y 25＝1 9．求满足下列各条件的椭圆的标准方程． (1)长轴是短轴的3倍且经过点A (3,0)；(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为3； (3)经过点P (－23，1)，Q (3，－2)两点；(4)与椭圆x 24＋y 23＝1有相同离心率，焦点在x 轴上，且经过点(2，－3)．解 (1)若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)， ∵椭圆过点A (3,0)， ∴9a 2＝1，a ＝3， ∵2a ＝3·2b ，∴b ＝1，∴方程为x 29＋y 2＝1.若椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，∵椭圆过点A (3,0)， ∴02a 2＋9b 2＝1， ∴b ＝3,2a ＝3·2b ，∴a ＝9，∴方程为y 281＋x 29＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)由已知⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2ca －c ＝3∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23c ＝3从而b 2＝9∴所求椭圆的标准方程为 x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1. (3)设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 点P (－23，1)，Q (3，－2)在椭圆上，代入上述方程得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝13m ＋4n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115n ＝15，∴椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.(4)由题意，设所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝t (t >0)，因为椭圆过点(2，－3)，所以t ＝224＋(－3)23＝2，故所求椭圆标准方程为x 28＋y 26＝1.10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．解 (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63，a ＝3，∴b ＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝ 3.②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0，∴x 1＋x 2＝－6km3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36 k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1 ＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6(k ≠0)≤3＋122×3＋6＝4.当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．当k ＝0时，|AB |＝3， 综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值．S ＝12×|AB |max ×32＝32. 11.已知F 1、F 2是椭圆x 2100＋y 264＝1的两个焦点，P 是椭圆上任意一点．(1)若∠F 1PF 2＝π3，求△F 1PF 2的面积；(2)求PF 1·PF 2的最大值．解：(1)设PF 1＝m ，PF 2＝n (m >0，n >0)．根据椭圆的定义得m ＋n ＝20.在△F 1PF 2中，由余弦定理得PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2·cos ∠F 1PF 2＝F 1F 22，即m 2＋n 2－2mn ·cos π3＝122.∴m 2＋n 2－mn ＝144，即(m ＋n )2－3mn ＝144.∴202－3mn ＝144，即mn ＝2563.又∵S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2·sin ∠F 1PF 2＝12mn ·sin π3，∴S △F 1PF 2＝12×2563×32＝6433.(2)∵a ＝10，∴根据椭圆的定义得PF 1＋PF 2＝20.∵PF 1＋PF 2≥2PF 1·PF 2，∴PF 1·PF 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫PF 1＋PF 222＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2022＝100，当且仅当PF 1＝PF 2＝10时，等号成立．∴PF 1·PF 2的最大值是100.讲练学部分2．2.1 椭圆及其标准方程(一)对点讲练知识点一 椭圆定义的应用平面内一动点M 到两定点F 1、F 2距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为( )A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹 答案 D解析 当2a >|F 1F 2|时是椭圆，当2a ＝|F 1F 2|时，是线段，当2a <|F 1F 2|时无轨迹，所以选D.【反思感悟】 并不是动点到两定点距离之和为常数的点的轨迹就一定是椭圆，只有当距离之和大于两定点之间的距离时得到的轨迹才是椭圆．命题甲：动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)；命题乙：点P 的轨迹是椭圆，且A 、B 是椭圆的焦点，则命题甲是命题乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分又不必要条件 答案 B知识点二 由椭圆方程求参数的范围若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，求k 的取值范围．解 由椭圆的标准方程知⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3.解得3<k <5，且k ≠4.【反思感悟】 5－k ≠k －3包括了焦点在x 轴、y 轴两种情况的椭圆．方程x 22m －1＋y 23－2m ＝1表示焦点在y 轴的椭圆，求m 的范围．解 由题意得3－2m >2m －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>0，3－2m >2m －1.解得：12<m <1.知识点三 求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程．(2)焦点在坐标轴上，且经过A(3，－2)和B(－23，1)两点．(1)解方法一因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2 a2＋y2b2＝1 (a>b>0)．由椭圆的定义知2a ＝⎝⎛⎭⎫52＋22＋⎝⎛⎭⎫－322＋⎝⎛⎭⎫52－22＋⎝⎛⎭⎫－322 ＝210， 所以a ＝10.又因为c ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6.因此，所求椭圆的标准方程为x 210＋y 26＝1.方法二 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－4＝1，因点⎝⎛⎭⎫52，－32在椭圆上，代入椭圆方程得： 254a 2＋94a 2－16＝1， 解得：a 2＝10.∴所求方程为x 210＋y 26＝1.(2)解 方法一 ①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．根据题意有，⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.所以椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b 2＝1，1a 2＋(－23)2b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.因为a <b ，所以方程无解． 综上①②知，所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.方法二 设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )，根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1.解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15，所以所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.【反思感悟】求椭圆的标准方程通常利用待定系数法，如果不能确定焦点是在x轴上还是在y轴上，要分两种情况求解，当然也可以按(2)中的方法二设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，这样就可避免分情况讨论了．求焦点在x轴上，焦距等于4，并且经过点P(3，－26)的椭圆的标准方程．解∵2c＝4，∴c＝2.由题意可设椭圆的标准方程为x2a2＋y2a2－4＝1.代入P(3，－26)，得9a2＋24a2－4＝1.a2＝1或a2＝36，∵a>c，∴方程为x236＋y232＝1. 课堂小结：1.椭圆的定义中只有当距离之和2a>|F 1F 2|时，轨迹才是椭圆；2a=| F 1F 2|时，轨迹是线段 F 1F 2；2a<| F 1F 2|时没有轨迹.2.判断椭圆的焦点在x 、y 轴上的依据是标准方程中的分母，焦点在分母大的对应轴上.3.求椭圆的标准方程常用待定系数法，要恰当地选择方程的形式，如果不能确定焦点的位置，那么有两种方法来解决问题，一是分类讨论全面考虑问题；二是设椭圆方程一般式，也就是：（1）如果明确焦点在x 轴上，那么设所求的椭圆的方程为22221y x a b +=(a>b>0).(2)如果明确焦点在y 轴上，那么设所求的椭圆的方程为22221y x a b+=(a>b>0).（3）如果中心在原点，但焦点的位置不能明确是在x 轴上还是在y 轴上，那么方程可以设为mx 2 + ny 2=1(m>0,n>0，m ≠n)，进而求解.课时作业一、选择题1．椭圆的对称轴为坐标轴，若长、短轴之和为18，焦距为6，那么椭圆的方程为( ) A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 225＋y 216＝1或x 216＋y 225＝1 答案 D解析 ⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋2b ＝182c ＝6⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9c ＝3⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝9a 2－b 2＝9⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝9a －b ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝4.2．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边BC 上，则△ABC 的周长为( )A ．2 3B ．4 3C ．6D ．16 答案 B解析 由题意知，三角形的周长为B 点到椭圆两焦点距离之和加上C 点到椭圆两焦点距离之和，因此周长为4 3.3．当直线y ＝kx ＋2的倾斜角大于45°小于90°时，它和曲线2x 2＋3y 2＝6的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．不能确定 答案 C解析 由题意知k >1，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，2x 2＋3y 2＝6.(2＋3k 2)x 2＋12kx ＋6＝0，Δ＝(12k )2－4×(2＋3k 2)×6＝72k 2－48>0.∴该直线与曲线公共点的个数为2.4．椭圆x 2＋y 2k＝1的一个焦点是(0，5)，那么k 等于( )A ．－6B ．6 C.5＋1 D ．1－ 5 答案 B解析 由题意a 2＝k ，b 2＝1，∴k －1＝(5)2⇒k ＝6. 二、填空题5．△ABC 中，已知B 、C 的坐标分别为(－3,0)和(3,0)，且△ABC 的周长等于16，则顶点A 的轨迹方程为________．答案 x 225＋y 216＝1(y ≠0)6．“神舟六号”载人航天飞船的运行轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，设其近地点距地面n 千米，远地点距地面m 千米，地球半径为R ，那么这个椭圆的焦距为________千米．答案 m －n解析 设a ，c 分别是椭圆的长半轴长和半焦距，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝m ＋R a －c ＝n ＋R ，则2c ＝m －n . 7．P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的点，F 1和F 2是该椭圆的焦点，则k ＝|PF 1|·|PF 2|的最大值是__________；最小值是__________．答案 4 3解析 设|PF 1|＝x ，则k ＝x (2a －x ) 因a －c ≤|PF 1|≤a ＋c ，即1≤x ≤3. ∴k ＝－x 2＋2ax ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4∴k max ＝4，k min ＝3. 三、解答题8．△ABC 的三边a 、b 、c 成等差数列，A 、C 两点的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，求顶点B 的轨迹方程．解 由题意得2b ＝a ＋c ，即a ＋c ＝4. ∴|BC |＋|BA |＝4>|AC |＝2. ∴B 点的轨迹为椭圆∴方程为x 24＋y 23＝1.因B 点是△ABC 的顶点，不在x 轴上，所以所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1 (x ≠±2)．9．已知经过椭圆x 225＋y 216＝1的右焦点F 2作垂直于x 轴的直线AB ，交椭圆于A 、B 两点，F 1是椭圆的左焦点．(1)求△AF 1B 的周长；(2)如果AB 不垂直于x 轴，△AF 1B 的周长有变化吗？为什么？解 由已知，a ＝5，b ＝4，所以c ＝a 2－b 2＝3.(1)△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|.由椭圆的定义，得 |AF 1|＋|AF 2|＝2a ，① |BF 1|＋|BF 2|＝2a ，②所以，△AF 1B 的周长为4a ＝20.(2)如果AB 不垂直于x 轴，△AF 1B 的周长不变化． 这是因为①②两式仍然成立，△AF1B的周长为20，这是定值．10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3,0)，(3,0)，椭圆经过点(5,0)；(2)两个焦点坐标分别为(0,5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离和为26. 解(1)∵椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，∵2a ＝(5＋3)2＋0＋(5－3)2＋0＝10，2c ＝6，∴a ＝5，c ＝3，∴b 2＝a 2－c 2＝52－32＝16，∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1.(2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为 y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)． ∵2a ＝26,2c ＝10，∴a ＝13，c ＝5，∴b 2＝a 2－c 2＝144，∴所求椭圆的方程为y 2169＋x 2144＝1.2．2.1 椭圆及其标准方程(二)对点讲练知识点一 与椭圆有关的轨迹方程已知点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．分析 因点P 与点M 的坐标间存在一定关系，故可用P 点坐标表示M 点坐标，并代入M 点坐标所满足的方程，整理即得所求轨迹方程．解 设P 点的坐标为(x ，y )，M 点的坐标为(x 0，y 0)．∵点M 在椭圆x 236＋y 29＝1上，∴x 2036＋y 209＝1.∵M 是线段PP ′的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝x ，y 0＝y 2， 把⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝xy 0＝y 2， 代入x 2036＋y 209＝1，得x 236＋y 236＝1，即x 2＋y 2＝36.∴P 点的轨迹方程为x 2＋y 2＝36.【反思感悟】 本例中动点P 与曲线上的点M 称为相关点(有关系的两点)，这种求轨迹方程的方法称为相关点求轨迹方程法．其基本步骤就是先求出M 点与P 点的坐标关系式并用P 点的坐标表示M 点坐标，然后代入M 点坐标所满足的方程，整理后即得所求．如图所示在圆x2+y2=4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？解 设点M 的坐标为(x ，y)，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x=x 0，y=2y 0. 因为点P(x 0，y 0)在圆x 2+y 2=4上，所以x 02＋4y 02＝4.①把x 0＝x ，y 0＝2y 代入方程①，得x 2＋4y 2＝4，即x 24＋y 2＝1.所以点M 的轨迹是一个椭圆．知识点二 应用椭圆定义求轨迹方程已知圆B ：(x ＋1)2＋y 2＝16及点A (1,0)，C 为圆B 上任意一点，求AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程．分析 由图可知点P 到B 点和A 点的距离的和为定值，可借助椭圆定义来求． 解如图所示，连结AP ， ∵l 垂直平分AC ， ∴|AP|=|CP|，∴|PB|+|PA|=|BP|+|PC|=4，∴P 点的轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆． ∵2a ＝4,2c ＝|AB |＝2， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.【反思感悟】 求动点的轨迹方程时，应首先充分挖掘图形的几何性质，看能否确定轨迹的类型，而不要起步就代入坐标，以致陷入繁琐的化简运算之中．已知两定点A 、B ，且|AB |＝8，M 是平面上一动点，且|AM |＝10，线段BM的垂直平分线交AM 于P 点，P 点的轨迹是什么图形？解 如右图所示|PB|=|PM|，|PA|+|PB| =|PA|+|PM|=10，|AB|=8， 所以|PA|+|PB|>|AB|， 所以P 点轨迹是椭圆．知识点三 椭圆定义的综合应用设M 是椭圆x 225＋y 216＝1上一点，F 1、F 2为焦点，∠F 1MF 2＝π6，求△MF 1F 2的面积．分析 在△MF 1F 2中，已知|F 1F 2|和∠F 1MF 2＝π6，况且|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，可根据余弦定理求得|MF 1|和|MF 2|的长，再利用面积公式可求．解 椭圆x 225＋y 216＝1中，a 2＝25，b 2＝16，∴c 2＝a 2－b 2＝9.∴a ＝5，b ＝4，c ＝3. ∴|F 1F 2|＝2c ＝6,2a ＝10. 设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2.在△MF 1F 2中，由余弦定理，得：r 21＋r 22－|F 1F 2|2＝2r 1r 2·cos π6. 即(r 1＋r 2)2－2r 1r 2－36＝3r 1r 2. 根据椭圆的定义，有r 1＋r 2＝10.∴r 1r 2＝642＋3＝64(2－3)，∴S △MF 1F 2＝12r 1r 2·sin π6＝32－16 3.【反思感悟】 椭圆中，△MF 1F 2往往称为焦点三角形．在△MF 1F 2中，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，求解有关问题时，注意正、余弦定理的运用．如图△ABC 中底边BC ＝12，其它两边AB 和AC 上中线的和为30，求此三角形重心G 的轨迹方程，并求顶点A 的轨迹方程．解 以BC 所在直线为x 轴，BC 边中点为原点，建立如图所示坐标系，则B (6,0)，C (－6,0)，CE 、BD 为AB 、AC 边上的中线，则|BD |＋|CE |＝30.由重心性质可知|GB |＋|GC |＝23(|BD |＋|CE |)＝20.∵B 、C 是两个定点，G 点到B 、C 距离和等于定值20，且20>12， ∴G 点轨迹是椭圆，B 、C 是椭圆焦点． 2c=|BC|=12，c=6,2a=20，a=10， b 2=a 2-c 2=102-62=64，故G 点轨迹方程为22110064x y +=,，去掉(10,0)、(-10,0)两点． 又设G(x ′，y ′)，A(x ，y)，则有22''110064x y += 又∵20',1220',12x x y y +⨯⎧=⎪⎪+⎨+⨯⎪=⎪⎩+∴',3',3x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故A 点的轨迹方程为 22()()33110064x y +=， 221900576x y +=去掉(-30,0)、(30,0)两点.课堂小结：1.椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴椭圆的标准方程有两种形式：（1）22221x y a b +=(a>b>0),焦点在x 轴上，焦点坐标为(±c,0)，焦距2c ；（2）22221x y a b+=(a>b>0)，焦点在y 轴上，焦点坐标为(0,±c)，焦距2c.椭圆的焦点在x 轴上标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在y 轴上标准方程中y 2项的分母较大.这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法. 2.在与圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系.课时作业一、选择题1．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1、F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为( )A ．20B ．22C ．28D ．24 答案 D 解析 由|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝100，得2|PF 1|·|PF 2|＝142－100＝96.又因PF 1⊥PF 2，所以S ＝12|PF 1|·|PF 2|＝24.2．一动圆与已知圆O 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，与圆O 2：(x －3)2＋y 2＝81内切，则动圆圆心的轨迹方程为( )A.x 225＋y 216＝1B.x 216＋y 225＝1 C.x 225＋y 29＝1 D.x 29＋y 225＝1 答案 A解析 两定圆的圆心和半径分别为O 1(－3,0)，r 1＝1；O 2(3,0)，r 2＝9，设动圆圆心为M (x ，y )，半径为R ，则由题设条件可得|MO 1|＝1＋R ，|MO 2|＝9－R .所以|MO 1|＋|MO 2|＝10.由椭圆的定义知：M 在以O 1、O 2为焦点的椭圆上，且a ＝5，c ＝3.所以b 2＝a 2－c 2＝25－9＝16.故动圆圆心的轨迹方程为x 225＋y 216＝1.所以选A.3．椭圆x 225＋y29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8 D.32答案 B解析 因为|MF 1|＋|MF 2|＝10，|ON |＝12|MF 2|，因为|MF 2|＝8，所以|ON |＝4.4．椭圆x 212＋y 23＝1的一个焦点为F 1，点P 在椭圆上，如果线段PF 1的中点M 在y 轴上，那么点M 的纵坐标是( )A ．±34B ．±32C ．±24D ．±34答案 A解析 因为线段PF 1的中点在y 轴上， 所以PF 2⊥x 轴，F 2为另一焦点， 所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫±3，±32.M 是PF 1的中点，M 的纵坐标是±34.二、填空题 5．已知椭圆的两个焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是__________．答案 圆 解析如图所示，因为P 是椭圆上的一个动点，所以由椭圆的定义可知： |PF 1|+|PF 2|=2a 为常数； 又因为|PQ|=|PF 2|，所以|PF 1|+|PQ|=2a ，即|QF 1|=2a 为常数．即动点Q 到定点F 1的距离为定值，所以动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，以2a 为半径的圆．故Q 的轨迹为圆．6．椭圆x 29＋y 225＝1上到两个焦点F 1，F 2距离之积最大的点的坐标是______________．答案 (±3,0)解析 设椭圆上的动点为P ，由椭圆的定义可知： |PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， 所以|PF 1|×|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝⎝⎛⎭⎫1022＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号；由⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝10|PF 1|＝|PF 2|， 解得：|PF 1|＝|PF 2|＝5＝a ，此时点P 恰好是椭圆短轴的两端点，即P (±3,0)．7．点A ，B 的坐标分别是(－1,0)，(1,0)，直线AM ，BM 相交于点M ，且直线AM 的斜率与直线BM 的斜率的商是2，点M 的轨迹方程为______________________．答案 x ＝－3 (y ≠0)解析 设点M 的坐标为(x ，y )，由已知，得直线AM 的斜率k AM ＝yx ＋1(x ≠－1)； 直线BM 的斜率k BM ＝yx －1(x ≠1)． 由题意，得k AMk BM＝2，所以，yx ＋1＝2×yx －1(x ≠±1，y ≠0)． 化简，得x ＝－3(y ≠0)．因此，点M 的轨迹是直线x ＝－3，并去掉点(－3,0)．三、解答题8．已知一直线与椭圆4x 2＋9y 2＝36相交于A 、B 两点，弦AB 的中点坐标为M (1,1)，求直线AB 的方程．解 方法一 由题意直线AB 的斜率存在，设通过点M (1,1)的直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋1代入椭圆方程，整理得(9k 2＋4)x 2＋18k (1－k )x ＋9(1－k )2－36＝0. 设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2， 则x 1＋x 22＝－18k (1－k )2(9k 2＋4)＝1， 解得k ＝－49，故AB 的方程为y ＝－49(x －1)＋1，所以所求方程为4x ＋9y －13＝0.方法二 设A (x 1，y 1)，因为AB 中点为M (1,1)， 所以B 点坐标是(2－x 1,2－y 1)． 将A 、B 点坐标代入方程4x 2＋9y 2＝36，得4x 21＋9y 21－36＝0，①及4(2－x 1)2＋9(2－y 1)2＝36，化简为4x 21＋9y 21－16x 1－36y 1＋16＝0.②①式－②式得16x 1＋36y 1－52＝0， 化简为4x 1＋9y 1－13＝0. 同理可推出4x 2＋9y 2－13＝0.因为A (x 1，y 1)与B (x 2，y 2)都满足方程4x ＋9y －13＝0，所以4x ＋9y －13＝0即为所求．9．设x 、y ∈R ，i 、j 分别为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a |＋|b |＝8.(1)求点M (x ，y )的轨迹方程． （2）过点（0，3）作直线l 与曲线C （为（1）问中点M 的轨迹）交于A 、B 两点，＝OA →＋OB →，是否存在这样的直线l 使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)由|a |＋|b |＝8， 得x 2＋(y ＋2)2＋x 2＋(y －2)2＝8，即点M (x ，y )到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离和为定值8，且|F 1F 2|<8.所以点M 的轨迹是椭圆，其方程为y 216＋x 212＝1.(2)设l 的斜率为k ，l 的方程为y ＝kx ＋3，代入椭圆方程得(kx ＋3)216＋x 212＝1，即(3k 2＋4)x 2＋18kx －21＝0. 设A 、B 坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝－18k 3k 2＋4，x 1x 2＝－213k 2＋4，＝OA →＋OB →，四边形OAPB 是平行四边形． 要使其是矩形只需OA ⊥OB 即可，即x 1x 2＋y 1y 2＝0. y 1y 2＝(kx 1＋3)(kx 2＋3)＝k 2x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋9， 所以(1＋k 2)x 1x 2＋3k (x 1＋x 2)＋9＝0，－21(1＋k 2)3k 2＋4＋－54k 23k 2＋4＋9＝0，解得k 2＝516，即k ＝±54.所以l 存在，其方程为y ＝±54x ＋3.AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，点N 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)求过点Q (2,1)的弦的中点的轨迹方程．（1）∵AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0 ∴NP 为AM 的中垂线，|NA |＝|NM |又因为|CN |＋|NM |＝10，所以|CN |＋|NA |＝10>6所以动点N 的轨迹是以点C (－3,0)和A (3,0)为焦点的椭圆，且2a ＝10，所以曲线E 的方程为：x 225＋y 216＝1；(2)设直线与椭圆交与G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)两点， 中点为S (x ，y )由点差法可得：弦的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－16(x 1＋x 2)25(y 1＋y 2)＝－16x 25y.由S (x ，y )，Q (2,1)两点可得弦的斜率为k ＝y －1x －2，所以k ＝y －1x －2＝－16x25y ，化简可得中点的轨迹方程为：16x 2＋25y 2－32x －25y ＝0.2．2.2 椭圆的简单几何性质.对点讲练知识点一 由椭圆方程研究其几何性质设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点的距离为4(2－1)，求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标．分析 设出椭圆方程，再依据椭圆几何性质建立参数关系式确定椭圆方程，进而可使其他问题解决．解 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c ，a －c ＝4(2－1)，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝42，b ＝4，c ＝4.所以所求的椭圆方程为x 232＋y 216＝1，或y 232＋x 216＝1.离心率e ＝c a ＝22，当焦点在x 轴上时，焦点为(－4,0)，(4,0)， 顶点(－42，0)，(42，0)，(0，－4)，(0,4)，当焦点在y 轴上时，焦点为(0，－4)，(0,4)， 顶点(－4,0)，(4,0)，(0，－42)，(0,42)．【反思感悟】 解决这类问题关键是将所给方程正确地化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系求椭圆的几何性质．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m 的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．解 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1，∴m >0.又m －mm ＋3＝m (m ＋2)m ＋3>0，∴m >m m ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ＝a 2－b 2＝m (m ＋2)m ＋3. ∵e ＝c a ＝32，∴m ＋2m ＋3＝32∴m ＝1∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，焦点坐标为(±32，0)顶点坐标为(1,0)(－1,0)，(0，12)(0，－12)．知识点二 由椭圆的几何性质求椭圆方程例2. 已知F 1、F 2是椭圆22221x y a b+=(a>b>0),的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若1AF ·21F F =0，椭圆的离心率等于22，△AOF 2的面积为22，求椭圆的方程.解 ∵1AF ·21F F =0∴AF 2⊥F 1F 2，因为椭圆的离心率e ＝c a ＝22，则b 2＝12a 2，设A (x ，y )(x >0，y >0)，由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ，∴A(c ，y)，代入椭圆方程得22221x y a b+=,∴22b y a=∵△AOF 2的面积为22，∴S △AOF 2=21x ×y=22， 即 21c ·2b a = 22,∵a c =22，∴b 2=8，∴a 2=2b 2=16， 故椭圆的方程为221168x y += 【反思感悟】 由椭圆的几何性质，求椭圆标准方程的一般步骤是：(1)构造方程求出a 、b 的值；(2)确定焦点所在的坐标轴；(3)写出标准方程．. 已知F 1、F 2是椭圆22221x y a b+= (a>b>0)的左、右两个焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，点B 也在椭圆上，且满足OA ＋OB →＝0(O 是坐标原点)，AF 2⊥F 1F 2.若椭圆的离心率等于22，△ABF 2的面积等于42，求椭圆的方程． 解 由OA ＋OB →＝0知，直线AB 经过原点，∵e ＝c a ＝22，∴b 2＝12a 2，设A (x ，y )，由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ，∴A (c ，y )，代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2b2＝1，∴y ＝b 2a，连结AF 1，BF 1，AF 2，BF 2，由椭圆的对称性可知S △ABF 2＝S △ABF 1＝S △AF 1F 2，所以12·2c ·12a ＝42，又由c ＝22a ，解得a 2＝16，b 2＝12×16＝8，故椭圆方程为x 216＋y 28＝1.知识点三 求椭圆的离心率已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．解 设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，(1)在△PF 1F 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|，即cos60°＝(m ＋n )2－2mn －4c 22mn ＝4a 2－4c 22mn －1≥2(a 2－c 2)(m ＋n2)2－1＝2(a 2－c 2)a 2－1＝1－2(c a )2＝1－2e 2(当且仅当m ＝n 时取“＝”号)所以e 2≥14，又e ∈(0,1)，所以e ∈[12，1)(2)证明 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 2||PF 1|·cos ∠F 1PF 2＝|F 1F 2|2，即cos60°＝12＝m 2＋n 2－4c22mn因为m 2＋n 2＝(m ＋n )2－2mn＝4a 2－2mn 所以(4a 2－2mn )－4c 2mn＝1，所以mn ＝43b 2，所以S △PF 1F 2＝12mn sin60°＝33b 2，即△F 1PF 2的面积只与短轴长有关．【反思感悟】 椭圆的离心率是椭圆固有的性质，与椭圆的位置无关．求椭圆的离心率e ，即求比值ca ，而在椭圆方程中a 2＝b 2＋c 2，所以求离心率只需寻求a ，b ，c 三者或者其中两者之间的关系式．注意椭圆离心率0<e <1.已知F 1为椭圆的左焦点，A ，B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当PF 1⊥F 1A ，PO ∥AB (O 为椭圆中心)时，求椭圆的离心率．解 方法一 由已知可设椭圆的方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，c 2＝a 2－b 2，F 1(－c,0)，因为PF 1⊥F 1A,所以P ( -c , 221c b a)即P (-c , 2b a),∵AB ∥PO,∴k AB = k OP ,∴b=c,∴a2 = 2c2,∴e =a c= 22, 方法二 由方法一知P (-c , 2b a),又△PF 1O ∽△BOA,∴BO PF 1 = OA OF 1 , ∴a b =c a ， 即b=c,∴a 2=2c 2, ∴e =.c a= 22，课堂小结：1.椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用.2.椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形.椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用.3.椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，其取值范围是0<e<1.离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越接近于圆.离心率的求解问题是本单元的一个重点，也是高考的热点内容.在求解有关椭圆离心率的问题时，一般并不直接求出a 和c 的值去计算，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c,a,b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围.课时作业一、选择题1．椭圆长轴上两端点为A 1(－3,0)，A 2(3,0)，两焦点恰好把长轴三等分，则该椭圆的标准方程是( )A.x 29＋y 28＝1B.x 29＋y 2＝1 C.x 236＋y 232＝1 D.x 236＋y 2＝1 答案 A解析 由题意知a ＝3,2c ＝13×6＝2， ∴c ＝1，∴b ＝a 2－c 2＝9－1＝22，故椭圆的方程为x 29＋y 28＝1. 2．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( )A.14B.12C ．2D ．4 答案 A解析 由题意可得21m ＝2×2，解得m ＝14. 3．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( )A ．1B ．a 2C ．b 2D ．c 2答案 D 解析 由椭圆的几何性质得|PF 1|∈[a －c ，a ＋c ]，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝a 2， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号．|PF 1|·|PF 2|＝|PF 1|(2a －|PF 1|)＝－|PF 1|2＋2a |PF 1|＝－(|PF 1|－a )2＋a 2≥－c 2＋a 2＝b 2，所以|PF 1|·|PF 2|最大值与最小值之差为a 2－b 2＝c 2.4. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点.满足1MF ·2MF = 0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( )A ．(0,1) B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎝⎛⎭⎫0，22 D.⎣⎡⎭⎫22，1 答案 C解析 ∵1MF ·MF 2→ ＝ 0，∴M 点轨迹方程为x 2＋y 2＝c 2，其中F 1F 2为直径，由题意知椭圆上的点在圆x 2＋y 2＝c 2外部，设点P 为椭圆上任意一点，则|OP |>c 恒成立，由椭圆性质知|OP |≥b ，其中b 为椭圆短半轴长，∴b >c ，∴c 2<b 2＝a 2－c 2，∴a 2>2c 2， ∴⎝⎛⎭⎫c a 2<12，∴e ＝c a <22.又∵0<e <1，∴0<e <22. 5．设0<k <9，则椭圆x 29－k ＋y 225－k＝1与x 225＋y 29＝1具有相同的( ) A ．顶点 B ．长轴与短轴C ．离心率D ．焦距答案 D解析 由0<k <9，知0<9－k <25－k ，椭圆x 29－k ＋y 225－k＝1焦点在y 轴上，焦距为8.而椭圆x 225＋y 29＝1的焦点在x 轴上，焦距也为8. 二、填空题6．过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______．答案 53解析 椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F (1,0)， 过F (1,0)且斜率为2的直线方程为y ＝2(x －1)，即y ＝2x －2.代入4x 2＋5y 2＝20得4x 2＋5×4(x 2－2x ＋1)＝20∴x 1＝0，x 2＝53.∴y 1＝－2，y 2＝43. ∴A (0，－2)，B ⎝⎛⎭⎫53，43.∴|AB |＝259＋1009＝553. 又点O (0,0)到y ＝2x －2的距离为d ＝25. ∴S △OAB ＝12×25×553＝53. 7．在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718，若以A 、B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e ＝________.答案 38解析如图所示，设AB=BC=x ，由cosB= -187及余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2 - 2AB·BCcosB= x 2+x 2+2x 2×187，。