圆锥曲线方程-椭圆知识点归纳

椭圆

典例剖析

知识点一 椭圆定义的应用

方程x 225－m ＋y 2

16＋m

＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是

________．

解析：因为焦点在y 轴上，所以16＋m >25－m ，即m >9

2

，又因为b 2＝25－m >0，故m <25，所以m 的取

值范围为92

2

知识点二 求椭圆的标准方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)．

(2)经过点A (13，13)，B (0，－1

2)．

(1)解 方法一 椭圆的焦点在x 轴上，

设其标准方程为x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)．

由椭圆定义知：2a ＝(5＋4)2＋

(5－4)2＝10，

所以a ＝5.

又c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9.

故椭圆标准方程为x 225＋y 2

9

＝1.

方法二 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，

因为c ＝4，所以a 2－b 2＝c 2＝16.又椭圆经过点(5,0)，所以25a 2＋0

b

2＝1，所以a 2＝25，所以

b 2＝25－16＝9，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 2

9

＝1.

(2)方法一 ①当椭圆焦点在x 轴上时，设标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，

依题意有⎩⎪⎨⎪⎧

(13)2a 2＋(1

3)2b 2

＝1，0a 2

＋(－1

2)2

b 2

＝1.

解得⎩⎨⎧

a 2＝1

5，

b 2

＝1

4.

又因为a >b ，所以该方程组无解．

②当椭圆焦点在y 轴上时，设标准方程为y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a >b >0)．

依题意有⎩⎪⎨⎪⎧

(13)2a 2＋(13

)2b

2＝1，(－1

2)2a 2

＋0b 2

＝1.

解得⎩⎨⎧

a 2＝14

，

b 2

＝1

5.

所以方程为y 214＋x 2

15

＝1.

综上知，所求椭圆的标准方程为：y 214＋x 2

15

＝1.

方法二 设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，

依题意有⎩⎨⎧

19m ＋1

9

n ＝1，1

4n ＝1，

解得⎩

⎪⎨⎪⎧

m ＝5，

n ＝4，所以所求椭圆的方程为5x 2＋4y 2＝1，

即其标准方程为y 214＋x 2

15

＝1.

练习：过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2

4

＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是________．

解析：因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a 2＋4

a 2－5＝

1，所以a 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为

x 215＋y 210＝1.答案：x 215＋y 2

10

＝1

知识点三 根据方程研究几何性质

求椭圆25x 2＋16y 2＝400的长轴、短轴、离心率、焦点坐标和顶点坐标．

解 将方程变形为y 225＋x 2

16

＝1，得a ＝5，b ＝4，所以c ＝3.故椭圆的长轴和短轴的长分别

为2a ＝10,2b ＝8，离心率e ＝c a ＝3

5，焦点坐标为(0，－3)，(0,3)，顶点坐标为(0，－5)，(0,5)，

(－4,0)，(4,0)．

知识点四 根据几何性质求方程

求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1)长轴长是6，离心率是2

3

.

(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解 (1)设椭圆的方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2

b

2＝1(a >b >0)． 由已知得2a ＝6，a ＝3.e ＝c a ＝2

3，∴c ＝2.

∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.

∴椭圆方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 2

9

＝1.

(2)设椭圆方程为22

221x y a b

+= (a>b>0)．

如图所示，△A 1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c ，|A 1A 2|=2b ，

∴c=b=3，∴a 2=b 2+c 2=18，故所求椭圆的方程为

22

1189

x y +=, 知识点五 求椭圆的离心率

如图所示，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横坐标等于右焦

点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的2

3

，求椭圆的离心率．

解 方法一 设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a ，b ，c.则焦点为F 1 (-c,0)，F 2 (c,0)，M 点的坐标为(c ，

3

2

b)，则△MF1F2为直角三角形．在Rt △M F 1F 2中： |F 1F 2|2+|MF 2|2=|MF 1|2， 即4c 2+9

4b 2

=|MF 1|2.

而|MF 1|+| MF 2|=

2242

42,93

c b b a ++=

整理得3c 2=3a 2 -2 ab.

又c 2=a 2 -b 2，所以3b=2a.

所以2249

b a =，

所以22222

22251,9

c a b b e a a a -===-=所以e=35

知识点六 直线与椭圆的位置关系问题

当m 取何值时，直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆9x 2＋16y 2＝144相切、相交、相离．

解 由题意，得⎩

⎪⎨⎪⎧

y ＝x ＋m ， ①

9x 2＋16y 2

＝144. ②

①代入②，得9x 2＋16(x ＋m )2＝144，

化简，整理，得25x 2＋32mx ＋16m 2－144＝0， Δ＝(32m )2－4×25×(16m 2－144)＝－576m 2＋14 400. 当Δ＝0时，得m ＝±5，直线l 与椭圆相切． Δ>0时，得－5

当Δ<0时，得m <－5，或m >5，直线l 与椭圆相离．

知识点七 中点弦问题