不定积分总结
不定积分知识点总结
不定积分知识点总结1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x),使对任一x∈l都有F'(x)=f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。
如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的'原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。
定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积（2)变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx推论，∫abf(x)dx，≤∫ab，f(x)，dx性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤M ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。
使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。
4、关于广义积分设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c ( a<c<b )外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf(x)dx与∫cbf(x)dx 都收敛，则定义∫acf(x)dx=∫cbf(x)dx ,否则 (只要其中一个发散）就称广义积分∫abf(x)dx发散。
不定积分总结
不定积分总结一. 第一组积分公式(P114)1.⎰=c dx 02.c u dx x x u u ++=+⎰111 ⎰+=c x dx x ln 13.⎰=dx a x c aa x +ln 1(a>0,)1≠ ⎰+=c dx e e xx 4. (1)⎰+-=c x xdx cos sin (2)⎰+=c x xdx sin cos(3)⎰+-=+=c x c x xdx cos ln sec ln tan(4)⎰+-=c x xdx csc ln cot =ln c x +sec(5)⎰++=c x x xdx tan sec ln secqdtFB60.tmp (6)⎰+=+-=c x c x cecx xdx 2tan ln cot ln csc (7)⎰+=c x xdx x sec tan sec (8)⎰+-=c x xdx x csc cot csc(9)c x dx x +=⎰tan sec 2 (10)⎰+-=c x xdx cot csc 2 5.⎰+-+=-)arccos (arcsin 112c x c x dx x 或⎰+-+=+)cot (arctan 112c x arc c x x 或 6.()⎰⎰++-=+-c x x dx x x x xdx x x 221ln 21arctan 1arctan arctan 分部 7.⎰+-c x x x xdx ln ln 分部二．凑微分情形：1.⎰⎰++=+b ax d b ax f a dx b ax f ()(1)() 2.⎰⎰=e e e e x x x x d f dx f )()( 3.⎰⎰≠=-)0()(1)(1u d f u dx f x xx x u u u u 4.⎰⎰=x d x f u dx x x f ln )(ln 11)(ln 5.⎰⎰-=x d x f xdx x f cos )(cos sin )(cos 6.⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin 7.⎰⎰=-x d x f dx x f x arcsin )(arcsin 11)(arcsin 2 8.⎰⎰=+x d x f dx x f x arctan )(arctan 11)(arctan 2 9.⎰⎰=+x d x f dx x f x arctan )(arctan 11)(arctan 2 10.⎰⎰=x d x f xdx x f tan )(tan sec )(tan 2 11.⎰⎰=x d dx x 21三．分式积分公式： 1.⎰⎰++=++=+c b ax ab ax d b ax a dx b ax ln 1)(111 引注：⎰⎰⎰+-=+-+=+dx b ax b a dx b ax b b ax a dx b ax x )1(11 2.⎰⎰+-+=++-=-c a x a x a dx x a x a a dx xa ln 21)11(21122 ⎰⎰+--=-+--=-⇒c d dx x x a xa a x x a 22222222ln 21)(21 3.⎰⎰>+=++)0(arctan 1 arctan 11 1222a c a x a x dx dx x xa 联想公式 引注: ⎰⎰++=++=+x x f c x a a x d dx x x a ax 中含特点：被积)(()ln(21)(2122222222变元次数相差为一，将低一次变元凑微分）4.)0(arcsin 22sin 122222>++-==-⎰a c a x a x a x t a x tx x dx x a 或 ⎰⎰--=+-⇒22222222)(21-x a x a d xt a x dx x a x 或凑微分22a x + 5.)0(ln sec tan 12222>+±±==±⎰a c a x x t a x ta x a x 或⎰⎰±±+⇒222222)(1a x a x d dx a x x２凑微分 a )tan (t a x =22a x - a )sec (t a x =。
不定积分基础总结
不定积分基础总结不定积分是微积分中的一个重要概念，它与定积分相对应。
在学习不定积分之前，首先需要了解导数的概念，因为不定积分与导数是密切相关的。
导数描述了函数在其中一点上的变化率，而不定积分则是描述了一个函数在整个定义域内的积分结果。
不定积分也可以看作是导数的逆运算。
一、不定积分的定义不定积分的定义是通过求解约定的不定积分运算符号（∫f(x)dx）表示的。
其中，f(x)为被积函数，dx为变量，∫表示积分的意思。
二、基本不定积分公式1.常数函数的积分∫kdx = kx + C （其中，C为积分常数）这个公式意味着，如果被积函数是一个常数，不定积分的结果是该常数乘以变量x，再加上一个积分常数C。
2.幂函数的积分∫x^n dx = (1/(n+1))*x^(n+1) + C这个公式适用于n不等于-1的情况。
其中，C为积分常数。
3.指数函数的积分∫e^x dx = e^x + C这个公式意味着，e的x次方函数的不定积分是它自己再加上一个积分常数C。
4.三角函数的积分∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C∫se c^2(x) dx = tan(x) + C∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C这些公式意味着不同的三角函数与它们的导数的关系。
5.对数函数的积分∫1/x dx = ln，x， + C这个公式意味着，对数函数的不定积分是自然对数函数再加上一个积分常数C。
三、基本的积分法则1.常数倍法则如果f(x)是可积函数，k是常数，则∫k*f(x)dx = k*∫f(x)dx这个法则意味着，如果被积函数乘以一个常数，那么不定积分的结果也会乘以这个常数。
2.和差法则如果f(x)和g(x)都是可积函数，则∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx这个法则意味着，如果被积函数是两个可积函数的和或差，那么不定积分的结果也是这两个可积函数的不定积分的和或差。
关于不定积分计算的总结
关于不定积分计算的总结不定积分是微积分中的一个重要概念，主要用于求函数的原函数。
在计算不定积分时，需要掌握一些基本的积分公式和技巧，以及一些应用不定积分的方法。
下面是关于不定积分计算的一些总结。
一、基本不定积分公式：1. 常数函数：∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为任意常数。
2. 幂函数：∫x^ndx=x^(n+1)/(n+1)+C，其中n≠-1，C为任意常数。
3.正弦和余弦函数：∫sinxdx=-cosx+C∫cosxdx=sinx+C∫sec^2xdx=tanx+C∫csc^2xdx=-cotx+C∫secxdxtanxdx=secx+C∫cscxcotxdx=-cscx+C。
4.指数和对数函数：∫e^xdx=e^x+C∫a^xdx=(a^x)/(lna)+C∫(1/x)dx=ln，x，+C。
5.反三角函数：∫1/(√(1-x^2))dx=sin^(-1)(x)+C∫1/(1+x^2)dx=tan^(-1)(x)+C。
二、通用技巧：1. 常数倍和求和：∫(kf(x)+g(x))dx=k∫f(x)dx+∫g(x)dx∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx。
2. 反函数：如果F'(x)=f(x)，则∫f(x)dx=F(x)+C。
3. 分部积分法：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
分部积分法适用于由两个函数的乘积构成的积分。
4. 代换法：设x=g(t)或t=h(x)，则dx=g'(t)dt或dx=(1/h'(x))dt。
代换法适用于需要进行变量代换的积分。
5. 三角函数的平方：∫sin^2xdx=(1/2)(x-sin(x)cos(x))+C∫cos^2xdx=(1/2)(x+sin(x)cos(x))+C。
6.分数分解：对于有理函数，可以使用部分分数分解的方法将其化简为简单的分式相加。
7.特殊函数的特殊方法：对于特定的函数形式，可以使用特殊的方法进行不定积分的计算，如有理函数的积分可以使用多项式的除法。
关于不定积分计算的总结
式，用恒等变形达到凑微分的目的。
如对
cos 2x dx ，被积函数的复杂部分是 sin x cos x ，其导数
1 sin x cos x
(sin x cos x) cos2 x sin 2 x cos 2x ，所以
1
cos 2x sin x cos
dx x
d (1 sin x cos x) 1 sin x cos x
cos 2 sin 3
xdx x
解：
cos2
sin 3
xdx x
cos
x
d sin x sin3 x
1 2
cos
x
d
(
1 sin 2
x
)
1 cos x 1
2 sin 2 x 2
1 sin 2
x
d
cos
x
1 2
cos sin 2
x x
1 2
1
1 cos
1 x
x
dx
(x 0)
解：令
1 x x
t
x
1
t2 t
2
,
所以
ln1
1 x
x
dx
x
ln1
1
x
x
t2 1t2
1 1
t
dt
而
t2 1t2
1 1
t
dt
为有理函数的积分，利用相关知识知
t2 1t2
1 1
t
dx
x ln1
关于不定积分计算的总结
关于不定积分计算的总结不定积分是微积分中的重要内容，是求函数的原函数或者反函数的一种方法。
在不定积分的计算中，我们常常使用的有基本积分公式、换元法、分部积分法等方法。
下面是对不定积分计算的总结以及一些常用的技巧和注意事项。
1.基本积分公式在不定积分的计算中，经常用到一些基本积分公式，如常数积分公式、幂函数积分公式、三角函数积分公式、指数函数积分公式等。
熟练掌握这些基本积分公式对于不定积分的计算是非常有帮助的。
2.换元法换元法是不定积分计算中最常用的一种方法。
当不定积分中的被积函数是合成函数时，我们可以通过换元法将其转化为一个简单的积分。
常见的换元法包括代数换元法和三角换元法。
代数换元法指的是将一个复杂的函数使用一个变量替换，使得原函数化为一个简单函数的不定积分。
例如，当我们遇到形如∫f(ax+b)dx时，我们可以令u=ax+b，然后通过求导得到dx=du/a，从而将原函数化为∫f(u)du/a。
三角换元法指的是将一个复杂的函数使用三角函数替换，通过使用三角函数的性质来简化计算。
例如，当我们遇到形如∫f(x)√(a^2-x^2)dx 时，我们可以令x=a*sin(u)，然后通过三角函数的关系式sin^2(u)+cos^2(u)=1得到√(a^2-x^2)=a*cos(u)，从而将原函数化为∫f(a*sin(u))*a*cos(u)du。
3.分部积分法分部积分法是不定积分中的另一种常用方法。
当不定积分中的被积函数是一个积的形式时，我们可以通过分部积分法将其转化为一个简单的积分。
分部积分法的公式为∫u*dv = u*v - ∫v*du，其中u和v分别是原函数中的两个因子。
通过不断应用这个公式，我们可以将原函数逐步化简。
4.求解特殊函数在不定积分的计算中，我们常常会遇到一些特殊的函数，例如指数函数、对数函数和三角函数的混合函数等。
对于这些特殊函数，我们需要掌握它们的一些特殊性质和积分公式。
例如，指数函数e^x、对数函数ln(x)以及三角函数sin(x)和cos(x)的不定积分公式。
求不定积分方法总结
求不定积分方法总结1、不定积分的线性性成立的前提是，f和g都有不定积分！这性格质在计算不定积分时，常常用！一般都是把难计算的不定积分，转化为一个个简单计算的不定积分。
例题就不说了，看书。
2、分部积分法这是一个很有效的计算积分的方法！肯定要掌控！从本师的教学阅历来看〔别丢鸡蛋！〕，初学者〔就是你们了！〕往往在两个地方犯难：〔1〕不知道怎么凑微分〔2〕不知道把谁当u，谁当v另外，一个不定积分的计算，可能需要好几次分部积分。
我们来道一般的例题。
3、有理函数的积分有理函数的积分，是一类常见的不定积分。
它有一套通用的方法求解，并且许多不定积分，经过适当的.换元后，可以转化成有理函数的不定积分来计算！所以，这种类型的不定积分，肯定要掌控！其中P和Q是*的多项式函数。
这个类型的积分，主要是通过拆项，化成简约的不定积分来计算。
下面的步骤，其实就是教你怎么拆项。
(1) 用辗转相除法，将被积函数化成一个多项式和“真分式”的和：(2)h(*)是多项式函数，积分不要太简约！现在就是要计算右边这个积分了。
(3)对Q(*)因式分解。
由于我们考虑的是实系数多项式，由＊＊定理，多项式Q(*)肯定能分解成下面两种类型的因子的乘积：(4) 利用待定系数法，将r/Q拆分，拆成简约的分式的和。
举例说明：然后，右边同分，比较等式两边分子的系数。
这样就会得到待定系数的一个一次方程组，解之〔特别简约〕，算出待定系数。
例子1例子2后面都会，不写了。
记得反带回去，最末要是*的表达式！还有每日＋C！4、第一类换元〔凑分法〕u=g(*)，主要是要记牢常见的求导公式，然后多从右往左看。
5、第二类换元，*=u(t)要留意，u(t)需要是单调的！所以一般要指明t的取值范围。
这里，换元的技巧特别多，本师也只掌控了其中一些常用的。
(1) 倒代换 *=1/t运用的对象特征很明显来个例子t0时，类似处理，最末再下结论。
(2)这种外形的积分，径直换元掉根号。
例子说明一切！(3) 三角换元这是让大家又爱又恨的积分法。
不定积分解法总结
不定积分解法总结不定积分（即原函数）是微积分中的一个重要概念，它用于求函数的积分。
与定积分不同，不定积分不需要明确的区间范围，因此结果是一个常数加上一个关于变量的函数。
不定积分的解法非常多样化，下面我将总结一些常用的不定积分解法。
1.代数法则代数法则是解决不定积分的最基本的方法之一、根据代数法则，我们可以将一个复杂的函数分解成几个简单的函数的和或者乘积，然后分别对这些简单函数求不定积分。
常用的代数法则包括：- 常数法则：∫c dx = cx + C (其中c是常数，C是任意常数)- 基本运算法则：∫(f(x) ± g(x)) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx2.数量积分法对于形如f(g(x))g'(x)的积分，可以使用数量积分法进行求解。
该方法的基本思想是将f(g(x))g'(x)中的g'(x)看作f(g(x))的导数，然后根据不定积分的定义找到f(g(x))的原函数。
3.换元积分法换元积分法是解决不定积分的重要方法之一，它通过引入一个新的变量来简化积分。
换元积分法的基本思想是将被积函数中的一个变量用另一个变量表示，然后根据链式法则进行求解。
4.分部积分法分部积分法是求解不定积分的常用方法，它将被积函数进行分解，然后将积分号移至其中一个分解函数上。
该方法的基本思想是利用乘积的导数公式来简化积分。
5.偏导数积分法偏导数积分法是解决不定积分的一种特殊方法，适用于一些特殊的函数形式。
该方法的基本思想是将一个多元函数对一个变量的偏导数看作另一个变量的导数，并进行相应的求导运算。
6.牛顿-莱布尼茨公式7.三角换元法三角换元法是解决含有三角函数的不定积分的一种方法。
该方法的基本思想是将三角函数用三角恒等式表示成另一个三角函数，然后利用换元积分法进行求解。
8.分式分解法分式分解法适用于含有分式的不定积分，它将分式分解成几个简单的分式的和或者乘积，然后分别对这些简单的分式进行不定积分求解。
不定积分方法总结
A(a cos x b sin x) B(a cos' x b sin' x) 来做。 a cos x b sin x
sin x cos x 或 cos x sin x
。再用待定系数
简单无理函数的积分
一般用第二类换元法中的那些变换形式。
1 5 2 3 t t t c 5 3 1 (8 4 x 2 3 x 4 ) 1 x 2 c 15
例4
求
1 dx x ( x 7 2)
解：令 x 1 dx 1 dt 2
t t
1 t 1 x( x7 2) dx 1 7 ( t 2 )dt ( ) 2 t
1 arctan( x 2 ) c 2
例5
求
1 1 e x dx
1 ex ex ex 1 e x dx (1 1 e x )dx 1 dx d (1 e x ) x ln(1 e x ) c x 1 e
解法一：
1 1 e x dx
2 a （ 1 sin 2 t） a costdt
a
2
cos2 tdt
1 cos 2t a2 a dt 2 2
a2 1dt 2
cos 2tdt
a2 a2 1 t ( sin 2t ) c 2 2 2
sin t cost
x a a2 x2 a x a2 x2 a2
f ( x)dx [ f [ g (t )]g ' (t )dt]
t g 1 ( x )
例1
不定积分公式总结
不定积分公式总结不定积分是微积分中的一项重要内容，它是定积分的逆运算。
在不定积分中，我们需要找到原函数，即原函数的导函数为被积函数。
在实际运算中，我们会使用一系列的公式和方法来求解不定积分。
以下是一些常用的不定积分公式总结。
1. 线性函数：对于形如 f(x) = ax + b 的线性函数，其不定积分为F(x) = (1/2)ax^2 + bx + C，其中 a、b 和 C 为常数。
2.幂函数：不定积分的幂函数公式为F(x)=(1/(n+1))x^(n+1)+C，其中n为实数且n≠-1、例如，对于x^3的不定积分，结果为F(x)=(1/4)x^4+C。
3. 指数函数：不定积分的指数函数公式为 F(x) = (1/a^x * ln，a，) + C，其中 a 为正实数且a ≠ 1、例如，对于 2^x 的不定积分，结果为 F(x) = (1/ln2)2^x + C。
4. 对数函数：不定积分的对数函数公式为 F(x) = x * (ln，x， - 1) + C。
5. 三角函数：不定积分的三角函数公式包括正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数等。
例如，正弦函数的不定积分为 F(x) = -cos(x) + C，余弦函数的不定积分为 F(x) = sin(x) + C。
6. 反三角函数：不定积分的反三角函数公式为 F(x) = arcsin(x) +C 或 F(x) = arccos(x) + C。
其中，arcsin(x) 表示 x 的反正弦函数。
7. 代换法：对于一些复杂的函数，我们可以通过代换来简化积分运算。
常用的代换方法包括令 u = g(x)，然后求 du/dx，并将原函数中的x 替换为 u。
8.部分分式分解法：对于一些有理函数，我们可以将其进行部分分式分解，然后再分别求不定积分。
9. 分部积分法：分部积分法是一个用于简化一些积分的方法。
其公式为∫(u * dv) = uv - ∫(v * du)。
这个公式通过不断的选取 u 和dv 来进行迭代，从而简化复杂函数的积分。
不定积分方法总结
不定积分方法总结不定积分是微积分中的一项重要内容，它是求出函数的原函数的过程。
本文将总结一些常见的不定积分方法，以帮助读者更好地理解和应用这些方法。
1.基本积分公式基本积分公式是求解不定积分的基石。
例如：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C (其中C为常数)∫e^x dx = e^x + C∫sin(x) dx = -cos(x) + C∫cos(x) dx = sin(x) + C这些基本积分公式可以通过求导来验证，掌握它们是解决不定积分问题的基本要求。
2.代换法代换法是求解不定积分的常用方法，它的基本思想是通过进行变量代换，将原不定积分转化为简单的形式进行求解。
例如，对于∫x^2 sqrt(x^3 + 1) dx，我们可以进行变量代换 u =x^3 + 1，从而得到 du = 3x^2 dx。
将变量代换带入原不定积分得到∫(1/3) sqrt(u) du，然后对简化后的积分进行求解。
3.分部积分法分部积分法是求解不定积分的另一常用方法，它基于积分运算的乘法法则。
分部积分法的公式为∫u dv = uv - ∫v du。
例如，对于∫x sin(x) dx，我们可以将积分分解为∫x d(-cos(x))，然后应用分部积分法得到 - x cos(x) - ∫(-cos(x)) dx，再进行简化和求解。
4.三角函数换元法三角函数换元法是针对含有三角函数的不定积分问题的一种方法。
它的基本思想是通过进行三角函数变量代换，将积分转化为更容易求解的形式。
例如，对于∫sin^2(x) cos(x) dx，我们可以进行变量代换 u =sin(x)，从而得到 du = cos(x) dx。
将变量代换带入原不定积分得到∫u^2 du，然后对简化后的积分进行求解。
5.分式分解法分式分解法是求解含有分式的不定积分问题的一种方法。
它的基本思想是将复杂的分式进行分解，使得每一项可以转化为更容易求解的形式。
常用的24个不定积分公式及证明
常用的24个不定积分公式及证明一、基本积分公式。
1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 证明：根据求导公式(kx + C)'=k，所以∫ kdx = kx + C。
2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 证明：对frac{x^n + 1}{n+1}+C求导，根据求导公式(x^m)'=mx^m - 1，可得(frac{x^n+1}{n + 1}+C)'=frac{(n + 1)x^n+1-1}{n+1}=x^n，所以∫ x^n dx=frac{x^n +1}{n+1}+C(n≠ - 1)。
3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 证明：当x>0时，(ln x)'=(1)/(x)；当x < 0时，[ln(-x)]'=(1)/(-x)×(-1)=(1)/(x)。
所以∫(1)/(x)dx=lnx+C。
4. ∫ e^x dx=e^x+C- 证明：因为(e^x)' = e^x，所以∫ e^x dx=e^x+C。
5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- 证明：设y = a^x，则ln y=xln a，y = e^xln a。
对y=(a^x)/(ln a)+C求导，((a^x)/(ln a)+C)'=(1)/(ln a)× a^xln a=a^x，所以∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)。
6. ∫sin xdx=-cos x + C- 证明：因为(-cos x)'=sin x，所以∫sin xdx =-cos x+C。
7. ∫cos xdx=sin x + C- 证明：因为(sin x)'=cos x，所以∫cos xdx=sin x + C。
8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 证明：因为(tan x)'=sec^2x=(1)/(cos^2)x，所以∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C。
不定积分方法总结
不定积分方法总结不定积分是微积分中的重要概念，用于求解函数的原函数。
不同函数的不定积分方法各不相同，下面将对常见的不定积分方法进行总结。
1.常规的幂函数积分：对于形如$x^n$的函数，其中$n$为常数，其不定积分可以按照以下公式进行求解：$$\int x^n dx = \frac{{x^{n+1}}}{n+1} + C$$其中C为常数。
2.指数函数的积分：对于形如$e^x$的函数，其不定积分可以直接求得：$$\int e^x dx = e^x + C$$其中C为常数。
3.对数函数的积分：对于形如$\ln(x)$的函数，其不定积分可以直接求得：$$\int \ln(x) dx = x(\ln(x) - 1) + C$$其中C为常数。
4.三角函数的积分：对于常见的三角函数，其不定积分方法如下：- 正弦函数：$$\int \sin(x) dx = -\cos(x) + C$$- 余弦函数：$$\int \cos(x) dx = \sin(x) + C$$- 正切函数：$$\int \tan(x) dx = -\ln，\cos(x)， + C$$- 余切函数：$$\int \cot(x) dx = \ln，\sin(x)， + C$$5.常见的三角函数幂函数积分：- $$\int \sin^n(x) dx$$：当$n$为奇数时，可以采用递归法进行求解，当$n$为偶数时，可以采用倍角公式和减角公式进行化简。
- $$\int \cos^n(x) dx$$：当$n$为奇数时，可以采用递归法进行求解，当$n$为偶数时，可以采用倍角公式和减角公式进行化简。
6.有理函数的积分：对于形如$\frac{P(x)}{Q(x)}$的有理函数，其中$P(x)$和$Q(x)$分别为多项式函数，可以采用分部积分法、配凑法、偏分式分解等方法进行求解。
7.常见的代换法：- 令$x=\sin(t)$或$x=\cos(t)$：用于处理含有平方根的积分；- 令$x=\tan(t)$或$x=\cot(t)$：用于处理含有平方差的积分；-令$t=g(x)$：用于处理含有根式的积分。
不定积分公式及方法总结
一、基本求导公式1. ()1x x μμμ-'= ()ln 1x x'=2. (sin )cos x x '= (c o s )s i nx x '=- 3. 2(tan )sec x x '= 2(c o t )c s cx x '=- 4. (sec )tan sec x x x '= (c s c )c o t c s x x x'=- 5. ()ln x x a a a '=，()x x e e '= 6. ()2arctan 11x x '+=()a r c s i n x '=()2arccot 11x x '+=-()a r c c o s x '=二、基本积分公式1.1d (111)x x x C μμμμ+=+ =-/ +⎰， 1l n ||+d x x Cx =⎰ 2. d ln xxa a x C a=+⎰，d x x e x e C =+⎰ 3. sin d cos x x x C =-+⎰， cos d sin x x x C =+⎰ 4. 2secd tan x x x C =+⎰ 2csc d cot x x x C =-+⎰5. tan d ln |cos |x x x C =-+⎰ c o t d l n |s i n |xx x C =+⎰ 6.sec d ln |sec tan |x x x x C =++⎰ c s cd l n |c s cc o t x x x x C=-+⎰ 7.21d arctan 1x x C x =++⎰ a r c s i n x x C =+2211d arctan xx C a x a a=++⎰ arcsinxx C a=+8.ln x x C =+(ln x x C =+9.2211d ln 2x ax C a x a x a-=+-+⎰ 三、常用三角函数关系 1. 倍角公式21cos 2sin 2x x -= 21c o s 2c o s 2x x +=2. 正余切与正余割正割 1sec cos x x = 22sec 1tan x x =+余割 1csc sin x x= 22csc 1cot x x =+四、常用凑微分类型1.11()d d ()ln ()()()f x x f x f x C f x f x '==+⎰⎰; 2.1()d ()d() (0)f ax b x f ax b ax b a a+=++≠⎰⎰; 3.11()d ()d (0)f x x x f x x μμμμμμ-⋅=≠⎰⎰;4.1()d ()d (0,1)ln x x x x f a a x f a a a a a=>≠⎰⎰; (e )e d (e )de x x x x f x f =⎰⎰; 5. 1(ln )d (ln )d ln f x x f x x x⋅=⎰⎰;6. (sin )cos d (sin )d sin f x x x f x x = ⎰⎰; (cos )sin d (cos )d cos f x x x f x x =-⎰⎰;7.2(tan )sec d (tan )d tan f x x x f x x =⎰⎰;2(cot )cscd (cot )d cot f x x x f x x =-⎰⎰;8.(sec )sec tan d (sec )d sec f x x x x f x x ⋅=⎰⎰; (csc )csc cot d (csc )d csc f x x x x f x x ⋅=- ⎰⎰;9.(arcsin )(arcsin )d arcsin f x x f x x = ⎰⎰;21(arctan )d (arctan )d arctan 1+f x x f x x x ⋅= ⎰⎰. 五、第二类换元法常用的代换方法(1)可作代换t a x sin =；(2) 22x a +，可作代换t a x tan =； (3)22a x -，可作代换t a x sec =；(4) 分母中次数比较高时，常用倒代换代换1x t =；可作代换t =；可作代换t =六、分部积分基本公式 udv uv vdu =-⎰⎰ 基本方法：()f x dx ⎰()()()f x u xv x '=−−−−−→分解()()u x v x d x '⎰−−−→凑微分()()u x d v x⎰ −−−−→分部积分()()()()u x v x v x du x =-⎰使用分部积分法的关键是将()f x dx 恰当地凑成()()u x dv x 的形式，其遵循的一般原则是：（1）()v x 容易求得；（2）()()v x du x ⎰要容易积分；一般地，按“反 对 幂 指 三”的顺序，前者取为)(x u ，后者取为()v x '.反三角函数 对数函数 幂函数 指数函数 三角函数1.()11cos 2d cos 22d cos d()2222x x x x x x x '=⋅=⎰⎰⎰ （1cos d 2u u ⎰） 1sin 22x C =+ 2. ()331(25)d (25)25d 2x x x x x '+=+⋅+⎰⎰31(25)d(25)2x x =++⎰ （31d 2u u ⎰） 41(25)8x C =++ 3.()222222d d d x x x xe x e x x x e '=⋅=⎰⎰⎰（d u u e u e C =+⎰） 2x e C =+类似地， ()344411d 12d 12812x x x x x x'=⋅+++⎰⎰ 444111d(1+2)ln(12)8128x x C x ==+++⎰ 4. sin 1tan d d (cos )d cos cos x x x x x x x x '==-⋅⎰⎰⎰ cos 1d ln |cos |cos x x C x=-=-+⎰5. ()32231sin d sin 1c sin d d co os cos cos .3s x x x x x x x x x C = =-=-+-⎰⎰⎰6. 33421tan tan tan sec d d tan 4x x x C x x x = =+⎰⎰ 7.2524sincos d sin co cos d s x x x x x x x = ⎰⎰()222sin 1sin dsin x x x =-⎰()246357sin 2sin sin d sin 121sin sin sin .357x x x x x x x C =-+=-++⎰8.22221111d d d arctan 11x x u u C x a a a u x a ⎛⎫⎡⎤= =+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰利用 1a r c t a n .xC a a=+ 9. 1cos 1d (sin )d sin sin x x x x x x x x x+'=⋅+ ++⎰⎰1d(sin )sin x x x x =+ +⎰ln sin +C x x =+。
不定积分公式总结
2
1
+ C
( 5 ) ∫cos x dx = sin x + C ( 7 ) ∫cot x dx = ln | sin x| + C ( 9 ) ∫csc x dx = ln | csc x - cot x| + C ( 11 ) ∫csc2 x dx = - cot x + C ( 13 ) ∫x 2 +a 2 = ( 15 ) ∫a 2 -x
5
xe
x 2
例
xe (x e x e x e 1
x x x x
(1 x)
dx
( x 1)
2
dx
x 2
1)e (x dx 1 dx 1 C
e
x
dx e
x
e x
2
x
e 1 e x (x
x
x 2
dx e d
x
1)
1)
(x e 1
x
1)
dx 1
dx 1
1 1 x
x
1
x
de
x
x
(三 )特殊函数积分法
1、有理函数的不定积分
2 2
+
1 2
∫
1 √５ + x- x dx
2
dx
= - √5 + x - x +
1 2
∫
√ 21 2 1 √ ( ) - (x - ) 2 2 2 1 2x - 1 2 √ = - 5 + x - x + arcsin( )+ C 2 21 √ 3 x 例 2： ∫ 4 dx x + x2 + 1 与例 1 类似，我们有： 1 1 3 ( ) 4x + 2x x x 4 2 ∫ 4 dx = ∫ dx 2 4 2 x + x + 1 x + x + 1 1 2 4 2 d (x + 1 d( x + x + 1) 1 2) = ∫ 4 ∫ 2 后面套公式就好啦 2 4 x + x2 + 1 4 1 3 √ (x 2 + ) + ( ) 2 2
不定积分公式总结
不定积分公式总结不定积分是微积分中的一个重要概念，它是求导的逆运算。
在数学分析、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
不定积分公式众多，熟练掌握这些公式对于解决积分问题至关重要。
下面我们就来对常见的不定积分公式进行总结。
一、基本积分公式1、常数的积分：∫k dx ＝ kx ＋ C （k 为常数）这是最简单的积分公式，常数的积分就是常数乘以自变量再加上常数 C。
2、幂函数的积分：∫x^n dx ＝（1/（n ＋ 1)）x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1）∫x^（－1) dx ＝ ln|x| ＋ C对于幂函数的积分，当指数不为－1 时，将指数加 1 然后除以新的指数，再加上常数 C；当指数为－1 时，积分结果为自然对数。
3、指数函数的积分：∫e^x dx ＝ e^x ＋ C∫a^x dx ＝（1/ln a)a^x ＋ C （a ＞ 0，a ≠ 1）指数函数 e^x 的积分就是其本身，而对于底数为 a 的指数函数，积分结果需要除以其底数的自然对数。
4、对数函数的积分：∫ln x dx ＝ x ln x x ＋ C这是对数函数的一个重要积分公式。
5、三角函数的积分：∫sin x dx ＝ cos x ＋ C∫cos x dx ＝ sin x ＋ C∫tan x dx ＝ ln|cos x| ＋ C∫cot x dx ＝ ln|sin x| ＋ C∫sec x dx ＝ ln|sec x ＋ tan x| ＋ C∫csc x dx ＝ ln|csc x ＋ cot x| ＋ C三角函数的积分需要牢记这些常见的公式，在解题中经常会用到。
二、凑微分法相关公式凑微分法是积分中的一种重要方法，通过对被积表达式进行适当的变形，将其凑成某个函数的微分形式，然后进行积分。
1、例如：∫f(ax ＋ b) dx ＝（1/a)∫f(u) du （令 u ＝ ax ＋ b）2、∫cos(ax ＋ b) dx ＝（1/a)sin(ax ＋ b) ＋ C （令 u ＝ ax ＋ b）3、∫sin(ax ＋ b) dx ＝（1/a)cos(ax ＋ b) ＋ C （令 u ＝ ax ＋ b）凑微分法需要我们对函数的形式有敏锐的观察力，能够准确地找到合适的代换。
总结不定积分知识点
总结不定积分知识点一、不定积分的概念1.1 不定积分的定义在微积分中，不定积分是定积分的一个重要概念，它是函数的一个原函数。
给定函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，则称F(x)是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x) dx =F(x) + C，其中C为积分常数。
1.2 不定积分的符号表示不定积分一般用∫f(x) dx表示，其中f(x)为被积函数，dx为积分变量的微元，∫表示积分的符号。
1.3 不定积分的意义不定积分的意义在于求解函数的原函数。
也就是说，通过不定积分，我们可以得到函数f(x)的原函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，并且这个原函数不唯一，因为在不定积分的结果中，需要加上一个常数C。
1.4 不定积分与定积分的关系不定积分与定积分是紧密相关的，它们之间的关系可以通过牛顿-莱布尼茨公式来描述。
牛顿-莱布尼茨公式表明，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为F(b) - F(a)。
二、不定积分的性质2.1 基本性质不定积分具有以下基本性质：（1）线性性质：即∫(af(x) + bg(x)) dx = a∫f(x) dx + b∫g(x) dx，其中a和b为常数。
（2）积分的可加性：即∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx。
（3）不定积分的性质：若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x) + C也是f(x)的原函数，其中C为任意常数。
2.2 函数的原函数和不定积分在求解不定积分时，我们需要寻找函数的原函数。
要注意的是，不一定所有的函数都有原函数，而且对于一些函数，它的原函数不唯一。
2.3 被积函数的连续性与不定积分存在性要进行不定积分，被积函数需要满足一定的连续性条件，例如在不定积分的区间上是连续的。
2.4 替换积分变量法在不定积分中，有时会通过替换积分变量的方法来简化积分计算。
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不定积分一、原函数定义1 如果对任一I x ∈，都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。
例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。
2211)1ln([xx x +='++，即)1ln(2x x ++是211x+的原函数。
原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。
注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。
设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。
注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即C x G x F =-)()(（C 为常数）注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。
二、不定积分定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为⎰dx x f )(。
如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(，（C 为任意常数）三、不定积分的几何意义图 5—1设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x F y =在平面上表示一条曲线，称它为)(x f 的一条积分曲线．于是)(x f 的不定积分表示一族积分曲线，它们是由)(x f 的某一条积分曲线沿着y 轴方向作任意平行移动而产生的所有积分曲线组成的．显然，族中的每一条积分曲线在具有同一横坐标x 的点处有互相平行的切线，其斜率都等于)(x f ．在求原函数的具体问题中，往往先求出原函数的一般表达式C x F y +=)(，再从中确定一个满足条件 00)(y x y = (称为初始条件)的原函数)(x y y =．从几何上讲，就是从积分曲线族中找出一条通过点),(00y x 的积分曲线．四、不定积分的性质（线性性质）[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰()() kf x dx k f x dx =⎰⎰k （为非零常数）五、基本积分表∫ a dx = ax + C，a和C都是常数∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且a ≠ -1 ∫ 1/x dx = ln|x| + C∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且a ≠ 1∫ e^x dx = e^x + C∫ cosx dx = sinx + C∫ sinx dx = - cosx + C∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C∫ ta nx dx = - ln|cosx| + C = ln|secx| + C∫ secx dx =ln|cot(x/2)| + C= (1/2)ln|(1 + sinx)/(1 - sinx)| + C= - ln|secx - tanx| + C = ln|secx + tanx| + C∫ cscx dx = ln|tan(x/2)| + C= (1/2)ln|(1 - cosx)/(1 + cosx)| + C= - ln|cscx + cotx| + C = ln|cscx - cotx| + C∫ sec^2(x) dx = tanx + C∫ csc^2(x) dx = - cotx + C∫ secxtanx dx = secx + C∫ cscxcotx dx = - cscx + C∫ dx/(a^2 + x^2) = (1/a)arctan(x/a) + C ∫ dx/√(a^2 - x^2) = arcsin(x/a) + C ∫ dx/√(x^2 + a^2) = ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ dx/√(x^2 - a^2) = ln|x + √(x^2 - a^2)| + C∫ √(x^2 - a^2) dx = (x/2)√(x^2 - a^2) - (a^2/2)ln|x + √(x^2 - a^2)| + C ∫ √(x^2 + a^2) dx = (x/2)√(x^2 + a^2) + (a^2/2)ln|x + √(x^2 + a^2)| + C ∫ √(a^2 - x^2) dx = (x/2)√(a^2 - x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C六、第一换元法（凑微分）设)(u F 为)(u f 的原函数，即)()(u f u F =' 或 ⎰+=C u F du u f )()( 如果 )(x u ϕ=，且)(x ϕ可微，则)()]([)()()()()]([x x f x u f x u F x F dxdϕϕϕϕϕ'='=''= 即)]([x F ϕ为)()]([x x f ϕϕ'的原函数，或)()(])([])([)]([)()]([x u x u du u f C u F C x F dx x x f ϕϕϕϕϕ==⎰⎰=+=+='因此有定理1 设)(u F 为)(u f 的原函数，)(x u ϕ=可微，则 )(])([)()]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=' (2-1)公式(2-1)称为第一类换元积分公式。
()[()]()[()]()[()]u x f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ==='⎰⎰⎰11()()()[()]u ax b f ax b dx f ax b d ax b f u du a a =++=++=⎰⎰⎰用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。
当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。
常用凑微分公式1()dx d ax b a =+ 21()2xdx d x =211()dx d x x =- 1ln dx d xx =dx d =x x e dx de = cos sin xdx d x = sin cos xdx d x =-221sec tan cos dx xdx d x x == 221csc cot sin dx xdx d x x ==- 21arctan 1dx d x x =+arcsin d x =221dx x a -⎰111()2dx x a x a a =--+⎰111()()2d x a d x a x a x a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦=--+-+⎰⎰ 1(ln ln )2x a x a Ca=--++ 1(ln ln )2x a x a Ca =--++221dx a x -⎰1ln 2x a C x a a +=+-配方x a =arcsin (0)x C a a =+>221dx a x +⎰221[1()]dx x a a =+⎰211()1()x d x a a a=+⎰1arctan x C a a =+七、第二换元法定理2 设)(t x ψ=是单调的可导函数，且0)(≠'t ψ，又设 )()]([t t f ψψ' 具有原函数，则[])()()]([)(x t dt t t f dx x f ψψψ=⎰⎰'=(2-2)其中)(x t ψ=为)(t x ψ=的反函数。
公式(2-2)称为第二类换元积分公式。
例1 求 dx x a ⎰-22， )0(>a解：令 t a x sin =，22ππ≤≤-t ，则t a x a cos 22=-，tdt a dx cos =，因此有Cx a x a x Ca x a a x a a x Ct t a t Ct a t dt ttdt tdta t a dx x a +-+=+-+=++=++=+===-⎰⎰⎰⎰222222222222222221arcsin 2a 2arcsin 2a cos sin 22a 2sin 42a22cos 1a cos a cos cos例2 求 ⎰+22xa dx ，)0(>a解：令 t a x tan =，22ππ≤≤-t ，则t a x a sec 22=+，tdt a dx 2sec =，因此有12222222||ln ||ln |tan sec |ln sec sec sec 1C a x x C ax a x a Ct t tdttdt a ta x a dx +++=+++=++===+⎰⎰⎰其中a C C ln 1-=。
用类似方法可得 C a x x a x dx +-+=-⎰||ln 2222第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。
常见的变换形式需要熟记会用。
主要有以下几种：achtx t a x t a x a x asht x t a x t a x a x ta x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222 也奏效。
，有时倒代换当被积函数含有：：tx c bx ax x t dcx bax d cx b ax tb ax b ax m n nnn 1)6()5()4(2=++⋅=++++=++八、分部积分法设 )(x u u =，)(x v v =，则有v u v u v u '+'=')( 或 dv u du v v u d +=)(两端求不定积分，得⎰⎰⎰'+'='dx v u dx u v dx v u )(或 ⎰⎰⎰+=dv u du v v u d )(即⎰⎰-=du v v u dv u (3-1) 或 ⎰⎰'-='dx u v v u dx v u (3-2) 公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。
分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。
具体选取νμ、时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数 （2）简化被积函数的类型例1． 求 ⎰xdx x cos解： ⎰⎰=x xd xdx x sin cosCx x x xdx x x ++=-=⎰cos sin sin sin例2． 求 ⎰dx e x x 2解： x x de x dx e x ⎰⎰=22Ce xe e x dx e xe e x dx xe e x dx e e x x x x xxxx x x x ++-=--=-=-=⎰⎰⎰22)(2222222注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为u ，其余部分取为dv 。