《13.4 课题学习 最短路径问题》优质课件(2套)

B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最
短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上
面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时，
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存
在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、
F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分
别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最
短，找出E、F两点，并说明理由．
D
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′．
A
·
C′ C
B
·
l
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′． 即 AC +BC 最短．
A
点B“移”到l 的另一侧B′处，
l
满足直线l 上的任意一点C，
都保持CB 与CB′的长度相等？
利用轴对称，作出点B关于直线l的对称点B′.
方法揭晓
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
则点C 即为所求．
A C
几何画板：验证路径最短.gsp
B
l B′
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问2 你能利用轴对称的
A
·
有关知识，找到上问中符合条
件的点B′吗？
B
·
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
AC 与CB 的和最小（如图）．
B
A
C
l
探索新知
问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
追问1 对于问题2，如何
A
将点B“移”到l 的另一侧B′
·
处，满足直线l 上的任意一点
C，都保持CB 与CB′的长度
相等？
B
·
l
A．10
B．15
C．20
D．30
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸
的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD
的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮
水再回家，所走的最短距离是 1000 米.
C
D 河
A
B
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格 点上，点A、B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴 上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．
3.把桥平移到和A相连.
A
Ｍ
Ｎ
B
4.把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN 长度有没有改 变呢？
问题解决
A
如图，平移A到A1，使AA1等于河 A1 宽，连接A1B交河岸于N作桥MN， 此时路径AM+MN+BN最短.
M Ｍ１
N
Ｎ１
B
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１. 由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A
到B的路径长为
AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
在△ACE中，∵AC+CE＞AE,
A· M C
∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
ND E
所以桥的位置建在MN处，A到B的路径最短. B
方法归纳 解决最短路径问题的方法
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对 称、平移等变换把未知问题转化为已解决的问题， 从而作出最短路径的选择.
当堂练习
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m 对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别 交于P、Q，下面的说法正确的是（ A ） A．P是m上到A、B距离之和最短的
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对 称点是关键，而后将求线段长的和转化为求某一 线段的长，而再根据已知条件求解.
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别
为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，
且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的
周长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，3）
y
B
A
O
P
x
B'
5.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从
A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设
护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥
可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
C
D
C′ D ′
E E′
B
解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽， 连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
B．（0，2）
C′
C．（0，1）
D．（0，0）
B′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，
E
交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，
然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、
AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三
角形即可．
方法总结：求三角形周长的最小值，先确定动点 所在的直线和固定点，而后作某一固定点关于动 点所在直线的对称点，而后将其与另一固定点连 线，连线与动点所在直线的交点即为三角形周长 最小时动点的位置.
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交
于点C． 则点C 即为所求．
B
·
A
·
l C
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
B
·
A
·
l C
B′
探索新知
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节 将利用数学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问 题”及“造桥选址问题”.
P ①
②
A ③B
A BC
Dl
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l
饮马，然后到B地，牧马人到河边的什么地方饮马，可
使所走的路径最短？
B
B 抽象成
Fra Baidu bibliotek
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
点，Q是m上到A、B距离相等的点 B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点 C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点 D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=
10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长
最小，则最小周长是（ A ）
折
●B 移
思维火花 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化 到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？
各抒己见 1.把A平移到岸边.
A
Ｍ
2.把B平移到岸边. 3.把桥平移到和A相连.
Ｎ
B
4.把桥平移到和B相连.
1.把A平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
A
Ｍ
A'
Ｎ B'
B
2.把B平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
二 造桥选址问题
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造 一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短 （假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
A
A
M
N
B
B
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A 到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下 最短呢？
●A
M
M
N
N
?
C
AB′＜AC′+B′C′，
C′
l
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
B′
即 AC +BC 最短．
练一练：如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某
处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，
图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
Q
Q
P
P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
B A
l
探索新知
追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？
将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
探索新知
追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，
l
P
M
l
D
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
A
于是AD=FD′,
C
DF
同理，BE=GE′， 由两点之间线段最短可知， GF最小.
C′ D ′ E E′
BG
拓展提升
6.（1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使
C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如 何在l上找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的 和最短？
连接AB,与直线l相交于一点C.
A
根据是“两点之间，线段
C
最短”，可知这个交点即
l
为所求.
B
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如 何解决？
B
想一想：对于问题2，如何将
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′(与点C 不重合)，
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． A
在△AB′C′中，
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
导入新课
复习引入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
①
②最短，因为两点之间，线段最短
②
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
A
A M
C A 图① B
P
O 图②
BO
N B
图③
D C
AP C' 图①
P' A
E
P
O
F
B
图② P''
B
M' A
E
M
N
O
B
F
N'
图③
课堂小结
原理 线段公理和垂线段最短
最 短 牧马人饮 路 径 马问题 问题
解题方法 轴对称知识+线段公理
造桥选 址问题
解题方法
关键是将固定线段 “桥”平移
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题
引入新知
引言： 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线 段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段 中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问 题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节 将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．
探索新知
AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１ 转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.
在△A１N１B中，因为A1N1+BN1＞A1B.
因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
问题1 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久 负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访 海伦，求教一个百思不得其解的问题：
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B A
l
探索新知
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．
接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
讲授新课
一 牧人饮马问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外 一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的 问题，我们称之为最短路径问题.