导数极值最值问题

导数在研究函数中的应用

知识梳理

一 函数的单调性

1、利用导数的符号判断函数的单调性：

一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 为增函数；如果'f 0)(

2、对于可导函数)(x f y =来说，'f )(x 0>是)(x f 在某个区间上为增函数的充分非必要条件，'f 0)(

3、利用导数判断函数单调性的步骤：

①求函数f (x )的导数f ′(x ).

②令f ′(x )＞0解不等式，得x 的范围就是递增区间.

③令f ′(x )＜0解不等式，得x 的范围，就是递减区间.

4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．

二 函数极大值、极小值

1、极大值：如果c x =是函数f(x)在某个开区间),(v u 上的最大值点，即不等式)()(x f c f ≥ 对一切),(v u x ∈成立，就说函数f(x)在c x =处取到极大值)(c f ，并称c 为函数f(x)的一个极大值点，)(c f 为f(x)的一个极大值。

2、极小值：如果c x =是函数f(x)在某个开区间),(v u 上的最小值点，即不等式)()(x f c f ≤ 对一切),(v u x ∈成立，就说函数f(x)在c x =处取到极小值)(c f ，并称c 为函数f(x)的一个极小值点，)(c f 为f(x)的一个极小值。

3、极大值与极小值统称为极值 ，极大值点与极小值点统称为极值点；若0)(='c f ，则c x =叫做函数f(x)的驻点；可导函数的极值点必为驻点，但驻点不一定是极值点。

4、判别f (c )是极大、极小值的方法:若0x 满足0)(='c f ，且在c 的两侧)(x f 的导数异号，则c 是)(x f 的极值点，)(c f 是极值，并且如果)(x f '在c 两侧满足“左正右负”，则c 是)(x f 的极大值点，)(c f 是极大值；如果)(x f '在c 两侧满足“左负右正”，则c 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值

5、求可导函数f (x )的极值的步骤:

(1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x )

(2)求f(x)的驻点，即求方程f ′(x )=0的根

(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x )在这个根处无极值

三 函数的最大值和最小值

在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。求闭区间],[b a 上连续的函数)(x f 的最大值和最小值的思想方法和步骤：

（1）求函数ƒ)(x 在(a ，b)内的极值；

（2）求函数ƒ)(x 在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；

（3）将函数ƒ )(x 的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

四三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 有极值⇔导函数c bx ax x f ++='23)(2

的判别式ac b 1242-=∆>0

3.3.1 利用导数研究函数的单调性

典例剖析:

题型一 求函数的单调区间

例1已知函数y =x +x

1，试讨论出此函数的单调区间. 分析：讨论函数的单调区间，可以利用导数来判断

解答：y ′=(x +x

1)′=1－21x =222)1)(1(1x x x x x -+=- 令

2)1)(1(x

x x -+＞0. 解得x ＞1或x ＜－1.

∴y =x +x

1的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞). 令2)1)(1(x

x x -+＜0，解得－1＜x ＜0或0＜x ＜1. ∴y =x +

x 1的单调减区间是(－1，0)和(0，1) 点评：利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，再求函数f (x )的导数f ′(x ).，然后解不等式f ′(x )＞0，得递增区间，解不等式f ′(x )＜0，得递减区间.

题型二 已知函数的单调性，求参数的取值范围

例2. 若函数3211()(1)132f x x ax a x =

-+-+在区间(1,4)内为减函数，在区间(6,)+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围．

分析：常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．

解答：函数求导得2()1(1)[(1)]f x x ax a x x a '=-+-=---，

令()0f x '=得1x =或1x a =-，

因为函数在区间(1,4)内为减函数，所以当(1,4)x ∈时，()0f x '≤

又因为在函数区间(6,)+∞上为增函数，所以当(6,)x ∈+∞时，()0f x '≥，

∴416a ≤-≤，

∴57a ≤≤．

即实数a 的取值范围[5，7]

点评：已知单调区间求参数a 的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。

备选题

例3：已知函数f （x ）=2ax －21x

,x ∈（0,1］，若f （x ）在x ∈（0,1］上是增函数，求a 的取值范围； 解: 由已知可得f ′（x ）=2a +

32x ,∵f （x ）在（0,1）上是增函数，∴f ′（x ）＞0,即a ＞－3

1x , x ∈（0,1］.∴a ＞－1.