高数极限与函数等价代换公式(2020年10月整理).pdf
极限的代换公式
极限的代换公式
极限的代换公式是数学中常用的一种方法，用于解决函数在某一点的极限问题。
它是基于函数的局部性质和函数的连续性原理，通过代换使得原函数可以化简为更容易处理的形式。
在极限的代换公式中，我们可以假设函数在某一点的极限存在，并通过一系列的代换来求得这个极限的值。
例如，当我们需要求函数
f(x)在x=a处的极限时，可以将x-a代换为t，那么当x趋近于a时，t也趋近于0。
这样一来，原来的函数f(x)可以转化为一个新的函数f(t)，并且我们可以通过对f(t)的处理来求得f(x)在x=a处的极限。
通过极限的代换公式，我们可以解决一些常见的极限问题，例如求多项式函数、指数函数、对数函数等在某一点的极限。
通过代换，我们可以将原函数转化为更简单的形式，从而更容易求得极限的值。
在极限的代换公式中，我们需要注意一些细节。
首先，我们需要确保代换后的新函数与原函数在极限点附近有相同的性质。
其次，我们需要注意代换后的函数是否在极限点附近有定义。
最后，我们需要注意代换是否涉及到不可解的情况，例如除以0或开根号等。
总的来说，极限的代换公式是一种常用且有效的数学工具，可以帮助我们解决一些复杂的极限问题。
通过合理的代换，我们可以将原函数转化为更简单的形式，从而更容易求得极限的值。
但是在使用代换时，我们需要注意一些细节，确保代换的正确性和有效性。
只
有在合适的情况下，极限的代换公式才能发挥出它的优势，帮助我们解决数学问题。
高等数学等价无穷小替换公式
高等数学等价无穷小替换公式
高等数学中，等价无穷小是指两个无穷小在某一极限下的比值趋近于1。
等价无穷小替换公式是指在极限运算中，可以用一个等价无穷小代替另一个等价无穷小，而不改变极限的值。
以下是一些常见的高等数学等价无穷小替换公式：
1. 当x趋近于0时，sin(x)和x等价。
即：sin(x) ~ x。
2. 当x趋近于0时，tan(x)和x等价。
即：tan(x) ~ x。
3. 当x趋近于0时，1-cos(x)和x等价。
即：1-cos(x) ~ x。
4. 当x趋近于0时，e^x-1和x等价。
即：e^x-1 ~ x。
5. 当x趋近于0时，ln(1+x)和x等价。
即：ln(1+x) ~ x。
6. 当x趋近于0时，arcsin(x)和x等价。
即：arcsin(x) ~ x。
7. 当x趋近于0时，arctan(x)和x等价。
即：arctan(x) ~ x。
8. 当x趋近于0时，(1+x)^a-1和ax等价。
即：(1+x)^a-1 ~ ax。
9. 当x趋近于0时，(1+x)^n-1和nx等价。
即：(1+x)^n-1 ~ nx。
以上就是高等数学中常用的等价无穷小替换公式，掌握这些公式对于解题和理解极限概念都非常有帮助。
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极限等价替换公式大全
极限等价替换公式大全
极限等价替换是微积分中一个非常重要的概念，它在求解极限的过程中起到了非常关键的作用。
通过等价替换，我们可以将原来复杂的极限问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
下面，我们将介绍一些常见的极限等价替换公式，希望能够帮助大家更好地理解和应用这一概念。
1. 当 x 趋于 0 时，sinx 与 x 等价。
当 x 趋于 0 时，我们有 sinx/x=1。
这个等价关系在求解极限时非常有用，可以帮助我们简化复杂的极限表达式。
2. 当 x 趋于 0 时，1-cosx 与 x^2/2 等价。
同样地，当 x 趋于 0 时，我们有 1-cosx=x^2/2。
这个等价关系在某些极限计算中也非常有用。
3. 当 x 趋于 0 时，tanx 与 x 等价。
当 x 趋于 0 时，我们有 tanx/x=1。
这个等价关系在某些极限计算中也可以发挥作用。
4. 当 x 趋于 0 时，e^x 1 与 x 等价。
当 x 趋于 0 时，我们有 e^x-1=x。
这个等价关系在涉及到自然对数的极限计算中非常有用。
5. 当 x 趋于 0 时，ln(1+x) 与 x 等价。
当 x 趋于 0 时，我们有 ln(1+x)=x。
这个等价关系在某些极限计算中也可以简化问题。
通过以上的极限等价替换公式，我们可以将原来复杂的极限计算问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
在实际应用中，我们需要根据具体的极限表达式选
择合适的等价替换公式，以便更高效地求解极限。
希望以上内容能够对大家有所帮助，谢谢阅读！。
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(tan x) = sec2 x
(cot x) = − csc2 x
(sec x) = sec x tan x
(csc x) = − csc x cot x
(ax ) = ax ln a
(loga
x)
=
x
1 ln
a
基本积分表：
kdx = kx + C （k 为常数）
1dx x
=
ln
x
x y
x y z
全微分的近似计算：z dz = f x (x, y)x + f y (x, y)y
多元复合函数的求导法 ：
z = f [u(t),v(t)] dz = z u + z v dt u t v t
z = f [u(x, y),v(x, y)] z = z u + z v x u x v x
exdx = ex + C
两个重要极限：
lim sin x = 1 x→0 x
lim(1+ 1 )x = e
x→
x
三角函数公式：
sin 2 = 2sin cos
sin2 + cos2 = 1
cos 2 = 2cos2 −1 = 1− 2sin2 = cos2 − sin2 sec2 = 1+ tan2
（2）在开区间 (a,b) 内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即 f (a) = f (b) ，
那么在 (a,b) 内至少有一点 (a b) ，使得 f ' ( ) = 0 。（选择题：选择符合罗尔定理条件的函数；证
明题）
拉格朗日中值定理：如果函数 f ( x) 满足
（1）在闭区间a,b 上连续；
高数等价无穷小替换公式大全
x趋于0时，x和sinx是等价无穷小；sinx和tanx是等价无穷小；tanx和ln(1+x)是等价无穷小；ln（1+x）和ex-1是等价无穷小；ex-1和arcsinx、arctanx是等价无穷小；
等价无穷小的替换条件：
①x→0时
②只能在乘除运算中用无穷小替换，不能互相加减，否则误差会增大到不可接受的地步。
（但当加减项作为一个整体的时候，是可以被等价替换的）
③X的位置可以是任意小的无穷函数
一. 无穷小
定义1. 若x→x0时，函数f(x)→0 , 则称函数 f(x) 为x→x0时的无穷小。
注. x0 可以是±∞；无穷小说的是“函数”，唯一的常数无穷小是0，其实不是常数0 而是0 函数。
• 有限个无穷小的和仍是无穷小；(无限个不一定)
• 有限个无穷小的乘积仍是无穷小；(无限个不一定)
• 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。
极限等价替换公式大全
极限等价替换公式大全极限等价替换是微积分中一个重要的概念，它在求解极限问题时起到了非常重要的作用。
在实际的计算中，我们经常会遇到一些复杂的极限问题，而极限等价替换公式可以帮助我们简化计算，提高求解的效率。
接下来，我们将介绍一些常用的极限等价替换公式，希望对大家的学习和工作有所帮助。
1. 当 x 趋于 0 时，sinx 与 x 等价。
当 x 趋于 0 时，sinx 与 x 近似相等，这是一个非常常用的极限等价替换公式。
当我们在计算极限时遇到 sinx/x 的形式时，可以直接将 sinx 替换为 x，从而简化计算过程。
2. 当 x 趋于 0 时，1-cosx 与 (1/2)x^2 等价。
同样地，当 x 趋于 0 时，1-cosx 与 (1/2)x^2 近似相等。
这个等价替换公式在一些复杂的极限计算中也经常会用到，可以帮助我们简化计算过程，提高求解效率。
3. 当 x 趋于 0 时，e^x-1 与 x 等价。
e^x-1 与 x 在 x 趋于 0 时也近似相等，这个等价替换公式在求解极限时也非常有用。
通过将 e^x-1 替换为 x，我们可以简化计算过程，提高计算效率。
4. 当 x 趋于 0 时，ln(1+x) 与 x 等价。
在一些极限计算中，我们会遇到 ln(1+x)/x 的形式，这时可以将 ln(1+x) 替换为 x，从而简化计算过程。
5. 当 x 趋于 0 时，tanx 与 x 等价。
当 x 趋于 0 时，tanx 与 x 近似相等，这个等价替换公式在一些复杂的极限计算中也非常有用。
以上就是一些常用的极限等价替换公式，它们在求解极限问题时起到了非常重要的作用。
通过合理地运用这些等价替换公式，我们可以简化计算过程，提高求解效率。
希望大家在学习和工作中能够灵活地运用这些公式，更好地解决各种极限计算问题。
极限的代换公式
极限的代换公式
在数学中，极限的代换公式是一种重要的工具，它能够帮助我们在求解复杂的极限问题时简化计算过程。
极限的代换公式是一种基于数学推导和逻辑思维的方法，它可以将原本复杂的极限问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
以求解函数极限为例，当我们遇到形如lim(x→a) f(x)的极限问题时，如果直接计算f(a)的值并不容易，我们可以利用极限的代换公式来简化计算。
代换公式的基本思想是，当x趋向于某个特定的值a时，如果函数f(x)可以通过对x的变换得到一个新的函数g(x)，且lim(x→a) g(x)存在，则lim(x→a) f(x)也存在，并且等于lim(x→a) g(x)。
通过代换公式，我们可以将原本复杂的函数进行变换，使其更易于求解。
例如，对于lim(x→0) sin(x)/x这个经典的极限问题，我们可以通过代换公式来简化计算。
将sin(x)除以x后得到1，即g(x)=1。
因此，lim(x→0) sin(x)/x等于lim(x→0) 1，也就是1。
极限的代换公式在求解极限问题时起到了至关重要的作用。
它不仅可以简化计算过程，还可以帮助我们更好地理解极限的性质和特点。
通过代换公式，我们可以将复杂的极限问题转化为简单的形式，从而更好地掌握极限的概念和应用。
总的来说，极限的代换公式是数学中一种重要的工具，它能够帮助
我们简化极限问题的计算过程，提高求解的效率。
通过代换公式，我们可以将原本复杂的极限问题转化为简单的形式，从而更好地理解和应用极限的概念。
在数学学习中，我们应该深入理解代换公式的原理和方法，并灵活运用，以提升自己的数学能力和解题水平。
极限等价替换公式大全
极限等价替换公式大全The concept of limit equivalence substitution is a fundamental principle in mathematical analysis that allows us to simplify complex mathematical expressions by replacing them with equivalent forms that are easier to work with. This technique is especially useful when dealing with limits of functions, where the goal is to find the behavior of a function as it approaches a certain value or infinity.极限等价替换是数学分析中的一个基本原理，它允许我们通过用更易处理的等价形式替换复杂的数学表达式来简化问题。
这种技术在处理函数的极限时特别有用，其目的是找出函数在接近某个值或无穷大时的行为。
One common example of limit equivalence substitution is using Taylor series expansions to approximate functions near a point. By replacing a function with its Taylor series expansion up to a certain order, we can often obtain an easier expression to work with that still accurately represents the behavior of the original function.极限等价替换的一个常见例子是使用泰勒级数展开来近似函数在某点附近的值。
极限等价无穷小替换条件公式
极限等价无穷小替换条件公式
极限等价无穷小替换条件公式是求极限的一种方法，它是基于极限的等价原理，即如果两个函数在某一点附近的值非常接近，那么这两个函数在这一点附近的极限也应该相等。
因此，我们可以用一个函数的无穷小项来代替另一个函数的无穷小项，从而简化极限的计算。
具体来说，如果函数f(x)和g(x)在x=a处的极限都存在且f(x)与g(x)在x=a处
的值相等，那么就可以用g(x)的无穷小项来代替f(x)的无穷小项，即有以下等价关系：
f(x) ~ g(x) (x→a)
f(x) - g(x) = o(g(x)) (x→a)
其中“~”表示函数的等价，“o(g(x))”表示g(x)的无穷小项。
这个条件可以简化很多极限的计算，尤其是在涉及到一些复杂的函数时，可以通过将其分解为更小的
无穷小项来简化计算。
需要注意的是，极限等价无穷小替换条件公式并不是普适的，只有在满足一定条件的情况下才能使用。
因此，在使用时需要先判断函数是否满足等价条件，如果不满足则不能使用该方法进行极限的计算。
极限中的等价代换常用公式
极限中的等价代换常用公式极限是数学中非常重要的一个概念，常常被应用在数学、物理、化学等领域中。
其实，没有极限，很多事情就无法成立。
然而，计算极限往往非常困难，而等价代换公式则是计算极限时的一种重要的工具。
一、什么是等价代换公式？等价代换公式指的是在计算极限时，将一类特殊的表达式转换成另外一种形式，以便于计算。
换句话说，等价代换公式是将一个函数或表达式转化为另一种函数或表达式，使得它们在某些情况下有相同或接近的值。
这种转化不改变函数的极限值，因为两个等价的函数在极限点处有相同的极限。
二、为什么需要等价代换公式？在计算某些特殊函数的极限时，我们常常会遇到一些难以处理的函数。
例如，对于函数f(x)=(1+2x)(x-1)/(x+4)，在x趋于正无穷时，其极限无法直接计算。
而借助等价代换公式，我们可以将这个函数转化为一个更加容易处理的函数，例如(x-1)/(x+4)，进而求出该函数的极限值。
三、等价代换公式的常用方法1. 常数倍代换法在求f(x)的极限时，如果f(x)可以表示为c*g(x)，其中c是一个常数，且g(x)的极限存在，则f(x)的极限就等于c*g(x)的极限。
例如，当x趋于0时，f(x)=sin(2x)/x等于2*sin(2x)/(2x)。
此时，可以用常数倍代换法，将sin(2x)/x的极限转化为2*sin(2x)/(2x)的极限，进而求出f(x)的极限。
2. 分式分解代换法在求f(x)的极限时，如果f(x)可以化为两个函数的商g(x)/h(x)，其中g(x)和h(x)的极限都存在，则f(x)的极限等于g(x)/h(x)的极限。
例如，当x趋于1时，f(x)=(x-1)/(x^3-1)可以化为(x-1)/[(x-1)(x^2+x+1)]，进而化简为1/(x^2+x+1)。
由于1和x^2+x+1的极限都存在，因此可以用分式分解代换法，将f(x)的极限转化为1/(x^2+x+1)的极限，进而求出f(x)的极限。
极限的等价代换公式
极限的等价代换公式
极限的等价代换公式是指当数学表达式或者数学必要条件满足极
限情况时，其可以通过等价代换转换而得出更加精确、有限的表达。
举个例子，当我们向复杂函数求极限时，我们可以根据等价代换公式，将变量和运算符向极限情况的等价表达式转换，从而求出有限的表达。
例如，当函数f（x）=[sin(x)]/x 的 x 趋于0 时，可以用等价代换
公式把 f（x）改写为 f（x）=1。
通过这种方式，我们可以从复杂的
函数得到一个十分简单的极限表达式，获得极限的准确结果。
极限代换公式
极限代换公式
极限代换公式是当x→0时，sinx-x，tanx-x，arcsinx-x，arctanx-x，1-cosx-(1/2)*（x^2）-secx-1，（a^x）-1-x*lna(（a^x-1)/x-lna)、（e^x）-1-x等。
极限是微积分和数学分析的其他分支最基本的概念之一，连续和导数的概念均由其定义。
倒代换是为了凑洛必达法则，就是无穷比无穷或者0比0。
极限的等价代换公式可以用来描述一个序列的指标愈来愈大时，序列中元素的性质变化的趋势，也可以描述函数的自变量接近某一个值的时候，相对应的函数值变化的趋势。
遇到无穷减无穷，一个倒代换不就能凑出分时吗，就凑出洛必达法则使用的条件了。
极限代换需要注意等价无穷小代换，是国内最盛行的方法；代换的本质，其实是麦克劳林级数展开式。
微积分中，运用极限方法研究函数，即变量间相依关系。
包括微分法和积分法，即微分和积分。
微分是从整体研究局部，积分是从局部研究整体。
高等数学等价替换公式泰勒公式
高等数学等价替换公式泰勒公式(总31页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--应用高等数学等价替换公式1、无穷小量：设0）x （g lim ）x （f lim 0x x x x ==→→*1）若0）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 高阶 无穷小*2）若∞=→）x （g ）x （f limx x ，f （x ）是g （x ）的 低阶 无穷小*3）若c ）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 同阶 无穷小*4）若1）x （g ）x （f limx x =→，f （x ）是g （x ）的 等价 无穷小*5）若0）x （g ）x （f limkx x 0=→，f （x ）是g （x ）的 k 阶 无穷小 2、等价替换：若x →x 0，f （x ）~ f 1（x ），g （x ）~ g 1（x ） 则=→）x （g ）x （f limx x ）x （g ）x （f lim 11x x 0→ 6、常用等价形式：当f （x ）→0时*1）sinf （x ）~ f （x ） *2）arc sinf （x ）~ f （x ） *3）tanf （x ）~ f （x ） *4）arc tanf （x ）~ f （x ） *5）In （1+f （x ））~ f （x ） *6）e f （x ）-1~ f （x ）*7）1-cosf （x ）~ 2）x （f 2*8）（1+f （x ））α-1~ αf （x ） 二、函数的连续： 1、间断点：*1）第一类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）均 存在的 间断点 ⑴跳跃间断点： f -（x 0）≠f +（x 0） ⑵可去间断点： f -（x 0）=f +（x 0）*2）第二类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）至少有一个 不存在的 间断点 ⑴无穷间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个为 ∞⑵振荡间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个 振荡不存在 三、导数：1、定义：）x （f '= x△）x （f -）x △x （f lim 000x △+→2、导数的常见形式： *1） 00x x 0x -x ）x （f -）x （f lim）x （f 0→='*2） h ）x （f -）h x （f lim）x （f 000h +='→*3） h）h x （f -）x （f lim）x （f 000h -='→3、切线方程：若曲线y=f （x ）在点P （x 0，f （x 0））， 则 y-y 0=）x （f 0'（x-x 0） 注：*1）如果）x （f 0'=∞，则 x=x 0 *2）如果）x （f 0'=0，则 y=y 0 4、法线方程：若直线过点P （x 0，f （x 0））， 则 y-y 0=）x （f 10'-（x-x 0）5、基本公式：*1）='）C （ 0 *2）1-a a ax ）x （=' *3）Ina a ）a （x x =' *4）x x e ）e （=' *5）xIna 1）x log （a =' *6）x 1 ）Inx （='*7）cosx ）sinx （='*8）sinx - ）cosx （=' *9）x sec ）tanx （2=' *10）x csc - ）cotx （2=' *11）tanx secx ）secx (⋅=' *12）cotx cscx - ）cscx （⋅=' *13）2x -11 ）sinx arc （=' *14）2x -11-）cosx arc （='*15）2x 11）tanx arc （+=' *16）2x11- ）cotx arc （+=' 6、四则运算：νμ和都有导数*1）νμνμ'±'='± ）( *2）μμ'='c ）c （ *3）νμνμνμ'+'='⋅ ）(*4）)0( )(2≠'-'='νννμνμνμ 推论：*1）μμ'='c ）c （ *2）w w w w '+'+'='μννμνμμν ）（ *3）s w s w ws ws ws '+'+'+'='μνμννμνμμν ）（ 7、反函数求导法则：设y=f （x ）与x=ϕ（y ）（ϕ'（y ）≠0） 则）y （1）x （f ϕ'=' 或xy '= y x 1'8、n 次导的常见公式：*1））n （）sinx （= ）2nx （sin π+*2））2nx （cos ）cosx （）n （π+=*3）()()n [In 1x ]+= n1-n ）x 1（!）1-n （）1-（+ 9、参数方程求导：设函数）t （y ），t （x ），且b t a （）t （y ）t （x ψϕψϕ==≤≤⎩⎨⎧==都可导，其中x=）t （ϕ'≠0，则函数的导数）t （）t （dtdx dt dydx dy ϕψ''== 10、复合函数求导：若y=f （u ），u=ϕ（x ），且f （u ）及ϕ（x ）都可导，则复合函数y=f[ϕ（x ）]的导数）x （）x （f dxdyϕ'⋅'= 11、隐函数求导：*1）方程F （x ，y ）=0两边求导，解出y 或dx dy'*2）公式法：由F （x ，y ）=0，则yxF F dx dy''-=*3）利用微分形式的不变性，方程两边求微分，然后解出dxdy注：y 是x 的函数 12、对数求导：将函数关系式两边取自然对数（成为隐函数形式），化简，然后两边两边求导，最后两边乘以y （x ）注：适用于多个因式的乘、除、乘幂构成或幂指函数（y=u （x ）v （x ）） 13、高阶导数：*1）二阶导数：x △）x （f -）x △x （f lim）x （f 0x △'+'=''→*2）三阶导数：x △）x （f -）x △x （f lim）x （f 0x △''+''='''→*4）n 阶导数：x△）x （f -）x △x （f lim）x （f）1-n （）1-n （0x △）1-n （+=→ 14、中值定理：*1）拉格朗日定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得a-b ）a （f -）b （f）（f ='ξ推论1：如果函数f （x ）在区间（a ，b ）内任意一点的导数）x （f '都等于零，你们函数f （x ）在（a ，b ）内是一个常数推论2：如果函数f （x ）与g （x ）在区间（a ，b ）内每一点的导数）x （f '与）x （g '都相等，则这两个函数在区间（a ，b ）内至多相差一个常数，即：f（x ）= g （x ）+C ，x ∈（a ，b ）*2）罗尔定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，且f （a ）=f （b ），则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得='）（f ξ 0 *3）柯西定理：若函数f （x ）在闭区间[a ，b]上连续，在开区间（a ，b ）内可导，且0）x （g ≠'，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得）a （g -）b （g ）a （f -）b （f =）（g ）（fξξ'' 15、洛必达法则：*1）0型：设函数f （x ）、g （x ）满足： ⑴==→→）x （g lim ）x （f lim 0x x x x 0⑵在点x 0的某去心邻域内）x （g ）与x （f '' 都存在 ，且≠'）x （g 0 ⑶）x （g ）x （f limx x ''→ 存在或为无穷 有：）x （g ）x （f limx x →= ）x （g ）x （f lim0x x ''→*2）∞∞型：设函数f （x ）、g （x ）满足： ⑴∞==→→ ）x （g lim ）x （f lim 0x x x x⑵在点x 0=的某去心邻域内）x （g ）与x （f '' 都存在 ，且≠'）x （g 0 ⑶）x （g ）x （f limx x ''→ 存在或为无穷 有：）x （g ）x （f limx x →= ）x （g ）x （f lim0x x ''→*3）其他未定型：⑴0·∞型：f （x ）·g（x ）转化成）x （f 1）x （g 或 ）x （g 1）x （f ，一般将In 、arc 留在分子上⑵∞-∞型：通过通分、分子有理化、倒数代换或代数、三角恒等变形化为0型或∞∞型 ⑶0、0、1∞∞∞型：f （x ）g （x ）= e g （x ）Inf （x ） = ）x （g 1）x （Inf e16、函数单调性判定：设函数y=f （x ）在开区间（a ，b ）内可导*1）如果函数y=f （x ）在（a ，b ）内，0）x （f >'，则函数y=f （x ）在（a ，b ）内单调递 增 ；*2）如果函数y=f （x ）在（a ，b ）内，0）x （f <'，则函数y=f （x ）在（a ，b ）内单调递 减 ； 17、函数的极值：*1）如果函数y=f （x ）在点x 0及其左右近旁有定义，且对于x 0近旁的任何一点x （x ≠x 0）的函数值f （x ）均有：⑴f （x ）<f （x 0）,则f （x 0）称为函数y=f （x ）的 极大值 ，点x 0称为函数y=f （x ）的 极大值点⑵f （x ）>f （x 0）,则f （x 0）称为函数y=f （x ）的 极小值 ，点x 0称为函数y=f （x ）的 极小值点 *2）驻点：='）x （f 0 0 的点 *3）极值第一充分条件：设点x 0是f （x ）可能的极值点（0）x （f 0='或）x （f 0'不存在）⑴当0 ）x （f ）时，x ，-x （x 00>'∈δ；0 ）x （f ）时，x ，x （x 00<'+∈δ,则x 0为极大值点 ⑵当0 ）x （f ）时，x ，-x （x 00<'∈δ；0 ）x （f ）时，x ，x （x 00>'+∈δ,则x 0为极小值点⑶当⋃∈）x ，-x （x 00δ）x ，x （00δ+，）x （f ' 同号 ，则x 0不是极值点 *4）极值的第二充分条件：设y=f （x ）在点x 0处有一、二阶导数，且）x （f 0'= 0⑴如果）x （f 0'' > 0，则函数y=f （x ）在点x 0处取得最小值f （x 0） ⑵如果）x （f 0'' < 0，则函数y=f （x ）在点x 0处取得最大值f （x 0） 18、曲线凹凸性：*1）若对于x ∈（a ，b ）时，0）x （f >''，则曲线在（a ，b ）上为 凹 ，用符号“ ⋂ ” 表示*2）若对于x ∈（a ，b ）时，0）x （f <''，则曲线在（a ，b ）上为 凸 ，用符号“ ⋃ ” 表示 6、曲线拐点：设f （x ）在x 0的某个邻域内二阶可导，且=''）x （f 0 0 ，若x 0两侧）x （f 0'' 改变 符号，则 （x 0，f （x 0）） 为曲线的拐点 19、曲线的渐近线：*1）水平渐近线：如果函数y=f （x ）的定义域是无穷区间，且b ）x （f lim x =∞→，则y= b*2）垂直渐近线：如果函数y=f （x ）在x=x 0处间断，且∞=→）x （f lim 0x x ，则x=x 0*3）斜渐近线：如果函数y=f （x ）定义在无穷区间，且a x）x （f limx =∞→，b ax]-）x （[f lim x =∞→，则y= ax+b20、经济学与导数：*1）利润：L （Q ）= R （Q ）-C(Q) *2）边际利润：）Q （C -）Q （R Q)（L ''='*3）函数弹性：）x （f ）x （f xEx Ey '=*4）需求弹性（供给函数）：）p （Q ）Q(p p）p （0000'=η 注：⑴当|η| < 1时，为低弹性，此时需求变动幅度 小于 价格变动幅度。
极限等价代换公式
极限等价代换公式极限等价代换在数学中，极限等价代换是一种常用的计算极限的方法。
通过将一个函数或表达式等价转换为另一个函数或表达式，可以简化计算过程，得到更便于处理的形式。
本文将介绍极限等价代换的相关公式，并举例解释其应用。
1. 常用的极限等价代换公式以下是一些常用的极限等价代换公式：无穷大与无穷小的比值当函数 f(x) 和 g(x) 在某点 a 处极限存在且g(a) ≠ 0 时，有以下等价关系：lim(x→a) f(x) / g(x) = ±∞ ⇒ lim(x→a) g(x) / f(x) = 0取对数等价代换当函数 f(x) 和 g(x) 在某点 a 处极限存在且f(a) ≠ 1 时，有以下等价关系：lim(x→a) f(x) = l ⇒ lim(x→a) ln(f(x)) = ln(l)幂函数等价代换当函数 f(x) 和 g(x) 在某点 a 处极限存在且f(a) ≠ 1 时，有以下等价关系：lim(x→a) f(x) = l ⇒ lim(x→a) g(x) = l^g(a)正弦函数等价代换当函数 f(x) 和 g(x) 在某点 a 处极限存在且f(a) ≠ 1 时，有以下等价关系：lim(x→a) f(x) = l ⇒ lim(x→a) sin(f(x)) = sin(l) 2. 极限等价代换的例子下面通过一些示例来说明极限等价代换的应用：无穷大与无穷小的比值计算以下极限：lim(x→∞) x / (x^2 + 1)我们可以使用无穷大与无穷小的比值公式，将被除数和除数都除以 x：lim(x→∞) (x / x) / (x^2 / x)= lim(x→∞) 1 / (x / x^2)= lim(x→∞) 1 / (1/x)= lim(x→∞) x= ∞所以，这个极限等于正无穷。
取对数等价代换计算以下极限：lim(x→0) (1 + x)^(1/x)我们可以使用取对数等价代换公式，求出对数形式的等价极限：lim(x→0) (1 + x)^(1/x)= lim(x→0) ln((1 + x)^(1/x))= ln (lim(x→0) (1 + x)^(1/x))然后我们可以利用极限的性质，将指数形式的极限转换为函数极限的形式：= ln (lim(x→0) e^ln((1 + x)^(1/x)))= ln (lim(x→0) e^(ln(1 + x)/x))= ln (e^(lim(x→0) ln(1 + x)/x))= lim(x→0) ln(1 + x)/x= 1所以，这个极限等于 1。