全等三角形常用辅助线做法.doc

五种辅助线助你证全等

姚全刚

在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点.下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考.

一、截长补短

一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等.

例 1.如图1,在左ABC44, ZABC=60°, AD、CE分别平分匕BAC、ZACB.求证: AC=AE+CD.

分析：要证AC=AE+CD, AE、CD不在同一宜线上.故在AC上截取AF=AE,则只要证明CF=CD.

证明：在AC上截取AF=AE,连接OF.

•「AD、CE 分别平分ZBAC> ZACB, ZABC=60°

.•.Zl + Z2=60° , A Z4=Z6=Z1 + Z2=6O° .

显然，AAEO^AAFO, .,.Z5=Z4=60° , .L 匕7=180°— (Z4+Z5) =60°

在△DOC 与ZiFOC 中，Z6=Z7=60° , Z2=Z3, OC=OC

・・・ ADOC^AFOC, CF=CD

・・・AC=AF+CF=AE+CD.

截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：如图甲，AD//BG点/在线段48上，/AD片-CDE, ADC^AECB. 求证：CD-AD^Ba

思路分析：

1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。

2）解题思路：结论是依/辨此；可考虑用“截氏补短法”中的“截氏”，即在⑦上截取介仿，只要再证DF^DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。

解答过程：

证明：在心上截取彷此；如图乙

CF = CB

CE=CE

：. 4FC叵4BCE (SAS),

AZ2=Zlo

又•: AD//BC,

・・.匕/〃0•匕砌=180。，

:MDCE+ZCD片9甘,

...匕2+匕3=90° , Z1+Z4-900 ,

AZ3=Z4o

在△破与庞中，

WFDE = ZADE

< DE = DE

Z3 = Z4

.・.△仞性△疝（妁），

:. DR DA,

•: CAD切CF,

:.CD^AIABa

解题后的思考：遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长法或补短法：

截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

补短：将一条短线段延长，延氏部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

1）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三伯形中两线段之和大于第三边、之差小于第三边，故可想办法将其放在一个三角形中证明。

2）在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证明不出来，可连接两点或延长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

二、中线倍长

三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路.

例3.已知三角形的两边长分别为7和5,那么第三边上中线长x的取值范围是（）.

分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个巳知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断.

解：如图2所示，设AB=7, AC=5, BC±中线AD=x. 延长AD至E,使DE = AD=x.

LAD是BC边上的中线，・.・BD=CD

ZADC=ZEDB （对顶角）AAADC^AEDB

・.・ BE=AC=5

V ft A ABE AB-BE

即7-5V2xV7+5 .・.1V X V6

例4：已知在AABC中，AD是BC边上的中线，E是AD ±一点，且BE=AC,延长BE交AC于F,求证：AF=EF

提示：倍长AD至G,连接BG,证明△ BDG^ ACDA 三角形BEG是等腰三角形

例5：已知：如图，在\ABC中，AB^AC, D、E在BC上，且DE=EC,过D作OF//B4 交AE 于点F, DF=AC.

求证：AE平分ABAC

提示：

方法1:倍长AE至G,连结DG

方法2：倍长FE至H,连结CH

例6：已知CD=AB, ZBDA=ZBAD, AE 是Z\ABD 的中线，求证：

ZC=ZBAE

提示：倍长AE至F,连结DF 证明△ ABE丝AFDE (SAS) 进

而证明A ADF^ A ADC (SAS)

5、如图5, AD为的中线，求证：AB+AC>2ADo

队如图6所不，AD^AABC&O中线，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF 求证：AC=BFo

图6

你热爱生命吗？那么别浪费时间，因为时间是组成生命的材料 --富兰克林

5、分析：要证AB+AO2AD,由图想到：AB+BD>AD, AC+CD>AD,所以有

AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD,左边比要证结论多BD+CD,故不能直接证出此题，而由2AD想到要构造2AD,即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去

B —rT/'c

、

I /

\ ; / \ ■ / \，/

、s

图5-2

证明：延长AD 至E,使DE=AD,连接BE, CE

LAD 为^ABC 的中线（已知）

・.・BD=CD （中线定义）

在D 和中

'BD = CD （己证）

< /I = 22（对顶角相等）

AD = ED （辅助线作法）

AAACD^AEBD （SAS ）

「.BE 二CA （全等三角形对应边相等）

・.•在AABE 中有：AB+BE>AE （三角形两边之和大于第三边）

AAB+AC>2ADo

6、分析：欲证AC 二BF,只需证AC 、BF 所在两个三角形全等，显然图中没有含 有AC 、BF 的两个全等三角形，而根据题目条件去构造两个含有AC 、BF 的全等 三角形也并不容易。这时我们想到在同一个三角形中等角对等边，能够把这两 条线段转移到同一个三角形中，只要说明转移到同一个三角形以后的这两条线 段，所对的角相等即可。

思路一、以三角形ADC 为基础三角形，转移线段AC,使AC 、BF 在三角形 BFH

中

方法一：延长AD 到H,使得DH 二AD,连结BH,证明ZiADC 和ZiHDB 全等，得