相似多边形与相似三角形(生)
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4．相似比：四边形 ABCD ∽四边形 A' B'C' D' ，如果对应边 AB k ，那么四边形 ABCD A' B'
和四边形 A' B'C' D' 的相似比为 k ，四边形 A' B'C' D' 和四边形 ABCD 的相似比为 1 。 k
5．相似多边形的性质： (1)相似多边形对应角相等，对应边成比例． (2)相似多边形周长之比等于相似比. (3)面积之比等于相似比的平方．
①平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 ②平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成 比例。
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【例题 1】 证明：两角分别相等的两个三角形相似 【例题 2】 证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【例题 3】 证明：三边成比例的两个三角形相似 【例题 4】证明：平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 成比例”中两个三角形相似。
三条边
两条边
一条边
全等
对应相等
对应相等+夹角相等 对应相等+两角相等
相似
对应成比例
对应成比例+夹角相等
两角相等
3. 两个三角形相似的条件： ①两角分别相等的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③三边成比例的两个三角形相似。 4. 根据以上三角形相似的条件，我们可以得到下列“A 字形”和“8 字形”的图形相似。
BC EF DF D. AB DE AD BE
BC EF BE CF
【例题 6】若两个五边形相似，请作出草图，并写出对应角相等和对应边成比例。
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1. 根据相似多边形的定义，三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2. 判定两个多边形相似，①对应角相等；②对应边成比例；必须同时满足。对于三角形来 说就没有这么多要求。我们可以类比三角形全等来对照记忆和理wenku.baidu.com：
4. 如图．利用标杆 BE 测量建筑物的高度．已知标杆 BE 高 1.2m，测得 AB=1.6m．BC=12.4m．则 建筑物 CD 的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m
C．12.4m
D．14m
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1．相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形。 2．相似多边形的表示：以四边形为例，四边形 ABCD 和四边形 A' B'C' D' 相似，记为 “四边形 ABCD ∽四边形 A' B'C' D' 相似”。“∽”读作相似于。 注意：①形状相同，大小不同叫相似；②全等也是相似；③用符号表示相似时，边角要对应。 3．相似多边形的定义具有“性质”+“判定”的双重属性。判定两个多边形相似要满足两个 条件：①角对应相等；②边对应成比例。这两个条件缺一不可。
A. 3
B． 4
C．5
D．6
2. 如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF 与 AC 交于点 G，则是相似三角形共有（ ）
A．3 对
B．5 对
C．6 对
D．8 对
3.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作 PQ∥AB
交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为（ ）
【例题 1】 下列说法正确的个数是（ ）。
①所有直角三角形都相似；②所有等腰三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；
④所有正三角形都相似；⑤所有平行四边形都相似；⑥所有菱形都相似；⑦所有矩形都相似；
⑧所有的正方形都相似。
A. 3
B． 4
C．5
D．6
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【例题 2】 判断下列说法正误： ①各对应角都相等的两个多边形不一定相似。 ②两个多边形相似，则对应边成比例。 ③内角都是直角的两个四边形相似。 ④四个角都是直角，对应边成比例的两个四边形相似。 【例题 3】矩形的两边长分别为 x 和 6（ x 6 ），将这个矩形分成三个全等的小矩形，若每 一个小矩形都和原矩形相似，则 x 的值为（ ）。
A.
B．
C．
D．
4. 如图，在 ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点，且 AD AB 2 ， AD AB ，过点 D 作 DE AD ， DE 交 AC 于点 E ，若 DE 1 ，则 ABC 的面积为（ ）
B． 4 2
B． 4
C． 2 5
D． 8
5. 如图．利用标杆 BE 测量建筑物的高度．已知标杆 BE 高 1.2m，测得 AB=1.6m．BC=12.4m．则
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练习
1. 下列说法正确的个数是（ ）
①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形
相似； ②两角对应相等，两三角形相似； ③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
④三边对应成比例，两三角形相似； ⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
两直角三角形相似； ⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
A． ＝ C． AM ＝
CD
B． ＝ D． ＝
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3. 如图，在 ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点，且 AD AB 2 ， AD AB ，过点 D 作 DE AD ， DE 交 AC 于点 E ，若 DE 1 ，则 ABC 的面积为（ ）
A． 4 2
B． 4
C． 2 5
D． 8
相似多边形与相似三角形
练习
1. 如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的点，DE∥BC，若 AD＝2，AB＝3，EC＝4， 则 AC 等于（ ）
A．5 C．7
B．6 D．8
2. 如图，在▱ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EM∥AD，交 AB 于点 M，EN∥AB，交 AD 于 点 N，则下列式子一定正确的是（ ）
【例题 4】如图，平常我们所说的几开本，是说由原纸张多次对开得到的。矩形 ABCD 沿 EF
对开后，再把矩形 EFCD 沿 MN 对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么 AB
。
AD
【例题 5】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 下列结论正确的是（ ） A. 四边形四边形 ABED ∽四边形 BCFE B. 四边形四边形 ABED ∽四边形 ACFD C. AB DE AC
和四边形 A' B'C' D' 的相似比为 k ，四边形 A' B'C' D' 和四边形 ABCD 的相似比为 1 。 k
5．相似多边形的性质： (1)相似多边形对应角相等，对应边成比例． (2)相似多边形周长之比等于相似比. (3)面积之比等于相似比的平方．
①平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 ②平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成 比例。
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【例题 1】 证明：两角分别相等的两个三角形相似 【例题 2】 证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【例题 3】 证明：三边成比例的两个三角形相似 【例题 4】证明：平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 成比例”中两个三角形相似。
三条边
两条边
一条边
全等
对应相等
对应相等+夹角相等 对应相等+两角相等
相似
对应成比例
对应成比例+夹角相等
两角相等
3. 两个三角形相似的条件： ①两角分别相等的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③三边成比例的两个三角形相似。 4. 根据以上三角形相似的条件，我们可以得到下列“A 字形”和“8 字形”的图形相似。
BC EF DF D. AB DE AD BE
BC EF BE CF
【例题 6】若两个五边形相似，请作出草图，并写出对应角相等和对应边成比例。
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1. 根据相似多边形的定义，三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2. 判定两个多边形相似，①对应角相等；②对应边成比例；必须同时满足。对于三角形来 说就没有这么多要求。我们可以类比三角形全等来对照记忆和理wenku.baidu.com：
4. 如图．利用标杆 BE 测量建筑物的高度．已知标杆 BE 高 1.2m，测得 AB=1.6m．BC=12.4m．则 建筑物 CD 的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m
C．12.4m
D．14m
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1．相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形。 2．相似多边形的表示：以四边形为例，四边形 ABCD 和四边形 A' B'C' D' 相似，记为 “四边形 ABCD ∽四边形 A' B'C' D' 相似”。“∽”读作相似于。 注意：①形状相同，大小不同叫相似；②全等也是相似；③用符号表示相似时，边角要对应。 3．相似多边形的定义具有“性质”+“判定”的双重属性。判定两个多边形相似要满足两个 条件：①角对应相等；②边对应成比例。这两个条件缺一不可。
A. 3
B． 4
C．5
D．6
2. 如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF 与 AC 交于点 G，则是相似三角形共有（ ）
A．3 对
B．5 对
C．6 对
D．8 对
3.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作 PQ∥AB
交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为（ ）
【例题 1】 下列说法正确的个数是（ ）。
①所有直角三角形都相似；②所有等腰三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；
④所有正三角形都相似；⑤所有平行四边形都相似；⑥所有菱形都相似；⑦所有矩形都相似；
⑧所有的正方形都相似。
A. 3
B． 4
C．5
D．6
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【例题 2】 判断下列说法正误： ①各对应角都相等的两个多边形不一定相似。 ②两个多边形相似，则对应边成比例。 ③内角都是直角的两个四边形相似。 ④四个角都是直角，对应边成比例的两个四边形相似。 【例题 3】矩形的两边长分别为 x 和 6（ x 6 ），将这个矩形分成三个全等的小矩形，若每 一个小矩形都和原矩形相似，则 x 的值为（ ）。
A.
B．
C．
D．
4. 如图，在 ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点，且 AD AB 2 ， AD AB ，过点 D 作 DE AD ， DE 交 AC 于点 E ，若 DE 1 ，则 ABC 的面积为（ ）
B． 4 2
B． 4
C． 2 5
D． 8
5. 如图．利用标杆 BE 测量建筑物的高度．已知标杆 BE 高 1.2m，测得 AB=1.6m．BC=12.4m．则
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练习
1. 下列说法正确的个数是（ ）
①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形
相似； ②两角对应相等，两三角形相似； ③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
④三边对应成比例，两三角形相似； ⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
两直角三角形相似； ⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
A． ＝ C． AM ＝
CD
B． ＝ D． ＝
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3. 如图，在 ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点，且 AD AB 2 ， AD AB ，过点 D 作 DE AD ， DE 交 AC 于点 E ，若 DE 1 ，则 ABC 的面积为（ ）
A． 4 2
B． 4
C． 2 5
D． 8
相似多边形与相似三角形
练习
1. 如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的点，DE∥BC，若 AD＝2，AB＝3，EC＝4， 则 AC 等于（ ）
A．5 C．7
B．6 D．8
2. 如图，在▱ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EM∥AD，交 AB 于点 M，EN∥AB，交 AD 于 点 N，则下列式子一定正确的是（ ）
【例题 4】如图，平常我们所说的几开本，是说由原纸张多次对开得到的。矩形 ABCD 沿 EF
对开后，再把矩形 EFCD 沿 MN 对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么 AB
。
AD
【例题 5】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 下列结论正确的是（ ） A. 四边形四边形 ABED ∽四边形 BCFE B. 四边形四边形 ABED ∽四边形 ACFD C. AB DE AC