相似多边形与相似三角形(生)
第8讲 相似多边形与相似三角形(备课,讲义)全套
第八讲 相似多边形与相似三角形一、新知探索与考点剖析考点一：相似多边形例1．下面各组中的两个图形，形状相同的图形是（ ）例2．（1）以下五个命题：①所有的正方形都相似； ②所有的矩形都相似；③所有的菱形都相似； ④所有的三角形都相似； ⑤所有的等腰直角三角形都相似； ⑥所有的正五边形都相似．其中正确的命题有______________________．（2）已知四边形ABCD 与四边形A ′B ′C ′D ′相似,相似比为4:3，①若∠A ′=65°,则∠A=___________； ②A ′B ′=6 cm,则 AB=___________；③若四边形ABCD 周长为64cm,则四边形A ′D ′、B ′C ′的周长为______________．例3．E 、F 分别是矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD ∽矩形EABF ，（1） 求长方形ABCD 长AD 与宽CD 的比； （2） 当AB=1时，求矩形ABCD 的面积. ◎变式提升训练◎1. 如图，已知四边形ABCD ∽A ’B ’C ’D ’, 则x= ，y= ， = ．考点二：相似三角形例4. 如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.◎变式提升训练◎1． 如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形.当ΔAPB ∽ΔACP 时，则∠APB=_________.2.如图，已知点D 在AC 上，且△ABD ∽△ACB ，AB=2，AD=1，求CD 的长.3.如图，在矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，A B ED E F △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．C第1题第2题第3题二、易错点、考点强化提升例6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，M 为AB 上一点，MN ∥BC 交CD 于N.若AD=2，BC=8，M 点在何处时，MN 所分梯形AMND 与梯形MBCN 相似？◎变式提升训练◎如图，在△ABC 中，已知∠ACB=900，过C 作1CD AB ⊥于1D ，过点1D 作12D D BC ⊥于2D 过2D 作23D D AB ⊥于3D ，这样继续下去.（1）判断图中的这些三角形的形状都相同吗？（2）若∠B=30°，AC=1，求线段1n n D D +(n 为正整数)的长度.◎素质能力测试◎一、选择题：1．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=a ，BC=b ，EF ∥AD 交AB 、CD 于E 、F ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则EF 等于（ ）．A ．abB ．2b a +C ．222b a + D ．不能确定2. 如图,AB 是斜靠在墙上的长梯,梯脚B 距墙脚1.6m,梯上点D 距墙1.4m, BD 长0.55m,且△ADE ∽△ABC,则梯子的长AB=( ) A.3.85m B.4.00m C.4.40m D.4.50m3. 如图,∠ACB=∠ADC=90°,BC=a,AC=b,AB=c,要使⊿ABC ∽⊿CAD, 只要CD 等于( )A.c b 2B.a b 2C.c abD.ca 213A DC M N B4. 一个钢筋三角架三 长分别为20cm,50cm,60cm,现要再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋,要求以其中的一根为一边,从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边,则不同的截法有( )A.一种B.两种C.三种D.四种二、填空题1．两个相似多边形的相似比是81，则这两个多边形的对应对角线的比是________．2．在菱形ABCD 和菱形A ′B ′C ′D ′中，∠A =∠A ′=60°，若AB ∶A ′B ′=1∶3， 则BD ∶A ′C ′=____________．三、解答题1．在一矩形ABCD 的花坛与花坛四周修筑小路，使得相对两条小路的宽均相等.如果花坛AB=20米，AD=30米，试问小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使使小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′与矩形ABCD 相似？请说明理由.2．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 是AB 上的一点，EF ∥BC ，并且EF 将梯形ABCD 分成的两个梯形AEFD 、EBCF 相似，若AD=4，BC=9，求AE ∶EB ．——相似多边形与相似三角形 姓名：______一、选择题：1．下列图形中一定相似的是（ ）A ．有一个角相等的两个平行四边形B ．有一个角相等的两个等腰梯形C ．有一个角相等的两个菱形D ．有一组邻边对应成比例的两平行四边形 2．下列结论不正确的是（ ）． A ．所有的矩形都相似 B ．所有的正方形都相似C ．所有的等腰直角三角形都相似D ．所有的正八边形都相似3．五边形ABCDE ∽五边形A ′B ′C ′D ′E ′，若对应边AB 与A ′B ′的长分别为50厘米 和40厘米，则五边形A ′B ′C ′D ′E ′与五边形ABCDE 的相似比是（ ）． A ．5∶4 B．4∶5 C ．5∶25 D ．25∶54．若△ABC ∽△DEF,它们的周长分别为6 cm 和8 cm ，那么下式中一定成立的是（ ）． A ．3AB=4DE B ．4AC=3DEC ．3∠A=4∠D D ．4（AB+BC+AC ）=3（DE+EF+DF ）5．某学生利用树影测松树的高度，他在某一时刻测得1．5米长的竹竿影长0．9米，但当他马上测松树高度时，因松树靠近一幢高楼，影子不是全部在地面上，有一部分影子落在墙上，他测得留在地面部分的影长是2．4米，留在墙上部分的影高是1.5米，则松树的高度为_____米．二、解答题1．已知：△ABC 三边的比为1∶2∶3，△A ′B ′C ′∽△ABC ，且△A ′B ′C ′的最大边长为15 cm ，求△A ′B ′C ′的周长．2.已知ABC A B C '''△∽△,△ABC 2，A B C '''△的两边长分别为1A B C '''△的第三边长.3. 如图，分别取等边三角形ABC 各边的中点D 、E 、F ，得△DEF ．若△ABC 的边长为a ． （1）△DEF 与△ABC 相似吗？如果相似，相似比是多少？（2）分别求出这两个三角形的面积．（3）这两个三角形的面积比与边长之比有什么关系吗？。
相似图形的知识点总结(16篇)
相似图形的知识点总结（16篇）篇1：相似图形的知识点总结相似图形的知识点总结知识点1.概念把形状相同的图形叫做相似图形。
(即对应角相等、对应边的比也相等的图形)解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到.(2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同.(3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关.知识点2.比例线段对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.知识点3.相似多边形的性质相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系.(2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性.知识点4.相似三角形的概念对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形.解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种;(2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形;(3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同;(4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比.知识点5.相似三角的判定方法(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似;(2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似.(3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.(4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.(5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.(6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似.知识点6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边的比相等;(2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比;(3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.(4)射影定理篇2：相似图形相似图形教学交流课教案:第四章相似图形教学目标：1、知道线段比的概念。
九年级数学相似的知识点
九年级数学相似的知识点
1. 相似三角形：了解相似三角形的定义和性质，掌握判定两个三角形是否相似的几何条件，了解相似三角形的比例关系以及应用。
2. 相似多边形：了解相似多边形的定义和性质，掌握判断两个多边形是否相似的几何条件，了解相似多边形的比例关系以及应用。
3. 相似比例：学习相似比例的定义，掌握相似比例的计算和应用，了解相似比例与比例的关系。
4. 相似形状的尺寸关系：通过相似性的特点和比例关系，掌握计算相似形状的尺寸关系，实际应用中解决实际问题。
5. 相似图形的面积和体积：了解相似图形的面积和体积之间的关系，掌握计算相似图形的面积和体积的方法。
6. 相似三角形的三线合一定理：了解相似三角形的三线合一定理，掌握计算相似三角形的高、中线、角平分线以及重心、垂心和外心的方法。
7. 三角形的判定：了解判定三角形是否相似的几何条件，掌握相似三角形中角的性质和边的关系，应用相似三角形解决实际问题。
8. 相似函数的性质：了解相似函数的定义和性质，掌握相似函数的图像特点和变化规律，应用相似函数解决实际问题。
9. 相似变换：了解平移、旋转、翻折和缩放等相似变换的性质，掌握相似变换的基本概念、性质和运算法则，应用相似变换解决实际问题。
10. 相似图形中的角度关系：通过相似图形的角度关系，学习解决相似图形中的角度问题。
以上是九年级数学中与相似相关的知识点，希望对你有帮助！。
《相似三角形》相似图形PPT课件
定义
两个多面体，如果它们的对应角相等，对应边长 成比例，则称这两个多面体相似。
1. 对应角相等
通过测量或计算验证两个多面体的对应角是否相 等。
3
2. 对应边长成比例
通过测量或计算验证两个多面体的对应边长是否 成比例。
性质总结
性质一
相似多面体的对应面面 积之比等于相似比的平
方。
性质二
相似多面体的对应体积 之比等于相似比的立方
案例分析
测量河流宽度
通过构造相似三角形，可以测量 河流的宽度，为水利工程和桥梁
建设提供重要数据支持。
估算森林面积
利用航空照片和相似三角形的原理 ，可以对森林面积进行估算，为林 业资源管理和生态保护提供依据。
分析交通事故原因
在交通事故分析中，相似三角形可 以帮助分析事故原因，确定责任方 ，为交通事故处理提供科学依据。
。
性质三
相似多面体的对应棱的 中线之比等于相似比。
性质四
相似多面体的对应高的 比、对应中线的比和对 应角平分线的比都等于
相似比。
应用前景展望
建筑设计
在建筑设计中，利用相似多面体 的性质可以方便地按比例缩放建 筑模型，以适应不同规模和需求
的设计项目。
艺术创作
在机械、航空等工程领域，相似 多面体的概念可用于按比例放大 或缩小零部件和装置，以简化设
。
相似比与对应角关系
01
02
03
相似比
两个相似三角形的对应边 之间的比值称为相似比。
相等性
相似三角形的对应角相等 。
互补性
如果两个角在一个三角形 中是互补的，那么它们在 另一个相似三角形中也是 互补的。
性质总结
对应边成比例
相似三角形与相似多边形
相似图形【知识要点】1．形状相同的图形是相似形.2．相似多边形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形称为相似多边形，对应边的比称为相似比。
3．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形称为相似三角形，相似三角形的对应中线，对应高线，对应角平分线之比等于相似比。
4．相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方。
【典型例题】例1．观察下面的两组图形，（1）、（2）、（3）与（a）~（g）中的图形有没有相似的？例2．已知△ABC∽△A′B′C′,若△ABC三边长分别为3cm、4cm、5cm,且△A′B′C′的最大边长为15cm，试求△A′B′C′的面积。
例3．在一张比例尺是1：5000的地图上,一块多边形地区的周长是72㎝,面积是320_㎝2，那么这地区的实际周长是__________，实际面积__________。
例4．两个相似三角形的一对对应边长分别为35cm 和14cm ，它们的周长相差60cm ，求这两个三角形的周长。
例5． 如图，△ABC 与△ADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，且AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中两个直角三角形能够相似，请求出AD 之长。
例6． 如图所示，四边形ABCD 是一个矩形，BD 是一条对角线，P 是BD 上的一点，过点P 作PE ⊥DC 交DC 于点E ，过点P 作PF ⊥DA 交DA 于点F 。
（1）试证明四边形DFPE 与矩形ABCD 相似。
（2）若AB=8，BC=6，DP=2，则EP 、DE 之长是多少？例7．一个钢筋三角架长分别是20cm 、50cm 、60cm ，现要做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两边，问有几种不同的截法？BA BC【经典练习】1．△ABC 的三边长分别为2、10、2，△A 1B 1C 1的两边分别为2和1，如果△ABC ∽△A 1B 1C 1，那么△A 1B 1C 1的第三条边的长度等于（ ）A ．25B ．2C ．5D ．22 2．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，如果∠A=55°，∠B=100°，则∠C ′等于（ ） A ．55° B ．100° C ．25° D ．30° 3．如果△ABC ∽△DEF ，且AB=2，AC=4，DE=23，则DF 等于（ ） A ．3 B ．4.5 C ．6 D ．以上都不对 4．下列说正确的是（ ）A ．不全等的三角形一定不是相似三角形；B ．不相似的三角形一定不是全等三角形C ．相似三角形一定不是全等三角形；D ．全等三角形不一定是相似三角形 5．若等腰△ABC ∽等腰△A 1B 1C 1，∠A=50°，则∠B ′的度数（ ） A ．50° B ．80° C ．75° D ．50°或80°或75°6．两个相似三角形的相似比为2：3，它们的面积差为230cm ,那么它们的面积之和为（ ）A ．274cm B. 276cm C. 278cm D. 280cm7. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）A ．底角为20°B ．邻边之比为1：2的两个平行四边形C ．各有一个角是20°的两个平行四边形D ．有两组边对应成比例的两个矩形 8.下列各图形中，一定相似的是（ ）A.两个平行四边形B.两个直角三角行C.底角相等的两个等腰梯形D.有一个角为60度的菱形9．若把△ABC 各边分别缩小为原来的3倍，得到△A 1B 1C 1，下面结论正确的是（ ） A ．△ABC 与△A 1B 1C 1不一定相似； B ．△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为1：3； C ．△ABC 与△A 1B 1C 1各对应角不相等 D ．△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比为1：3 10．有一个内角等于120度的两个等腰三角形（ ）A.相似B.全等C.既不相似也不全等D.无法确定11. △ABC 的各边之比为2:5:6，与其相似的另一个△A 1B 1C 1的最大边为18cm ，那么它的最小边长为 。
九年级相似知识点归纳
九年级相似知识点归纳一、数学方面的相似知识点归纳1. 相似三角形相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。
相似三角形的性质包括：对应角相等，对应边成比例。
利用这些性质，我们可以求解各种与相似三角形相关的问题。
2. 相似比与比例相似比是指相似图形（包括三角形和多边形）的对应边的比值。
比例是指两个数之间的相对关系。
在解题中，我们需要用到相似比和比例来确定图形的相似性质以及求解未知数。
3. 相似多边形相似多边形是指具有相同形状但不同大小的多边形。
相似多边形的性质与相似三角形类似，对应角相等，对应边成比例。
我们可以利用相似多边形的性质来求解各类相关问题。
二、科学方面的相似知识点归纳1. 生物相似性在生物学中，相似性是指不同物种之间在形态特征、生理功能等方面存在相似之处。
相似性可以用来推断物种之间的亲缘关系，进行分类和进化研究。
2. 物理相似性在物理学中，相似性是指两个事物在某些性质上的相似程度。
物理相似性的研究可以帮助我们更好地理解和预测不同物体或系统的行为，比如利用相似性原理可以在实验室中进行模型实验，进而推广到真实情况。
3. 化学相似性在化学领域，相似性是指化合物或元素之间具有相似的化学性质或结构特征。
化学相似性可以用来预测物质的性质、反应行为，以及设计新的化合物或材料。
三、语文方面的相似知识点归纳1. 同义词与近义词同义词是指意思相同或相近的词语，而近义词指意思相近但不完全相同的词语。
在写作中，我们可以利用同义词和近义词来丰富文章的表达方式，避免重复使用相同的词汇。
2. 反义词与对义词反义词是指意思相反的词语，而对义词指相对应关系的词语。
在阅读理解和写作中，我们需要对反义词和对义词进行准确理解，以便正确地领会作者的意图和准确表达自己的思想。
3. 成语与俗语成语是特定社会和历史背景下形成的固定词组，具有特定的意义。
俗语是反映民间传统和智慧的短小词句。
在语文学习中，我们需要理解和运用成语和俗语，以提升语言表达的准确性和韵律感。
专题37：相似三角形与相似多边形
专题37：相似三角形与相似多边形一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1、相似三角形的性质和判定（1）相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等，对应边成比例．相似比=对应边的比=对应高的比=对应中线的比=对应角平分线的比=周长比相似三角形面积的比等于相似比的平方．（1）相似三角形的判定：①两角对应相等的两个三角形相似．②两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．③三边对应成比例的两个三角形相似．④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（2）直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形和原三角形相似->射影定理注意：．在运用三角形相似的性质和判定时，要找对对应角、对应边，相等的角所对的边是对应边．2.相似多边及位似图形(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．(2)相似多边形的性质：（1）相似多边形的周长的比等于相似比；（2）相似多边形的对应对角线的比等于相似比；（3）相似多边形的面积的比等于相似比的平方；（4）相似多边形的对应对角线相似，相似比等于相似多边形的相似比．(3)位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形．而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比．（二）：【课前练习】1.下列说法正确的是（）A．所有的矩形都是相似形 B．所有的正方形都是相似形C．对应角相等的两个多边形相似 D．对应边成比例的两个多边形相似2.用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在（）A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置3.如图是小明做的一个风筝的支架，AB=40cm，BP=60cm，△ABC∽△APQ的相似比是（）A．3：2 B．2：3 C．2：5 D．3：54.如图，正方形的网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于( )A.175° B．180° C．210 ° D．225°5.如图，Rt△ABC中，有三个内接正方形，DF=9cm，GK=6cm，求第三个正方形的边长PQ．二：【经典考题剖析】5.小华同学自制了一个简易的幻灯机，其工作情况如图所示，幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是30cm，幻灯片到屏幕的距离是30㎝，幻灯片上小树的高度是10cm，则屏幕上小树的高度是（）A．50cm B．500cm C．60cm D、600cm（第8题）A BC DE 三：【课后训练】6. （2011浙江省）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则S △BCE ：S △BDE 等于（ ）A . 2：5B .14:25C .16:25D . 4:217.如图，在两个直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC= 6 ，AD=2，那么当AB 的长 等于 时，使得两个直角三角形相似．8. （2011浙江省嘉兴）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则四边形BCED 的面积为（ ） （A ）32（B ）33 （C ）34 （D ）369. （2011山东泰安，15 ，3分）如图，点F 是□ABCD 的边CD 上一点，直线BF 交AD 的延长线于点E ，则下列结论错误．．的是 A.ED EA =DF AB B.DE BC =EF FB C. BC DE =BF BE D.BF BE =BC AE10（2010湖南衡阳）如图，已知零件的外径为25mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等，OC=OD ）量零件的内孔直径AB ．若OC ∶OA=1∶2，量得CD ＝10mm ，则零件的厚度x=mm ．11（2010 广东珠海）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ， 连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B.(1) 求证：△ADF ∽△DEC(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.四：【课后小结】。
相似三角形知识点归纳(全)
《相似三角形》知识点归纳知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质（1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：adc b =． ②()()()a bc d a c d c b d b ad bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即512AC BC AB AC == 简记为：51-长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b n mf e d c b a ， 那么ban f d b m e c a =++++++++ ． 知识点3 比例线段的有关定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE =====或或或或等. 特别在三角形中：由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或 知识点4 相似三角形的概念（1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形．（2）三角形相似的判定方法1、平行法：（图上）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似.2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． AA3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．SAS4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似．SSS5、判定定理4：直角三角形中，“HL ” 全等与相似的比较：三角形全等三角形相似两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ）两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例“HL ”FE D CB A E BD（3）射影定理：如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则 ∽ ＝＝＞ AD 2=BD ·DC ，∽ ＝＝＞ AB 2=BD ·BC ，∽ ＝＝＞ AC 2=CD ·BC .知识点5 相似三角形的性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比．(3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．知识点6 相似三角形的几种基本图形：（1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。
几何图形的相似
几何图形的相似几何图形的相似性是几何学中的一个重要概念。
当两个图形的形状相似，但大小不同的时候，我们可以说它们是相似的。
在这篇文章中，我们将探讨几何图形的相似性及其在实际生活中的应用。
一、相似三角形相似三角形是几何学中最常见的一种相似图形。
当两个三角形的对应角度相等，对应边的比例也相等的时候，我们可以说它们是相似的。
相似三角形的比例关系可以用以下公式表示：AB/DE = AC/DF = BC/EF = k其中，k为两个相似三角形的比例因子。
相似三角形的应用非常广泛。
例如在地图制图中，由于地球是一个近似于球体的物体，所以地图上的距离和角度会出现变形。
为了保持地理位置的准确性，我们需要用到相似三角形的原理来进行地图的缩放和校正。
二、相似多边形除了三角形，其他多边形也可以是相似的。
当两个多边形的对应角度相等，对应边的比例也相等的时候，我们可以说它们是相似的。
相似多边形的比例关系同样可以用上述相似三角形的公式表示。
相似多边形的相似性可以应用在很多实际问题中。
例如在建筑设计中，我们需要按照比例缩放建筑的模型以便于展示和评估。
相似多边形的原理可以帮助我们准确地进行缩放，并保持建筑的整体比例和形状。
三、相似图形的比例在相似图形中，对应边的比例是一个非常重要的概念。
对于相似三角形或多边形，我们可以通过对应边的比例来求解未知边的长度。
例如，在一个相似三角形中，如果我们知道两个对应边的比例和其中一个对应边的长度，我们就可以通过比例关系来计算其他对应边的长度。
这个原理在测量和定位中有很多应用，例如测量不可达区域的长度、计算山脉的高度等等。
四、相似图形的面积比除了边长的比例，相似图形的面积比也是一个重要的概念。
当两个图形相似的时候，它们的面积比等于边长比的平方。
例如，在一个相似三角形中，如果两个三角形的边长比为k，那么它们的面积比就为k²。
这个原理可以应用在计算面积缩放、制作模型等方面。
总结几何图形的相似性是几何学中的重要概念，它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。
相似多边形的性质
相似多边形的性质相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。
在几何学中，相似多边形具有一些独特的性质和特征。
本文将探讨相似多边形的性质，并展示一些相关的数学应用和实际问题。
1. 相似多边形的定义相似多边形是指具有相同形状但尺寸不同的多边形。
两个多边形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边的比例相等。
由此定义可知，如果两个多边形相似，它们的边长比例是相等的。
2. 相似多边形的比例关系对于相似多边形，存在着一种特殊的比例关系。
设两个相似多边形的对应边长分别为a和b，对应的面积分别为A和B。
根据相似多边形的性质，可以得出以下结论：- 边长比例：a:b = A:B- 面积比例：A:B = (a^2):(b^2)这些比例关系对于解决与相似多边形有关的数学问题非常重要。
3. 相似多边形的角度关系对于相似多边形，其对应角度是相等的。
这意味着，如果我们知道一个相似多边形的对应角度，就可以确定其他相似多边形的对应角度。
这对于计算多边形的角度和解决三角学问题非常有用。
4. 相似多边形的周长和面积由于相似多边形的边长比例相等，所以它们的周长比例也相等。
假设两个相似多边形的边长比例为m:n，那么它们的周长比例也为m:n。
同样地，由于相似多边形的面积比例为(a^2):(b^2)，所以它们的面积比例也为(a^2):(b^2)。
5. 相似三角形的应用相似多边形的性质在实际问题中有着广泛的应用。
其中最常见的应用是解决相似三角形问题。
通过利用相似三角形的角度和边长关系，我们可以确定无法直接测量的距离和高度。
例如，在地理测量中，我们可以利用相似三角形的性质来测算高山的高度或者海洋的深度。
6. 相似多边形与比例的关系相似多边形的性质与比例密切相关。
相似多边形利用比例关系来描述形状的相似性，从而在数学和实际问题中提供了有用的工具和方法。
比例的概念在解决与相似多边形有关的计算问题中起着关键作用。
综上所述，相似多边形具有一些独特的性质和特征。
相似三角形重点复习
第二十七章相似三角形【本讲教育信息】一.教学内容：相似三角形1.比例线段2. 相似三角形3. 相似多边形4. 位似二.知识要点：相似形是指两个在形状、大小方面具有某种特殊关系的图形，它以全等三角形和相似变换为基础，是全等三角形在边上的推广，是相似变换的延续和深化．相似多边形、图形的位似则是相似三角形的推广和应用．它是空间与图形领域中的重要内容，对前后各部分知识起到纽带的作用．本章内容重视对知识的探究和运用，重视与实际问题的联系及运用相似知识解决实际问题能力的培养．1.比例线段比例的基本性质、比例线段、黄金分割．研究相似三角形离不开研究比例线段，比例线段又是以比例的基本性质为依托，因此课本首先介绍比例的基本性质，利用比例的基本性质进行一些简单的变形．这里主要要求理解并初步掌握两种基本方法（或技能）：一是利用比例的基本性质进行变形或求值；二是用“设比值”的方法进行变形或求值．（1）比例的基本性质2.相似三角形从相似变换引入相似三角形，反映了知识间的一种联系，同时也揭示相似三角形所要研究的本质就是两个三角形边角之间的关系．通过与全等三角形的比较，突出全等与相似的相互关系：既有相同之处，更有不同之处．本节的学习应突出一种对应关系，即找两个相似三角形的对应边和对应角，关键是先找到其对应顶点．（一）三角形相似的判定：（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.基本图形：推理格式：在△ABC中，∵ DE//BC，∴△ADE∽△ABC.（2）如果两个三角形三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.基本图形：（4）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
基本图形：答案：1：3：5分析：∵DE//FG//BC，∴△ADE∽△AFG∽△ABC 又∵AD=DF=FB∴ AD：AF：AB=1：2：3.点评：要抓住AD=DF=FB，DE//FG//BC的条件，利用基本图形进行三角形相似的判定，然后利用性质解题。
九年级相似三角形知识点总结及例题讲解
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似1.图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2.把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性。
注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似形:两个图形相似,其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的.⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例一一全等形.3.相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形,那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：X两个相似的女边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是1.知识点二:比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、b的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是8 :b=m：na _ m（或厂T）2、比的前项，比的后项:两条线段的比a： b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
3、比例：两个比相等的式子叫做比例,如厂7Λ _ C4、比例外项:在比例厂7 （或a：b=c： d）中a、d叫做比例外项。
« _ C5、比例内项:在比例厂7（或8：b=C： d）中b、C叫做比例内项。
α _ c6、第四比例项：在比例丁万（或a： b二c：d）中，d叫a、b、C的第四比例项。
d _b7、比例中项:如果比例中两个比例内项相等，即比例为厂万（或a：b=b:C时，我们把b叫做a和d的比例中项。
8、比例线段：对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即-=-（或a： b=c： d）,那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。
（注总:在求线段比时，线段单位b d 要统一,单位不统一应先化成同一单位）（2）比例性质1.基本性质：— = — <=> Cld = beb d（两外项的积等于两内项积）a Cb dFd GC （把比的前项、后项交换）2.反比性质:3•更比性质（交换比例的内项或外项）：-=^（交换内项）C a（交换外项）b d b a侗时交换内外项）C a4.合比性质：?=匚=P =仝L（分子加（减）分母，分母不变）b d b d■注意：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项.后项之间b _ a _ d _ C发生同样和差变化比例仍成立.⅛∣:- = -^ " C .b d a_b _c_d.a + b c + d5•等比性质：（分子分母分别相加，比值不变•）a Ce m Zt f G …a+ c + e + ・・• + 〃】a如果—=—=—= ・・・ =—（b + d + / +・-• + n ≠ 0）,那么---------------------- =—.b Clf n/? + 〃 + /+ ・• + 〃/?注意：⑴此性质的证明运用r “设£法”，这种方法是有关比例汁算,变形中一种常用方法.（2）应用等比性质时.要考虑到分母是否为零・（3）可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数,再利用等比性质也成立. 知识点三:黄金分割Λ C RCD定义：在线段AB上,点C把线段/1B分成两条线段AC和BC （AC> BC）,如果—=—•即AC⅛A AB AC BxBC,那么称线段AB彼点C黄金分割,点C叫做线段SB的黄金分割点,SC与AB的比叫做黄金√5-1比。
第12讲 相似多边形与三角形相似的条件
第12讲相似多边形与三角形相似的条件目标导航课程标准1.了解相似多边形和相似比的定义。
2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形，会求两个相似多边形的相似比。
3.掌握相似多边形的性质，能据此进行简单的计算。
4.了解相似三角形的概念。
5.熟练掌握三角形相似的判定方法，并能灵活运用判定定理判断两个三角形是否相似。
6.能综合运用相似三角形的判定定理解决简单的问题。
7.了解黄金分割的概念及黄金比，能作出线段的黄金分割点，并会求满足黄金分割的线段的长，体会黄金分割的美。
知识精讲知识点01 相似多边形的定义1．相似多边形的定义、的两个多边形叫做相似多边形。
2．记法相似符号：“∽”，读作“”。
在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
注意：（1）相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；（2）“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；（3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质。
知识点02 相似多边形的性质及判定1．相似多边形的性质相似多边形的、。
2．相似多边形的判定、的两个多边形叫做相似多边形。
知识点03 相似三角形的概念1．概念三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
2．符号语言如图所示，在ABC ∆和C B A '''∆中，A A '∠=∠ ，B B '∠=∠，C C '∠=∠，C A ACC B BC B A AB ''=''=''，ABC ∆∴∽C B A '''∆。
3．相似三角形的“三性”（1）对应性：两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上。
找对应元素的方法同全等三角形。
（2）顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的，如：ABC ∆∽C B A '''∆，它们的相似比为k ；如果写成C B A '''∆∽ABC ∆，那么它们的相似比是k '，且kk 1=' （3）传递性：若ABC ∆∽C B A '''∆，C B A '''∆∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆知识点04 相似三角形的判定定理（一）相似三角形的判定定理1 1．定理的两个三角形相似。
相似三角形与多边形的关系
相似三角形与多边形的关系相似三角形与多边形之间存在着密切的关系，通过研究它们之间的相似性质，我们可以深入理解它们之间的联系。
本文将从相似三角形的定义入手，探讨相似三角形在多边形中的应用，并分析相似三角形和多边形之间的重要性。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
在数学上，若两个三角形的对应角度相等，则它们是相似三角形；若两个三角形的对应边的长度成比例，则也可称其为相似三角形。
二、相似三角形在多边形中的应用1. 比例相似三角形可用来确定多边形中各条边的长度比例。
以正五边形为例，设正五边形的一个边长为a，根据五边形的特点可知，由中心点引出的两条边与五边形的边构成一个相似三角形。
利用相似三角形的性质，可以得到五边形中各条边的长度与a的比例关系。
2. 面积相似三角形之间的面积比等于对应边长度的平方比。
利用这个性质，我们可以通过已知面积的相似三角形的对应边长度，推导出其他相似三角形的面积。
在多边形中，我们可以将多边形划分为多个相似三角形，并通过计算其面积比例来确定多边形的面积。
3. 几何中心通过相似三角形可以确定多边形的几何中心。
以正六边形为例，通过将六边形的每个顶点与中心点相连，可以得到六个相似三角形。
利用相似三角形的性质，我们可以推导出多边形的几何中心与顶点的连线长度的比例。
三、相似三角形和多边形的重要性1. 几何问题的解决相似三角形和多边形的关系可以帮助我们解决很多实际问题，例如测量高楼的高度、测算无法直接量测的物体的长度等。
利用相似三角形的原理，我们可以通过测量已知物体的长度与其影子长度之间的比例关系，从而计算出未知物体的长度。
2. 工程建设中的应用在工程建设中，相似三角形和多边形的关系也起到了重要的作用。
例如，可以通过对已知建筑物的相似三角形进行测量，来计算出待建建筑物的高度和尺寸。
此外，在道路规划、地形勘探等方面也可以利用相似三角形和多边形的关系来进行准确的测量和计算。
相似三角形知识点与经典题型
则 AD2=BD·DC，AB2=BD·BC ，AC2=CD·BC 。
知识点 8 相似三⻆角形常⻅见的图形
1、下面面我们来看一一看相似三⻆角形的几几种基本图形： （1） 如图：称为“平行行行线型”的相似三⻆角形（有“A 型”与“X 型”图）
，那么
．
注：
①此性质的证明运用用了了“设 法”（即引入入新的参数 k）这样可以减少未知数的个数，这种方方法是有关比比例例计 算变形中一一种常用用方方法．②应用用等比比性质时，要考虑到分⺟母是否为零．
③可利利用用分式性质将连等式的每一一个比比的前项与后项同时乘以一一个数，再利利用用等比比性质也成立立．如：
相似三⻆角形知识点与经典题型
知识点1 有关相似形的概念
(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三⻆角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应⻆角相等，对应边成比比例例，这两个多边形叫做相似多
边形．相似多边形对应边⻓长度的比比叫做相似比比(相似系数)．
知识点2 比比例例线段的相关概念
知识点 11 相似三⻆角形中有关证（解）题规律律与辅助线作法
1、证明四条线段成比比例例的常用用方方法： (1)线段成比比例例的定义 (2)三⻆角形相似的预备定理理 (3)利利用用相似三⻆角形的性质 (4)利利用用中间比比等量量代换 (5)利利用用面面积关系
2、证明题常用用方方法归纳： （1）总体思路路:“等积”变“比比例例”，“比比例例”找“相似” (2)找相似：通过“横找”“竖看”寻找三⻆角形，即横向看或纵向寻找的时候一一共各有三个不不 同的字⺟母，并且这几几个字⺟母不不在同一一条直线上，能够组成三⻆角形，并且有可能是相似的， 则可证明这两个三⻆角形相似，然后由相似三⻆角形对应边成比比例例即可证的所需的结论. (3)找中间比比：若没有三⻆角形(即横向看或纵向寻找的时候一一共有四个字⺟母或者三个字⺟母，但这 几几个字⺟母在同一一条直线上)，则需要进行行行“转移”(或“替换”)，常用用的“替换”方方法有这样的三种： 等线段代换、等比比代换、等积代换. 即：找相似找不不到，找中间比比。方方法：将等式左右两边的比比表示出来。
相似多边形、相似三角形判定
相似多边形、相似三角形判定一、相似多边形1•相似多边形具有相同形状的图形叫做相似形•相似形仅是形状相同，大小不一定相同•相似图形之间的互相变换称为相似变换.2•相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等.3.相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例.二、相似三角形对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形•相似用符号表示，读作“相似于” •相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）•相似三角形对应角相等，对应边成比例.注：①应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边.②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的.③两个三角形形状一样，但大小不一定一样.④全等三角形是相似比为1的相似三角形.二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.三、三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似.2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.3、判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.简述为：两角对应相等，两三角形相似.4、判定定理2:如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似•简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.5、判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例，两三角形相似.四、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”.1 .横向定型法AB BC欲证力〃 =BC,横向观察，比例式中的分子的两条线段是 AB和BC,三个字母A , B , C恰为△ ABC BE BF的顶点；分母的两条线段是 BE和BF，三个字母B , E , F恰为△ BEF的三个顶点.因此只需证△ ABC EBF .2.纵向定型法欲证二匹，纵向观察，比例式左边的比AB和BC屮的三个字母A , B , C恰为△ ABC的顶点；右BC EF边的比两条线段是DE和EF中的三个字母D , E, F恰为△ DEF的三个顶点.因此只需证△ABCs" DEF3. 中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换 后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形•这种方法就是等量代换法•在证明比例式时，常用到中间比.五、相似证明中的基本模型六、•黄金分割AC BC在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果s',那么称线段AB 被点C 黄金分害ij （golden section ），点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比•其中【例1】三角形三边之比为3：5:7,与它相似的三角形最长边是21cm,另两边之各是4 A'B'C'的第三条边长 _____________________【拓展】已知4 ABC 的三边长分别为20cm. 50cm 、60cm,现要利用长度分别为30cm 和60cm 的细木条各一根，做一个三角形木架与 △ ABC 相似，要求以其屮一根为边，将另一根截成两段（允许有余料）作为另外两边，那么另外两边的长度（单位： cm ）分别为 _____________ 多少? AC 5^1 AB 2:0.618 AA. 15cmB. 18cmC. 21cmD. 24cm【巩固】△ ABC 的三边长分别为 2、・10、3 , △ A' B' C'的两边长分别为1和.5,若厶ABC 与厶A' B ，C 相似，则BCDD B【例2】已知点M将线段AB黄金分割（AM> BM）,贝U下列各式中不正确的是（）A.AM： BM=AB AMB.AM=— AB2C.BM= 4 AB2D.AW 0. 618AB【例3】著名的斐波那契数列指的是数列：1 , 1, 2, 3, 5, & 13, 21, 34,-,这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项Z和.该数列有很多性质，相邻两个斐波那契数的比值随序号的增加而逐渐趋于黄金/1TF — 1分割比二0.6180339887•…是其屮的一个性质.请经过探究，猜测该数列中的第 2010项与2011项的比2值与黄金分割比的大小关系为（）A、大于B、等于C、小于D、无法确定【例4】如果一个矩形ABCDAB< BC中，AB—.. 5J -0.618,那么这个矩形称为黄金矩形.BC 2在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF得到一个小矩形ABFE如图1）,请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性.角角角判定法【例5】如图，在△ ABC中，CD AE是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由.【巩固】如图，等腰直角三角形 ABC中，顶点为C,Z MCN=45，试说明厶BCMTA ANC【例6】在 ABCC屮，M, N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E,连接EN并延长交AD于F.(1)FN 试说明△ AMDS EMB (2)求——的值.NE【巩固】已知，如图：CE是RtA ABC的斜边上的高，在CE的延长线上任取一点P,连结AP自B,作BG丄AP 于G交CP 于D,求证：CE?二DE・PECP【例7】如图所示，E是正方形ABCD勺边AB±的一点，EF丄DE交BC于点F.(1)求证：△ ADOA BEF.(2)若 AE EB=1: 2,求 DE EF 的比值.【巩固】如图，已知E是正方形ABCD的边CD上一点，BF丄AE于F,求证:AB=AE?BFC【例8］如图，AD是Rt △ ABC斜边BC上的高，DEL DF,且DE和DF分别交AB AC于点E、F,则AF: AD=BE BD吗？说明理由边角边判定法【例9］已知△ ABC中，点D E分别在AB AC上，连接DE并延长交BC的延长线于点F,连接DC BE,若/ BDE+Z BCE二 180 那么，△ DC3A BEF?为什么？【巩固】如图，点C,D都在线段AB上，A PCD是等边三角形(1)当AC, CD, DB满足怎样的关系时，△ ACNA PDB(2)当厶ACP"A PDB时求/ APB的度数。
初三相似三角形知识点以及经典例题
相似三角形知识点以及典例知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）在四条线段中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简,,,a b c d ,,,a b c d 称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项，那么应得比例式为：a d c b ,,a d c b =②在比例式中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫(::)a c a b c d b d==比例后项,如果b=c ，即 那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有。
a b b d =：：2b ad =知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①；②．bc ad d c b a =⇔=::2::a b b c b a c =⇔=⋅注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为bc ad =等。
d c b a ::=（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a b c d a c d c b d ba dbc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： ．a c b d b d a c=⇔=（4）合、分比性质：．a c a b c d b d b d ±±=⇔=典型例题：例题1：已知线段a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，则a 、b 、a ＋b 的第四比例项是________cm ，a ＋b 与a －b 的比例中项是_________cm ．例题2：若＝＝＝－m 2，则m ＝______．c b a +a c b +bc a +知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.(相似)2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 知识点5 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边． ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的．知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理(1)相似三角形的等价关系：①反身性：对于任一有∽．ABC ∆ABC ∆ABC ∆②对称性：若∽，则∽．ABC ∆'''C B A ∆'''C B A ∆ABC ∆③传递性：若∽，且∽，则∽ABC ∆C B A '∆''C B A '∆''C B A ''''''∆ABC ∆C B A ''''''∆(2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：用数学语言表述是：， ∴ ∽．BC DE //Q ADE ∆ABC ∆知识点7 三角形相似的判定方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法：(1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．（射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
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A. 3
B． 4
C．5
D．6
2. 如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF 与 AC 交于点 G，则是相似三角形共有（ ）
A．3 对
B．5 对
C．6 对
D．8 对
3.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作 PQ∥AB
交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为（ ）
三条边
两条边
一条边
全等
对应相等
对应相等+夹角相等 对应相等+两角相等
相似
对应成比例
对应成比例+夹角相等
两角相等
3. 两个三角形相似的条件： ①两角分别相等的两个三角形相似； ②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ③三边成比例的两个三角形相似。 4. 根据以上三角形相似的条件，我们可以得到下列“A 字形”和“8 字形”的图形相似。
BC EF DF D. AB DE AD BE
BC EF BE CF
【例题 6】若两个五边形相似，请作出草图，并写出对应角相等和对应边成比例。
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1. 根据相似多边形的定义，三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2. 判定两个多边形相似，①对应角相等；②对应边成比例；必须同时满足。对于三角形来 说就没有这么多要求。我们可以类比三角形全等来对照记忆和理解：
4．相似比：四边形 ABCD ∽四边形 A' B'C' D' ，如果对应边 AB k ，那么四边形 ABCD A' B'
和四边形 A' B'C' D' 的相似比为 k ，四边形 A' B'C' D' 和四边形 ABCD 的相似比为 1 。 k
5．相似多边形的性质： (1)相似多边形对应角相等，对应边成比例． (2)相似多边形周长之比等于相似比. (3)面积之比等于相似比的平方．
【例题 4】如图，平常我们所说的几开本，是说由原纸张多次对开得到的。矩形 ABCD 沿 EF
对开后，再把矩形 EFCD 沿 MN 对开，以此类推，若各种开本的矩形都相似，那么 AB
。
AD
【例题 5】平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 下列结论正确的是（ ） A. 四边形四边形 ABED ∽四边形 BCFE B. 四边形四边形 ABED ∽四边形 ACFD C. AB DE AC
①平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 ②平行线分线段成比例推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成 比例。
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【例题 1】 证明：两角分别相等的两个三角形相似 【例题 2】 证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【例题 3】 证明：三边成比例的两个三角形相似 【例题 4】证明：平行线分线段成比例定理“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 成比例”中两个三角形相似。
【例题 1】 下列说法正确的个数是（ ）。
①所有直角三角形都相似；②所有等腰三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；
④所有正三角形都相似；⑤所有平行四边形都相似；⑥所有菱形都相似；⑦所有矩形都相似；
⑧所有的正方形都相似。
A. 3
B． 4
C．5
D．6
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【例题 2】 判断下列说法正误： ①各对应角都相等的两个多边形不一定相似。 ②两个多边形相似，则对应边成比例。 ③内角都是直角的两个四边形相似。 ④四个角都是直角，对应边成比例的两个四边形相似。 【例题 3】矩形的两边长分别为 x 和 6（ x 6 ），将这个矩形分成三个全等的小矩形，若每 一个小矩形都和原矩形相似，则 x 的值为（ ）。
A． ＝ C． AM ＝
CD
B． ＝ D． ＝
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3. 如图，在 ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点，且 AD AB 2 ， AD AB ，过点 D 作 DE AD ， DE 交 AC 于点 E ，若 DE 1 ，则 ABC 的面积为（ ）
A． 4 2
B． 4
C． 2 5
D． 8
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练习
1. 下列说法正确的个数是（ ）
①平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形
相似； ②两角对应相等，两三角形相似； ③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
④三边对应成比例，两三角形相似； ⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，
两直角三角形相似； ⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
相似多边形与相似三角形
练习
1. 如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的点，DE∥BC，若 AD＝2，AB＝3，EC＝4， 则 AC 等于（ ）
A．5 C．7
Bபைடு நூலகம்6 D．8
2. 如图，在▱ABCD 中，点 E 在对角线 BD 上，EM∥AD，交 AB 于点 M，EN∥AB，交 AD 于 点 N，则下列式子一定正确的是（ ）
A.
B．
C．
D．
4. 如图，在 ABC 中，点 D 为 BC 边上的一点，且 AD AB 2 ， AD AB ，过点 D 作 DE AD ， DE 交 AC 于点 E ，若 DE 1 ，则 ABC 的面积为（ ）
B． 4 2
B． 4
C． 2 5
D． 8
5. 如图．利用标杆 BE 测量建筑物的高度．已知标杆 BE 高 1.2m，测得 AB=1.6m．BC=12.4m．则
4. 如图．利用标杆 BE 测量建筑物的高度．已知标杆 BE 高 1.2m，测得 AB=1.6m．BC=12.4m．则 建筑物 CD 的高是（ ）
A．9.3m B．10.5m
C．12.4m
D．14m
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1．相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形。 2．相似多边形的表示：以四边形为例，四边形 ABCD 和四边形 A' B'C' D' 相似，记为 “四边形 ABCD ∽四边形 A' B'C' D' 相似”。“∽”读作相似于。 注意：①形状相同，大小不同叫相似；②全等也是相似；③用符号表示相似时，边角要对应。 3．相似多边形的定义具有“性质”+“判定”的双重属性。判定两个多边形相似要满足两个 条件：①角对应相等；②边对应成比例。这两个条件缺一不可。