为随机变量的分布函数

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随机变量和分布函数

随机变量和分布函数
随机变量是指随机试验结果的某个数值，例如掷骰子可能的结果是1~6，其中每个结果就是一个随机变量。

随机变量可以分为离散和连续两类。

离散随机变量的取值有限且可数，例如掷骰子所得点数、对一本书的销售量等等，可以用概率分布函数来描述其概率分布。

连续随机变量的取值是一定区间内的任意实数，例如一个人的身高、一支股票的收盘价等等，可以用密度函数来描述其概率分布。

分布函数是描述随机变量概率分布的一种方式，也称为累积分布函数。

对于随机变量X，它的分布函数F(x)定义为：
F(x) = P(X <= x)
即X小于等于x的概率，可以理解为随机变量所有小于等于x的取值的概率之和。

对于离散随机变量，分布函数可以表示为：
F(x) = P(X <= x) = ∑P(X = xi)
其中xi为X的所有取值，对于连续随机变量，分布函数可以表示为：
F(x) = P(X <= x) = ∫f(t)dt (-∞< x < ∞)
其中f(t)为X的概率密度函数。

分布函数具有以下性质：
1. F(x)是一个非降函数。

2. F(-∞) = 0，F(∞) = 1。

3. F(x)是右连续的。

4. P(a < X ≤b) = F(b) - F(a)。

分布函数有时也称为累积分布函数，意思是F(x)可以看作在（-∞，x]上的概率密度的积分，即“累积”概率密度函数。

概率论-随机变量的分布函数

如果一个函数具有上述性质，则一定是某个随机变量X 的分布函数. 也就是说，性质(1)--(４)是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的充分必要条件.
连续型随机变量及其概率密度函数
例在区间 [0，a] 上任意投掷一个质点，以 X 表示这个质点的坐标 . 设这个质点落在 [0, a]中意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，试求 X 的分布函数.
因此，只要知道了随机变o 量x X1 的X分x 2布函x数，它
的统计特性就可以得到全面的描述.
F (x ) P (X x ) , x
oX
x
x
分布函数是一个普通的函数，正是通过它，我们可以用高等数学的工具来研究随机变量的概率
问题.
例1 设随机变量 X 的分布律为 X 012
p k 13 16 12 求 X 的分布函数 F (x) .
连续型随机变量的分布函数在 R上连续
二、概率密度的性质
1 o f (x)0
2 o f (x)dx1
这两条性质是判定一个 f(x)是否为某随机变量X 的
概率密度的充要条件
f (x)
面积为1
o
x
3 o 对于任意实数 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,
P { x 1 X x 2 } F ( x 2 ) F ( x 1 ) x x 1 2f( x ) d x
P ( a X b ) P ( a X b )
P(aXb)
P(aXb)
注意
设X为连续型随机变量，X=a 是不可能
事件,则有
P{Xa}0.
连
若P{Xa}0,
续型
不能确定 { X a } 是不可能事件

分布函数

F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
(3) 右连续性：F(x)是右连续函数，即对任意的x0，有
lim
x
x
0F(x)F来自(x0)
➢这三个基本性质是判别分布函数的充要条件。
2
§ 2.1 随机变量及其分布函数
一、随机变量的分布函数
➢
例1
证明F ( x) 1 [arctan x ], x
2
➢是一个分布函数。
证显然F(x)在整个数轴上是连续、单调严增函数，且
F () lim F ( x) 1, F () lim F ( x) 0
x
x
因此它满足分布函数的三条基本性质，故F(x)是一个分布函数。
该函数称为柯西分布函数。
3
§2.1 随机变量及其分布函数
例2 设随机变量的分布函数为：
A Bex x 0 F(x)
0 x0
其中 0 是常数。求 A, B。
解因为分布函数右连续，故
又由F () 1得A 1, 从而B 1
§2.1 随机变量及其分布函数
二、用分布函数求事件的概率
随机变量X 的分布函数F(x)=P{Xx}本身就是事件的概率。
容易得到 P{X a} F (a) F (a 0) 前面已得到 P{a X b} F (b) F (a)
P{a X b}
F(b) F(a)
1
二、随机变量的分布函数
2、分布函数的性质
F(x) P{X x}
容易证明分布函数F(x)具有以下三条基本性质：
(1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(–，+)上的单调非减函数，即对任意的x1 < x2，有 F(x1) F(x2)；

第八讲：正态分布及随机变量函数的分布.

一、分布函数(P27)定义(P27):设X是随机变量，对任意实数兀，事件{X <x}的概率P{X <x}称为随机变量X的分布函数.记为F(x)，即F(x) =P{X <x}P(X < a) =F(a)P(X VQ)= lim F(x)x—>a分布函数的性质(P28)(1) 单调不减性：若Xl<x2,则F(X1)<F(X2);(2) 规范寸生：对任意实数x, 0<F(x)<1,且F(—oo) = lim F(x) = 0,F(4-OO) = lim F(x) = 1;X—>—CO X—►-Foo(3) 右连续性；R卩对于任意实数心有；F(x0 +0) = lim F(x) = F(x0).KT威若某函数满足上述3条性质，则它一定是某随机变最的分布函数一般地，对离散型随机变量，若P{X= x k}=p k, 其分布函数为F(x) = P{X <x}= 工以则X的分布函数为：F(x) = P{X <x} =+ "2二、离散型随机变量的分布函数一般结论：X X】x2・・设随机变量X的分布列为：_____________________________ k=l,2,X K7p i X V JC X 兀］V X V 兀？•XT? V X V 兀$连续型随机变(P30)定义(P31):对任意实数x,如果随机变量X的分布函数F (x)可以写成F(x)=P(X < 其时(x) > 0则称X为连续型随机变量，f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或密度函数.常记为X ~ (-oo<X<+oo)密度函数的性质(P31-32)(1) 非负性f(X)x), (-O0<x<o0)；「+oo(2) 归一性j f(x)dx=l.⑶在f(x)的一切连续点处有F/(x)=/(x)(4)对任意实数6,连续型随机变量取该值的概率为零，即(-00<b<00),则P{X=b}=Oo连续型随机变量落入某区间的概率等于其密度函数在该区间上的积分或其分布函数在该区间“右端点” 处的值减去“左端点”处的值若随机变具们概率密度函数则称x 服从区间［a, b ］上的均匀分布。

为随机变量X的分布函数

就会离去. 若该顾客一个月到银行5次, 以Y表示一个月内他未等
到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律，并求P{Y≥1}.
解：
X的分布函数
F
(
x)

1

1
e5
x
,
x 0;
0, x 0.
该顾客未得到服务事件为{X>10}，其概率为
p

P{X
10} 1 P{X
10} 1 F(10)
3
f (x)dx
3
f (x)dx
1
3 1dx 0 5 .

26
6
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结束
2.指数分布若随机变量X的密度函数为
ex , x 0
f (x)
,
0,
x0
则称X服从参数为的指数分布, 记作X～E[] . >0为常数.
分布函数为
F
(
x)

2
即
A=1 .
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四、常见连续型随机变量的分布
1.均匀分布
如果随机变量X的概率密度为
f
(x)

b
1
a
,
0,
a xb 其它
则称X在区间[a,b]上服从均匀分布, 记为X～U[a,b].
0,
xa
分布函数为
F
(x)

x b

a a
a xb
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三、分布函数求法例1.设随机变量X的密度函数为
f
(x)

分布函数密度函数

分布函数密度函数分布函数与密度函数是概率论与数理统计中常用的概念，用于描述随机变量的分布特征。

本文将从分布函数和密度函数的定义、性质和应用等方面进行阐述。

一、分布函数的定义与性质分布函数是随机变量的一个重要特征，它描述了随机变量取值小于或等于某个实数的概率。

对于随机变量X，分布函数的定义如下：F(x) = P(X ≤ x)其中，F(x)表示随机变量X的分布函数，P表示概率，X ≤ x表示随机变量X取值小于或等于x的事件。

分布函数具有以下性质：1. F(x)是一个非递减函数，即对于任意的x1 < x2，有F(x1) ≤ F(x2)；2. 当x趋于负无穷时，F(x)趋于0；当x趋于正无穷时，F(x)趋于1；3. F(x)是右连续的，即对于任意的x0，有lim F(x) = F(x0+)，其中x0+表示x0的右极限。

二、密度函数的定义与性质密度函数是分布函数的导数，用于描述随机变量的取值在某个区间内的概率密度。

对于随机变量X，密度函数的定义如下：f(x) = dF(x)/dx其中，f(x)表示随机变量X的密度函数，dF(x)/dx表示分布函数F(x)的导数。

密度函数具有以下性质：1. f(x) ≥ 0，即密度函数非负；2. 在整个实数轴上，密度函数的积分等于1，即∫f(x)dx = 1；3. 对于任意的实数a、b（a < b），随机变量X在区间[a, b]上的概率可以通过密度函数计算，即P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a,b]f(x)dx。

三、分布函数和密度函数的关系分布函数和密度函数是相互关联的，它们之间可以通过求导和积分相互转化。

具体而言，对于给定的密度函数f(x)，可以通过积分得到分布函数F(x)，即F(x) = ∫[-∞,x]f(t)dt；而对于给定的分布函数F(x)，可以通过求导得到密度函数f(x)，即f(x) = dF(x)/dx。

四、分布函数和密度函数的应用分布函数和密度函数在概率论和数理统计中具有广泛的应用。

随机变量的分布函数

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x0 0 x2 x2
结束
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心的距离，求X的分布函数. 易证，F(x)是一个连续函数，可表示为
F ( x)
其中
x
-
f (t )dt
x , f ( x) 2 0,
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例 2.
随机变量 X 的概率分布为 2 1/2
X 0 1 P 1/3 1/6 试求（1）X 的分布函数 F(x)，并作出 F(x)的图形；（2） P{ X },
1 2
3 P{1 X }, 2
3 P{1 X } 2
(2)
1 1 1 P{ X } F 2 2 3 3 3 1 1 P{1 X } F - F (1) - 0 2 2 2 2 3 3 1 P{1 X } F - F (1) P{ X 1} 2 6 2
x
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§2.3
随机变量的分布函数
一、定义设X为随机变量，对于任意实数x，称函数
F ( x) P{X x} (- x )
为随机变量X的分布函数. 重要公式
(1) P{ X a} 1 - F (a).
(2) P{a X b} P{ X b} - P{ X a} F (b) - F (a)
pk P{X xk }.
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§2.４
连续型随机变量
引例.靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与
该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶.以X表示弹着点与圆心的距离，求X的分布函数.

分布函数-

分布函数概述分布函数是概率论和数理统计中的一个重要概念。

它描述了随机变量取某个值时，其概率是多少。

在实际应用中，我们经常需要求出随机变量的概率分布函数，以便通过它来计算一些重要指标，比如均值、方差等。

在概率论中，分布函数是指随机变量取某个值的概率累积值，即随机变量小于等于某个值的概率，它通常被表示为F(x)。

分布函数的定义随机变量X的累积分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X <= x)其中，X是一个随机变量，x是实数。

F(x)表示的是随机变量小于等于x的概率。

根据定义，可以得到以下性质：1. F(x)是单调不降的。

2. F(x)的值域是[0,1]。

3. F(x)具有右连续性，即：lim F(x) = F(x+)x--> x+其中，F(x+)表示x的右极限。

分布函数的性质除了上述基本性质外，分布函数还具有以下重要性质：1. F(x)在x处的导数就是随机变量X在x时的概率密度函数f(x)。

即：F'(x) = f(x)2. 当x趋近于负无穷时，分布函数逼近于0；当x趋近于正无穷时，分布函数逼近于1。

3. 如果子集A包含在子集B中，则F(A)<=F(B)。

分布函数的分类分布函数按照性质和应用范围可以分为以下几类：1. 连续型分布函数如果随机变量X的取值属于某个区间上，那么X的分布函数为：$F(x)=\\int\\limits_{-\\infty}^{x} f(u)du$其中，f(x)是X的概率密度函数。

连续性分布函数通常表示为一个可导的曲线，而概率密度函数通常表示为函数图形下的面积。

常见的连续型分布函数有：(1) 均匀分布函数此型分布函数指随机变量在[a,b]之间取值相等的概率分布。

(2) 正态分布函数这是应用最广泛的分布函数之一。

正态分布函数由数学家德国心理学家阿多夫·奥古斯特·斯蒂度特在公元1805年提出。

它的图形呈现出一个钟形曲线。

2. 离散型分布函数如果随机变量只能取离散值，那么它的分布函数如下：$F(x)=P(X\\leq x)=\\sum\\limits_{x_i\\leq x}^{} p(x_i)$其中，p(x_i)表示随机变量X取到x_i时的概率。

常见分布函数的期望和方差

常见分布函数的期望和方差
六种常见分布的期望和方差：
1、0-1分布
已知随机变量X，其中P{X=1} = p，P{X=0} = 1-p，其中0 < p < 1，则成X 服从参数为p的0-1分布。

其中期望为E（X）= p，方差D（X）= p（1-p）。

2、二项分布
n次独立的伯努利实验（伯努利实验是指每次实验有两种结果，每种结果概率恒定，比如抛硬币）。

其中期望E（X）= np，方差D（X）= np（1-p）。

3、泊松分布
其概率函数为P{X=k}=λ^k/(k!e^λ) k=0，1，2…...k代表的是变量的值。

其中期望和方差均为λ。

4、均匀分布
若连续型随机变量X具有概率密度，则称X在（a，b）上服从均匀分布。

其中期望E（X）= （a+b）/ 2 ，方差D（X）= （b-a）^2 / 12。

5、正态分布
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。

当μ= 0,σ= 1时的正态分布是标准正态分布。

其中期望是u，方差是σ的平方。

6、指数分布
若随机变量x服从参数为λ的指数分布，则记为X~E（λ）。

其中期望是E(X)=1/λ，方差是D(X)=1/λ。

随机变量的分布函数

一、分布函数的概念定义设X是一随机变量，x是任意实数，则实值函数 F(x)＝P {Xx}， x∈(-∞，+∞) 称为随机变量X的分布函数。有了分布函数定义，任意x1，x2∈R， x1＜x2，随机变量X落在(x1,x2]里的概率可用分布函数来计算： P {x1<X x2}＝P{X x2}－P{Xx1}＝ F(x2)－F(x1).
例2.15 离散型随机变量X的分布函数为
0 , x 1 a , 1 x 1 F (x) 且 P（ X 2 / 3 a ,1 x 2 a b, x 2
2） 1 / 2
求a,b及X的分布律。
解
因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2
1
F (x)
X
0
1
2
P 0.1 0.6 0.3
0
1
2
x
例2.14 设一汽车在开往目的地的道路上需经过3盏信号灯。每盏信号灯以概率1/2允许汽车通过或禁止汽车通过。以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数(各信号灯工作相互独立)。求X的分布律、分布函数以及概率
P ( 2 X 3)
2.3 随机变量的分布函数
前一节介绍的离散型随机变量，我们可用分布律来完整地描述。而对于非离散型随机变量，由于其取值不可能一个一个列举出来，而且它们取某个值的概率可能是零。例如：在测试灯泡的寿命时，可以认为寿命X的取值充满了区间[0,+∞)，事件X=x0表示灯泡的寿命正好是x0,在实际中，即使测试数百万只灯泡的寿命，可能也不会有一只的寿命正好是x0，也就是说，事件(X=x0)发生的频率在零附近波动，自然可以认为 P(X=x0)=0。由于许多随机变量的概率分布情况不能以其取某个值的概率来表示，因此我们往往关心随机变量X取值落在某区间 (a,b] 上的概率(a≤b)。由于{a<x≤b}={x≤b}-{x≤a},(a≤b)，因此对任意x∈R，只要知道事件{X≤x}发生的概率，则X落在(a,b]的概率就立刻可得。因此我们用P(X≤x)来讨论随机变量X的概率分布情况。 P(X≤x)：“随机变量X取值不超过x的概率”。

2.3随机变量的分布函数

2 3 5 5 F (0) F ( ) 0 2 6 6 P{0 X 1} P{X 1} P{X 0} P{X 0} 5 1 2 F (1) F (0) P{ X 0} 1 6 2 3
2
用分布函数表示概率
P(a X b) P( X b) P( X a) F (b) F (a)
0, x 1, 1 3 例求 1 P{ X }; 2 P{ X 0}; 1 2 2 , 1 x 0, 3 3 P{0 X 1}. F ( x) 5 解:(2) , 0 x 1, 6 1 , x 1. 3 3 P{ X 0} P{x 0} P{x }
(3) P{ X b} F(b) P{X b} (4) P{a X b} F(b) F(a) P{ X b}
(5) P{a X b} F (b) F (a) P{X a}
例
设随机变量X分布函数为 F(x)=A+Barctanx(-∞<x<+∞), 确定A,B的值，并计算P{-1<X≤1}
xi x
即
F ( x ) pk ,
xk x
这里和式是对所有满足 xk x 的k 求和的. 分布函数F ( x )在x xk (k 1,2,)处有跳跃, 其跳跃值为
pk P{ X xk }.
例设离散型随机变量 X 的分布列为
X
1
1 3
0
1 2
1
1 6
求 X 的分布函数 F x
P(0 X 1 / 3) P( X 0) P(0 X 1 / 3)

随机变量的分布函数

1 e 2π
t2 2
d t , x .
标准正态分布的图形
Xμ 引理若X ~ N ( μ, σ ), 则 Z ~ N (0,1). σ
2
若 X ~ N ( ,
2)
x ,则 F ( x)
P (a X b) F (b) F (a ) b a P( X a) 1 F (a) a 1
F (b 0 ) F ( a )
P (a X b) F (b 0) F (a 0)
sin x, 0 x 例1.设F ( x) , F ( x)是否为r.v的分布函数. 其他 0,
例2.r.v. X 的分布函数 A Be F ( x) 0, 求A, B.
F ( x ) 1; F () lim F ( x) 0, F ( ) lim x
( 2) F ( x1 ) F ( x2 ), ( x1 x2 );
(3) lim F ( x) F ( x0 ), ( x0 ).
x x0
用分布函数表示概率
7 7 41 ( 3) P {1 X } F ( ) F (1) . 2 2 48
课堂练习: 设r.v. X 的概率密度为f ( x) Ae , x 求 : (1) A; (2) P{0 X 1}; (3) X 的分布函数.
x
二、常见连续型随机变量的分布
(1) P { X 1000 } 1 P { X 1000 } 1 F (1000 )
e

1 2
0.607.
( 2) P{ X 2000 X 1000}

随机变量的分布函数

A
sin
As

x
x
i nxx
2x
2
x
2A
2
2
2
A
2
求得
A
1 2
,于是f概x率密度12 c函os数x
x
2
2
01
其它
f
x
1 2
cos
x
0
x
2
2
其它
利用分布函数与概率密度函数之间的积分关系,
F x x f t dt ，求分布函数 Fx
当 x 时, F x
x f t dt
=7/30+7/120
例 2.3.4 在一质量均匀的陀螺的圆周上均匀地刻上区间 (0,1]
上诸数字,旋转这陀螺,当它停下时,其圆周与桌面接触点的刻
度 X 是一个随机变量,求 X 的分布函数。
解由陀螺刻度的均匀性，对于区间(0,1]内的任一子区间(a,b] 有 P( a<X≤b) =b-a. 因为，X可能取值为区间(0,1]上所有值，所以，在求X的分布函数时，可将整个数轴分成三个区间来讨论.
x
0dt 0
2
当 x 时，
2
2
F x x f tdt
2 f (t)dt
x
f (t )dt
x
1 2
cos
tdt
1 sinx
2
1 2
2
2
f
第2.3节随机变量的分布函数
一、分布函数
1. 定义:设X是任意一个随机变量,称函数 F(x)=P{X≤x}, －∞＜x＜＋∞
为随机变量X的分布函数. 任意a<b, P(a<X≤b)=P(X≤b)-P(X≤a)=F(b)-F(a);

分布函数形式

分布函数形式分布函数是一个用于描述随机变量的概率分布的数学工具。

在概率论和统计学中，分布函数通常用于描述一个随机变量X小于或等于给定值x的概率。

在概率论中，随机变量X是指具有随机性质的变量，从而可以在一定范围内取值。

它的分布函数就是指这个随机变量X在各个取值点时的概率。

具体来说，分布函数F(x)是指随机变量X小于或等于给定值x的概率，即：F(x) = P(X ≤ x)其中P是概率，X是随机变量。

分布函数的取值范围通常是[0,1]。

也就是说，F(x)是指X的实现值小于或等于x时的概率。

分布函数的形式可以分为离散型和连续型两种：1.离散型分布函数（离散分布函数）其中P(X = xi)表示随机变量X取值为xi的概率。

对于离散型分布函数，它的取值范围就是随机变量取值的集合。

常见的离散型分布函数有伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

其中f(x)是X的概率密度函数。

对于连续型分布函数，它的取值范围是从0到1之间的实数。

F(x) = P(X ≤ x) = ∑ P(X = xi) +∫f(x)dx其中P(X = xi)表示离散型变量的概率，f(x)表示连续型变量的概率密度函数。

在实际应用中，混合型分布函数比较常见。

分布函数的形式不同，对应的随机变量也会有不同的特点和应用范围。

在实际研究中，需要根据具体问题选择相应的分布函数来描述随机变量的概率分布。

随机变量的分布函数在概率论和统计学中都有广泛的应用。

在概率论中，它可作为随机变量在不同取值点的概率描述方法，可以较好地描述随机事件发生的概率；在统计学中，它则是描述样本分布的一种方法，可以用来判断数据是否符合某种特定分布规律，从而推断出总体的特性。

下面以常见的正态分布为例，简要介绍分布函数的应用。

正态分布是概率论和统计学中最为常见的一种连续型分布函数，它是许多自然现象和社会现象的概率模型。

正态分布函数的形式为：f(x) = 1/（σ√ (2π)）exp[-(x-μ)^2/2σ^2]μ表示正态分布的均值，σ^2表示正态分布的方差。

分布函数求概率

分布函数求概率
分布函数是统计学中的重要概念，用于描述随机变量在不同取值上的概率分布情况。

给定一个随机变量X，其分布函数F(x)定义为：F(x) = P(X ≤ x)，即随机变量小于等于x的概率。

利用分布函数，我们可以求得某个随机变量X在某个区间上的概率。

具体而言，如果我们要求X落在[a, b]这个区间内的概率，那么可以通过以下公式计算：P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)。

在实际应用中，我们常常需要利用已知的分布函数求得某个随机变量在某个区间上的概率。

例如，假设X是一个服从正态分布的随机变量，我们已经知道其分布函数是F(x)，现在需要求解P(-1 ≤ X ≤ 2)。

根据上述公式，我们可以计算得到P(-1 ≤ X ≤ 2) = F(2) - F(-1)。

分布函数还可以用于计算其他统计量，比如随机变量X的期望值和方差。

期望值E(X)定义为X按照其分布函数加权平均后的值，即E(X) = ∫(x * f(x))dx，其中f(x)是X的概率密度函数。

方差Var(X)表示X的取值与期望值之间的偏离程度，可以通过E(X^2) - [E(X)]^2来计算。

总之，分布函数是统计学中重要的概念之一，可以用于计算随机变量在不同区间上的概率，以及其他统计量的计算。

掌握分布函数的性质
和计算方法有助于我们进行概率和统计分析。

随机变量的分布函数

y
1
O
1
2
x
3
P{0 X 2} k 2 2 1 k 1/ 4 2 x 当时存在 , 令 F ( x ) x X 2P F (0 x) P { X x} X 0} P{0 X x} x0 20, ,x P { {x 0} 4 t ,0 {X x } 故 tS , 2, 若 x 2, F由题意有 ( x) 处处连续 , 故 f (t ) 2 F (t ) (t 0, t 2) F ( x) P {P (S )x 01 X } 0 其它 0, 即 X 的分布函数为 F ( x) 则 0 , x x 0, 怎样理解这一结论？ 2 x) x F ( x) F ( ,0 f (t x)dt 2, / 4 , x2 1 END
例一个半径为 2 米的圆盘靶子 , 设 R2m 击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该 X 圆盘的面积成正比 , 且射击都能中靶 , 记 X表示弹着点与圆心的距离.求X的分布函数. 显然当 x 0时 ,{ X x} , 故称这样的随机变量 F ( x) P{ X x} 0 为连续型随机变量若 0 x 2, 由题意有 P{0 X x} kx 2 , k 为常数
3、F ( x)在R上右连续：
F ( x 0) F ( x)；
4、F () 0，F () 1.
三、离散型随机变量的分布函数与分布律之间的关系 (1)已知分布律 pk 求 F ( x);
F ( x ) P{ X x}
xi x
P{ X x } p
第二章随机变量及其分布 2.3 随机变量分布函数
一、定义设X为随机变量，对于任意实数x，称函数 F(x)=P{X ≤ x} ( -∞< x <+∞ ) 为பைடு நூலகம்机变量X的分布函数。

3.4随机变量函数的分布

3.4.1一维随机变量函数的分布
求Y=g(X) 的分布的一般方法的步骤：若X~f(x), -< x<
+(1) 确定Y的取值范围R(Y)；
（2）求Y的分布函数, 任意y ∈R(Y) ，
FY (y) ＝P{Yy}＝P {g(X) y}＝
f ( x)dx
g ( x) y
（3）对分布函数求导，
fY (
(4)
fY
( y)
|
1 a
|
fX
(
y b), a
y R(Y );
例3.4.4.(1)设X ~ N (, 2 )，Y aX b(a 0)
求Y的密度函数 fY ( y)；若Y
解：(1).由X的密度f X (x)
X .求Y的分布。
1
e
(
x) 2 2
2
,易知
2
1 yb fY ( y) a fX ( a )
2
0, y 0.
2 分布, 记作Y～ 2 (1).
即为Γ （1/2，1/2）
二维连续型随机变量的函数的分布（不要求）
设二维随机变量(X,Y)~f(x,y)，z=g(x,y)是连续函数，则随机变量Z=g(X,Y)的分布函数为
FZ (z) P(Z z) P(g(X ,Y ) z) f (x, y)dxdy g ( x, y ) z
1
[ y (a b)]2
exp{
2 . a
2(a )2
},( y )
即：Y ~ N (a b, a2 2 ).
重要结果
~X N (, 2 )
• a bX (b 0) ~ N (a b, | b |2 2 )
•
特别：
X