奥数-整式的乘除-法001
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单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为： ，其中 为单项式， 为多项式.
多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：
【例 9】计算：⑴ ；⑵ Hale Waihona Puke Baidu⑶
⑷ ；⑸
【例10】⑴计算： ；⑵计算： ．
【例11】若不论 取何值，多项式 与 都相等，求 ， ．
板块一杰出中学生 个品格·积极
板块二幂的运算
形如 ( ， 为正整数)的整式就叫做幂，表示 个 相乘，其中 叫做幂的底数， 叫做幂
的指数.
， ， ， ， ，
其中， ， ， 为正整数.
【例 1】速算比赛：
A组：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ，其中 ， .
B组：⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷
C组：⑴ ；⑵ .
⑶ ；⑷
【例 2】⑴(第 届希望杯 试)
3原式 ；⑷原式 ；
4原式
【例10】⑴原式 ．
2原式
【例11】
因为不论 取何值，两多项式都相等，所以 ， ，即 ，
【例12】 ， ，
，
比较等式两边得 ， ，所以 ．
定理：如果 ，
那么 ， ， ， ，
【例13】将原式展开得
，因为积中不含 和 ，所以 ，解得
【例14】⑴原式 ；⑵原式
【例15】原式 ．
在乘除混合运算中，巧用结合律，有时可简化运算．
⑵多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，
公式为： ，其中 为单项式， 为多项式.
⑶ 多项式除以多项式简单介绍.
【例14】计算：⑴ ；⑵
【例15】计算 ．
【例16】计算：⑴ ;⑵ .
【例17】计算：
挑战1已知： ，求 的值．
挑战2如果 被 除后余6，求 的值及商式
挑战3若 为不等式 的解，求 的最小正整数值
计算： ．
⑵(第10届希望杯)计算： _____________．
【例 3】已知有理数 ， ， 满足 ，求 的值．
【例 4】⑴计算 的结果为：
【例 5】(第19届希望杯)Digitsoftheproductof is
A． B． C． D．
(英汉小词典：digits位数；product乘积)
【例 6】⑴已知 ， ，求 的值．
【例1】A组：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；
B组：⑴解法一： ；解法二： ；
⑵ ；⑶ ；
⑷ ；
C组：⑴原式 ；⑵原式 ；
3原式 ；⑷原式 .
【例2】⑴建立巧算概念！巧用“乘法分配律”，重点考察学生幂的运算的基本功！
原式
⑵原式
……
【例3】由题意得 ，解方程组得 ，
代入所求代数式得
【例4】⑴
⑵从乘方的概念入手讲解，可得答案为 .
⑵若 ，求 .
【例 7】(广西省竞赛题)比较 、 、 、 四个数的大小.
【例 8】你能比较两个数 和 的大小吗？
为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较 与 的大小( 是自然数)，然后，我们分析 ， ， ，…中发现规律，经归纳，猜想得出结论．
⑴通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写“ ”、“ ”、“ ”号)
【例17】原式
挑战1解1：
而 ，所以原式 ．
解2：因为 ，所以 ，
所以
．
解3： ，利用大除式即可得到答案.
挑战2因为 ，所以商式的最高次项为一次，并且系数为1．设商式为 ，由题意得
，即 ，
比较对应项的系灵敏，得 ，解得 ， ．所以 ，商式为 ．
挑战3 ，所以
【例12】已知 ，求 的值．
【例13】使 的积中不含 和 ，求 ， 的值.
板块四整式除法
⑴单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如： ，被除式为 ，除式为 ，系数分别为3和1，故商中的系数为3， 的幂分别为 和 ，故商中 的幂为 ，同理， 的幂为 ，另外，被除式中含 ，而除式中不含关于 的幂，故商中 的幂为 .
【例5】 ，故有数位34位．
【例6】⑴ ．
⑵ ， ， ，
【例7】根据幂的性质可知， 、 、 、
根据幂的定义可知， 表示 个 相乘，故只要比较出 、 、 、 的大小即可.
， ， ，
故 ， .
【例8】从简单情况找规律.⑴① ；② ；③ ；④ ；⑤ …
2 ( ，2)， ( )；⑶
【例9】⑴原式 ；⑵原式 ；
① ；② ；③ ；④ ；⑤ …
⑵从第⑴题的结果经过归纳，可以猜想出 和 的大小关系是．
⑶根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小 ．
板块三整式的乘法
单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下： ，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母 的幂分别是 和 ，乘积中 的幂是 ，同理，乘积中 的幂是 ，另外，单项式 中不含 的幂，而 中含 ，故乘积中含 .
实际上，我们利用除法是乘法的逆运算，除以一个整式，相当于乘以该整式的倒数，通过约分，可更容易地解决问题．其解如下：原式
【例16】⑴用竖式除法
所以，商式为 ，余式为0．
⑵
所以，商式为 ，余式为 ．
说明：多项式的除法总可以用竖式除法来计算．计算时注意降幂排列，缺项补0(或空位)，同次项对齐等等．
对多项式除法，我们有带余除法，即：被除式 除式 商式 余式，其中余式的最高次数低于除式的最高次数．当余式为0时，我们也称除式整除被除式，用“除式|被除式”表示．如⑴，我们可记为 ；当余式不为0时，被除式不能整除被除式；当余式为常数时，我们也称余式为余数．显然，当除式为一次多项式时，余式必为常数．
多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：
【例 9】计算：⑴ ；⑵ Hale Waihona Puke Baidu⑶
⑷ ；⑸
【例10】⑴计算： ；⑵计算： ．
【例11】若不论 取何值，多项式 与 都相等，求 ， ．
板块一杰出中学生 个品格·积极
板块二幂的运算
形如 ( ， 为正整数)的整式就叫做幂，表示 个 相乘，其中 叫做幂的底数， 叫做幂
的指数.
， ， ， ， ，
其中， ， ， 为正整数.
【例 1】速算比赛：
A组：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ，其中 ， .
B组：⑴ ；⑵ ；
⑶ ；⑷
C组：⑴ ；⑵ .
⑶ ；⑷
【例 2】⑴(第 届希望杯 试)
3原式 ；⑷原式 ；
4原式
【例10】⑴原式 ．
2原式
【例11】
因为不论 取何值，两多项式都相等，所以 ， ，即 ，
【例12】 ， ，
，
比较等式两边得 ， ，所以 ．
定理：如果 ，
那么 ， ， ， ，
【例13】将原式展开得
，因为积中不含 和 ，所以 ，解得
【例14】⑴原式 ；⑵原式
【例15】原式 ．
在乘除混合运算中，巧用结合律，有时可简化运算．
⑵多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，
公式为： ，其中 为单项式， 为多项式.
⑶ 多项式除以多项式简单介绍.
【例14】计算：⑴ ；⑵
【例15】计算 ．
【例16】计算：⑴ ;⑵ .
【例17】计算：
挑战1已知： ，求 的值．
挑战2如果 被 除后余6，求 的值及商式
挑战3若 为不等式 的解，求 的最小正整数值
计算： ．
⑵(第10届希望杯)计算： _____________．
【例 3】已知有理数 ， ， 满足 ，求 的值．
【例 4】⑴计算 的结果为：
【例 5】(第19届希望杯)Digitsoftheproductof is
A． B． C． D．
(英汉小词典：digits位数；product乘积)
【例 6】⑴已知 ， ，求 的值．
【例1】A组：⑴ ；⑵ ；⑶ ；⑷ ；
B组：⑴解法一： ；解法二： ；
⑵ ；⑶ ；
⑷ ；
C组：⑴原式 ；⑵原式 ；
3原式 ；⑷原式 .
【例2】⑴建立巧算概念！巧用“乘法分配律”，重点考察学生幂的运算的基本功！
原式
⑵原式
……
【例3】由题意得 ，解方程组得 ，
代入所求代数式得
【例4】⑴
⑵从乘方的概念入手讲解，可得答案为 .
⑵若 ，求 .
【例 7】(广西省竞赛题)比较 、 、 、 四个数的大小.
【例 8】你能比较两个数 和 的大小吗？
为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较 与 的大小( 是自然数)，然后，我们分析 ， ， ，…中发现规律，经归纳，猜想得出结论．
⑴通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写“ ”、“ ”、“ ”号)
【例17】原式
挑战1解1：
而 ，所以原式 ．
解2：因为 ，所以 ，
所以
．
解3： ，利用大除式即可得到答案.
挑战2因为 ，所以商式的最高次项为一次，并且系数为1．设商式为 ，由题意得
，即 ，
比较对应项的系灵敏，得 ，解得 ， ．所以 ，商式为 ．
挑战3 ，所以
【例12】已知 ，求 的值．
【例13】使 的积中不含 和 ，求 ， 的值.
板块四整式除法
⑴单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如： ，被除式为 ，除式为 ，系数分别为3和1，故商中的系数为3， 的幂分别为 和 ，故商中 的幂为 ，同理， 的幂为 ，另外，被除式中含 ，而除式中不含关于 的幂，故商中 的幂为 .
【例5】 ，故有数位34位．
【例6】⑴ ．
⑵ ， ， ，
【例7】根据幂的性质可知， 、 、 、
根据幂的定义可知， 表示 个 相乘，故只要比较出 、 、 、 的大小即可.
， ， ，
故 ， .
【例8】从简单情况找规律.⑴① ；② ；③ ；④ ；⑤ …
2 ( ，2)， ( )；⑶
【例9】⑴原式 ；⑵原式 ；
① ；② ；③ ；④ ；⑤ …
⑵从第⑴题的结果经过归纳，可以猜想出 和 的大小关系是．
⑶根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小 ．
板块三整式的乘法
单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下： ，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母 的幂分别是 和 ，乘积中 的幂是 ，同理，乘积中 的幂是 ，另外，单项式 中不含 的幂，而 中含 ，故乘积中含 .
实际上，我们利用除法是乘法的逆运算，除以一个整式，相当于乘以该整式的倒数，通过约分，可更容易地解决问题．其解如下：原式
【例16】⑴用竖式除法
所以，商式为 ，余式为0．
⑵
所以，商式为 ，余式为 ．
说明：多项式的除法总可以用竖式除法来计算．计算时注意降幂排列，缺项补0(或空位)，同次项对齐等等．
对多项式除法，我们有带余除法，即：被除式 除式 商式 余式，其中余式的最高次数低于除式的最高次数．当余式为0时，我们也称除式整除被除式，用“除式|被除式”表示．如⑴，我们可记为 ；当余式不为0时，被除式不能整除被除式；当余式为常数时，我们也称余式为余数．显然，当除式为一次多项式时，余式必为常数．