高二数学条件概率3
条件概率课后作业解析版 高二数学同步教学(人教A版(2019)选择性必修第三册)
7.1.1 条件概率分层作业基础巩固1．抛掷一枚骰子，观察出现的点数．若已知出现的点数不超过4，则出现的点数是奇数的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．12答案：D 解析：设“抛掷一枚骰子出现的点数不超过4”为事件A ，“抛掷一枚骰子出现的点数是奇数”为事件B ，则P (B |A )＝n (AB )n (A )＝24＝12. 2.抛掷红、蓝两颗骰子，若已知蓝骰子的点数为3或6，则两颗骰子点数之和大于8的概率为________．答案：512 解析：令A 为事件“抛掷出的红、蓝两颗骰子中蓝骰子的点数为3或6”，B 为事件“两颗骰子点数之和大于8”，则A ＝{(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，AB ＝{(3,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}． 所以P (B |A )＝n (AB )n (A )＝512.3．已知P (B |A )＝13，P (A )＝25，则P (AB )等于( )A.56 B ．910C.215D ．115答案：C 解析：由题意，知P (AB )＝P (B |A )P (A )＝13×25＝215.4．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是415，刮风的概率为215，在下雨天里，刮风的概率为38，则既刮风又下雨的概率为( )A.8225 B ．12C ．110D ．34答案：C 解析：记“该地区下雨”为事件A ，“刮风”为事件B ，则 P (A )＝415，P (B )＝215，P (B |A )＝38，所以P (AB )＝P (A )P (B |A )＝415×38＝110. 5．若B ，C 是互斥事件且P (B |A )＝13，P (C |A )＝14，则P (B ∪C |A )＝( )A.12 B ．13C ．310D ．712答案：D 解析：因为B ，C 是互斥事件， 所以P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )＝13＋14＝712.6．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%.已知一名学生数学不及格，则他语文也不及格的概率是( ) A.15 B ．310C ．12D ．35答案：A 解析：设A 为事件“数学不及格”，B 为事件“语文不及格”，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.030.15＝15.所以该学生数学不及格时，语文也不及格的概率为15. 7.已知甲在上班途中要经过两个路口，在第一个路口遇到红灯的概率为0.5，两个路口连续遇到红灯的概率为0.4，则甲在第一个路口遇到红灯的条件下，第二个路口遇到红灯的概率为( ) A ．0.6 B ．0.7 C ．0.8D ．0.9答案：C 解析：设“第一个路口遇到红灯”为事件A ，“第二个路口遇到红灯”为事件B ，则P (A )＝0.5，P (AB )＝0.4，则P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.8. 综合运用8．从标有数字1,2,3,4,5的五张卡片中，依次抽出2张(取后不放回)，则在第一次抽到的卡片是奇数的情况下，第二次抽到的卡片是偶数的概率为( ) A.14 B ．23C ．13D ．12答案：D 解析：设事件A 表示“第一次抽到奇数”，事件B 表示“第二次抽到偶数”， 则P (A )＝35，P (AB )＝35×24＝310，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.9．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别是1,2,3,4,5,6点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为x ，y ，记事件A 为“x ＋y 为偶数”，事件B 为“x ，y 中有偶数且x ≠y ”，则概率P (B |A )的值为( ) A.12 B ．13C ．14D ．16答案：B 解析：根据题意，事件A 为“x ＋y 为偶数”，则x ，y 两个数均为奇数或两个数均为偶数，共有2×3×3＝18(个)样本点．所以事件A 发生的概率为P (A )＝2×3×36×6＝12，而A ，B 同时发生，包含的样本点数n (AB )＝6，所以事件A ，B 同时发生的概率为P (AB )＝66×6＝16，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1612＝13.10．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩如下(单位：分)． 甲组：76,90,84,86,81,87,86,82,85,83 乙组：82,84,85,89,79,80,91,89,79,74现从这20名学生中随机抽取1名，将“抽出的学生为甲组学生”记为事件A ，“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B ，则P (AB )，P (A |B )的值分别是( ) A.14，59 B ．14，49C.15，59D ．15，49答案：A 解析：从这20名学生中随机抽取一人，包含20个样本点， 事件B 包含9个样本点，故P (B )＝920.又事件AB 包含5个样本点，故P (AB )＝14，故P (A |B )＝P (AB )P (B )＝59.故选A.11．从混有5张假钞的20张百元钞票中任意抽出2张，将其中1张放到验钞机上检验发现是假钞，则第2张也是假钞的概率为( ) A.119B ．1738C ．419D ．217答案：D 解析：设A 表示事件“抽到的第2张是假钞”，B 表示事件“抽到的第1张是假钞”，所求概率为P (A |B )．而P (AB )＝C 25C 220＝119，P (B )＝C 25＋C 15C 115C 220＝1738. 所以P (A |B )＝P (AB )P (B )＝217.12.加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为________． 答案：0.5 解析：设“第一道工序出废品”为事件A ，则P (A )＝0.4，“第二道工序出废品”为事件B .根据题意可得P (AB )＝0.2，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率P (B |A )＝P (AB )P (A )＝12＝0.5. 13.甲、乙两地都处于长江下游，根据历史记载，知道甲、乙两地一年中雨天所占的比例分别为20%与18%，两地同时下雨的比例为12%. (1)乙地为雨天时，甲地也为雨天的概率为________； (2)甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为________．答案：(1)23 (2)0.6 解析：设A ＝“甲地为雨天”，B ＝“乙地为雨天”，则P (A )＝20%＝0.2，P (B )＝18%＝0.18，P (AB )＝12%＝0.12. (1)P (A |B )＝P (AB )P (B )＝0.120.18＝23.(2)P (B |A )＝P (AB )P (A )＝0.120.2＝0.6.拓广探索14.一个口袋内装有2个白球和2个黑球，那么：(1)先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率是多少？ (2)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率是多少？解：(1)设“先摸出1个白球不放回”为事件A ，“再摸出1个白球”为事件B ，则“先后两次摸出白球”为事件AB ，“先摸一球不放回，再摸一球”共有4×3种结果， 所以P (A )＝12，P (AB )＝2×14×3＝16，所以P (B |A )＝1612＝13.所以先摸出1个白球不放回，再摸出1个白球的概率为13.(2)设“先摸出1个白球放回”为事件A 1，“再摸出1个白球”为事件B 1，“两次都摸出白球”为事件A 1B 1，P (A 1)＝12，P (A 1B 1)＝2×24×4＝14，所以P (B 1|A 1)＝P (A 1B 1)P (A 1)＝1412＝12.所以先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率为12.15.一袋中共有10个大小相同的黑球和白球．若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为79.(1)求白球的个数；(2)现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，已知第1次取得白球，求第2次取得黑球的概率．解：(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球”为事件A ，记袋中白球个数为x . 则P (A )＝1－C 210－xC 210＝79，解得x ＝5，即白球的个数为5.(2)记“第1次取得白球”为事件B ，“第2次取得黑球”为事件C ，则P (BC )＝C 15C 110·C 15C 19＝2590＝518， P (B )＝C 15C 15＋C 15C 14C 110C 19＝25＋2090＝12. 故P (C |B )＝P (BC )P (B )＝51812＝59.。
高二数学条件概率3
P(B)>0
变式:
P( AB) P( A B )P (B )
P(B)>0
创新P0444
在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果
不放回地依次抽取2道题，求： （1）第1次抽到理科题的概率; P（A）= 5 （2）第1次和第2次都抽到理科题的概率;
P（AB）=
3 5 2 4 3 10
他
3
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽 1 到理科题的概率。 P（B|A）=
P（
P（A|B），P（AB）和P（B）会有什么样的关系
求条件概率公式
一般地,若P(B)>0,则事件B已发生的条件下A发 生的是条件概率
P(A B) P(AB) P(B)
注
(1) 在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率
P(B A) P(AB) P ( A)
P(A)>0
(2) 利用条件概率,有下面变式
(i i) 一般地
P(A B)
P(AB) P(B)
P ( A | B ) P ( A)
课本例2.如图2-3-1所示的正方形被平均分成 9个部分,向大正方形区域随机地投掷一个点 (每次都能投中),设投中最左侧3个小正方形区 域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或 正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求 P(AB),P(A|B).
1 P （AB） 4 P （A | B） 3 3 P （B） 4 1
再举一例.
抛掷一颗质地均匀的骰子所得的样本空间为
令事件 A 2， 3， 5，B 1 ， 2， 4， 5， 6 S 1 ， 2， 3， 4， 5， 6，
（ A）， P （ B） ,P （ AB）， P （ A | B） 求 P
高二数学概率与统计中的条件概率与贝叶斯定理
高二数学概率与统计中的条件概率与贝叶斯定理概率与统计是数学中非常重要的一个分支，它研究随机事件的发生规律和数据的统计特征。
在高二的数学课程中，我们学习了概率与统计中的条件概率与贝叶斯定理，它们在实际问题中具有广泛的应用。
本文将就条件概率与贝叶斯定理的概念、公式及其应用进行介绍。
一、条件概率的概念与公式条件概率是指在一个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
设A、B是两个事件，且P(A)>0，称在事件A发生的条件下事件B发生的概率为事件B在事件A发生下的条件概率，记作P(B|A)。
条件概率的公式如下：P(B|A) = P(AB) / P(A)其中P(AB)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A 发生的概率。
二、贝叶斯定理的概念与公式贝叶斯定理是一种基于条件概率的推理方法，它是由英国数学家贝叶斯提出的。
贝叶斯定理用于计算在已知某些观测结果的情况下，某一事件的概率。
设A1、A2、…、An是一组互不相容的事件，且在事件B发生的条件下，事件A1、A2、…、An中有且仅有一个发生，则根据贝叶斯定理可以得到：P(Ai|B) = P(Ai) * P(B|Ai) / [Σ(P(Aj) * P(B|Aj))]其中P(Ai|B)表示在事件B发生的条件下事件Ai发生的概率，P(Ai)表示事件Ai发生的概率，P(B|Ai)表示在事件Ai发生的条件下事件B 发生的概率，Σ表示求和运算。
三、条件概率与贝叶斯定理的应用条件概率与贝叶斯定理在实际问题中有着广泛的应用，例如医学诊断、信息处理、市场调查等。
以下分别就医学诊断和信息处理两个方面进行具体的应用案例介绍。
1. 医学诊断假设某种罕见疾病的患病率为0.1%，一种新型检测方法在健康人中的阳性率为1%，在患病人群中的阳性率为95%。
如果一个人的检测结果为阳性，那么他真正患有该疾病的概率是多少？设A表示患病，B表示阳性。
根据题意可得到：P(A) = 0.1% = 0.001P(B|A') = 1% = 0.01P(B|A) = 95% = 0.95根据条件概率公式计算可得：P(A|B) = P(A) * P(B|A) / [P(A) * P(B|A) + P(A') * P(B|A')]代入数值计算可得：P(A|B) = 0.001 * 0.95 / [0.001 * 0.95 + 0.999 * 0.01] ≈ 0.087因此，当一个人的检测结果为阳性时，他真正患有该疾病的概率约为8.7%。
7.1.2+++全概率公式+2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册
1的概率分别为0.9和0.1;发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和
0.05.假设发送信号0和1是等可能的. (1)分别求接收的信号为0和1的概率；
发送0(A)
接收0(B)
解：
发送1(A)
接收1(B)
设A=" 发送的信号为0",B=" 接收的信号为0",则A=" 发送的信号为1", B=" 接收的信号为1". 由题意得 P(A)=P(A) =0.5,
一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率 为0.6; 如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8. 计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率。
由全概率公式，得
代公式
P(B)= P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)
=0.5×0.6+0.5 ×0.8 =0.7
B年
3
I
=P(A)P(B|A)+P(A )P(B|A )
十
引例2:一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个 球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为0.6, 那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?
假设A1=“第一次摸到红球” A2=“第一次摸到黑球” B=“第二次摸到红球” B
易知，A₁UA₂=Ω, 且互斥，
引例2:一个盒子中有6只红球、4只黑球，每次随机摸出1个 球，摸出的球不再放回.显然，第1次摸到红球的概率为0.6, 那么第2次摸到红球的概率是多大?如何计算这个概率呢?
易 知 ，P(A)=
5
0
9
A₁
10
B
6
9
4
A2 10
高二数学条件概率知识点总结
高二数学条件概率知识点总结概率论作为数学的一个重要分支，是研究随机事件发生的规律性的一门学科。
而条件概率则是概率论中的一个重要概念，它描述了在已知某一事件发生的条件下，其他事件发生的概率。
在高二数学学习中，我们不可避免地会接触到条件概率的知识。
本文将对高二数学中条件概率的相关知识点进行总结。
1. 定义与公式条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率，记作P(A|B)。
其计算公式如下：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
2. 条件概率的性质(1) 非零性：当事件B发生的概率P(B)不为零时，条件概率P(A|B)也不为零。
(2) 正规性：对于一个样本空间Ω中的任意一个事件A，有P(A|Ω) = P(A)。
(3) 对偶性：事件A在已知事件B发生的条件下的概率，与事件B在已知事件A发生的条件下的概率是相同的，即P(A|B) =P(B|A)。
(4) 加法定理：对于两个事件A、B，有P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
3. 独立事件与互斥事件(1) 独立事件：如果事件A和事件B的概率满足P(A∩B) = P(A) × P(B)，则称事件A与事件B是相互独立的。
当事件A与事件B 相互独立时，有P(A|B) = P(A)，即事件B的出现并不影响事件A 的概率。
(2) 互斥事件：如果事件A和事件B的概率满足P(A∩B) = 0，则称事件A与事件B是互斥的。
互斥事件发生的条件下，事件A 和事件B不能同时发生。
4. 贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的一个重要定理，它用于利用已知的条件概率来计算逆条件概率。
贝叶斯定理的表达式如下：P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)其中，P(A)为先验概率，即在没有任何其他信息的情况下，事件A发生的概率；P(A|B)为后验概率，即在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
高二数学人选择性必修件条件概率
拓展延伸：条件期望简介
01
条件期望的定义
在给定条件X=x下，随机变量Y 的数学期望，记作E(Y|X=x)。
02
条件期望的性质
条件期望具有线性性质，即 E(aX+bY|X=x) = aE(X|X=x) +
bE(Y|X=x)。
03
条件期望的应用
条件期望在统计学、经济学等 领域有广泛应用，如用于预测
、决策分析等。
02
乘法公式与全概率公式
乘法公式推导及应用
01
乘法公式推导
02
乘法公式应用
通过条件概率的定义，可以推导出乘法公式，即 $P(AB)=P(A)P(B|A)$。
乘法公式在解决复杂概率问题时非常有用，特别是当事件之间存在依 赖关系时。通过乘法公式，可以将复杂事件的概率分解为一系列简单 事件的概率之积，从而简化计算过程。
05
复合事件和复合试验条件 下概率计算
复合事件定义及性质
复合事件定义
由两个或两个以上的基本事件通过逻辑运算（如并、交、差等）组合而成的事 件称为复合事件。
复合事件性质
复合事件具有可分解性，即可以分解为若干个基本事件的组合；同时，复合事 件也具有可运算性，即可以通过逻辑运算进行复合事件的概率计算。
全概率公式及其意义
全概率公式
全概率公式是指当一个事件可以划分为两个或多个互斥事件 的和时，该事件的概率等于这些互斥事件概率的和。即 $P(B)=sum_{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$，其中$A_1, A_2, ldots, A_n$是一组完备事件组，且$P(A_i)>0$。
全概率公式的意义
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
高二数学事件的独立性3
意义 A、B同时发生的概率 A不发生B发生的概率
A发生B不发生的概率 A、B都不发生的概率 A、B中恰有一个发生的概率 A、B中至少有一个发生的概率 A、B中至多有一个发生的概率
例4、甲、乙两人各进行1次射击，如 果两人击中目标的概率都是0.6，求 （1）2人都击中目标的概率； （2）只有甲击中目标的概率； （3）恰有1人击中目标的概率； （4）至少有1人击中目标的概率； （5）至多有1人击中目标的概考：若系统连接成下面的系统，则该系统正常工作的 概率为多少？
Y X
Z
例3：加工某一零件需要两道工序，若第一， 二道工序的不合格品率分别为3%和5%,假定 各道工序是互不影响的，问：加工出来的零 件是不合格品的概率是多少？
（五）讨论研究
概率 P(A B)
P(A B)
P(A B)
P(A B) P(A B A B)
一般地，若事件A，B满足P（A︱B）=P（A）， 则称事件A，B独立。
1）当A，B独立时，B,A也是独立的，即A与 B独立是相互的。
2）当A，B独立时 P（A︱B）=P（A）
或 P（AB）=P（A）P（Ｂ） 或 Ａ事件的发生不影响
事件Ｂ的发生概率
推广：若事件Ａ１，Ａ２．．．Ａｎ相互独立，则这 ｎ个事件同时发生的概率Ｐ（Ａ１Ａ２．．．Ａｎ） ＝Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２）．．．Ｐ（Ａｎ）
； 产权 招标采购 采购与招标网:/ ；
发现30多种矿产 5 9万平方米 33% 水能理论蕴藏量128千瓦 1963年建电站于平孟街 1980年 5平方公里 丽江市境内共有2个机场 丽江三义国际机场、宁蒗泸沽湖机场 郁江 景区面积263平方公里 有“长江第一湾”、石鼓镇、宝山石头城等景点 共计地表水资源为45.? 水能理论蕴藏量1. 湖
高二下数学条件概率知识点
高二下数学条件概率知识点条件概率是概率论中的重要概念，它描述了某个事件在给定其他事件发生的条件下发生的概率。
在高二下学期的数学课程中，我们学习了条件概率的相关知识点，下面将对这些知识点进行详细介绍。
一、条件概率的定义条件概率是指在已知某一事件B发生的条件下，另一事件A发生的概率。
用P(A|B)表示事件A在事件B发生的条件下发生的概率，其计算公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)其中，∩表示两个事件的交集，P(A∩B)表示事件A和事件B共同发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
二、条件概率的性质1. 交换性：P(A|B) = P(B|A)2. 全概率公式：对于一组事件的划分C1, C2, ..., Cn，有P(A) =P(A|C1)P(C1) + P(A|C2)P(C2) + ... + P(A|Cn)P(Cn)3. 贝叶斯公式：对于一组事件的划分C1, C2, ..., Cn，有P(Ck|A) = P(A|Ck)P(Ck) / (P(A|C1)P(C1) + P(A|C2)P(C2) + ... + P(A|Cn)P(Cn))三、条件概率的应用1. 独立事件的条件概率：如果事件A和事件B是相互独立的，那么P(A|B) = P(A)，即在已知事件B发生的条件下，事件A的发生与否并不受事件B的影响。
2. 癌症筛查的条件概率：以癌症筛查为例，假设某项检测可以判断一个人是否患有某种特定癌症。
已知该检测的准确性为95%，即在患有该癌症的人中，有95%的人会被检测出来；而在没有患有该癌症的人中，有90%的人会被判断为未患有该癌症。
现在来考虑一个人被诊断为患有该癌症的情况下，他确实患有该癌症的概率有多大。
根据条件概率的定义，我们可以设事件A表示某人患癌症，事件B表示某人被诊断为患癌症。
则可计算P(A|B) = (0.95 * 0.01) / [(0.95 * 0.01) + (0.1 * 0.99)] ≈ 0.087，即一个人在被诊断为患癌症的情况下，他确实患有该癌症的概率约为8.7%。
条件概率与全概率公式(课时1)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
7.1 条件概率与全概率公式
课时1 条件概率
学习目标
1.了解条件概率的概念.（数学抽象）
2.掌握求条件概率的两种方法.（数学抽象、数学运算）
3.能利用条件概率公式解决一些简单的实际问题.（数学抽象、数学运算）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
[解析] （1）由古典概型的概率公式可知， ， ， ．（2） ．
巩固训练
探究2 条件概率的性质
大家都知道投掷骰子的游戏．
问题1：掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？
[答案] 掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个基本事件，它们彼此互斥.“大于4的点”包含“5点”“6点”，共2个基本事件．
在一次英语口试中，共有10道题可选择.从中随机地抽取5道题供考生回答，答对其中3道题即可及格.假设作为考生的你，只会答10道题中的6道题． 阅读教材，结合上述情境回答下列问题：
预学忆思
自主预习·悟新知
1.你及格的概率是多少？
[答案] 所有的选法有 （种），及格的选法有 （种），故及格的概率 ．
情境设置
问题2：在“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4点”包含哪些基本事件？
[答案] “第一枚4点，第二枚5点”和“第一枚4点，第二枚 点”．
问题3：先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？
[答案] 设“第一枚出现4点”为事件 ，“第二枚出现5点”为事件 ，“第二枚出现6点”为事件C.则所求事件为 ，所以 ．
条件概率课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
5
新知探索
1． 条件概率的概念 条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系 P（AB） 一般地，设 A，B 为两个随机事件，且 P(A)>0，我们称 P(B|A)＝____P_（__A__）____为在事 件 A 发生的条件下，事件 B 发生的条件概率，简称条件概率．
P（B） n(B) 1 n() 4
（2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概 率又是多大？
解析：“在家庭中有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率 就是“事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P（B A） 此时A为新的样本空间，事件B就是积事件AB。
探究新知
（2）解： 根据古典概型可知： P（B A） n(AB) 1 n(A) 3
因为
n( AB)
P(B A) n( AB) n() P( AB) n( A) n( A) P( A) n()
探究新知
概 念 ： 一般地，设A,B为两个随机事件，且P（A）＞0，则称
P（B A） P( AB) P( A)
为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概 率，简称条件概率
探究新知
探究:
(3)设 B 和B互为对立事件，则P(B A) 1 P(B A).
探究新知
例2 已知3张奖券中只有一张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不
放回地各随机抽取1张，他们中奖与抽奖的次序有关吗？
分析：若要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，则 只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖的概率是否相等。 因为只有1张有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中奖 且乙中奖”，“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”；
伯努利
条件概率与全概率公式常考题型训练 高二下学期数学 人教版(2019)选择性必修第三册
《条件概率与全概率公式》常考题型一、条件概率题型一：求条件概率：1. 若8件产品中包含6件一等品，在这8件产品中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另一件是一等品的概率为__________.2. 某班组织甲、乙、丙等5名同学参加演讲比赛，现采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲不是第一个出场，学生乙不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为________.3. 把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M 为“两次所得点数均为奇数”，N 为“至少有一次点数是5”，则()M N P 等于___________.4. 甲、乙两人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获得胜利的概率均为43，各局比赛结果相互独立且没有平局，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为_________.5. 某人忘记了一个电话号码的最后一个数字，只好去试拨，他第一次失败、第二次成功的概率是_______.6.在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中4道题则通过；若至少能答对其中5道题则获得优秀.已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，则他获得优秀的概率_________.题型二：正确区分条件概率与简单随机事件的概率1. 盒中装有5个产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，取两次.求：（1）两次都取得一等品的概率；（2）第二次取得一等品的概率；（3）已知在第二次取得一等品的条件下，第一次取得二等品的概率.2. 电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关，某品牌的电视机的显像管开关了10000次后还能继续使用的概率是0.8，开关了15000次后还能继续使用的概率是0.6，则已经开关了10000次后还能继续使用到15000次的概率是________.3. 现从4名男医生和3名女医生中抽取两个加入某医疗队，用A 表示事件“抽到的两名医生性别相同”，B 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则()=A B P ________.4.从编号为102,1，，⋅⋅⋅的10个大小相同的球中任取4个，在已知选出4号球的条件下，选出球的最大号码为6的概率为________.综合训练:1. 已知()31=A B P ，()52=A P ，则()=AB P _______. 2. 一次考试中，某班级数学成绩不及格的学生占20％，数学成绩和物理成绩都不及格的学生占15％，已知该班某学生数学成绩不及格，则该学生物理成绩也不及格的概率为________.3. 某电视台的夏日水上闯关节目的前三关的过关率分别为65，54，53，只有通过前一关才能进入下一关，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为________.4. 已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取出1个球（每个球取得的机会均等），取出后放回箱中，连续取三次.设事件A 为“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不同”，事件B 为“三次取到的球颜色都不相同”，则()=A B P ________.5.一袋中共有10个大小相同的黑球和白球，若从袋中任意摸出2个球，至少有1个白球的概率为1513，现从中不放回地取球，每次取1球，取2次，若已知第2次取得白球的条件下，则第1次取得黑球的概率为__________.6.甲箱中有5个正品和3个次品，乙箱中有4个正品和3个次品.（1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；（2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取1个产品，求取出的这个产品是正品的概率.二、全概率公式1. 设某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15，第2车间的次品率为0.12，两个车间的成品都混合堆放在一个仓库中，假设第1,2车间生产的成品比列为2∶3，今有一客户从成品仓库中随机提一台产品，求该产品合格的概率.2. 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示. 品牌甲 乙 其它 市场占有率50％ 30％ 20％ 优质率 95％ 90％ 70％3. 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行捡拾白色垃圾活动，参加活动的甲、乙两班的人数之比为3∶2，其中甲班中女生占31，乙班中女生占21，则该社区居民遇到一位进行捡拾白色垃圾活动的同学恰好是女生的概率是_________.4. 袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个小球，摸出的球不再放回.求：（1）第一次摸到红球的概率；（2）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；第二次摸到红球的概率.。
条件概率和全概率公式
高二第11讲条件概率和全概率公式【知识要点】1．事件A 与事件B 互斥：()()()P A B P A P B +=+2．事件A 与事件B 对立：()()()1P A B P A P B +=+=3．事件A 与事件B 相互独立：()()()P AB P A P B =4．条件概率：在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率()(/)()P AB P B A P A =；5．全概率公式：设12,n A A A ⋅⋅⋅，,为一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃⋅⋅⋅⋃=Ω，且()0i P A >，(1,2,,i n =⋅⋅⋅)，则对任意事件B ⊆Ω，有1()()()ni i i P B P A P B A ==∑；6．若事件12,,,n A A A ⋅⋅⋅彼此互斥，它们至少有一个发生的概率1212()()()()n n P A A A P A P A P A ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+.【古典概型】1．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为（）1313. . . . 771414A B C D 2．某路公交在某段路上有4个站点(如图)，分别记为0123,,,A A A A ，现有甲、乙两人同时从0A 站点上车，且他们中的每个人在站点i A (1,2,3i =)下车是等可能的，则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为()2331. . . . 3452A B C D 3．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连，不管人的顺序），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为（）1111. . . . 102040120A B C D 4．如图，电路从A 到B 上共连接着6个灯泡，每个灯泡断路的概率是13，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A 到B 连通的概率是()1044810040. . . . 2772924381A B C D【条件概率】5．从装有2个白球和2个黑球的口袋中任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）.A “至少有一个黑球”和“都是黑球”.B “至少有一个黑球”与“至少有一个白球”.C “恰好有一个黑球”和“恰好有两个黑球”..D “至少有一个黑球”和“都是白球”6．（2021新高考1卷8）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和为8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和为7”，则（）.A 甲与丙相互独立.B 甲与丁相互独立..C 乙与丙相互独立.D 丙与丁相互独立7．（多选题）设,A B 是两个随机事件，则正确的是（）.A 若,A B 是互斥事件，1()3P A =，1()2P B =，则1()6P A B ⋃=.B 若,A B 是对立事件，则()1P A B ⋃=..C 若,A B 是独立事件，1()3P A =，2()3P B =，则1()9P AB =..D 若1(3P A =，1(4P B =，则1()4P AB =，则,A B 是独立事件.8．根据历年气象统计资料，某市5月份吹南风的概率是1031，下雨的概率是1231，既吹南风又下雨的概率是731，则在吹南风的条件下，下雨的概率是()57710. . . . 6101231A B C D 9．先后掷两次骰子(骰子的六个面上分别有1,2,3,4,5,6六个点)，落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，记事件A 为“x y +为偶数”，事件B 为“,x y 中有偶数且x y ≠”，则概率(/)P B A =()1112. . . . 2345A B C D10．某篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为34，若他前一球没投进则后一球投进的概率为14，若他第一球投进的概率为34，则他第二球投进的概率为()3579. . . . 481616A B C D 11．已知事件,,A B C 相互独立，()()()P A P B P C ==，26()27P A B C ⋃⋃=，则()P A =；12．盒中有a 个红球，b 个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c 个，再从盒中第二次抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是；13．人群中患肺癌的概率是0.1%，在人群中有15%是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.5%，则不吸烟者中患肺癌的概率是；（用分数表示）（202304湖南名校联盟13）14．证明：(|)(|)(|)(|)(|)(|)(|)(|)P B A P B A P A B P A B P B A P A B P A B P B A ⋅=⋅ ；（2022高考卷20（2））15．在三棱锥A BCD -中，, BCD ACD ∆∆都是边长为2的正三角形，侧棱3AB =，对其四个顶点随机贴上写有数字1—8的8个标签中的4个，记对应的标号为()f η，（η的取值为,,,A B C D ），E 为侧棱AB 上一点。
高二数学(选修人教A版)条件概率3学习任务单[1]
![高二数学(选修人教A版)条件概率3学习任务单[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/ec9a210f9b89680203d825ee.png)
《条件概率》学习任务单【学习目标】1．通过具体实例,借助概率计算公式，理解条件概率的定义，发展数学建模，数学抽象素养；2．通过对实例的分析，运用条件概率的定义计算随机事件的条件概率，发展逻辑推理，数学运算素养；3．体会知识之间的内在逻辑联系，在知识应用的过程中，感受条件概率的基本性质和计算方法．【课上任务】1。
古典概型的特点是什么？2。
:（1）选到男生的概率是多大？（2）如果已知选到的是住校生，那么选到的是男生的概率是多大？3。
假定生男孩和生女孩是等可能的，现在考虑有两个小孩的家庭. 随机选择一个家庭，那么（1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又有多大?4.结合以上两个问题，你能探索条件概率(|)P A P AB之间的关系吗?P B A与(),()5. 通过以上实例抽象概括出条件概率概念。
6．在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,抽出的题不再放回. 求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率;（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率。
7．通过以上例题总结出求条件概率的两种方法和条件概率的性质。
8。
银行储蓄卡的密码由6位数字组成。
某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字. 求：(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率;（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.9。
通过以上具体实例，说明计算复杂事件的概率的方法，将复杂事件分解为简单事件,利用互斥事件概率的加法公式、条件概率等求出概率．10. 通过两个实例，练习巩固所学知识和求条件概率的两种方法。
【学习疑问】11. 在本节课的学习中有哪个环节没弄清楚？12．在本节课的学习中有什么困惑？【课后作业】13。
一个箱子中装有2n 个白球和(21)n -个黑球，一次摸出n 个球.（1）求摸到的都是白球的概率；（2）在已知它们的颜色相同的情况下，求该颜色是白色的概率.14. 请举出1个条件概率的实例.【课后作业参考答案】13.答案：解：（1）箱子中共有41n -个球，其中有白球2n 个,设事件B 表示摸到的n 个球都是白球，利用古典概型概率计算公式得到241().n n n n C P B C -= （2）设事件A 表示摸到的n 个球都是黑球，事件C 表示摸到的n 个球颜色相同，则2141,().n n n n C C A B P A C --== 又A 与B 互斥，所以22141()()().n n n n n n C C P C P A P B C --+=+= 在已知n 个球的颜色相同的情况下,该颜色是白色的概率为2221()()()(|).()()()n n n n n n P BC P B n BC C P B C P C P C n C C C -====+。
高二数学(选修2-3人教B版)-条件概率
事件 A 是“蓝色骰子向上的点数 为奇数”，事件 B 是“两枚骰子 向上的点数之和大于8”，则所
求概率为 P B A .
红
蓝
法一:古典概型.
PB A 4 2
18 9
法二:条件概率公式.
4
PB
A
PA B P A
36 18
2 9
红
36
例题:同时抛掷两枚相同的硬币，发现其中一枚正面向上，问 另一枚反面向上的概率是多少？
42
与 PB 相等
抽签问题：
乙抽中的概率是 1 .
3
甲没抽中时，乙抽中的概率是
1 2
.
抛骰子问题：
事件 B 发生的概率；PB 1
2
求事件 A 已发生时，事件 B 发生的概率；1
2
归纳：附加条件对事件概率的影响
（1）附加条件可能会导致事件 B 发生概率的变化，但不是必然；
（2）可用古典概型求解；
2
第二种想法：对于任意事件 A 和事件 B ，我们把“事件 A 和事 件 B 同时发生”记作事件 A B ，并称为事件的交（或积）.
在这个问题里，设事件 A 为“甲没
抽中”，事件 B 为“乙抽中”，则 不 事件 A B 就是甲没抽中且乙抽中. 中
中
抽 签
我们看看，这个交事件与我们有附
加条件的概率有什么关系？
例题:抛掷红、蓝两枚骰子，求当蓝色骰子向上的点数为奇数 时，两枚骰子向上的点数之和大于8的概率.
解：设事件 A 为“蓝色骰子向上的点数为奇数”，事件B 为
“两枚骰子向上的点数之和大于8”，则所求概率为 P B A .
解：设事件 A 为“蓝色骰子向上的点数为奇数”，事件B 为
“两枚骰子向上的点数之和大于8”，则所求概率为 P B A .
高二数学必修三概率知识点
高二数学必修三概率知识点概率是数学中的一个重要分支，它研究的是不确定性事件的可能性。
在高二数学必修三中，我们将学习概率的相关概念、性质和计算方法。
本篇文章将围绕高二数学必修三概率知识点展开讲解。
一、概率的基本概念概率是描述一个事件发生可能性的数值，通常用一个介于0到1之间的数表示。
0表示不可能事件，1表示必然事件。
在概率的计算中，我们利用概率公式来计算事件的概率。
概率公式为：P(A) = n(A) / n(S)，其中P(A)表示事件A发生的概率，n(A)表示事件A 的样本点个数，n(S)表示样本空间中的样本点个数。
二、事件的依赖与独立在概率的计算中，我们需要考虑事件之间的依赖关系。
如果两个事件相互独立，即一个事件的发生不影响另一个事件的发生，则它们的概率相乘。
如果两个事件不独立，即一个事件的发生会影响另一个事件的发生，则需要考虑条件概率的计算。
三、排列与组合在概率的计算中，经常会涉及到排列与组合的问题。
排列是指从n个元素中取出m个元素进行排列的方法数，符号表示为A(n,m)。
组合是指从n个元素中取出m个元素进行组合的方法数，符号表示为C(n,m)。
在计算概率时，我们需要利用排列与组合的方法来确定样本空间和事件的个数，从而计算事件的概率。
四、加法与乘法法则在概率的计算中，我们可以利用加法法则和乘法法则来计算复杂事件的概率。
加法法则适用于两个事件之一发生的情况，乘法法则适用于两个事件同时发生的情况。
根据事件的情况，我们可以灵活运用这两个法则进行概率计算，从而得到准确的结果。
五、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的重要定理，它用于在已知一些先验概率的情况下，根据新的观察结果来更新概率。
贝叶斯定理的公式为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
7.1.2 全概率公式(课件)高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)
10 10 9 5
概率乘法公式
(2)记事件B为“最后一位为偶数”，
1 4 1 2
P( A B) P( A1 A1 A2 B) P( A1 B) P( A1 A2 B)
5 5 4 5
问题引入
问题1：从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再
放回.显然，第1次摸到红球的概率为
第二次发生的事件为
B, 则B A1B A2 B A3 B,
P(B) P(A1B) P(A2B) P(A3B) P(A1)P(B| A1)P(A2)P(B| A2)P(A3)P(B| A3)
例题讲解——全概率公式的运用
例4.某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.
则 A " 发送的信号为1" , B " 接收的信号为1" ,
P ( AB ) P ( A) P ( B | A) 0.5 0.05 1
( 2)由贝叶斯公式得P ( A | B )
P( B)
P( B)
0.475
19
练习巩固——全概率公式和贝叶斯公式
P53-5.在A,B,C三个地区暴发了流感，这三个地区分别有6%,5%, 4%的人患了流感.
( ) > 0， = 1，2，⋯，，则对任意的事件 ⊆ Ω，
有() = σ=1 ( )(| ). 称为全概率公式.
= (1 )(|1 ) + ⋯ + ( )(| )
第一次发生的事件
A1, A2 , A3 , 且A1, A2 , A2互斥, 则 A1 A2 A3 ,
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