第2章 质点动力学习题解答

第2章质点动力学习题解答

2-1 如图所示，电梯作加速度大小为a 运动。物体质量为m ，弹簧的弹性系数为k ，•求图示三种情况下物体所受的电梯支持力（图a 、b ）及电梯所受的弹簧对其拉力（图c ）。 解：（a ）ma mg N =- )(a g m N += （b ）ma N mg =- )(a g m N -= （c ）ma mg F =- )(a g m F +=

2-2 如图所示，质量为10kg 物体，•所受拉力为变力2132

+=t F （SI ），0=t 时物体静止。该物体与地面的静摩擦系数为20.0=s μ，滑动摩擦系数为10.0=μ，取10=g m/s 2，求1=t s 时，物体的速度和加速度。 解：最大静摩擦力)(20max N mg f s ==μ

max f F >，0=t 时物体开始运动。

ma mg F =-μ，1.13.02+=-=

t m

mg

F a μ 1=t s 时，)/(4.12s m a =

dt

dv a =

，adt dv =，⎰⎰+=t v dt t dv 02

01.13.0

t t v 1.11.03+=

1=t s 时，)/(2.1s m v =

2-3 一质点质量为2.0kg ，在Oxy 平面内运动，•其所受合力j t i t F

232

+=（SI ），0

=t 时，速度j v 20=（SI ），位矢i r 20=。求：（1）1=t s 时，质点加速度的大小及方向；（2）

1=t s 时质点的速度和位矢。

解：

j t i t m F

a

+==22

3 2

2

3t a x =

，00=x v ，20=x ⎰⎰

=t

v x dt t dv x

02

23，2

3t v x =

⎰⎰

⎰==t

x

t

x dt t dt v dx 03

2

02，28

4+=t x

t a y =，20=y v ，00=y

⎰

⎰

=t

v y tdt dv y

02

，22

2

+=t v y

⎰⎰

⎰+==t

y

t

y dt t dt v dy 02

0)22(，t t y 26

3+=

（1）1=t s 时，)/(2

32s m j i a

+=

（2）j t i t v )22(223++=，1=t s 时，j i v

2521+= j t t i t r )26()28(34+++=，1=t s 时，j i r

6

13817+=

2-4 质量为m 的子弹以速度0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：（1）子弹射入沙土后，速度随时间变化的关系；（2）子弹射入沙土的最大深度。

解：依题意kv f -=，

（1）m kv dt dv a -==，⎰⎰-=t v v dt m

k

v dv 0)(0，解得：t m k

e v v -=0

（2）根据动量定理

00

0)(mv kdx dt kv x

t

-=-=-⎰⎰

，解得： k

mv x 0

=

即子弹射入沙土的最大深度k

mv x 0

=

2-5 一悬挂软梯的气球总质量为M ，软梯上站着一个质量为m 的人，共同在气球所受浮力

F 作用下加速上升。若该人相对软梯以加速度m a 上升，问气球的加速度如何？

解：设气球开始时的加速度为a ，当人相对软梯以加速度m a 上升时的加速度为a '

当人相对软梯以加速度m a 上升时，有：

⎩

⎨

⎧'+=-'

=--)(a a m mg T a M T Mg F m 解以上两式可得：m ma a m M g m M F +'+=+-)()(⋯⋯（1） 开始时刻：a m M g m M F )()(+=+-⋯⋯（2） 两种（1）（2）式比较可知，a a <'，气球的加速度变小。

2-6 如图所示，在一列以加速度a 行驶的车厢上装有倾角

30=θ的斜面，并于斜面上放一物体，已知物体与斜面间的最大静摩擦系数2.0=S μ，若欲使物体相对斜面静止，则车厢的加速度应有怎样限制？

解：静摩擦力满足：N f s μ<<0

当最大静摩擦力的方向沿斜面向上时，加速度最小。

⎩

⎨

⎧=+=-mg N N ma N N s s θμθθμθsin cos cos sin min

解以上两式得：)/(39.3sin cos )

cos (sin 2min s m g a s s ≈+-=

θ

μθθμθ

当最大静摩擦力的方向沿斜面向下时，加速度最大

⎩

⎨

⎧=-=+mg N N ma N N s s θμθθμθsin cos cos sin min

解以上两式得：)/(80.8sin cos )

cos (sin 2min s m g a s s ≈-+=

θ

μθθμθ

欲使物体相对斜面静止，则车厢的加速度的值应满足2

2

/80.8/39.3s m a s m ≤≤ 2-7 棒球质量为14.0kg ，用棒击打棒球的力随时间的变化关系如图所示。设棒被击打前后速度增量大小为70 m/s ，求力的最大值。设击打时不计重力作用。 解：根据面积法可求出力的冲量 max max 04.008.02

1

F F I =⨯⨯=

根据动量定理，有v m mv mv I ∆=-=12 代入数据解得：)(245max N F =

2-8 子弹在枪筒中前进时受到的合力可表示为t F 5103

4

500⨯-

= (SI)，子弹由枪口飞出时的速度为300 m/s ，设子弹飞出枪口时合力刚好为零，求子弹的质量。 解：子弹飞出枪口时合力刚好为零，有：0103

4

5005=⨯-t ，)(1075.330s t -⨯= )(94.0103

25002

0500

Ns t t Fdt I t =⨯-==

⎰

(2)根据动量定理mv mv mv I =-=0，计算得

())(1.3101.33g kg v

I

m =⨯==

-