体积形态连续介质有限变形理论—输运方程
流体动力学基本方程
4
τ 21 = c21kl
∂ul ∂u ∂u = c2121 1 = µ 1 ∂xk ∂x2 ∂x2
′ = c21 ′ kl τ 21
′ ∂ul′ ∂u1 ∂u ′ ′ = c2121 =µ 1 ′ ′ ′ ∂xk ∂x2 ∂x2
′ x1 x2
x1
′ x2
cijkl 是四阶张量，考察变换
′ = β im β jnτ mn = β im β jn cmnpq τ ij ∂uq ∂x p = β im β jn cmnpq β kp β lq ∂ul′ ′ ∂xk
——能量方程
二、动能方程
G G G G G dV G G G dV 将动量方程 ρ = ρF + ∇ ⋅ P 两边同时点积 V 得： ρV ⋅ = ρF ⋅ V + V ⋅ (∇ ⋅ P) dt dt G G G G dV 1 d (V ⋅ V ) 1 dV 2 而V ⋅ ，故有动能定理 = = dt 2 dt 2 dt
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 §4.本构方程 数学预备： 二阶张量的坐标变换 记 ∇V = E ，将坐标系旋转，从原坐标系 o-xyz 到旋转后的坐标系 o-x′y′z ′ ，二阶张量 E 的张量元满足 变换：
Chapter 3
流体动力学基本方程
§1 质量连续性方程（质量守恒方程） 一．体系和控制体。 体系（物质体） ：流体团无论运动到哪，如何变形，总由同一批流体质点组成。 控制体：流场中一个确定的子空间，大小、形状、位置都固定。有流体质点不停出入。 二．通量的概念和 Reynolds 输运方程 质量通量：单位时间内穿过曲面 s 的质量
体积形态连续介质有限变形理论—变形刻画
1. 利用性质1.2中相应结论, 有
t˙
˙◦
◦
◦
t
dX
限 dλ (λ)
=
F
·
dX dλ (λ)
=
F˙
·
dX dλ (λ)
=
L·
F
·
dX dλ (λ)
=
L
·
dX dλ (λ).
2. 利用性质1.2中相应结论, 有
有 t˙
t
◦
◦
∂X × ∂X (λ, µ) = |F |F˙ −∗ · ∂X × ∂X (λ, µ)
体积形态连续介质有限变形理论—变形刻画
谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系
麟
2015 年 4 月 2 日
锡
1
谢 知识要素
基于变形梯度的基本性质, 可按郭仲衡 (1980)关于一般有限变形理论的处理, 将变形的全
部刻画分为 4 类, 归结为如下 4 个性质.
1.1 变形梯度基本性质
稿
性质 1.1 (变形梯度基本性质).
性质 1.2 (初始物理构型－当前物理构型中有向线元、面元以及体元之间的关系式).
t
◦
变 1.
dX dλ (λ)
=
F
·
dX dλ
(λ);
t
t
◦
◦
2. ∂X × ∂X (λ, µ) = (|F |F −∗) · ∂X × ∂X (λ, µ);
限∂λ ∂µ
∂λ ∂µ
有
t
t
t
3.
∂X ,
∂X ,
∂X
∂λ ∂µ
有 式中最后一步利用了 Nanson 公式.
4
体积形态连续介质有限变形理论 -变形刻画
有限体积法基础
有限体积法基础有限体积法是一种数值分析方法，主要用于求解偏微分方程。
它将空间分成一系列的体积元，并且将计算结果储存起来，以便在下一个时间步骤进行计算。
在有限体积法中，体积元的边界被称为单元的面。
这些面被用来确定物质过渡的速率。
下面我们将进一步讨论有限体积法的基础知识。
有限体积法的主要思想是基于守恒原理，它认为一个系统内的总质量、物质和能量是不变的，在考虑这个理论模型的时候需要注意到这些变量的变化。
对于流体力学问题，有限体积法的两个基本假设是守恒原理以及描述流动的基本方程式不变。
有限体积法的设计结合了一些不同类型的基本方程式。
最常见的基本方程式是连续性和动量守恒方程式。
连续性方程式是描述物质输送的方程式，它表示了在任何一个小体积元内的物质输送是以恒定的速率进行的。
动量守恒方程式表示了每个小体积元的力学效应，包括压力、动量、重力和摩擦力等。
在计算的过程中，有限体积法将模型划分成一个网格，将每个体积元看作一个节点，控制体积元内的平均值。
在这个模型中，每个节点的值取决于它的邻域，因此在每个时间步骤中都需要重新计算。
这种方法的优点是可以非常准确地记录物质和能量的流动，缺点是计算量较大，但通过高性能计算工具可以得到准确且高效的解决方案。
总而言之，有限体积法是一种强大的数值分析方法，可以应用于流体力学、结构力学等方面。
它可以在不同的工程学领域解决多种不同的问题，如过程建模、边界值问题等。
要求有效地运用有限体积法，在合理的网格分布、合理的边界条件、合理的物理模型以及合理的计算策略下，对于计算速度和准确性都要求高度保证。
连续介质力学运动方程
连续介质力学运动方程
连续介质力学是研究流体和固体等连续介质运动的力学理论。
其运动方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
首先，我们来看质量守恒方程。
在连续介质力学中，质量守恒
方程描述了流体内部质量的变化。
它可以用偏导数形式表示为
∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0，其中ρ是介质的密度，t是时间，v
是介质的速度矢量，∇是梯度算子。
这个方程表明了质量在空间和
时间上的变化关系。
其次，动量守恒方程描述了连续介质中动量的变化。
对于流体
力学来说，动量守恒方程可以写作ρ(∂v/∂t + v·∇v) = -∇p
+ ∇·τ + f，其中p是压力，τ是应力张量，f是外力。
这个方
程表达了流体内部动量随时间和空间的变化规律。
最后，能量守恒方程描述了连续介质内能量的变化。
对于不可
压缩流体来说，能量守恒方程可以写作∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev + pv) = ∇·(k∇T + q)，其中e是单位质量的内能，k是导热系数，T是温度，q是热源。
这个方程描述了能量在流体中的传递和转化过程。
综上所述，连续介质力学的运动方程包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程，它们描述了连续介质在运动过程中的质量、动量和能量的变化规律。
这些方程是研究流体力学和固体力学问题的重要基础，对于理解和预测连续介质运动具有重要意义。
第三章 大变形运动学与连续介质力学(1)
从而有
dx ( I H ) dX ，
dxi ( iJ H iJ )dX J
dX ( I h) dx ，
dX I ( jI hIj )dx j
（2）参考构形体元与现时构形体元之间的变换
dx
dx '
dx ''
x dX X
x dX ' X
x dX '' X
第三章 大变形运动学与连续介质力学
小变形： 包括弹性或塑性小变形，应变 ~ 0.1% Cauchy应变与位移是线性关系——几何线性问题 大变形（有限变形） ：
ij (ui , j u j ,i )
1 2
应变大，有时达到 100~ 200%，甚至更大 Cauchy应变不再适用——几何非线性问题，需要建立新的变形描述理论 通常由纯变形（stretch），刚体转动（rigid body rotation）及刚体位移 （ translation）组成
ˆ ˆi E 通常取两个完全重合的直角坐标系： e I
则下标可不区分大小写
参考构形中的质点P，或质点X（XJ） 微小线元PQ记作向量dX
经过运动与变形后，在t 时刻： 构形C变为构形c 质点XJ（质点P）运动到p，位移为u p的空间坐标为x（xi） 线元PQ变为pq ， dX变为dx
质点X（XJ）的运动： x x ( X , t ) ， xi xi ( X J , t ) x X u ， xi iJ X J ui
小变形Cauchy应变 ： ij (ui , j u j ,i ) 2 11 22 cos 1 若 90 ，则 11 22 1 刚体转动任意一点的应变都是0。 只有当 0 时应变公式才有足够的精度 Cauchy应变不适用于大变形
连续介质力学
连续介质力学的应用领域包括：工 程力学、流体力学、固体力学、生 物力学等。
连续性假设：假设介质是连续的没 有空隙或裂缝
各向同性假设：假设介质在各个方 向上都是相同的
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均匀性假设：假设介质在各个方向 上都是均匀的
小变形假设：假设介质的变形很小 不会影响其物理性质
流体：不可压缩、连续、无固定形状的 物质如空气、水等
多尺度连续介质力学：研究不同尺度下的连续介质力学问题如分子动力学、介观力学等
跨学科连续介质力学：与其他学科交叉如生物力学、环境力学等
计算连续介质力学：发展高效的计算方法和软件解决复杂问题如流体动力学、固体力学 等
PRT SIX
连续介质力学是研究流体和固体力学 的重要学科
连续介质力学的特点包括：连续性、 守恒性、对称性等
研究方法：数学模型、数值 模拟、实验验证等
研究对象：连续介质如液体、 气体、固体等
基本概念：应力、应变、位 移、速度、加速度等
应用领域：工程力学、流体 力学、固体力学等
PRT THREE
弹性力学的定义：研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布的学科 弹性力学的基本假设：连续性假设、小变形假设、均匀性假设、各向同性假设 弹性力学的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程 弹性力学的应用：工程结构设计、地震工程、材料科学等
,
汇报人：
CONTENTS
PRT ONE
PRT TWO
连续介质力学是研究连续介质（如 液体、气体、固体等）在力作用下 的变形、流动和应力分布的学科。
连续介质力学的研究内容包括：应 力、应变、变形、流动、热传导等。
添加标题
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连续体方程
连续体方程连续体方程是描述物理系统中连续介质运动的方程组。
这些方程在流体力学、气体力学、固体力学等领域中有着广泛的应用。
本文将依次介绍连续体方程的七个方面。
1.运动方程运动方程是描述质点或粒子运动规律的方程。
在经典力学中，牛顿第二定律就是一种常见的运动方程，表达了物体加速度与作用力之间的关系。
在连续体力学中，运动方程通常表示连续介质中每个质点的运动状态，涉及到速度、加速度和作用力等物理量。
2.连续性方程连续性方程是描述流体、气体等连续介质流动的方程。
它表达了质量守恒的原理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的质量之和等于该截面上质量的变化量。
在流体和气体流动中，连续性方程是必不可少的，它可以表示流体微团在运动中的质量变化。
3.动量方程动量方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的动量变化率的方程。
它表达了动量定理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的动量之和等于该截面上动量的变化量。
在流体力学中，动量方程可以表示流体微团受到的力与加速度之间的关系。
4.动量矩方程动量矩方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的动量矩变化率的方程。
它表达了角动量定理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的角动量之和等于该截面上的角动量的变化量。
在流体力学中，动量矩方程可以表示流体微团受到的扭矩与角加速度之间的关系。
5.能量方程能量方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的能量变化率的方程。
它表达了能量守恒的原理，即在一定时间内，流入和流出某个截面的能量之和等于该截面上能量的变化量。
在流体力学中，能量方程可以表示流体微团受到的热量与内能之间的关系。
6.熵方程熵方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的熵变化率的方程。
它表达了热力学第二定律，即在孤立系统中，过程总是朝着熵增加的方向进行。
在流体力学中，熵方程可以表示流体微团受到的热量与熵之间的关系。
7.本构方程本构方程是描述流体、气体等流动中微小扰动的本构关系的方程。
它涉及到应力与应变、压力与体积等物理量之间的关系，反映了流体的内在属性。
流体力学基本方程组总结
（47）
P ' 是除去 pI 后得到的张量，称为偏应力张量。当运动消失时它趋于零。可见，偏应力
张量和应力张量一样也是对称张量。
（2）偏应力张量的各分量 ij
是局部速度梯度张量
vi x j
各分量的线性齐次函数。当
速度在空间均匀分布时，偏应力张量为零；当速度偏离均匀分布时，在粘性流体中产生 了偏应力，它力图使速度回复到均匀分布情形。
pij x j
0
（27）
或
(v) div(vv) F divP 0 t
(vi t
)
div(
vi
v
)
Fi
pij x j
0
（28）
微分方程中各项的物理意义为， Dv 表示单位体积上惯性力， F 为单位体积上的质 Dt
量力，divP 为单位体积上应力张量的散度，它是与面力等效的体力分布函数（由奥高公 式转化而来）。
中定义的剪切速率的值是这里的一半，这是有问题的，因为剪切速率本身的值应以这里 为准，但变形速度张量内剪切变形的量值为该剪切速率的一半。
由上可知，变形速度张量的对角线分量 1 ， 2 ， 3 的物理意义分别是 x, y, z 轴线上
线段元 dx, dy, dz 的相对拉伸速度或相对压缩速度。而非对角线分量1,2,3 的物理意义
（1）求解上式右边第二项内对体积元的随体导数，则
D( v )d Dt
v
D d Dt
(v) t
v
( v )
d
( v )divvd
(v t
)
v
(
v
)
(
v
)
v
d
(v t
)
div(
vv
连续介质变形的基本方程
连续介质变形的基本方程在固体力学和流体力学中，连续介质变形是一个重要的研究领域。
连续介质是指在宏观上看起来是连续、均匀的物质。
而连续介质变形是指物质在受到外力作用下，发生了形状、大小、密度等方面的变化。
在研究连续介质变形时，我们通常会使用基本方程来描述其变化规律。
其中，固体力学和流体力学的基本方程略有不同。
以下是这两种基本方程的简要介绍：1. 固体力学的基本方程在固体力学中，连续介质的变形可以用应变张量描述。
应变张量是一个三维矩阵，用于描述物体在不同方向上的变形程度。
而应变张量的变化可以用应力张量描述。
应力张量是一个与应变张量大小相同的矩阵，用于描述物体在不同方向上所受的力的大小。
固体力学的基本方程可以用两个方程式表示：应力张量 = 杨氏模量×应变张量应变张量 = 变形张量×形变张量其中，杨氏模量是一个物质特有的常数，用于描述物体在受到力作用下的变形程度。
变形张量和形变张量分别描述物体在受到力作用下的形状变化和大小变化。
2. 流体力学的基本方程在流体力学中，连续介质的变形可以用速度场描述。
速度场是一个三维函数，用于描述物体在不同位置上的速度大小和方向。
而速度场的变化可以用压力场描述。
压力场是一个与速度场大小相同的函数，用于描述物体在不同位置上所受的压力大小。
流体力学的基本方程可以用两个方程式表示：动量方程：密度×加速度场 = 压力场的梯度场 + 体积力场连续性方程：质量守恒动量方程中，密度和加速度场描述物质的质量和运动状态。
压力场的梯度场和体积力场描述物质在不同位置上所受的力的大小和方向。
连续性方程描述物质在不同位置上的质量守恒。
第二章流体动力学积分形势的基本方程
( ) ( ) φ
τ 01 +τ 02
r,t + ∆t
dτ 0 −
φ
τ 01 +τ 03
r,t
dτ 0
∫∫∫τ01 φ (r,t + ∆t ) −φ (r,t ) dτ0 + ∫∫∫τ02 φ (r,t + ∆t ) dτ0
− ∫∫∫τ03 φ (r,t ) dτ0
由系统导数的定义：
∫∫∫ = DI li= m ∆I lim 1 Dt ∆t→0 ∆t ∆t→0 ∆t
D=φ ∂φ + v ⋅∇φ
Dt ∂t
( ) ∂φ + ∇ φ= v
∂t
Dφ + φ∇ ⋅ v
Dt
⇒
D Dt
∫∫∫= τ0 φdτ0
∫∫∫τ
Dφ
Dt
+
φ∇
⋅
v
dτ
如果
φ
=
ρ
Dρ
，则：
+
ρ∇ ⋅ v
=0
（微分形式连续方程）
Dt
(2)
D Dt
∫= ∫∫τ0 ρφdτ0
∫∫∫τ
D
( ρφ
Dt
)
+
∫∫ − A02 φ (r,t )(v ⋅ n)∆tdA0
通过以上分析：
∫∫∫ lim 1
∆t→0 ∆t
τ01 φ (r,t + ∆t ) −φ= (r,t ) dτ0
∫∫∫= τ01 ∂∂φt dτ0
∫∫∫τ
∂φ
∂t
dτ
∫∫∫ ∫∫∫ lim
∆t →0
1 ∆t
τ02 φ (r, t + ∆t ) dτ 0 −
第3章有限变形讲解
第3章 有限变形§3.1 有限变形这时说的变形，除连续性条件外，没有其余任何条件。
小变形：小位移，小转动，小应变，)(21)(21,,,,i j j i ij i j j i ij u u u u +=-=εω有限变形：大位移，大转动，大应变对于一个微小六面体：小变形下变为一个平行六面体 有限变形下仍变为一个平行六面体 这一条件不变变形几何学方面来研究变形 四个问题： 1）记录2）什么办法来描述 3）怎么度量4）有没有办法将变形分解§3.2 物体的构形和坐标系物体：连续介质，变形前用0K 代表，变形后物体用t K 代表0K ：物体，物质点的集合,被始构形(material configuration)； t K ：变形后的物体,现时构形(spatial configuration)，P ：物质点p ：空间点，物质点在空间所占的位置。
初始坐标系 ⅢⅡⅠX X X O -k 1现时构形ⅠXⅡXⅢX)(K X P)(kx pXOod2xx 3x1xu现时坐标系 321x x x o -构形：每一瞬时与物质点对应的空间点的集合。
0=t 瞬时，初始构形 0K0K ：初始构形，X 点的坐标（K X ）t K ：现时构形，（瞬时t 的构形），x 点的坐标（k x ） 全部采用直角坐标系§3.3 描写物体运动和变形的方法1． Lagrange 描述法用物质坐标k X 作自变量（描述物体的运动和变形）(,) (,)k k K t x x X t ==x x X研究物质点在不同时刻所对应的空间点（着眼点：跟踪物质点运动状况）2． Euler 描述法用空间坐标k x 作自变量（描述物体的运动和变形）(,) (,)K K k t X X x t ==X X x研究空间点x 处对不同时刻流径这一空间的物质点（着眼点：跟踪在一个空间点上，不同时刻对应的物质点）（前者跟踪同一个人，不同晚上睡不同的床位，后者跟踪同一张床，不同晚上由不同的人去睡）位移点：u=+-u d x X （其中d 不随时间而变，X 也与t 无关）速度和加速度：分两种表述方法 1）Lagrange 法22(,)(,)K K X t tX t t ∂==∂∂===∂X v u x a v u2）Euler 法：（研究流体的流动等）(,)k x t =v v ——流场(,)d(,)d (,) k k k k k kkx t x x t t t x t x t v t x ∂∂∂==+∂∂∂∂∂=+∂∂v v a v v v物质导数=局部导数+迁移导数§3.4 变形梯度有限变形：记录（构形），描述⎩⎨⎧EL，度量（本节研究）物体的有限变形的研究，离不开一点的领域，或取一个线元。
连续介质力学方程
连续介质力学方程连续介质力学方程是描述连续介质内部力学性质的基本方程。
它是研究固体、液体和气体等连续介质行为的重要工具。
在物理学和工程领域中，连续介质力学方程被广泛应用于材料科学、流体力学、地球物理学等领域。
1. 引言连续介质力学方程是基于连续介质假设建立的。
根据这个假设，连续介质可以看作是由无数微观粒子组成的，其性质在宏观尺度上表现为连续分布的。
通过对微观粒子的统计平均，可以得到宏观尺度上的物理量。
2. 连续介质假设在连续介质力学中，我们假设物体可以用一个连续分布的函数来描述。
这个函数被称为密度函数或者分布函数，通常用符号ρ表示。
通过对密度函数进行积分操作，我们可以得到宏观尺度上的物理量。
3. 连续性方程连续性方程描述了物体内部粒子数守恒的原理。
它是基于质量守恒定律推导出来的。
连续性方程可以用微分形式和积分形式表示。
微分形式的连续性方程如下：∂ρ∂t+∇⋅(ρv)=0其中，ρ是密度，t是时间，v是速度矢量。
积分形式的连续性方程如下：∫∂ρ∂tV dV+∫(ρv)S⋅dS=0其中，V是空间体积，S是边界面积。
连续性方程说明了物质在空间中的变化情况。
当密度变化时，物质会在空间中流动。
4. 动量守恒方程动量守恒方程描述了物体内部动量守恒的原理。
根据牛顿第二定律和连续介质假设，可以得到动量守恒方程。
动量守恒方程可以用微分形式和积分形式表示。
微分形式的动量守恒方程如下：ρ(dv dt+(v ⋅∇)v)=∇⋅T +f 其中，ρ是密度，t 是时间，v 是速度矢量，T 是应力张量，f 是外力矢量。
积分形式的动量守恒方程如下：∫ρV (dv dt +(v ⋅∇)v)dV =∫T S ⋅dS +∫f VdV 动量守恒方程描述了物质在空间中受到的力和速度变化之间的关系。
当物体受到外力作用时，会产生加速度，从而改变其速度。
5. 能量守恒方程能量守恒方程描述了物体内部能量守恒的原理。
根据热力学第一定律和连续介质假设，可以得到能量守恒方程。
第3章有限变形讲解
第3章有限变形§ 3.1有限变形这时说的变形，除连续性条件外，没有其余任何条件。
小变形：小位移，小转动，小应变，1 ( 、 ■ 'ij ^2(Ui ，j —Uj,i 丿1有限变形：大位移，大转动，大应变 对于一个微小六面体：小变形下变为一个平行六面体有限变形下仍变为一个平行六面体这一条件不变变形几何学方面来研究变形 四个问题： 1) 记录2) 什么办法来描述 3) 怎么度量4) 有没有办法将变形分解§ 3.2物体的构形和坐标系物体：连续介质，变形前用 K 0代表，变形后物体用 K t 代表K 0 :物体，物质点的集合，被始构形(material configuration)；K t :变形后的物体，现时构形(spatial configuration)，P :物质点p :空间点，物质点在空间所占的位置。
初始坐标系 O-X ]X 口X 皿k t现时构形现时坐标系0 _治乂2乂3构形：每一瞬时与物质点对应的空间点的集合。
t =0瞬时，初始构形K oK o :初始构形，X点的坐标（X K）K t :现时构形，（瞬时t的构形），x点的坐标（XQ全部采用直角坐标系§ 3.3描写物体运动和变形的方法1 . Lagrange描述法用物质坐标X k作自变量（描述物体的运动和变形）x =x （X ,t）兀=兀以"）研究物质点在不同时刻所对应的空间点（着眼点：跟踪物质点运动状况）2. Euler描述法用空间坐标X k作自变量（描述物体的运动和变形）X 二X （X,t） X K二X K（X k,t）研究空间点X处对不同时刻流径这一空间的物质点（着眼点：跟踪在一个空间点上，不同时刻对应的物质点）（前者跟踪同一个人，不同晚上睡不同的床位，后者跟踪同一张床，不同晚上由不同的人去睡）X w位移点：Uu=d，x-X （其中d不随时间而变，X也与t无关）速度和加速度：分两种表述方法1) Lagrange 法u _ 次(X「t)2）Euler法：（研究流体的流动等）v二v(x k,t)——流场d / 丄、cv （x k ,t ）eV 臥一 dt 从山十瓦专物质导数=局部导数+迁移导数§3.4变形梯度有限变形：记录（构形）L，度量（本节研究）E物体的有限变形的研究，离不开一点的领域，或取一个线元。
03-多相流动的基本方程
13
动量方程（二相流动）
A ( t ) A ( t ) V V ( t ) V ( t )A 1 2 1 2
* * * * * * V ( t ) V ( t ) V ( t ) A ( t ) A ( t ) A ( t ) 1 2 1 2
单位时间内系统V*(t)的动量增加（动量增长率） =
10
连续方程（二相流动）
质量守恒： 单位时间流出控制面A1(t)和A2(t)的净质量 =
针对控制体V
控制体V内质量的减少。
d d n v d A n v d A d V d V 1 1 2 2 1 2 d t d t A ( t ) A ( t ) V ( t ) V ( t ) 1 2 1 2
A ( t ) 2
~ ~ b d V b d V n P d A n P d A 1 1 2 2 1 2
V ( t ) 1 V ( t ) 2 A ( t ) 1
针对控制体V=V1(t)+V2(t)，
单位时间内控制体 V的动量增加 =单位时间内（净）流入控制面的动量 +外界作用在控制体上的质量力+外界作用在控制面上的表面力
D Q Q d V d V Q ( v n ) d S D t t V *( t ) V S
说明：Q可以是标量，也可以是矢量。
当 Q 时，
v时，表示单位时间内通过的动量。 当 Q
Q(v n)dS 表示单位时间内通过S的质量；
S
5
2. 连续介质模型
d v d V v ( v n ) d A v ( v n ) d A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d t V ( t ) A ( t ) A ( t ) 1 1 i
有限体积法介绍
有限体积法1 有限体积法基本原理上一章讲到的有限差分法将数值网格的节点上定义为计算节点，并在网格节点上对微分形式的流体基本方程进行离散，用网格节点上的物理量的代数方程作为原PDE的近似。
在本章所要学习的有限体积法则采用了不同的离散形式。
首先，有限体积法离散的是积分形式的流体力学基本方程：(1)计算域用数值网格划分成若干小控制体。
和有限差分法不同的是，有限体积法的网格定义了控制体的边界，而不是计算节点。
有限体积法的计算节点定义在小控制体内部。
一般有限体积法的计算节点有两种定义方法，一种是将网格节点定义在控制体的中心，另一种方法中，相邻两个控制体的计算节点到公共边界的距离相等。
第一种方法的优点在于用计算节点的值作为控制体上物理量的平均值具有二阶的精度；第二种方法的好处是在控制体边界上的中心差分格式具有较高的精度。
积分形式的守恒方程在小控制体和计算域上都是成立的。
为了获得每一个控制体上的代数方程，面积分和体积分需要用求面积公式来近似。
2 面积分的近似采用结构化网格，在二维情况下，每一个控制体有4个面，二维情况，每一个控制体有6个表面。
计算节点用大写字母表示，控制体边界和节点用小写字母表示。
为了保证守恒性，控制体不能重叠，每一个面都是相邻两个控制体的唯一公共边界。
控制体边界上的积分等于控制体个表面的积分的和：(2)上式中，f显然，为了获得边界上的积分，必须知道f 在边界上的详细分布情况，这是不可能实现的，由于只是计算节点上的函数值，因此必须采用近似的方法来计算积分。
整个近似过程分成两步第一步：用边界上几个点的近似积分公式第二步：边界点上的函数值用计算节点函数值的插值函数近似 面积分可采用以下不同精度的积分公式： 二阶精度积分：(3)近似为方格中心点的值乘以方格的面积。
三阶精度积分：(4)四阶精度积分：(5)应该注意的是，采用不同精度的积分公式，在相应的边界点的插值时也应采用相应精度的插值函数。
积分公式的精度越高，近似公式就越复杂。
体积形态连续介质有限变形理论—变形梯度及其基本性质
讲 稿
Σ Σ Σ Σ
2
谢
锡 麟
∂X ∂xi r ab | t = X (x(ξ + ∆ξ, t), t) − X (x(ξ, t), t) = ( x , t ) (ξ )∆ξ A ∂xi ∂ξ A V [ i ] ∂xi ∂x A A = A (ξ , t)g i (x, t)∆ξ = (ξ, t)g i (x, t) ⊗ G (ξ ) · (∆ξ B GB (ξ )) ∂ξ ∂ξ A
综上所述, 可见就曲线坐标系显含时间有限变形理论, 只是速度以及张量场的物质导数不同 于一般有限变形理论; 变形梯度的定义及其基本性质在内蕴形式上同一般有限变形理论保持一 致.
2 应用事例 3 建立路径
• 变形梯度可以本质性地理解为当前物理构型与初始物理构型间的有向线元之间的可微性意 义下的关系, 或者理解为物理空间中变形刻画向量值映照的 “导数”.
由此, 可得变形梯度行列式的计算式 [( i )( ( i ) √ ( ) )] g ∂x ∂x A i |F | = det F·j = det (ξ , t) (ξ , t) . (G , g j )R3 = √ det ∂ξ A ∂ξ A G 2. 对曲线坐标系显含时间有限变形理论, 速度梯度具有如下表示形式: ( ) ∂V ∂ ∂X l ˙ + L := V ⊗ (x, t) ⊗ g = x (x, t) ⊗ g l , ∂xl ∂xl ∂t 此处 ˙ (x, t) x 于是
( i ) ˙) ∂xi ∂x ˙s ∂xΣ Σ Σ (ξ Σ , t) = (xΣ , t) det (ξ Σ , t). s A A ∂xΣ ∂ξΣ ∂ξΣ
由此, 可有 (
˙) ∂xi Σ det (ξ Σ , t) A ∂ξΣ ˙1 ˙m m−1 2 m 1 ∑ ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x Σ Σ · · · σ(Σ + · · · + σΣ · · · σ(Σ = sgnσ σΣ (ξ Σ , t) (1) σ (2) m) (1) m−1) σ (m) ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ σ ∈ Pm ˙i m ∑ m 1 ∑ ∂x ∂x ∂x · · · σΣ · · · σ(Σ (ξ Σ , t) = sgnσ σΣ (1) (i) m) ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ i=1 σ ∈Pm [ ] m ∑ i m ∑ ∂x1 ∂ x ˙ ∂x Σ = sgnσ · · · σΣ · · · σ(Σ (ξ Σ , t) σ (1) (i) m) ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ i=1 σ ∈Pm [ ( ) ] m ∑ ∑ ∂x1 ∂x ˙i ∂xm ∂xs Σ Σ Σ Σ = sgnσ (ξ , t) · · · (xΣ , t) σ(i) (ξΣ , t) · · · σ(m) (ξΣ , t) σ (1) Σ ∂xs ∂ξΣ ∂ξΣ ∂ξΣ Σ i=1 σ ∈Pm ] [ m ∑ ∑ ∂xs ∂xm ∂x ˙i ∂x1 Σ Σ Σ Σ · · · · · · (ξ Σ , t). = ( x , t ) sgn σ Σ σ (1) σ (i) σ (m) ∂xs ∂ξ ∂ξ ∂ξ Σ
第五章 输运过程的基本方程及基本流动形式
对于任何一种稳定流动，有 0, 所以由（5t 5）式得知： ( v) 0
这是不可压缩流体稳定流动的连续性方程。 对于大多数高分子材料熔体加工过程均可近似地 视其为不可压缩流体的稳定流动，故连续性方程 可用该式表示。
2. 运动方程——动量守恒律
高分子材料流变学
第五章 输运过程的基本方程 及基本流动形式
基本要求
基本要求：掌握输送过程基本方程的推导 过程，以及两种基本流动形式。 学会在推导过程中理解方程的意义！！
引言
高分子流变学研究高分子液体在流动过程中所表 现的非线性粘弹性及其规律，广义而言，这些内 容均属于连续介质力学的范畴，属于输运过程。 因此象所有材料的真实物理过程一样，高分子流 变过程也必然遵循自然界普遍适用的最基本的守 恒定律。在输运过程范畴内，这些守恒定律主要 表现为质量守恒定律，动量守恒定律和能量守恒 定律。
Dv1 x1x2 x3 Fi1 Dt i
外在方 i 向的分量，粘弹力在方向的分量VE1 和重力在方 向的分量G1。
综合写成张量表示式： Dv （5-19） p [ σ] g Dt 此式称一般粘弹性流体的动量方程，也称运动方 程。
对不可压缩的牛顿流体， 为常数，偏应 力张量 σ 0v ，粘度η0为常数，故（5-19） 式得以简化： Dv p ( 0 v ) g p 0 v g Dt 此方程即著名的Navier-Stokes方程， 为牛顿流体力学中的基本方程。在这儿它 只是粘弹性流体运动方程的一个特例。
(x, t )d v dA M A t
（5-2）
我们称（5-2）式为连续性方程的积分型式。
公式表明单位时间内体积中流体的质量变化等 于该时间内穿过曲面A的净流量，其物理本质为 质量守恒定律。后一个积分是对包围体积的封 闭曲面A作的面积分。 利用场论中的Gauss定理可将一个面积分转化为 体积分，于是（5-2）式可改写为：
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• 本讲稿获得输运定理的思想与方法基于微积分并利用严格形式的变形刻画, 故分析过程及 结论完全严格. 很多文献采用体积元的方法推导体积上输运定理, 实际为物质导数的极限 分析. 这样的方法 “ 貌似” 物理意义清晰, 但却难以推广至物质面, 物质线上的输运问题.
有
限
变
形
理
论
讲 稿
3
谢
t t t ∫ d ∂ X ∂ X ∂ X (λ, µ, γ )dτ Φdτ = Φ , , dt Dλµγ ∂λ ∂µ ∂γ R3 ∫ ∫ ˙ dτ + = tΦ t θ Φdτ V V ] ∫ ∫ [ ∂X ∂Φ (x, t) + · (V ⊗ Φ) dτ − t (x, t) · ( ⊗ Φ)dτ = t ∂t V ∂t ∮ ∫V ∫ ∂Φ ∂X (x, t)dτ + t Φ(V · n)dτ − t (x, t) · ( ⊗ Φ)dτ. = t V ∂t ∂V V ∂t
性质 1.2 (当前物理构型中有向线元、面元以及体元的物质导数同其之间的关系式).
t˙ t dX dX 1. (λ) = L · (λ); dλ dλ t t ˙ t t ∂X ∂X ∂X ∂X 2. × (λ, µ) = B · × (λ, µ); ∂λ ∂µ ∂λ ∂µ
dX (λ) dλ ˙ dl + Φ
t
Φdλ ∫
t
τ
(τ · L∗ )
C
C
限
2. 物质面第二类输运定理 d dt ∫
t
Φ
有
Σ
d dt
∫
t
n
Σ
∂ X × ∂ X (λ, µ)dσ ∂λ ∂µ Dλµ ∫ ˙ ndσ + = t Φ (B · n)dσ, t Φ Σ Σ t t ∫ ∂ X d ∂ X (λ, µ) Φdσ Φdσ = × dt Dλµ ∂λ ∂µ ∫ ∫ ˙ = t n Φdσ + t (n · B ∗ ) Φdσ ; ndσ = Φ
Σ Σ
d dt ∫
∫
t
2
谢
Φdl;
t
锡 麟
体积形态连续介质有限变形理论 -输运方程
谢锡麟
3. 物质体输运定理 d dt ∫
t
V
式中不失一般性地认为体积转换项始终为正, 并且最后等式的获得利用了 Gauss-Ostrogradskii 公式.
2 应用事例 3 建立路径
• 为计算物质系统 (物质线, 物质面以及物质体) 上张量场的第一类或第二类积分, 首先按微 积分中曲线积分, 曲面积分以及体积分的计算方法将积分转化至参数域, 由于参数域不随 时间变化, 故对于时间的导数可以直接移至积分内 (对参数域上的被积张量进行求导), 结 此可建立所有形式的输运定理. 合变形刻画可以将所有情形的参数域上的积分再转化至当前构型中物质系统上的积分, 由
锡 麟
(λ, µ).
R3
谢
1 知识要素
锡 麟
体积形态连续介质有限变形理论 -输运方程 1. 物质线第一类输运定理 d dt ∫
t ∫ d b dX Φ (λ)dλ t Φdl = dt a dλ C 3 ∫ ∫ R ˙ dl + = tΦ t Φ (τ · D · τ )dl ; C C
谢锡麟
2. 物质面第一类输运定理 d dt ∫
Σ
1.2.2
第二类输运定理
将第三类变形刻画 (性质1.2) 结合微积分中第二类线积分以及面积分的计算式, 可得第二类 输运定理. 以下 表示任何合法的张量代数运算.
1. 物质线第二类输运定理 d dt ∫
形
理
t
Φ
C
论
C
t ∫ dX d b Φ (λ)dλ τ dl = dt a dλ ∫ ∫ ˙ = t Φ τ dl + t Φ (L · τ )dl, C
体积形态连续介质有限变形理论—输运方程
谢锡麟 复旦大学 力学与工程科学系 2015 年 4 月 2 日
1.1
相关变形刻画
dX 1. dλ
R3
t˙
dX (λ) = (τ · D · τ ) dλ
R3
t
(λ);
R3
论
˙ t t ∂X ∂X 2. × ∂λ ∂µ 此处 D
∂X ∂X × (λ, µ) = (θ − n · D · n) ∂λ ∂µ
1.2.1
输运方程
第一类输运定理
将第四类变形刻画 (性质1.1) 结合微积分中第一类线积分以及面积分的计算式, 可得第一类 输运定理. 1
形
理
L + L∗ 称为曲线坐标系显含时间有限变形理论的变形率张量; τ 和 n 分别表示有向 2 线元的指向以及有向面元的单位法向量.
讲 稿
t t
性质 1.1 (当前物理构型中有向线元、面元模的物质导数同其之间的关系式).t t t t t ∂ X ∂ X ∂ X ∂ X ∂ X ∂ X (λ, µ, γ ) = θ (λ, µ, γ ). 3. , , , , ∂λ ∂µ ∂γ ∂λ ∂µ ∂γ θI − ⊗ V 称为曲线坐标系显含时间有限变形理论的面变形梯度.
此处 B
1.2
变
d dt
∫
t
τ
Φdl = =
C
d dt ∫
t
讲 稿
∫
a b
t t ∫ d ∂X ∂X Φ × (λ, µ)dσ t Φdσ = dt Dλµ ∂λ ∂µ Σ 3 ∫ ∫R ∫ ˙ dσ + = t Φ t Φθ dσ − t Φ(n · D · n)dσ Σ Σ Σ ] [ ∫ ∫ ∂X ∂Φ (x, t) + · (V ⊗ Φ) dσ − t (x, t) · ( ⊗ Φ)dσ = t Σ ∂t Σ ∂t ∫ − t Φ(n · D · n)dσ.