课题函数的基本性质之函数的单调性.doc
函数的基本性质-单调性教案
函数的基本性质——单调性教案教学目标：1. 理解单调性的概念，掌握单调增函数和单调减函数的定义。
2. 学会判断函数的单调性，并能运用单调性解决实际问题。
3. 理解单调性在数学分析中的重要性，培养学生的逻辑思维能力。
教学内容：第一章：单调性的概念1.1 单调增函数1.2 单调减函数1.3 单调性的判断方法第二章：单调性的性质2.1 单调增函数的性质2.2 单调减函数的性质2.3 单调性与其他函数性质的关系第三章：单调性与最值3.1 单调性与函数最值的关系3.2 利用单调性求函数最值3.3 单调性在优化问题中的应用第四章：单调性与方程的解4.1 单调性与方程解的关系4.2 利用单调性求方程解4.3 单调性在实际问题中的应用第五章：单调性的应用5.1 利用单调性证明不等式5.2 单调性在实际问题中的应用案例分析5.3 单调性在数学竞赛中的应用教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入单调性的概念，引导学生思考为什么需要研究单调性。
2. 举例说明单调性在实际问题中的应用，激发学生的学习兴趣。
二、新课讲解（20分钟）1. 讲解单调增函数和单调减函数的定义，引导学生理解单调性的本质。
2. 通过示例，讲解单调性的判断方法，让学生学会如何判断函数的单调性。
三、案例分析（15分钟）1. 分析单调性与函数最值的关系，引导学生学会利用单调性求函数最值。
2. 分析单调性与方程解的关系，让学生学会利用单调性求方程解。
四、课堂练习（10分钟）1. 针对本节课的内容，设计一些练习题，让学生巩固所学知识。
2. 引导学生思考单调性在实际问题中的应用，培养学生的应用能力。
2. 鼓励学生思考单调性在其他领域的应用，激发学生的创新意识。
教学评价：1. 通过课堂讲解、案例分析和课堂练习，评价学生对单调性的理解和掌握程度。
2. 关注学生在实际问题中运用单调性的能力，评价学生的应用水平。
3. 鼓励学生反思单调性在其他领域的应用，评价学生的创新意识。
函数的基本性质(讲解部分)
y轴 对称
奇函数 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 关于 f(-x)=-f(x) ,那么函数f(x)就叫做奇函数
2.奇、偶函数的性质
原点 对称
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关于原
点对称的区间上的单调性 (2)在公共定义域内,
相反 .
(i)两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数;
例3 求函数f(x)=log1 (-x2-2x+3)的单调区间.
2
解题导引 先求定义域,然后拆分函数式为y=log1 u,u=-x2-2x+3,判断单调性
2
得单调区间.
解析 由已知得-x2-2x+3>0,∴-3<x<1. ∴f(x)的定义域为{x|-3<x<1}.令u=-x2-2x+3.
∵u=-x2-2x+3在区间(-3,-1)上单调递增,在区间(-1,1)上单调递减,y=log1 u为
§3.2 函数的基本性质 (讲解部分)
考点清单
考点一 函数的单调性及最值
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为I.区间D⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2
都有① f(x1)<f(x2)
都有② f(x1)>f(x2)
函数f(x)在区间D上是③ 增函数
2
(2)∵f(x)在R上单调递减,
a-1 0,
∴0 a 1,
∴
loga 2 (a-1) 2-2a,
2 ≤a<1.
2
∴a的取值范围为
2 2
函数的基本性质之单调性
函数的基本性质之单调性1.增函数：y随x的增大而增大的函数，即对任意的x1，x2属于定义域，若x1>x2，有f（x1）>f（x2）2.减函数：y随x的增大而减小的函数，即对任意的x1，x2属于定义域，若x1>x2，有f（x1）<f（x2）3.单调性：如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数f（x）在区间D上具有（严格的）单调性，区间D称为单调区间考点一：用定义证明函数的单调性方法：取值变形例：证明：函数y=x+在（0，上是减函数练：在上例中，若定义域换为（3，），那么函数的单调性如何？且画出在（0，）上的大致图像。
考点二：求单调区间方法：化简函数解析式画出函数图像确定单调区间例：指出函数y=-++3的单调区间练：指出函数y=-+3x+3的单调区间考点三：利用单调性确定参数指导思想：若y=f(x)在区间（a，b）上递增（减）就等价于（a，b）是增区间（减区间）的一个子集例：已知函数f（x）=+2（a-1）x+2在区间（-，上是减函数，求实数a的取值范围练：已知函数f（x）=+2（a-1）x+2的单调递减区间是（-，，求实数a的取值范围4.函数的最大值：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在M满足，对于任意的x I，都有f（x）M，且存在x0I，使得，f（x0）=M，那么称M是函数y=f（x）的最大值5.函数的最小值：一般的，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在M满足，对于任意的x I，都有f（x）M，且存在x0I，使得，f（x0）=M，那么称M是函数y=f（x）的最小值考点四：利用图像求函数最值例：已知函数f（x）=3-12x+5，当自变量x在下列范围内取值时，求函数的最大值，最小值：（1）x R;(2)x；（3）x考点五：利用单调性求函数最值方法：定义法证明函数单调性求最值例：求函数f（x）=x+在x上的最大值及最小值。
练：求函数f（x）=x+在x上的最值。
函数的单调性教案()
函数的单调性教案(优秀)第一章：函数单调性的基本概念1.1 函数单调性的定义教学目标：让学生理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
教学内容：(1) 引入函数单调性的概念。
(2) 讲解函数单调增和单调减的定义。
(3) 举例说明函数单调性的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的定义和例子。
(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性的含义和应用。
教学步骤：(1) 引入函数单调性的概念，引导学生理解函数单调性的意义。
(2) 讲解函数单调增和单调减的定义，举例说明。
(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性的理解。
(4) 总结函数单调性的应用，如解不等式、求最值等。
1.2 函数单调性的性质教学目标：让学生掌握函数单调性的性质，包括传递性、同增异减等。
教学内容：(1) 讲解函数单调性的传递性。
(2) 讲解函数单调性的同增异减性质。
(3) 举例说明函数单调性性质的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解函数单调性的性质。
(2) 采用提问法，引导学生思考函数单调性性质的含义和应用。
教学步骤：(1) 讲解函数单调性的传递性，举例说明。
(2) 讲解函数单调性的同增异减性质，举例说明。
(3) 让学生通过例子判断函数的单调性，加深对函数单调性性质的理解。
(4) 总结函数单调性性质的应用，如解不等式、求最值等。
第二章：函数单调性的判断方法2.1 利用导数判断函数单调性教学目标：让学生掌握利用导数判断函数单调性的方法。
教学内容：(1) 讲解导数与函数单调性的关系。
(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法。
(3) 举例说明利用导数判断函数单调性的应用。
教学方法：(1) 采用讲解法，讲解导数与函数单调性的关系及判断方法。
(2) 采用提问法，引导学生思考导数判断函数单调性的含义和应用。
教学步骤：(1) 讲解导数与函数单调性的关系，让学生理解导数在判断函数单调性中的作用。
(2) 讲解利用导数判断函数单调性的方法，举例说明。
新教材：3.2.1函数的单调性
3.2 函数的基本性质3.2.1 函数的单调性【知识梳理】1．函数单调性的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的两个自变量的值x1，x2，（1）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数；（2）当x1＜x2时，都有，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数．2．单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是或，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间．3．两种形式设任意x1，x2∈[a，b]且x1＜x2，那么（1） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． （2） ⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； ⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 4．函数单调性的判断（1）定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．（2）复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数． （3）图象法：利用图象研究函数的单调性． 5．函数的最值（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．【考点分类精讲】考点1：函数单调性的判断与证明【考题1】求证：函数1)(3+-=x x f 在R 上是减函数。
【举一反三】求证：函数x x f -=)(在定义域上是减函数．【考题2】求证：函数1)(2++=x x x f 在区间),(+∞-∞上是单调递增函数．【举一反三】求证：函数x x x f -+=1)(2在其定义域上是减函数．【考题3】判断函数xax x f +=)((0>a )的单调性，并作出当1=a 时函数的图像．【考题4】判断函数1)(2-=x x f 在定义域上的单调性．【举一反三】（选做）已知228)(x x x f -+=，如果)2()(2x f x g -=，求)(x g 的单调区间．考点2 函数的单调区间【考题5】写出下列函数的单调区间． （1）2()|23|f x x x =--（2）3||2)(2--=x x x f（3）223)(-+=x x x f（4）4444)(22++++-=x x x x x f【举一反三】求函数22311)(xx x f ---=的单调递减区间．考点3 函数的最值【考题6】设ax x x f -+=1)(2，其中1≥a ，求函数)(x f 在[a ，）∞+上的最值．【举一反三】 1．求函数1)(-=x xx f 在区间2[，]5上的最大值与最下值．2．设max {a ，b }表示两个数a 与b 的最大值，则max {|1|+x ，|2|-x }的最小值．3．已知函数f (x )=xax x ++22，[)1,x ∈+∞，（1）当12a =时，求函数f (x )的最小值； （2）若对任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a 的取值范围．【考题7】求函数12)(2--=ax x x f 在闭区间]2,0[上的最大值与最小值．【举一反三】1．已知函数2()22f x x ax =++，求()f x 在[]5,5-上的最大值与最小值．2．已知函数32)(2+-=x x x f ，当t x [∈，]1+t 时，求)(x f 的最大值与最小值．3．已知函数3)1(2)(2--+=x a ax x f )0(≠a 在区间23[-，]2上的最大值是1，求实数a 的值．考点4 函数单调性的应用【考题7】函数y ＝x －5x －a －2在(－1，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．a ＝－3B ．a <3C ．a ≤－3D ．a ≥－3【举一反三】1．已知函数)0()(2>+=a xax x f 在),2(+∞上递增，则实数a 的取值范围是 ． 2．若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=）（）0,)2(0(,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上是增函数，则实数b 的取值范围是 ．3．若函数n mx x x f ++=2)(，对任意x 都有)2()2(x f x f +=-成立，试比较)1(-f ，)2(f ，)4(f 的大小关系．【考题8】定义在R 上的函数)(x f y =，0)0(≠f ，当0x >时，1)(>x f ，且对任意的,a b R ∈，有()()()f a b f a f b +=.（1）求证：(0)1f =；（2）求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >； （3）求证：()f x 是R 上的增函数；（4）若()2()21f x f x x ->，求x 的取值范围．【举一反三】1．已知函数)(x f 对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.（1）求证：)(x f 在R 上是减函数； （2）求)(x f 在[－3,3]上的最大值和最小值．1．设二次函数a ax x x f ++=2)(，方程0)(=-x x f 的两个实根1x 和2x 满足1021<<<x x ． （1）求实数a 的取值范围； （2）试比较)0()1()0(f f f -与161的大小关系，并说明理由．3．设a ，b ，c 都是大于0的实数，且c b a >+，求证：ccb b a a +>+++111．【题型优化测训】一、选择题1．函数2()2f x x ax a =-+在区间(,1)-∞上有最小值，则a 的取值范围是（ ） A ．1a <B ．1a ≤C ．1a >D ． 1a ≥2．函数54)(2+-=mx x x f 在),2[+∞-上是增函数，则)1(f 的取值范围是（ ）A ．25)1(≥fB ．25)1(=fC ．25)1(≤fD ．25)1(>f3．若()ax x x f 22+-=与()1+=x ax g 在区间[]2,1上都是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()()1,00,1-⋃B ．()1,0C ．(]1,0D ．()(]1,00,1-⋃4．设()22f x x =-,若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围 （ ） A ．()0,2B ．(]0,2C ．(]0,4D ．()0,45．已知函数()x f 是R 上的增函数，()1,0-A ，)1,3(B 是其图象上的两点，那么不等式()11<+x f 的解集的补集是 （ ）A ．(][),14,-∞⋃+∞B ．()1,2-C ．()1,4D ．(][),12,-∞-⋃+∞6．定义在R 上的函数()y f x =在(),2-∞上是增函数，且()2y f x =+图象的对称轴是0x = 则（ ） A ．()()13f f -<B ．()()03f f >C ．()()13f f -=-D ．()()23f f <7．用min {a ，b ，c }表示三个数a ，b ，c 中的最小值，设=)(x f min {x 2，x -10，2+x }，则)(x f 的最大值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．78．已知()x f 在区间R 内是减函数，又0,,≤+∈∈b a R b R a ，则有（ ） A ．()()()()b f a f b f a f --≤+ B ．()()()()b f a f b f a f -+-≤+ C ．()()()()b f a f b f a f --≥+ D ．()()()()b f a f b f a f -+-≥+二、填空题9．若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是____________．10．函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，比较f (a 2－a ＋1) )43(f (填“>” 或“<”或“≥” 或“≤”)． 11．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3在[－2，＋∞)上为增函数，在(－∞，－2)上为减函数，则m ＝ ．12．设函数()f x x =-在[]3,0x ∈-上的最大值a ，最小值为b ，则a b +=________．13．设()f x 是R 上的增函数，且)()(2x a f x x f ->+对∀R x ∈都成立，则a 的取值范围是 ． 三、解答题14．已知()f x 是定义在[]1,1-上的增函数，且2(1)(1)f x f x -<-，求x 的取值范围．15．已知函数()f x 对任意,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，且当0x >时，()1f x >， 求证：()f x 是R 上的增函数．16．对R x ∈∀，)(x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 的最大者，写出)(x f 的解析式并求其最小值．17．已知函数)(x f 的定义域为0(，)∞+，且当1>x 时，0)(>x f 且)()()(y f x f y x f +=⋅． （1）求)1(f 的值；（3）解不等式0)]21([<-x x f ．18．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=，且当1>x 时，0)(<x f . （1）求)1(f 的值； （2）判断)(x f 的单调性；（3）若1)3(-=f ，求)(x f 在[2，9]上的最小值； （4）若1)3(-=f ，解不等式2|)(|-<x f。
函数的基本性质单调性教案
函数的基本性质——单调性教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解函数单调性的概念，掌握判断函数单调性的方法；（2）能够运用单调性解决实际问题，如求函数的最值等。
2. 过程与方法：（1）通过观察实例，引导学生发现函数单调性的规律；（2）利用数形结合，让学生理解函数单调性的几何意义。
3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数单调性的概念及其判断方法；（2）单调性在实际问题中的应用。
2. 教学难点：（1）理解函数单调性的几何意义；（2）如何运用单调性解决实际问题。
三、教学过程1. 导入：通过实例引入函数单调性的概念，激发学生的兴趣。
2. 新课讲解：（1）介绍函数单调性的定义及判断方法；（2）利用数形结合，讲解函数单调性的几何意义。
3. 案例分析：分析具体案例，让学生学会运用单调性解决实际问题。
4. 练习巩固：布置练习题，让学生独立完成，检验对单调性的掌握程度。
5. 课堂小结：总结本节课的主要内容，强调单调性在数学中的重要性。
四、课后作业1. 完成练习册的相关题目；2. 选取一个实际问题，运用单调性进行解决。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对函数单调性的理解和运用能力。
关注学生在学习过程中的情感态度，激发学生对数学的兴趣。
六、教学活动设计1. 互动环节：学生分组讨论，举例判断给定函数的单调性；2. 探究活动：学生自主研究，分析函数单调性在实际问题中的应用；3. 小组合作：学生分组完成课后作业，相互检查，共同提高。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习状态；2. 练习完成情况：检查学生课后作业的完成质量，评价学生对单调性的掌握程度；3. 实际问题解决：评估学生在探究活动中的成果，检验学生运用单调性解决问题的能力。
函数的基本性质(2)函数单调性
课题3.4 函数的基本性质（2）——函数单调性学 科：高中数学课程类型：基础型课式类型：新授课执教老师：田红兵授课班级：高一（2）班一、教学目标1.理解单调函数（增函数、减函数）、单调区间（增区间、减区间）的概念和图像特征，能根据函数的图象判断单调性、写出单调区间，能运用函数的单调性概念证明简单函数的单调性。
2.经历函数单调性概念抽象提炼的过程，体会数形结合的思想， 培养抽象概括、推理论证和语言表达的能力。
3.通过函数单调性概念的抽象过程，感受数学的严谨性，培养严谨的科学态度，养成良好的思维习惯。
二、教学重点及难点重点：函数单调性的概念难点：领悟函数单调性的本质, 掌握函数单调性的判断和证明三、教学用具准备：多媒体课件四、教学过程设计 策略与方法（一）情景引入1． 观察关于上海市园林绿地面积的图形，（见ppt ）问题：从1990年到2000年上海市园林绿地面积变化 由生活情境引入新课，趋势如何？ 激发兴趣，了解新概念预案：随年份的增加而增加。
在生活的原型，认识研问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 究单调性的必要性。
预案：长江水位高低、燃油价格、股票价格等．归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的增加，函数值是增大还是减小，对于自变量增大时，函数值是增大还是减小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们继续研究这个问题。
(二).归纳探索，形成概念1.借助图象，直观感知问题1：观察函数x y 3=，22+-=x y ，x x y 22+-=，x y 1=的图象，自变量增大时，函数值有什么变化规律？ 策略与方法预案:(1)函数x y 3=在整个定义域内 y 随x 的增大而增大； 从初中学过的四类(2)函数22+-=x y 在整个定义域内 y 随x 的增大而减小． 函数入手，通过观察图(3)函数x x y 22+-=在[)+∞,1上 y 随x 的增大而减小， 像直观感知函数单调性。
《函数的基本性质──单调性与最值》教学设计.doc
《函数的基本性质——单调性与最值》教学设计一、内容和内容解析函数思想是贯穿高中数学的一根主线，函数的基本性质又是函数一章的重点内容。
一方面，它是对以前所学具体函数的一次总结，又是函数知识的一次拓展，对后续学习指、对数函数、三角函数有重要的指导作用。
另一方面，函数的单调性与最大（小）值是初等数学与高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的单调性与最大（小）值在解决实际问题中有着相当重要的作用。
因此，两数单调性与最大（小）值的教学，在教材体系中有着不可替代的位置，又有着重要的现实意义。
函数的单调性最大（小）值是函数的重要性质之一，它是研究函数值与自变量变化的一种关系，既要求学生结合函数的图象（直观性）来研究函数单调性和最大（小）值，也要求学生利用函数单调性和最大（小）值的定义（严谨性）来研究函数单调性和最大（小）值。
因此本节课的教学重点是函数的单调性与最大（小）值的概念及其几何意义；判断、证明函数单调性；求函数的最大（小）值，利用单调性和最大（小）值来解决实际问题，培养学生的函数思想，数形结合思想以及应用数学意识。
二、目标和目标解析1、通过观察一些函数图象的特征，形成函数单调性的直观认识。
再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随口变量的增大（减小）的规律，由此得出函数单调性的定义。
理解函数单调性的定义，能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。
2、通过实例，使学生体会到函数的最大（小）值实际上是函数图象的最高（低）点的纵坐标，因而借助函数图象的直观性可得出函数的最大（小）值，由此得出函数最大（小）值的定义。
理解函数最值的定义，掌握求最值的基本方法和基本步骤，能解决相关实际问题。
3、利用函数的单调性和图象求函数在闭区间上的最大（小）值，解决H常生活中的实际问题，增进对数学应用价值的认识，激发学习数学兴趣与热情。
4、学会运用函数图象理解和研究函数的性质，利用函数的性质来画函数的图象（草图），培养学生数形结合的思想和应用数学意识。
课时1 函数的单调性
关于函数单调性的教学，建议教师先通过图象观察分析图象的特 征，让学生说出图象分别反映的函数的性质．然后教师再借助学生所熟 悉的二次函数的图象来研究函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性 质，给出这一性质就是函数的单调性．最后将这一性质用数学符号语言 描述出来，进而给出函数的增、减性概念，通过例题让学生掌握判断函 数单调性的步骤和方法．
的图象向左平移一个单位，再向上平移两个
单位得到，如图：
要使函数f(x)＝
2x－1 x＋1
在区间[m，＋∞)上为增函数，则需满足m∈(－
1，＋∞)．
(备选题)已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－ a)<f(2a－1)，求实数a的取值范围．
－1<1－a<1，
解：由题知－1<2a－1<1， 1－a>2a－1，
一、导入新课 如图为某地2020年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气 温变化图：
二、提出问题 1．温度在哪个时间内是逐步升高的或下降的？
2．怎样用数学语言刻画上述时间段内“随着时间的增长气温逐渐升 高”这一特征？
3．对于任意的t1，t2∈[4,16]时，当t1<t2时，是否都有f(t1)<f(t2)呢？
(1)求f(－2)，f
1 2
的值；(2)试判断函数在
－1，＋∞
上的单调性，并
给予证明． 解：(1)由函数f(x)＝axx＋－11的图象过点(1,2)，得f(1)＝a－2 1＝2，解得a
＝5，所以f(x)＝5xx＋－11，所以f(－2)＝－－111＝11，f12＝5×12＋12－1 1＝1.
(2)函数在(－1，＋∞)上是增函数，证明如下：任取x1，x2，且－ 1<x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝5xx11＋－11－5xx22＋－11＝ 5x1－1x2＋1－5x2－1x1＋1
(整理)函数的基本性质单调性最值
（一）函数单调性的定义1. 增函数与减函数一般地，设函数y ＝f （x ）的定义域为I ，增函数：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是增函数。
减函数：如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）>f （x 2），那么就说f （x ）在区间D 上是减函数。
说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：xy 1=不能说 )0,(-∞ ),0(+∞是原函数的单调递减区间；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1＜x 2时，总有f （x 1）＜f （x 2）或 f （x 1）＞f （x 2）。
2. 函数的单调性的定义如果函数y ＝f （x ）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f （x ）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y ＝f （x ）的单调区间。
例1 观察下列函数的其图象，指出其单调性． （1）1y x x=+；（2）11y x=-；例2 指出下列常见函数的单调性： （1）y c =（c 为常数）；【析】y 不随x 的增大而改变，无单调性． （2）y ax b =+（0a ≠）；【析】0a >，函数在R 上递增；0a <，函数在R 上递减． （3）2y ax bx c =++（0a ≠）； 【析】0a >，函数在(,)2b a-∞-上递减，在(,)2ba -+∞上递增；0a <，函数在(,)2b a-∞-上递增，在(,)2ba -+∞上递减．（4）ky x=（0k ≠）； 0k >，函数在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递减； 0k <，函数在(,0)-∞上递增，在(0,)+∞上递增．（5）y x =；函数在(,0)-∞上递减，在(0,)+∞上递增． （6）y x =． 函数在(0,)+∞上递增．3. 判断函数单调性的方法和步骤（1）利用定义证明函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性的一般步骤： ①任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2； ②作差f （x 1）－f （x 2）；③变形（通常是因式分解和配方）；④定号（即判断差f （x 1）－f （x 2）的正负）；⑤下结论（即指出函数f （x ）在给定的区间D 上的单调性）。
函数的基本性质单调性教案
函数的基本性质-单调性教案第一章：函数单调性的概念与定义1.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性的存在。
1.2 单调性的定义：函数单调递增和单调递减的定义。
1.3 单调性的表示：用符号表示函数的单调性。
1.4 单调性的性质：单调性的一些基本性质，如传递性、复合函数的单调性等。
第二章：函数单调性的判断与证明2.1 单调性的判断方法：通过导数或者图像来判断函数的单调性。
2.2 单调性的证明：利用导数或者定义来证明函数的单调性。
2.3 单调性的应用：利用单调性解决一些实际问题，如最值问题、不等式问题等。
第三章：函数单调性与极值的关系3.1 极值的概念：函数的极大值和极小值的定义。
3.2 极值与单调性的关系：函数在极值点附近的单调性变化。
3.3 利用单调性求极值：通过单调性来确定函数的极值点。
第四章：函数单调性与图像的关系4.1 图像的单调性：函数图像的单调递增和单调递减。
4.2 单调性与图像的交点：函数图像的交点与单调性的关系。
4.3 利用图像判断单调性：通过观察函数图像来判断函数的单调性。
第五章：函数单调性的应用5.1 函数的单调区间：确定函数的单调递增或单调递减区间。
5.2 单调性与函数值的关系：函数值的变化与单调性的关系。
5.3 应用实例：利用单调性解决实际问题，如最大值、最小值问题等。
第六章：单调性在实际问题中的应用6.1 引言：通过实际问题引入单调性的应用。
6.2 单调性在优化问题中的应用：如最短路径问题、最大收益问题等。
6.3 单调性在经济学中的应用：如市场需求、价格调整等。
第七章：函数单调性的进一步探讨7.1 函数的严格单调性：严格单调递增和严格单调递减的定义。
7.2 单调性的不变性：函数单调性在坐标变换下的性质。
7.3 单调性与连续性的关系：连续函数的单调性性质。
第八章：复合函数的单调性8.1 复合函数的定义：两个函数的组合。
8.2 复合函数的单调性：复合函数单调性的判定方法。
函数的基本性质
函数的基本性质1、 单调性定义（1）单调性定义：给定区间D 上的函数y=f(x)，若对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1 < x 2时，都有f(x 1) < f(x 2),则f(x)为区间D 上的增函数，对于任意的x 1，x 2∈D ，当x 1 < x 2时，都有f(x 1) > f(x 2),则f(x)为区间D 上的减函数。
单调性与单调区间密不可分。
单调区间是定义域的子区间。
（2） 证明单调性的步骤：①定义法：a 任取，∈D ，且 <b 做差 — ,并适当变形c 依据差的正负判断单调性②导数法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.（3）设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. 2、 与单调性有关的结论和应用（1） 若f(x),g(x)均为某区间上的增（减）函数，则f(x)+g(x)为某区间上的增（减）函数（2） 若f(x)为增（减）函数，则—f(x)为某区间上的减（增）函数（3） y=f[g(x)]是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则y=f[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则y=f[g(x)]是减函数（4） 奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。
（5） 我们常用函数的单调性解答如下问题：比较大小、求值域或最值、解证不等式、作函数图像等。
函数的基本性质——单调性
3.4 函数的基本性质——单调性【知识解读】1、函数单调性的概念对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 )()(21x f x f <，那么就称)(x f 在区间I 上是单调增函数，区间I 称为函数)(x f 的单调 增区间。
对于给定区间I 上的函数)(x f y =，如果对于任意I x x ∈21,，当21x x <时，都成立 ，那么就称)(x f 在区间I 上是单调减函数，区间I 称为函数)(x f 的 。
2、函数单调性的运算：设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调增函数，则)()(x g x f +在21I I I 上单调增 设)(x f 与)(x g 分别为1I 与2I 上的单调减函数，则)()(x g x f +在21I I I 上3、单调性与奇偶性：若奇函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 若偶函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，则它在区间],[a b --上 *4、复合函数单调性：同增异减。
【例题讲解】例1、证明函数()23+=x x f 在区间()+∞∞-,上是增函数。
例2、判别函数24xy =在区间),0(+∞上的单调性，并证明。
例3：判定函数()[]2,4,2-∈=x x x f 的单调性，并求出它的单调区间（不需证明）。
例4、已知函数x x x f +=3)(（1）判断并证明)(x f 在R 上的单调性 （2）方程1000)(=x f 有正整数解吗？为什么？例5、写出下列函数的单调区间（不需证明）（1）12)(+=x x f （2）2)1()(-=x x f（3）23)(2+-=x x x f （4）231)(-=x x f例6、已知函数a x a x x f 2)1()(2++-=在区间]1,2[-上单调递减，求实数a 的取值范围。
函数的基本性质(最值)
1.3.1函数的单调性
想一想：对于函数f (x) 定义域内某个区间D上的任意
两个自变量的值
x1,
x2
( x1
x2 )，若
f (x1) f (x2 ) x1 x2
0
，
则函数 f (x) 在区间D上的单调性如何？
若 f (x1) f (x2 ) 0 呢？
x1 x2
1.3.1函数的单调性
练习： 已知函数f(x)在R上是减函 数，且
2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而 言，有哪几种可能情况？
3:如果函数 f (x)存在最大值，那么有几个？
4:如果函数 f (x)的最大值是b，最小值是a， 那么函数 f (x)的值域是[a，b]吗？
理论迁移
1.3.1函数的单调性
例1. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制 造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如 果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的
1.3.1函数的单调性
1.3 函数的基本性质
1.3.1函数的单调性
单调性定义：
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数，区间D就叫做函数y=f(x)一个 单调增区间. 如果函数y=f(x)在区间D上是减函数，区间D就叫做函数y=f(x)一个 单调减区间. 单调增区间,单调减区间,统称为单调区间。 如果函数在区间D上是增函数(或减函数)就称该函数在区间D上具有单调性.
观察下列两个函数的图象：
y y
m
m
o
x0
x
x0 o
x
图1
图2
思考:这两个函数图象各有一个最低点，函数图
象上最低点的纵坐标叫什么名称？
思考:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数
f (x) 的最小值？
3.4(4)函数的基本性质—函数的单调性
1 2. 函数 f x 的单调减区间是 x
.
教学新授:
例1.已知函数f(x)=x2-mx+5在 ,2上为减函数, 在 2,上为增函数,则f(2)= .
例2.已知函数f(x)=x2-mx+5在 ,2 上为减函数, 求实数m的取值范围.
对于函数二次函数 f x ax2 bx c 当 a 0 时， f x的单调增区间是
说明： 本系列课件，经多次使用，修改，其中有部分 来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有更好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@
第三章 函数
复习回顾
1.判定函数 f x x , x 4,2 的单调性， 并求出它的单调区间.
f x的单调减区间是
. . . .
当 a 0 时， f x的单调增区间是
f x的单调减区间是
例 3.若 f x是定义在 R 上的奇函数,且在 0, 上为增函数, f 2 0 (1)求不等式 f x 0的解集；
x (2)求不等式 0 的解集； f x
（3）求方程 f x 0的解集.
例4.已知函数 在 2,上为减函数, 求实数a的取值范围.
ax 1 f x x2
例
5.判断函数 f x
ax , x 1,1的单调性, 2 1 x
并说明理由.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2.函数的基本性质之单调性
函数的基本性质一. 函数的单调性1.复合函数的单调性的判定［例1］函数)(x f 在R 上为增函数，求函数)1(+=x f y 单调递减区间． 解析：令1+=x u ，则u 在(－∞,－1]上递减，又函数)(x f 在R 上为增函数， ∴ 函数)1(+=x f y 单调递减区间为(－∞,－1].【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数．只要知道函数1+x 的单调性，)1(+=x f y 与1+x 的单调性和单调区间相同．如果变函数)(x f 在R 上为减函数，那么函数)1(+=x f y 的单调性与函数1+x 的单调性相反，即函数)1(+=x f y 单调递增区间为(－∞,－1].练习 设函数)(x f 在R 上为减函数，求函数)1(xf y =单调区间．2.函数的和函数与差函数的单调性的判定 在函数)(x f 、)(x g 公共定义域内， 增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数．［例2］若ax y =与xb y -=在()+∞,0上都是减函数，则bx ax y +=2的单调性是( ) A. 在()+∞∞-,上是增函数 B. 在()+∞,0上是增函数C. 在()+∞∞-,上是减函数D. 在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数 解析: 由函数 ax y =在()+∞,0上是减函数，得 a ＜0，又函数xby -=在()+∞,0上是减函数，得 b ＜0， 于是，函数2ax ，bx 在()+∞∞-,上都是减函数， ∴ 函数bx ax y +=3在()+∞∞-,上是减函数，故选C ．【技巧提示】 熟悉函数ax y =，2ax y =，bx y =，xby =的单调性与a 、b 的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性． ［例3］求函数31)(--+=x x x f 的最大值．解析：由31431)(-++=--+=x x x x x f ，知函数31)(--+=x x x f 在其定义域 [3，+∞ )上是减函数． 所以31)(--+=x x x f 的最大值是2)3(=f ．【技巧提示】 显然由31431-++=--+x x x x 使得问题简单化，当然函数定义域是必须考虑的．练习 1. 已知[]1,0∈x ，则函数x x y --+=12的值域是 .解析：∵ x x y --+=12在[]1,0∈x 上单调递增，∴ 函数x x y --+=12的值域是[])1(),0(f f ．即[]3,12-．2. 求函数x x y 21++=的值域．解析：∵ x x y 21++= 在定义域⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21上是增函数， ∴ 函数x x y 21++=的值域为 ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,21．3. 抽象函数的单调性例 已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x >0时，f (x )<0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)∵函数f(x)对于任意x ，y ∈R 总有f(x)＋f(y)＝f(x ＋y)，∴令x ＝y ＝0，得f(0)＝0.再令y ＝－x ，得f(－x)＝－f(x)． 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f(x 1)－f(x 2)＝f(x 1)＋f(－x 2)＝f(x 1－x 2)．又∵x>0时，f(x)<0，而x 1－x 2>0，∴f(x 1－x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)．因此f(x)在R 上是减函数．(2)∵f(x)在R 上是减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.练习 定义在R 上的函数()y f x =，(0)0f ≠，当0x >时，()1f x >，且对任意的a b R ∈、，有()()()f a b f a f b +=⋅. (1)求(0)f 的值；(2)求证：对任意的x R ∈，恒有()0f x >；(3)若2()(2)1f x f x x ⋅->，求x 的取值范围. 解：（1）解：令0a b ==，则2(0)(0).f f = 又(0)0f ≠，(0)1f =. （2）证明：当0x <时，0x ->，∴()1f x -> ∵(0)()()1f f x f x =⋅-=，∴1()0()f x f x =>- 又0x ≥时， ()10f x ≥> ∴对任意的x R ∈，恒有()0f x >. （3）解：设12x x <，则210x x ->. ∴21()1f x x ->. 又1()0f x > ∴ 1212111211()()()[()]()()()f x f x f x f x x x f x f x x f x -=--+=--⋅ =121()[1()]0f x f x x --<∴ 12()()f x f x <.∴ ()f x 是R 上的增函数. 由2()(2)1f x f x x ⋅->，(0)1f =得 2(3)(0)f x x f ->.∴ 230x x ->，∴03x <<∴所求的x 的取值范围为(0,3)二.一个特殊的函数 ---对号函数xb ax x f +=)()0,0(>>b a 被称为对号函数．对号函数是奇函数，其图象是双曲线，y 轴和直线 ax y =是其渐近线． ［例4］试判断函数xbax x f +=)()0,0(>>b a 在()0,+∞上的单调性并给出证明.解析：设120x x >> ，()()()12121212ax x bf x f x x x x x --=- 由于120x x -> 故当12,x x ⎫∈∞⎪⎪⎭ 时()()120f x f x ->，此时函数()f x在⎫∞⎪⎪⎭上增函数，同理可证函数()f x在⎛ ⎝上为减函数. 【技巧提示】 xbax x f +=)()0,0(>>b a 是一种重要的函数模型，要引起足够的重视．事实上，函数()()0,0bf x ax a b x =+>>的增函数区间为,⎛-∞ ⎝和⎫∞⎪⎪⎭，减函数区间为⎛ ⎝和⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．但注意本题中不能说()f x在,⎛-∞ ⎝⎫∞⎪⎪⎭上为增函数，在⎛ ⎝⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数, 在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”．练习 求函数2=y 解析：由()u g uu x x x x y =+=+++=++=1414452222,[)+∞∈,2u ,用单调性的定义法易证()u u u g 1+= 在[)+∞,2上是增函数，易求函数2=y 25为所求．再例：已知函数()[)+∞∈++=,1,22x x ax x x f . 若对于x [)+∞∈,1,)(x f ＞0恒成立，试求a 的取值范围.解析：由)(x f ＝ [)+∞∈++=++,1,222x xax x a x x .当a ＞0时， ()2++=xa x x f 显然有)(x f ＞0 在[)∞+.1恒成立；a ≤0时，由()[)+∞∈++=++=,x ,xax x a x x x f 1222知其为增函数，只需)(x f 的最小值)1(f ＝3＋a ＞0,解之，a ＞－3. ∴当a ＞－3时，)(x f ＞0在[)+∞,1上恒成立.［例5］已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)10(f ＝1， 设)(x F =)(1)(x f x f +，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论． 解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(2x f ＞)(1x f ，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)10(f ＝1，∴当x ＜10时0＜)(x f ＜1，而当x ＞10时)(x f ＞1； ① 若1x ＜2x ＜10，则0＜)(1x f ＜ )(2x f ＜1， ∴0＜ )(1x f )(2x f ＜1，∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；② 2x ＞1x ＞10，则)(2x f ＞)(1x f ＞1 ， ∴)(1x f )(2x f ＞1，∴)()(121x f x f ＞0，∴ )(2x ＞)(1x F ； 综上，)(x F 在（－∞，10）为减函数，在（10，＋∞）为增函数.【技巧提示】 该题属于判断抽象函数的单调性问题，用单调性定义解决是关键．课后训练1、函数1()(0)f x x x x=+≠的单调性描述，正确的是（ ） A 、在(－∞，＋∞)上是增函数； B 、在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是增函数； C 、在(－∞，－1)∪(1，＋∞)上是增函数； D 、在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数2、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（ ）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数3、函数()f x 是定义在[0,)+∞上的单调递减函数，则2(1)f x -的单调递增区间是4、函数236xy x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是5、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y f x =-的单调递减区间为6、对于任意R x ∈，函数()x f 表示3+-x ，2123+x ，342+-x x 中的较大者，则()x f 的最小值是_____________.7、证明函数()x f ＝2x 在[0，＋∞）上是增函数．8、证明函数xx y 14+= 在),21[+∞上是增函数．9、已知函数)(x f 、)(x g 在R 上是增函数，求证：))((x g f 在R 上也是增函数.10、求函数12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最值．11、若函数22)(2+-=x x x f 当]1,[+∈t t x 时的最小值为()g t ，求函数()g t 当]2,3[--∈t 时的最值．12、讨论函数()f x ＝)0(12≠-a x ax，在－1＜x ＜1上的单调性．参考答案1．D 2．略 3．解析：设1x ＞2x ≥21， 则 )(2x f －)(1x f ＝2214x x +－（1114x x +） ＝212112)(4x x x x x x -+-＝21211214)(x x x x x x -⋅-， ∵ 012<-x x ，4121>x x ， ∴ )(2x f －)(1x f ＜0 ∴ 函数xx y 14+= 在),21[+∞上是增函数．4．25．证明：设1x ＞2x ，则)(1x f －)(2x f ＞0，)(1x g －)(2x g ＞0， 即 )(1x g ＞)(2x g于是 ))((1x g f －))((2x g f ＞0 ∴ ))((x g f 在R 上也是增函数.6．C 7．]1,0[ 8．)2,(--∞和),2(+∞- ]2,2(- 9．),3[+∞10．解析：函数12)(2--=ax x x f )1()(22+--=a a x ，当 0<a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)0(f ＝－1 )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)2(f ＝a 43-； 当 10<≤a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)2(f ＝a 43-； 当 21<≤a 时，)(x f 在区间]2,0[上的最小值为)(min x f ＝)1(2+-a )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)0(f ＝－1；当 2≥a 时，)(x f 在区间上的最小值为)(min x f ＝)2(f ＝a 43- )(x f 在区间]2,0[上的最大值为)(max x f ＝)0(f ＝－1； 11．解析：因为函数22)(2+-=x x x f ＝1)1(2+-x 当t ≤0时，最小值)(t g ＝)1(+t f ＝12+t ； 当0＜t ≤1时，最小值)(t g ＝)1(f ＝1； 当t ＞1时，最小值)(t g ＝)(t f ＝222+-t t ；∴ ⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<≤+=1,2210,10,1)(22t t t t t t t g ，)(t g 当]2,3[--∈t 时的最大值为)3(-g ＝10；最小值为)2(-g ＝5．12．解析：函数)(x f ＝12-x ax＝xx a 1-作函数xx x g 1)(-=， )(x g 为奇函数且在)0,1(-和)1,0(上都是增函数， ∴ 当a ＜0时，)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是增函数； 当a ＞0时，)(x f 在)0,1(-和)1,0(上都是减函数．。
函数的基本性质之单调性
函数的基本性质之单调性1、函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.函数的单调性与单调区间函数=y )(x f 在区间D 上是增函数或减函数 函数=y )(x f 在这一区间具有（严格性）单调性 区间D 叫做=y )(x f 的单调区间3.对函数单调性的理解（1）定义中的1x ，2x 是指任意的，即不可用两个特殊值代替，且通常规定1x ＜2x .（2）对于区间端点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减的变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括区间端点，也可以不包括区间端点，但当函数在区间端点处无定义时，单调区间就不能包括这些点.（3）单调函数定义的等价变形：)(x f 在区间D 上是增函数⇔任意1x ，2x D ∈，1x ＜2x ，都有 )(1x f <)(2x f ⇔0)()(2121>--x x x f x f ⇔[]0)()()(2121>--x x x f x f .（4）一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“⋃”而应该用“和”或“，”来连接.题型一 求函数的单调区间例1：(1)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象，则函数的单调递减区间是________、________，在区间________、________上是增函数. (2)函数y ＝1x －1的单调递减区间是________.例2：画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象并写出函数的单调区间.变式练习1 作出函数⎩⎨⎧>+-≤--=1,3)2(1,3)(2x x x x x f 的图象，并指出函数的单调区间.题型二 函数单调性的判定与证明利用定义法证明函数单调性的步骤：第一步：取值，即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且1x ＜2x ；第二步：作差变形，即作差)()(21x f x f -，并通过因式分解、配方、通分、有理化等方法使其转化为易于判断正负的式子； 第三步：判号，即确定)()(21x f x f -的符号，当符号不确定时，要进行分类讨论； 第四步：定论，即根据定义得出结论.例2 已知函数f (x )＝2－xx ＋1，证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为减函数.变式练习1.求证：函数11)(--=xx f 在区间()+∞,0上是单调增函数.(定义法)2.证明函数f (x )＝x ＋x1在(0,1)上是减函数．3.证明函数f (x )＝x 2－4x －1在[2，＋∞)上是增函数．题型三 函数单调性的简单应用例4：已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，6]上是减函数，求实数a 的取值范围.变式练习3 函数f(x)＝－x2＋2ax＋1在(－∞，4)上是增函数，则实数a的取值范围是________.例5：已知y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)<f(2a－1)，则实数a的取值范围为________.变式练习4 已知f(x)是定义在[－1,1]上的单调递增函数，若f(a)<f(2－3a)，则a的取值范围是________.课后作业1.下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A.y ＝|x | B.y ＝3－x C.y ＝1xD.y ＝－x 2＋42.若函数f (x )＝(2a －1)x ＋b 在R 上是严格单调减函数，则有( ) A.a ≥12 B.a ≤12 C.a >12 D.a <123.定义在R 上的函数f (x )，对任意x 1，x 2∈R (x 1≠x 2)，有0)()(1212<--x x x f x f ，则( )A.f (3)<f (2)<f (1)B.f (1)<f (2)<f (3)C.f (2)<f (1)<f (3)D.f (3)<f (1)<f (2)4.若函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，3)上单调递减，则a 的取值范围是( ) A.a ≥3 B.a >3 C.a ≤3D.a <－35.已知⎩⎨⎧≥+-<+-=1,11,4)13()(x x x a x a x f 是定义在R 上的减函数，那么a 的取值范围是( )A.(－∞，13)B.(17，＋∞) C.[17，13) D.(－∞，－17]∪(13，＋∞)6.函数y ＝x |x －1|的单调递增区间是__________________________________.7.已知函数f (x )是定义在[0，＋∞)上的增函数，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是_____.8.已知函数f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f (a 2－a ＋1)与f (34)的大小关系为________．9.函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.10.若函数⎩⎨⎧≤-+->-+-=0,)2(0,1)12()(2x x b x x b x b x f 在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是_____.11.写出下列函数的单调区间．(1)y ＝x ＋1________________； (2)y ＝－x 2＋ax ________________；(3)y ＝12-x ________________； (4)y ＝－1x ＋2________________.12.已知函数f (x )＝a －2x.(1)若2f (1)＝f (2)，求a 的值；(2)判断f (x )在(－∞，0)上的单调性并用定义证明.13.函数f (x )对任意的a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，并且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (3m 2－m －2)<3.。
《函数的单调性》优秀教案
课题：函数的单调性（一）教材：苏教版必修（1）扬州大学附属中学陆萍一、教材分析1、教材内容本节课是苏教版第二章《函数概念和基本初等函数Ⅰ》§2．1．3函数简单性质的第一课时，该课时主要学习增函数、减函数的定义，以及应用定义解决一些简单问题．2、教材所处地位、作用函数的性质是研究函数的基石，函数的单调性是首先研究的一个性质．通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题．通过上述活动，加深对函数本质的认识．函数的单调性既是学生学过的函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性的基础．此外在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一．从方法论的角度分析，本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法．3、教学目标（1）知识与技能：使学生理解函数单调性的概念，掌握判别函数单调性的方法；（2）过程与方法：从实际生活问题出发，引导学生自主探索函数单调性的概念，应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题，让学生领会数形结合的数学思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．（3）情感态度价值观：让学生体验数学的科学功能、符号功能和工具功能，培养学生直觉观察、探索发现、科学论证的良好的数学思维品质．4、重点与难点教学重点（1）函数单调性的概念；（2）运用函数单调性的定义判断一些函数的单调性．教学难点（1）函数单调性的知识形成；（2）利用函数图象、单调性的定义判断和证明函数的单调性．二、教法分析与学法指导本节课是一节较为抽象的数学概念课，因此，教法上要注意：1、通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性．2、在运用定义解题的过程中，紧扣定义中的关键语句，通过学生的主体参与，逐个完成对各个难点的突破，以获得各类问题的解决．3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用．具体体现在设问、讲评和规范书写等方面，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并成功地完成书面表达．4、采用投影仪、多媒体等现代教学手段，增大教学容量和直观性．在学法上：1、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和解决问题的能力．2、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的一个飞跃．教学环节教学过程设计意图问题情境（播放中央电视台天气预报的音乐）如图为宿迁市2021年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：问题1 怎样描述气温随时间增大的变化情况？问题 2 怎样用数学语言来刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？问题3 在区间［4，16］上，气温是否随时间增大而增大？从学生熟悉的生活情境引入，让学生对函数单调性产生感性认识，为引出单调性的定义打好基础，有利于定义的自然生成，也揭示了单调性最本质的东西．教学设计说明本节课是一节概念课．函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学语言来刻画是本节课的难点之一．另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达．围绕以上两个难点，在本节课的处理上，我着重注意了以下几个问题：1、重视学生的亲身体验．具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系．如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“随的增大而增大”的理解；②运用新知识尝试解决新问题．如：对函数1)(+=x xx f 在定义域上的单调性的讨论．2、重视学生发现的过程．如：充分暴露学生将函数图象（形）的特征转化为函数值（数）的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程．3、重视学生的动手实践过程．通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践运用定义．4、重视课堂问题的设计．通过对问题的设计，引导学生解决问题．。
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1、 板书课题以及预习问题分析课本 27页五个图象中y 与x 的变化规 律？并思考各函数的定义域是什 么？它的图象变化规律在整个定 义域上都相同吗？并写出每个函 数的单调区间
2、 若于(兀)在［0,+oo)上是增函数，判 断/(3)和/(龙)的大小关系
3、 下列说法不正确的是() 1 ) 已知函数/(%)二丄，因为 /(-1)< /(2),所以函数/(兀)是增 函数。
2) 、若函数/(兀)满足/(2) < /(3), 则函数/(x)在区间［2,3］上为增函 数 3) 、若函数于(兀)在区间(1,2］和 (2,3)均为增函数,则函数/(尢)在 区间(1,3)上为增函数 4)、因为函数f(x) = -在区间 X (・oo, 0)和(0,4-00 )都是减函数，所 以函数f(x) =丄在其定义域内是 X 减函数
4、 若函数y =仏-1)兀+ /?在(・8, +x) 上是增函数，则k 的取值范围是多少？
5、 已知函数 f(x) = -x 2 -6x + 5，则() A 函数 B C D 函数 /⑴在(-3,+-) ±是减 /(劝是减函数 /(X )是增函数 /⑴在(-3,4-00)±是增 预习课本内容 加强学生自学能
力
本节课六分之五的同学都能掌握本节课的基本内容，在合理灵活使用上述有待提高! 另外在学习过程中，第三小组的同学合作较好！
八、板书设计
函数的单调性
预习问题
教学目标函数单调性的定义如何判断函数的单调区间如何证明函数的单调性
九.教学反思
可以从如下角度进行反思（不少于200字）：对学牛来说，函数的单调性早已有所知，然而没有给出过定义，只是从直观上接触过这一性质。
学生对此有一定的感性认识，对概念的理解有一定好处，但另一方面学生也会觉得是已经学过的知识，感觉乏味。
因此，在设计教案时，加强对概念的分析，希望能够使学生认识到看似简单的定义中有不少值得去推敲、去琢磨的东四。
本节内容的教学重点确立为：函数单调性的概念及判断或证明函数单调性的方法步骤。
乂因为教学对象是高一新生，准确进行逻辑推理比较困难，所以把判断或证明函数单调性确立为教学难点。
为了使学生从知识上、能力上、思想上得到尽可能大的发展，我采取发现法、多媒体辅助教学。
首先创设情境、激发兴趣。
研究实际牛活中上下楼梯的问题，充分调动学牛积极性，营造亲切活跃的课堂氛围；渗透建模思想，培养学生应用数学的意识，通过实例使学生感受单调性的内涵，缩短心理距离，降低理解难度。
其次，探索新知。
引导学生经历直观感知、观察发现、归纳类比的思维过程，发展数学思维能力。
针对函数图象，依据循序渐进原则，设计三个问题，学生直接回答的同时教师利用多媒体的优势，展示图象及动画，使学生理解增减函数定义。
学生各抒己见，这时教师及时对学生鼓励评价，会激发学生探究知识的热情。
这一过程教会学生与人合作，提供了灵感思维的空间，在对概念理解基础上，强化了单调区间这一概念。
鼓励学生自主探索归纳类比三例，师生合作得出增减函数、函数单调性、单调区间的定义，然后设计判断对错题，达到细、深、全面的理解定义，学生经历了“再创造知识”的过程，利于发展创新意识。
再次，巩固新知，由感性到理性，引导学生逐步探究利用图象判断函数的单调性和根据定义判断或证明函数的单调性两种方法。
体验了数学方法发现和创造的历程。
探究时先以基本初等函数为载体，再深化扩展为函数的一般性质。
从而理解掌握二次函数、一次函数、反比例函数的单调性。
为后面的学习及综合应用奠定基础，同时培养学生的创新意识和逻辑思维。