排列组合二项式定理与概率统计

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高考数学总复习------排列组合与概率统计

高考数学总复习------排列组合与概率统计【重点知识回顾】1.排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关，分类计数原理与分类有关.⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合，求共有多少种方法的问题.区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关，与顺序有关的属于排列问题，与顺序无关的属于组合问题.⑶排列与组合的主要公式①排列数公式：An m(n n! n(n1) (nm1) (m ≤n)m)!A n n=n!=n(n―1)(n ―...2)21.·②组合数公式：Cn mn! n(n 1) (n m 1) (m ≤n).m!(n m)! m (m 1) 2 1③组合数性质：①C n mC n nm(m ≤n). ②C n 0C n 1C n 2C n n2n③Cn 0C n 2C n 4C n 1C n 32n12.二项式定理⑴二项式定理(a+b)n=C n 0a n+C 1n a n －1b+⋯+C n ra n －rb r+⋯＋C n n b n，其中各项系数就是组合数C n r，展开r － r b r . 式共有n+1项，第r+1项是T r+1=C n a n⑵二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1 项Tr+1=C n r a n －r b r(r=0,1, ⋯叫n)做二项展开式的通项公式。

⑶二项式系数的性质①在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， r n r (r=0,1,2, ⋯,n). 即C n =C n②若n 是偶数，则中间项 (第n n项)的二项公式系数最大，其值为 C n 2；若n 是奇数， 12则中间两项(第n 1项和第n3 n1 n1项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C n 2 =C n 2. 2 2③所有二项式系数和等于 2n，即C 0n +C 1n ＋C 2n +⋯+C nn =2n.④奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，10213n ―1 即C n +C n +⋯=C n +C n +⋯=2 . 3.概率（1）事件与基本事件：随机事件: 在条件下, 可能发生也可能不发生的事件S事件不可能事件:在条件下,一定不会发生的事件确定事件 S必然事件:在条件下,一定会发生的事件 S基本事件：试验中不能再分的最简单的 “单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示．（ 2）频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值．频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小．随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化．（3）互斥事件与对立事件：事件定义集合角度理解关系事件 A 与B 不可能同时两事件交集为空事件A 与B 对立，则A互斥事件与B 必为互斥事件；发生事件 A 与B 不可能同时两事件互补事件A 与B 互斥，但不对立事件一是对立事件发生，且必有一个发生（4）古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件 ”的概率模型．几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度（面积或体积）成比例．两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个．（5）古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：P(A)A 包含的基本事件的个数．基本事件的总数构成事件A 的区域长度(面积或体积) 几何概型的概率计算公式： P (A )．试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)两种概型概率的求法都是 “求比例”，但具体公式中的分子、分母不同．（6）概率基本性质与公式①事件A 的概率P(A)的X 围为：0≤P(A)≤1．②互斥事件A 与B 的概率加法公式： P(AB)P(A) P(B)．③对立事件A与B的概率加法公式：P(A) P(B) 1．（7）如果事件A在一次试验中发生的概率是p，则它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率是p kkn―kn的展开式的第k+1 项.n (1 ―p).实际上，它就是二项式[(1 ―p)+p] (k)=C n p2（8）独立重复试验与二项分布①．一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．注意这里强调了三点：（1）相同条件；（2）多次重复；（3）各次之间相互独立；②．二项分布的概念：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为( X k )k k (1)nk(012 )P Cp p，k ，，，，nn．此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率．4、统计（1）三种抽样方法①简单随机抽样简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法．抽样中选取个体的方法有两种：放回和不放回．我们在抽样调查中用的是不放回抽取．简单随机抽样的特点：被抽取样本的总体个数有限．从总体中逐个进行抽取，使抽样便于在实践中操作．它是不放回抽取，这使其具有广泛应用性．每一次抽样时，每个个体等可能的被抽到，保证了抽样方法的公平性．实施抽样的方法：抽签法：方法简单，易于理解．随机数表法：要理解好随机数表，即表中每个位置上等可能出现0，1，2，⋯，9这十个数字的数表．随机数表中各个位置上出现各个数字的等可能性，决定了利用随机数表进行抽样时抽取到总体中各个个体序号的等可能性．②系统抽样系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况．系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均分后的每一段中进行抽样时，采用的是简单随机抽样．系统抽样的操作步骤：第一步，利用随机的方式将总体中的个体编号；第二步，将总体的编号分段，要确定分段间隔k，当N（Ｎ为总体中的个体数，n为样本容量）是整数时，nk N；当N不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体个数Ｎ能被n整除，n n这时k N；第三步，在第一段用简单随机抽样确定起始个体编号l，再按事先确定的规则n抽取样本．通常是将l加上间隔 k得到第2个编号(l k)，将(l k)加上k，得到第3个编号(l 2k)，这样继续下去，直到获取整个样本．③分层抽样当总体由明显差别的几部分组成时，为了使抽样更好地反映总体情况，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的部分，每一部分叫层；在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样．分层抽样的过程可分为四步：第一步，确定样本容量与总体个数的比；第二步，计算出各层需抽取的个体数；第三步，采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体；第四步，将各层中抽取的个体合在一起，就是所要抽取的样本．（2）用样本估计总体样本分布反映了样本在各个X围内取值的概率，我们常常使用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，有时也利用茎叶图来描述其分布，然后用样本的频率分布去估计总体分布，总体一定时，样本容量越大，这种估计也就越精确．3①用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定一组数据进行列表、作图处理．作频率分布表与频率分布直方图时要注意方法步骤．画样本频率分布直方图的步骤：求全距→决定组距与组数→分组→列频率分布表→画频率分布直方图．②茎叶图刻画数据有两个优点：一是所有的信息都可以从图中得到；二是茎叶图便于记录和表示，但数据位数较多时不够方便．③平均数反映了样本数据的平均水平，而标准差反映了样本数据相对平均数的波动程1 n 2．有时也用标准差的平方———方差来代替标准差，度，其计算公式为s(x i x)ni1两者实质上是一样的．（3）两个变量之间的关系变量与变量之间的关系，除了确定性的函数关系外，还存在大量因变量的取值带有一定随机性的相关关系．在本章中，我们学习了一元线性相关关系，通过建立回归直线方程就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间的整体关系的了解．分析两个变量的相关关系时 ,我们可根据样本数据散点图确定两个变量之间是否存在相关关系，还可利用最小二乘估计求出回归直线方程．通常我们使用散点图，首先把样本数据表示的点在直角坐标系中作出，形成散点图．然后从散点图上，我们可以分析出两个变量是否存在相关关系：如果这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，那么就说这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，其对应的方程叫做回归直线方程．在本节要经常与数据打交道，计算量大，因此同学们要学会应用科学计算器．（4）求回归直线方程的步骤：n n 2；第一步：先把数据制成表，从表中计算出，， x i y i ， xy x ii1 i1 第二步：计算回归系数的 a ，b ，公式为n n nn x i y i ( x i )( y i ) b i 1 i1 i 1 ， n 2 n x i )2n x i (i 1 i 1a y ；bx第三步：写出回归直线方程y bxa ．（4）独立性检验①22 列联表：列出的两个分类变量 X 和Y ，它们的取值分别为{x 1,x 2}和{y 1,y 2}的样本频数表称为 2 2列联表1分类y1 y2 总计x1 a b a bx2cdc d总计 a c b da bcd构造随机变量K2(an(ad bc)2d)（其中n ab cd）b)(c d)(a c)b4得到K2的观察值k常与以下几个临界值加以比较：如果k 2.706，就有9000的把握因为两分类变量X和Y是有关系；如果k 3.841 就有9500的把握因为两分类变量如果k 6.635 就有9900的把握因为两分类变量如果低于k 2.706，就认为没有充分的证据说明变量【典型例题】考点一：排列组合【方法解读】1、解排列组合题的基本思路：X和Y是有关系；X和Y是有关系；X和Y是有关系．①将具体问题抽象为排列组合问题，是解排列组合应用题的关键一步②对“组合数”恰当的分类计算是解组合题的常用方法；③是用“直接法”还是用“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”；2、解排列组合题的基本方法：①优限法：元素分析法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；②排异法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。

排列组合、二项式定理与概率统计

排列组合、二项式定理与概率统计
概率统计与排列组合和二项式定理是数学中的重要知识。

它们主要用来解释和计算物理实验的概率，以及理解事件出现的概率统计规律。

排列组合是概率统计的基础，是指在一组数中，每个数字的位置不同的可能的组合数。

它的公式有:A(n,m)=n(n-1)...(n-m+1)。

这里的A表示从n个中取出m个的排列数。

二项式定理（亦称二项分布定理）是研究一个随机变量满足二项分布的定理。

它是推导概率统计解决一些问题的重要方法，它通过如下公式来计算事件发生的概率：
C(n,k)=An,m/k!，其中n表示试验次数，m表示成功的次数，k表示重复的次数。

概率统计用来研究不同事件出现的可能性和规律。

这些规律会告诉我们正发生的事件的可能性有多大，并帮助我们更好地解释现象。

概率统计的计算和分析是一个复杂的过程，需要全面的、简易的的方法。

排列组合、二项式定理等工具是进行概率统计分析的有力帮助，它们可以帮助我们了解不同事件出现的概率，并对现象加以解释和推断。

11.排列组合二项式定理概率统计

能力关键词：1.计数原理2.排列3.组合4.二项式定理5.分布列的数学期望与方差6.超几何分布7.二项分布8.正态分布9.独立性检验10.回归直线方程【2018，10】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为 II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 3【2018，15】从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_____________种．（用数字填写答案）【2017，2】如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．14 B ．π8 C ．12 D ．π4【2017，6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为（）A ．15B ．20C ．30D ．35【2016，4】某公司的班车在30:7，00:8，30:8发车，小明在50:7至30:8之间到达发车站乘坐班车，且到达发车丫的时候是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A ）31 （B ）21 （C ）32 （D ）43 【2015，4】投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 【2015，10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为（）（A ）10 （B ）20 （C ）30（D ）60【2014，5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（）A .18B .38C .58D .78【2013，3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A ．简单随机抽样B ．按性别分层抽样C ．按学段分层抽样D ．系统抽样【2013，9】设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b .若13a ＝7b ，则m ＝( )．A ．5B ．6C ．7D ．8 【2012，2】将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（） A ．12种B ．10种C ．9种D ．8种【2011，4】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34【2011，8】512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 【2016，14】5)2(x x +的展开式中，3x 的系数是．（用数字填写答案）【2014，13】8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为 .(用数字填写答案) 【2012，15】某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作。

高考数学常用结论集锦：排列组合二项式定理、概率统计(收藏)

高考数学常用结论集锦：排列组合二项式定理、概率统计（收藏）1.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.2.分步计数原理（乘法原理）12n Nm m m =⨯⨯⨯. 3.排列数公式 mn A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．4.排列恒等式（1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1m mn n n A A n m-=-;（3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n nA A mA -+=+. 5.组合数公式 m nC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ，m ∈N *，且m n ≤).6.组合数的两个性质(1) m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =mn C 1+7.组合恒等式（1）11m m n n n m C C m --+=;（2）1m mn n n C C n m-=-;（3）11mm n n n C C m--=; （4） 11k k n n kC nC --=（5）∑=nr r nC=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r rrC C C C C . 8.排列数与组合数的关系是：mmn n A m C =⋅！ .9.二项式定理 nn n r r n r n n n n n n n nb C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ;二项展开式的通项公式：rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 10.等可能性事件的概率()mP A n=.11.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． 12.n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．13.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).14.n 个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 15.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k kn k n n P k C P P -=-16. n 个数据123,,n x x x x ,则它们的平均数为1231()n x x x x x n=++++,方差2s =22221231[()()()()]n x x x x x x x x n-+-+-++-（1）总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体.(2) 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. (3) 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. (4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量. 二、抽样方法：（1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法.(2)分层抽样：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层.三、两种抽样方法的区别与联系：个体数N 的总体中抽取一个样本容量为n 的样本，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，且等于Nn.五、典型例题剖析：例1、一个总体含有6个个体，从中抽取一个样本容量为2的样本，说明为什么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等.解：设任意一个个体为α，那么个体α被抽到分两种情况：（1）第一次被抽到：根据等可能事件概率得P 1=61，（2）第二次被抽到：即是个体α第一次没被抽到、第二次被抽到这两件事都发生. 个体α第一次没被抽到的概率是65, 个体α第一次没被抽第二次被抽到的概率是51. 根据相互独立事件同时发生的概率公式, 个体α第二次被抽到的概率是P 2=65×51=61.(也可这样分析：根据等可能事件的概率求得，一共取了两次，根据分步原理所有可能结果为6×5=30，个体α第一次没被抽到第二次被抽到这个随机事件所含的可能结果为5×1=5，所以个体α第二次被抽到的概率是P 2=305=61)个体α在第一次被抽到与在第二次被抽到是互斥事件,根据互斥事件的概率加法公式,在先后抽取2个个体的过程中,个体α被抽到的概率P= P 1+ P 2=61+61=31. 由个体α的任意性,说明在抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等(都等于31) 点评：注意区分“任一个个体α每次抽取时被抽到的概率”与“任一个个体α在整个抽样过程中个体α被抽到的概率”的区别,一般地,如果用简单随机抽样从个体数为N 的总体中抽取一个容量为n 的样本,那么“任一个个体α每次抽取时被抽到的概率”都相等且等于N1,“任一个个体α在整个抽样过程中被抽到的概率”为Nn .例2、（1）在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取一个容量为20的一个样本，求 ① 每个个体被抽到的概率，② 若有简单随机抽样方法抽取时，其中个体α第15次被抽到的的概率，③ 若用分层抽抽样样方法抽取时其中一级品中的每个个体被抽到的概率. 解：① 因为总体个数为120，样本容量为20，则每个个体被抽到的概率P 1=12020=61② 因为总体个数为120，则体α第15次被抽到的的概率P 2=1201 ③ 用分层抽样方法：按比例12020=61分别在一级品、二级品、三级品中抽取24×61=4个，36×61=6个，60×61=10，所以一级品中的每个个体被抽到的概率为P 3=244=61.注：其实用分层抽样方法抽取时二级品、三级品中每个体被抽到的概率也都为61.点评：本题说明两种抽样方法都能保证在抽样过程中，每个个体被抽到的概率都相等.且为Nn .例3、某地区有3000人参加今年的高考，现从中抽取一个样本对他们进行分析，每个考生被抽到的概率为101，求这个样本容量.解：设样本容量为n ，则3000n =101，所以n=300. 点评：“在整个抽样过程中个体α被抽到的概率”为Nn这一结论的逆用.例4、下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样?说明理由.(1) 从无限多个个体中抽取50个个体作样本.(2) 盒子里共有100个零件,从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时,从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.解：(1) 不是简单随机抽样.由于被抽取样本的总体个数是无限的.(2) 不是简单随机抽样.由于不符合“逐个抽取”的原则,且抽出的结果可能是只有一个零件重复出现. 点评：简单随机抽样的特点：(1) 它要求被抽取样本的总体个数是有限的. (2) 它是从总体中逐个地进行抽取. (3) 它是一种不放回抽样. 例5、某校有学生1200人,为了调查午休对学习成绩的影响情况,计划抽取一个样本容量为60的样本,问此样本若采用简单随机抽样将如何进行?解：可用两种方法：方法一：（抽签法）（1）编号：将1200名学生进行随机编号为1，2， …，1200，（可按学生的学号或按学生的生日进行编号）.（2）制签：做1200个大小、形状相同的号签，分别写上这1200个数，放在个容器里，并进行均匀搅拌. （3）逐个抽取：连续抽取60个号签，号签对应的同学即为样本. 方法二：（随机数表法）（1）编号：将1200名学生进行编号分别为0000，0001，…， 1199，（2）选数：在课本附表1随机数表中任选一个数作为开始.(如从第11行第7列的数9开始)(3) 读数：从选定的数开始向右（或向上、向下、向左）读下去，选取介于范围的号码，直到满60个号码为止. (4) 抽取：抽取与读出的号码相对应的学生进行分析.点评：抽签法和随机数表法是常见的两种简单随机抽样方法，本问题显然用随机数表法更方便一些，因为总体个数较多.另外随机数表法编号时,位数要一样,首数确定后,可向左、向右、向上、向下各个确定的方向进行抽取.例6、某工厂中共有职工3000人,其中,中、青、老职工的比例为5∶3∶2，从所有职工中抽取一个样本容量为400的样本，应采取哪种抽样方法较合理？且中、青、老年职工应分别抽取多少人？解：采用分层抽抽样样方法较为合理.由样本容量为400,中、青、老职工的比例为5∶3∶2,所以应抽取中年职工为400×105=200人, 应抽取青年职工为400×103=120人, 应抽取青年职工为400×102=80人.点评：因为总体由三类差异较明显的个体构成，所以应采用分层抽抽样样方法进行抽取.。

排列组合二项式定理与概率及统计

排列组合二项式定理与概率及统计一、复习策略排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较专门的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题都有专门性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯〝重复〞或〝遗漏〞的错误，同时结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的明白得，把握知识的内在联系和区别，科学周全的摸索、分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点．概率那么是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意差不多概念的明白得，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题显现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质运算或论证一些较简单而有味的小题也在高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年都有一道解答题，占12分左右．排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中要紧考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足专门元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足专门位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，运算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.〔4〕某些元素要求必须相邻时，能够先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为〝捆绑法〞；〔5〕某些元素不相邻排列时，能够先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为〝插空法〞；在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理依旧分步计数原理；(3)分析题目条件，幸免〝选取〞时重复和遗漏；(4)列出式子运算和作答．二、典例剖析题型一：排列组合应用题解决此类问题的方法是：直截了当法，先考虑专门元素〔或专门位置〕，再考虑其他元素〔或位置〕；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；关于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一样是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件．例1、〔08安徽理12〕12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，假设其他人的相对顺序不变，那么不同调整方法的种数是〔〕A．B．C．D．解：从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，那么先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人那么要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为；综上知选C．例2、〔08湖北理6〕将5名理想者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名理想者的方案种数为〔〕A．540B．300C．180D．150解：将5分成满足题意的3份有1，1，3与2，2，1两种，因此共有种方案，故D正确．例3、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为〔〕A．96B．48C．24D．0解：由题意分析，如图，先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放：7放入①，8放入②，5放入③，6放入④；或者6放入①，7放入②，8放入③，5放入④；两种放法．综上所述：共有种放法．应选B．例4、在正方体中，过任意两个顶点的直线中成异面直线的有____________对．解法一：连成两条异面直线需要4个点，因此在正方体8个顶点中任取4个点有种取法．每4个点可分共面和不共面两种情形，共面的不符合条件得去掉.因为在6个表面和6个体对角面中都有四点共面，故有种．但不共面的4点可构成四面体，而每个四面体有3对异面直线，故共有对．解法二：一个正方体共有12条棱、12条面对角线、4条体对角线，计28条，任取两条有种情形，除去其中共面的情形：〔1〕6个表面，每个面上有6条线共面，共有条；〔2〕6个体对角面，每个面上也有6条线共面，共有条；〔3〕从同一顶点动身有3条面对角线，任意两条线都共面，共有，故共有异面直线－－－=174对．题型二：求展开式中的系数例5、〔08广东理10〕〔是正整数〕的展开式中，的系数小于120，那么__________．解：按二项式定理展开的通项为，我们明白的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1．例6、假设多项式，那么a9等于〔〕A．9B．10C．－9D．－10解：=∴．例7、展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项．解：，依题意有，∴n=8．那么展开式中二项式系数最大的项为．设第r＋1项系数的绝对值最大，那么有．那么系数绝对值最大项为．例8、求证：．证：〔法一〕倒序相加：设①又∵②∵，∴，由①＋②得：，∴，即．〔法二〕：左边各组合数的通项为，∴．〔法三〕：题型三：求复杂事件的概率例9、〔08福建理5〕某一批花生种子，假如每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是〔〕A．B．C．D．解：由．例10、甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被剔除，然后负方的队员2号再与对方的获胜队员再赛，负者又被剔除，一直如此进行下去，直到有一方队员全被剔除时，另一方获胜，假设每个队员的实力相当，那么甲方有4名队员被剔除，且最后战胜乙方的概率是多少？解：依照竞赛规那么可知，一共竞赛了9场，同时最后一场是甲方的5号队员战胜乙方的5号队员，而甲方的前4名队员在前8场竞赛中被剔除，也确实是在8次独立重复试验中该事件恰好发生4次的概率，可得，又第9场甲方的5号队员战胜乙方的5号队员的概率为，因此所求的概率为．题型四：求离散型随机变量的分布列、期望和方差例11、某先生居住在城镇的A处，预备开车到单位B处上班. 假设该地各路段发生堵车事件差不多上相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．〔例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为〔1〕请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；〔2〕假设记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望解：〔1〕记路段MN发生堵车事件为MN．因为各路段发生堵车事件差不多上独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，因此路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为=1－[1－P〔AC〕][1－P〔CD〕][1－P〔DB〕]=1－；同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P〔〔小于〕．路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P〔〔小于〕．明显要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小．只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．〔2〕路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为例12、如下图，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的点和点，每只小蚂蚁都能够从每一个顶点处等可能地沿各条棱向各个方向移动，但不能按原线路返回．比如，甲在处时能够沿、、三个方向移动，概率差不多上；到达点时，可能沿、两个方向移动，概率差不多上，小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．(Ⅰ)假设甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒钟，那么它们所走的路线是异面直线的概率是多少？它们之间的距离为的概率是多少？(Ⅱ)假设乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒钟后，甲、乙两只小蚂蚁之间的距离的期望值是多少？解：(Ⅰ)甲蚂蚁移动1秒能够有三种的走法：即沿、、三个方向，当沿方向时，要使所走的路线成异面直线，乙蚂蚁只能沿、C1C方向走，概率为，同理当甲蚂蚁沿方向走时，乙蚂蚁走、C1C，概率为，甲蚂蚁沿时，乙蚂蚁走、，概率为，因此他们所走路线为异面直线的概率为；甲蚂蚁移动1秒能够有三种走法：即沿、、三个方向，当甲沿方向时，要使他们之间的距离为，那么乙应走，现在的概率为，同理，甲蚂蚁沿方向走时、甲蚂蚁沿方向走时，概率都为，因此距离为的概率为．(Ⅱ)假设乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲乙两个蚂蚁之间距离的取值有且只有两个：和，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、，因此其概率为，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、、因此其概率为，因此三秒后距离期望值为．例13、〔08湖北理17〕袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个〔n=1，2，3，4〕.现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．〔Ⅰ〕求ξ的分布列，期望和方差；〔Ⅱ〕假设η=aξ－b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．解：〔1〕的分布列为：0 1 2 3 4因此．〔2〕由，得，即，又，因此当时，由，得；当时，由，得．，或，即为所求．题型五：统计知识例14、〔08广东〕某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为〔〕一年级二年级三年级女生373男生377 370A．24B．18C．16D．12解：依题意我们明白二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．答案：C例15、在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．成绩在90分以上〔含90分〕的学生有12名．〔Ⅰ〕试问此次参赛学生总数约为多少人？〔Ⅱ〕假设该校打算奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的〔部分〕标准正态分布表．0 1 2 3 4 5 6 7 8 91.2 1.3 1.41.92.0 2.1 0.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880. 98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857解：〔Ⅰ〕设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，P(≥90)＝1－P〔<90〕＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.0228．这说明成绩在90分以上〔含90分〕的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，参赛总人数约为≈526〔人〕．〔Ⅱ〕假定设奖的分数线为x分，那么P(≥x)＝1－P〔<x〕＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1．故设奖的分数线约为83.1分.。

2015高考数学(文)一轮复习质量检测排列组合、二项式定理、统计、概率(北师大版)

2015高考数学（文）一轮复习质量检测排列组合、二项式定理、统计、概率(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．某小区有125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭．现采用分层抽样的方法从中抽取100户，对这些家庭社会购买力的某项指标进行调查，则中等收入家庭中应抽选出的户数为( )A ．70户B ．17户C ．56户D ．25户解析：总体容量为125＋280＋95＝500，样本容量为100，则中等收入家庭中应抽选出的户数为280×100500＝56户．故选C.答案：C2．(2013年青岛质检)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中x 2的系数为( )A ．－240B ．240C ．－60D ．60解析：由二项式定理通项公式，得T r ＋1＝C r 6(－1)r 26－r ·x 6－2r，所以r ＝2，系数为C 2624×(－1)2＝240.答案：B3．(2012年西安模拟)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13 B.12 C.23D.34解析：甲、乙参加兴趣小组各有3种选择，故共有C 13·C 13＝9种，而参加同一兴趣小组有3种选择，故概率为39＝13，选A.答案：A4．(2012年武汉调研)天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为( )A ．0.35B ．0.25C ．0.20D ．0.15解析：三天中恰有两天下雨的情况有：191,271,932,812,393等5种，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为P ＝520＝0.25.故选B.答案：B5．(2012年南昌模拟)某项测试成绩满分为10分，先随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为m e ，平均值为x ，众数为m 0，则( )A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0<xC ．m e <m 0<xD ．m 0<m e <x解析：依图形可知，m e ＝5＋62＝112，x ＝3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×230＝17930，m 0＝5，所以m 0<m e <x ，选D. 答案：D6．(2013年武汉调研测试)如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )A.14B.15C.16D.17解析：依题意，正方形的面积为S ＝1×1＝1，阴影部分的面积，∴点P 恰好取自阴影部分的概率P ＝S 1S ＝161＝16，选C.答案：C7．(2013年黄冈质检)将5名支教志愿者分配到3所学校，每所学校至少分1人，至多分2人，且其中甲、乙2人不到同一所学校，则不同的分配方法共有( )A ．78种B ．36种C ．60种D ．72种解析：C 15C 24C 22A 22·A 33－C 22C 23A 33＝72.答案：D8．(2013年沈阳期末)袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为( )A.59B.49C.29D.23解析：事件A 表示第1次摸出红球，事件B 表示第2次也摸出红球，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1335＝59，即在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为59.答案：A9．(2013年广州质检)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x ，y ，z )，若x ＋y ＋z 是3的倍数，则满足条件的点的个数为( )A ．252B ．216C ．72D ．42解析：先按从小到大的顺序选择3个不同的数字，再进行全排列A 33，所以四个选择答案可以变化为42,36,12,7.(1)首数选0，则后续两个数为(1,2)，(1,5)，(1,8)，(2,4)，(2,7)，(3,6)，(3,9)，(4,5)，(4,8)，(5,7)，(6,9)，(7,8)，有12种；(2)首数选1，则后续两个数为(2,3)，(2,6)，(2,9)，(3,5)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，(5,9)，(6,8)，(8,9)，有10种；(3)首数选2，则后续两个数为(3,4)，(3,7)，(4,6)，(4,9)，(5,8)，(6,7)，(7,9)，有7种；(4)首数选3，则后续两个数为(4,5)，(4,8)，(5,7)，(6,9)，(7,8)，有5种； (5)首数选4，则后续两个数为(5,6)，(5,9)，(6,8)，(8,9)，有4种； (6)首数选5，则后续两个数为(6,7)，(7,9)，有2种； (7)首数选6，则后续两个数为(7,8)，有1种； (8)首数选7，则后续两个数为(8,9)，有1种．综上可知，共有42种．答案：A10．(2014·绍兴模拟)二项式(1＋x )n 展开式的二项式系数之和为64，则(1－x )n 展开式第四项的系数为( )A. 15B. 20C. －20D. －15解析：由2n ＝64，可解得n ＝6，所以二项式(1－x )6展开式的第四项为T 4＝C 36(－x )3，其系数为－C 36＝－20.答案：C11．(2012年长沙联考)某校在模拟考试中约有1 000人参加考试，其数学考试成绩ξ～N (90，a 2)(a >0，试卷满分150分)，统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的35，则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为( )A ．200B ．300C ．400D ．600解析：由ξ～N (90，a 2)，得正态曲线关于直线x ＝90对称，所以P (ξ≥110)＝P (ξ≤70)＝12[1－P (70<ξ<110)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－35＝15.所以此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为1 000×15＝200.答案：A12．(2012年武汉调研)如图，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数y ＝1x (x >0)图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一个点M ，则点M 取自E 内的概率为( )A.ln22 B.1－ln22 C.1＋ln22D.2－ln22解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1x，y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2，故由几何概型得，点M 取自E 内的概率为.故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．(2014·辽宁五校联考)设二项式(x －ax)6的展开式中x 2项的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a ＝______.解析：T r ＋1＝C r 6x6－r ·(－ax)r ＝(－a )r C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝2，得r ＝2，A ＝a 2C 26＝15a 2；令6－2r ＝0，得r ＝3，B ＝－a 3C 36＝－20a 3，代入B ＝4A 得a ＝－3.答案：－314．某工厂对一批元件进行了抽样检测，根据抽样检测后的元件长度(单位：mm)数据绘制了频率分布直方图(如下图)．若规定长度在[97,103)内的元件是合格品，则根据频率分布直方图估计这批产品的合格率是________．解析：依题意，可估计这批产品的合格率是1－(0.027 5×4＋0.045 0×2)＝0.8＝80%.答案：80%15．(2012年东北四校质检)在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为________．解析：该题属于几何概型．根据题意，到正方体中心的距离小于或等于1的点构成了以半径R ＝1的实心球，如图所示，其体积V 球＝43πR 3＝43π，则正方体内到正方体中心的距离大于1的点所构成图形的体积为V ′＝V 正方体－V 球＝8－43π，则随机取的点到正方体中心的距离大于1的概率为P (d >1)＝V ′V 正方体＝8－43π8＝1－π6.答案：1－π616．面对竞争日益激烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，降低生产成本．某白酒酿造企业市场部对该企业某段时间内的产品销量x (千箱)与单位成本y (元)的资料进行线性回归分析，结果如下：x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2i ＝79，∑i ＝16x i y i＝1 481，b ^＝1 481－6×72×7179－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722≈－1.818 2，a ^＝71－(－1.818 2)×72≈77.36，则销量每增加1 000箱，单位成本约下降________元．解析：依据题意可得回归直线方程为y ^＝－1.818 2x ＋ 77．36，故销量每增加1千箱，单位成本约下降1.818 2元．答案：1.818 2三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年浙江金华十校联考)某车间将10名技工平均分为甲、乙两组加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干，其中合格零件的个数如下表：并由此分析两组技工的技术水平；(2)质检部门从该车间甲、乙两组中各随机抽取1名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过12件，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格”的概率．解：(1)依题中的数据可得 x 甲＝15(4＋5＋7＋9＋10)＝7， x 乙＝15(5＋6＋7＋8＋9)＝7，s 2甲＝15[(4－7)2＋(5－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2]＝265＝5.2， s 2乙＝15[(5－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2＋(8－7)2＋(9－7)2]＝2. 因为x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，所以两组技工的总体水平相同，甲组中技工的技术水平差异比乙组大．(2)设事件A 表示该车间“质量合格”，则从甲、乙两组中各抽取1名技工完成合格零件个数的基本事件为(4,5)，(4,6)，(4,7)，(4,8)，(4,9)，(5,5)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(7,5)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共25种．事件A 包含的基本事件为(4,9)，(5,8)，(5,9)，(7,6)，(7,7)，(7,8)，(7,9)，(9,5)，(9,6)，(9,7)，(9,8)，(9,9)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共17种．所以P (A )＝1725.18．下图是某校从参加高三体育考试的学生中抽出的60名学生体育成绩(均为整数)的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70,80)内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：(1)求成绩在区间[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；(3)假设成绩在[80,90)内的学生中有23的成绩在85分以下(不含85分)，从成绩在[80,90)内的学生中选两人，求恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率．解：(1)因为各组的频率和等于1，故成绩在[70,80)内的频率为f 4＝1－(0.01×2＋0.015＋0.020＋0.005)×10＝0.4.频率分布直方图如右图．(2)依题意，60分及以上的分数在第三、四、五、六段，故其频率和为(0.02＋0.04＋0.01＋0.005)×10＝0.75，所以抽样学生成绩的及格率是75%.45·f 1＋55·f 2＋65·f 3＋75·f 4＋85·f 5＋95·f 6＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.1＋95×0．05＝69.所以估计这次考试的平均分是69分．(3)因为成绩在[80,90)内的人数＝0.01×10×60＝6，所以成绩在[80,85)和[85,90)内的人数分别为4人和2人．假设[80,85)段的学生的编号为1,2,3,4；[85,90)段的学生编号为5,6. 记第一次抽到的学生编号为x ，第二次抽到的学生编号为y ，用数对(x ，y )表示基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，其基本事件总数n ＝15.解法一：记恰有1人成绩在[85,90)内的事件为A .事件A 包含基本事件：(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，事件A 包含的基本事件数m ＝8.故所求概率为P (A )＝m n ＝815，故恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率是815.解法二：记恰有1人成绩在[85,90)内的事件为A ，则事件A －包含的基本事件：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，(5,6)，事件A －包含的基本事件数m ＝7，所以P (A )＝1－P (A －)＝1－715＝815，故恰有1人成绩在85分以上(含85分)的概率是815.19．(2012年石家庄质检)某工科院校对A ，B 两个专业的男女生人数进行调查，得到如下的列联表：(1)“专业”有关系呢？(2)从专业A 中随机抽取2名学生，记其中女生的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．注：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )解：χ2＝100×(12×46－4×38)216×84×50×50≈4.762，由于4.762>3.841，因此在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为工科院校中“性别”与“专业”有关系．(2)专业A 中女生12人，男生38人，P(X＝0)＝C238C250＝7031 225，P(X＝1)＝C138C112C250＝4561 225，P(X＝2)＝C212C250＝661 225.所以X的分布列为所以E(X)＝1×4561 225＋2×661 225＝5881 225＝1225.20．(2012年昆明模拟)从某学校高三年级的甲、乙两个班各抽取10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)分别计算甲、乙两班样本的平均数和方差，估计甲、乙两班同学的身高情况，并说明理由；(2)现从乙班这10名同学中随机抽取3名同学，设身高在(160,170)之间的同学被抽到的人数为X，求X的分布列和数学期望．解：(1)x甲＝170，x乙＝170，s2甲＝53，s2乙＝37.4，估计甲、乙两班的平均身高相同，且乙班同学的身高相对整齐些，而甲班同学的身高差距大些．(2)X＝0,1,2,3.P(X＝0)＝C37C310＝724，P(X＝1)＝C13C27C310＝2140，P(X＝2)＝C23C17C310＝740，P(X＝3)＝C33C310＝1120.所以X的分布列为所以E(X)＝0×427＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.21．“天宫一号”的顺利升空标志着我国火箭运载的技术日趋完善．据悉，担任“天宫一号”发射任务的是长征二号FT1火箭．为了确保发射万无一失，科学家对长征二号FT1运载火箭进行了170余项技术状态更改，增加了某项新技术．该项新技术要进入试用阶段前必须对其中三项不同指标甲、乙、丙进行量化检测．假设该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为23，23，12，指标甲、乙、丙检测合格分别记4分、2分、4分，若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；(2)记该项技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望．解：(1)记该项新技术的三个指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A，B，C，则事件“得分不低于8分”表示为ABC＋A B C.因为ABC与A B C为互斥事件，且A，B，C为彼此独立，所以P(ABC＋A BC)＝P(ABC)＋P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝23×23×12＋23×13×12＝13.(2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数ξ的取值为0,1,2,3.因为P(ξ＝0)＝P(A B C)＝13×13×12＝118，P(ξ＝1)＝P(A B C＋A B C＋A B C)＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518，P(ξ＝2)＝P(AB C＋A B C＋A BC)＝23×23×12＋23×13×12＋13×23×12＝818，P(ξ＝3)＝P(ABC)＝23×23×12＝418，所以随机变量ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×118＋1×518＋2×818＋3×418＝518＋1618＋1218＝116.22．某品牌专卖店准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该店决定从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机和3种型号的电脑中，选出3种型号的商品进行促销．(1)试求选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率；(2)该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得m 元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是12，设顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X ，请写出X 的分布列，并求X 的数学期望；(3)在(2)的条件下，问该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？解：(1)从2种型号的洗衣机，2种型号的电视机，3种型号的电脑中，选出3种型号的商品一共有C 37种选法．选出的3种型号的商品中没有电脑的选法有C 34种，所以选出的3种型号的商品中至少有一种是电脑的概率为 P ＝1－C 34C 37＝3135.(2)X 的所有可能的取值为0，m,2m,3m . X ＝0时表示顾客在三次抽奖中都没有中奖，所以P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，同理可得P (X ＝m )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫121·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38， P (X ＝2m )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝38， P (X ＝3m )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123·⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝18，所以，顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额X 的分布列为E(X)＝0×18＋m×38＋2m×38＋3m×18＝1.5m.(3)要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的数学期望低于商场的提价数额，因此应有1.5m<150，所以m<100.故每次中奖奖金要低于100元，才能使促销方案对商场有利．。

高中数学基础知识大筛查(6)-排列组合二项式定理、概率与统计

基础知识大筛查-排列组合二项式定理、概率与统计一、概率与分布列1. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nmP(A)=. 2. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A 、B 互斥，那么事件A+B 发生(即A 、B 中有一个发生)的概率，等于事件A 、B 分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21+++=+++ . ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)P(A P(A)=+=+；ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件.如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A ·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P （AB ）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.推广：若事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：k n k k n n P)(1P C (k)P --=. 3. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.4、离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x x ξ取每一个值),2,1(=i x 的概率p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. 121i 4. 二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：k n k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] ，随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B （n ，p ），其中n ，p 为参数互斥对立5. 超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0C C C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C rm=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 6．概率公式：⑴互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；⑵古典概型：基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P =)(；⑶几何概型：等）区域长度（面积或体积试验的全部结果构成的积等）的区域长度（面积或体构成事件A A P =)( ；（4）n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：kn k k n n P)(1P C (k)P --=. （5）事件n 21,A ,,A A 相互独立，则)P(A )P(A )P(A )A A P(A n 21n 21 ⋅=⋅.二、数学期望与方差.n n 2211.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)(（2）两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p + q = 1）（3）二项分布：∑=⋅-⋅=-np q p k n k n k E k n k )!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B （P 为发生ξ的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差σξξσξ.D =为ξ的标准差ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数）（2）两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）（3）二项分布：npq D =ξ三、正态分布.1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x ” 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f .（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.四、抽样方法⑴简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N ，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n 的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。

2068-高中数学必修三排列组合二项式定理概率加法公式-课件

排列组合二项式定理、概率统计、导数
讲课人：吕梁高中孟雪梅
一排列组合二项式定理
（一）解读《考试大纲》
1.考试内容
分类计数原理与分步计数原理. 排列.排列数公式. 组合.组合数公式.组合数的两个性质. 二项式定理.二项展开式的性质.
2.考试要求
掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用题.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.
例（2019年新课程卷）某赛季足球比赛的计分规则是：胜一场，得3分；平一场，得1分；负一场，得0分.一球队打完15场，积33分.若不考虑顺序，该队胜、负、平的情况共有 A 3种 B 4种 C 5种 D 6种.
同时，我们不应忽视组合数性质的复习，也不应忽视有关应用二项式定理和二项展开式的性质证明问题的复习.
外要要求学生在解答概率大题时书写应规范，引入符号意义让
人容易领会，如将3人同时上网的事件记为A3是好的记号，但写成P（A3）就不行.
教材中的统计知识，要考的较少，不考的却不少，而且数据、表格、图形又较多，从它们中较难提取出有用的信息.因此，学生不大愿看书，从而造成统计知识的复习不仔细.我们要明确告知学生研读课本哪几页书.统计中的知识点不多，要一一复习.统计试题的背景是数据图表.
目的调查常采用一种逆抽样的调查，即事先规定
一个正整数m，进行随机抽样，当抽得的样本中有m个稀少项目时，抽样停止，问正好抽取了n次
的概率是多少？
对于概率的求解策略是：紧扣概念—准确把握各类事件概率的概念及计算公式（1，2，4题）；化繁为简—将复杂事件的概率转化为简单事件的概率（3题）；正难则反—灵活运用对立事件的概率的关系简化问题（如3，4题）.

排列组合、二项式定理与概率及统计

主讲人：黄冈中学高级教师汤彩仙一、复习策略排列与组合是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部分，是进一步学习概率论的基础知识，该部分内容，不论其思想方法和解题都有特殊性，概念性强，抽象性强，思维方法新颖，解题过程极易犯“重复”或“遗漏”的错误，并且结果数目较大，无法一一检验，因此给考生带来一定困难．解决问题的关键是加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，科学周全的思考、分析问题．二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识，把握二项展开式及其通项公式的相互联系和应用是重点．概率则是概率论入门，目前的概率知识只是为进一步学习概率和统计打好基础，做好铺垫．学习中要注意基本概念的理解，要注意与其他数学知识的联系，要通过一些典型问题的分析，总结运用知识解决问题的思维规律．纵观近几年高考，排列、组合、二项式定理几乎每年必考，考题多以选择题、填空题出现，题小而灵活，涉及知识点都在两三个左右，综合运用排列组合知识，分类计数和分步计数原理；二项式定理及二项式系数的性质计算或论证一些较简单而有趣的小题也在高考题中常见，概率及概率统计的内容，从近几年新课程卷高考来看，每年都有一道解答题，占12分左右．排列与组合的应用题，是高考常见题型，其中主要考查有附加条件的应用问题.解决这类问题通常有三种途径:(1)以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.（4）某些元素要求必须相邻时，可以先将这些元素看作一个元素，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排列，这种方法称为“捆绑法”；（5）某些元素不相邻排列时，可以先排其他元素，再将这些不相邻元素插入空挡，这种方法称为“插空法”；在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算和作答．二、典例剖析题型一：排列组合应用题解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素（或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件．例1、（08安徽理12）12名同学合影，站成了前排4人后排8人．现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．B．C．D．解：从后排8人中选2人共种选法，这2人插入前排4人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人中的5个空挡插入一人，有5种插法；余下的一人则要插入前排5人的空挡，有6种插法，故为；综上知选C．例2、（08湖北理6）将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为（）A．540 B．300 C．180 D．150解：将5分成满足题意的3份有1，1，3与2，2，1两种，所以共有种方案，故D正确．例3、四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（）A．96 B．48 C．24 D．0解：由题意分析，如图，先把标号为1，2，3，4号化工产品分别放入①②③④4个仓库内共有种放法；再把标号为5，6，7，8号化工产品对应按要求安全存放：7放入①，8放入②，5放入③，6放入④；或者6放入①，7放入②，8放入③，5放入④；两种放法．综上所述：共有种放法．故选B．例4、在正方体中，过任意两个顶点的直线中成异面直线的有____________对．解法一：连成两条异面直线需要4个点，因此在正方体8个顶点中任取4个点有种取法．每4个点可分共面和不共面两种情况，共面的不符合条件得去掉.因为在6个表面和6个体对角面中都有四点共面，故有种．但不共面的4点可构成四面体，而每个四面体有3对异面直线，故共有对．解法二：一个正方体共有12条棱、12条面对角线、4条体对角线，计28条，任取两条有种情况，除去其中共面的情况：（1）6个表面，每个面上有6条线共面，共有条；（2）6个体对角面，每个面上也有6条线共面，共有条；（3）从同一顶点出发有3条面对角线，任意两条线都共面，共有，故共有异面直线－－－=174对．题型二：求展开式中的系数例5、（08广东理10）已知（是正整数）的展开式中，的系数小于120，则__________．解：按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1．例6、若多项式，则a9等于（）A．9 B．10 C．－9 D．－10解：=∴．例7、展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项．解：，依题意有，∴n=8．则展开式中二项式系数最大的项为．设第r＋1项系数的绝对值最大，则有．则系数绝对值最大项为．例8、求证：．证：（法一）倒序相加：设①又∵②∵，∴，由①＋②得：，∴，即．（法二）：左边各组合数的通项为，∴．（法三）：题型三：求复杂事件的概率例9、（08福建理5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A．B．C．D．解：由．例10、甲、乙两个围棋队各5名队员按事先排好的顺序进行擂台赛，双方1号队员先赛，负者被淘汰，然后负方的队员2号再与对方的获胜队员再赛，负者又被淘汰，一直这样进行下去，直到有一方队员全被淘汰时，另一方获胜，假设每个队员的实力相当，则甲方有4名队员被淘汰，且最后战胜乙方的概率是多少？解：根据比赛规则可知，一共比赛了9场，并且最后一场是甲方的5号队员战胜乙方的5号队员，而甲方的前4名队员在前8场比赛中被淘汰，也就是在8次独立重复试验中该事件恰好发生4次的概率，可得，又第9场甲方的5号队员战胜乙方的5号队员的概率为，所以所求的概率为．题型四：求离散型随机变量的分布列、期望和方差例11、某先生居住在城镇的A处，准备开车到单位B处上班. 若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，发生堵车事件的概率如图．（例如：A→C→D算作两个路段：路段AC发生堵车事件的概率为，路段CD发生堵车事件的概率为（1）请你为其选择一条由A到B的路线，使得途中发生堵车事件的概率最小；（2）若记路线A→C→F→B中遇到堵车次数为随机变量，求的数学期望解：（1）记路段MN发生堵车事件为MN．因为各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车事件最多只有一次，所以路线A→C→D→B中遇到堵车的概率P1为=1－[1－P（AC）][1－P（CD）][1－P（DB）]=1－；同理：路线A→C→F→B中遇到堵车的概率P2为1－P（（小于）．路线A→E→F→B中遇到堵车的概率P3为1－P（（小于）．显然要使得由A到B的路线途中发生堵车事件的概率最小．只可能在以上三条路线中选择．因此选择路线A→C→F→B，可使得途中发生堵车事件的概率最小．（2）路线A→C→F→B中遇到堵车次数可取值为0，1，2，3．答：路线A→C→F→B中遇到堵车次数的数学期望为例12、如图所示，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的点和点，每只小蚂蚁都可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向各个方向移动，但不能按原线路返回．比如，甲在处时可以沿、、三个方向移动，概率都是；到达点时，可能沿、两个方向移动，概率都是，已知小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．(Ⅰ)若甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒钟，则它们所走的路线是异面直线的概率是多少？它们之间的距离为的概率是多少？(Ⅱ)若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒钟后，甲、乙两只小蚂蚁之间的距离的期望值是多少？解：(Ⅰ)甲蚂蚁移动1秒可以有三种的走法：即沿、、三个方向，当沿方向时，要使所走的路线成异面直线，乙蚂蚁只能沿、C1C方向走，概率为，同理当甲蚂蚁沿方向走时，乙蚂蚁走、C1C，概率为，甲蚂蚁沿时，乙蚂蚁走、，概率为，因此他们所走路线为异面直线的概率为；甲蚂蚁移动1秒可以有三种走法：即沿、、三个方向，当甲沿方向时，要使他们之间的距离为，则乙应走，此时的概率为，同理，甲蚂蚁沿方向走时、甲蚂蚁沿方向走时，概率都为，所以距离为的概率为．(Ⅱ)若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲乙两个蚂蚁之间距离的取值有且只有两个：和，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、，所以其概率为，当时，甲是按以下路线中的一个走的：、、、、、、所以其概率为，所以三秒后距离期望值为．例13、（08湖北理17）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（n=1，2，3，4）.现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号．（Ⅰ）求ξ的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若η=aξ－b，Eη=1，Dη=11，试求a，b的值．解：（1）的分布列为：0 1 2 3 4所以．（2）由，得，即，又，所以当时，由，得；当时，由，得．，或，即为所求．题型五：统计知识例14、（08广东）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（）一年级二年级三年级女生373男生377 370A．24 B．18 C．16 D．12解：依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．答案：C例15、在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布．已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名．（Ⅰ）试问此次参赛学生总数约为多少人？（Ⅱ）若该校计划奖励竞赛成绩排在前50名的学生，试问设奖的分数线约为多少分？可共查阅的（部分）标准正态分布表．0 1 2 3 4 5 6 7 8 91.2 1.3 1.41.92.0 2.1 0.88490.90320.91920.97130.97720.98210.88690.90490.92070.97190.97780.98260.8880.90660.92220.97260.97830.98300.89070.90820.92360.97320.97880. 98340.89250.90990.92510.97380.97930.98380.89440.91150.92650.97440.97980.98420.89620.91310.92780.97500.98030.98460.89800.91470.92920.97560.98080.98500.89970.91620.93060.97620.98120.98540.90150.91770.93190.97670.98170.9857解：（Ⅰ）设参赛学生的分数为，因为～N(70，100)，由条件知，P(≥90)＝1－P（<90）＝1－F(90)＝1－＝1－(2)＝1－0.9772＝0.0228．这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，因此，参赛总人数约为≈526（人）．（Ⅱ）假定设奖的分数线为x分，则P(≥x)＝1－P（<x）＝1－F(90)＝1－＝＝0.0951，即＝0.9049，查表得≈1.31，解得x＝83.1．故设奖的分数线约为83.1分.。

第11讲排列组合和二项式定理,概率(2021高考数学新东方内部

第11讲排列组合和二项式定理,概率(2021高考数学新东方内部第11讲排列、组合和二项式定理,概率(2021高考数学---新东方内部第一一章排列组合与二项式定理1.排列数公式成年男子n（n？1）（n？2）？（n？m？1）？Nn（m？n）；an？Nn（n？1）（n？2）？2.1.(n?m)!如①1！+2！+3！+…+n！（n?4,n?n*）的个位数字为；（答：3）②满足a8x?6a8x?2的x＝（答：8）组合数公式曼恩？（n？1）？？？（n？m？1）n！0c？M（m？n）；指定0！？1，中国？一amm?(m?1)???2?1m!?n?m?!mnmnm如已知cn?cm?1?an?6，求n，m的值.（答：m＝n＝2）(了解)排列数、组合数的性质①cnmcnn？M1②cnm?cnm?1?cnm??1；kk？1.③kcn？ncn？1.1.④crr？crr？1.crr？r？cnr1.⑤NN（n？1）！？Nn11??⑥.(n?1)!n!(n?1)!2.解排列组合问题的依据是：分类和添加（每种方法都可以独立完成这项任务，相互独立，每次都得到最终结果，只有一种方法可以完成这项任务），分步相乘（一步得出的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序的安排，无序的组合如①将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种；（答：35）②从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有种；（答：70）③ 从收集中？1,2,3? 和1,4,5,6? 如果将每个元素作为点的坐标，则它位于直角坐标系中中能确定不同点的个数是_；（答：23）④72的正约数（包括1和72）共有个；（答：12）⑤?a的一边ab上有4个点，另一边ac上有5个点，连同?a的一个顶点总共有10个点。

将这些点作为顶点可以形成三个三角形；（答复：cb90）⑥ 使用六种不同的颜色来分隔右图中的四个区域a、B、C和D，并且允许使用相同的颜色一颜色涂不同区域，但相邻区域不能是同一种颜色，则共有d种不同涂法；（答：480）⑦ 同一个房间里的四个人每人写一张新年贺卡，然后每人拿一张别人寄来的新年贺卡。

排列组合二项式定理和概率

补右图是我国古代的“杨辉三角形”，按其数字
构成规律，图中第八行所有中应填数字的和
等于（ B ）. （09年）
1
A. 96 B.128 C. 256 D.312
11 121 13 31
解 n7
146 41 1 5 10 10 5 1
27 128
1 6 15 20 15 6 1
补求 (x 1 )9 的展开式中 x3 的系数。
★ 3. 排列数公式
n! n (n 1) (n 2) 21
Pnm n (n 1) (n 2) (n m 1)
▽
Pnm

n! (n m)!
特别： Pnn n!
例 P130 1098 720.
补由 0,1, 2, 9 可组成多少个8位数的电话号码？108.
例 5个男生和2个女生站成一排照相。
（1）共有多少种排法？（2）男生甲必须站在左端或右端，且2个女生必须相邻，
有多少种排法？
（3）男生甲必须站在中间，且2个女生必须相邻，
有多少种排法？
解（1） P77 7! 5040
（2）
（P63 例2）
先安排甲 P21 P55 2 480
（3）
在第 n 类办法中有 mn种不同的方法。
则完成这件事共有：
m1 m2 mn 种不同的方法。
2. 分步计数原理（乘法原理）
若完成一件事需要分成 n 个步骤。
做第一步有 m1 种不同的方法；做第二步有 m2 种不同的方法；
做第 n 步有mn 种不同的方法。
则完成这件事共有：
m1 m2 mn 种不同的方法。
(a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 (2 3)4 (2 3)4

排列组合二项式概率统计总复习摘录(教师或学生通用)

（1）数字1不排在个位和千位
（2）数字1不在个位，数字6不在千位。
分析：（1）个位和千位有5个数字可供选择，其余2位有四个可供选择，由乘法原理： =240
2．特殊位置法
（2）当1在千位时余下三位有 =60，1不在千位时，千位有种选法，个位有种，余下的有，共有 =192所以总共有192+60=252
解把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题． =20种
例11．个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带1瓶，一共有多少钟不同的带法．
解把问题转化为5个相同的白球不相邻地插入已经排好的10个相同的黑球之间的9个空隙种的排列问题． =126种
例12从1，2，3，…，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法．
排列组合题型总结
排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。
一．直接法
1．特殊元素法
例1用1，2，3，4，5，6这6个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个
例16亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程．那么所有可能出现的比赛过程有多少种？
解设亚洲队队员为a1,a2，…,a5,欧洲队队员为b1，b2，…，b5，下标表示事先排列的出场顺序，若以依次被淘汰的队员为顺序．比赛过程转化为这10个字母互相穿插的一个排列，最后师胜队种步被淘汰的队员和可能未参加参赛的队员，所以比赛过程可表示为5个相同的白球和5个相同黑球排列问题，比赛过程的总数为 =252（种）

排列组合和二项式定理及概率统计知识点

排列组合二项定理知识要点一、两个原理.1. 乘法原理、加法原理.2. 可．以有．．重复．．元素．．的排列. 从m 个不同元素中，每次取出n 个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二……第n 位上选取元素的方法都是m 个，所以从m 个不同元素中，每次取出n 个元素可重复排列数m·m·… m = m n .. 例如：n 件物品放入m 个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？（解：nm 种）二、排列.1. ⑪对排列定义的理解.定义：从n 个不同的元素中任取m(m ≤n )个元素，按照一定顺序．．．．．．排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. ⑫相同排列.如果；两个排列相同，不仅这两个排列的元素必须完全相同，而且排列的顺序也必须完全相同.⑬排列数.从n 个不同元素中取出m (m≤n )个元素排成一列，称为从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列数，用符号mn A 表示.⑭排列数公式：),,()!(!)1()1(N m n n m m n n m n n n A m ∈≤-=+--=注意：!)!1(!n n n n -+=⋅ 规定0! = 1111--++=⋅+=m n m n m n m m m n m n mA A C A A A 11--=m n m n nA A 规定10==n n n C C 2. 含有可重元素．．．．．．的排列问题. 对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S 有k 个不同元素a 1，a 2,…...a n 其中限重复数为n 1、n 2……n k ，且n = n 1+n 2+……n k , 则S 的排列个数等于!!...!!21k n n n n n =.例如：已知数字3、2、2，求其排列个数3!2!1)!21(=+=n 又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .三、组合.1. ⑪组合：从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.⑫组合数公式：)!(!!!)1()1(m n m n C m m n n n A A C mn mmm n mn-=+--== ⑬两个公式：①;m n n mn CC -= ②mn m n m n C C C11+-=+①从n 个不同元素中取出m 个元素后就剩下n-m 个元素，因此从n 个不同元素中取出 n-m 个元素的方法是一一对应的，因此是一样多的就是说从n 个不同元素中取出n-m 个元素的唯一的一个组合.（或者从n+1个编号不同的小球中，n 个白球一个红球，任取m 个不同小球其不同选法，分二类，一类是含红球选法有1m n 111m n C C C --=⋅一类是不含红球的选法有mn C ）②根据组合定义与加法原理得；在确定n+1个不同元素中取m 个元素方法时，对于某一元素，只存在取与不取两种可能，如果取这一元素，则需从剩下的n 个元素中再取m-1个元素，所以有C 1-m n ，如果不取这一元素，则需从剩余n 个元素中取出m 个元素，所以共有C mn 种，依分类原理有mn m n m n C C C11+-=+.⑭排列与组合的联系与区别.联系：都是从n 个不同元素中取出m 个元素.区别：前者是“排成一排”，后者是“并成一组”，前者有顺序关系，后者无顺序关系. ⑮①几个常用组合数公式 n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m m n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n m n C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：nn n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型： ①直接法.②排除法. n 个不同座位，例：A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-. ③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--.③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A . ④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？mm n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义.⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m mn n A A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n ！/ m ！；解法二：（比例分配法）m m n n A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有k knnn n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有rk r n r r A A --.x 2x 4例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有mn A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的） ⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内。

基本公式·排列组合二项式定理及概率

基本公式·排列组合二项式定理1组合恒等式：(1) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+- （2）11mm n n n C C m--=; （3）121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C (4)321232-=++++n n n n n n n nC C C C (5)rn m r n r m n r m n r m C C C C C C C +-=+++01102．分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的mn 个物件等分给m 个人，各得n 件，其分配方法数共有mnn nn nn mn nn mn nmn n mn C C C C C N )!((22=⋅⋅⋅⋅⋅=--（2）(平均分组无归属问题)将相异的mn 个物体等分为无记号或无顺序的m 堆，其分配方法数共有nnnn nn mn nn mn nmn n m mn m C C C C C N )!(!)!(!...22=⋅⋅⋅⋅=--（3）(非平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，...，m n 件，且1n ，2n ，...，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数共有!!! (212)11m n nn n p n p m p m C C C N mm=⋅⋅=-（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分给m 个人，物件必须被分完，分别得到1n ，2n ，…，m n 件，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!...!!!...211c b a m C C C N mm nn n n p n p ⋅⋅=-12!!!!...!(!!!...)m p m n n n a b c =（5）(非平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数彼此不相等，则其分配方法数有!!...!!21m n n n p N =（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的) 12m P(P=n +n ++n 个物体分为任意的1n ，2n ，…，m n 件无记号的m 堆，且1n ，2n ，…，m n 这m 个数中分别有a 、b 、c 、…个相等，则其分配方法数有!21p Nm =（7）(限定分组有归属问题)将相异的p （2m p n n n = 1+++）个物体分给甲、乙、丙，……等m 个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n 件，乙得2n 件，丙得3n 件，…时，则无论1n ，2n ，…，m n 等m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!!...!!...21211m nn n n p n p n n n p C C C Nmm =⋅=-3．不定方程2n x x x m = 1+++的解的个数(1)方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）的正整数解有11m n C --个(2) 方程2n x x x m = 1+++（,n m N *∈）的非负整数解有 11n m n C +--个161二项式定理;二项展开式的通项公式r r n r n r b a C T -+=1210(n r ，，， =2012()()n nn f x ax b a a x a x a x =+=++++ 的展开式的系数关系：012(1)n a a a a f ++++= ；012(1)(1)nn a a a a f -+++-=- ；0a f =162等可能性事件的概率：()m P A n=163n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：()(1).k k n k n n P k C P P -=-。

组合法的六种类型

组合法的六种类型介绍组合法是一种常用的数学方法，通过对集合中的元素进行组合，生成新的组合对象。

在实际问题中，组合法有着广泛的应用，可以用来解决排列组合、概率统计、图论等问题。

本文将介绍组合法的六种基本类型，并详细探讨每一种类型的应用。

一、排列组合排列组合是组合法中最基础的类型，它主要研究的是从已知的一组元素中选取若干个元素进行排列或组合的问题。

排列是指从一组元素中选取若干个元素进行排列，考虑元素的顺序；而组合是指从一组元素中选取若干个元素进行组合，不考虑元素的顺序。

1.1 从n个元素中选取m个元素的排列数假设有n个元素集合，要从中选取m个元素进行排列，可以用下面的公式计算排列的总数：P(n,m) = n * (n-1) * (n-2) * … * (n-m+1)1.2 从n个元素中选取m个元素的组合数假设有n个元素集合，要从中选取m个元素进行组合，可以用下面的公式计算组合的总数：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)二、二项式定理二项式定理是组合法中的重要定理，它用于计算二项式的展开式中各项的系数。

二项式定理表达式如下：(x+y)^n = C(n,0)*x^n*y^0 + C(n,1)*x^(n-1)*y^1 + C(n,2)*x^(n-2)*y^2 + … + C(n, n)*x^0*y^n其中，C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素进行组合的总数。

三、概率统计组合法在概率统计中有着重要的应用，主要用于求解事件的排列组合情况和概率。

下面是一些常见的与组合法相关的概率统计问题：3.1 抽奖概率假设有n个人参加抽奖，每个人的中奖概率相等，要计算恰有m人中奖的概率，可以用组合法中的组合数公式来计算。

3.2 生日悖论生日悖论是概率统计的一个经典问题，假设一个房间里有n个人，问至少有两个人生日相同的概率是多少？这个问题可以用组合法进行求解。

四、图论图论中的组合法主要研究图的子图个数、路径个数等问题。

2012高考数学冲刺排列组合二项式定理、概率统计

3
5 4
4 9
1．（无锡市 1 月期末调研）某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想收听电台整点报时，则他等待的时间短于 5 分钟的概率为 ▲ ．
1 12
nπ 5．（徐州市 12 月高三调研）已知集合 A , n Z ,0 n 8 ，若从 A 中任取一个元 9
求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm 的女大学生的体重.
ˆ 0.849x 85.712 作出散点图，得到回归方程是 y
ˆ 60.316（kg）所以，对于身高 172cm 的女大学生，由回归方程可以预报其体重为 y
案例 2 假设检验假设检验是利用样本信息，根据一定概率，对总体参数或分布的某一假设作出拒绝或保留的决断，即在论述 H 不成立的前提下，有利于 H 的小概率事件发生，就推断 H 发生. 例 2：某地区的羊患某种病的概率是 0.4，且每只羊患病与否是彼此独立的，今研制一种新的预防药，任选 6 只羊做实验，结果 6 只羊服用此药后均未患病. 你认为这种药是否有效？
相关系数：

用心
爱心
专心
-1-
7．独立性检验（分类变量关系）： 2
n(ad bc)2 . (a b)(c d )(a c)(b d )
0. 025 5. 024 ，反之， 0. 010 6. 635 0. 005 7. 879 0.0 01 10. 828
P 2 x0
3 3 2 ，，；在上机操作 5 4 3
9 5 7 ，，．所有考试是否合格相互之间没有影响． 10 6 8
（1）甲、乙、丙三人在同一次计算机考试中谁获得“合格证书”可能性最大？（2）求这三人计算机考试都获得“合格证书”的概率；（3）用表示甲、乙、丙三人在理论考核中合格人数，求的分布列和数学期望 E ． 4.解：记“甲理论考试合格”为事件 A “乙理论考试合格”为事件 A2 ， “丙理论考试合格” 1，为事件 A3 ，记 Ai 为 Ai 的对立事件， i 1, 2,3 ；记“甲上机考试合格”为事件 B1 ， “乙上机考试合格”为事件 B2 ， “丙上机考试合格”为事件 B3 ．（1）记“甲计算机考试获得合格证书”为事件 A，记“乙计算机考试获得合格证书”为事件 B，记“丙计算机考试获得合格证书”为事件 C，则 P ( A)

高考数学复习“应试笔记”(排列组合二项式定理概率统计矩阵与变换)

江苏高考数学复习“应试笔记”江苏高考·数学解题·高分策略——难点突破与培优提高第I卷160分部分一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!A1．集合1．知识点（1）集合的表示方法．3种．列举法．（2）元素与集合的关系．2种．∈，/∈．（3）集合与集合的关系．重点：A⊆B，A≠⊂B，A＝B．（4）集合的交、并、补运算．（5）常用数集的符号．①任何一个集合是它本身的子集，记为A⊆A；2．方法（1）利用数轴进行集合运算．（2）分清集合中的元素是什么，选择适当的方法进行运算．3．主要结论及其得出方法．若A＝{a1，a2，…，a n}，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．4．注意点（1）空集是任何集合的子集，记为∅⊆A；空集是任何非空集合的真子集．（2）A⊆B需分两种情况：①A＝∅，②A≠∅．（3）集合运算的结果需用集合表示，定义域、值域都要用集合表示．A2．基本初等函数1．知识点（1）函数的概念．非空数集间的一种特殊的对应关系．（2）函数值的求法，需要在定义域内，注意分段函数值．（3）定义域的几种类型．①分母；②对数；③偶次方根；④正切；⑤实际问题．本质上是解不等式或不等式组．（4）函数单调性的定义．注意区间内的任意性．（5）函数奇偶性的定义及其图象特征．（6）函数周期性的定义及其图象特征．（7）基本初等函数的图象及其分布、定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性．（8）指数、对数的意义及其运算法则．（9）方程的近似解的判断．计算端点处的函数值．（10）导数①导数的概念及其几何意义．②常见函数的导数． ③导数的运算法则．④导数与函数单调性的关系． 2．方法（1）画函数图象的方法①已知基本初等函数，直接画出． ②利用区间的两个端点，简易画出． ③利用导数，求出拐点，精确画出． ④分段函数分开画出，并合并． ⑤含参数的函数分类讨论．（2）函数单调性的求法①基本初等函数，直接写出．②复合函数的单调性，特别要注意定义域．如：y ＝log 2(x 2－2x －3)． ③迭加函数．如y ＝x ＋ln x (x ＞0)． ④复杂函数．利用导数．（3）函数最值的求法①研究函数的单调性，从而得出函数的图象．②换元或变形转化为基本初等函数．但要注意换元或变形后的字母的取值．如：y ＝x ＋1－x ． ③利用基本不等式．一个最明显的形式是：分式有倒数．或有两个变量．（4）方程问题、不等式问题、存在性问题、恒成立问题常用分离参数转化为函数问题．如： ①若关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0在区间[－1，4]上有解，求实数a 的取值范围．此问题可以转化为a ＝－x 2＋2x 在区间[－1，4]上有解，即：函数y ＝a 与函数y ＝－x 2＋2x (x ∈[－1，4])的图象有交点．②若关于x 的不等式2－x 2＞|x －a |至少有一个负数解，求实数a 的取值范围．此问题可以转化为在轴的左边函数f (x )＝2－x 2的图象有在函数g (x )＝|x －a |的图象的上方部分． ③已知f (x )＝ax 3－3x ＋1，当x ∈[－1，1]时，f (x )≥0恒成立，求实数a 的值．此问题可以转化为：1)x ∈(0，1]，a ≥(3x －1x3)max ，且2)x ＝0，a ∈R ，且3)x ∈[－1，0)，a ≤(3x －1x3)min ．（5）求函数的解析式 ①待定系数法． ②比较法．（6）分类讨论，研究函数图象的局部形状． 4．常用结论（1）函数f (x )在x ＝0时有意义，则f (x )为奇函数的必要条件是f (0)＝0．（2）增函数＋增函数是增函数；增函数－减函数是增函数；减函数＋减函数是减函数；减函数－增函数是减函数．（3）偶函数±偶函数是偶函数；奇函数±奇函数是奇函数；偶函数×(÷)偶函数是偶函数；偶函数×(÷)奇函数是奇函数；奇函数×(÷)奇函数是偶函数．（4）函数图像的对称性①对于函数y ＝f (x )，若存在常数a ，b ，使得函数定义域内的任意x ，都有f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b2对称．当a ＝b 时，f (x )的图像关于直线x ＝a 对称. f (x )＝f (2a －x )．.对于函数y ＝f (x )，若存在常数a ，b ，使得函数定义域内的任意x ，都有f (a ＋x )＝－f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图像关于点(a ＋b2，0)对称．当a ＝b 时，f (x )的图像关于点(a ，0)对称．f (x )＝－f (2a－x )．②函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图像关于直线y ＝0对称；函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图像关于直线x ＝0对称；函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图像关于原点(0，0)对称．（5）奇函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上是递增的，那么函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上也是递增的；偶函数y ＝f (x )在区间(0，＋∞)上是递增的，那么函数y ＝f (x )在区间(－∞，0)上是递减的． A4．逻辑1．命题的否定与否命题命题p ⇒q 的否定与它的否命题的区别：命题p ⇒q 的否定是p ⇒﹁q ，否命题是﹁p ⇒﹁q .命题“p 或q ”的否定是“﹁p 且﹁q ”，“p 且q ”的否定是“﹁p 或﹁q ”． 2．全称命题p ：∀x ∈M ，p (x )；全称命题p 的否定﹁p ：∃x ∈M ，﹁p (x )．存在性命题p ：∃x ∈M ，p (x )；特称命题p 的否定﹁p ：∀x ∈M ，﹁p (x )． 3．充要条件的判断．4．互为逆否的两个命题是等价的． 5．“p 或q ”、“p 且q ”的真假性及解题规范．A5.排列、组合和二项式定理（附加题部分） 1．知识点（1）两个计数原理①加法原理：完成一件事是分类的．总方法数用加法． ②乘法原理：完成一件事是分步的．总方法数用乘法．（2）两个计数模型①排列模型：从n 个不同元素中选出m 个不同元素排成一列．与顺序有关． ②组合模型：从n 个不同元素中选出m 个不同元素放在一起．与顺序无关．主要计算公式： A m n ＝n ·(n －1)·(n －2)·…·(n －m ＋1)．(n ，m ∈N *，并且m ≤n )． A nn ＝n ·(n －1)·(n －1)·(n －2)·…·2·1＝n ！．A m n ＝n !(n －m )!．0！＝1． C mn ＋1＝C m n－1＋C mn ．C mn ＝A m n A m m ＝n !m !(n －m )!(n ，m ∈N *，且m ≤n )．C m n ＝C n n－m．（3）二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n其中，n ∈N *．二项式系数、系数，通项公式．C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n． C 0n ＋C 2n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋…＝2n －1． 2．方法（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是：①直接法：用加法原理（分类）用乘法原理（发步）⎩⎨⎧位置分析法，元素分析法，插入法（不相邻问题），捆绑法（相邻问题）．②间接法：即排除不符合要求的情形 ③一般先从特殊元素和特殊位置入手. （2）解排列组合问题的方法有： ①特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）．②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）．③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）．④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）．⑤先选后排法．⑥至多至少问题间接法，分类法．⑦相同元素分组可采用隔板法．如：方程x ＋y ＋z ＝100的正整数解的个数． ⑧涂色问题先分步考虑至某一步时再分类．⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组，别忘除以n ！． ⑩最原始的方法：逐个列举，往往是最好的方法．（3）解决二项式问题的基本方法是从通项入手．T k ＋1＝C k n a n －k b k．（4）有关系数和的问题用赋值法，对组合恒等式的证明常用到：①求导后赋值；②赋值；③k C k n ＝n C k －1n －1A6．概率、统计【必修部分】 1．知识点（1）概率的计算公式①古典概型：P (A )＝A 包含的基本事件数基本事件的总数＝mn ．②几何概型：P (A )＝d 的测度D 的测度．【注意】测度可以是长度、面积、体积等．③互斥事件A ，B 至少有一个发生的概率计算公式：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )． ④对立事件的概率计算公式是：P (－A )＝1－P (A )．（2）统计中的抽样方法①简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取．②分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（nN）．③系统抽样．即分组，只需要用简单随机抽样抽取第一组的一个，然后在其它组的同样位置抽取样本．（3）统计中的样本特征数①一组数据x 1，x 2，…，x n 的样本平均数：－x ＝1n (x 1＋x 2＋…＋x n )＝1n i =1∑nx i②一组数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差s 2＝1n [(x 1－－x )2＋(x 2－－x )2＋…＋(x n －－x )2]＝1n i =1∑n (x i －－x )2＝1n (i =1∑n x i 2)－(1n i =1∑nx i )2；标准差＝s 2．【注意】两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，其中y i ＝ax i ＋b 的平均数、方差、标准差的关系．（4）统计中的表、图①频率分布表(分组、频数、频率、累积频率)②频率分布直方图（横坐标：样本分组；纵坐标：频率组距）a ．频率＝频数样本容量；b ．小长方形面积＝组距×频率组距＝频率；c ．所有小长方形面积的和＝1．③茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图． 2．方法（1）概率计算中，计数常用方法：列举法、树状图等，一般情况下不需要用到排列、组合知识，有初中的知识就足够了．（2）平均数、方差的计算．【附加题部分】 1．知识点（1）概率分布（概率分布列、概率分布表）（2）随机变量X ．（3）数学期望：若离散型随机变量X 的概率分布为则称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为X 的均值或数学期望，简称为期望．（4）几个分布①两点分布：随机变量X 只取两个可能值0和1，这一类概率分布称为0－1分布或两点分布，并记为X ～0－1，“读成X 服从两点分布”．②超几何分布：随机变量X 的分布列为P (X ＝r )＝C M r C N －Mn －rC Nn，其中r ＝0，1，2，3，…，l ，l ＝min(n ，M )，则称X 服从超几何分布．记为X ～H (n ，M ，N )，并将P (X ＝r )＝C M r C N －Mn －r C Nn记为H (r ；n ，M ，N )．超几何分布的数学期望：E (X )＝nMN．③二项分布：在n 次独立重复试验中，事件A 发生的概率均为p ，那么在这n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是P n (k )＝C k n p k q n －k，k ＝0，1，2，3，…，n ．即P n (k )＝C k n p k q n －k是二项式(q ＋p )n 展开式中的通项，故称X 服从参数n ，p 的二项分布，记为X ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，n 表示重复的次数，p 指在一次试验中事件A 发生的概率．二项分布的数学期望E (X )＝np ．（5）独立事件同时发生的概率计算公式是：P (A •B )＝P (A )•P (B )；独立事件重复试验的概率计算公式是：P n (k )＝C kn p k (1－p )n －k ．条件概率：称P (B |A )＝P (AB )P (A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率．A7．矩阵与变换（附加题部分） 1．知识点（1）二阶矩阵与列向量的乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11×x ＋a 12×y a 21×x ＋a 22×y ．（2）常见的6个变换恒等变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，也叫单位矩阵；伸压变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k (k ＞0)；投影变换⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0；反射变换⎣⎡⎦⎤0 11 0；旋转变换⎣⎡⎦⎤cos θ－sin θsin θ cos θ(逆时针方向)；切变变换⎣⎡⎦⎤1 k 0 1，⎣⎡⎦⎤1 0k 1．（3）二阶矩阵的乘法⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11a 12a 21a 22⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 12b 21b 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11b 11＋a 12b 21a 11b 12＋a 12b 22a 21b 11＋a 22b 21a 21b 12＋a 22b 22．（4）复合变换：AB (先B 后A ，不得交换)（5）矩阵的逆矩阵：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵，A 也是B 的逆矩阵．二阶矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤ab cd (ad －bc ≠0)的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc －c ad －bc a ad －bc (可直接使用，但须写上公式)．（6）特征向量、特征值、特征多项式二阶矩阵A ，对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．几何解释：特征向量的方向经过矩阵A 对应的变换作用后，保持在同一直线上．当λ＞0时，方向不变；当λ＜0时，方向相反；当λ＝0时，特征向量就被变换成向量0．对于二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，λ∈R ，我们把行列式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征多项式．（7）行列式：⎪⎪⎪⎪abcd ＝ad －bc ．2．方法（1）二阶矩阵将点变换成点．（2）一般情况下，二阶矩阵将直线变换成直线．（3）求曲线C 在二阶矩阵对应的变换作用得到的曲线C 1的方程．如：求出曲线y ＝ln x 在矩阵⎣⎡⎦⎤0 11 0作用下变换得到的曲线．第一步：在曲线y ＝ln x 上任取一个点P'(x'，y')，在矩阵⎣⎡⎦⎤0 11 0对应的变换作用下变为点P (x ，y )．第二步：由⎣⎡⎦⎤0 11 0⎣⎡⎦⎤x'y'＝⎣⎡⎦⎤x y ，所以有y'＝x ，x'＝y ．第三步：因为y'＝ln x'，所以x ＝ln y ，即y ＝e x ．所以，曲线y ＝ln x 在⎣⎡⎦⎤0 11 0作用下变为曲线y ＝e x ．附：写给忙于20XX 年江苏高考备考师生的信。

排列组合与二项式定理

B． 24种 D． 36种
解析：因为恰有2人选修课程甲，共有C2 4 6 种结果，所以余下的两个人各有两种选法，共有2 2 4种结果，根据分步计数原理知共有6 4 24种结果．
2.(2011 重庆卷) 1 2x 的展开式中x 4的系数是
6
_________ .
r r 解析：展开式的通项为Tr 1 2r C6 x. 4 令r 4得展开式中x 4的系数是24 C6 240.
4 得常数1 1 C8 70； 4
当第一个括号中取2x 2时，则第二个括号必取
5
1 x2
5 项，由通项易知当r 5时，取得常数2 1 C8
112，所以展开式中常数项为 112 70 42.
【思维启迪】本题主要考查二项式定理的通项公式及分类讨论的思想方法．解答两个因式积的展开式问题主要有两种途径：
究；
6 近似计算：构造二项式，展开后根据精确度的要
求分析应取前几项，从哪项开始去掉后面的所有项．
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1.(2 011 全国大纲卷)4位同学每人从甲、乙、丙3 门课程中选修1门，则恰有2人选修课程甲的不同选法共有 A． 12种 C． 30种
专题三
排列、组合、二项式定理、概率与统计
1．计数原理分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N m1 m2 mn种不同的方法．分步计数原理：完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法．

专题六第一讲排列组合二项式定理

两个偶数全排列，有A2 2种排法，当1,3不相邻且不与5相邻时有
3 2 2 A3 种方法，当1,3相邻且不与5相邻时有A2 · A3 种方法，故满足题 1 2 2 2 意的偶数个数有C3 · A2 (A3 ＋ A · A 3 2 3)＝108个．
[答案]
(1)B
C
3．(2011· 龙岩模拟)记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有 ( )
－－－
n 的值为________．
2 2 3 n 2 n 1 解析：∵C1 Cn ＋3n 1＝85， n＋3Cn＋3 Cn＋„＋3
－－－
1 2 n 1 n 1 ∴3Cn ＋32Cn ＋33C3 Cn ＋3n＝255. n＋„＋3
－－
1 2 2 3 3 n 1 n 1 n ∴30C0 ＋ 3C ＋ 3 C ＋ 3 C ＋ „ ＋ 3 C ＋ 3 ＝256. n n n n n
答案：D
[悟方法
触类旁通]
在应用通项公式时，要注意以下几点 (1)它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定．
(2)Tr＋1是展开式中的第r＋1项而不是第r项．
(3)二项式系数与项的系数不同，项的系数除包含二项式系数外，还与a、b中的系数有关．
二项式定理是高考每年命题的热点，常涉及展开式中项的系数，常数项的求法，也可与其他知识交汇命题，如定积分计算，数列知识，方程根的个数等．
n r 2 r 又 Tr＋1＝Cr (－1)r，当 n＝2 时，Tr＋1＝Cr (－1)r， n(x＋2) 2(x＋2)
－－
含 x＋2 项的系数为－C1 2＝－2.
10 n＝11 时，含 x＋2 项的系数为 C10 ( － 1) ＝11， 11

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排列组合二项式定理与概率统计重点知识回顾1. 排列与组合⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合,⑶排列与组合的主要公式_r —r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r .⑵二项展开式的通项公式二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。

⑶二项式系数的性质① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）.项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为2A n = n! =n(n — 1)(n — 2)....... 2 • 1.②组合数公式：c mn! n(n 1)(n m 1)(m < n)m!( n m)!m (m 1) 2 1③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n)② c 0 c ； c n 2c ； 2n③ Cn Cnc 4Cnc 1c 3CnCn2n12.二项式定理⑴二项式定理(a +b)n =C 0a n+c n a n — 1 rb+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n，展开式共有n+1项，第问题•区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关,与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题求共有多少种方法的①排列数公式:A mn! (n m)!n(n 1) (n m 1) (m <n)②若n 是偶数，则中间项（第 n 1项）的二项公式系数最大,2n其值为c 2 ；若旦古数，则中间两项（第n 12n 是奇C n 2 = C n 2③ 所有二项式系数和等于2n ，即C 0+c 1 + C 2+…+c n =2n .④ 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即 C n +c n +…=c n +c n + …=2n 1.3.概率(1)事件与基本事件：随机事件:在条件S T ,可能发生也可能不发生的事件事件诒宀击” 不可能事件:在条件S T , 一定不会发生的事件确定事件必然事件:在条件S T , 一定会发生的事件基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示.(2) 频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值.频率往往在概率附近摆动，且随着试验次数的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小•随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验次数的变化而变化.(3) 互斥事件与对立事件：几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例.两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限个，而几何概型问题中所有可能出现的基本事件有无限个.(5)古典概型与几何概型的概率计算公式：古典概型的概率计算公式：P(A)A 包含的基本事件的个数基本事件的总数几何概型的概率计算公式：P(A)构成事件A 的区域长度(面积或体积) 试验全部结果构成的区域长度(面积或体积)两种概型概率的求法都是“求比例” ，但具体公式中的分子、分母不同.(6) 概率基本性质与公式(4)古典概型与几何概型：古典概型：具有“等可能发生的有限个基本事件” 的概率模型.再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。

⑦ 穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。

【命题规律】排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等。

例1、12名同学合影，站成前排 4人后排8人，现摄影师要从后排 8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A .B . C8XC .D . CsA 2例2、12.如图，一环形花坛分成 A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为(A)96 (B) 84 (C) 60(D) 48例3、某地奥运火炬接力传递路线共分 6段，传递活动分别由 6名火炬手完成•如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有种.(用数字作答)考点二：二项式定理【内容解读】掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。

对二项式定理的考查主要有以下两种题型：1、求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；2、求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别; 【命题规律】历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。

为此，只要我们把握住二项式定理及其系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。

8a g x ,则a °,a 1,L 且中奇数的个数为(例6、在(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x5)的展开式中，含x 4的项的系数是(A ) -15( B ) 85(C ) -120( D ) 2748例 4、设(1 x) a 0 a-|X LA . 2B . 3C . 4D . 5例5、组合数C ： (n >r > 1, n 、r € Z )恒等于()A•訳-1B . (n+1)(r+1)C ：：C .nr C r-1n -1r -1 n -11 408625例7、若(x+ ' )n 的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x 4项的系数为 2x(A)6(B)7 (C)8(D)9考点三：概率【内容解读】概率试题主要考查基本概念和基本公式，对等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、事件在n 次独立重复试验中恰发生k 次的概率、离散型随机变量分布列和数学期望等内容都进行了考查。

掌握古典概型和几何概型的概率求法。

【命题规律】(1)概率统计试题的题量大致为2道，约占全卷总分的 6%-10%，试题的难度为中等或中等偏易。

(2)概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息贴近学生实际的问题。

这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神。

例8、在平面直角坐标系 xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于 2的点构成的区域，E 是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向 D 中随意投一点，则落入E 中例9、从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取 4个，则所最大号码是6的概率为1 (B)21 11 2 (A) —(B) — (C)-84215例10、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为 1, 2, 3，…,3 (D)518 的18名火炬手•若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为(A ) 151 1 (C )——306(B )—68 1(D )例11、某一批花生种子，如果每 1粒发牙的概率为16A. ------96B. --------6254，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是(5192 C.——625256 D. -------625取4个球的排列组合二项式定理与概率统计课后练习一、选择题(每题5分，共60分)1.某房间有四个门，甲要进、出这个房间，不同的走法有多少种?A . 12B.7 C . 16 D . 642 •若二项式(.x 2 n)n的展开式的第x5项是常数项，则自然数n的值为( )A . 6B . 10C . 12D . 153 •一枚硬币连掷三次至少出现一次正面的概率为()7311A B. C. D.88834 •要完成下列2项调查：①从某社区125户高收入家庭，280户中等收入家庭，95户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标；②从某中学高一年级的12名体育特长生中选出3人调查学习负担情况.应采用的抽样方法是()A•①用随机抽样法②用系统抽样法B •①用分层抽样法②用随机抽样法C •①用系统抽样法②用分层抽样法D.①、②都用分层抽样法5.设两个独立事件A和E都不发生的概率为件A发生的概率P(A )是1-,A发生E不发生的概率与E发生A不发生的概率相同，则事9( )2112A . -B . —C . —D .—918336.有一名冋学在书写英文单词“error ”时，只是记不清字母的顺序，那么他写错这个单词的概率为()1199191A .B .—C .D .—120102027 •从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行。

则每人入选的概率25 1A .不全相等B .均不相等C .都相等，且为 ------D .都相等，且为—1002 40& （理科做）已知随机变量满足E =2，则E （2+3）= （）A . 4B . 8C . 7D . 5 & （文科做）将容量为 100的样本数据，按由小到大排列分成8组如表：第3组的频率和累积频率为（）A . 0.03 和 0.06B . 1 和 1C . 0.14 和 0.37D .3和 614 37 14 379.将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为A . 70B . 140C . 280D . 84010 .某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择 5个进行游览。

如果 A 、B 为必选城市，并且在游览过程中必须按先 A 后B 的次序经过 A 、B 两城市（A 、B 两城市可以不相邻），则有不同的游览线路（）A . 120 种 C . 480种11.下表是高考本科第一批填报的志愿表，第一志愿1个，第二志愿4个（第二志愿4所学校为并列关系，不存在先后），每所学校只能填2个专业。

现已选5所重点院校，每所院校有 2个专业是你较为满意的选择。

如果规定填满表格，且学校没有重复，专业也没有重复，不同的填法有、填空（每题4分，共16 分）13 . 一个口袋中装有大小相同的 2个白球和3个黑球，从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，则两次摸出的球恰好颜色不同的概率为 __________B . 240 种 D . 600 种A . 160B . 320C . 640D . 76814 •一个田径队，有男运动员56人，女运动员42人比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为28的样本进行尿样兴奋剂检查,其中男运动员应抽________________ 人.15 •有A、B、C、D、E五名学生参加网页设计竞赛，决出了第一到第五的名次，A、B两位同学去问成绩，老师对A说：“你没能得第一名” •又对B说：“你是第三名”，从这个问题分析，这五人的名次排列共有种可能（用数字作答）16 •为了了解“环保型纸质饭盒”的使用情况，某研究性学习小组对本地区2001年至2003年使用纸质饭盒的所有快餐公司进行了调查，根据下列图表提供的信息，可以得出这三年该地区每年平均消耗纸质饭盒万个.年份快餐公司（家）200130200245200390三、解答题（6小题，共74分）17 .（本题满分12分）甲、乙两支足球队90分钟踢成平局，加时赛30分钟后仍成平局。