排列组合二项式定理与概率统计

排列组合二项式定理与概率统计

重点知识回顾

1. 排列与组合

⑴ 分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，两者的区别在于分步计数原理和分步有关, 分类计数原理与分类有关

⑵ 排列与组合主要研究从一些不同元素中，任取部分或全部元素进行排列或组合,

⑶排列与组合的主要公式

_

r —

r+1 项是 T r+1 =C n a n r b r .

⑵二项展开式的通项公式

二项展开式的第r+1项T r+1=c n a n —r b r （r=0,1,…叫）做二项展开式的通项公式。 ⑶二项式系数的性质

① 在二项式展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 即 c n = c n r （r=0,1,2，…,n ）.

项和第n 3项）的二项式系数相等，并且最大，其值为

2

A n = n! =n(n — 1)(n — 2)

....... 2 • 1.

②组合数公式：

c m

n! n(n 1)

(n m 1)

(m < n)

m!( n m)!

m (m 1) 2 1

③组合数性质： ①c m ㈡ m (m < n)

② c 0 c ； c n 2

c ； 2n

③ Cn Cn

c 4

C

n

c 1

c 3

C

n

C

n

2n

1

2.二项式定理

⑴二项式定理

(a +b)n =C 0a n

+c n a n — 1 r

b+ …+C n a n r b r +… + c n b n ,其中各项系数就是组合数c n

，展开式共有n+1项，第

问题•区别排列问题与组合问题要看是否与顺序有关,

与顺序有关的属于排列问题, 与顺序无关的属于组合问题

求共有多少种方法的

①排列数公式:

A m

n! (n m)!

n(n 1) (n m 1) (m

②若n 是偶数，则中间项（第 n 1项）的二项公式系数最大,

2

n

其值为c 2 ；若

旦古数，则中间两项（第n 1

2

n 是奇

C n 2 = C n 2

③ 所有二项式系数和等于

2n ，即C 0+c 1 + C 2+…+c n =2n .

④ 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 即 C n +c n +…=c n +c n + …=2n 1.

3.概率

(1)

事件与基本事件：

随机事件:在条件S T ,可能发生也可能不发生的事件 事件 诒宀击” 不可能事件:在条件S T , 一定

不会发生的事件

确定事件

必然事件:在条件S T , 一定会发生的事件

基本事件：试验中不能再分的最简单的“单位”随机事件；一次试验等可能的产生一个基本事件；任意两 个基本事件都是互斥的；试验中的任意事件都可以用基本事件或其和的形式来表示.

(2) 频率与概率：随机事件的频率是指此事件发生的次数与试验总次数的比值.频率往往在概率附近摆 动，且随着试验次数

的不断增加而变化，摆动幅度会越来越小•随机事件的概率是一个常数，不随具体的实验 次数的变化而变化.

(3) 互斥事件与对立事件：

几何概型：每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度(面积或体积)成比例.

两种概型中每个基本事件出现的可能性都是相等的，但古典概型问题中所有可能出现的基本事件只有有限 个，而几何概型问题

中所有可能出现的基本事件有无限个.

(5)

古典概型与几何概型的概率计算公式：

古典概型的概率计算公式：

P(A)

A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数

几何概型的概率计算公式：

P(A)

构成事件A 的区域长度(面积或体积) 试验全部结果构成的区域长度

(面积或体积)

两种概型概率的求法都是“求比例” ，但具体公式中的分子、分母不同.

(6) 概率基本性质与公式

(4)古典概型 与几何概型：

古典概型：具 有“等可能发生的 有限个基本事件” 的概

率模型.

再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列。

⑦ 穷举法：将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来；这种方法常用于方法数比较少的问题。 【命题规律】排列组合的知识在高考中经常以选择题或填空题的形式出现，难度属中等。

例1、12名同学合影，站成前排 4人后排8人，现摄影师要从后排 8人中抽2人调整到前排，若其他人的 相对顺序不变，则不同调整方法的总数是

(

)

A .

B . C8X

C .

D . CsA 2

例2、12.如图，一环形花坛分成 A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种一种花， 且相邻的2块种不同的花，则不同的种法种数为

(A)96 (B) 84 (C) 60

(D) 48

例3、某地奥运火炬接力传递路线共分 6段，传递活动分别由 6名火炬手完成•如果第一棒火炬手只能从

甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有 种.(用

数字作答)

考点二：二项式定理

【内容解读】掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题。对二项式定理 的考查主要有以下

两种题型：

1、 求二项展开式中的指定项问题：方法主要是运用二项式展开的通项公式；

2、 求二项展开式中的多个系数的和：此类问题多用赋值法；要注意二项式系数与项的系数的区别; 【命题规律】

历年高考二项式定理的试题以客观题的形式出现，多为课本例题、习题迁移的改编题，难度不大，重点考 查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分、化归转化等思想方法。为此，只要我们把握住

二项式定理及 其

系数性质，会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决，就可顺利获解。

8

a g x ,则a °,a 1,L 且 中奇数的个数为(

例6、在(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x

5)的展开式中，含x 4

的项的系数是

(A ) -15

( B ) 85

(C ) -120

( D ) 274

8

例 4、设(1 x) a 0 a-|X L

A . 2

B . 3

C . 4

D . 5

例5、组合数

C ： (n >r > 1, n 、r € Z )恒等于(

)

A

•訳-1

B . (n+1)(r+1)

C ：：

C .nr C r-1

n -1

r -1 n -1