03-第三章-离散傅立叶变换PPT课件

授课：XXX
2021/3/9
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3.2 离散傅里叶变换的定义
离散傅里叶变换的定义 DFT和z变换、序列的傅里叶变换的关系 DFT的隐含周期性
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3.2.1 离散傅里叶变换的定义
离散傅里叶正变换(DFT)定义
x(n)长度为N，作为周期序列的一个主值区间
N1
X(k)DF [x(T n)] x(n)W N k n n0
x( 1 )x(( 1 ))8x(?) =x(7)
相反，在时域上是离散的，则该信号在频 域必然表现为周期性的频率函数。
如果时域信号离散且是周期的，由于它时 域离散，其频谱必是周期的，又由于时域 是周期的，相应的频谱必是离散的，
离散周期序列一定具有既是周期又是离散 的频谱，即时域和频域都是离散周期的。
得出一般的规律：一个域的离散就必然 造成另一个域的周期延拓。
非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是 周期的连续函数
离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期 又是离散的频谱，即时域和频域都是离散 的、周期的
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各种形式的傅里叶变换示意图
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傅里叶变换的一般规律
如果信号频域是离散的，则该信号在时域 就表现为周期性的时间函数。
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离散傅里叶变换的导出
由于数字计算机只能计算有限长离散的 序列，因此有限长序列在数字信号处理 中就显得很重要。
Z变换和傅里叶变换无法直接利用计算 机进行数值计算。
针对有限长序列“时域有限”这一特点， 导出一种更有用的离散傅里叶变换DFT (Discrete Fourier Transform)。
解（1）x(n)的傅里叶变换
X (ej)n R 4(n)e-jnn 30e-jn1 1 e e --jj4
e-j2(ej2 e-j2) e-j/2(ej/2 e-j/2)
e-j3/2 sin(2) sin(/ 2)
（2）x(n)的4点DFT
X 1 (k ) n 3 0x (n )W 4 k n n 3 0 W 4 k n 0 4 ,,
第三章 离散傅里叶变换
本章目录
引言 离散傅里叶变换的定义 离散傅里叶变换的基本性质 频域取样 离散傅里叶变换的应用
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3.1 引言
各种形式的傅里叶变换
非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频 谱是一个非周期的连续函数
周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱 是非周期性的离散频率函数
X(k)X(ej w )w2k/N
0≤k≤ N-1
物理意义：X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间 [0，2π]上的N点等间隔取样。
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3.2.3 DFT的隐含周期性
DFT变换对中，
W
kn N
具有周期性：
WNk WN(kmN) 其中k，m，N均为整数
因此有
N1
k 0 k 1 ,2 ,3
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（3）x(n)的8点DFT
7
3
3 j 2 kn
X2(k) x(n)W 8kn W 8kn e 8
n0
n0
n0
j 3k
e8
sin sin
2
k k
k=0，1，…，7
8
（4）x(n)的16点DFT
15
3
X3(k) x(n)W 1k6n W 1k6n
n 0
n 0
N1
X(ejw)F[x(n)] x(n)ejwn n0
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三种变换的关系
比较三式可得
X(k)X(z)zWN kej2k/N
0≤k≤ N-1
X(k)X(ej w )w2k/N
0≤k≤ N-1
式(4.3)表明，序列x(n)的N点DFT相当于是在x(n) 的z变换的单位圆上进行N点等间隔取样，同时第 一个取样点应取在z= 1处。
离散傅里叶反变换(IDFT)定义
0≤k≤N -1
x(n)ID[X F (k)T ]N 1N k 0 1X(k)W N kn 0≤n ≤N -1
式中
j 2
WN e N
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例：离散傅里叶变换
例3.1 ：设有限长序列为x(n)=R4(n)，求x(n) 的 傅里叶变换，以及4点、8点、16点DFT。
式(4.4)说明，X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区 间[0，2π]上的N点等间隔取样。
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DFT和Z变换的关系
X(k)X(z)zWN kej2k/N
0≤k≤ N-1
N＝8时，单位圆上的8个等间隔取样点示意图。
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DFT和序列的傅里叶变换的关系
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3.2.2 DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系
设序列x(n)的长度为N，其Z变换、DFT和傅里叶变换分别为
N1
X(z)Z[x(n)] x(n)zn n0
X (k) D[x F (n )T ]N 1x(n )W N k nN 1x(n )ej2 N kn 0≤k≤ N-1
3
j 2 kn
e 16
n0
n0
n0
j 3 k
e 16
sin sin
4
k k
k=0，1，…，15
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例3.1 的图形显示
从图3.2可见， 同一序列不同点 数的DFT是不相 同的。
比较可以发现， 对原序列尾部补 零后增加的谱线 只是有规律地插 在频谱的一个周 期内。
X(km)N x(n)W N (km)N n n0
N1
x(n)WNknX(k) n0
结论：X(k)具有隐含周期性，且周期均为N。
同理可得 x(nm)N x(n) 。
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周期序列与周期延拓序列
任何周期为N的周期序列 x ( n ) 都可以看作长度为N的有 限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 x ( n ) 的一个
周期，即
~x(n)
x(nmN)
m源自文库
x(n )~ x(n )R N (n )
引入运算符((n))N，表示n对N求余数，即如果
n = MN + n1，0≤n1≤N-1，M为整数 则 ((n))N = n1
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例: 序列的周期延拓
例如，N=8， ~ x(n)x(n ()8 ) ，则有