03-第三章-离散傅立叶变换PPT课件
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离散傅里叶变换(DFT)ppt课件
幅度为
1 N
X~ (k )，其中k
0,1, , N
N
1表示其频谱分布规律
8
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
(3)周期序列的傅里叶变换表示
因为周期序列不满足条件： x(n) 。因此它的DTFT 不存在。但是，通过引入奇异函n数 δ 其DTFT可以用公式
表示。
x(n) x(n kN ),k
周期序列也可用离散的傅氏级数来表示。
(1)DFS定义
正变换：X
(k)
DFS [ x(n )]
N
1
x(n)e
j 2 N
nk
一般记：
反变换：x(n)
n0
IDFS[X (k)] 1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
j 2
WN e N
6
第3章 离散傅里叶变换(DFT) (2)周期序列的离散傅里叶级数推导 由
为 ~x对(n于)周的期“序主列值~x区(间n)”，，定主义值其区第间一上个的周序期列n为=0主~N值-1序，
列 x(n)。
x(n)与~x(n) 的关系可描述为： ~x (n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x (n)的"主值序列"
数学表示：
x(n)
x(n mN ) x((n))N
x(n)
1
N 1
j 2 kn
X (k)e N
N k0
X (e j ) 2 X (k) ( 2 k)
N k
N
其中 :
X
(k)
N 1
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
N X ( k )
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
实际上，任何周期为N的周期序列 x ( n) 都可以看 作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)
则是
x(n) 的一个周期， 即
x ( n)
m
x (n mN )
kn 序列，但由于 WN 的周期性，使离散傅里叶变换式中的
X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m， 总有
k ( W N W Nk mN ) k，m为整数，N为自然数
所以(3.1.1)式中， X(k)满足
X (k mN )
n 0
N 1
( x (n)W Nk mN ) n
x(9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
x(2) x((2))8 ？
2 (1) 8 6
x (2) x ((2))8 x(6)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
N：DFT变换区间长度，当N大于xn的长度时，fft
函数自动在xn后面补零。 Xk：函数返回xn的N点DFT变换结果向量。 当N小于xn的长度时，fft函数计算xn的前面N个元 素构成的N长序列的N点DFT，忽略xn后面的元素。 Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
( 3.1.5) (3.1.6)
x ( n ) x ( n ) RN ( n )
上述关系如图3.1.2(a)和(b)所示。
x 周期序列 ~ (n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~ (n)的主值区间，而主值区间上的序列称为 ~ (n)的 x x 主值序列。因此 x(n) 与 ~ (n) 的关系可叙述为： x
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
实际上，任何周期为N的周期序列 x ( n) 都可以看 作长度为N的有限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)
则是
x(n) 的一个周期， 即
x ( n)
m
x (n mN )
kn 序列，但由于 WN 的周期性，使离散傅里叶变换式中的
X(k)隐含周期性，且周期均为N。对任意整数m， 总有
k ( W N W Nk mN ) k，m为整数，N为自然数
所以(3.1.1)式中， X(k)满足
X (k mN )
n 0
N 1
( x (n)W Nk mN ) n
x(9) x((9))8 x(1)
所得结果符合图3.1.2（a）和（b）所示的周期延拓规律。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
x(2) x((2))8 ？
2 (1) 8 6
x (2) x ((2))8 x(6)
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
N：DFT变换区间长度，当N大于xn的长度时，fft
函数自动在xn后面补零。 Xk：函数返回xn的N点DFT变换结果向量。 当N小于xn的长度时，fft函数计算xn的前面N个元 素构成的N长序列的N点DFT，忽略xn后面的元素。 Ifft函数计算IDFT，其调用格式与fft函数相同。
第3章 离散傅里叶变换（DFT）
( 3.1.5) (3.1.6)
x ( n ) x ( n ) RN ( n )
上述关系如图3.1.2(a)和(b)所示。
x 周期序列 ~ (n) 中从n=0到N－1的第一个周期为 ~ (n)的主值区间，而主值区间上的序列称为 ~ (n)的 x x 主值序列。因此 x(n) 与 ~ (n) 的关系可叙述为： x
离散傅里叶变换ppt
频域信号 周期的 离散的
*时域是周期为Tp函数，频域的离散间隔为0
2
Tp
;
时域的离散间隔为T ,频域的周期为s
2
T
.
§ 3-1 周期序列的DFS
一.周期序列DFS的引入 导出周期序列DFS的传统方法是从连
续的周期信号的复数傅氏级数开始的：
~x (t) X~ ( jk0 )e jk0t k
对上式进行抽样，得：
n0
x(n)
IDFT X (k)
1 N
N 1
X (k )WNn,k
k 0
0nN-1
或者： X (k) X~(k)RN (k) x(n) ~x (n)RN (n)
练习题
参考答案
TP 1/ f 0.1(s) T 1/ 2 fh 1/ 8kHz 0.125(ms) N 2 fh / f 800
证明：
DFS[WNmn~x (n)]
N
1
WNmn
~x (n)WNkn
n0
N 1 ~x (n)WN(km)n n0
X~(k m)
WNmn
j 2 mn
eN
j 2 nm
eN
(e
j
2
N
n
)
m
时域乘以虚指数(
j 2
eN
n
)的m次幂，频域搬移m,调制特性。
四.周期卷积和
1.如果 Y~(k) X~1(k)X~2(k)
所以
DFS[~x (n
m)]
N 1m~x (i)WNik
W mk N
im
W mk N
N
1
~x (i)WNik
W mk N
~x (k
数字信号处理课件--第三章4离散傅里叶变换的性质-PPT精选文档
a , b 为 任 意 常 数
则
这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 m a x [ N , N ] 相等，均为N，且 N 1 2
课件 2
2、序列的圆周移位
( n ) x ( ( n m ) ) R ( n ) 定义： x m N N
取主 ( n m ) 延拓 序列 xn ( ( m ) ) N
n l N n l N
时域序列的调制等效于频域的圆周移位
课件 6
2 n l 1 D F T x ( n ) c o s X ( ( k l ) ) X ( ( k l ) ) R ( k ) N N N N 2
2 n l 1 D F T x ( n ) s i n X ( ( k l ) ) X ( ( k l ) ) R ( k ) N N N N 2 j
2 nl x(n) x(n)sin N
课件 7
3、共轭对称性
序列的Fourier变换的对称性质中提到：
任意序列可表示成 x e ( n ) 和 x o ( n ) 之和:
x ( n ) x ( nx ) ( n ) e o
* * x ( n ) x ( n ) 1 / 2 [ x ( n ) x ( n ) ] 其中： e e
课件
3
课件
4
X ( k ) D F T [ x ( n ) ] D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ] m m N N
m k W () N Xk
证 ： D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ][ D F T x ( n m ) R ( n ) ] N N N
则
这里，序列长度及DFT点数均为N 若不等，分别为N1，N2，则需补零使两序列长度 m a x [ N , N ] 相等，均为N，且 N 1 2
课件 2
2、序列的圆周移位
( n ) x ( ( n m ) ) R ( n ) 定义： x m N N
取主 ( n m ) 延拓 序列 xn ( ( m ) ) N
n l N n l N
时域序列的调制等效于频域的圆周移位
课件 6
2 n l 1 D F T x ( n ) c o s X ( ( k l ) ) X ( ( k l ) ) R ( k ) N N N N 2
2 n l 1 D F T x ( n ) s i n X ( ( k l ) ) X ( ( k l ) ) R ( k ) N N N N 2 j
2 nl x(n) x(n)sin N
课件 7
3、共轭对称性
序列的Fourier变换的对称性质中提到：
任意序列可表示成 x e ( n ) 和 x o ( n ) 之和:
x ( n ) x ( nx ) ( n ) e o
* * x ( n ) x ( n ) 1 / 2 [ x ( n ) x ( n ) ] 其中： e e
课件
3
课件
4
X ( k ) D F T [ x ( n ) ] D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ] m m N N
m k W () N Xk
证 ： D F T [ x ( ( n m ) ) R ( n ) ][ D F T x ( n m ) R ( n ) ] N N N
信号与系统课件-第三章离散傅立叶变换DFT
拓展延伸：其他相关变换方法简介
要点一
拉普拉斯变换
要点二
Z变换
用于分析线性时不变系统的稳定性及频率响应特性。
用于分析离散时间线性时不变系统的稳定性及频率响应特 性。
THANKS
感谢观看
高频谱利用率
OFDM技术通过采用正交子载 波的方式，实现了频谱资源的 有效利用，提高了系统的频谱 利用率。
03
抗多径干扰能力强 04
由于OFDM系统采用了多载波调 制方式，每个子载波上的符号周 期相对较长，因此具有一定的抗 多径干扰能力。
适用于高速数据传 输
OFDM技术通过将高速数据流分 解成多个低速子数据流进行传输 ，降低了对单个载波的传输速率 要求从而适用于高速数据传输 场景。
共轭对称性
若x[n]为实序列，则其DFT满足 X[k]=X*[N-k]，其中*表示共轭。
周期性与非周期性信号处理方法
周期性信号处理方法
对于周期性信号，可以通过截取一个周期的信号进行DFT分析，得到该信号的频谱特性。由于DFT具有周期性， 因此可以通过对截取信号的DFT结果进行周期延拓得到整个周期信号的频谱。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
01
离散傅立叶变换（DFT）定义及性质
02
DFT是将连续时间信号在时域和频域上都进行离散化处理的一 种变换方法。
03
DFT具有线性性、时移性、频移性、共轭对称性等基本性质。
关键知识点总结回顾
直接计算法
根据DFT定义直接进行计算，但计算量大，不实用。
快速傅立叶变换（FFT）
仿真实验：不同窗函数对信号重构影响
实验目的
说明本实验的目的在于研究不同 窗函数对信号重构的影响，以便 在实际应用中选择合适的窗函数。
数字信号处理第三章离散傅里叶变换DFTppt课件
2 N
kn
n
xN (n) IDFT[ X (k)]
x(n)与xN (n)的关系？
26
离散傅里叶变换（DFT）
xN (n)
~
x(n)
~
X (k)
X (k)
~
x(n)
~
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1 ~
X (k )WNkn
k 0
1 0
1 N
N 1
[
如果序列x(n)的长度为M ,则只有当频域采样点数 N M时，才有xN (n) IDFT[ X (k)] x(n)
28
离散傅里叶变换（DFT）
[例] 已知 x(n) R8 (n) ，X (e j ) FT[x(n)] 对 X (e j )
采样得
X (k)
X (e j )
, k
2 6
k
1 N
N 1
X1(l) X 2 ((k
k 0
l))N
RN (k)
1 N
X1(k)
NX 2 (k)
1 N
N 1
X 2 (l) X1((k
k 0
l))N RN (k)
1 N
X 2 (k )
NX 1 (k )
22
离散傅里叶变换（DFT） 4.复共轭序列的DFT
X (k) DFT[x(n)]
证明： DFT[x(n)] X (N k)且X (N ) X 0
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换（DFT）
离散傅里叶变换的定义
主
离散傅里叶变换的基本性质
要
内
容
频率域采样
DFT的应用举例
2
傅里叶变换专题教育课件
Ω
-
2
３双边奇指数信号
et
f
(t )
e t
旳傅里叶变换为 ：
t 0 t 0
f (t) 1
0
t
F () f (t)e jt dt
-1
0 et e jt dt et e jt dt
0
1
j
2 2 2
| F() |
其幅度频谱和相位频谱为
|
F
()
|
2
2
||
2
() 2
2
0 0
2.在任何有限区间内，只有有限个最大值和最小值。
3.在任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在 每个不连续点上信号都必须取有限值，这时傅里叶 变换收敛于间断点两边函数值旳平均值。
常见非周期信号旳傅里叶变换
１矩形脉冲信号
f(t)
E
E f (t )
0
| t |
2
| t |
2
-
0
t
2
2
E：脉冲幅度，τ：脉冲宽度。其傅里叶变换为
信号可进行傅里叶变换旳条件： 一般来讲，若信号函数满足绝对可积条件，即：
f (t) dt
则信号可进行傅里叶变换。注：此式只是信号函数进行傅里叶变换 旳充分条件。在引入广义函数后，有些不满足此式旳信号函数也能够 进行傅里叶变换。
周期信号旳傅里叶变换：
设有周期性矩形脉冲信号f(t)，
E
f (t )
“非周期信号都能够用正弦信号旳 加权积分来表达”——傅里叶旳第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号旳傅里叶变换 傅里叶变换有下列积分定义：
： 傅里叶正变换公式
F () F [ f (t )] f (t )e jt dt
第3章--离散傅里叶变换(DFT)(用此参考课件上课)
n0
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
《离散傅里叶变换》课件
离散傅里叶级数
探索离散傅里叶级数的定义、性 质和计算方法以及在数字信号处 理中的应用。
离散傅里叶变换
仔细研究离散傅里叶变换的离散 性质和变换公式，揭示其在信号 分析中的独特优势。
离散傅里叶变换的性质
探索离散傅里叶变换的对称性、 线性性以及快速计算算法，解开 其工程应用的奥秘。
离散傅里叶变换实践1海明窗函数图像处理
探索离散傅里叶变换在图像滤波、增强和压缩中的重要作用。
视频编码
揭示离散傅里叶变换在视频编码和压缩领域的关键应用和优化策略。
总结
离散傅里叶变换的优点与缺点
离散傅里叶变换未来的发展趋势
2
深入了解海明窗函数的定义和特性，以
及在信号处理中的应用场景。
3
快速傅里叶变换算法
介绍快速傅里叶变换算法的基本原理和 实现方法，让你轻松掌握高效算法的使 用。
离散傅里叶变换与信号处理实例
通过实际案例演示离散傅里叶变换在语 音信号和图像信号处理中的应用与效果。
离散傅里叶变换应用
语音信号处理
深入研究离散傅里叶变换在语音信号分析、压缩和合成中的广泛应用。
《离散傅里叶变换》PPT 课件
本课件介绍离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform），让你轻松理解 该概念及其应用。从基本理论到实践应用，一网打尽。
简介
什么是离散傅里叶变换
深入探索离散傅里叶变换的定义、原理和作用，为你打开全新的数学世界。
应用领域
探索离散傅里叶变换在信号处理、图像处理、视频编码等领域的广泛应用。
傅里叶理论基础
1 傅里叶级数
揭秘傅里叶级数的概念和 原理，了解它在周期信号 分析中的作用。
2 傅里叶变换
【精品】3离散傅里叶变换PPT课件
X1(k)=DFT［x1(n)］
X2(k)=DFT［x2(n)］
如果 X(k)=X1(k)·X2(k)
则
N 1
x(n )ID F T [X (k)] x 1 (m )x2((n m ))N R N (n )
m 0
N 1
或 x(n )ID F T [X (k)] x2(m )x 1 ((n m ))N R N (n )
设序列xn长度为m在频域02之间等间隔采样n点56将上式代入xz的表示式中得57上式中1因此上式就成为xn的傅里叶变换xe59例331长度为26的三角形序列编写matlab程序验证频域采样定理60dftdft的快速算法fft的出现dft在数字通信语言信号处理图像处理功率谱估计仿真系统分析雷达理论光学医学地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用
29
第3章 离散傅里叶变换(DFT) 直接计算循环卷积较麻烦。计算机中
采用矩阵相乘或快速傅里叶变换（FFT） 的方法计算循环卷积。下面介绍用矩阵 计算循环卷积的公式。
30
第3章 离散傅里叶变换(DFT)
当n = 0, 1, 2, …, L－1时，由x(n)形成的
序列为： {x(0), x(1), …, x(L－1)}。循环移位后
(2) 时域循环移位定理： 设x(n) 是长度为N的有限长序列，
y(n)为x(n)的循环移位， 即 y(n)=x((n+m))NRN(n)
则
Y(k)=DFT［y(n)］
WNkmX(k)
其中 X(k)=DFT［x(n)］, 0≤k≤N-1。
24
第3章 离散傅里叶变换(DFT) （3）频域循环移位定理，如果
可得下面的矩阵：
x(0)
x(1)
离散傅里叶变换(DFT)PPT课件
其中：RN(n)为矩形序列。 符号 ((n))N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。 即 n mod N： n M n 1 ,N 0 n 1 N 1
x(n)与 ~x(n) x(n)
…
…
0
n
例： ~x(n)是周期为 N=4 的序列，求 n=6 和 n=-1 对 N的余数。
对于周期序列 ~x(n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为
~x(n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。
x(n)与 ~x(n) 的关系可描述为：
~x(n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x(n)的"主值序"列
数学表示：
~ x(n)x(n ()N ) x(n)~ x(n)RN(n)x(n ()N )RN(n)
x(n) 1
0.5
0 0 10 20 30 40
IDFS|X(k)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 10 20 30 40
|X(k)|
arg|X(k)|
12
2
10
8
1
6
0
4
2
-1
-
14
0 10 20 30 40
0 10 20 30 40
序列周期重复次数对序列频谱的影响：
理论上，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅立叶级 数来表示。要对周期序列进行分析，可以先取K个周期处理， 然后再让K趋于无穷大，研究其极限情况。基于该思想，可以 观察到序列信号由非周期到周期变化时，频谱由连续谱逐渐向 离散谱过渡的过程。
101510510151015105101563物理频率分辨率越高就越能真实刻划信号的频率构成成分或者说越能体现细节即在频域中描述得比较精确对离散时间信号x比如你的信号中有个5hz10hz102hz20hz25hz等正弦成分他们相邻的最小频率间隔是1021002hz也就是说你需要把10和102hz这两个成分分开即可如果分辨率太高则数据量太长浪费计算时间如果分辨率太低则无法把这两个频率分开所以你可以选择截取的最小时长为t1102105秒
x(n)与 ~x(n) x(n)
…
…
0
n
例： ~x(n)是周期为 N=4 的序列，求 n=6 和 n=-1 对 N的余数。
对于周期序列 ~x(n) ，定义其第一个周期 n=0~N-1，为
~x(n) 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。
x(n)与 ~x(n) 的关系可描述为：
~x(n)是x(n)的周期延拓 x(n)是~x(n)的"主值序"列
数学表示：
~ x(n)x(n ()N ) x(n)~ x(n)RN(n)x(n ()N )RN(n)
x(n) 1
0.5
0 0 10 20 30 40
IDFS|X(k)| 1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 10 20 30 40
|X(k)|
arg|X(k)|
12
2
10
8
1
6
0
4
2
-1
-
14
0 10 20 30 40
0 10 20 30 40
序列周期重复次数对序列频谱的影响：
理论上，周期序列不满足绝对可积条件，因此不能用傅立叶级 数来表示。要对周期序列进行分析，可以先取K个周期处理， 然后再让K趋于无穷大，研究其极限情况。基于该思想，可以 观察到序列信号由非周期到周期变化时，频谱由连续谱逐渐向 离散谱过渡的过程。
101510510151015105101563物理频率分辨率越高就越能真实刻划信号的频率构成成分或者说越能体现细节即在频域中描述得比较精确对离散时间信号x比如你的信号中有个5hz10hz102hz20hz25hz等正弦成分他们相邻的最小频率间隔是1021002hz也就是说你需要把10和102hz这两个成分分开即可如果分辨率太高则数据量太长浪费计算时间如果分辨率太低则无法把这两个频率分开所以你可以选择截取的最小时长为t1102105秒
离散傅里叶变换及其快速计算方法(DFT、FFT) ppt课件
X (e jT
)e jnT d
T
2 T
取样定理
X (e jT )
x(nT )e jnT
n
1 T
X ( 0)
n
时域的离散化造成频域的周期延拓
时域的非周期对应于频域的连续
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8
3.1 问题的提出：傅里叶变换的四种形式 (5)
X (e jw ) x(n)e jnw n
（2）Z 变换 -- 提供任意序列的 z 域表示。
X (z) x(n)zn n
这两种变换有两个共同特征：
（1）变换适合于无限长序列 （2）它们是连续变量 ω 或 z 的函数
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3
3.1 问题的提出：可计算性
N 1
X (k ) x(n)WN kn
n0
x(n)
1 N
N 1
X (k )WN kn
k0
其中
j 2
WN e N
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22
DFS 定义：几点说明
在什么条件下不产生混迭失真？
X (k) X (e j ) |2 k N
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12
DFS 定义：预备知识
基本关系式 若 r，m 都是整数,则:
N N 1 j 2 k(r m )
eN
k0
0
rm rm
证明: 对于r=m：不论 k 取何值，显然等式成立。
对于r≠m：
e W N 1 j 2 k(rm) N
第三章傅里叶变换90页PPT
• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。
Fn
0.5
解：
f(t)1(ej10t0ej10t0)
所以
2 F1
F1
1 2
,
其F余 n0， n1
-w1
w1
nw1
• 例题：已知信号f(t)的频谱Fn如图所示，求信号f(t)。
解： F 0 2 ,F 1 F 1 2 ,F 2 F 2 1
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f(t)c0 cncos(n1tn)
其中 c n 2 a n 2 b n 2
n1n a rc ta n ( a b n n)
（2）
c 0 a 0
an为 n 1 的偶函数， b n 为 n 1 的奇函数
cn为 n 1 的偶函数， n为 n 1 的奇函数
例题 求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。
其中
aan0 n 1T21T11tt00tt0T 01Tf1(tf)c(t)odnst1tdt•角级f(函数t)分数。解线为性不组同合频的率无三穷
推导
2
bn
T1
t0T1 t0
f(t)s
in1tdt
基波，二次谐波….n次谐波
傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。
f(t)a0 (anco ns1tbnsinn 1t) n1
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。
（1）
n 1
f(t)c0 cncon s1(tn)
（2）
n1
f (t)
Fnejn1t
n
f(t) →Fn建立一一对应关系。
（3）
不同时域信号对应的Fn不同，因此可以通过研究Fn来研究 信号的特性。Fn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅 度和相位变化规律称为频谱函数。可直观地看出各频率分量的相对 大小和相位情况，这样的图就称为信号的幅度频谱和相位频谱。
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3
j 2 kn
e 16
n0
n0
n0
j 3 k
e 16
sin sin
4
k k
k=0，1，…，15
16
授课：XXX
2021/3/9
10
例3.1 的图形显示
从图3.2可见， 同一序列不同点 数的DFT是不相 同的。
比较可以发现， 对原序列尾部补 零后增加的谱线 只是有规律地插 在频谱的一个周 期内。
n 0
n 0
N1
X(ejw)F[x(n)] x(n)ejwn n0
授课：XXX
2021/3/9
12
三种变换的关系
比较三式可得
X(k)X(z)zWN kej2k/N
0≤k≤ N-1
X(k)X(ej w )w2k/N
0≤k≤ N-1
式(4.3)表明，序列x(n)的N点DFT相当于是在x(n) 的z变换的单位圆上进行N点等间隔取样，同时第 一个取样点应取在z= 1处。
式(4.4)说明，X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区 间[0，2π]上的N点等间隔取样。
授课：XXX
2021/3/9
13
DFT和Z变换的关系
X(k)X(z)zWN kej2k/N
0≤k≤ N-1
N＝8时，单位圆上的8个等间隔取样点示意图。
授课：XXX
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14
DFT和序列的傅里叶变换的关系
k 0 k 1 ,2 ,3
授课：XXX
2021/3/9
9
（3）x(n)的8点DFT
7
3
3 j 2 kn
X2(k) x(n)W 8kn W 8knj 3k
e8
sin sin
2
k k
k=0，1，…，7
8
（4）x(n)的16点DFT
15
3
X3(k) x(n)W 1k6n W 1k6n
周期，即
~x(n)
x(nmN)
m
x(n )~ x(n )R N (n )
引入运算符((n))N，表示n对N求余数，即如果
n = MN + n1，0≤n1≤N-1，M为整数 则 ((n))N = n1
授课：XXX
2021/3/9
17
例: 序列的周期延拓
例如，N=8， ~ x(n)x(n ()8 ) ，则有
x( 1 )x(( 1 ))8x(?) =x(7)
X(km)N x(n)W N (km)N n n0
N1
x(n)WNknX(k) n0
结论：X(k)具有隐含周期性，且周期均为N。
同理可得 x(nm)N x(n) 。
授课：XXX
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16
周期序列与周期延拓序列
任何周期为N的周期序列 x ( n ) 都可以看作长度为N的有 限长序列x(n)的周期延拓序列，而x(n)则是 x ( n ) 的一个
相反，在时域上是离散的，则该信号在频 域必然表现为周期性的频率函数。
如果时域信号离散且是周期的，由于它时 域离散，其频谱必是周期的，又由于时域 是周期的，相应的频谱必是离散的，
离散周期序列一定具有既是周期又是离散 的频谱，即时域和频域都是离散周期的。
得出一般的规律：一个域的离散就必然 造成另一个域的周期延拓。
离散傅里叶反变换(IDFT)定义
0≤k≤N -1
x(n)ID[X F (k)T ]N 1N k 0 1X(k)W N kn 0≤n ≤N -1
式中
j 2
WN e N
授课：XXX
2021/3/9
8
例：离散傅里叶变换
例3.1 ：设有限长序列为x(n)=R4(n)，求x(n) 的 傅里叶变换，以及4点、8点、16点DFT。
解（1）x(n)的傅里叶变换
X (ej)n R 4(n)e-jnn 30e-jn1 1 e e --jj4
e-j2(ej2 e-j2) e-j/2(ej/2 e-j/2)
e-j3/2 sin(2) sin(/ 2)
（2）x(n)的4点DFT
X 1 (k ) n 3 0x (n )W 4 k n n 3 0 W 4 k n 0 4 ,,
非周期离散信号的傅里叶变换:频率函数是 周期的连续函数
离散周期序列的傅里叶变换:具有既是周期 又是离散的频谱，即时域和频域都是离散 的、周期的
授课：XXX
2021/3/9
3
各种形式的傅里叶变换示意图
授课：XXX
2021/3/9
4
傅里叶变换的一般规律
如果信号频域是离散的，则该信号在时域 就表现为周期性的时间函数。
X(k)X(ej w )w2k/N
0≤k≤ N-1
物理意义：X(k)是x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间 [0，2π]上的N点等间隔取样。
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15
3.2.3 DFT的隐含周期性
DFT变换对中，
W
kn N
具有周期性：
WNk WN(kmN) 其中k，m，N均为整数
因此有
N1
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5
离散傅里叶变换的导出
由于数字计算机只能计算有限长离散的 序列，因此有限长序列在数字信号处理 中就显得很重要。
Z变换和傅里叶变换无法直接利用计算 机进行数值计算。
针对有限长序列“时域有限”这一特点， 导出一种更有用的离散傅里叶变换DFT (Discrete Fourier Transform)。
第三章 离散傅里叶变换
本章目录
引言 离散傅里叶变换的定义 离散傅里叶变换的基本性质 频域取样 离散傅里叶变换的应用
授课：XXX
2021/3/9
2
3.1 引言
各种形式的傅里叶变换
非周期实连续时间信号的傅里叶变换: 频 谱是一个非周期的连续函数
周期性连续时间信号的傅里叶变换: 频谱 是非周期性的离散频率函数
授课：XXX
2021/3/9
11
3.2.2 DFT和Z变换、序列的傅里叶变换的关系
设序列x(n)的长度为N，其Z变换、DFT和傅里叶变换分别为
N1
X(z)Z[x(n)] x(n)zn n0
X (k) D[x F (n )T ]N 1x(n )W N k nN 1x(n )ej2 N kn 0≤k≤ N-1
授课：XXX
2021/3/9
6
3.2 离散傅里叶变换的定义
离散傅里叶变换的定义 DFT和z变换、序列的傅里叶变换的关系 DFT的隐含周期性
授课：XXX
2021/3/9
7
3.2.1 离散傅里叶变换的定义
离散傅里叶正变换(DFT)定义
x(n)长度为N，作为周期序列的一个主值区间
N1
X(k)DF [x(T n)] x(n)W N k n n0