离散数学图的基本概论

四、子图与母图：
(1) G = < V,E >， G' = < V' , E' > 若V'V， E'E，则G是G'的母图， G'是
G的子图，记作： G' G。
(2) 若G'G 且 V'=V，则G'是G的生成子图。
(3) 设V1V，且V1，以V1为顶点集，以2端
点均在V1中的全体边为边集的G的子图， 称为V1导出的导出子图。 (4) 设E1E，且E1，以E1为顶点集，以E1中 边关联的顶点的全体为顶点集的G的子图， 称为E1导出的导出子图。
计算机科学广泛应用于运筹学，信息 论，控制论，网络理论，化学生物学，物理 学。原因在于这些学科的许多实际问题和理
论问题可以概括为图论。第八、九章介绍与
计算机科学关系密切的图论内容及其在实际
中的应用。
8.1
无向图及有向图
一、基本图类及相关概念
1. 无向图
称{{a,b} | aAbB} 无序积：设A，B为二集合，
称(d(v1), d(v2),…, d(vn))为G的度数
序列。 度数序列之和必为偶数(?)。
例8.1 (3,3,2,3)，(5,2,3,1,4)能成为图的度数 序列吗？为什么？ 解：由于这两个序列中，奇数个数均为奇 数，由握手定理知，它们不能成为图 的度数序列。
例8.2 已知图G中有10条边，4个3度顶点，
(握手定理)
总和等于边数之和的两倍。
即 d (v) 2 | E |
vV
握手定理的推论：任何图中，度为奇数的顶
点个数一定为偶数。
出度与入度的关系：在有向图中，各顶点的 出度之和等于各顶点的入度之和。
d ( v ) d i (vi ) m i 1 i 1 n n
度数序列：设V = {v1,v2,…,vn}为图G的顶点集，
集的图。记作：～G
如:
(1)
(2)
相对补图：设G'Biblioteka BaiduG, 如果另一个图G'' = < V'', E'' >，
满足 (1) E'' = E – E'
(2) V''中仅包含E''中的边所关联的结点。
则G''是子图G'相对于G的补图。 如：图
(1)
为
(2)
的子图，
则图
(3)
为(1)相对于(2)的补图。
六、同构图
(2) E是笛卡尔积VV的可重子集，
其元素为有向边 实际中，画法同无向图，只是要根据E中 元素的次序，由第一元素用方向线段指向第 二元素。
3. 相关概念 有限图：V，E均为有穷集合
零 图：E
平凡图：E 且 |V| = 1 (n, m)图：|V| = n 且 |E| = m 顶与边关联：如果ek = (vi,vj) E，称ek与vi关联， 或ek与vj关联。
图同构：对于G = < V,E >，G' = < V' ,E' >，如果
存在 g:VV' 满足：
(1) 任意边e = (vi,vj)E，当且仅当e' = (g(vi),g(vj))E' (2) e与e'的重数相同 则说G G' 由于同构图顶点之间一一对应，边之间一一对应， 关联关系对应相同，所以可以看成同一个图。
顶与顶相邻：如果ek = (vi,vj) E，称vi与vj相邻；
若ek为有向边，则称vi邻接到vj,
vj邻接于vi 。 边与边相邻：如果ek和ei至少有一个公共顶点关联， 则称ek与ei相邻。 环： ek = < vi,vj > 中，若 vi = vj，则ek称为环。
孤立点：无边关联的顶点。
平行边：无向图中，关联一对结点的无向边
(1) 设G = < V,E >是n阶的无向简单图，如果
G中任何一个顶点都与其余n–1个顶点相邻，
则G为无向完全图，记作：Kn。
(2) 设D = < V,E >是n阶的有向简单图，如果D 中任意顶点u，vV(uv)，即有有向边 < u,v >，又有有向边< v,u >，则称D为n阶有 向完全图。 如：
为A与B的无序积，记作：A&B。 习惯上，无序对{a,b}改记成(a, b) 有序组(a,b)均用< a,b >
无向图：无向图G是一个二元组< V,E >，其中
(1) V是一个非空集 ––– 顶点集V(G)，每个元
素为顶点或结点； (2) E是无序积V & V的可重子集(元素可重复出
现)，E ––– 边集E(G)，E中元素称为无向边。
其余顶点的度数均小于等于2，问G
中至少有多少个顶点？为什么？
解：图中边数 m=10，由握手定理知，
G中各顶点度数之和为20，
4个3度顶点占去12度，还剩8度， 若其余全是2度顶点, 则需要4个顶点 来占用8度，所以G至少有8个顶点。
三、正则图与完全图
正则图：各顶点的度都相同的图为正则图； 各顶点的度均为k的图为k次正则图。 完全图：
为始点的边的数目，称为该顶点的出度，
记作： d+(v)；以顶点v作为终点的边的数
目，称为该顶点的入度，记作：d–(v)。
出度与入度之和，称为顶点v的度： d(v) = d+(v)+ d–(v)
度是图的性质的重要判断依据。
最大度： (G) = max {d(v) | vV}
最小度： (G) = min {d(v) | vV} 度与边数的关系：在任何图中，顶点度数的
多于一条，平行边的条数为重数； 有向图中，关联一对顶点的无向边
多于一条，且始、终点相同。 多重图：包含平行边的图。
简单图：既不包含平行边又不包含环的图。
二、度
度：(1) 在无向图G = < V, E >中，与顶点v(vV)
关联的边的数目(每个环计算两次)，记 作：d(v)。
(2) 在有向图D = < V,E >中，以顶点v(vV)作
例8.3 列举下图的一些子图、 真子图、生成子图、
e4 v2
v1 e1 e5 e2 e3 v3 v4
导出子图。 解：自己对照定义做一做！
(1) 子图：子图的定义？举例
(2) 真子图：举例 (3) 生成子图：定义？举例 (4) 导出子图：定义？举例
五、补图
补图：给定一个图G = < V,E >，以V为顶点集， 以所有能使G成为完全图的添加边组成边
实际中，图是画出来的，画法：用小圆圈 表示V中的每一个元素，如果(a,b)E，则在顶
点a与b之间连线段。
如：
a e1 b e3 c e2 e4 e1 e6 e5 d e1 v2
e2 v5
e3
v1 e6 e4 v3 e5
v4
2. 有向图
有向图：有向图D是一个二元组< V,E >，其中 (1) V是非空集 ––– 顶点集 V(D)