离散数学图的基本概论
离散图论知识点总结
离散图论知识点总结一、基本概念图（Graph）是离散数学中的一个重要概念，它由顶点集合V和边集合E组成。
一般用G （V，E）来表示，其中V={v1,v2,…,vn}是有限非空集合，E是V中元素的无序对的集合。
图分为有向图和无向图。
无向图中的边是无序的，有向图中的边是有序的。
图中存在一些特殊的图，比如完全图、树、路径、回路等。
二、图的表示方法1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图的表示方法，它使用一个二维数组来表示图的关系。
对于一个n 个顶点的图，邻接矩阵是一个n*n的矩阵A，其中A[i][j]表示顶点i到顶点j之间是否存在边。
对于无向图，A[i][j]=1表示顶点i与顶点j之间存在边，A[i][j]=0表示不存在。
对于有向图，A[i][j]=1表示i指向j的边存在，A[i][j]=0表示不存在。
2. 邻接表邻接表是另一种常见的图的表示方法。
它将图的信息储存在一个数组中，数组的每个元素与图的一个顶点相对应。
对于每个顶点vi，数组中储存与该顶点邻接的顶点的信息。
邻接表可以用链表或者数组来表示，链表表示的邻接表比较灵活，但是在查找某个边的相邻顶点时需要遍历整个链表。
三、图的性质1. 度图中每个顶点的度是与其相邻的边的数目。
对于无向图，顶点的度等于与其相邻的边的数目；对于有向图，则分为入度和出度。
2. 连通性对于无向图G，若图中任意两个顶点都有路径相连，则称图G是连通的。
对于有向图G，若从任意一个顶点vi到任意一个顶点vj都存在路径，则称G是强连通的。
3. 路径和回路路径是指图中一系列的边，连接图中的两个顶点；回路是指起点与终点相同的路径。
路径的长度是指路径中边的数目。
4. 树和森林一个无向图，如果是连通图且不存在回路，则称为树。
一个无向图，若它不是连通图，则称为森林。
四、图的常见算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于图的遍历的算法，它从图的某个顶点vi出发，访问它的所有邻接顶点，再对其中未访问的顶点继续深度优先搜索。
离散数学第七章图的基本概念知识点总结docx
图论部分第七章、图的基本概念7.1无向图及有向图无向图与有向图多重集合：元素可以重复出现的集合无序积:A,、B={（x,y） | x A y B}定义无向图G=<V,E>,其中（1）顶点集V二一，元素称为顶点（2）边集E为V 7的多重子集，其元素称为无向边，简称边•例如,G=<V,E>如图所示,其中V={V1, V2,…,V5}, E={（V1,V1）,（V1,V2）,（V2,V3）,（V2,V3）,（V2,V5）,（V1,V5）,（V4,V5）},定义有向图D=<V,E>,其中（1）V同无向图的顶点集，元素也称为顶点（2）边集E为V V的多重子集，其元素称为有向边，简称边•用无向边代替D的所有有向边所得到的无向图称作D的基图，右图是有向图, 试写出它的V和E注意：图的数学定义与图形表示，在同构（待叙）的意义下是一一对应的通常用G表示无向图,D表示有向图,也常用G泛指无向图和有向图，用e k表示无向边或有向边.V(G), E(G), V(D), E(D): G 和D 的顶点集,边集.n阶图：n个顶点的图有限图:V, E都是有穷集合的图零图:E=..平凡图：1阶零图空图：V=.顶点和边的关联与相邻：定义设e k=(v i,v j)是无向图G=<V,E>的一条边,称v i,v j 为e k 的端点,e k与v i (v j)关联.若v i = v j,则称e k与v i (v j)的关联次数为1;若v i = v j, 则称e k为环，此时称e k与v i的关联次数为2;若v i不是e k端点，则称e k与v i的关联次数为0.无边关联的顶点称作孤立点.定义设无向图G=<V,E> , v i,v j V, e k,e i E,若(v i,v j) E,则称v i,v j相邻;若e k,e i 至少有一个公共端点,则称e k,e i相邻.对有向图有类似定义.设e k= v i,v j是有向图的一条边，又称v i是e k的始点，v j是e k的终点，v i邻接到v j, v j邻接于v i.v 的入度d _(v)： v 作为边的终点次数之和邻域和关联集邻域和关联集设无向图G 灼IX®，的邻域畀©)=例气〒£伍”如司①八炕］、的R ］邻域 V(v)=A r (v)U{v}［的关轶集J®)=3E £(G)2与咲联}设有向图D 於玖Q'的百堆乎集册护側進E (D)AV 惚Y E(G/\T '的先極元集 Zy (i-r («kcl ；(P )A<a s r>C E(Q AW } *的邻域 A^(v )=r ；(v )UJK (v )、的团邻域 哥何fV 』(i ・)u 阴顶点的度数 设G=<V,E>为无向图,v V,v 的度数(度)d(v): v 作为边的端点次数之和悬挂顶点：度数为1的顶点悬挂边：与悬挂顶点关联的边G 的最大度：(G)=max{d(v)| v V}G 的最小度 (G)=min{d(v)| v V}例如 d(v 5)=3, d(v 2)=4, d(v i )=4, ：(G)=4,、(G)=1,v 4是悬挂顶点,e 7是悬挂边,e i 是环设D=<V,E>为有向图，v V,v 的出度d +(v): v 作为边的始点次数之和v 的度数(度)d(v): V 作为边的端点次数之和d(v)= d +(v)+ d -(v)D的最大出度+(D),最小出度、+(D)最大入度厶TD),最小入度_(D)最大度. (D),最小度、(D)例如d+(a)=4, d-(a)=1, d(a)=5,d+(b)=O, d-(b)=3, d(b)=3,+(D)=4, +(D)=0, ："(D)=3,"(D)=1, (D)=5, (D)=3.握手定理定理任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍,并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数•证G中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m条边共提供2m度.有向图的每条边提供一个入度和一个出度，故所有顶点入度之和等于出度之和等于边数推论在任何无向图利有向图中，奇度顶点的个数必为肉数一证设空彷任意團，令曲伪翻！叫叫V|t6l^(v)为朗；则FlU V^V,卩小岭虫,由握手立理可知hH ■工兀)-XrfM + E rf W" M 心由于如罗W)均为他4,所以卩2)也为偶埶但因为吁中顶融齢防奇数，所以强诡为儼L图的度数列设无向图G的顶点集V={v i, V2, ••»*}G 的度数列：d(v i), d(V2),…d (v n)如右图度数列：4,4,2,1,3设有向图D的顶点集V={V1, V2,…v n}D 的度数列：d(v i), d(V2), •••d (v n)D 的出度列:d+(v i), d+(v2), --d+(v n)D 的入度列:d_(v i), d _(v2),…d Iv n)如右图度数列：5,3,3,3出度列:4,0,2,1入度列:1,3,1,2例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数列吗?解不可能•它们都有奇数个奇数•例2已知图G有10条边，4个3度顶点,其余顶点的度数均小于等于2,问G 至少有多少个顶点？解设G有n个顶点•由握手定理，4 3+2 (n-4)_2 10解得n _8例3证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条棱的多面体.证用反证法.假设存在这样的多面体，作无向图G=<V,E>, 其中V={v | v为多面体的面},E={(u,v) | u,v V u 与v 有公共的棱u=v}.根据假设，|V|为奇数且- v V, d(v)为奇数.这与握手定理的推论矛盾.多重图与简单图定义(1)在无向图中,如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数.⑵在有向图中，如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点，则称这些边为有向平行边，简称平行边，平行边的条数称为重数.(3) 含平行边的图称为多重图.(4) 既无平行边也无环的图称为简单图.注意:简单图是极其重要的概念匕和勺是平行边蓮数为2临和旳不是平行边不是简单图图的同构定义 设G i =<V i ,E i >, G 2=<V 2,E 2>为两个无向图(有向图)，若存在双射函数f: V i >V 2,使得对于任意的V i ,V j V i ,(V i ,V j )・ E l ( <V i ,V j > E i )当且仅当(f(V i ),f(V j )) E 2( Vf(V i ),f(V j )> E 2), 并且,(Vi ,V j )( <V i ,V j >)与(f(V i ),f(V j ))( <f(V i ),f(V j )>) 的重数相同，则称G i 与G 2是同构的，记作G i 三G 2.几点说明：图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性 .能找到多条同构的必要条件，但它们都不是充分条件：① 边数相同，顶点数相同② 度数列相同(不计度数的顺序)③ 对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等若破坏必要条件，则两图不同构至今没有找到判断两个图同构的多项式时间算法令和◎是平行边 重数为2 不是例1试画岀4阶3条边的所柯E同构的无向简单图 E K R例2判断下述每一对圉是否同构:度教列不同不同构不同构入(岀】度列不⑶度数列相同但不同构为什么？完全图：n阶无向完全图K n：每个顶点都与其余顶点相邻的n阶无向简单图.简单性质：边数m=n(n-1)/2,「=；=n-1n阶有向完全图：每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图•简单性质：边数m=n(n-1),八=：=2(n-1),A+=6+=A_=6 _=n_1(1)为§阶完全图乓⑵为3阶有向完全图(3)称为彼得森图(1) ⑵子图：定义设G=<V,E>, G =<V ,E >是两个图(1)若V匸V且E亠E,则称G为G的子图，G为G 的母图，记作G G⑵若G G且V =V，则称G为G的生成子图⑶若V V或E E，称G为G的真子图⑷设V V且V ,以V •为顶点集，以两端点都在V中的所有边为边集的G的子图称作V 的导出子图，记作G[V ]⑸设E E且E ,以E为边集,以E中边关联的所有顶点为顶点集的G的子图称作E的导出子图，记作G[E ]补图：定义设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图K n 的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作匚. 若Gm ■，则称G是自补图.例对上一页K4的所有非同构子图，指出互为补图的每一对子图，并指出哪些是自补图.7.2通路、回路、图的连通性简单通（回）路,初级通（回）路，复杂通（回）路定义给定图G=<V,E> （无向或有向的），G中顶点与边的交替序列-=v o e i v i e2 …e i v i，（1）若_i（1半I）, V i—1, V i是e i的端点（对于有向图,要求V i-1是始点,V i是终点），则称】为通路，V0是通路的起点，V I是通路的终点,I为通路的长度.又若V0=v l，则称丨为回路•⑵若通路（回路）中所有顶点（对于回路,除V O=V l）各异，贝U称为初级通路（初级回路）.初级通路又称作路径，初级回路又称作圈.（3）若通路（回路）中所有边各异,则称为简单通路（简单回路）,否则称为复杂通路（复杂回路）.说明：表示方法①用顶点和边的交替序列（定义）,如-=v o e i v i e2…e i v i②用边的序列,如-=e i e2…e i③简单图中，用顶点的序列，如】=V0V1…v i④非简单图中，可用混合表示法，如-=v o v i e2v2e5v3v4v5环是长度为1的圈，两条平行边构成长度为2的圈.在无向简单图中，所有圈的长度一3;在有向简单图中，所有圈的长度一2.在两种意义下计算的圈个数①定义意义下在无向图中，一个长度为1（1一3）的圈看作21个不同的圈.如v o v i v2v o ,v i v2v o v i , v2v0v l v2, v0v2v l v0 , v l v0v2v1 , v2v l v0v2 看作6 个不同的圈.在有向图中，一个长度为l（l—3）的圈看作l个不同的圈.②同构意义下所有长度相同的圈都是同构的，因而是1个圈.定理在n阶图G中，若从顶点v i到v j （v i=v j）存在通路，则从v i到v j存在长度小于等于n-1的通路.推论在n阶图G中，若从顶点v到v j (v i=v j)存在通路，则从v i到v j存在长度小于等于n—1的初级通路.定理在一个n阶图G中，若存在w到自身的回路，则一定存在v i到自身长度小于等于n的回路.推论在一个n阶图G中，若存在v i到自身的简单回路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.无向图的连通性设无向图G=<V,E>,u与V连通：若u与V之间有通路.规定u与自身总连通.连通关系R={<u,v>| u,v V且u、v}是V上的等价关系连通图:任意两点都连通的图.平凡图是连通图.连通分支:V关于连通关系R的等价类的导出子图设V/R={V I,V2,…丫心G[V i], G[V2], ••G[V k]是G的连通分支,其个数记作P(G)=k.G是连通图二p(G)=1短程线与距离u与V之间的短程线：u与V之间长度最短的通路(u与V连通)u与V之间的距离d(u,v): u与V之间短程线的长度若u与v不连通,规定d(u,v)= g性质:d(u,v)_O,且d(u,v)=O ：= u=vd(u ,v)=d(v,u)d(u ,v)+d (v,w) _d(u ,w)点割集与割点记G-v:从G中删除v及关联的边G-V :从G中删除V中所有的顶点及关联的边G-e :从G中删除eG-E：从G中删除E 中所有边定义设无向图G=vV,E>, V V,若p(G-V )>p(G)且-V V , p(G-V )=p(G),则称V •为G的点割集.若｛v｝为点割集，则称v为割点.刑仙旳h轴杲点割集必星割虐.｛%叫;是点剖隼吗？边割集与割边(桥)定义设无向图G=<V,E>, E E,若p(G-E )>p(G)且-E - E , p(G-E )=p(G),则称E为G的边割集.若｛e｝为边割集，则称e 为割边或桥.在上一页的图中，｛e i,e2｝，｛e i,e3,e5,e6｝，｛e8｝等是边割集，e8是桥，｛e7,e9,e5,e6｝是边割集吗?几点说明:K n无点割集n阶零图既无点割集，也无边割集.若G连通，E为边割集，则p（G-E ）=2若G连通，V为点割集，贝U p（G-V ）_2有向图的连通性设有向图D=<V,E>u可达V： u到V有通路.规定u到自身总是可达的.可达具有自反性和传递性D弱连通（连通）:基图为无向连通图D单向连通：-u,v・V，u可达v或v可达uD强连通：-u,v • V，u与v相互可达强连通=单向连通=弱连通定理（强连通判别法）D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路定理（单向连通判别法）D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路例下图⑴强连通，（2惮连通，（3｝弱连诵(1) (2) ⑶有向图的短程线与距离u到v的短程线：u到v长度最短的通路（u可达v） u与v之间的距离d<u,v>: u到v 的短程线的长度若u不可达v,规定d<u,v>=x.性质：d<u,v>_0,且d<u ,v>=0 = u=v d<u,v>+d<v,w> -d<u ,w>注意：没有对称性7.3图的矩阵表示无向图的关联矩阵定义设无向图G=<V,E>, V={v i, V2,…“*}, E={e i, e2,…,e m},令m ij为v i与e j 的关联次数，称(m ij)n m为G的关联矩阵，记为M(G).性质(1)每一列恰好有两个1或一个2(2) tf-U"⑴«)(+)平行边的列相同有向图的关联矩阵定义设无环有向图D=<V,E>, V={v1, v2, ••»・},E={e1, e2, …e m},令1 片为勺的始点tn严0 »y与弓不关联片为弓的终点则称臨儿伪。
离散数学图论-图的基本概念
δ-(D) = min{d－(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的入度 δ＋(D) = min{d＋(v)|v∈V(D)} 为图D中结点最小的出度
5、握手定理〔欧拉〕 1)定理1 设G＝<V,E>为任意无向图,V＝{v1，v2，…，vn},｜E｜ = m，
那么 ∑d(vi) ＝ 2m (所有结点的度数值和为边数的2倍) 证: G中每条边(包括环)均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时 ，每条边均提供2度，当然，m条边共提供2m度 2) 定理2 设D＝<V,E>为任意有向图,V＝{v1，v2，…，vn},|E| = m ，
个无向图(有向图)， 假设存在双射函数 f：V1 → V2
对于 ∀vi，vj V1，(vi，vj) E1 当且仅当 (f(vi),f(vj)) E2 并且(vi，vj) 与(f(vi),f(vj)) 的重数一样，那么称G1与G2是同构的，记作 Gl ≅ G2。 对有向图有一样的定义。
定义说明了:两个图的各结点之间，如果存在着一 一对应关系 f
四、子图、生成子图、导出子图
1、定义 设G＝<V，E>，G‘＝<V’，E’>为 两个图(同为无向图或有向图)假设V’⊆ V 且 E’⊆ E ，那么称G‘是G的子图，G为G‘的母 图，记作G’⊆G，
离散数学课件-14-图的基本概念
第十四章图的基本概念§1 图定义设A,B是两个集合，称{{a,b}|a∈A,b∈}B 为A与B的无序积，记为A&B；{a,b}称为无序对。
后面，把{a,b}记为(a,b)，且允许a=b；对无序对(a,b)，有(a,b)=(b,a)。
定义设G =〈V,E〉是一个序偶，其中(1) V是非空集合(2) E⊆V&V，（E中元素可重复出现）则称G是一个无向图。
此时，称V为G的顶点集，记为V(G)，V中的元素称为G的顶点；称E为G的边集，记为E(G)，E中的元素称为G的无向边。
定义设D=〈V,E〉是一个序偶，其中(1) V是非空集合(2) E⊆V×V（E中元素可重复出现）则称G是有向图。
此时，称V为D的顶点集，记为V(D)，V中的元素称为D的顶点；称E为D的边集，记为E(D)，E中的元素称为D的有向边。
图的图示注①有时G既表示无向图又表示有向图，可统称为图。
②若V(G),E(G)均为有穷集，则称G为有限图。
对有限图G，称|V(G)| 为G的阶数。
③对e∈E(G)，称e出现的次数为e的重数，这些相同的边称为平行边（或重边）。
④当V(G)=∅时，称G为空图，记为∅。
⑤ 当E (G )= ∅时，称G 为零图，n 阶零图记为N n ；特别地，称N 1为平凡图。
⑥ 用u ,v ,v 1,v 2,"表示顶点，用e ,e 1,e 2,"表示边，称这样的图为标定图。
否则，称为非标定图。
⑦ 把无向图G =〈V ,E 〉的每条无向边确定一个方向后得到一个有向图D ，称D 为G 的定向图。
反之，去掉有向图D =〈V ,E 〉的每条有向边的方向后得到一个无向图G ，称G 为D 的基图。
⑧ 设G 是一个图，e ∈E (G )。
若e =(v i ,v j ) 或e =〈v i ,v j 〉，则称v i ,v j 为e 的端点，称v i ，v j 与e 是关联的。
当v i ≠v j 时，称e 与v i 或e 与v j 的关联次数为1；当v i =v j 时，称e 为环，e 与v i 的关联次数为2；对 (), ,l l i l j v V G v v v v ∈≠≠，称e 与v l 的关联次数为0。
离散数学中的图的基本概念和算法
图论是离散数学的一个分支，研究图的性质和图上的问题。
图是由结点和边组成的一种抽象数据结构，可以用来描述现实世界中的各种关系和连接。
本文将介绍一些图的基本概念和算法。
在图中，结点表示实体，边表示结点之间的关系。
一张图可以用G=(V, E)表示，其中V为结点的集合，E为边的集合。
边可以有方向（有向图）或没有方向（无向图），也可以有权重（带权图）或没有权重（不带权图）。
图的基本概念中，最常见的是路径和回路。
路径是图中的一条边的序列，每个边连接两个结点。
回路是一条路径，起点和终点相同。
如果一条路径中没有重复的结点，那么它就是一条简单路径。
连接结点之间的路径可以通过深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）来寻找。
DFS以栈为数据结构，先找到一个结点，然后再找它的邻居结点，如此往复，直到找到目标结点或者所有结点都被访问过。
BFS以队列为数据结构，先找到一个结点，然后找它的所有邻居结点，如此往复，直到找到目标结点或者所有结点都被访问过。
除了DFS和BFS，图中还有其他一些重要的算法和问题。
最短路径算法是用来找到两个结点之间最短路径的算法，其中最著名的是狄克斯特拉算法和弗洛伊德算法。
狄克斯特拉算法适用于没有负权边的图，通过不断更新起点到每个结点的最短距离来寻找最短路径。
弗洛伊德算法适用于任意有向图，通过不断更新任意两个结点之间的最短距离来寻找最短路径。
最小生成树算法是用来找到一个无环且连通的子图，该子图包含所有结点并且边的权重之和最小的算法。
其中最著名的是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
普里姆算法从一个起始结点出发，每次选择与该结点最近的未访问结点，直到所有结点都被访问过。
克鲁斯卡尔算法一开始将每个结点都看作一个独立的树，然后每次选择权重最小的边，如果该边连接的两个结点不在同一棵树中，就将它们合并为一棵树。
图的基本概念和算法在离散数学中起到了至关重要的作用。
图论不仅仅可以用于计算机科学领域，还可以应用到物流规划、社交网络分析、电路设计等各个领域。
《离散数学》第6章图的基本概念
一、通路，回路。 1、通路 (回路)
—— G 中顶点和边的交替序列
v0e1v1e2
el vl ，其中 ei (vi 1 , vi )(无向图)，
或 ei vi 1 , vi (有向图)， v0 ——始点，
vl ——终点，称 为 v0 到 vl 的通路。当 v0 vl
时， 为回路。 2、简单通路，简单回路。 简单通路 (迹) 简单回路 (闭迹) 复杂通路 (回路)
3、初级通路，初级回路。 初级通路 (路径) 初级回路 (圈)
初级通路 (回路) 简单通路 (回路)， 但反之不真。
4、通路，回路 的长度—— 中边的数目。
例1、(1)
图(1)中，从 v1 到 v6 的通路有：
1 v1e1v2e5v5e7v6
2 v1e1v2e2v3e3v4e4v2e5v5e7v6 3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
设 V v1, v1,
, vn 为图 G 的顶点集，称 , d (vn ) 为G 的度数序列。
d (v1 ), d (v2 ),
2、握手定理。
定理1： 设图 G V , E 为无向图或有向图，
V v1, v1,
则
, vn ，E m ( m为边数)，
d (v ) 2 m
图论简介 图论是一个古老的数学分支，它起源于游戏 难题的研究。图论的内容十分丰富，应用得相当 广泛，许多学科，诸如运筹学、信息论、控制论、 网络理论、博弈论、化学、生物学、物理学、社 会科学、语言学、计算机科学等，都以图作为工 具来解决实际问题和理论问题。随着计算机科学 的发展，图论在以上各学科中的作用越来越大， 同时图论本身也得到了充分的发展。本课程在第 六、七章中介绍与计算机科学关系密切的图论的 基础内容。
离散数学之4_图的基本概念
证明 因为每一条有向边对应一个入度和一个出度， 若一个结点具有一个入度或出度，则必关联一条有 向边，所以，有向图中个结点入度之和等于边数， 各结点的出度之和也等于边数，故任何有向图中， 入度之和等于出度之和。
握手定理的应用
例1 (3,3,3,4), (2,3,4,6,8)能成为图的度数列吗? 解 不可能. 它们都有奇数个奇数.
解 结点数和边数相同，度数序列都是4,4,3,3,2。 如果同构，对应结点的度相同，则c与c’对应，c的邻接 点度序列为4,3,3，c’的邻接点度序列为3,3,2， 因此不同构。
关于图的其它定义
定义 设G＝<V,E>为无向图。 (1)设e∈E，用G-e表示从G中去掉边e，称为删除e。
设E E，用G-E 表示从G中删除E 中所有的边，称为删除E 。 (2)设v∈V，用G-v表示从G中去掉v及所关联的一切边，称为删除顶
图的同构
定义7-1.9 设图G=<V,E>及图 G =<V ,E >，如果存 在双射函数 f: V V ,使得对于 vi,vjV, (vi,vj)E（<vi,vj>E）当且仅当 (f(vi),f(vj)) E （<f(vi),f(vj)> E ）
《离散数学》图基本概念
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无向图的相邻矩阵
说明: 在无向图中，环是长度为1的圈, 两条平行边构成长度
为2的圈. 无向简单图中, 所有圈的长度3 在有向图中，环是长度为1的圈, 两条方向相反边构成 长度为2的圈. 在有向简单图中, 所有圈的长度2.
《离散数学》图基本概念
4
通路与回路(续)
定理
在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vivj）存在通路，则从 vi到vj存在长度小于等于n1的通路.
m m
j1 ij
d(vi )
(i 1,2,..., n)
(3) mij 2m
i, j
(4) 平行边的列相同
《离散数学》图基本概念
16
v1 e1
e2
e3
e4 v2
v3
e5
v4
关联次数为可能取值为0，1，2
1 1 1 0 0
M (G ) 0
1
1
1
0
1 0 0 1 2
0
0
0
0
0
《离散数学》图基本概念
《离散数学》图基本概念
10
几点说明： Kn无点割集（完全图） n阶零图既无点割集，也无边割集. 若G连通，E为边割集，则p(GE)=2 若G连通，V为点割集，则p(GV)2
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《离散数学》图基本概念
11
有向图的连通性
设有向图D=<V,E> u可达v: u到v有通路. 规定u到自身总是可达的. 可达具有自反性和传递性 D弱连通(也称连通): 基图为无向连通图 有向边改为无向边后是连通图 D单向连通: u,vV，u可达v 或v可达u D强连通: u,vV，u与v相互可达
d(u,v)=d(v,u)（对称性） d(u,v)+d(v,w)d(u,w) （三角不等式)
离散数学第七章图的基本概念
三.图的同构
设G1=<V1,E1>,G2=<V2,E2>为两个无向图,若存在双射函数
f:V1->V2,使得对于任意的e=(v1,v2)∈E1当且仅当 e’=(f(v1),f(v2))∈E2,且e与e’的重数相同,则称G1与G2同构.
记作G1≌G2.
a e
b c
(1)
d (2)
V4 V1
V5
V3 V2
i1 j1
i1
i1 j1
i1
3.有向图的邻接矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},|E|=m 令a(1)ij为vi邻接到vj的边的条数,
(a ) 则称 (1) 为D的邻接矩阵,记为A(D). ij nn
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.
若v0=vk,则通路称为回路.
若Γ 中各边互不相同,则称Γ 为简单通路,若v0=vk,则称Γ 为简单回路.
G
1
1
1
5
5
2
5
2
2
3
4
3
4
(1)
(1)与(2)互为补图
(2)
3
4
5 阶完全图
1
1
1
2
3
2
3
(1)
(1)与(2)互为补图
(2)
2
3
3 阶有向完全图
二.握手定理(图论基本定理)
任何图G中各顶点的度数之和等于边数的2倍.
若G为有向图,则各顶点的入度之和等于各顶点的出度之和. 都等于边数.
离散数学图的基本概论
边连通度：设G为无向连通图，记(G) =
min{| E' | E'是G的边割集}，
(G)为G的边连通度。
连通度的性质：k(G) (G) (G)
五、有向图的连通性：
(1) 如果有向图 D = < V,E >中所有有向边的方 向去掉后所得图为无向连通图，则说D为 弱连通图。
(2) u,vV，如果存在u到v的一条通路，则说u 可达v。
出度与入度的关系：在有向图中，各顶点的 出度之和等于各顶点的入度之和。
n
n
d(vi) d(vi)m
i1
i1
度数序列：设V = {v1,v2,…,vn}为图G的顶点集， 称(d(v1), d(v2),…, d(vn))为G的度数 序列。
度数序列之和必为偶数(?)。
例8.1 (3,3,2,3)，(5,2,3,1,4)能成为图的度数 序列吗？为什么？
8.1 无向图及有向图
一、基本图类及相关概念
1. 无向图 无序积：设A，B为二集合，称{{a,b} | aAbB}
为A与B的无序积，记作：A&B。 习惯上，无序对{a,b}改记成(a, b)
有序组(a,b)均用< a,b >
无向图：无向图G是一个二元组< V,E >，其中
(1) V是一个非空集 ––– 顶点集V(G)，每个元 素为顶点或结点；
三、图的连通性
两顶点连通：u,v为无向图G的两个顶点，u到v 存在一条通路。
连 通 图：G 中任何两个顶点是连通的；否 则是分离图。
连通性的性质：无向图中顶点之间的连通关系是 顶点集V上的等价关系。
证明： (1) 自反性：由于规定任何顶点到自身总是连通的； (2) 对称性：无向图中顶点之间的连通是相互的； (3) 传递性：由连通性的定义可知。
离散数学图的基本概念
e3 v5 e7
e4
e5 e6 v3
v4是悬挂顶点, e7是悬挂边, e1是环
v4
顶点的度数(续)
设D=<V,E>为有向图, vV,
v的出度d+(v): v作为边的始点次数之和
v的入度d(v): v作为边的终点次数之和
v的度数(度) d(v): v作为边的端点次数之和
d(v)= d+(v)+ d-(v)
n方体图Qn=<V,E>是2n阶无向简单图, 其中
12
n
G的度数列: d(v ), d(v ), …, d(v ) 无例向如圈 , G图=<CVn,=E<>V如,E图>,所其示中, V={v1,v2,…,vn}1, E={(v1,v22),(v2,v3),
n
如右图度数列:4,4,2,1,3 证 图中每条边(包括环)均有两个端点, 所以在计算各顶点
n阶无向完全图 (v ), …, d (v ) 无序对: 2个元素构成的集合, 记作(a,b) 1
2
n +
n
n
如右图度数列:5,3,3,3 E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3),
出度列:4,0,2,1
入度列:1,3,1,2
无向图
定义6.1 无向图G=<V,E>, 其中V称为顶点集, 其元素称为 顶点或结点; E是VV的多重子集, 称为边集, 其元素称为 无向边，简称边. 有时用V(G)和E(G)分别表示V和E
例如, G=<V,E>如图所示, 其中V={v1, v2, …,v5} E={(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3),
离散数学中的图论基础知识讲解
离散数学中的图论基础知识讲解图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图中的关系。
图论在计算机科学、网络科学、运筹学等领域有着广泛的应用。
本文将从图的基本概念、图的表示方法、图的遍历算法以及一些常见的图论问题等方面进行讲解。
一、图的基本概念图是由顶点和边组成的一种数学结构。
顶点表示图中的元素，边表示元素之间的关系。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
1. 无向图：无向图中的边没有方向，表示的是两个顶点之间的无序关系。
如果两个顶点之间存在一条边，那么它们之间是相邻的。
无向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示边的集合。
2. 有向图：有向图中的边有方向，表示的是两个顶点之间的有序关系。
如果从顶点A到顶点B存在一条有向边，那么A指向B。
有向图可以用一个集合V表示顶点的集合，用一个集合E表示有向边的集合。
二、图的表示方法图可以用多种方式进行表示，常见的有邻接矩阵和邻接表两种方法。
1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中的元素表示两个顶点之间是否存在边。
如果顶点i和顶点j之间存在边，那么矩阵的第i行第j列的元素为1；否则为0。
邻接矩阵适用于表示稠密图，但对于稀疏图来说，会造成空间浪费。
2. 邻接表：邻接表是一种链表的数据结构，用来表示图中的顶点和边。
每个顶点对应一个链表，链表中存储与该顶点相邻的顶点。
邻接表适用于表示稀疏图，节省了存储空间。
三、图的遍历算法图的遍历是指按照某一规则访问图中的所有顶点。
常见的图的遍历算法有深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）。
1. 深度优先搜索：深度优先搜索是一种递归的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后递归地访问与它相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
2. 广度优先搜索：广度优先搜索是一种迭代的搜索算法。
从某个顶点出发，首先访问该顶点，然后依次访问与它相邻的所有未访问过的顶点，再依次访问与这些顶点相邻的未访问过的顶点，直到所有的顶点都被访问过。
《离散数学》课件-第七章 图的基本概念
• G1 G2。
• 显然，两图的同构是相互的，即G1同构 于G2，G2同构于G1。
• 由同构的定义可知，不仅结点之间要具 有一一对应关系，而且要求这种对应关 系保持结点间的邻接关系。对于有向图 的同构还要求保持边的方向。
V={a,b,c,d},E={e1,e2,e3,e4,e5,e6}
e1=(a,b), e2=(a,c), e3=(b,d), e4=(b,c), e5=(d,c), e6=(a,d).
它的图形如下图(a)或(b)所示:
a
a
b
d
b
d
c
c
(a)
(b)
如果有些边是有向边，另一些边是无向边， 图G称为混合图。
第七章 图的基本概念
– 7.1 无向图及有向图 – 7.2 通路、回路、图的连通性 – 7.3 图的矩阵表示 – 7.4 最短路径及关健路径
7.1 无向图和有向图
• 什么是图?可用一句话概括，即：图是用 点和线来刻划离散事物集合中的每对事 物间以某种方式相联系的数学模型。
Konigsberg(哥尼斯堡)七桥问题
为偶数.
定理7.2 在任何有向图中,所有结点的入度之 和必等于它们的出度之和.
证明:因为有向图中的每一条有向边都恰好对应 一个出度和一个入度.故所有结点的出度之 和恰好等于有向边的总数.同样地, 所有结 点的入度之和恰好也等于有向边的总数.因 此它们相等.
设V={v1,…,vn}为G的顶点集，则称{d(v1),…d(vn)} 为G的度数序列。
• 如果G2无孤立结点，且由E2所唯一确定，即 以E2为边集，以E2中边关联的结点全体为顶 点集，则称G2是边集E2的导出子图。
离散数学图论基本概念解释
离散数学图论基本概念解释离散数学是一个研究离散对象及其关系和操作的数学分支，而图论则是离散数学的一个重要分支，用于研究图结构以及图中各种相关问题。
本文将对离散数学图论的基本概念进行解释。
一、图的定义图是指由一组顶点和连接这些顶点的边组成的数学结构。
图可以用G=(V, E)来表示，其中V表示顶点集合，E表示边的集合。
顶点之间的连接关系用边来表示，边有可能是有向的或无向的。
二、图的分类1. 无向图：图中的边没有方向，表示顶点之间的无序关系。
无向图可以是简单图（没有自环和重复边）或多重图（包含自环和多条重复边）。
2. 有向图：图中的边有方向，表示顶点之间的有序关系。
有向图也可以是简单图或多重图。
3. 加权图：顶点之间的边带有权重，用于表示边的强度或成本。
加权图可以是无向图或有向图。
三、图的常用术语1. 顶点的度：无向图中与某个顶点连接的边的数量称为该顶点的度。
在有向图中，顶点的度分为出度和入度，分别表示从该顶点出发的边的数量和指向该顶点的边的数量。
2. 路径：在图中，路径是指由一系列顶点和它们之间所连接的边组成的序列。
路径的长度是指路径中经过的边的数目。
3. 连通图：如果图中的任意两个顶点都存在一条路径相连，则称该图为连通图。
如果图非连通，则称为非连通图。
4. 完全图：如果一个无向图的任意两个顶点之间都有边相连，则称该图为完全图。
完全图有边n(n-1)/2条，其中n表示顶点的数量。
四、图的表示方法1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一种以二维矩阵的形式来表示图的方法。
矩阵的行和列分别表示顶点，矩阵中的元素表示相应的边。
如果两个顶点之间存在边，就用1表示；否则，用0表示。
2. 邻接表：邻接表是一种以链表的形式来表示图的方法。
每个顶点都对应一个链表，链表中存储与该顶点相连的其他顶点。
五、图的遍历算法1. 深度优先搜索（DFS）：DFS是一种用于遍历图的算法，它从一个初始顶点开始，沿着一条路径一直走到底，然后回溯到上一个顶点，再继续沿另一条路径走到底。
离散数学_第14章_图的基本概念
图的度数举例
d(v1)＝4(注意，环提供2度)，
△＝4，δ＝1，
v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。
d+(a)＝4，d-(a)＝1 (环e1提供出度1，提供入度1)， d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3， △+＝4 (在a点达到) δ+＝0(在b点达到) △-＝3(在b点达到) δ-＝1(在a和c点达到)
和为
v
的入度，记做
d
D
(v)
，简记作
d-(v)，称
d+(v)+d-(v)为
v
的度数，
记做 d(v).
图的度数的相关概念
• 在无向图G中，
最大度 △(G)＝max{d(v)|v∈V(G)} 最小度 δ(G)＝min{d(v)|v∈V(G)}
• 在有向图D中，
最大出度 △+(D)＝max{d+(v)|v∈V(D)} 最小出度 δ+(D)＝min{d+(v)|v∈V(D)} 最大入度 △-(D)＝max{d-(v)|v∈V(D)} 最小入度 δ-(D)＝min{d-(v)|v∈V(D)}
二、基本要求 深刻理解图论中的基本概念及其它们之间的相互关系 记住图论中的主要定理并能灵活地应用它们证明相关 定理或命题 熟练掌握图论中所用的证明方法，如直接证明法、归 纳法、反证法、扩大路径法等 应用握手定理及树的性质解无向图、无向树 会求最小生成树、最优树及最佳前缀码 会用临接矩阵求有向图中的通路、回路数
称G为n阶零图，记作Nn，特别地，称N1为平凡图。 • 在图的定义中规定顶点集V为非空集，但在图的运算中可能产
《离散数学》课件第14章图的基本概念
定义14.5（图同构）设两个无向图G1=<V1，E1>， G2=<V2，E2>，如果存在双射函数f：V1→V2，使得对 于 任 意 的 e=（vi，vj）∈E1 当 且 仅 当 e’=（f(vi)， f(vj)）∈E2，并且e与e’的重数相同，则称G1和G2是 同构的，记作G1≌G2。
若vi=vj，则称ek与vi的关联次 数为2；
若vi不是ek的端点，则称ek与vi 的关联次数为0。
无边关联的顶点称为孤立点 （isolated vertex） 。
19
定义(相邻) 设无向图G=<V，E>， 若∃et∈E且et=（vi,vj），则称vi和vj是相邻的 若ek,el∈E且有公共端点，则称ek与el是相邻的。
素称为有向边，简称边。 由定义，有向图的边ek是有序对<vi，vj>，称vi，
vj是ek的端点，其中vi为ek的始点（origin），vj为ek 的终点（terminus）。
当vi=vj时，称ek为环，它是vi到自身的有向边。
11
每条边都是无向边的图称为无向图（undirected graph）。
定义(邻接与相邻) 设有向图D=<V，E>， 若∃et∈E且et=<vi,vj>，则称vi邻接到vj，vj邻接 于vi。 若ek,el∈E且ek的终点为el的始点，则称ek与el是相 邻的。
20
定义14.4（度） 设G=<V，E>为一无向图，∀v∈V，称 v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为度 （degree），记为d(v)。
定理14.2 （有向图握手定理）设D=<V，E>为任 意的有向图，V={v1,v2,…,vn}，|E|=m，则
(离散数学)图的基本概念
一、基本图类与相关概念（续）
无向图：无向图G是一个二元组<V, E>，其中 (1) V是一个非空集合，称为顶点集V(G)， V中元素称为顶点或结点； (2) E是无序积V&V的多重子集(即集合中的
元素可重复出现)，称为边集E(G)，
E中元素称为无向边，简称边。
2014-5-3 离散数学 5
2014-5-3
离散数学
7
一、基本图类与相关概念（续）
有向图画法：用小圆圈表示V中顶点，若<a, b>E，
则在顶点a与b之间画一条有向边，其箭头从a指向b。
如：D = <V, E>，V = { v1, v2, v3, v4 }，E = { <v1, v2>,
<v1, v3>, <v2, v2>, <v3, v4>, <v4, v2>, <v4, v2> }
e2 e v4 e e
6
3
v1
2014-5-3
e1
v2
5
e
4
v3
6
离散数学
一、基本图类与相关概念（续）
2、有向图
有向图：有向图D是一个二元组<V, E>，其中 (1) V是一个非空集合，称为顶点集V(D)； (2) E是笛卡尔积V V的多重子集，称为边集 E(D)，E中元素称为有向边，也简称边。
一、基本图类与相关概念（续）
实际上，图是画出来的。画法：用小圆圈表示V中
顶点，若(a, b)E，则在顶点a与b之间连线段。
如：G = <V, E>，V = { v1, v2, v3, v4 }， E ={ (v1, v2), (v1, v4), (v2, v1), (v2, v3), (v2, v3), (v3, v4) }
离散数学图的基本概论
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11
最大度： (G) = max {d(v) | vV}
最小度： (G) = min {d(v) | vV}
度与边数的关系：在任何图中，顶点度数的
(握手定理)
总和等于边数之和的两倍。
即d(v)2|E| vV
握手定理的推论：任何图中，度为奇数的顶 点个数一定为偶数。
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12
出度与入度的关系：在有向图中，各顶点的出 度之和等于各顶点的入度之和。
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7
顶与顶相邻：如果ek = (vi,vj) E，称vi与vj相邻； 若ek为有向边，则称vi邻接到vj, vj邻接于vi 。
边与边相邻：如果ek和ei至少有一个公共顶点关联， 则称ek与ei相邻。
环： ek = < vi,vj > 中，若 vi = vj，则ek称为环。
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8
孤立点：无边关联的顶点。
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10
(2) 在有向图D = < V,E >中，以顶点v(vV)作 为始点的边的数目，称为该顶点的出度， 记作： d+(v)；以顶点v作为终点的边的数 目，称为该顶点的入度，记作：d–(v)。
出度与入度之和，称为顶点v的度：
d(v) = d+(v)+ d–(v)
度是图的性质的重要判断依据。
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1
计算机科学广泛应用于运筹学，信息论， 控制论，网络理论，化学生物学，物理学。 原因在于这些学科的许多实际问题和理论问 题可以概括为图论。第八、九章介绍与计算 机科学关系密切的图论内容及其在实际中的 应用。
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2
8.1 无向图及有向图
一、基本图类及相关概念
1. 无向图
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实际中，图是画出来的，画法：用小圆圈 表示V中的每一个元素，如果(a,b)E，则在顶
点a与b之间连线段。
如：
a e1 b e3 c e2 e4 e1 e6 e5 d e1 v2
e2 v5
e3
v1 e6 e4 v3 e5
v4
2. 有向图
有向图：有向图D是一个二元组< V,E >，其中 (1) V是非空集 ––– 顶点集 V(D)
集的图。记作：～G
如:
(1)
(2)
相对补图：设G'G, 如果另一个图G'' = < V'', E'' >，
满足 (1) E'' = E – E'
(2) V''中仅包含E''中的边所关联的结点。
则G''是子图G'相对于G的补图。 如：图
(1)
Hale Waihona Puke 为(2)的子图，
则图
(3)
为(1)相对于(2)的补图。
六、同构图
(握手定理)
总和等于边数之和的两倍。
即 d (v) 2 | E |
vV
握手定理的推论：任何图中，度为奇数的顶
点个数一定为偶数。
出度与入度的关系：在有向图中，各顶点的 出度之和等于各顶点的入度之和。
d ( v ) d i (vi ) m i 1 i 1 n n
度数序列：设V = {v1,v2,…,vn}为图G的顶点集，
顶与顶相邻：如果ek = (vi,vj) E，称vi与vj相邻；
若ek为有向边，则称vi邻接到vj,
vj邻接于vi 。 边与边相邻：如果ek和ei至少有一个公共顶点关联， 则称ek与ei相邻。 环： ek = < vi,vj > 中，若 vi = vj，则ek称为环。
孤立点：无边关联的顶点。
平行边：无向图中，关联一对结点的无向边
称(d(v1), d(v2),…, d(vn))为G的度数
序列。 度数序列之和必为偶数(?)。
例8.1 (3,3,2,3)，(5,2,3,1,4)能成为图的度数 序列吗？为什么？ 解：由于这两个序列中，奇数个数均为奇 数，由握手定理知，它们不能成为图 的度数序列。
例8.2 已知图G中有10条边，4个3度顶点，
其余顶点的度数均小于等于2，问G
中至少有多少个顶点？为什么？
解：图中边数 m=10，由握手定理知，
G中各顶点度数之和为20，
4个3度顶点占去12度，还剩8度， 若其余全是2度顶点, 则需要4个顶点 来占用8度，所以G至少有8个顶点。
三、正则图与完全图
正则图：各顶点的度都相同的图为正则图； 各顶点的度均为k的图为k次正则图。 完全图：
为始点的边的数目，称为该顶点的出度，
记作： d+(v)；以顶点v作为终点的边的数
目，称为该顶点的入度，记作：d–(v)。
出度与入度之和，称为顶点v的度： d(v) = d+(v)+ d–(v)
度是图的性质的重要判断依据。
最大度： (G) = max {d(v) | vV}
最小度： (G) = min {d(v) | vV} 度与边数的关系：在任何图中，顶点度数的
例8.3 列举下图的一些子图、 真子图、生成子图、
e4 v2
v1 e1 e5 e2 e3 v3 v4
导出子图。 解：自己对照定义做一做！
(1) 子图：子图的定义？举例
(2) 真子图：举例 (3) 生成子图：定义？举例 (4) 导出子图：定义？举例
五、补图
补图：给定一个图G = < V,E >，以V为顶点集， 以所有能使G成为完全图的添加边组成边
为A与B的无序积，记作：A&B。 习惯上，无序对{a,b}改记成(a, b) 有序组(a,b)均用< a,b >
无向图：无向图G是一个二元组< V,E >，其中
(1) V是一个非空集 ––– 顶点集V(G)，每个元
素为顶点或结点； (2) E是无序积V & V的可重子集(元素可重复出
现)，E ––– 边集E(G)，E中元素称为无向边。
多于一条，平行边的条数为重数； 有向图中，关联一对顶点的无向边
多于一条，且始、终点相同。 多重图：包含平行边的图。
简单图：既不包含平行边又不包含环的图。
二、度
度：(1) 在无向图G = < V, E >中，与顶点v(vV)
关联的边的数目(每个环计算两次)，记 作：d(v)。
(2) 在有向图D = < V,E >中，以顶点v(vV)作
(1) 设G = < V,E >是n阶的无向简单图，如果
G中任何一个顶点都与其余n–1个顶点相邻，
则G为无向完全图，记作：Kn。
(2) 设D = < V,E >是n阶的有向简单图，如果D 中任意顶点u，vV(uv)，即有有向边 < u,v >，又有有向边< v,u >，则称D为n阶有 向完全图。 如：
图同构：对于G = < V,E >，G' = < V' ,E' >，如果
存在 g:VV' 满足：
(1) 任意边e = (vi,vj)E，当且仅当e' = (g(vi),g(vj))E' (2) e与e'的重数相同 则说G G' 由于同构图顶点之间一一对应，边之间一一对应， 关联关系对应相同，所以可以看成同一个图。
四、子图与母图：
(1) G = < V,E >， G' = < V' , E' > 若V'V， E'E，则G是G'的母图， G'是
G的子图，记作： G' G。
(2) 若G'G 且 V'=V，则G'是G的生成子图。
(3) 设V1V，且V1，以V1为顶点集，以2端
点均在V1中的全体边为边集的G的子图， 称为V1导出的导出子图。 (4) 设E1E，且E1，以E1为顶点集，以E1中 边关联的顶点的全体为顶点集的G的子图， 称为E1导出的导出子图。
(2) E是笛卡尔积VV的可重子集，
其元素为有向边 实际中，画法同无向图，只是要根据E中 元素的次序，由第一元素用方向线段指向第 二元素。
3. 相关概念 有限图：V，E均为有穷集合
零 图：E
平凡图：E 且 |V| = 1 (n, m)图：|V| = n 且 |E| = m 顶与边关联：如果ek = (vi,vj) E，称ek与vi关联， 或ek与vj关联。
计算机科学广泛应用于运筹学，信息 论，控制论，网络理论，化学生物学，物理 学。原因在于这些学科的许多实际问题和理
论问题可以概括为图论。第八、九章介绍与
计算机科学关系密切的图论内容及其在实际
中的应用。
8.1
无向图及有向图
一、基本图类及相关概念
1. 无向图
称{{a,b} | aAbB} 无序积：设A，B为二集合，