布朗运动

[ t / t ]
t 0
lim P{
X
i 1
i
c 2t
x}
x
1 2

e

x2 2
dx ( x )
即t0 时，X(t)~N(0，c2t)。 Brown 运动的定义是上述物理过程的数学描述。 在通常情况下， 可以仿照上述随机移动 模型对 Brown 运动进行计算机仿真。
第六章 Brown 运动、Wiener 过程、时间序列分析简介
Brown 运动、Wiener 过程简介
Brown 运动最初是由英国生物学家 Brown 于 1827 年根据观察花粉颗粒在液面上做“无 规则运动” 现象而提出的。 Brown 于 1905 年首次对这一现象的物理规律给出一种数学描述， 使这一课题有了长足的发展。在数学上的精确描述直到 1918 年才由 Wiener 给出。 Brown 运动作为具有连续参数和连续状态空间的一个随机过程，是一个最基本、最简单 同时又是最重要的随机过程，许多其他的随机过程可以看作是它的推广。
2 , 3 , )不存在直接的依存关系。显然，只要把 X t 对 X t 1 的直接依赖性，而 X t 与 X t j (j
X )自然就是独立的了。 X t 中依赖于 X t 1 的部分消除后，剩下的把部分 (X t 1 t 1
1.5 一阶自回归模型平稳性 首先, 为方便起见, 引进延迟算子的概念. 令
关性。 (5)普通回归模型，实质上是一种条件回归，而 AR(1)是无条件回归。 主要联系表现为： 固定时刻 t 1 ，且观察值 X t 1 已知时，AR(1)就是一个普通的一元线性回归模型了。
1.4 相关序列的独立化过程
这里 X t 是相关的，而我们所用的许多统计方法却都是以资料独立为基础的。如果我们直接 用以资料独立为基础的统计方法来处理相关的序列是不合理的。怎么办？我们来看式 (4.1.2)的另一种形式：
2 BX X , B X B ( BX ) X . t t 1 t t t 2
k 一般有 B 称 B为一步延迟算子， B k 为 k 步延迟算子. X X ( k 1 , 2 , 3 ), t t k
在一阶自回归 AR(1)模型中, 保持其平稳性的条件是对应的特征方程
2


j 1,2, 独立。前
两者是一阶自回归模型的基本假设。
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图 4.2 X t 与 X t 1 的散点图
1.3 AR(1)模型与普通一元线性回归的关系
普通一元线性回归模型可表示为
Y bX , i i i
其中， Y i 与 X i 为中心化处理后的序列。

i 1 , 2 ,
(4.1.3)
从形式上看，模型(4.1.2) 与(4.1.3)非常相似，但是二者既有联系又有区别，其主要区别 有： (1)普通线性回归模型需要一组确定性变量值和相应的观测值； AR(1)模型只需要一组随机变 量的观测值。 (2)普通一元线性回归表示的是一个随机变量对另一个确定性变量的依存关系；而 AR(1)表 示的是一个随机变量对其自身过去值的依存关系。 (3)普通线性回归是在静态的条件下研究的；AR(1)是在动态的条件下研究的。 (4)二者的假定不同。普通回归模型要求： i 独立，且 i 与 X i 独立， X i 为确定变量，Y i 是
一、随机移动和 Brown 运动
考虑在一直线上的对称随机移动。设质点每经过t 时间，随机地以概率 p=1/2 向右移 动x，以概率 p=1/2 向左移动x，且每次移动相互独立，记 Xi 表示第 i 次移动的位移，则 有 P{Xi =x }= P{Xi =x }=1/2。若 X(t)表示 t 时刻质点的位移，则有 X(t)= X1+X2++X[t/t] 其中，[t/t]为不超过 t/t 的最大整数。 显然，E(Xi)=0，D(Xi)=( x)2，因此 E(X(t))=0，D(X(t))=( x)2[t/t] 以上随机移动可作为微小粒子在直线上做不规则运动的近似。 由于粒子的不规则运动是 连续进行的，所以，应考虑其极限情况。由实验观察得知，当t 越小时，每次移动x 也越 小，通常有t0，x0。 下面考虑三种极限情况 （1） lim
a X X t t 1 t 1
(4.1.4)
虽然式(4.1.4)仅是式(4.1.2)的一个简单变形，但它却揭示了 AR(1)的一个实质性问 题：AR(1)模型是一个使相关数据转化为独立数据的变化器。那么，这是怎样转化的呢？由 于就 AR(1)系统来说，仅有一阶动态性，即在 X t 1 已知的条件下， X t 的依赖性主要表现为
时间序列举例
洛杉矶年降水量 图表 1-1 是加利福尼亚州洛杉矶地区 100 多年来的年降水量时间序列图。 从图中可以看 出，降水量在这些年有显著的差异一—有的年份降水量低，有的年份降水量高，其他年份介 于两者之间。对洛杉矶来说.，1883 年无疑是湿度特别大的一年，而 1983 年则扣当干燥。 为了分析和建摸需要，我们关心的是相邻年份的降水量是否存在某种关联。若是，则可能依 据当年的降水量数据预测来年的降水量。 我们可以画出相邻年份降水量的散点图， 通过图形 来研究这个问题。
图 4.1 X t 与 t 的散点图 这是因为 X t 对 t 有一定的依赖性。现在是 X t 与 X t 1 的有一定的依赖性，按照同样的思想， 我们可以把 X t 与 X t 1 在平面上标绘出来。如图 4.2 所示。这表明， X t 与 X t 1 有直线相关 关系， at 为独立正态同分布序列，记作 at ~ NID 0, a ； at 与 X t j
其中 X t 为零均值平稳序列（即经过中心化处理过） 。
（4.1.2）
1.2 一阶自回归模型的特点
我们知道，在时间函数模型中，如果我们将一组观察值及其相应的时间，在平面上标绘 出来，就会显示出一定的趋势性（图 4.1）
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（3） lim
( x )2 c 2 （c 为正常数） t 0 t x 0
2 t 0
此时， 当t0 时， E(X(t))=0，lim D( X (t )) c t 。 这种情况是我们要研究的主要对象。 下面从统计的角度观察此随机移动现象。 X(t)= X1+X2++X[t/t]可看作是独立同分布的 随机变量之和。因此 X(t)是独立增量过程，即 X(t)可看作由许多微小的相互独立的随机变量 X(ti)- X(ti-1)之和组成的。 当t0 时，利用中心极限定理得：X(t)的分布趋向正态分布，即对xR，t >0，有
AR(1)。 一般的 AR(p)序列可以通过变换转化为中心化的 AR(p)序列. 因为这种变换对于序列之 间的相关关系没有任何影响, 所以在以后的篇幅中, 如果涉及讨论 AR(p)模型的相关关系 时, 为简单起见, 我们仅对中心化的 AR(p)模型进行讨论就可以了。即(4.1.1)式可记为
X t X t 1 at
三、Brown 运动的应用
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时间序列分析简介
通过一系列时间点上的观测来获取数据是司空见惯的活动。 在商业上， 我们会观测周利 率、日股票闭盘价、月价格指数、年销售量等。在气象上，我们会观测每天的最高温度和最 低温度、 年降水与干旱指数、 每小时的风速等。 在农业上， 我们会记录每年作物和牲畜产量、 土壤侵蚀、出口销售等方面的数字。在生物科学上，我们会观测每毫秒心电活动的状况。在 生态学上，我们会记录动物种群数量的变动情况。实际上，需要研究时间序列的领域是难以 罗列的。时间序列分析的目的一般有两个方面：一是认识产生观测序列的随机机制，即建立 数据生成模型；二是基于序列的历史数据，也许还要考虑其他相关序列或因素，对序列未来 的可能取值给给出预测或预报。
该图给人的主要印象是当年降水量与去年降水量几乎没有什么联系，既无“趋势”，也没 有一般倾向。上一年与当年降水量的相关性非常小，从预测和建模的角度，这样的时间序列 没什么研究意义。 化工过程 第二个例子是来自某化工过程的时间序列， 这里变量度量的是过程中连续批次颜色的属 性。 图表 1-3 是颜色值的时间序列图。 相邻时刻的颜色值差别不大， 似乎相互之间存在关联。
如果时间序列 X t t 1,2, 是独立的，没有任何依赖关系，即事物的前一时刻与后一
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时刻的行为毫无关系， 说明系统无记忆能力， 这样的资料所揭示的统计规律就是独立随机变 动的。如果情况不是这样，资料之间存在依存性，其中最简单的一种关系就是后一时刻的行 为与其前一时刻的行为有关，与其前一时刻之前的行为无关，即 X t 主要与 X t 1 相关。可以 称为最短记忆。 描述这种动态关系的数学模型就是一阶自回归模型。 下面给出AR(1)的定义:
像第一个例子那样，制作一个相邻数据的散点图更能说明问题。 图表 1-4 是相邻颜色值的散点图该图显示了一个稍微向上的趋势——数值较小后面的批 次趋于较小的值，中等值后面的批次趋于中等值，数值较大后面的批次趋于较大的值。该趋 势明显但井不非常强烈，例如，散点图的相关系数约为 0.6。
一、 自回归模型
1、一阶自回归模型
图表 1-2 是由此绘出的降水量散点图。例如，右下角的点显示降水量非常大的 1883 年 40 英寸的降水量，其后 1884 年降水量中等〔约 12 英寸)。图中靠近顶部的点表明 40 英寸 降水量的年份，其上一年降连海事大学数学系
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