专题02 函数概念与基本初等函数B辑(解析版)

2021年高考数学压轴必刷题（第一辑）专题02函数概念与基本初等函数B 辑1．【2019年江苏14】设f （x ），g （x ）是定义在R 上的两个周期函数，f （x ）的周期为4，g （x ）的周期为2，且f （x ）是奇函数．当x ∈（0，2]时，f （x ）=2，g （x ）={k(x +2)，0＜x ≤1，−12，1＜x ≤2，其中k ＞0．若在区间（0，9]上，关于x 的方程f （x ）＝g （x ）有8个不同的实数根，则k 的取值范围是 ． 【答案】解：作出函数f （x ）与g （x ）的图象如图，由图可知，函数f （x ）与g （x ）=−12（1＜x ≤2，3＜x ≤4，5＜x ≤6，7＜x ≤8）仅有2个实数根； 要使关于x 的方程f （x ）＝g （x ）有8个不同的实数根，则f （x ）=√1−(x −1)2，x ∈（0，2]与g （x ）＝k （x +2），x ∈（0，1]的图象有2个不同交点， 由（1，0）到直线kx ﹣y +2k ＝0的距离为1，得√k 2=1，解得k =√24（k ＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k =13， ∴13≤k ＜√24．即k 的取值范围为[13，√24）． 故答案为：[13，√24）． 2．【2018年新课标3文科16】已知函数f （x ）＝ln （√1+x 2−x ）+1，f （a ）＝4，则f （﹣a ）＝ ． 【答案】解：函数g （x ）＝ln （2−x ）满足g （﹣x ）＝ln （√1+x 2+x ）=√1+x −x=−ln （√1+x 2−x ）＝﹣g （x ），所以g （x ）是奇函数．函数f （x ）＝ln （√1+x 2−x ）+1，f （a ）＝4，可得f （a ）＝4＝ln （√1+a 2−a ）+1，可得ln （√1+a 2−a ）＝3， 则f （﹣a ）＝﹣ln （√1+a 2−a ）+1＝﹣3+1＝﹣2． 故答案为：﹣2．3．【2018年浙江15】已知λ∈R ，函数f （x ）={x −4，x ≥λx 2−4x +3，x ＜λ，当λ＝2时，不等式f （x ）＜0的解集是 ．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是 ． 【答案】解：当λ＝2时函数f （x ）={x −4，x ≥2x 2−4x +3，x ＜2，显然x ≥2时，不等式x ﹣4＜0的解集：{x |2≤x＜4}；x ＜2时，不等式f （x ）＜0化为：x 2﹣4x +3＜0，解得1＜x ＜2，综上，不等式的解集为：{x |1＜x ＜4}．函数f （x ）恰有2个零点，函数f （x ）={x −4，x ≥λx 2−4x +3，x ＜λ的草图如图：函数f （x ）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4． 故答案为：{x |1＜x ＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．4．【2018年上海11】已知常数a ＞0，函数f （x ）=2x 2x +ax 的图象经过点P （p ，65），Q （q ，−15）．若2p +q＝36pq ，则a ＝ ．【答案】解：函数f （x ）=2x 2x +ax 的图象经过点P （p ，65），Q （q ，−15）．则：2p2p+ap +2q2q+aq=65−15=1，整理得：2p+q+2p aq+2q ap+2p+q2+2aq+2ap+a pq=1，解得：2p+q＝a2pq，由于：2p+q＝36pq，所以：a2＝36，由于a＞0，故：a＝6．故答案为：65．【2018年天津理科14】已知a＞0，函数f（x）={x2+2ax+a，x≤0−x2+2ax−2a，x＞0．若关于x的方程f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则a的取值范围是．【答案】解：当x≤0时，由f（x）＝ax得x2+2ax+a＝ax，得x2+ax+a＝0，得a（x+1）＝﹣x2，得a=−x2x+1，设g（x）=−x2x+1，则g′（x）=−2x(x+1)−x2(x+1)2=−x2+2x(x+1)2，由g′（x）＞0得﹣2＜x＜﹣1或﹣1＜x＜0，此时递增，由g′（x）＜0得x＜﹣2，此时递减，即当x＝﹣2时，g（x）取得极小值为g（﹣2）＝4，当x＞0时，由f（x）＝ax得﹣x2+2ax﹣2a＝ax，得x2﹣ax+2a＝0，得a（x﹣2）＝x2，当x＝2时，方程不成立，当x≠2时，a=x2 x−2设h（x）=x2x−2，则h′（x）=2x(x−2)−x2(x−2)2=x2−4x(x−2)2，由h′（x）＞0得x＞4，此时递增，由h′（x）＜0得0＜x＜2或2＜x＜4，此时递减，即当x＝4时，h（x）取得极小值为h（4）＝8，要使f（x）＝ax恰有2个互异的实数解，则由图象知4＜a＜8，故答案为：（4，8）6．【2018年天津文科14】已知a ∈R ，函数f （x ）={x 2+2x +a −2，x ≤0−x 2+2x −2a ，x ＞0．若对任意x ∈[﹣3，+∞），f（x ）≤|x |恒成立，则a 的取值范围是 ．【答案】解：当x ≤0时，函数f （x ）＝x 2+2x +a ﹣2的对称轴为x ＝﹣1，抛物线开口向上， 要使x ≤0时，对任意x ∈[﹣3，+∞），f （x ）≤|x |恒成立， 则只需要f （﹣3）≤|﹣3|＝3， 即9﹣6+a ﹣2≤3，得a ≤2，当x ＞0时，要使f （x ）≤|x |恒成立，即f （x ）＝﹣x 2+2x ﹣2a ，在射线y ＝x 的下方或在y ＝x 上， 由﹣x 2+2x ﹣2a ≤x ，即x 2﹣x +2a ≥0，由判别式△＝1﹣8a ≤0， 得a ≥18， 综上18≤a ≤2，故答案为：[18，2]．7．【2017年江苏14】设f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0，1）上，f （x ）={x 2，x ∈Dx ，x ∉D ，其中集合D ＝{x |x =n−1n ，n ∈N *}，则方程f （x ）﹣lgx ＝0的解的个数是 ． 【答案】解：∵在区间[0，1）上，f （x ）={x 2，x ∈D x ，x ∉D，第一段函数上的点的横纵坐标均为有理数， 又f （x ）是定义在R 上且周期为1的函数， ∴在区间[1，2）上，f （x ）={(x −1)2，x ∈D x −1，x ∉D，此时f （x ）的图象与y ＝lgx 有且只有一个交点； 同理：区间[2，3）上，f （x ）的图象与y ＝lgx 有且只有一个交点； 区间[3，4）上，f （x ）的图象与y ＝lgx 有且只有一个交点； 区间[4，5）上，f （x ）的图象与y ＝lgx 有且只有一个交点； 区间[5，6）上，f （x ）的图象与y ＝lgx 有且只有一个交点； 区间[6，7）上，f （x ）的图象与y ＝lgx 有且只有一个交点； 区间[7，8）上，f （x ）的图象与y ＝lgx 有且只有一个交点； 区间[8，9）上，f （x ）的图象与y ＝lgx 有且只有一个交点； 在区间[9，+∞）上，f （x ）的图象与y ＝lgx 无交点；故f （x ）的图象与y ＝lgx 有8个交点，且除了（1，0），其他交点横坐标均为无理数； 即方程f （x ）﹣lgx ＝0的解的个数是8， 故答案为：88．【2017年新课标3理科15】设函数f（x）={x+1，x≤02x，x＞0，则满足f（x）+f（x−12）＞1的x的取值范围是．【答案】解：若x≤0，则x−12≤−12，则f（x）+f（x−12）＞1等价为x+1+x−12+1＞1，即2x＞−12，则x＞−14，此时−14＜x≤0，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x−12＞−12，当x−12＞0即x＞12时，满足f（x）+f（x−12）＞1恒成立，当0≥x−12＞−12，即12≥x＞0时，f（x−12）＝x−12+1＝x+12＞12，此时f（x）+f（x−12）＞1恒成立，综上x＞−1 4，故答案为：（−14，+∞）．9．【2017年新课标3文科16】设函数f（x）={x+1，x≤02x，x＞0，则满足f（x）+f（x−12）＞1的x的取值范围是．【答案】解：若x≤0，则x−12≤−12，则f（x）+f（x−12）＞1等价为x+1+x−12+1＞1，即2x＞−12，则x＞−14，此时−14＜x≤0，当x＞0时，f（x）＝2x＞1，x−12＞−12，当x−12＞0即x＞12时，满足f（x）+f（x−12）＞1恒成立，当0≥x−12＞−12，即12≥x＞0时，f（x−12）＝x−12+1＝x+12＞12，此时f（x）+f（x−12）＞1恒成立，综上x＞−1 4，故答案为：（−14，+∞）．10．【2017年浙江17】已知a ∈R ，函数f （x ）＝|x +4x−a |+a 在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ．【答案】解：由题可知|x +4x−a |+a ≤5，即|x +4x−a |≤5﹣a ，所以a ≤5， 又因为|x +4x −a |≤5﹣a ， 所以a ﹣5≤x +4x −a ≤5﹣a ， 所以2a ﹣5≤x +4x ≤5， 又因为1≤x ≤4，4≤x +4x≤5， 所以2a ﹣5≤4，解得a ≤92， 故答案为：（﹣∞，92]．11．【2016年江苏11】设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x ）={x +a ，−1≤x ＜0|25−x|，0≤x ＜1，其中a ∈R ，若f （−52）＝f （92），则f （5a ）的值是 ．【答案】解：f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f （x ）={x +a ，−1≤x ＜0|25−x|，0≤x ＜1，∴f （−52）＝f （−12）=−12+a ， f （92）＝f （12）＝|25−12|=110，∴a =35，∴f （5a ）＝f （3）＝f （﹣1）＝﹣1+35=−25， 故答案为：−2512．【2016年浙江理科12】已知a ＞b ＞1，若log a b +log b a =52，a b ＝b a ，则a ＝ ，b ＝ ． 【答案】解：设t ＝log b a ，由a ＞b ＞1知t ＞1， 代入log a b +log b a =52得t +1t =52，即2t 2﹣5t +2＝0，解得t ＝2或t =12（舍去）， 所以log b a ＝2，即a ＝b 2，因为a b ＝b a ，所以b 2b ＝b a ，则a ＝2b ＝b 2， 解得b ＝2，a ＝4， 故答案为：4；2．13．【2016年北京文科14】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有 种； ②这三天售出的商品最少有 种．【答案】解：①设第一天售出商品的种类集为A ，第二天售出商品的种类集为B ，第三天售出商品的种类集为C ， 如图，则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种． 故答案为：①16；②29．14．【2016年天津文科14】已知函数f （x ）={x 2+(4a −3)x +3a ，x ＜0log a (x +1)+1，x ≥0（a ＞0，且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|f （x ）|＝2−x3恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 ． 【答案】解：∵f （x ）是R 上的单调递减函数，∴y ＝x 2+（4a ﹣3）x +3a 在（﹣∞．，0）上单调递减，y ＝log a （x +1）+1在（0，+∞）上单调递减， 且f （x ）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f （0）．∴{3−4a2≥00＜a ＜13a ≥1，解得13≤a ≤34． 作出y ＝|f （x ）|和y ＝2−x3的函数草图如图所示： 由图象可知|f （x ）|＝2−x 3在[0，+∞）上有且只有一解，∵|f （x ）|＝2−x 3恰有两个不相等的实数解，∴x 2+（4a ﹣3）x +3a ＝2−x 3在（﹣∞，0）上只有1解， 即x 2+（4a −83）x +3a ﹣2＝0在（﹣∞，0）上只有1解， ∴{(4a −83)2−4(3a −2)=0−4a−832＜0或{(4a −83)2−4(3a −2)＞03a −2＜0， 解得a =5136或a ＜23， 又13≤a ≤34，∴13≤a ＜23．故答案为[13，23）．15．【2015年江苏13】已知函数f （x ）＝|lnx |，g （x ）={0，0＜x ≤1|x 2−4|−2，x ＞1，则方程|f （x ）+g （x ）|＝1实根的个数为 ．【答案】解：由|f （x ）+g （x ）|＝1可得g （x ）＝﹣f （x ）±1． g （x ）与h （x ）＝﹣f （x ）+1的图象如图所示，图象有2个交点g （x ）与φ（x ）＝﹣f （x ）﹣1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|f （x ）+g （x ）|＝1实根的个数为4． 故答案为：4．16．【2015年北京理科14】设函数f （x ）={2x −a ，x ＜14(x −a)(x −2a)，x ≥1，①若a ＝1，则f （x ）的最小值为 ；②若f （x ）恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】解：①当a ＝1时，f （x ）={2x −1，x ＜14(x −1)(x −2)，x ≥1，当x ＜1时，f （x ）＝2x ﹣1为增函数，f （x ）＞﹣1，当x ＞1时，f （x ）＝4（x ﹣1）（x ﹣2）＝4（x 2﹣3x +2）＝4（x −32）2﹣1， 当1＜x ＜32时，函数单调递减，当x ＞32时，函数单调递增， 故当x =32时，f （x ）min ＝f （32）＝﹣1，②设h （x ）＝2x ﹣a ，g （x ）＝4（x ﹣a ）（x ﹣2a ） 若在x ＜1时，h （x ）＝与x 轴有一个交点，所以a ＞0，并且当x ＝1时，h （1）＝2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2， 而函数g （x ）＝4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a ≥1，且a ＜1， 所以12≤a ＜1，若函数h （x ）＝2x ﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点， 则函数g （x ）＝4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，当a ≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），当h （1）＝2﹣a ≤0时，即a ≥2时，g （x ）的两个交点满足x 1＝a ，x 2＝2a ，都是满足题意的，综上所述a 的取值范围是12≤a ＜1，或a ≥2． 17．【2014年江苏13】已知f （x ）是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3）时，f （x ）＝|x 2﹣2x +12|，若函数y ＝f （x ）﹣a 在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ．【答案】解：f （x ）是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3）时，f （x ）＝|x 2﹣2x +12|，若函数y ＝f （x ）﹣a 在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f （x ）与y ＝a 的图象如图：由图象可知a ∈(0，12)．故答案为：（0，12）．18．【2014年北京文科14】顾客请一位工艺师把A ，B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由师傅进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工 精加工原料A9 15 原料B 6 21 则最短交货期为 个工作日．【答案】解：由题意，徒弟利用6天完成原料B 的加工，由师傅利用21天完成精加工，与此同时，徒弟利用9天完成原料A 的加工，最后由师傅利用15天完成精加工，故最短交货期为6+21+15＝42 个工作日． 故答案为：42．19．【2014年天津理科14】已知函数f （x ）＝|x 2+3x |，x ∈R ，若方程f （x ）﹣a |x ﹣1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为．【答案】解：由y＝f（x）﹣a|x﹣1|＝0得f（x）＝a|x﹣1|，作出函数y＝f（x），y＝g（x）＝a|x﹣1|的图象，当a≤0，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则a＞0，此时g（x）＝a|x﹣1|={a(x−1)x≥1−a(x−1)x＜1，当﹣3＜x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣3x，g（x）＝﹣a（x﹣1），当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x2﹣3x＝﹣a（x﹣1），即x2+（3﹣a）x+a＝0，则由△＝（3﹣a）2﹣4a＝0，即a2﹣10a+9＝0，解得a＝1或a＝9，当a＝9时，g（x）＝﹣9（x﹣1），g（0）＝9，此时不成立，∴此时a＝1，要使两个函数有四个零点，则此时0＜a＜1，若a＞1，此时g（x）＝﹣a（x﹣1）与f（x），有两个交点，此时只需要当x＞1时，f（x）＝g（x）有两个不同的零点即可，即x2+3x＝a（x﹣1），整理得x2+（3﹣a）x+a＝0，则由△＝（3﹣a）2﹣4a＞0，即a2﹣10a+9＞0，解得a＜1（舍去）或a＞9，综上a的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），方法2：由f（x）﹣a|x﹣1|＝0得f（x）＝a|x﹣1|，若x＝1，则4＝0不成立，故x≠1，则方程等价为a=f(x)|x−1|=|x2+3x||x−1|=|(x−1)2+5(x−1)+4x−1|＝|x﹣1+4x−1+5|，设g（x）＝x﹣1+4x−1+5，当x＞1时，g（x）＝x﹣1+4x−1+5≥2√(x−1)4x−1+5=4+5=9，当且仅当x﹣1=4x−1，即x＝3时取等号，当x＜1时，g（x）＝x﹣1+4x−1+5≤5−2√[−(x−1)]⋅−4x−1=5﹣4＝1，当且仅当﹣（x﹣1）=−4x−1，即x＝﹣1时取等号，则|g（x）|的图象如图：若方程f（x）﹣a|x﹣1|＝0恰有4个互异的实数根，则满足a ＞9或0＜a ＜1，故答案为：（0，1）∪（9，+∞）20．【2014年天津文科14】已知函数f （x ）={|x 2+5x +4|，x ≤02|x −2|，x ＞0，若函数y ＝f （x ）﹣a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为 ．【答案】解：由y＝f（x）﹣a|x|＝0得f（x）＝a|x|，作出函数y＝f（x），y＝a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y＝a|x|与f（x）有三个交点，当a＝1时，当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣5x﹣4，由f（x）＝﹣x2﹣5x﹣4＝﹣x得x2+4x+4＝0，则判别式△＝16﹣4×4＝0，即此时直线y＝﹣x与f（x）相切，此时y＝a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y＝f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）21．【2013年上海理科12】设a为实常数，y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝9x+a2x+7．若f（x）≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为．【答案】解：因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x＝0时，f（x）＝0；当x＞0时，则﹣x＜0，所以f（﹣x）＝﹣9x−a2x+7因为y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （x ）＝9x +a 2x−7； 因为f （x ）≥a +1对一切x ≥0成立，所以当x ＝0时，0≥a +1成立，所以a ≤﹣1；当x ＞0时，9x +a 2x−7≥a +1成立， 只需要9x +a 2x −7的最小值≥a +1，因为9x +a 2x −7≥2√9x ⋅a 2x −7=6|a |﹣7， 所以6|a |﹣7≥a +1，解得a ≥85或a ≤−87，所以a ≤−87．故答案为：a ≤−87．22．【2013年上海理科14】对区间I 上有定义的函数g （x ），记g （I ）＝{y |y ＝g （x ），x ∈I }．已知定义域为[0，3]的函数y ＝f （x ）有反函数y ＝f ﹣1（x ），且f ﹣1（[0，1））＝[1，2），f ﹣1（（2，4]）＝[0，1）．若方程f （x ）﹣x ＝0有解x 0，则x 0＝ ．【答案】解：因为g （I ）＝{y |y ＝g （x ），x ∈I }，f ﹣1（[0，1））＝[1，2），f ﹣1（2，4]）＝[0，1）， 所以对于函数f （x ），当x ∈[0，1）时，f （x ）∈（2，4]，所以方程f （x ）﹣x ＝0即f （x ）＝x 无解；当x ∈[1，2）时，f （x ）∈[0，1），所以方程f （x ）﹣x ＝0即f （x ）＝x 无解；所以当x ∈[0，2）时方程f （x ）﹣x ＝0即f （x ）＝x 无解，又因为方程f （x ）﹣x ＝0有解x 0，且定义域为[0，3]，故当x ∈[2，3]时，f （x ）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f （x 0）＝x 0，只有x 0＝2，故答案为：2．23．【2012年江苏10】设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f （x ）={ax +1，−1≤x ＜0bx+2x+1，0≤x ≤1其中a ，b ∈R ．若f(12)=f(32)，则a +3b 的值为 ．【答案】解：∵f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，f （x ）={ax +1，−1≤x ＜0bx+2x+1，0≤x ≤1，∴f （32）＝f （−12）＝1−12a ，f （12）=b+43；又f(12)=f(32)， ∴1−12a =b+43① 又f （﹣1）＝f （1），∴2a +b ＝0，②由①②解得a ＝2，b ＝﹣4；∴a +3b ＝﹣10．故答案为：﹣10．24．【2012年江苏13】已知函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为 ．【答案】解：∵函数f （x ）＝x 2+ax +b （a ，b ∈R ）的值域为[0，+∞），∴f （x ）＝x 2+ax +b ＝0只有一个根，即△＝a 2﹣4b ＝0，则4b ＝a 2不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），即为x 2+ax +b ＜c 解集为（m ，m +6），则x 2+ax +b ﹣c ＝0的两个根x 1，x 2分别为m ，m +6∴两根之差为|x 1﹣x 2|＝|m +6﹣m |＝6根据韦达定理可知：x 1+x 2=−a 1=−ax 1x 2=b−c 1=b ﹣c ∵|x 1﹣x 2|＝6∴√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=6∴√(−a)2−4(b −c)=6∴√4b −4b +4c =6解得c ＝9故答案为：925．【2012年新课标1文科16】设函数f （x ）=(x+1)2+sinx x 2+1的最大值为M ，最小值为m ，则M +m ＝ ．【答案】解：函数可化为f （x ）=(x+1)2+sinx x 2+1=1+2x+sinx x 2+1， 令g(x)=2x+sinx x 2+1，则g(x)=2x+sinx x 2+1为奇函数， ∴g(x)=2x+sinx x 2+1的最大值与最小值的和为0． ∴函数f （x ）=(x+1)2+sinx x 2+1的最大值与最小值的和为1+1+0＝2． 即M +m ＝2．故答案为：2．26．【2012年北京理科14】已知f （x ）＝m （x ﹣2m ）（x +m +3），g （x ）＝2x ﹣2，若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0；②∃x ∈（﹣∞，﹣4），f （x ）g （x ）＜0．则m 的取值范围是 ．【答案】解：对于①∵g （x ）＝2x ﹣2，当x ＜1时，g （x ）＜0，又∵①∀x ∈R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0∴f （x ）＝m （x ﹣2m ）（x +m +3）＜0在x ≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在（1，0）的左面则{m ＜0−m −3＜12m ＜1∴﹣4＜m ＜0即①成立的范围为﹣4＜m ＜0又∵②x ∈（﹣∞，﹣4），f （x ）g （x ）＜0∴此时g （x ）＝2x ﹣2＜0恒成立∴f （x ）＝m （x ﹣2m ）（x +m +3）＞0在x ∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x 1，x 2中的较小的根大即可，（i ）当﹣1＜m ＜0时，较小的根为﹣m ﹣3，﹣m ﹣3＜﹣4不成立，（ii ）当m ＝﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii ）当﹣4＜m ＜﹣1时，较小的根为2m ，2m ＜﹣4即m ＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m ＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．27．【2012年北京文科14】已知f （x ）＝m （x ﹣2m ）（x +m +3），g （x ）＝2x ﹣2．若∀x ∈R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0，则m 的取值范围是 ．【答案】解：∵g （x ）＝2x ﹣2，当x ≥1时，g （x ）≥0，又∵∀x ∈R ，f （x ）＜0或g （x ）＜0∴此时f （x ）＝m （x ﹣2m ）（x +m +3）＜0在x ≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在（1，0）的左面则{m ＜0−m −3＜12m ＜1∴﹣4＜m ＜0故答案为：（﹣4，0）28．【2012年天津理科14】已知函数y =|x 2−1|x−1的图象与函数y ＝kx ﹣2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 ．【答案】解：y =|x 2−1|x−1={x +1，x ≤−1或x ＞1−x −1，−1＜x ＜1， 作出函数y =|x 2−1|x−1与y ＝kx ﹣2的图象如图所示： ∵函数y =|x 2−1|x−1的图象与函数y ＝kx ﹣2的图象恰有两个交点，∴0＜k ＜1或1＜k ＜4．故答案为：（0，1）∪（1，4）．29．【2012年天津文科14】已知函数y =|x 2−1|x−1的图象与函数y ＝kx 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 ．【答案】解：函数y =|x 2−1|x−1=|x+1|⋅|x−1|x−1={x +1，x ＞1−(x +1)，−1≤x ＜1x +1，x ＜−1， 如图所示：故当一次函数y ＝kx 的斜率k 满足0＜k ＜1 或1＜k ＜2时，直线y ＝kx 与函数y =|x 2−1|x−1的图象相交于两点，故答案为 （0，1）∪（1，2）．30．【2011年江苏11】已知实数a ≠0，函数f （x ）={2x +a ，x ＜1−x −2a ，x ≥1，若f （1﹣a ）＝f （1+a ），则a 的值为 ．【答案】解：当a ＞0时，1﹣a ＜1，1+a ＞1∴2（1﹣a）+a＝﹣1﹣a﹣2a解得a=−32舍去当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1∴﹣1+a﹣2a＝2+2a+a解得a=−3 4故答案为−3 431．【2011年上海理科13】设g（x）是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f（x）＝x+g（x）在区间[3，4]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[﹣10，10]上的值域为．【答案】解：法一：∵g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）＝g（x+1）又∵函数f（x）＝x+g（x）在[3，4]的值域是[﹣2，5]令x+6＝t，当x∈[3，4]时，t＝x+6∈[9，10]此时，f（t）＝t+g（t）＝（x+6）+g（x+6）＝（x+6）+g（x）＝[x+g（x）]+6所以，在t∈[9，10]时，f（t）∈[4，11] (1)同理，令x﹣13＝t，在当x∈[3，4]时，t＝x﹣13∈[﹣10，﹣9]此时，f（t）＝t+g（t）＝（x﹣13）+g（x﹣13）＝（x﹣13）+g（x）＝[x+g（x）]﹣13所以，当t∈[﹣10，﹣9]时，f（t）∈[﹣15，﹣8] (2)…由（1）（2）…得到，f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]故答案为：[﹣15，11]法二：由题意f（x）﹣x＝g（x）在R上成立故f（x+1）﹣（x+1）＝g（x+1）所以f（x+1）﹣f（x）＝1由此知自变量增大1，函数值也增大1故f（x）在[﹣10，10]上的值域为[﹣15，11]故答案为：[﹣15，11]32．【2011年北京文科14】设A（0，0），B（4，0），C（t+4，3），D（t，3）（t∈R）．记N（t）为平行四边形ABCD内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则N（0）＝，N（t）的所有可能取值为．【答案】解：当t＝0时，平行四边形ABCD内部的整点有（1，1）；（1，2）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（3，2）共6个点，所以N（0）＝6作出平行四边形ABCD将边OD ，BC 变动起来，结合图象得到N （t ）的所有可能取值为6，7，8故答案为：6；6，7，833．【2010年江苏11】已知函数f(x)={x 2+1，x ≥01x ＜0，则满足不等式f （1﹣x 2）＞f （2x ）的x 的范围是 ． 【答案】解：由题意，可得{1−x 2＞2x 1−x 2＞0⇒x ∈(−1，√2−1)故答案为：(−1，√2−1)34．【2010年北京文科14】（北京卷理14）如图放置的边长为1的正方形P ABC 沿x 轴滚动．设顶点P （x ，y ）的轨迹方程是y ＝f （x ），则f （x ）的最小正周期为 ；y ＝f （x ）在其两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积为说明：“正方形P ABC 沿X 轴滚动”包括沿x 轴正方向和沿x 轴负方向滚动．沿x 轴正方向滚动指的是先以顶点A 为中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正方形P ABC 可以沿x 轴负方向滚动．【答案】解：不难想象，从某一个顶点（比如A ）落在x 轴上的时候开始计算，到下一次A 点落在x 轴上，这个过程中四个顶点依次落在了x 轴上，而每两个顶点间距离为正方形的边长1，因此该函数的周期为4．下面考察P 点的运动轨迹，不妨考察正方形向右滚动，P 点从x 轴上开始运动的时候，首先是围绕A 点运动14个圆，该圆半径为1，然后以B 点为中心，滚动到C 点落地，其间是以BP 为半径，旋转90°，然后以C 为圆心，再旋转90°，这时候以CP 为半径，因此最终构成图象如下：故其与x 轴所围成的图形面积为S =2×14×π×12+14×π×(√2)2+2×12×1×1=π+1．故答案为：4，π+1．35．【2010年天津理科16】设函数f （x ）＝x 2﹣1，对任意x ∈[32，+∞），f （x m ）﹣4m 2f （x ）≤f （x ﹣1）+4f （m ）恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【答案】解：依据题意得x 2m 2−1﹣4m 2（x 2﹣1）≤（x ﹣1）2﹣1+4（m 2﹣1）在x ∈[32，+∞）上恒定成立， 即1m 2−4m 2≤−3x 2−2x +1在x ∈[32，+∞）上恒成立． 当x =32时，函数y =−3x 2−2x +1取得最小值−53， ∴1m 2−4m 2≤−53，即（3m 2+1）（4m 2﹣3）≥0，解得m ≤−√32或m ≥√32，故答案为：(−∞，−√32]∪[√32，+∞)．36．【2010年天津文科16】设函数f （x ）＝x −1x ，对任意x ∈[1，+∞），f （mx ）+mf （x ）＜0恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【答案】解：已知f （x ）为增函数且m ≠0，当m ＞0，由复合函数的单调性可知f （mx ）和mf （x ）均为增函数，此时不符合题意．当m ＜0时，有mx −1mx +mx −m x ＜0⇒2mx −(m +1m )⋅1x ＜0⇒1+1m 2＜2x 2 因为y ＝2x 2在x ∈[1，+∞）上的最小值为2，所以1+1m 2＜2， 即m 2＞1，解得m ＜﹣1或m ＞1（舍去）．故答案为：m ＜﹣1．37．【2020年上海卷19】在研究某市场交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆数除以时间，车辆密度是该路段一定时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为v =q x，x 为道路密度，q 为车辆密度．v ＝f （x ）={100−135⋅(13)x ，0＜x ＜40−k(x −40)+85，40≤x ≤80． （1）若交通流量v ＞95，求道路密度x 的取值范围；（2）已知道路密度x ＝80，交通流量v ＝50，求车辆密度q 的最大值．【答案】解：（1）∵v =q x ，∴v 越大，x 越小，∴v ＝f （x ）是单调递减函数，k ＞0，当40≤x ≤80时，v 最大为85，于是只需令100−135⋅(13)x ＞95，解得x ＞3，故道路密度x 的取值范围为（3，40）．（2）把x ＝80，v ＝50代入v ＝f （x ）＝﹣k （x ﹣40）+85中，得50＝﹣k •40+85，解得k =78．∴q ＝vx ={100x −135⋅(13)x ⋅x ，0＜x ＜40−78(x −40)x +85x ，40≤x ≤80， 当0＜x ＜40时，q 单调递增，q ＜100×40﹣135×(13)40×40≈4000；当40≤x ≤80时，q 是关于x 的二次函数，开口向下，对称轴为x =4807， 此时q 有最大值，为−78×(4807)2+120×4807=288007＞4000． 故车辆密度q 的最大值为288007．。