函数的定义域及其求法(知识讲解)(教师版)

函数的定义域及其求法（知识讲解）

一．求定义域问题

概述

在处理函数的相关问题时，首先应明确函数的定义域是什么，求函数定义域主要包括具体函数的定义域、抽象函数的定义域以及实际问题中函数的定义域三种．

1．对于已知解析式的具体函数，如果未加特殊说明，函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数x 的取值集合．

2．求[[抽象函数的定义域求法|抽象函数的定义域]]时，应充分理解定义域的含义，即：函数()f x 的定义域是指x 的取值范围．

3．在实际问题中求函数()f x 的定义域，除了考虑解析式本身有意义外，还应该考虑自变量x 所代表的具体量的实际取值范围．

应用举例

求具体函数定义域

1．求函数(

)256lg 3

x x f x x -+=-的定义域． 解：由二次根号和对数函数，可得 24||0,560.3

x x x x -⎧⎪⎨-+>⎪-⎩ 解得

233 4.x x <<<或

因此，函数的定义域为{|2334}x x x <<<或

注：函数的定义域就是指能使表达函数的式子各部分都有意义的所有实数x 的取值集合．

二．求抽象函数的定义域

1．已知函数()f x 的定义域为(2,1)-，求函数(21)f x +的定义域．

解：由题意知

21(2,1),x +∈- 解得302x -<<，故定义域为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭． 2．已知函数(3)f x -的定义域为(1,4)，求函数(21)f x +的定义域．

解：由题意得

14,x <<

因此，

231,x -<-<

故可以得出，

21(2,1),x +∈- 解得302x -<<，故定义域为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭． 注：①.定义域是自变量x 的取值范围. ②.被同一个对应法则f 作用下的对象的取值范围相同.

三．实际应用中的函数求定义域

1．将长为8的铁丝折成矩形，则矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式为24y x x =-+,求其定义域.

解：由函数的实际意义，知自变量x 应满足 0,1(82)0.2

x x >⎧⎪⎨->⎪⎩ 解得04x <<.所以定义域为(0,4).

注：实际应用中的函数定义域不仅受到函数自身表达式的限制，而且还受实际意义的影响.

四．拓展

有些问题是给出了函数的定义域，而求参数的值或范围.此时需要找出定义域的限制条件对其进行分析解答.例如：

1．函数2743

kx y kx kx +=++的定义域为R ，求实数k 的取值范围. 解：由题意，2430kx kx ++≠恒成立，所以

20,0,30.(4)120.k k k k ≠⎧=⎧⎪⎨⎨≠∆=-<⎪⎩⎩

或 得304

k <. 注：不要忽略分母式子形的讨论.