分式方程优秀课件
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《分式方程》_课件-完美版
小结：工程问题，若没有告诉总工作量，通常设总工作量为1；工程问题的等量关系通 常根据“各分工作量之和等于总工作量”来确定。
【获奖课件ppt】《分式方程》_课件- 完美版 1-课件 分析下 载
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巩固新知
1．解分式方程 x 2 3 ，去分母后的结果是( )
运用新知
例4 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 追问1：工程问题中有哪几个基本量，其关系是什么？通常把工作总量看作多少？ 追问2：由题意可知，甲队的工作效率是多少？若设乙队独做x天完成，则乙队的工作 效率是多少？ 追问3：此题中的等量关系是什么？你能用题中的一句话或一个等式来表示吗？ 追问4：工程类问题常用的等量关系是什么？
x2
x2
A．x＝2＋3
B．x＝2(x－2)＋3
C．x(x－2)＝2＋3(x－2) D．x＝3(x－2)＋2
答案：B
2．解下列方程：(1)
x
1 5
10 x2 25
7
1
6
；(2)
x2
x x2
x x2
x。
答案：(1)无解；(2)x＝3。
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此方程中含有分式，即方程的分母中含有未知数，而整式方程的左右两边都是整式。 归纳：分式方程的概念：像这样 分母中含有未知数的方程 叫分式方程。
追问：分式方程与整式方程有何区别？
小结：分式方程中含有分式，即分母中含有未知数的方程；整式方程是指方程的左右 两边都是整式，不含有分式。
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巩固新知
1．解分式方程 x 2 3 ，去分母后的结果是( )
运用新知
例4 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 追问1：工程问题中有哪几个基本量，其关系是什么？通常把工作总量看作多少？ 追问2：由题意可知，甲队的工作效率是多少？若设乙队独做x天完成，则乙队的工作 效率是多少？ 追问3：此题中的等量关系是什么？你能用题中的一句话或一个等式来表示吗？ 追问4：工程类问题常用的等量关系是什么？
x2
x2
A．x＝2＋3
B．x＝2(x－2)＋3
C．x(x－2)＝2＋3(x－2) D．x＝3(x－2)＋2
答案：B
2．解下列方程：(1)
x
1 5
10 x2 25
7
1
6
；(2)
x2
x x2
x x2
x。
答案：(1)无解；(2)x＝3。
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此方程中含有分式，即方程的分母中含有未知数，而整式方程的左右两边都是整式。 归纳：分式方程的概念：像这样 分母中含有未知数的方程 叫分式方程。
追问：分式方程与整式方程有何区别？
小结：分式方程中含有分式，即分母中含有未知数的方程；整式方程是指方程的左右 两边都是整式，不含有分式。
分式方程课件(公开课)
4
课堂作业课本：第29页练习（2）（4）
家庭作业：练习册上相应的练习
(3) x x 5
2
(2) x 2 y 5
x x 1 ( 4) 1 2 3
4. 请解3中的第(4)个方程.
一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时,
它以最大航速顺流航行100千米所用时间,与以最
大航速逆流航行60千米所用时间相等,海水的流
速为多少?
解:设海水的流速为 v 千米/时，根据题意，得
100 60 20 v 20 v
100 60 20 v 20 v
分母中含未知数
x x 1 1 2 3
思考：
分式方程的特征是什么？
100 60 20 v 20 v
像这样，分母里含有未知数的方程 叫做分式方程。 以前学过的分母里不含有未知数的 方程叫做整式方程。
答：八（1）班每位平均每位同学捐了3本，（2）班每位同学捐 了6本儿童读物。
150( x 3) 300x x 解得： 3 经检验 x 3 是原分式方程的解， 则x 3 6
下列说法中错误的是（ A ） （A）分式方程的解等于0，就说明这个分式方程无解 （B）解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式 方程 （C）检验是解分式方程必不可少的步骤 （D）能使分式方程的最简公分母等于零的未知数的值 不是原分式方程的解．
v5 v 5 代入分式方程，左边=4=右 v 5 是原分式方程的解。
在解分式方程的过程中体现了一个非常重要的数 学思想方法：转化的数学思想（化归思想）。
1 10 解分式方程： 2 x 5 x 25
方程两边同乘以最简公分母 ( x 5)(x 5) ，得：
《分式方程》分式PPT优秀课件
90 60 30 v 30 v
v6
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
思考 某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶 s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均
速度为多少? 路程= 速度·时间
路程
提速前 s
提速后 s+50
表达问题时，用字 母不仅可以表示未 知数(量) ，也可以 表示已知数(量).
找相等关系.
1
1
3
6
甲队施工1个月的工程量+甲队施工半个月的工程量
+乙队施工半个月的工程量=总工程量(记为1).
1 2x
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成
总工程的 1 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总 3
15.3 分式方程
学习目标
1.会列分式方程解决实际问题；
分 式
2.能根据题意找出正确的等量关系，列出分式方程并求解，会根据实
方
际意义验证结果是否合理；
程 的
3.通过分式方程的应用学习，培养学生的数学应用意识，提高分析问
应
题解决问题的能力；
用
4.通过解决实际问题，使学生感受到数学知识能够解决生活中的问题，
提升学生对数学的热爱.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
回顾
一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速 沿江顺流航行90 km所用的时间，与以最大航速逆流航行 60 km所用的时间相等，则江水的流速为多少？
V顺水= V船速+ V水速 V逆水= V船速 – V水速 路程= 速度·时间 S= v·t
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0时，分式方程无实根。
适用于分子、分母均为二次多项式的分 式方程。
因式分解法
将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。 因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03
分式方程应用举例
工程问题
工作总量 = 工作时间 × 工作 效率
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作 效率
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作 时间
举例：一项工程，甲单独做需 要20天完成，乙单独做需要30 天完成。如果两人合作，需要 多少天完成？
行程问题
速度 = 路程 ÷ 时间
举例：甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开 往乙地，每小时行驶60千米。问这辆汽车需要多少小
方程的解。
04
对于第三个练习题，找到公共分母$x^2-1$，两边乘 以公共分母，得到整式方程$(x+1)(x-1)-4=x^2-1$， 解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
THANKS
感谢观看
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目 录
• 分式方程基本概念 • 分式方程解法 • 分式方程应用举例 • 分式方程与实际问题结合 • 分式方程求解技巧与注意事项 • 分式方程练习题与答案解析
01
分式方程基本概念
分式方程定义
分式方程是指分母里含有未知数 的有理方程。
分式方程是方程中的一种，且分 母里含有未知数的（有理）方程
之几？
经济问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进 价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)
进价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)
适用于分子、分母均为二次多项式的分 式方程。
因式分解法
将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。 因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03
分式方程应用举例
工程问题
工作总量 = 工作时间 × 工作 效率
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作 效率
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作 时间
举例：一项工程，甲单独做需 要20天完成，乙单独做需要30 天完成。如果两人合作，需要 多少天完成？
行程问题
速度 = 路程 ÷ 时间
举例：甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开 往乙地，每小时行驶60千米。问这辆汽车需要多少小
方程的解。
04
对于第三个练习题，找到公共分母$x^2-1$，两边乘 以公共分母，得到整式方程$(x+1)(x-1)-4=x^2-1$， 解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
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目 录
• 分式方程基本概念 • 分式方程解法 • 分式方程应用举例 • 分式方程与实际问题结合 • 分式方程求解技巧与注意事项 • 分式方程练习题与答案解析
01
分式方程基本概念
分式方程定义
分式方程是指分母里含有未知数 的有理方程。
分式方程是方程中的一种，且分 母里含有未知数的（有理）方程
之几？
经济问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进 价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)
进价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)
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④结论 ：确定分式方程的解.
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1、你学到了哪些知识？ 要注意什么问题？
2、在学习的过程 中 你有什么体会？
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作业
课本《黄冈经典教程练与测》 16.3分式方程
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所以,x=4是原方程的根.
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探究分式方程的解法
2、归 纳 上述解分式方程的过程，实质上是将
方程的两边乘以同一个整式，约去分母， 把分式方程转化为整式方程来解.所乘的 整式通常取方程中出现的各分式的最简公 分母.
请动手做一做：
12 解方程：
x 1 x 1 2 精选ppt课件
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探究分式方程的解法
1、思 考 ： 怎样解分式方程呢？
100 60 v20 20v
1）、回顾一下一元一次方程时是怎么去分母 的，从中能否得到一点启发？
2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它 转化为整式方程呢？
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温故知新 例题讲解
x 1 x
17
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3、解分式方程一般需要哪几个步骤?
①去分母，化为整式方程：
⑴把各分母分解因式;
⑵找出各分母的最简公分母;
⑶方程两边各项乘以最简公分母;
②解整式方程. ③检验.
必须检验
把未知数的值代入最简公分母，看结果是不 是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根； 若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须 舍去
《分式方程》分式PPT课件 (共18张PPT)
X(x―3)
X2-1=0
时,
3 x2 3、分式 2( x 3)与 x 2 3x 的最简公分母 是 2X(x―3) .
解分式方程
例1 解分式方程
x11 x1 2
分式方程
解: 方程的两边同乘以最简公分母2(x＋1), 转 ● ● ● ● ● 化 x 1 1 得 2(x＋1) · x1 2 · 2(x＋1) 整式方程 ① 化简,得整式方程 2(x－1)=x＋1
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整 式方程的过程中出现的不适合于原方 · · · · · · 程的根. · · · 使分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根, · · · · 而不是分式方程的根. · · · ·
练 x(x 2) 解 : 方程两边同乘以最简公分母 , 一 2+ x -6=0 或x(x+1)-6=0 x 化简 , 得 . 练① ② 解得 x1= -3 , x2= 2 . ③ 检验:把x1= -3,代入最简公分母,
概 念 观察下列方程： 一元一次方程
1、2(x－1)=x＋1;
一元二次方程
x2＋x-20=0;
x+2y=1…
整式方程: 方程两边都是整式的方程.
1 x 1 1 1 1 x 1 5 x 9 x 0 ; ; 1 ; 2、 y 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1
· · · · · · · · · x(x-2)=-3(-3-2)= 15 ≠0; 把x2= 2 ,代入最简公分母,
x 1 6 0 (填空)1、解方程: x 2 2 x 2 x
7
x(x-2)= 2(2-2) =0
X2-1=0
时,
3 x2 3、分式 2( x 3)与 x 2 3x 的最简公分母 是 2X(x―3) .
解分式方程
例1 解分式方程
x11 x1 2
分式方程
解: 方程的两边同乘以最简公分母2(x＋1), 转 ● ● ● ● ● 化 x 1 1 得 2(x＋1) · x1 2 · 2(x＋1) 整式方程 ① 化简,得整式方程 2(x－1)=x＋1
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整 式方程的过程中出现的不适合于原方 · · · · · · 程的根. · · · 使分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根, · · · · 而不是分式方程的根. · · · ·
练 x(x 2) 解 : 方程两边同乘以最简公分母 , 一 2+ x -6=0 或x(x+1)-6=0 x 化简 , 得 . 练① ② 解得 x1= -3 , x2= 2 . ③ 检验:把x1= -3,代入最简公分母,
概 念 观察下列方程： 一元一次方程
1、2(x－1)=x＋1;
一元二次方程
x2＋x-20=0;
x+2y=1…
整式方程: 方程两边都是整式的方程.
1 x 1 1 1 1 x 1 5 x 9 x 0 ; ; 1 ; 2、 y 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1
· · · · · · · · · x(x-2)=-3(-3-2)= 15 ≠0; 把x2= 2 ,代入最简公分母,
x 1 6 0 (填空)1、解方程: x 2 2 x 2 x
7
x(x-2)= 2(2-2) =0
《分式方程》PPT教学课文课件
为多少?
【分析】这里的字母，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为 /ℎ,那么提速前列车行驶s
s
所用时间为________ℎ，
s + 50
提速后列车的平均速度为______
/ℎ,
+ 50
50)所用时间为___________ℎ。
+
提速后列车行( +
根据行驶时间的等量关系可以列出方程。
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
+
提速后它行驶( +
根据行驶时间的等量关系，得
方程两边乘( + )，得
+ 50
=
+
( + ) = ( + 50)
解：方程两边乘( − 1)( + 2),得
( + 2) − ( − 1)( + 2) = 3
解得
=1
检验，当 = 1时，( − 1)( + 2) = 0,
因此 = 1不是原方程的解。
所以，原分式方程无解。
归纳
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程
去分母
目标
x= a
最简公分母不为0
分母)。方程①两边乘 (30 + )(30 − ) ，得到整式方程，它的解 =6。
当=6时，(30 + )(30 − ) ≠ 0，这就是说，去分母时，①两边乘了
同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同。
【分析】这里的字母，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为 /ℎ,那么提速前列车行驶s
s
所用时间为________ℎ，
s + 50
提速后列车的平均速度为______
/ℎ,
+ 50
50)所用时间为___________ℎ。
+
提速后列车行( +
根据行驶时间的等量关系可以列出方程。
解析
解： 设提速前这次列车的平均速度为 /ℎ，则提速前它行驶
所用时间为 h；提速后列车的平均速度为( + ) /ℎ ，
+50
50) 所用时间为
+
提速后它行驶( +
根据行驶时间的等量关系，得
方程两边乘( + )，得
+ 50
=
+
( + ) = ( + 50)
解：方程两边乘( − 1)( + 2),得
( + 2) − ( − 1)( + 2) = 3
解得
=1
检验，当 = 1时，( − 1)( + 2) = 0,
因此 = 1不是原方程的解。
所以，原分式方程无解。
归纳
解分式方程的一般步骤如下：
分式方程
去分母
目标
x= a
最简公分母不为0
分母)。方程①两边乘 (30 + )(30 − ) ，得到整式方程，它的解 =6。
当=6时，(30 + )(30 − ) ≠ 0，这就是说，去分母时，①两边乘了
同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同。
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（7） 2x 1 3x 1 x
(（22)） 1 3 x2 x
（(53）) 3 x x
2
（3）
4 x
3 y
7
（（65））x 1 2 x
解：（2）（3）（6）（7）为分式方程。
方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分 母中是否含有未知数。
学以致用，明晰概念
变式练习1：根据你对分式方程的理解，你能写出一个 分式方程吗？
出几个？
(1 25%)x 12, 12 1 25%, x 12 ,
x
1 25%
x 12 25%, x 12 25% x,
x
？ 观察：请问这些方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 思考：你能找出这些整式方程与分式方程之间的联系吗？
反思总结，内化概念
学生反思
本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？ 分式方程是怎样产生的？列分式方程基本步骤是什么？ 你认为接下来还可以研究什么？
第五章 分式与分式方程
分式方程（一）
授课老师
创设情境，感知概念
双流中学实验学校
情境引入，感知概念
问题情境1：家距离超 市3000米，去超市可 以骑共享单车和步行两 种方式。骑车的速度比 步行快240米/分，因 此节约5分钟到达。请 问骑车的速度是多少？
在这个问题中涉及哪几个量？哪
1、审题：
些是已知量，哪些是未知量？
(4) x( x 1) 1 x
方法总结:根据定义判断一个方程是不是分式方程, 应该看原方程,而不是化简后的方程.
变式练习2：根据指定的分式方程，你能编一个满足该 方程的实际应用题吗？
联系生活，应用概念
例2、甲种小番茄12元/kg，比上一次单价降低了25%。
设上一次单价为x元/kg，请你写出x满足的方程，你能写
在这个问题中存在哪些等量关
2、分析：
系？你能表示出来吗？
若设步行的速度为x米/分 ,你
3、列方程：
能快速列出x应满足的方程吗?
情境引入，感知概念
步行
4
路 程 3000
如果你还不能解决上述问题， 那就请大家填一填表格：
速度
x
时间
3000 x
5
你能根据表格列出相应的方程吗？
骑车
3000
x 240
3000 x 240
教师总结
分式方程是刻画现实生活的又一数学模型。
在概念的形成过程中体现了具体到抽象，特殊到 一般和一般到特殊的研究思想。
课后探究
完成课本：习题 5.7：1、2、3题。
感谢聆听
授课老师
观察黑板上所列出的方程，思考并回答以下问题：
这些方程有什么共同特征？
问题1
它们与我们学过的一元一次方程 在结构上有什么不同？
你能为这些方程取一 个名字吗？
问题3
问题2
概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程
学以致用，明晰概念
例1、下列方程中，哪些是分式方程？
（1(）1) x 2 x 23
（（46））2x x 1 10 5
6
你还能设其他的量为x吗？并能得到相应的方程吗？
情境引入，感知概念
02 问题情境2： 超市有甲乙两种小番茄，其中甲种小番茄比乙种贵
2元/kg, 如果要将56元全部用来买其中一种小番茄， 购买甲种小番茄比乙种少买0.5kg，设乙种小番茄的 单价为x，那么x应该满足怎样的方程？
合作完成 所列方程式为：56 56 0.5 x x2
情境引入，感知概念
02 问题情境3：
第一次给了他30个小番茄平均分给大家，后来发现
他自己没有分到，第二次给了他40个再平均分，这次每
个人都分到了，并且两次每个人分得的数量恰好相等。
如果设第一次分得小番茄的人数为 x，那么x满足怎样
的方程？
独立完成
所列方程为：30 40 x x 1
特征识别，建构概念
(（22)） 1 3 x2 x
（(53）) 3 x x
2
（3）
4 x
3 y
7
（（65））x 1 2 x
解：（2）（3）（6）（7）为分式方程。
方法总结:判断一个方程是否为分式方程，主要是看分 母中是否含有未知数。
学以致用，明晰概念
变式练习1：根据你对分式方程的理解，你能写出一个 分式方程吗？
出几个？
(1 25%)x 12, 12 1 25%, x 12 ,
x
1 25%
x 12 25%, x 12 25% x,
x
？ 观察：请问这些方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 思考：你能找出这些整式方程与分式方程之间的联系吗？
反思总结，内化概念
学生反思
本节课研究了哪些内容？我们是怎样研究的？ 分式方程是怎样产生的？列分式方程基本步骤是什么？ 你认为接下来还可以研究什么？
第五章 分式与分式方程
分式方程（一）
授课老师
创设情境，感知概念
双流中学实验学校
情境引入，感知概念
问题情境1：家距离超 市3000米，去超市可 以骑共享单车和步行两 种方式。骑车的速度比 步行快240米/分，因 此节约5分钟到达。请 问骑车的速度是多少？
在这个问题中涉及哪几个量？哪
1、审题：
些是已知量，哪些是未知量？
(4) x( x 1) 1 x
方法总结:根据定义判断一个方程是不是分式方程, 应该看原方程,而不是化简后的方程.
变式练习2：根据指定的分式方程，你能编一个满足该 方程的实际应用题吗？
联系生活，应用概念
例2、甲种小番茄12元/kg，比上一次单价降低了25%。
设上一次单价为x元/kg，请你写出x满足的方程，你能写
在这个问题中存在哪些等量关
2、分析：
系？你能表示出来吗？
若设步行的速度为x米/分 ,你
3、列方程：
能快速列出x应满足的方程吗?
情境引入，感知概念
步行
4
路 程 3000
如果你还不能解决上述问题， 那就请大家填一填表格：
速度
x
时间
3000 x
5
你能根据表格列出相应的方程吗？
骑车
3000
x 240
3000 x 240
教师总结
分式方程是刻画现实生活的又一数学模型。
在概念的形成过程中体现了具体到抽象，特殊到 一般和一般到特殊的研究思想。
课后探究
完成课本：习题 5.7：1、2、3题。
感谢聆听
授课老师
观察黑板上所列出的方程，思考并回答以下问题：
这些方程有什么共同特征？
问题1
它们与我们学过的一元一次方程 在结构上有什么不同？
你能为这些方程取一 个名字吗？
问题3
问题2
概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程
学以致用，明晰概念
例1、下列方程中，哪些是分式方程？
（1(）1) x 2 x 23
（（46））2x x 1 10 5
6
你还能设其他的量为x吗？并能得到相应的方程吗？
情境引入，感知概念
02 问题情境2： 超市有甲乙两种小番茄，其中甲种小番茄比乙种贵
2元/kg, 如果要将56元全部用来买其中一种小番茄， 购买甲种小番茄比乙种少买0.5kg，设乙种小番茄的 单价为x，那么x应该满足怎样的方程？
合作完成 所列方程式为：56 56 0.5 x x2
情境引入，感知概念
02 问题情境3：
第一次给了他30个小番茄平均分给大家，后来发现
他自己没有分到，第二次给了他40个再平均分，这次每
个人都分到了，并且两次每个人分得的数量恰好相等。
如果设第一次分得小番茄的人数为 x，那么x满足怎样
的方程？
独立完成
所列方程为：30 40 x x 1
特征识别，建构概念