6.3 等比数列及其前n项和讲义(无解析)

6.3 等比数列及其前n 项和

1．等比数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q __表示．

2．等比数列的通项公式

设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －

1. 3．等比中项

若a 、b 、c 三个数成等比，那么b 2=ac ，且c 叫做a 与b 的等比中项．

4．等比数列的常用性质

(1)若{a n }为等比数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .

(3)若{a n }是等比数列，序号m ＋n ＝2k ，则a m ·a n ＝a k 2

5．等比数列的前n 项和公式

等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，

当q ＝1时，S n ＝na 1；

当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q

6．等比数列前n 项和的性质

公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __.

题型一 等比数列基本量的运算

例1 （1）【2015课标2理4】已知等比数列满足a 1=3， =21，

则 ( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84

（2）(2015·新课标全国Ⅱ，文9)已知等比数列{a n }满足a 1＝14

，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( ) A.2 B.1 C.12 D.18

（1）【2015湖南理14】设为等比数列的前项和，若，且，，成等差数列，则.

（2）(2015·新课标全国Ⅰ，文13)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n

，

S n 为{a n }的前n 项和.若S n ＝126，{}n a 135a a a ++357a a a ++=n S {}n a n 11a =13S 22S 3S n a =

2 则n ＝________.

（3）【2014江苏，理7】在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是.

题型二 等比数列的性质及应用

例2 （1）【2015高考安徽，理14】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于.

(2)(2014·大纲全国，10)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( )

A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

（1）(2014·广东，13)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________．

（ 2）(2012·安徽，4)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 题型三 等比数列的判定与证明

例3（1）(2014·新课标全国Ⅱ，理17)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.

(1)证明⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32

.

（2）（2016年全国III 高考）已知数列的前n 项和，其中．

（I ）证明是等比数列，并求其通项公式；

（II ）若 ，求．

设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.

(1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；

(2)求数列{a n }的通项公式．

{}n a 21a =8642a a a =+6a {}n a 14239,8a a a a +=={}n a n {}n a 1n n S a λ=+0λ≠{}n a 53132S =λ