数学模型复习题讲解

数学模型复习题

1、)(t x 为连续函数，初值条件0)0(x x =，假设其增长率为常数r ，显然有

t t rx t x t t x ∆=-∆+)()()(，则其满足微分方程 ；微分方程满足

初值条件的解为 ；这个模型称为 。

2、叙述数学建模的一般步骤

模型准备、模型假设、模型构成、模型求解、模型分析、模型检验、模型应用

3、简述数学模型按以下方面的分类：

按应用领域可分为：人口、交通、能源、环境、经济、规划等等； 按建立模型的数学方法可分为：初等数学模型、几何模型、微分方程模型、统计回归模型、数学规划模型等等；

按模型的表现特征可以分为：确定性和随机性、线性和非线性、静态和动态、连续与离散等等

4、在超市购物时你可能注意到大包装商品比小包装商品便宜，比如中华牙膏65g 每支2.5元，120g 每支3.8元，二者单位重量的价格比约为1.21：1。

（1）分析商品单位重量价格C 与商品重量w 的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本所决定，这些成本中有的与体积成正比、有的与表面积成正比、有的与体积（重量w ）无关。

（2）给出单位重量价格C 与w 的关系，画出它们的简图。说明w 越大C 越小，但是随着w 的增加C 减小的速度变慢，解释其意义是什么？

5、2005级新生入学后，统计与应用数学学院共有在校学生1050人，其中统计学专业600人，信息与计算科学专业400人，数学与应用数学专业50人。要在全院推选23名学生组成学生代表团，试用下面的方法分配各专业的学生代表：

（1）按比例分配取整的方法，剩下的名额按惯例分配给小数部分较大者； （2）用Q 值方法进行分配

6、工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用。设在一个生产周期T 内，原料每天的需求量为常数r ，每次的定货费用为1c ，每天每单位原料的存储费为

2c ，订货后可立即到货，每次订货量为Q 。

（1）建立一周期的总费用函数（包括订货费与库存费，购货费是常数可不予考虑）；

（2）为使每天的平均费用最小，求最佳订货批量Q 、订货周期T 和最小成本C 。

7、一饲养场每天投入4元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头80公斤重的生猪每天体重增加2公斤。目前生猪的出售价格为每公斤8元，但是预测价格每天降低0.1元。

（1）问该饲养场应该在什么时候出售这样的生猪最划算？

（2）在最佳出售时机的价格之下，作体重增加关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；

（3）在最佳出售时机的价格之下，作价格的降低关于时间的弹性分析，并对弹性分析作出相应的解释；

8、利润)(p U 是销售收入)(p I 与生产支出)(p C 之差，p 为每单位商品的售价，即)()()(p C p I p U -=。

dp dI 称为 ；dp dC 称为 ；dp

dU

称为 ；利润最大化的条件是 。

给定px p I =)(，qx p C =)(，需求函数bp a p x -=)(，0,,>q b a 已知 （1）建立利润函数的表达式；

（2）利用上述条件求利润最大化时的价格。

9、消费者对甲、乙两种商品的效用曲线（无差异曲线）),(21q q U ，问他如何利用手中的钱s 购买两种单价分别为1p 和2p 的商品以达到效用最大。

（1）建立效用最大化的数学规划模型；

（2）利用Lagrange乘数法求出利润最大化的条件，并对结果进行解释。

10、某公司用木头雕刻士兵模型出售。公司的两大主要产品分别是“盟军”和“联军”士兵，每件利润分别是28美元和30美元。制作一个“盟军”士兵需要使用2张木版，花费4小时的木工，再经过2小时的整修；制作一个“联军”士兵需要使用3张木版，花费3.5小时的木工，再经过3小时的整修。该公司每周能得到100张木版，可供使用的木工（机器时间）为120小时，整修时间为90小时。

（1）确定每种士兵的生产数量，使得每周的利润最大，建立线性规划问题的数学模型。

（2）对于你建立的线性规划模型，利用LINDO6.0求解结果如下：

请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束条件右断的常数项），并作出解释。

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 1

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 972.0000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 9.000000 0.000000

X2 24.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 10.000000 0.000000

3) 0.000000 4.800000

4) 0.000000 4.400000

NO. ITERATIONS= 1

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 28.000000 6.285715 8.000000

X2 30.000000 12.000000 5.500000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASE

2 100.000000 INFINITY 10.000000

3 120.000000 60.000000 14.999999

4 90.000000 10.000000 30.000000

11、牧场主知道，对于一匹体型中等的马来说，最低的营养需求为：40磅蛋白质、20磅碳水化合物、45磅粗饲料，这些营养成分是从不同的饲料中得到

对于你建立的线性规划模型，利用LINDO6.0求解结果如下：

请你进行对偶价格分析和进行全面的灵敏度分析（目标函数的系数和约束

条件右断的常数项），并作出解释。

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 17.00000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 5.000000 0.000000

X2 0.000000 1.500000

X3 20.000000 0.000000

X4 0.000000 0.100000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 2.500000 0.000000

3) 0.000000 -0.400000

4) 0.000000 -0.200000

NO. ITERATIONS= 3

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASE

X1 1.800000 0.200000 0.200000

X2 3.500000 INFINITY 1.500000

X3 0.400000 0.046875 0.040000

X4 1.000000 INFINITY 0.100000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE