图灵机模型及数据编码
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图灵机的思想与模型简介
0110101
程 序
通用机器
…10001110110
输入
由“程序”控制， 一步步将输入 “转换”为输出
10001…
输出
0110101
图灵机的思想
是关于数据、指令、程序及程序/指令自动执行的基本思想。
输入被制成一串0和1的纸带，送入机器中----数据。如00010000100011… 机器可对输入纸带执行的基本动作包括：“翻转0为1”，或 “翻转1为0”, “前移一 位”, “停止”。 对基本动作的控制----指令，机器是按照指令的控制选择执行哪一个动作，指令也可以 用0和1来表示：01表示“翻转0为1”(当输入为1时不变)，10表示“翻转1为0”(当输入0时 不变), 11表示“前移一位”, 00表示“停止”。 输入如何变为输出的控制可以用指令编写一个程序来完成, 如: 011110110111011100… 机器能够读取程序，按程序中的指令顺序读取指令， 读一条指令执行一条指令。由此实现自动计算。
冯.诺依曼计算机：机器级程序及其执行 2.2.1 图灵机的思想与模型简介
图灵机的思想与模型简介
----图灵的贡献 ----图灵机：计算机的理论模型 ----指令、数据、程序与程序执行
图灵是谁?
图灵及其贡献
图灵(Alan Turing, 1912~1954)，出生于英国伦敦，19 岁入
剑桥皇家学院，22 岁当选为皇家学会会员。 1937 年，发表了论文《论可计算数及其在判定问题中的应 用》，提出了图灵机模型，后来，冯〃诺依曼根据这个模型设 计出历史上第一台电子计算机。
图灵机解决不了的问题任何算法也解决不了----图灵可计算性问题。
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过三第一组全体成员！
图灵机
40
Another Turing Machine Example
Turing machine for the language
{a b }
n n
y y, R
q4
, L
y y, R a a, R
q1
y y, L a a, L
q2
41
q3
y y, R
q0
a x, R
26
Turing Machine Example
A Turing machine that accepts the language:
aa *
a a, R , L
q0
q1
27
Time 0
a a a
q0
a a, R , L
q0
q1
28
Time 1
a a a
q0
a a, R , L
q0
q1
29
Time 2
a a a
q0
a a, R , L
q0
q1
30
Time 3
a a a
q0
a a, R , L
q0
q1
31
Time 4
a a a
q1
a a, R
Halt & Accept
q1
y y, L a a, L
q2
48
q3
y y, R
q0
a x, R
b y, L
x x, R
Time 7
x x y b
q1
y y, R
基本图灵机及图灵机构造技术
并一定停机. 如果没有特别指出，总是假定图灵机到达终态（接受态）
后一定停机. 但是 ，对不能接受的字符串，图灵机可能永不停止.（只
要M还在某个输入上运行，我们无法知道是因为运行的时间不 够长而没有被接受，还是根本就不会停机）
8
图灵机举例
例1：设语言 L={an bn│n>=1}，设计图灵机接受L 。 思路：最初带上为 a a … a b b… b B B B ……
X1X2…Xi-1 q XiXi+1…Xn ├M X1X2…Xi-1Y p Xi+1…Xn ，
但有如下两个例外 ： （1）i=n时， X1X2…Xn-1q Xn ├M X1X2…Xn-1Y p B ，和 （2）i=1及 Y=B 时， q X1X2…Xn├M B p X2…Xn-1Xn.
6
图灵机接受的语言
如果f（i1,i2…,ik）对所有i1,i2…,ik有定义, 那么称f是一个全递归
函数。全递归函数对应于递归语言，因为它总是被能停下来的 图灵机所计算。 所有常用的整数算术函数都是全递归函数。
13
例3：设计图灵机求真减法
mn0mn
mn mn
初始带 0m 1的0
q
5
B/B,L
0 / #,R q
1
0 / X,R
q
q
2
3
X /X,R
B/B,R q
reject
B/B,R q
accept
0 /0,R
0 / X,R
q
4
X /X,R
识别 L= 0 m m=2n, n 0的图灵机
17
课堂练习
设计一个状态数不超过3的图灵机，它能够接受语 言L=a(a+b)* ，若假定T={a,b},两个状态的图灵机 能否接受该语言？
后一定停机. 但是 ，对不能接受的字符串，图灵机可能永不停止.（只
要M还在某个输入上运行，我们无法知道是因为运行的时间不 够长而没有被接受，还是根本就不会停机）
8
图灵机举例
例1：设语言 L={an bn│n>=1}，设计图灵机接受L 。 思路：最初带上为 a a … a b b… b B B B ……
X1X2…Xi-1 q XiXi+1…Xn ├M X1X2…Xi-1Y p Xi+1…Xn ，
但有如下两个例外 ： （1）i=n时， X1X2…Xn-1q Xn ├M X1X2…Xn-1Y p B ，和 （2）i=1及 Y=B 时， q X1X2…Xn├M B p X2…Xn-1Xn.
6
图灵机接受的语言
如果f（i1,i2…,ik）对所有i1,i2…,ik有定义, 那么称f是一个全递归
函数。全递归函数对应于递归语言，因为它总是被能停下来的 图灵机所计算。 所有常用的整数算术函数都是全递归函数。
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例3：设计图灵机求真减法
mn0mn
mn mn
初始带 0m 1的0
q
5
B/B,L
0 / #,R q
1
0 / X,R
q
q
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X /X,R
B/B,R q
reject
B/B,R q
accept
0 /0,R
0 / X,R
q
4
X /X,R
识别 L= 0 m m=2n, n 0的图灵机
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课堂练习
设计一个状态数不超过3的图灵机，它能够接受语 言L=a(a+b)* ，若假定T={a,b},两个状态的图灵机 能否接受该语言？
图灵机计算机的理论模型
图灵机——计算机的理论模型
机器的程序是五元组｛Si , X , Y , L(R或N) , Sj｝形式的指 令集，定义了机器在一个特定状态下读入一个特定字符时所 采取的动作。 五个元素的含义如下：
①Si 表示机器当前的状态；
②X 表示机器从方格中读入的内容，也即当前内容； ③Y 表示机器用来代替X 写入方格中的内容； ④L、R、N 分别表示左移一格、右移一格和不移动； ⑤Sj 表示机器下一步的状态。
图灵机——计算机的理论模型
图灵机的计算开始于初始状态，设为S0，终止于停止（HALT）状态，设为SH。 例: 设计能够实现“a+1”运算的图灵机，计算完成后要求读写头回到原位。
图灵机进行“a+1”运算的控制规则表
输入
当前状态 （Si） S0 S1 S1 S1 S2 S2 S2 S3 S3 S3 S4 当前内容 （X ） b 0 1 b 0 1 b 0 1 b 任意 重写的新内容 （Y） b 1 0 b 1 0 1 0 1 b b
英国科学家阿兰.图灵 （1912-1954）
图灵证明，只有图灵机能解决的 计算问题，实际计算机才能解决。
“图灵奖”是美国计算机协会于1966年设立的。
什么是图灵机？ 图灵机由一条无限长的纸带、读/写头及控制
器构成。
图灵机模型
控制器内包括控制规则表，它能够通过读/写头对纸带上 的符号进行读或写，读写头可以在纸带上左右移动。 纸带分成了一个个的小方格，每个方格中可以记录机器 字母表里的符号，如0或1等。
பைடு நூலகம்输出
读写头移动方向 （L，R或N） L R L R R L L R R N R 进入的新状态 （Sj） S1 S3 S2 SH S3 S2 S4 S3 S3 SH S3
计算模型图灵机课件
图灵机为计算机安全领域提供了理论 基础，如分析病毒、黑客攻击等。
04
图灵机的启示
对人工智能的影响
1 2
奠定人工智能理论基础
图灵机作为计算模型，为人工智能领域提供了理 论基础，推动了人工智能的发展。
启发机器学习算法
图灵机的计算原理启发了众多机器学习算法，如 神经网络、深度学习等。
3
强化智能系统设计
特点
非确定型图灵机具有更高的计算能力，可以模拟更复杂的算法和问 题。
应用
非确定型图灵机在理论计算机科学中有着重要的地位，例如在自动 机理论和形式语言等领域中的应用。
概率图灵机
定义
概率图灵机是一种能够进行概率计算的图灵机模型，即机器在执行 操作时具有一定的概率分布。
特点
概率图灵机可以模拟随机过程和不确定性，适用于处理概率性和统 计性的问题。
05
图灵机的扩展
多带图灵机
定义
多带图灵机是指具有多个磁带，并且每个磁带都可以独立进行读 写操作的图灵机。
特点
多带图灵机可以同时处理多个任务，提高了计算效率和并行处理 能力。
应用
多带图灵机在计算机科学和人工智能领域中有着广泛的应用，例 如并行算法、分布式计算和云计算等。
非确定型图灵机
定义
非确定型图灵机是指具有不确定性的计算模型，即存在多个可能的 计算路径，但最终都能得到正确的结果。
计算模型图灵机课 件
contents
目录
• 图灵机简介 • 图灵机的工作原理 • 图灵机的应用 • 图灵机的启示 • 图灵机的扩展
01
图灵机简介
图灵机的发明者
01
图灵机的发明者是英国数学家阿 兰·图灵（Alan Turing），他在 1936年提出了图灵机的概念。
图灵机的思想与模型简介
0110101
程 序
通用机器
…10001110110
输入
由“程序”控制， 一步步将输入 “转换”为输出
10001…
输出
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图灵机的思想
是关于数据、指令、程序及程序/指令自动执行的基本思想。
输入被制成一串0和1的纸带，送入机器中----数据。如00010000100011… 机器可对输入纸带执行的基本动作包括：“翻转0为1”，或 “翻转1为0”, “前移一 位”, “停止”。 对基本动作的控制----指令，机器是按照指令的控制选择执行哪一个动作，指令也可以 用0和1来表示：01表示“翻转0为1”(当输入为1时不变)，10表示“翻转1为0”(当输入0时 不变), 11表示“前移一位”, 00表示“停止”。 输入如何变为输出的控制可以用指令编写一个程序来完成, 如: 011110110111011100… 机器能够读取程序，按程序中的指令顺序读取指令， 读一条指令执行一条指令。由此实现自动计算。
0,1,L 1,1,L S4 0,0,N S3
(S2,0,1,L,S3)
0 0 1 1 1 1 0 0 0 (S3,1,1,L,S3) 0 0 1 1 1 1 1 0 0
0 0 1 1 1 1 0 0 0
S1：开始状态 S2：右移状态 S3：左移状态 S4：停机状态
功能：将一串1的后面再加一位1
(S3,0,0,N,S4)
图灵机解决不了的问题任何算法也解决不了----图灵可计算性问题。
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0 0 1 1 1 1 1 0 0
几点结论(续):
(3)图灵机模型被认为是计算机的基本理论模型 ----计算机是使用相应的程序来完成任何设定好的任务。图灵机是一种离散的、有 穷的、构造性的问题求解思路，一个问题的求解可以通过构造其图灵机(即程
计算机科学中的计算模型
计算机科学中的计算模型计算机科学是一门极具挑战性的学科，在推进人类新技术和新思想上起着重要作用。
计算机科学的一个核心问题就是如何处理信息。
为了解决这个问题，人们发明了各种计算模型。
计算模型是指用来描述计算机系统中可进行的计算的方式和规则。
在本文中，我们将会简要地探讨一些计算模型。
1. 图灵机图灵机，是由英国数学家阿兰·图灵 (Alan Turing) 于20世纪30年代发明的一种机器模型。
图灵机是一种抽象机器，由一个无限长的纸带、一个读写头和一些程序控制器组成。
纸带上可以写有限个符号，读写头可以读取或改变纸带上的符号，程序控制器根据读写头所在的位置及当前的符号来控制下一步的操作。
图灵机被认为是通用的计算模型，这就意味着所有计算机都可以使用图灵机来模拟。
2. 基于状态转移的模型状态转移模型是另一种广泛使用的计算模型。
这个模型把计算看作状态的一系列转移。
它主要有两个组成部分：状态集合和状态转移函数。
状态集合是计算机所能具有的状态的集合，状态转移函数是描述一种状态下，如何从输入到输出的所有可能性的函数。
状态转移模型被广泛应用，在机器学习和人工智能领域有着广泛的应用。
3. 并行计算模型另一种重要的计算模型是并行计算模型。
它允许多个计算单元同时工作，以加速计算。
这种模型增加了并行性，对于处理大规模数据和高效计算非常有用。
在实际计算中，多处理器系统常用并行计算模型解决计算问题。
4. 量子计算模型近年来，随着量子计算的发展，量子计算模型变得越来越重要。
相比传统的计算模型，量子计算模型可处理的计算复杂度更高，解决的问题更加优秀。
量子计算模型的核心是量子比特和量子门。
量子比特可以用来存储量子信息，量子门可以运用量子比特进行计算。
不同于传统的计算机体系结构，量子计算机是基于量子力学理论建立的，处理信息的方式也与传统计算机不同。
总结计算模型是计算机科学中的重要组成部分，它有助于我们理解计算机如何进行处理。
在计算机科学中，图灵机、状态转移模型、并行计算模型和量子计算模型是历史上四个重要的计算模型。
图灵机介绍
我们可以构造出一个特殊的图灵机，它接受任意一个图灵机M的编码，然后模拟M的运作，这样的图灵机称为通用图灵机(UniversalTuringMachine）。现代电子计算机其实就是这样一种通用图灵机的模拟，它能接受一段描述其他图灵机的程序，并运行程序实现该程序所描述的算法。但要注意，它只是模拟，因为现实中的计算机的存储都是有限的，所以无法跨越有限状态机的界限。
2.一个读写头HEAD。该读写头可以在ห้องสมุดไป่ตู้带上左右移动，它能读出当前所指的格子上的符号，并能改变当前格子上的符号。
3.一套控制规则TABLE。它根据当前机器所处的状态以及当前读写头所指的格子上的符号来确定读写头下一步的动作，并改变状态寄存器的值，令机器进入一个新的状态。
4.一个状态寄存器。它用来保存图灵机当前所处的状态。图灵机的所有可能状态的数目是有限的，并且有一个特殊的状态，称为停机状态。参见停机问题。
另一个要注意的是，如果我们允许图灵机的纸带两端都可以无限伸展，这并不能增加图灵机的计算能力，因为我们显然可以用只有纸带一端能无限伸展的图灵机来模拟这种纸带两端都可以无限伸展的图灵机。
如果我们允许图灵机的读写头在某一步保持原地不动，那也不会增加其计算能力，因为我们可以用向左移动一次再向右移动一次来代替在原地不动。
发明者
1936年，阿兰·图灵(1912-1954)提出了一种抽象的计算模型——图灵机(TuringMachine）。
形式化
一台图灵机是一个七元组，{Q，Σ，Γ，δ，q0,qaccept,qreject}，其中Q，Σ，Γ都是有限集合，且满足
1.Q是状态集合；
2.Σ是输入字母表，其中不包含特殊的空白符□；
在纸上写上或擦除某个符号；
把注意力从纸的一个位置移动到另一个位置；
2.一个读写头HEAD。该读写头可以在ห้องสมุดไป่ตู้带上左右移动，它能读出当前所指的格子上的符号，并能改变当前格子上的符号。
3.一套控制规则TABLE。它根据当前机器所处的状态以及当前读写头所指的格子上的符号来确定读写头下一步的动作，并改变状态寄存器的值，令机器进入一个新的状态。
4.一个状态寄存器。它用来保存图灵机当前所处的状态。图灵机的所有可能状态的数目是有限的，并且有一个特殊的状态，称为停机状态。参见停机问题。
另一个要注意的是，如果我们允许图灵机的纸带两端都可以无限伸展，这并不能增加图灵机的计算能力，因为我们显然可以用只有纸带一端能无限伸展的图灵机来模拟这种纸带两端都可以无限伸展的图灵机。
如果我们允许图灵机的读写头在某一步保持原地不动，那也不会增加其计算能力，因为我们可以用向左移动一次再向右移动一次来代替在原地不动。
发明者
1936年，阿兰·图灵(1912-1954)提出了一种抽象的计算模型——图灵机(TuringMachine）。
形式化
一台图灵机是一个七元组，{Q，Σ，Γ，δ，q0,qaccept,qreject}，其中Q，Σ，Γ都是有限集合，且满足
1.Q是状态集合；
2.Σ是输入字母表，其中不包含特殊的空白符□；
在纸上写上或擦除某个符号；
把注意力从纸的一个位置移动到另一个位置；
第七章 图灵机
设Q={q0,q1,q2,q3,q4}，={0,1,X,y,B}，而F={q4}，非 形式地，每个状态都表示程序中的一个语句或一组 语句。 状态q0在开始时被进入，又恰好在每次用X替换一 个最左的0之前被进入，用状态q1向右搜索，跳过所 有的0和Y，直到发现最左的1。如果M找到一个1， M就将它变为Y，同时进入状态q2。 状态q2向左搜索X，刚一找到X，就进入状态q0， 当它改变状态时，右移到最左的0。当M在状态q2 中向右搜索时，若在一个1之前遇到一个B或X，则 输入被拒绝，这或者是有太多的0，或者输入不是 在0*1*中。
具有双向无限带的图灵机和标准图灵机模型是完全等价的不同之处只是在于双向无限带图灵机可以两个方向无限延伸由于双向无限带图灵机没有左边界所以输入字可以放在带的任意位置而其余位置均被假定为空白初始带头在输入字的左端关系关联两个id右边的id可以从左边的id通过一个动作得到
第七章 图灵机
周俊萍
zhoujp877@
7.2 图灵机模型
有效过程的形式模型应该具有某些性质，首先，每 个过程都应该是有穷可描述的。其次，过程应该由 离散的步组成，每一步能够机械地被执行。A.Turing 在1936年介绍了这样一个模型-图灵机。 这里我们介绍它的一种变形。
a1 a2 … ai … a n B B … 有限控制器 图7.1 基本图灵机
给定一个识别语言L的TM，不失一般性，我们假定， 当输入被接受时，TM将停止，也就是说，没有下一个 动作，然而，对于不被接受的字，TM可能永不停止。
例7.1 接受语言L＝{0n1nn1｝的TM M的设计如下: 起初，M的带包含0n1n，后面跟着无穷多个空白符，用 X替换M最左边的0，右移至最左边的1，用Y替换它， 左移去寻找最右边的X，然后右移一个单元到最左边 的0，重复这个循环。但是，若在搜索1时，M找到了 一个空白符，那么M停止而不接受，若在将一个1改变 成Y后，M再也找不到0了，那么M检查一下是否还剩1， 如果没有，M接受。
图灵机模型及数据编码
图灵机模型及数据编码
逻辑运算
图灵机模型及数据编码
门
可以设计出进行逻辑运算的装置，比如 用继电器或者齿轮等，把这种能完成逻 辑运算的装置称为门（Gate）。现代电 子计算机中的门是用电子线路实现的， 其中1和0分别用电平的高和低来表示。
图灵机模型及数据编码
触发器
图灵机模型及数据编码
其他存储技术
图灵机模型及数据编码
图灵机的直观描述
3个部件：有穷控制器、无穷带和读写头 3个动作：改写当前格、左移或右移一格
存储带
读写头
……
……
有穷控制器 图灵机模型
图灵机模型及数据编码
图灵机的形式化描述
图灵机是一个五元组（K，∑，δ，s，H）， 其中：
K 是有穷个状态的集合； ∑ 是字母表，即符号的集合； s ∈K是初始状态； H∈K 是停机状态的集合，当控制器内部状态
二进制与其他数制的转换（4）
二进制与十六进制的转换 161＝24，4位二进制数刚好可以表示0－F这16个
数码，也就是说二进制的4位数正好可以用1位 十六进制数表示
将二进制数 111.011101 转换为十六进制： (0010 1101 0111 1011.0111 0100)B＝(2 D 7 B.7 4)H 将十六进制数 2C1D.A1 转换为二进制： (2 C 1 D. A 1)H＝(0010 1100 0001 1101.1010 0001)B
实数
Nd2p
图灵机模型及数据编码
数值的表示（4）
若要考虑符号位的处理，则运算变得复 杂:
为了解决此类问题，在机器数中，负数 有三种表示法：原码、反码和补码。
图灵机模型及数据编码
数值的表示（5）
原码：
逻辑运算
图灵机模型及数据编码
门
可以设计出进行逻辑运算的装置，比如 用继电器或者齿轮等，把这种能完成逻 辑运算的装置称为门（Gate）。现代电 子计算机中的门是用电子线路实现的， 其中1和0分别用电平的高和低来表示。
图灵机模型及数据编码
触发器
图灵机模型及数据编码
其他存储技术
图灵机模型及数据编码
图灵机的直观描述
3个部件：有穷控制器、无穷带和读写头 3个动作：改写当前格、左移或右移一格
存储带
读写头
……
……
有穷控制器 图灵机模型
图灵机模型及数据编码
图灵机的形式化描述
图灵机是一个五元组（K，∑，δ，s，H）， 其中：
K 是有穷个状态的集合； ∑ 是字母表，即符号的集合； s ∈K是初始状态； H∈K 是停机状态的集合，当控制器内部状态
二进制与其他数制的转换（4）
二进制与十六进制的转换 161＝24，4位二进制数刚好可以表示0－F这16个
数码，也就是说二进制的4位数正好可以用1位 十六进制数表示
将二进制数 111.011101 转换为十六进制： (0010 1101 0111 1011.0111 0100)B＝(2 D 7 B.7 4)H 将十六进制数 2C1D.A1 转换为二进制： (2 C 1 D. A 1)H＝(0010 1100 0001 1101.1010 0001)B
实数
Nd2p
图灵机模型及数据编码
数值的表示（4）
若要考虑符号位的处理，则运算变得复 杂:
为了解决此类问题，在机器数中，负数 有三种表示法：原码、反码和补码。
图灵机模型及数据编码
数值的表示（5）
原码：
图灵计算机模型意义,图灵机有什么意义_学习图灵机模型中遇到的问题-人工智能-电子发烧友网...
图灵计算机模型意义,图灵机有什么意义_学习图灵机模型中遇到的问题-⼈⼯智能-电⼦发烧友⽹...图灵机意义图灵提出图灵机的模型并不是为了同时给出计算机的设计，它的意义我认为有如下⼏点：1、它证明了通⽤计算理论，肯定了计算机实现的可能性，同时它给出了计算机应有的主要架构；2、图灵机模型引⼊了读写与算法与程序语⾔的概念，极⼤的突破了过去的计算机器的设计理念；3、图灵机模型理论是计算学科最核⼼的理论，因为计算机的极限计算能⼒就是通⽤图灵机的计算能⼒，很多问题可以转化到图灵机这个简单的模型来考虑。
对图灵机给出如此⾼的评价并不是⾼估，因为从它的设计与运⾏中，我们可以看到其中蕴涵的很深邃的思想。
通⽤图灵机等于向我们展⽰这样⼀个过程：程序和其输⼊可以先保存到存储带上，图灵机就按程序⼀步⼀步运⾏直到给出结果，结果也保存在存储带上。
另外，我们可以隐约看到现代计算机主要构成(其实就是冯诺依曼理论的主要构成)，存储器(相当于存储带)，中央处理器(控制器及其状态，并且其字母表可以仅有0和1两个符号)，IO系统(相当于存储带的预先输⼊)；4、“图灵机”只是假象的“计算机”，完全没有考虑硬件状态，考虑的焦点是逻辑结构。
图灵在他著作⾥，进⼀步设计出被⼈们称为“通⽤图灵机”的模型，图灵机可以模拟其他任何⼀台解决某个特定数学问题的“图灵机”的⼯作状态。
图灵甚⾄还想象在带⼦上存储数据和程序。
“通⽤图灵机”实际上就是现代通⽤计算机的最原始的模型。
学习图灵机模型中遇到的三个问题1) 为什么图灵机有不可判的问题？2) 为什么强⼤的图灵机会不停机？3) 为什么图灵当初要设计图灵机？图灵机虽然构造简单，但却及其强⼤，它能模拟现代计算机的所有计算⾏为，堪称计算的终极机器。
然⽽即便是这个终极机器，也有令它⽆能为⼒的问题，这便是第⼀个要回答的问题：为什么图灵机有不可判的问题？⾸先明确什么是图灵可识别(Turing recognizable)和图灵可判定(Turing decidable)。
第二讲 图灵机模型
24
2.1.1 基本图灵机
M2接受的语言是字母表{0，1}上那些至少含有 3个1的0、1符号串。请读者考虑，如何构造出 接受字母表{0，1}上那些含且恰含有3个1的符 号串的TM。
25
2.1.1 基本图灵机
例 2-4 构造TM M3，使L(M)={0n1n2n | n≥1}。 分析： – 不能通过“数”0、1、或者2的个数来实现 检查。 – 最为原始的方法来比较它们的个数是否是 相同的：消除一个0、然后消除一个1，最 后消除一个2。 – 消除的0的带方格上印刷一个X，在消除的1 的带方格上印刷一个Y，在消除的2的带方 格上印刷一个Z。
B∈Γ，被称为空白符（blank symbol），含有 空白符的带方格被认为是空的； ∑Γ-{B}为输入字母表，a∈∑，a为M的一 个输入符号。除了空白符号B之外，只有∑中 的符号才能在M启动时出现在输入带上；
7
2.1.1 基本图灵机
δ：Q×ΓQ×Γ×{R, L}，为M的移动函数 （transaction function）。 δ(q , X)=(p , Y, R)表示M在状态q读入符号X， 将状态改为p，并在这个X所在的带方格中印 刷符号Y，然后将读头向右移一格； δ(q , X)=(p , Y , L)表示M在状态q读入符号X， 将状态改为p，并在这个X所在的带方格中印 刷符号Y，然后将读头向左移一格。
第2讲 图灵机模型
图灵机(Turing machine)是由图灵（Alan Mathisom Turing）在1936年提出的，它是一 个通用的计算模型。 通过研究图灵机，来研究递归可枚举集 （recursively enumerable set）和部分地 归函数（partial recursive function） 。 对算法和可计算性进行研究提供形式化描述工 具。
2.1.1 基本图灵机
M2接受的语言是字母表{0，1}上那些至少含有 3个1的0、1符号串。请读者考虑，如何构造出 接受字母表{0，1}上那些含且恰含有3个1的符 号串的TM。
25
2.1.1 基本图灵机
例 2-4 构造TM M3，使L(M)={0n1n2n | n≥1}。 分析： – 不能通过“数”0、1、或者2的个数来实现 检查。 – 最为原始的方法来比较它们的个数是否是 相同的：消除一个0、然后消除一个1，最 后消除一个2。 – 消除的0的带方格上印刷一个X，在消除的1 的带方格上印刷一个Y，在消除的2的带方 格上印刷一个Z。
B∈Γ，被称为空白符（blank symbol），含有 空白符的带方格被认为是空的； ∑Γ-{B}为输入字母表，a∈∑，a为M的一 个输入符号。除了空白符号B之外，只有∑中 的符号才能在M启动时出现在输入带上；
7
2.1.1 基本图灵机
δ：Q×ΓQ×Γ×{R, L}，为M的移动函数 （transaction function）。 δ(q , X)=(p , Y, R)表示M在状态q读入符号X， 将状态改为p，并在这个X所在的带方格中印 刷符号Y，然后将读头向右移一格； δ(q , X)=(p , Y , L)表示M在状态q读入符号X， 将状态改为p，并在这个X所在的带方格中印 刷符号Y，然后将读头向左移一格。
第2讲 图灵机模型
图灵机(Turing machine)是由图灵（Alan Mathisom Turing）在1936年提出的，它是一 个通用的计算模型。 通过研究图灵机，来研究递归可枚举集 （recursively enumerable set）和部分地 归函数（partial recursive function） 。 对算法和可计算性进行研究提供形式化描述工 具。
图灵机模型
8
例子2-1说明
例 2-1 设M1=({q0, q1, q2},{0, 1},{0, 1, B},δ,q0 , B ,{q2})，其中δ的定义如下，对于此定义，也 可以用表2-1表示。 δ(q0, 0)= (q0, 0, R) δ(q0, 1)= (q1, 1, R) δ(q1, 0)= (q1, 0, R) δ(q1, B)= (q2, B, R)
22
2.1.1 基本图灵机
（2）处理输入串1001100101100的过程中经历的 ID变换序列如下： q01001100101100├ 1q1001100101100 ├ 10 q101100101100├ 100q11100101100 ├ 1001 q2100101100├10011q300101100 M2遇到第三个1时，进入终止状态q3，输入串 的后缀00101100还没有被处理。但是，由于 M2已经进入终止状态，表示符号串 1001100101100被M2接受。
28
构造思路
29
移动函数
0 q0 q1 q2 q3 (q3,0,L) (q0,X,R) (q1,0,R) (q2,Y,R) (q2,1,R) (q3,1,L) (q3,Z,L) (q0,X,R) (q3,Y,L) 1 2 X Y (q4,Y,R) (q1,Y,R) (q2,Z,R) (q3,Z,L) Z B
12
2.1.1 基本图灵机
如果δ(q, Xi)=(p, Y, L)则，
–
当i≠1时，M的下一个ID为 X1X2…pXi-1YXi+1…Xn
记作
X1X2…Xi-1qXiXi+1…Xn├M X1X2…pXi-1YXi+1…Xn – 表示M在ID X1X2…Xi-1qXiXi+1…Xn下，经过一次移 动，将ID变成X1X2…pXi-1YXi+1…Xn；
图灵机模型及数据编码
实现最为容易。例如，电灯的亮和灭，晶体管的导通和截止， 等等。 (2) 可靠性因二进制数只要两个状态，数字转移和处理就不 易出错，这样计算机工作的可靠性就高。 (3) 简易性二进制数运算法则简单。例如，二进制的加法、 积法法则都只有三个。运算法则少，使计算机运算器结构大 大简化，控制也可随之简化。 (4) 逻辑性由于二进制数只要0，1两个数码，可以代表逻辑 代数中的“假”和“真”，这就是在计算机中使用二进制的
要说
有意…义的话，b也只b有形式1的意义0。 1 0 0 0 1 0b b b … 读—写头
状态 q1
控制器
由字符“0”和“1”组成的字母表可以表示任何一个数。
③机器的控制状态表为｛q1, q2,…qm,｝。通常，将一个图 灵
机的初始状态设为q1，在每一个具体的图灵机中还要确定一 个结束状态qw。 一个给定机器的“程序”认为是机器内的
图灵机的工作原理
机器从给定带子上的某起始点出发，其动作完全由其初始状 态及机内五元组来决定。就某种意义而言，一个机器其实 就是它作用于纸带上的五元组集。一个机器计算的结果是 从机器停止时带子上的信息得到的。
4、冯·诺依曼型计算机
1946年2月14日，世界上第一台数字电子计算机ENIAC 在美国宾夕法尼亚大学研制成功。该机是使用电子线路来 执行算术和逻辑运算以及信息存储的真正工作的计算机器， 它的成功研制显示了电子线路的巨大优越性。但是， ENIAC的结构在很大程度上是依照机电系统设计的，还存 在重大的线路结构等问题。在图灵等人工作的影响下， 1946年6月，美国杰出的数学家冯·诺依曼及其同事完成 了关于《电子计算装置逻辑结构设计》的研究报告，具体
2、图灵对计算本质的揭示 在哥德尔研究成果的影响下20世纪30年代后期，图灵
图灵机
18
4.1 图 灵 机 模 型
19
4.1 图灵机模型
【例4-4】设计一个图灵机，计算二个自然数m、n
的减法：
m-n 若m≥n
m－n=
0 否则
设计时，整数n用0n表示。开始时，带上符号为 0m10n，结束时，带上符号为0。每当在1的左边 将一个0改变为B，就在1的右边将一个0改为1， 若1的右边无0时，再将左边改为B的0恢复回来。
16
4.1 图灵机模型
17
4.1 图灵机模型
【例4-3】设计一个图灵机，计算自然数n的 以2为底的对数。
用一进制表示输入和输出值。an表示输入n, bm表示输出m.
设计思路：从左到右扫描带，把所碰到的a划 掉一个，留一个，并将计数器加1。重复此 过程，直至a不复存在。这里，用字符c表 示划掉的字符。
定理4-4 如果L被某个k个读头的图灵机接 受，则它能被一个单头图灵机接受。
38
4.2.5 多维图灵机
多维图灵机具有通常的有限控制器，但带却 由k维单元阵列组成。这里，在所有2k个方 向上（k个轴，每轴正、负两个方向），都 是无限的，根据状态和扫视的符号，该装 置改变状态，打印一个新的符号，在2k个 方向上移动它的读头，开始时，输入沿着 一个轴排列，读头在输入的左端。
K是有穷的状态集合； Γ是所允许的带符号集合； B ∈Γ，是空白符； Σ Γ，B ∈ Σ，是输入字符集合； F K，是终止状态集合。 q0∈K, 是初始状态；
8
4.1 图灵机模型
δ：K×ΓK×Γ×{L,R,S} 是图灵机的动作(状态转移)函数，这里
L表示读头左移一格； R表示读头右移一格； S表示读头不动；
39
4.2.6 离线图灵机
4.1 图 灵 机 模 型
19
4.1 图灵机模型
【例4-4】设计一个图灵机，计算二个自然数m、n
的减法：
m-n 若m≥n
m－n=
0 否则
设计时，整数n用0n表示。开始时，带上符号为 0m10n，结束时，带上符号为0。每当在1的左边 将一个0改变为B，就在1的右边将一个0改为1， 若1的右边无0时，再将左边改为B的0恢复回来。
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4.1 图灵机模型
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4.1 图灵机模型
【例4-3】设计一个图灵机，计算自然数n的 以2为底的对数。
用一进制表示输入和输出值。an表示输入n, bm表示输出m.
设计思路：从左到右扫描带，把所碰到的a划 掉一个，留一个，并将计数器加1。重复此 过程，直至a不复存在。这里，用字符c表 示划掉的字符。
定理4-4 如果L被某个k个读头的图灵机接 受，则它能被一个单头图灵机接受。
38
4.2.5 多维图灵机
多维图灵机具有通常的有限控制器，但带却 由k维单元阵列组成。这里，在所有2k个方 向上（k个轴，每轴正、负两个方向），都 是无限的，根据状态和扫视的符号，该装 置改变状态，打印一个新的符号，在2k个 方向上移动它的读头，开始时，输入沿着 一个轴排列，读头在输入的左端。
K是有穷的状态集合； Γ是所允许的带符号集合； B ∈Γ，是空白符； Σ Γ，B ∈ Σ，是输入字符集合； F K，是终止状态集合。 q0∈K, 是初始状态；
8
4.1 图灵机模型
δ：K×ΓK×Γ×{L,R,S} 是图灵机的动作(状态转移)函数，这里
L表示读头左移一格； R表示读头右移一格； S表示读头不动；
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4.2.6 离线图灵机
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希尔伯特对实现自己的纲领充满信心。然而，1931年， 奥地利25岁的数理逻辑学家哥德尔﹙K．Gödel﹚提出的关 于形式系统的“不完备性定理”中指出，这种形式系统是不
存 在的，从而宣告了著名的“西尔伯特纲领”的失败。希尔伯
特 纲领的失败同时也暴露了形式系统的局限性，它表明形式系 统不能穷尽全部数学命题，任何形式系统中都存在着该系统 所不能判定其真伪的命题。
2 图灵机
在第一台电子计算机ENIAC诞生的10年前即1936年，英 国数学家图灵发表了题为“论可计算数及其在判定问题中的 应用”﹙On Computer Numbers With an Application to
the Entscheidungs Problem﹚的学术论文，奠定了学术界公认
的 现代电子计算机的理论和模型基础。 1、希尔伯特纲领
图灵的描述是关于数值计算的，不过，我们知道英文字 母表的字母以及汉字均可以用数来表示，因此，图灵机同样 可以处理非数值计算。不仅如此，更为重要的是，由数值和 非数值﹙英文字母、汉字等﹚组成的字符串，既可以解释成 数据，又可以解释成程序，从而计算的每一过程都可以用字 符串的形式进行编码，并存放在存储器中，以后使用时译码， 并由处理器执行，机器码﹙结果﹚可以从高级符号形式﹙即 程序设计语言﹚机械地推导出来。
“西尔伯特纲领”虽然失败了，但它仍然不失为人类抽 象 思维的一个伟大成果，它的历史意义是多方面的。 首先，“西尔伯特纲领”是在保全古典数学的前提下去 排 除集合论悖论的，它给数学基础问题的研究带来了全新的转 机。其次，希尔伯特纲领的提出使元数学得到了确立和发展。 最后，对计算学科而言，最具意义的是，希尔伯特纲领的失 败启发人们应避免花费大量的精力去证明那些不能判定的问 题，而应把精力集中于解决具有能行性的问题。
题的讨论时，不可避免地要提到一个与计算具有 同等地位和意义的基本概念，那就是算法。算法也称为能行
方法或能行过程，是对解题﹙计算﹚过程的精确描述，它由 一组定义明确且能机械执行的规则﹙语句、指令等﹚组成。 根据图灵的论点，可以得到这样的结论：任一过程是能行的 ﹙能够具体表现在一个算法中﹚，当且仅当它能够被一台图 灵机实现。
图灵机的特征
①图灵机由一条两端可无限延长的带子、一个读写头以 及一组控制读写头工作的命令组成，如图所示。图灵机
的带子被划分为一系列均匀的方格。读写头可以沿带子方向左
右移动，并可以在每个方格上进行读写。
“西尔伯特纲领”的目标，其实质就 是要寻找通用的形式逻辑系统，该系 统应当是完备的，即在该系统中，可 以机械地判定任何给定命题的真伪。
D．Hilbert 希尔伯特
“西尔伯特纲领”的研究基础是逻辑和代数，主要源于19世 纪
英国数学家乔治·布尔﹙G．Boole﹚所
创立的逻辑代数体系﹙即布尔代数﹚。
1854年，布尔在他的著作中成功地将
20世纪初，逐步形成了关于数学基础研究的逻辑主义、 直觉主义和形式主义三大流派。其中，形式主义流派的代表 人物是数学家希尔伯特﹙D．Hilbert﹚。他在数学基础的研 究中提出了一个设想，其大意是：将每一门数学的分支形式 化，构成形式系统或形式理论，并在以此为对象的元理论即
元数学中，证明每一个形式系统的相容性，从而导出全部 数学的相容性，希尔伯特的这一设想， 就是所谓的“西尔伯特纲领”。
根据图灵的观点可以得到这样的结论：凡是能用算 法方法解决的问题，也一定能用图灵机解决；凡是图灵机 解决不了的问题，任何算法也解决不了。今天我们知道， 图灵机与当时提出的用于解决计算问题的递归函数、λ演 算和POST规范系统等计算模型在计算能力上是等价的。它 们于20世纪30年代共同奠定了计算科学的理论基础。相比 于其他几种计算模型，图灵机是从过程这一角度来刻画计 算的本质，其结构简单，操作运行规则也较少，从而为更 多的人所理解。
图灵机等计算模型均是用来解决问题的，理论上的能 行 性隐含着计算模型的正确性，而实际实现中的能行性还包 含时间与空间的有效性。
3、图灵机
计算机是使用相应的程序来完成任何设定好的任务。
图灵机是一种思想模型， 它由三部分组成： 一个控制器，一条可以无限延伸的 带子和一个在带子上左右移动的读 写头。
为纪念图灵对计算机的贡献， 美国计算机博物馆于1966 年 设立了“图灵奖”
图灵机模型及数据编码
1 概述 2 图灵机 3 数据在计算机中的表示
1 概述
图灵机模型理论是计算机学科最核心的理论 之 一，它是在总结前人制造计算机思想的基础上提出 的理论计算模型，它不仅指导了现代电子计算机的 设计，为计算机设计指明了方向，并且是算法分析 和程序语言设计的基础理论。尽管如此，图灵机模 型却并不复杂，也许正因为如此，才注定了其在计 算学科中所具有的强大生命力。掌握了图灵机理论， 等于获得了学习计算机系统知识的“金钥匙”。
“真” 、“假”两种逻辑值和“与”、“或”、
“非”3种逻辑运算归结为一种代数。这
样，形式逻辑系统中的任何命题都可
用数学符号表示出来，并能按照一定
的规则推导出结论。尽管布尔没有将
“布尔代数”与计算机联系起来，但
G．Boole
他的工作却为现代计算机的诞生作 了重要的理论准备。
乔治·布尔
希尔伯特的工作建立在布尔工作的基础上，并使其进一步具 体化。
2、图灵对计算本质的揭示 在哥德尔研究成果的影响下20世纪30年代后期，图灵
﹙A．M．Turing﹚从计算一个数的一般过程入手对计算的 本
质进行了研究，从而实现了对计算本质的真正认识。 根据图灵的研究，直观地说，所谓计算就是计算者﹙人
或机器﹚对一条两端可无限延长的纸带上的一串0和1执行指 令，一步一步地改变纸带上的0或1，经过有限步骤，最后得 到一个满足预先规定的符号串的变换过程。图灵用形式化方 法成功表述可计算这一过程的本质。图灵的研究成果是哥德 尔研究成果的进一步深化，该成果不仅再次表明了某些数学 问题是不能用任何机械过程来解决的思想，而且还深刻揭示 可计算所具有的“能行过程”的本质特征。
存 在的，从而宣告了著名的“西尔伯特纲领”的失败。希尔伯
特 纲领的失败同时也暴露了形式系统的局限性，它表明形式系 统不能穷尽全部数学命题，任何形式系统中都存在着该系统 所不能判定其真伪的命题。
2 图灵机
在第一台电子计算机ENIAC诞生的10年前即1936年，英 国数学家图灵发表了题为“论可计算数及其在判定问题中的 应用”﹙On Computer Numbers With an Application to
the Entscheidungs Problem﹚的学术论文，奠定了学术界公认
的 现代电子计算机的理论和模型基础。 1、希尔伯特纲领
图灵的描述是关于数值计算的，不过，我们知道英文字 母表的字母以及汉字均可以用数来表示，因此，图灵机同样 可以处理非数值计算。不仅如此，更为重要的是，由数值和 非数值﹙英文字母、汉字等﹚组成的字符串，既可以解释成 数据，又可以解释成程序，从而计算的每一过程都可以用字 符串的形式进行编码，并存放在存储器中，以后使用时译码， 并由处理器执行，机器码﹙结果﹚可以从高级符号形式﹙即 程序设计语言﹚机械地推导出来。
“西尔伯特纲领”虽然失败了，但它仍然不失为人类抽 象 思维的一个伟大成果，它的历史意义是多方面的。 首先，“西尔伯特纲领”是在保全古典数学的前提下去 排 除集合论悖论的，它给数学基础问题的研究带来了全新的转 机。其次，希尔伯特纲领的提出使元数学得到了确立和发展。 最后，对计算学科而言，最具意义的是，希尔伯特纲领的失 败启发人们应避免花费大量的精力去证明那些不能判定的问 题，而应把精力集中于解决具有能行性的问题。
题的讨论时，不可避免地要提到一个与计算具有 同等地位和意义的基本概念，那就是算法。算法也称为能行
方法或能行过程，是对解题﹙计算﹚过程的精确描述，它由 一组定义明确且能机械执行的规则﹙语句、指令等﹚组成。 根据图灵的论点，可以得到这样的结论：任一过程是能行的 ﹙能够具体表现在一个算法中﹚，当且仅当它能够被一台图 灵机实现。
图灵机的特征
①图灵机由一条两端可无限延长的带子、一个读写头以 及一组控制读写头工作的命令组成，如图所示。图灵机
的带子被划分为一系列均匀的方格。读写头可以沿带子方向左
右移动，并可以在每个方格上进行读写。
“西尔伯特纲领”的目标，其实质就 是要寻找通用的形式逻辑系统，该系 统应当是完备的，即在该系统中，可 以机械地判定任何给定命题的真伪。
D．Hilbert 希尔伯特
“西尔伯特纲领”的研究基础是逻辑和代数，主要源于19世 纪
英国数学家乔治·布尔﹙G．Boole﹚所
创立的逻辑代数体系﹙即布尔代数﹚。
1854年，布尔在他的著作中成功地将
20世纪初，逐步形成了关于数学基础研究的逻辑主义、 直觉主义和形式主义三大流派。其中，形式主义流派的代表 人物是数学家希尔伯特﹙D．Hilbert﹚。他在数学基础的研 究中提出了一个设想，其大意是：将每一门数学的分支形式 化，构成形式系统或形式理论，并在以此为对象的元理论即
元数学中，证明每一个形式系统的相容性，从而导出全部 数学的相容性，希尔伯特的这一设想， 就是所谓的“西尔伯特纲领”。
根据图灵的观点可以得到这样的结论：凡是能用算 法方法解决的问题，也一定能用图灵机解决；凡是图灵机 解决不了的问题，任何算法也解决不了。今天我们知道， 图灵机与当时提出的用于解决计算问题的递归函数、λ演 算和POST规范系统等计算模型在计算能力上是等价的。它 们于20世纪30年代共同奠定了计算科学的理论基础。相比 于其他几种计算模型，图灵机是从过程这一角度来刻画计 算的本质，其结构简单，操作运行规则也较少，从而为更 多的人所理解。
图灵机等计算模型均是用来解决问题的，理论上的能 行 性隐含着计算模型的正确性，而实际实现中的能行性还包 含时间与空间的有效性。
3、图灵机
计算机是使用相应的程序来完成任何设定好的任务。
图灵机是一种思想模型， 它由三部分组成： 一个控制器，一条可以无限延伸的 带子和一个在带子上左右移动的读 写头。
为纪念图灵对计算机的贡献， 美国计算机博物馆于1966 年 设立了“图灵奖”
图灵机模型及数据编码
1 概述 2 图灵机 3 数据在计算机中的表示
1 概述
图灵机模型理论是计算机学科最核心的理论 之 一，它是在总结前人制造计算机思想的基础上提出 的理论计算模型，它不仅指导了现代电子计算机的 设计，为计算机设计指明了方向，并且是算法分析 和程序语言设计的基础理论。尽管如此，图灵机模 型却并不复杂，也许正因为如此，才注定了其在计 算学科中所具有的强大生命力。掌握了图灵机理论， 等于获得了学习计算机系统知识的“金钥匙”。
“真” 、“假”两种逻辑值和“与”、“或”、
“非”3种逻辑运算归结为一种代数。这
样，形式逻辑系统中的任何命题都可
用数学符号表示出来，并能按照一定
的规则推导出结论。尽管布尔没有将
“布尔代数”与计算机联系起来，但
G．Boole
他的工作却为现代计算机的诞生作 了重要的理论准备。
乔治·布尔
希尔伯特的工作建立在布尔工作的基础上，并使其进一步具 体化。
2、图灵对计算本质的揭示 在哥德尔研究成果的影响下20世纪30年代后期，图灵
﹙A．M．Turing﹚从计算一个数的一般过程入手对计算的 本
质进行了研究，从而实现了对计算本质的真正认识。 根据图灵的研究，直观地说，所谓计算就是计算者﹙人
或机器﹚对一条两端可无限延长的纸带上的一串0和1执行指 令，一步一步地改变纸带上的0或1，经过有限步骤，最后得 到一个满足预先规定的符号串的变换过程。图灵用形式化方 法成功表述可计算这一过程的本质。图灵的研究成果是哥德 尔研究成果的进一步深化，该成果不仅再次表明了某些数学 问题是不能用任何机械过程来解决的思想，而且还深刻揭示 可计算所具有的“能行过程”的本质特征。