2专升本定积分计算基本公式
专升本高数知识点汇总
专升本高数知识点汇总高等数学在专升本考试中占据着重要的地位，对于许多考生来说，掌握好高数的知识点是成功升本的关键之一。
以下是为大家汇总的专升本高数知识点，希望能对大家的学习有所帮助。
一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。
对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。
2、函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性和有界性。
奇函数满足 f(x) ＝ f(x)，偶函数满足 f(x) ＝ f(x)。
单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的。
周期性函数是指存在一个非零常数 T，使得 f(x ＋ T) ＝ f(x)。
有界性则是指函数的值域在某个范围内。
3、极限的定义极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于的一个确定的值。
4、极限的计算包括利用极限的四则运算法则、两个重要极限（＼（＼lim_{x ＼to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1\），＼（＼lim_{x ＼to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e\））以及等价无穷小代换来计算极限。
5、无穷小与无穷大无穷小是以零为极限的变量，无穷大是绝对值无限增大的变量。
无穷小的性质在极限计算中经常用到。
二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的切线斜率。
2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的变化率，反映了函数图像的斜率。
3、基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。
4、导数的四则运算法则加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
5、复合函数求导通过链式法则进行求导。
6、隐函数求导通过方程两边同时对自变量求导来求解。
7、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的微分。
8、微分的几何意义微分表示函数在某一点处切线的增量。
三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足在闭区间 a,b 上连续，在开区间（a,b) 内可导，且 f(a) ＝ f(b)，那么在（a,b) 内至少存在一点ξ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。
成人高考专升本高等数学公式大全
成人高考专升本高等数学公式大全1.代数基本公式：-平方差公式：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$-三角恒等式：- 正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$- 余弦定理：$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$- 正弦余弦定理：$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$- 二项式定理：$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$2.函数与极限公式：-导数的四则运算：- $(u \pm v)' = u' \pm v'$- $(uv)' = u'v + uv'$- $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$- 泰勒公式：$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)(x - a)^2}{2!} + \cdots$-常用极限：- $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$- $\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x = e$- $\lim_{x \to \infty}(1 + \frac{k}{x})^x = e^k$- $\lim_{n \to \infty}(1 + \frac{x}{n})^n = e^x$3.微分公式：-求导法则：-$(c)'=0$- $(x^n)' = nx^{n-1}$-$(e^x)'=e^x$- $(\ln x)' = \frac{1}{x}$-高阶导数：-$(f(x)g(x))''=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x)$-$(f(g(x)))''=f''(g(x))(g'(x))^2+f'(g(x))g''(x)$-微分运算法则：- $\frac{d(u \pm v)}{dx} = \frac{du}{dx} \pm \frac{dv}{dx}$ - $\frac{d(kv)}{dx} = k\frac{dv}{dx}$- $\frac{d(uv)}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$- $\frac{d(\frac{u}{v})}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} -u\frac{dv}{dx}}{v^2}$4.积分公式：-不定积分法则：- $\int k \,dx = kx + C$- $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, (n \neq -1)$- $\int e^x \,dx = e^x + C$- $\int \frac{1}{x} \,dx = \ln ，x， + C$-定积分法则：- $\int_a^b kf(x) \,dx = k\int_a^b f(x) \,dx$- $\int_a^b [f(x) + g(x)] \,dx = \int_a^b f(x) \,dx +\int_a^b g(x) \,dx$- $\int_a^b (f(x) - g(x)) \,dx = \int_a^b f(x) \,dx -\int_a^b g(x) \,dx$5.级数公式：-等比级数求和：$S_n = \frac{a(1-q^n)}{1-q}$，其中 $S_n$ 是前n 项和，a 是首项，q 是公比。
成人高考专升本《高等数学二》公式大全
成人高考专升本《高等数学二》公式大全1.函数的导数公式：1）常数函数求导：(C)'=02）幂函数求导：(x^n)' = nx^(n-1), 其中n为常数3）指数函数求导：(a^x)' = a^x * ln(a), 其中a>0且a≠14）对数函数求导：(log_a(x))' = 1 / (x * ln(a)), 其中a>0且a≠15）三角函数求导：(sin(x))' = cos(x), (cos(x))' = -sin(x), (tan(x))' = sec^2(x), (cot(x))' = -csc^2(x)6）反三角函数求导：(arcsin(x))' = 1 / sqrt(1 - x^2), (arccos(x))' = -1 / sqrt(1 - x^2), (arctan(x))' = 1 / (1 + x^2)2.高等数学中的极限公式：1）常数函数极限：lim(C) = C, 其中C为常数2）多项式函数极限：lim(a_n*x^n + a_(n-1)*x^(n-1) + ... +a_1*x + a_0) = a_n*x^n, 其中n为正整数，a_n为非零常数3）指数函数极限：lim(a^x) = 1, 其中a>0且a≠14）对数函数极限：lim(log_a(x)) = log_a(1) = 0, 其中a>0且a≠15）三角函数极限：lim(sin(x) / x) = 1, lim((1 - cos(x)) / x) = 0, 当x趋近于0时3.定积分公式：1）换元积分法：∫f(g(x)) * g'(x)dx = ∫f(u)du, 其中u = g(x) 2）分部积分法：∫u * dv = u * v - ∫v * du3）凑微分法：∫f(x)dx = ∫f(x) *1dx = ∫f(x) *[g'(x)/g'(x)]dx = ∫(f(x) * g'(x))/g'(x)dx4.微分方程公式：1）一阶线性微分方程：dy/dx + P(x)y = Q(x), y = e^(-∫P(x)dx) * ∫[Q(x) * e^(∫P(x)dx)]dx2）一阶齐次线性微分方程：dy/dx = f(y/x), 令v = y/x, 可得dv = [(f(v) - v)/x]dx5.级数公式：1）等比数列前n项和：S_n=a(1-q^n)/(1-q),其中a为首项，q为公比2）调和级数：∑(1/n)是发散级数3）幂级数展开：e^x = ∑(x^n)/n!, sin(x) = ∑[(-1)^n *(x^(2n+1))/(2n+1)!], cos(x) = ∑[(-1)^n * (x^(2n))/(2n)!]。
专升本数学公式归纳总结
专升本数学公式归纳总结数学是一门基础学科，它的公式是解决问题的关键。
对于专升本考生来说，数学公式的掌握至关重要。
本文将对专升本数学公式进行归纳总结，方便考生在备考过程中进行查阅和复习。
一、基本运算公式1. 加减乘除法则加法法则：a + b = b + a减法法则：a - b ≠ b - a乘法法则：a × b = b × a除法法则：a ÷ b ≠ b ÷ a2. 分配律左分配律：a × (b + c) = a × b + a × c右分配律：(a + b) × c = a × c + b × c二、代数公式1. 二次根式平方差公式：(a + b) × (a - b) = a^2 - b^2完全平方公式：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^22. 二次方程一元二次方程求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)3. 指数与对数指数与对数互反性：a^loga(x) = x4. 三角函数正弦函数的平方与余弦函数的平方和为1：sin^2θ + cos^2θ = 1正切函数与余切函数互为倒数：tanθ × cotθ = 1三、几何公式1. 周长和面积矩形的周长：2 × (a + b)矩形的面积：a × b正方形的周长：4 × a正方形的面积：a^2圆的周长：2πr圆的面积：πr^22. 三角形三角形的周长：a + b + c三角形的面积（海伦公式）：S = √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))其中，s为半周长，s = (a + b + c) / 23. 直角三角形勾股定理：c^2 = a^2 + b^2正弦定理：sinA / a = sinB / b = sinC / c余弦定理：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab × cosC四、概率与统计公式1. 基本概率公式事件A发生的概率：P(A) = n(A) / n(S)事件A与事件B同时发生的概率：P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) 2. 统计学公式均值的计算公式：μ = (x1 + x2 + ... + xn) / n方差的计算公式：σ² = [(x1 - μ)² + (x2 - μ)² + ... + (xn - μ)²] / n 标准差的计算公式：σ = √σ²五、微积分公式1. 导数公式常用函数的导数公式：常数函数：(c)' = 0幂函数：(x^n)' = nx^(n-1)三角函数：(sinx)' = cosx，(cosx)' = -sinx，(tanx)' = sec²x2. 积分公式不定积分：幂函数积分：∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数三角函数积分：∫sinx dx = -cosx + C，∫cosx dx = sinx + C以上只列举了一部分常用的数学公式，希望能够对专升本考生在数学备考中有所帮助。
专升本高数二公式常用
专升本高数二公式常用在专升本的考试中，高等数学二是许多考生需要攻克的重要科目。
而熟练掌握常用公式，无疑是取得好成绩的关键之一。
首先，让我们来谈谈函数的相关公式。
函数是高等数学的基础，其中一元函数的基本公式包括导数公式。
例如，对于幂函数 y ＝ x^n，其导数为 y' ＝ nx^（n 1)。
这是一个非常基础且常用的公式，在求曲线的斜率、函数的单调性等问题中经常会用到。
再来说说三角函数的公式。
正弦函数 sin(x) 和余弦函数 cos(x) 的导数分别为 cos(x) 和 sin(x) 。
这两个公式在涉及三角函数的计算和应用中不可或缺。
比如，求解三角函数的极值问题、周期性问题时都要用到。
还有反三角函数的公式。
反正弦函数 arcsin(x) 的导数是 1 ／√（1x^2) ，反正切函数 arctan(x) 的导数是 1 ／（1 ＋ x^2) 。
这些公式在解决一些复杂的积分问题时会发挥重要作用。
接下来是极限的相关公式。
极限是高等数学中的重要概念，常用的极限公式有：lim(x→0) sin(x) ／ x ＝ 1 ，lim(x→∞）（1 ＋ 1 ／ x)＾x＝ e 。
这两个极限公式在求解一些复杂的极限问题时，可以通过变形和巧妙运用来得出答案。
在积分方面，定积分和不定积分的公式众多。
例如，∫x^n dx ＝（1 ／（n ＋ 1)） x^（n ＋ 1) ＋ C （n ≠ －1），∫sin(x) dx ＝ cos(x) ＋ C ，∫cos(x) dx ＝ sin(x) ＋ C 。
积分公式在计算图形的面积、体积、以及解决物理问题等方面都有广泛的应用。
在微分方程中，常见的一阶线性微分方程的公式：形如 y' ＋ P(x) y＝ Q(x) 的方程，其通解为 y ＝ e^（∫P(x)dx) ∫Q(x) e^（∫P(x)dx) dx ＋ C 。
这个公式在解决实际的物理、工程等问题中的动态变化时经常被用到。
多元函数的部分，偏导数的公式也很重要。
2021年成考专升本高等数学二重点及解析精简版
高等数学（二）重点知识及解析（占80分左右）I 、函数、极限一、 基本初等函数（又称简朴函数）：（1）常值函数：y = c （2）幕函数：y = （3）指数函数：y = / （“〉0,且d H1）（4） 对数函数：y = \og a x （u ） 0,且oHl ）（5） 三角函数：y = sin x > y = cosx> y = tanx » y = cot x（6） 反三角 函数：y = arcsin x, y = arccosx> y = arctan x» y = arc cot x二、 复合函数：要会判断一种复合函数是由哪几种简朴函数复合而成。
例如：|y = lncosx 是由y = ln“ , u = cosx 这两个个简朴函数复合而成. 例如：|y = arctan e'x 是由y = arctan u > u = e 和y = 3x 这三个简朴函数复合而成. 该某些是背而求导核心！三、 极限计算1、运用函数持续性求极限（代入法）：对于普通极限式（即非未定式），只要将凡代 入到函数表达式中，函数值即是极限值，即lim/（x ） = /（x 0）.XT 心注意：（1）常数极限等于她自身，与自变量变化趋势无关，即limC = C o（2）该办法使用前提是当x->x 0时候，而xts 时则不能用此办法。
例lim 4 = 4, lim-3 = -3, Iimlg2 = lg2, lim/r = /r, ------ A —»-XA —>-l .TfX J 〜丸•1弋2.未定式极限运算法（1）对于+未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是极限值。
x 2 +3x-l~x+i02+3>0-l _o+i- 丽^1曲空41k 空—1------- 22 X-l 2-1（非特殊角三角函数值不用讣算出来）ini西计算黒m …•…存定式’提取公因式解：原式二 lim- V ~3)( V + 3)23X -3(2)对于三未定式：分子、分母同步除以未知量最髙次幫，然后运用无穷大倒数是无穷小 Q0这一关系进行讣算。
专升本高数公式大全总结
专升本高数公式大全总结以下是一些常用的高数公式总结：1. 导数公式：- 基本公式：$(c)^n = ncx^{n-1}$，其中c为常数，n为指数，x为变量。
- 基本函数的导数：$sinx' = cosx, cosx' = -sinx, tanx' = sec^2x, cotx' = -csc^2x, secx' = secxtanx, cscx' = -cscxcotx$。
2. 积分公式：- 基本公式：$\int f'(x)dx = f(x) + C$，其中C为常数。
- 基本函数的不定积分：$\int sinxdx = -cosx + C, \int cosxdx = sinx + C, \int tanxdx = -ln|cosx| + C$。
3. 三角函数公式：- 正弦定理：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2R$，其中a、b、c为三角形的边长，A、B、C为对应角，R为外接圆半径。
- 余弦定理：$c^2=a^2+b^2-2abcosC$。
- 正弦二倍角公式：$sin2x=2sinxcosx$。
- 余弦二倍角公式：$cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x$。
4. 极限公式：- 基本公式：$\lim_{x\to c}f(x) = f(c)$，其中c为常数。
- 乘法法则：$\lim_{x\to c}[f(x)g(x)] = \lim_{x\to c}f(x) \cdot\lim_{x\to c}g(x)$。
- 除法法则：$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c}f(x)}{\lim_{x\to c}g(x)}$，其中$\lim_{x\to c}g(x) \neq 0$。
5. 级数公式：- 等比数列求和公式：$S_n = \frac{a(1-q^n)}{1-q}$，其中S_n为前n项和，a为首项，q为公比。
专升本高数二定积分的求解技巧
专升本高数二定积分的求解技巧定积分是微积分中的基本概念之一，求解定积分的技巧是学习高等数学的重要内容之一。
下面，我将为您介绍专升本高数二定积分求解的一些常见技巧。
1. 基本积分公式：掌握一些基本的积分公式是求解定积分的基础。
高数二中常见的基本积分公式如下：（1）幂函数的积分：∫x^n dx = 1/(n+1) x^(n+1) + C（2）基本三角函数的积分：∫sin x dx = -cos x + C∫cos x dx = sin x + C∫sec^2 x dx = tan x + C∫csc^2 x dx = -cot x + C（3）指数函数的积分：∫e^x dx = e^x + C掌握并灵活运用这些基本公式可以大大简化定积分的求解过程。
2. 定积分的性质：了解定积分的一些性质也是求解定积分的重要技巧之一。
（1）可加性：∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx。
即定积分具有可加性，可以将多个区间的积分分别计算后相加。
（2）线性性：∫[a, b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[a, b] g(x) dx。
即定积分具有线性性，可以将被积函数分解为两个或多个函数的和，然后分别计算后相加。
（3）区间可加性：若f(x)在[a, b]上可积，则有∫[a, b] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx + ∫[c, b] f(x) dx。
掌握和灵活运用这些性质可以帮助简化定积分的求解过程。
3. 利用换元法：换元法是求解定积分的重要技巧之一。
通过适当的变量代换可以简化定积分的形式，使其更易于求解。
首先，需要选择合适的变量代换。
常用的变量代换有三角代换、指数函数代换、倒数代换等。
选择变量代换的关键是使被积函数的形式变得简单。
其次，在进行变量代换后，需要改变积分的积分限，将原积分限用新变量进行表示。
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析浙江省专升本考试中，高等数学的定积分部分是比较重要的一个考题，涉及到熟练掌握定积分的定义、计算方法和应用能力等方面。
下面我们就来分析一下这部分的具体内容。
1. 定积分的定义定积分是高等数学中最基本、最重要的概念之一。
在考试中，考生需要熟练掌握定积分的定义及其意义。
定积分的定义比较简单，就是通过无穷小的加和来表达一个函数在某个区间上的“和”，具体定义如下：∫a^bf(x)dx=limΔx→0 Σk=1n f(xi)Δx其中，a和b是定义域的两个端点，f(x)是函数，xi是区间[a,b]的各个分点，Δx是区间的长度，Σk=1n f(xi)Δx表示小矩形的面积之和，Δx→0表示小矩形的个数无穷大。
2. 定积分的计算方法掌握定积分的计算方法是考试的重点之一，包括基本积分公式、换元积分法、分部积分法、分式分解等常用方法。
以下是一些常用的计算方法：（1）基本积分公式：① ∫nxndxxn+1+C，其中n不等于-1②∫esxdxeSx+C③∫xadxx2/2+C（2）换元积分法：如果被积函数可以表示为一些函数的复合形式，那么可以通过换元积分法来求解。
换元积分法的核心是利用代数运算，将原函数转化为一个新函数，从而把原来难以计算的积分转化为新函数的积分。
常用的换元公式包括：u代替x、三角函数代替x、logx代替x 等。
分部积分法主要应用于含有两个函数积分的情况，通过把式子变形，从而将原积分转化成一个容易计算的式子。
常用的公式为：∫u'vdx=uv-∫uv'dx（4）分式分解：分式分解可以把复杂的含分式的定积分转化为简单的积分。
分式分解的基本思路就是将一个分式拆分成几个比较简单的分式，然后再通过换元或者分部积分的方法求出其原函数。
3. 定积分的应用能力除了以上两个方面外，专升本考试还会出一些与定积分相关的应用题，要求考生能够灵活运用所学知识，应用到实际问题中。
专升本高等数学(二)-定积分计算方法及其应用
专升本高等数学(二)-定积分计算方法及其应用(总分：97.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}填空题{{/B}}(总题数：6，分数：13.00)．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：[解析] [*]为奇函数．．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：2）解析：[解析] [*]．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：0）解析：[解析] 令[*]，先证明[*]．再用定积分区间可加性合并得 [*]．（分数：3.00）填空项1:__________________ （正确答案：π）解析：[解析] [*]．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*]6. 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：[*]）解析：[解析] [*]二、{{B}}解答题{{/B}}(总题数：6，分数：84.00)对比计算．（分数：36.00）2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设[*]=t，则x=t2，dx=2tdt．[*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(5). 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(6). 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(方法一凑微分法． [*] 方法二换元法，用方程思想构造等式．设[*]，则dx=-dt． [*] 所以 [*])解析：(7).．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令lnx=t，则x=e t，dx=e t dt．当x=1时，t=0；当x=e时，t=1．[*])解析：(8).求曲线x=acos3t，y=asin3t所围成的平面图形的面积．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(星形线(见下图)是关于x和y对称的．[*] 参数t从0变到[*]正好是它在第一象限部分，所以 [*])解析：(9).[-2，2]上的定积分．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(在有限个点上改变被积函数的函数值，不会影响积分值．也就是说，在闭区间上有有限个第一类间断点时，还能用牛顿—莱布尼兹公式计算定积分． [*])解析：(10).设f(x)=3x2，求f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设[*]，则f(x)=3x2-A，两边积分得[*]故[*]．)解析：(11).已知f(π)=-2，求f(0)．（分数：2.00）正确答案：(因[*] 移项得[*][f(x)+f"(x)]sinxdx=f(0)-2=6，故f(0)=8．)解析：(12).设f(0)=1，f(2)=3，f'(2)=5．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设2x=f，则[*]当x=0时，t=0；当x=1时，t=2．[*] 因为f(0)=1，f(2)=3，f'(2)=5，所以[*]xf"(2x)dx=2．)解析：(13).试分析k，a，b 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] 所以当[*]，a=0，b=8时，有[*]．)解析：(14).设f(x)=e-t2dt f(x)dx．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(分部积分得 [*])解析：(15).求k 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因为 [*] 所以 [*] 令[*]，解得[*]．)解析：(16).当a为何值时，抛物线y=x2与三条直线x=a，x=a+1，y=0所围成的图形面积最小，求将此图形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设所围面积为S(a)．[*]S'(a)=(a+1)2-a2=2a+1令[*]S"(a)=2＞0，所以[*]为最小的面积[*])解析：(17).设f(x) 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(令[*]，dx=-dt． [*])解析：(18).直线x=1把圆x2+y2=4分成左、右两部分，求右面部分绕y轴旋转一周所得的旋转体体积．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(直线x=1与圆x2+y2=4的交点是[*]，右部分绕y轴旋转一周所得几何体的体积为[*])解析：计算下列定积分．（分数：10.00）2.00）正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(5).设，求 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：计算下列定积分．（分数：10.00）2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于公式sin2x=[*](1-cos2x)，所以[*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(5). 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(证明设[*]，则dx=-dt，当x=0时，[*]；当[*]时，t=0． [*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(3).设函数f(x)在区间[a，b]上连续，，求 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设t=a+b-x，则dt=-dx，当x=a时，t=b；当x=b时，t=a．于是， [*] 而[*]，所以 [*]) 解析：(4). 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(设1-x=t，则x=1-t，dx=-dt．当x=0时，t=1；当x=1时，t=0．于是 [*])解析：(5).f(x)．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*] 故 [*])解析：(6).设f(x)为连续函数，，且φ'(x)并讨论φ'(x)在x=0处的连续性．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(f(0)=φ(0)=0，令y=xt，[*]两边对x求导得φ'(x)=[*] 由导数定义，有 [*] 故φ'(x)在x=0处连续．)解析：(7).证明：若f(x)在[-a，a] 2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因为f(x)在[-a，a]上连续，则[*] 对于[*]，令设x=-t，则dx=-dt．当x=-a时，t=a；当x=0时，t=0．于是， [*] 从而 [*])解析：(8).当k?又为何值时发散?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(当k≠1时 [*] 当k=1时，[*]．所以广义积分[*]当k＞1时收敛，当k≤1时发散．)解析：(9).求曲线y=2lnx，过曲线上点(e，2)处的切线及y=0所围成的图形的面积．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(因为[*]，过点(e，2)切线斜率为[*]，切线方程为[*]．即[*] 切线经过原点(0，0)，曲线y=2lnx(即[*])经过点(1，0)和(e，2)所围成图形面积为 [*])解析：设平面图形是由曲线y=x2和x=y2围成，试求该图形：（分数：6.00）(1).绕x轴旋转一周而形成的立体图形的体积．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(绕x轴旋转一周而形成的立体图形的体积[*])解析：(2).绕y轴旋转一周而形成的立体图形的体积．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(绕y轴旋转一周而形成的立体图形的体积[*])解析：(3).设函数f(x)=x2，求f(x)在区间[0，2]上的最大值与最小值．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(由于定积分[*]是一确定的实数，设[*]．对f(x)的等式两边积分有 [*] 于是 [*] 由上式解得[*]．令f'(x)=2x=0得驻点x=0．当x∈(0，2)时，恒有f'(x)＞0，表明f(x)在区间(0，2)内严格增加，所以f(0)=[*]是函数f(x)在[0，2]的最小值，[*]是函数f(x)在[0，2]的最大值．)解析：设某产品的边际成本函数为C'(q)=4+0.25q(万元/吨)，边际收入为R'(q)=80-q(万元/吨)，其中q为产量．（分数：4.00）(1).求产量由10吨增加到50吨时，总成本和总收入各增加多少?（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*])解析：(2).设固定成本为10万元，求总成本函数和总收入函数．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 正确答案：([*]由于固定成本为10万元，所以总成本函数为C(q)=4q+[*]q2+10又由于[*]，故当q=0时无收入，即R(0)=0=C．所以总收入函数为R(q)=80q-[*]q2)解析：。
(完整版)专升本数学公式大全
导数公式:专升本高等数学公式大全2(tgx) sec x (arcsin x)(ctgx) 2 csc x(secx) secx tgx (arccosx)(cscx) cscx ctgx(a x) a x I na(arctgx) (Iog a X) 1 (arcctgx)1 1a r 2 1 X2.1 X2 1 X2基本积分表：三角函数的有理式积分:tgxdx In cosx C ctgxdx In sin x C secxdx In secx tgx Ccscxdx In cscx ctgx Cdx 2 .2 sec xdx tgx C cos xdx 2・2 csc xdx ctgx C sin xsecx tgxdx secx Cdx ~2 2 a x 1 丄x arctg C a adx x2a2dx2 2a x 丄ln|x a2a |x a1 , a x In2a a xcscx ctgxdx cscx Cxa x dx CIn ashxdx chx Cchxdx shx C异—arcsin 仝C “ a2 x2 adx 2 2 ——2 2 "( x x a ) C.x a2 2nn sin xdx ncos xdx 0 0'、 2 a dx x 2 x 2 a2x2a2 dx x ..x2a22<a2 2x dx x ■ a2 2 xI n2a . / In(x2a2I ——In x2x2 a2)2a . x arcs in C2 2 a2usinx 2,cosx1 u 2一些初等函数: 双曲正弦:shx 双曲余弦：chx 双曲正切:thxtg2，dx2du V~u\两个重要极限:xxe e2 xxe e2 x x shx e e xxchx e esin x ’ lim 1 x 0x lim(1丄广 x xe 2.718281828459045…arshx ln(x x 2 1) archx In (x x 2 1)arthx 1|n1 x2 1 三角函数公式: •诱导公式：-和差化积公式:sin( )sin coscos sin cos( )cos cossin sin、tg tgtg()1 tg tgctg()ctgctg 1ctgctg-和差角公式: sin sin sinsincos cos cos cos2sin cos — 2 2 2 cossin —222 cos cos —2 2 2 sin ------- s in ------2 2sin 2 2si n cos2 2cos2ctg2 ctg2 2ctgtg2 2tg 2•倍角公式:cos1 -半角公式: 1 1 2si n2 2cos ・2sin sin3 3si ncos3 4cos3tg33tg4sin33cos-3tg~2sin —21 cos21 coscos—21 cos21 cos sinsin 1 cosct g-1 cos sin1 cos sin 1 cos-正弦定理：，一sin A sin B 亠2Rsin C -余弦定理:b22abcosC-反三角函数性质: arcs inxarccosx arctgx arcctgx高阶导数公式一一莱布尼兹( Leibniz公式:(uv)(n)nCnU(nk 0k)v(k)u(n)v nu(n 1)v n(n 1)u2!(n 2)vn(n 1) (n kk!1) (n k)v(k)uv(n)中值定理与导数应用: 拉格朗日中值定理:柯西中值定理: f(b)f(b)f (a)f (a)F ()f ( )(b a))当F(x) x时,曲率：F(b) F(a)柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
专升本高等数学教材书
专升本高等数学教材书《专升本高等数学教材书》第一章：导数与微分一、导数定义与性质二、常见函数的导数公式1. 幂函数的导数2. 指数函数与对数函数的导数3. 三角函数的导数4. 反三角函数的导数5. 基本初等函数的导数三、导数的应用1. 函数的单调性2. 函数的极值与最值3. 函数的凹凸性第二章：积分与定积分一、不定积分1. 函数的原函数与不定积分2. 基本积分公式二、定积分1. 定积分的概念与性质2. 定积分的计算3. 定积分的应用第三章：级数与收敛一、数列的极限1. 数列极限的定义与性质2. 常用数列极限二、级数的概念1. 级数的收敛与发散2. 常用级数的性质三、收敛级数1. 正项级数2. 任意项级数第四章：常微分方程一、常微分方程的基本概念1. 常微分方程的定义与分类2. 初等函数与常微分方程的关系二、一阶常微分方程解法1. 可分离变量的一阶常微分方程2. 齐次线性一阶常微分方程3. 一阶常微分方程的其他解法第五章：多元函数与偏导数一、多元函数的概念与性质1. 多元函数的定义2. 多元函数的极限与连续性3. 多元函数的偏导数二、多元函数的极值与最值1. 多元函数的极值点与最值2. 多元函数的条件极值第六章：空间解析几何一、空间直线和平面1. 空间直线的方程与性质2. 空间平面的方程与性质二、空间曲线和曲面1. 空间曲线的参数方程与性质2. 空间曲面的方程与性质3. 空间曲线与曲面的相交关系第七章：线性代数与矩阵一、线性方程组1. 线性方程组的概念与解法2. 线性方程组的矩阵表示与求解二、矩阵与行列式1. 矩阵的定义与运算2. 行列式的定义与性质第八章：概率与统计一、概率论基础1. 随机事件与概率空间2. 概率的计算二、随机变量与概率分布1. 随机变量的定义与分类2. 常见概率分布的特征与计算三、统计学基础1. 样本与总体2. 统计量与抽样分布以上是《专升本高等数学教材书》的大致章节安排。
每一章节都详细介绍了相关概念、定义、公式和求解方法，并附有大量例题和练习题供学生练习和巩固。
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析
浙江省专升本高等数学考试定积分部分内容解析1. 引言1.1 考试背景浙江省专升本高等数学考试是为了选拔适合升入本科阶段学习的学生而设立的考试。
这项考试的背景是为了帮助那些想要进入大学深造但没有本科学历的学生实现自己的梦想，为他们提供一个接受高等教育的机会。
通过考试，学生可以证明自己在数学领域的能力，为自己的学业之路打下坚实的基础。
1.2 考试目的考试目的是通过对学生对定积分相关知识的掌握情况进行考核，评判学生在高等数学领域的学习成果和能力水平。
通过考试可以促使学生深入学习定积分的概念、性质和计算方法，提高他们的数学分析和解决问题的能力。
考试目的还包括检验学生在解题时的灵活运用能力，培养他们的数学思维和创新意识。
定积分部分的考试目的是为了帮助学生建立扎实的数学基础，提高他们的数学素养和解决实际问题的能力，为他们未来的学习和职业发展打下坚实的基础。
2. 正文2.1 定积分的概念定积分是微积分中的重要概念之一，它是反常积分的基础，也是微积分的一个重要分支。
在数学上，定积分是对一个函数在一个区间上的积分，表示函数在该区间上的总体积或总面积。
定积分的概念最初由牛顿和莱布尼兹提出，是微积分的基础之一。
在几何学中，定积分可以用来求解曲线下面积、曲线长度、曲面面积及体积等问题。
在物理学中，定积分可以用来表示质点的位移、速度、加速度以及作用力等物理量。
在工程学中，定积分可以用来描述电磁场分布、液体流动、结构力学等问题。
数学家们通过严谨的数学推导和定义，将定积分的概念完善并系统化。
对于一般函数，可以用黎曼和来定义定积分，而对于特殊的函数，可以使用其他方法如变限积分、广义积分等来求解定积分。
定积分是微积分中的重要概念，具有广泛的应用领域，可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。
在专升本高等数学考试中，对定积分的掌握非常重要，考生需要深入理解定积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法，并能灵活运用定积分解决实际问题。
2.2 定积分的性质定积分是微积分中的重要概念，具有许多特殊的性质。
专升本数学公式汇总
专升本数学公式汇总在专升本的数学考试中，理解和记忆数学公式是至关重要的。
下面，我们整理了一些在专升本数学考试中常用的数学公式，供大家参考。
1、求和公式本文(n=1,∞) x^n = 1/ (1 - x)2、幂运算公式本文a^m)^n = a^(mn) （m,n为正整数）本文ab)^n = a^n b^n （n为正整数）a^mn = (a^m)^n （m,n为正整数）本文a/b)^n = a^n / b^n （n为正整数）本文a^m) / (a^n) = a^(m-n) （a≠0，m，n为正整数）本文a/b) / (c/d) = (a/b) × (d/c) （a、b、c、d≠0）本文a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^23、对数公式log(a) (M N) = log(a) M + log(a) N，log(a) (M / N) = log(a) M - log(a) N，log(a) M^n = nlog(a) M，log(a) b^n = nlog(a) b，log(a) b/c = log(a) b - log(a) c，log(a) (b c) = log(a) b + log(a) c，log(a) b的n次方 = nlog(a) b，log(a) (b的n次方)= nlog(a) b。
4、三角函数公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB，sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB，cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB，cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB，tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)，tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)。
以上是专升本数学考试中常用的一些公式，希望大家能够熟练掌握并应用于解题中。
也要注意公式的适用范围和条件，避免在解题中出现错误。
专升本数学知识点总结
专升本数学知识点总结一、函数函数是专升本数学中的重要概念，它描述了两个变量之间的对应关系。
1、函数的定义设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个 x∈D，按照某种确定的对应关系 f，变量 y 都有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。
其中，x 称为自变量，y 称为因变量，D 称为函数的定义域，函数值的集合称为函数的值域。
2、函数的性质（1）单调性：设函数 f(x) 的定义域为 D，区间 I⊆D，如果对于区间 I 上任意两个自变量的值 x₁，x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），则称函数 f(x) 在区间 I 上是单调增函数（或单调减函数）。
（2）奇偶性：设函数 f(x) 的定义域 D 关于原点对称，如果对于任意 x∈D，都有 f(x) ＝ f(x)，则称 f(x) 为奇函数；如果对于任意 x∈D，都有 f(x) ＝ f(x)，则称 f(x) 为偶函数。
（3）周期性：设函数 f(x) 的定义域为 D，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x) 都成立，则称 f(x) 为周期函数，T 称为函数的周期。
3、常见函数（1）一次函数：y ＝ kx ＋ b（k，b 为常数，k ≠ 0）（2）二次函数：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）（3）反比例函数：y ＝ k/x（k ≠ 0）（4）指数函数：y ＝ a^x（a ＞ 0 且a ≠ 1）（5）对数函数：y ＝logₐx（a ＞ 0 且a ≠ 1）二、极限极限是研究函数在某个变化过程中的趋势。
1、数列的极限对于数列｛an}，如果当 n 无限增大时，数列的项 an 无限趋近于一个常数 A，则称 A 为数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。
2、函数的极限（1）当x → x₀时函数 f(x) 的极限：设函数 f(x) 在点 x₀的某个去心邻域内有定义，如果当 x 无限接近于 x₀（但不等于 x₀）时，函数f(x) 的值无限接近于一个常数 A，则称 A 为函数 f(x) 当x → x₀时的极限，记作lim(x→x₀) f(x) ＝ A。
河南专升本考试高等数学常用公式大汇总
全微分的近似计算：Δz ≈ dz = f x ( x, y ) Δx + f y ( x, y ) Δy 多元复合函数的求导法： dz ∂z ∂u ∂z ∂v z = f [u (t ), v(t )] = ⋅ + ⋅ dt ∂u ∂t ∂v ∂t ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v z = f [u ( x, y ), v( x, y )] = ⋅ + ⋅ ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x 当u = u ( x, y )，v = v( x, y )时， du = ∂u ∂u ∂v ∂v dx + dy dv = dx + dy ∂x ∂y ∂x ∂y
2 2 2
α
1 − cosα 1 − cosα sin α α 1 + cosα 1 + cosα sin α = = ctg = ± = = 1 + cosα sin α 1 + cosα 2 1 − cosα sin α 1 − cosα
·余弦定理： c = a + b − 2ab cos C
平面的方程： v 1、点法式：A( x − x0 ) + B( y − y0 ) + C ( z − z 0 ) = 0，其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程： + + = 1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离：d = Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2
= ln( x + x 2 ± a 2 ) + C
安徽专升本数学定积分中值定理公式
一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对在一定区间内函数取值的总和的极限形式的数学运算。
通常用符号∫表示。
在数学中，定积分有广泛的应用，尤其在物理、经济学和工程学等领域中具有重要的意义。
二、中值定理的概念中值定理是定积分中的一个重要定理，它描述了一个连续函数在某一区间上的平均值与它在该区间上的某一点处的函数值之间的关系。
中值定理在微积分中有着重要的应用，可以被用来证明一些定积分的性质以及计算一些特殊的定积分。
三、中值定理的表述中值定理通常有两种不同的表述形式，分别是费马中值定理和拉格朗日中值定理。
费马中值定理描述了在一定条件下，一个函数在某一区间上的平均值与它在该区间上的某一点处的函数值之间的关系。
拉格朗日中值定理则描述了在一定条件下，一个函数在某一区间上的平均值与它在该区间上的某一点处的导数值乘以区间长度之间的关系。
四、中值定理的应用中值定理可以被应用在求解定积分的问题中。
通过中值定理，我们可以将一个定积分转化为一个导数和函数值的关系式，从而简化定积分的计算过程。
中值定理也可以被用来证明一些函数的性质和定理，具有重要的理论意义。
五、安徽专升本数学定积分中值定理公式在安徽专升本数学考试中，定积分中值定理的公式是必须掌握的重要内容。
根据中值定理的表述和应用，安徽专升本数学定积分中值定理公式可以被总结为以下几个方面：1. 费马中值定理公式：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导且f(x)在区间[a,b]上不恒为常数，则存在一点ξ∈(a,b)，使得∫[a,b]f(x)dx=(b-a)f(ξ)。
2. 拉格朗日中值定理公式：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则存在一点ξ∈(a,b)，使得∫[a,b]f(x)dx=(b-a)f(ξ)。
3. 中值定理的解析应用：利用中值定理，可以进行一些特殊定积分的计算，如计算一些特殊函数的定积分，或者证明一些函数的性质。
专升本高等数学常用公式
专升本高等数学常用公式高等数学是大学本科阶段的核心课程之一，其中常用的公式有很多。
下面是高等数学常用公式的一个简要总结。
由于篇幅限制，无法给出所有的公式，但会涵盖主要的内容。
微分学常用公式：1. 极限的定义：对于函数f(x)，若lim(x->a)f(x)=L，则称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim(x->a)f(x)=L。
2. 导数定义：如果函数f(x)在点x0处有极限lim(h->0)[f(x0+h)-f(x0)]/h存在，则称函数f(x)在x0处可导，导数为f'(x0)，即f'(x0)=lim(h->0)[f(x0+h)-f(x0)]/h。
3.基本导数公式：-常函数导数：(c)'=0，其中c为常数。
- 幂函数导数：(x^n)' = nx^(n-1)，其中n为正整数。
-指数函数导数：(e^x)'=e^x。
- 对数函数导数：(lnx)' = 1/x。
-三角函数导数：* (sinx)' = cosx。
* (cosx)' = -sinx。
* (tanx)' = sec^2x。
* (cotx)' = -csc^2x。
* (arcsinx)' = 1/√(1-x^2)。
* (arccosx)' = -1/√(1-x^2)。
* (arctanx)' = 1/(1+x^2)。
* (arccotx)' = -1/(1+x^2)。
-复合函数导数：*(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)，其中f(x)和g(x)都可导。
积分学常用公式：1.不定积分公式：-基本初等函数积分：* ∫(c)dx = cx，其中c为常数。
* ∫(x^n)dx = (x^(n+1))/(n+1)，其中n不等于-1* ∫(e^x)dx = e^x。
* ∫(lnx)dx = xlnx - x，其中x>0。
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2010-3-15 13
a
x
f ( t )dt 就是 f ( x ) 在[a , b]上的一
例6 设f(x)在[0, )内连续且f(x)>0 证明函数
tf (t)dt 0 F (x) x 0 f (t)dt
0
dt 1 t
2
6
x3
0
[
dt 1 t
2
]
( x 2 ) 1 x
x
( x3 ) 1 x
0
6
3x 2 1 x
2x 1 x
4
例 解
求极限 lim
x 0
arctan tdt x2
0 “ ” 0
lim
x 0
x
0
arctan tdt x2
arctan x 1 lim x 0 2x 2
( x)
a
f ( t )dt
(x)
a
则 F ( x ) [
f ( t )dt ] f ( ( x )) ( x )
(3) F ( x )
( x)
( x)
f ( t )dt ，则 F ( x )的导数为
( x) (x)
d F ( x ) f ( t )dt dx
f f u v f y u y v y z y
e
f 2 ( x y , xy )
f u 1 f v x ( ) ln( x 2 y 2 )
f ( x y , xy )
0
e dt
t2
2y 2 2 x y
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x a
。
y xf (t )dt x f (t )dt
x x dy x f (t )dt x[ f (t )dt ] a a dx
f (t )dt xf ( x )
a
x
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12
定理2（原函数存在定理）
如果 f ( x ) 在[a , b]上连续，则积分上限的 函数 ( x ) 个原函数.
x2
2
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2
6
0 2 2 sin t dt 2 x ' sin t dt 2x lim lim 例3 3 3 x 0 x 0 ( x )' x
0
sin(2 x ) ( 2 x )' 2 sin 4 x 2 lim lim 2 2 x 0 x 0 3x 3 x
18
例8 设f ( x)在区间[a, b]上连续,且 f 2 ( x)dx 0，
a
b
则f ( x)在[a, b]上恒等于零. 证明： f ( x)在区间[a, b]上连续 x d x 2 2 2 f ( t ) dt f ( x) 0 f ( x)dx 存在，且 a a dx x 2 当a x b时 f (t )dt是积分上限x的单调不减函数
10
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例4
[
x3 x
2
dt 1 t dt
2
]
[
0 x2
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1 t 2 ( x )
2
x3
dt
2
1 x
3x
2 6
4
1 t 3 ( x )
0
]
1 x
2x
4
6
1 x
1 x
11
例5 解
已知
x
y
a
x
a
dy xf (t )dt ，求 dx
1
x 1 0 x dx 3 3 0
1 2
3 1
例2
1 2 0
2x 1 1 x2
dx 2
2 1 2 0
1 2 0
x 1 x2
dx
1 2 0
1 2 0
1
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arcsin x
2 3 6
23
例3
2x e dt 2 2 0 x y 在[ f ( x y, xy )]x 中, u x y, v xy
f ( x y , xy ) t2
f f u f v x u x v x
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f f u f v x u x v x
0 f (t)dt 0 0 (x t) f (t)dt 0
从而F (x)>0(x>0) 因此F(x)在(0 )内为单调增加函数
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注：
d x tf (t)dt xf (x) 0 dx
d x f (t)dt f (x) 0 dx
x2, 设 f (x) x,
x [ 0 ,1)
( x) x [1, 2 ] , 求
x
0
f ( t ) dt 在[0,2]上的表达式,
0
2
f ( x ) dx .
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1 2 0 1
1
2
原式 2 xdx 5dx 6.
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25
例5 解
a
3
x | x | dx
a a 3 3
a 0, x | x | dx
的一个原函数，则 a f ( x )dx F ( b ) F ( a ) .
(1)求定积分问题转化为求原函数不定积分 的问题.
(2)当 a b 时， f ( x )dx F ( b ) F ( a ) 仍成
a b
b
立.
2010-3-15 22
例1
dx 1 2 x ln x 2 ln1 ln 2 ln 2
2
x0
.
e
cos 2 x
(cos x ) sin x e
cos 2 x
,
e lim cos x
x 0
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1
t 2
dt
x2
sin x e lim x 0 2x
cos 2 x
1 . 2e
8
注：
设 (x)
x t 2 e dt 1
a
0 f (t )dt f (t )dt f 2 (t )dt 0 ( a x b)
2 2 a a a
a
x
b
积分上限函数 f 2 (t )dt为常数，其导数为零
a
f (t )dt 0
2 a x
x
( a x b) f 2 ( x) 0 f ( x) 0
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f ( x ) ( x ) f [ ( x )] ( x )
5
例1
[ e dt ] e
t2 2
3 2
x
x2
[ cos tdt ] cos 2 x x
sin x sin x d sin t 2 例2 2 ( x )' dt 2 x x dx 1 t u sin t x 2 sin t 2 1 t dt 1 t dt , u x
a
x
( x )
o
2010-3-15
a
x
x x b
x
4
推论 如果 f ( t ) 连续， ( x ) 、 ( x ) 可导， （1） F ( x ) x f ( t )dt x 则F ( x ) [ a f ( t )dt ] f ( x )
a
（2） F ( x )
证明 因为
x
x
在(0 )内为单调增加函数
F (x)
xf (x)0 f (t)dt f (x)0 tf (t)dt (0 f (t)dt)2
x x
x
x
f (x)0 (x t) f (t)dt (0 f (t)dt)2
x
x
按假设 当0tx时f (t)>0 (xt)f (t)>0 所以
定积分计算基本公式
易伟明
2010-3-15
1
§3 定积分计算基本公式
一 二 积分上限函数及其导数 牛顿— 莱布尼茨公式
2010-3-15
2
一
积分上限函数及其导数
积分上限函数(或变上限函数)
( x) f (t )dt ,x [a, b]
a
x
积分下限函数(或变下限函数)。
( x) f (t )dt , x [a, b]
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15
例7 设 z
f ( x y , xy )
0
e dt ln( x y ),其中
t2 2 2
f ( x y , xy )
0
e dt
t2
z z 存在，且 f ( u, v )的一阶偏导数连续，求 ， . x y
z f 2 ( x y , xy ) 解 e [ f ( x y, xy )]x ln( x 2 y 2 ) x
2
8 sin 4 x lim 2 x 0 3 4x
2
8 3
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7
例
求
lim
1 co s x
e x