高等数学换元法
高等数学 重积分的换元法及含参变量的积分
( x ) f ( x , y ) d ( x) ( x ) ( x ) f ( x , y )dy ( x ) dy dx x f [ x , ( x )] ( x ) f [ x , ( x )] ( x ). (7)
v
柱面坐标 4. 三重积分换元法 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrd dz
x r cos , y r sin , z z.
x r sin cos , （2） 球面坐标的体积元素 2 dxdydz r sindrdd y r sin sin , z r cos . （3） 广义球面坐标的体积元素 x ar sin cos , 2 dxdydz abcr sindrdd y br sin sin , z cr cos .
当 x 0 时，上式右端最后一个积分的积分限不变，
根据证明定理1时同样的理由，这个积分趋于 零. ( x ) 又 ( x x ) f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) ,
( x)
( x x )
f ( x x , y )dy M ( x x ) ( x ) .
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y(u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
注意：
同时也兼顾被积函数 f ( x , y ) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状，
《高等数学换元法》课件
参考资料
书籍
高等数学教材
文献
相关研究论文
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《高等数学换元法》PPT 课件
# 高等数学换元法PPT课件大纲
引言
换元法是一种在高等数学中常用的求解方法，它通过引入一个新的变量来简 化问题的求解过程。 我们将学习为什么需要换元法以及它在实际问题中的应用。
基本概念
函数
了解什么是函数及其性质，是掌握换元法 的基础。
复合函数
学习如何构造和计算复合函数，为换元法 提供更多的方法。
应用换元法解决有理函数的 复合函数问题。
常见的换元方法
1 常见的换元方法介绍
2 第一类换元法：代换法
了解常用的换元方法及其适用范围，为 问题求解提供更多的思路。
介绍使用代换法进行问题求解的具体步 骤和技巧。
3 第二类换元法：三角函数换元法 4 第三类换元法：指数函数换元法
探索利用三角函数进行变量替换的换元 方法，提高求解的便利性。
学习如何利用指数函数进行变量替换， 解决涉及指数函数的问题。
实例演示
实例1
实例2
实例3
$y = rac{sqrt[3]{x-1}}{(x-1)^2}$ $y = rac{2x-1}{sqrt{x^2+x+1}}$ $y = sqrt{ rac{1-x}{1+x}}$
小结ห้องสมุดไป่ตู้
通过本课程，我们学习了高等数学换元法的基本概念、常见的换元方法以及其在实例中的应用。 希望你对换元法有了更深入的了解，并可以在实际问题中应用这一求解方法。
变量
认识变量的含义和作用，为后续的复合函 数和反函数打下基础。
反函数
研究反函数的特性和性质，掌握反函数换 元法的应用技巧。
高等数学(大农类)4.2换元法
解:
∴ 原式 =
常用的几种配元形式:
万能凑幂法
例6. 求
解: 原式 =
例7. 求
解: 原式 =
例8. 求
解: 原式 =
例9. 求
解法1
解法2
两法结果一样
例10. 求
解法1
解法 2
同样可证
或
(P123 例2(5) )
例11. 求
解: 原式 =
例12 . 求
解:
令
解: 原式
(P130 公式 (17) )
例20. 求
例21. 求
解:
(P130 公式 (20) )
例22. 求
解: 原式 =
(P130 公式 (19) )
例23. 求
解: 原式
(P130 公式 (19) )
例24. 求
解: 令
得
原式
例25. 求
解: 原式
令
例16
例26.
求Байду номын сангаас定积分
2. 求
提示:
法1
法2
法3
二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
难求
易求
若所求积分
易求,
则得第二类换元积分法 .
难求，
定理2 . 设
是单调可导函数 , 且
具有原函数 ,
证:
令
则
则有换元公式
例16. 求
解: 令
则
∴ 原式
例17. 求
解: 令
则
∴ 原式
例18. 求
解:
令
则
∴ 原式
令
于是
说明:
解：
令
高等数学-4_2换元法
（2） tan x d x
3
解(1): 原式 sec2 x sec2 x d x
(tan
(tan
1 3
3
2
x 1) sec x d x
2
2
x 1) d (tan x )
tan x tan x C
sec x d x d (tanx )
2
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例7. （1）
sec
2
x x
dx
2
（2）
xd
dx x (1 x )
解 (1) 原式 = (2) 原式 =
2
sec
x 2tan x 2
x c
1 d x
2
(1 x ) d
1
1 (
x)
2
2arctan
1 x d x 2d
x c
2 a x b)
x
x
x
1 e x e (1 ) dx x 1 e x e dx dx x 1 e
x
(1 e ) e
dx
e d x de
x
x
d (e 1 )
x
x ln(1 e x ) C
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结1 x
1 2
x
d(
1 2
2
x ) 2e
1
1 2
x
c
（4）
dx
2
1 d( 1 3 x )
（1 3 x )
自学考试高等数学第一类换元法(凑微分法)
1 4
2
1
dx
例7 求下列不定积分
(1)
a
1 2 x
2
dx
;
(2)
x
2
1 8x
25
dx
.
解 (1) 原式
1 a
arctan
x a
C;
(2) 原式
(x
1 4)2
9
dx
1 32
x
3
1 4
2
1
dx
例7 求下列不定积分
(1)
a
1 2 x
2
dx
;
(2)
x
2
1 8x
25
dx
.
解 (1) 原式 1 arctan x C;
a
a
(2) 原式
(x
1 4)2
9
dx
1 32
x
3
1 4
2
1
dx
1 3
x
3
1 4
2
1
d
x
3
4
1 3
arctan
x
3
4
C
.
完
例 8 求下列不定积分
(1)
1
1 e
x
dx
;
sin 1
(2)
x
x
2
dx
.
解 (1)
1
ex 1 ex
e
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
dx
1
e
x
e
x
dx
dx
算的常用手段之一.
完
例 14 求下列不定积分
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨一、换元法的基本概念换元法是指将一个变量替换成一个表达式，从而使原有的方程式变形成一个更加容易求解的方程的方法。
通常情况下，采用换元法前后的未知量并不相同，因此可以通过选择合适的代换量，以便将方程转化成最简单的形式。
二、换元法的一般步骤（1）化简原方程，以便找到需要代换的变量。
（2）找到一个代换变量，将原方程中的变量全部替换为代换变量，并将原方程转化成带有新变量的方程。
（3）求解新方程，得到新变量的值。
（4）将新变量的值代入代换变量，得到原变量的值。
三、实际教学中如何进行换元法的解题（1）帮助学生掌握常见的代换方法对于换元法的教学来说，了解常见的代换方法是非常重要的。
例如，对于二次方程，可以通过配方法将其转化为完全平方数形式，从而进行方便的变量替换。
而对于三次方程，可以使用Tartaglia公式求解，从而将不易求解的三次方程转化为容易求解的算式形式。
（2）引导学生选择合适的替代变量不同的代换变量可能会导致不同的转换结果，因此在实际解题中需要根据题目的要求来选择合适的替代变量。
例如，某些题目需要进行逆变换，这时选择正弦或余弦的比值作为代换变量可能会更加适合。
（3）注重解题过程中的物理意义在高等数学的教学中，注重解题过程中的物理意义能够帮助学生更好地理解本质。
例如，在物理问题中，可能需要使用对数或指数来描述问题，在解题过程中注重对数或指数的物理含义可以更好地理解问题以及求解过程。
四、结束语在高等数学的教学中，换元法是重要的解题方法之一，不仅能够帮助学生更好地理解数学知识，并且可以帮助学生更好地掌握解题思路。
因此，在高等数学的教学中，教师需要注重引导学生掌握常见的代换方法，引导学生选择合适的替代变量，并注重解题过程中的物理意义，从而帮助学生更好地掌握这一重要的解题方法。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨换元法是高等数学中一种基本的解法方法，可以运用于微积分、线性代数等多个领域的问题解决。
本文就对高等数学中换元法的教学进行探讨，旨在让学生对换元法有更深入的理解与掌握。
一、换元法的基本概念换元法就是将一个或多个自变量用一个或多个新变量来代替，以便简化问题进一步求解。
在微积分中，通常情况下都是将一些复杂表达式中的函数用类似于反函数之类的方法进行换元化简，使其变成可进行进一步处理的形式。
例如，可以使用$x^2=\sin t$将$\sqrt{1-x^2}$转化为$\cos t$，方便进行计算。
换元法的一般步骤包括确定新变量、确定旧变量与新变量之间的关系、求解新方程、将得到的结果通过新旧变量之间的关系回代到原方程中。
其中，确定新变量的关键是要找到能够化简问题的合适变量。
以求解微积分中的曲线积分为例，根据问题不同，我们可以使用极坐标、参数方程等不同的变量来实现化简。
确定旧变量与新变量之间的关系，通常需要根据题目的要求，采用特定的变量替换方法。
有的换元法遇到的变量替换可能较复杂，学生可借助画图来理解和记忆。
例如常常遇到的三角换元法。
三、典型例题具体来看，下面结合具体的例子，进行探讨。
例1. 求$\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2\sqrt{1-x^2}}$解: 可以使用反三角函数中的$\arcsin$关系进行换元，设$x=\sin t$，则$\mathrm{d}x = \cos t\mathrm{d}t$，原式变为$\int\frac{\cost\mathrm{d}t}{\sin^2t\cos t} = \int\frac{\mathrm{d}t}{\sin t} =\ln|\tan\frac{t}{2}|+C$。
通过将$t$换回$x$来得到最终的答案，记得当$x$在区间$(-1,1)$之外时需加符号来保证得到的结果为正值，答案为$\ln\left|\frac{1}{x}+\sqrt{1-x^2}\right|+C$。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨1. 引言1.1 引言在高等数学中，换元法是一种重要的解题方法，它在解决一些复杂问题时起到了至关重要的作用。
换元法的基本概念是通过引入新的变量或者函数，将原来的积分或者微分问题转化为容易求解的形式。
这种方法通常能够简化问题的结构，使得计算变得更加方便和高效。
换元法的原理与方法主要是通过进行代换，将原函数转化为另一种形式，进而简化问题的求解过程。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择适合的换元方法，以达到最优的解题效果。
在不同类型的问题中，换元法都有着广泛的应用。
比如在求不定积分、解微分方程、计算面积和体积等方面，换元法都能够发挥巨大的作用，帮助我们解决各种复杂的数学难题。
当使用换元法时，需要注意一些技巧和注意事项，比如选择合适的代换变量、避免代换后引入无关的项等等。
只有在掌握了这些注意事项后，我们才能更好地运用换元法来解决问题。
为了更好地掌握换元法，我们还需要不断练习。
通过大量的练习，我们才能熟练掌握不同类型的换元方法，提高解题的效率和准确性。
换元法是高等数学中一个重要的解题工具，掌握了它，我们能够更加轻松地解决各种复杂的数学问题。
展望未来，我们可以通过不断地学习和实践，进一步提高换元法的运用能力，为解决更多更复杂的数学难题奠定更加坚实的基础。
2. 正文2.1 换元法的基本概念换元法是高等数学中常用的一种方法，它在解决复杂数学问题时具有重要的作用。
换元法的基本概念涉及到将复杂的问题转化为简单的形式，从而更容易解决。
换元法的核心思想是通过引入一个新的变量或函数，将原问题转化为一个容易求解的形式。
换元法的基本步骤包括确定新的变量或函数的取值范围，建立新旧变量之间的关系，然后将原问题转化为新变量或函数的形式，最终求解新问题。
在换元法中，选择合适的变量或函数是至关重要的。
通常情况下，我们会选择与原问题具有相关性的变量或函数作为新的代换变量，这样可以更好地反映原问题的性质。
高等数学换元法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
基本思路
设 F (u ) f (u ) , 可导, 则有
( F[ ( x)]) f [ ( x)] ( x)
F[ ( x)] C F (u ) C
f (u )du
f ( ( x))d ( x )
例：
1
dx x
例二类换元法主要是解决有根号而不能用直 接积分、凑微分解决的问题
dx x
cos x x
dx
例16. 求
a 2 x 2 dx (a 0) .
解: 令 x a sin t , t ( , ) , 则 2 2
2 2 2 2 2
三角换元
xsin x sin x dx x sin x cos x C
思考: 如何求
原式 x 2 d ( cos x)
( cos x )dx 2
例2. 求 x ln x dx .
解:
x2 原式 = ln xd ( ) 2 2 x 1 2 x ln x d ln x 2 2 1 1 2 x ln x x dx 2 2 1 2 1 2 x ln x x C 2 4
a x a a sin t a cos t dx a cos t d t
a cos t a cos t d t a 2 cos 2 t d t ∴ 原式
t sin 2t C a 2 4 x a2 x2 sin 2t 2 sin t cos t 2 a a x 1 a2 arcsin x a 2 x 2 C 2 a 2
u ( x )
u ( x )
高等数学 4-2换元积分法
4
例 12
求 cos 3 x cos 2 xdx.
∫
解： cos A cos B =
1 [cos( A − B ) + cos( A + B )], 2
cos 3 x cos 2 x =
1 (cos x + cos 5 x), 2 1 1 1 ∫ cos 3x cos 2 xdx = 2 ∫ (cos x + cos 5x)dx = 2 sin x + 10 sin 5 x + C.
第一类换元公式（凑微分法） 第一类换元公式（凑微分法）
说明：使用此公式的关键在于将 说明：使用此公式的关键在于将 g ( x ) dx 化为
∫
∫ f [ϕ ( x)]ϕ ′( x)dx.
∫
解（一） sin 2 xdx =
∫ ∫ ∫
1 1 ∫ sin 2 xd (2 x) = − 2 cos 2 x + C; 2
=
1 1 − cos x ln + C. 2 1 + cos x
类似地可推出 sec xdx = ln(sec x + tan x ) + C. 例 14
2 2 设 f ′(sin x) = cos x, 求 f (x) .
∫
解：令 u = sin x ⇒
2
cos 2 x = 1 − u ,
f ′(u ) = 1 − u , 1 f (u ) = ∫ (1 − u )du = u − u 2 + C , 2 1 f ( x) = x − x 2 + C. 2 1 例 15 求 ∫ dx. x 2 4 − x arcsin 2
高等数学定积分的换元法4
2 0
a cos t dt 2 2 a sin t + a (1 − sin t )
π 2 0
=∫
π 2 0
cos t 1 cos t − sin t dt = ∫ 1 + dt sin t + cos t 2 sin t + cos t
π 2 0
1 π 1 = ⋅ + [ln sin t + cos t ] 2 2 2
π 2 π 2
= ∫ f (cos t )dt = ∫ f (cos x )dx;
0 0
（2）设 x = π − t ）
⇒ dx = − dt ,
x = π ⇒ t = 0,
0
x=0
π
⇒ t = π,
π
∫0 xf(sinx)dx = −∫ (π − t ) f [sin(π − t )]dt
= ∫ (π − t ) f (sint )dt,
dt 1 ( = > 0) dx 2x + 1
于是
∫ 0
4
x+2 1 2 22 dx = ∫ (t + 3)dt = 2x + 1 21 3
3
由此可见， 由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元， 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量， 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 下限换成新变量的上、 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量 积分， 将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
∫a f ( x)dx = F(b) − F(a)
= Φ( β ) − Φ(α ) = ∫α f [ϕ (t )]ϕ ′(t )dt.
高等数学《换元法》课件
4.2.1 第一类换元法（凑微分法） 4.2.2 第二类换元法
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基本思路
设F(u) f (u),
可导, 则有
dF[( x)] f [( x)]( x)dx
F[ ( x)] C F (u) C u( x)
f (u)du u( x)
第一类换元法 第二类换元法
de x
(8)
f (ln x)1dx x
dln x
例6 求
解
原式 =
1
dln x 2ln
x
1 2
d(1 2ln x) 1 2ln x
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例7
求
e3
x
x
dx
.
解
原式 = 2 e3
xd
x
2 3
e
3
x d(3
x) 2e3 3
x C
例8 求 sec6 xdx .
解 原式 = (tan2 x 1)2dsetca2nxxd x
三角代换外, 还可利用公式 ch2 t sh2 t 1
采用双曲代换 x ash t 或 x a ch t
消去根式, 所得结果一致.
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例19 求
a2 x4
x2
dx
.
解
令
x
1 t
,则
令x a sin t,t ( , )
22
原式
a2
1 t2
1
t4
t
1 4
(1
2cos
2x
cos2
2
x)
1 4
(1
2cos 2x
第二类换元法三角代换
第二类换元法三角代换
第二类换元法是高等数学中的重要内容，它可以帮助我们解决许多复杂的积分问题。
其中，三角代换是第二类换元法的一种常见形式，它可以将一个积分式子中的三角函数转化为代数函数，从而使积分更加容易求解。
三角代换的基本形式是：假设我们的积分式子中包含一个三角函数，例如sin(x)或cos(x)，我们可以通过将x用另外一个三角函数代替，从而将原积分式子中的三角函数转化为代数函数。
常见的三角代换包括sin(x)代换、cos(x)代换、tan(x/2)代换等。
具体来说，对于sin(x)代换，我们可以将x表示为sin(t)，然后将积分式子中的所有x项用sin(t)表示，从而将原积分式子转化为只含有t和代数函数的式子。
类似地，对于cos(x)代换，我们可以将x表示为cos(t)，然后将积分式子中的所有x项用cos(t)表示，从而将原积分式子转化为只含有t和代数函数的式子。
对于tan(x/2)代换，我们可以将x表示为2arctan(t)，然后将积分式子中的所有x 项用2arctan(t)表示，从而将原积分式子转化为只含有t和代数函数的式子。
通过三角代换，我们可以将原本复杂的三角函数积分转化为简单的代数函数积分，从而大大简化了求解的难度。
因此，掌握第二类换元法三角代换是高等数学学习中的重要内容。
- 1 -。
高等数学第三节 换元法
练习
1
x
dx x2 1
小结
• 根式换元法 • 三角换元法 • 用换元法注意最后结果一定换回原变量
6
t
6
t
4
t
2
1
1 1t
2
dt
6 7
t
7
6 5
t
5
2t
3
பைடு நூலகம்
6t
6 arctan t
C
6 x6 x 6 6 x 5 2 x 66 x 6 arctan6 x C.
7
5
练习
1、
x 1dx x
4、 1
1 dx x 1
二、三角换元法
量下去积，最后结果换回原变量.
例 求
x dx. 13 x
解 为了去掉根号，令 6 x t , x t 6 ,
则 x t 6 (t 0), dx 6t 5dt, 于是有
x dx 13 x
t 3 6t 5dt 1t2
6
t 8 dt 6
1t2
(t8 1) 1 1 t2 dt
因为 t arcsin x , a
cos t
a2 x2 , a
于是有
a2 x2dx
a2 2
arcsin
x a
x a
a2 a
x2
C
a2 arcsin x x a2 x2 C.
2
a2
例 求
dx (a 0). x2 a2
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨换元法是高等数学中常用的一种解题方法，其主要应用于求一些已知函数的导数、积分和定积分。
本文将探讨在高等数学教学中如何更好地掌握和应用换元法。
一、基本思路在高等数学中，换元法的基本思路是通过一些代数变换将原式化简为更容易积分或求导的形式。
这个代数变换过程一般分为两步：1、选择合适的替换量进行代换。
选择的替换量应该是能够把原式化简为更容易求解的形式，并且这个替换量应该与原式中的某些部分具有一定的联系。
2、将原式中的所有部分用所选的替换量表示出来。
这个步骤一般需要一些代数运算，如分式的通分、配方等。
二、常用换元法在高等数学教学中，常用的换元法有三种：凑微分法、三角函数换元法和反函数换元法。
1、凑微分法凑微分法是一种利用微分法的思想，通过构造微分式恰好可以化简原式为更容易求积分的形式。
凑微分法的基本思路是将原式中包含某一部分的项进行等价变形，使其与另外一部分的项相消去，得到一个微分式，并将原式中的其他部分也表示为微分式的形式，最终化简出来的微分式是一个更容易积分的函数。
例如，对于原式：$$\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}dx$$我们可以采用凑微分的方法，令$x=\sin{t}$，则有：$$dx=\cos{t} dt$$则原式可以化为：2、三角函数换元法三角函数换元法是将原式中的一些高次幂函数，如$x^2+a^2$、$x^2-a^2$等，用三角函数来代替。
这种方法的优点在于可以利用三角函数的简单性质，将原式转化为一个更容易求积分的形式。
$$\int\frac{2/\cos^2{t}}{(2\tan{t})^2+4}dt=\int\frac{\cos^2{t}}{\cos^2{t}}\frac{dt}{2}=\frac{1}{2}\int dt=\frac{1}{2}(t+C)$$三、教学探讨在高等数学教学中，我们应该注重培养学生的换元思维，让学生能够理解和掌握换元法的基本思路，并能够根据实际题目进行灵活应用。
高等数学中换元法的教学探讨
高等数学中换元法的教学探讨换元法是高等数学中重要的数学方法之一，也是数学中最基础的数学方法之一。
换元法可以解决很多数学问题，如求导数，求积分，求极限等。
在高等数学中，换元法是数学学习的重要环节，因此在教学中需要引导学生深入理解换元法的本质和使用方法。
在教学中，首先要帮助学生理解换元法的本质。
换元法是将原来的数学表达式中的变量用另外一个变量来代替，从而得到一个新的数学表达式。
这种方法可以使得原来难以求解的数学问题变得简单。
例如，在求解微积分中的导数时，对于某个函数y=f(x)，如果我们对函数f(x)求导数较为困难，可以采用换元法，将原来的变量x换成另外一个变量t，使得y=f(t)，从而可以得到y关于t的导数。
由于t是一个新的变量，它可能比x更适合进行求导。
因此，通过换元法可以使求导数变得更加容易。
其次，教师需要向学生介绍换元法的使用方法。
换元法可以分为常用换元法和特殊换元法两种类型。
常用换元法通常采用一些常用的代换方式，例如将一些三角函数用其他三角函数表示，将指数函数用对数函数表示等。
特殊换元法则需要根据具体的数学问题，自行选择合适的代换方式。
在教学中，应该注重培养学生选择代换的能力，使他们能够灵活地运用换元法解决数学问题。
最后，教学应该注重实际应用。
换元法不仅是一种抽象的数学方法，还是实际应用的重要工具。
例如，在物理学中，我们可以通过换元法将自变量t改变成自变量x，从而得到一个新的物理表达式。
这个新的表达式可能会更加符合实际物理问题的要求。
因此，在教学中应该注重将数学方法与实际应用相结合，帮助学生理解换元法的实际用途，以及如何正确地使用它来解决实际问题。
高等数学A4.2-换元积分法(1)
d
x
(5)
4
dx x2
11 2x 2x
(6)
dx 4x x2
d(x 2) 4 (x 2)2
2. 求 提示: 法1
法2
法3
第二节换元积分法
3.求
第二节换元积分法
解: 原式
f f
(x) ( x)
1
f
(x) f (x) f 2(x)
解：利用凑微分法 , 得
原式 = 令
第二节换元积分法
常用的几种配元形式:
(1) f (ax b)dx
(2) f (xn )xn1 dx
(3)
f
(x n
)1 x
dx
(4) f (sin x)cos xdx
(5) f (cos x)sin xdx
第二节换元积分法
万 能 凑 幂 法
(6) f (tan x)sec2 xdx
）
4. ax f (ax )dx ( )
5． csc2xf (cot2 x)dx ( )
6.
1 1+x2
f
(arctan
x)dx=（
）
第二节换元积分法
7.
1 f (arcsin x)dx ( 1-x2
)
8. sec x tan x f (sec x)dx ( )
9. f (x) f (x)dx ( )
万能凑幂法
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙换元或配元
第二节换元积分法
思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?
高等数学 第六章 积分法 6-2 不定积分的换元积分法(2)
第二节 不定积分的换元积分法
一、第一类换元积分法（凑积分法） 第一类换元积分法（凑积分法） 二 、第二类换元积分法 基本积分表（ 三 、基本积分表（Ⅱ）
二、第二类换元法
1. 引例
∫
1− x2 d x = ?
解 作变量代换： 作变量代换： 令 x = sint ( t < π ) 则 d x = cos t dt, ，
为去根式
解 令 x = asint , t ∈(− , ), 则 dx = acos t dt 2 2 x 2 2 2 2 2 = acos t sint = a − x = a − a sin t a 2 1+ cos 2t 2 2 I = ∫ acos t ⋅ acos t dt a ∫ dt ∫ cos t d = a x 2 t 2 t sin2t ) +C =a ( + 2 4 a2 − x2 x a2 − x2 sin2t = 2sint cos t = 2 ⋅ ⋅ a2 − x2 a a cos t = 2 x 1 a a = arcsin + x a2 − x2 + C. a 2 2
令 t = 1+ x2, 则 x2 = t 2 −1, xd x = t dt,
∫
(t2 −1)2 dx = ∫ t dt = ∫ (t4 − 2t2 + 1)dt t 1+ x2
x5
1 15 23 = t − t + t + C= (8− 4x2 + 3x4 ) 1+ x2 + C. 15 5 3
中 其 t = ψ−1( x)是x = ψ(t)的 函 . 反 数 端 分 得 后 其 右 积 求 之 ， 中t须 反 数 =ψ −1( x)回 . 用 函 t 代
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例1. 求
解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
注: 当
时
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例2. 求
解:
1 dx 2 x)2 a 1 (a x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C 2 a a 1 u
万能凑幂法
n 1 1 f (xn ) 1 d xn f (x ) x dx n x
n
n n f ( x ) d x f ( x n )x n 1 dx 1 n
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换ห้องสมุดไป่ตู้或配元
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思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?
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a t
x
例17. 求
), , 解: 令 x a tan t , t ( 则 2 2
x 2 a 2 a 2 tan 2 t a 2 a sec t
dx a sec t d t a sec2 t d t sec t d t ∴ 原式 a sec t ln sec t tan t C1
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
则
(t ) f [ (t )] (t ) F ( x) [ 1 ( x) ] d dt 1 F ( x) f [ (t )] (t ) f ( x) d t dx (t ) f ( x) dx F ( x) C [ 1 ( x)] C
∴原式 =
1 (1 cos 8 x) 8
1 4
(1 cos 4 x) sin 2 2 x cos 2 x 1 8
1 cos 8 x d(8 x ) d x 64 2 1 cos 4 x d( 4 x ) 1 sin 2 x d (sin 2 x ) 2 32
1 u2
想到公式 du
arctan u C
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例3. 求
解:
a
dx
x)2 1 (a
x) d (a x )2 1 (a
想到
du 1 u2
arcsin u C
f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
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cos x dx
4 3 2
1 4
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x ) dx ( 2 2
1 cos 4 x d ( 4 x) cos 2 x d( 2 x ) d x 8
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例13. 求
2 解: sin 2 x cos 2 3x [ 1 (sin 4 x sin 2 x )] 2 2 1 2 sin 4 x sin 2 x 1 sin 2 2 x 1 sin 4 x 4 4 4
2
x a
2
2
ln
x2 a2 x
C 1 a
(C C1 ln a)
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t a
x
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例18. 求
则 解: 当x a 时, 令 x a sec t , t ( 0 , ) , 2
x 2 a 2 a 2 sec 2 t a 2 a tan t dx a sec t tan t d t
dx dx ( 2) (1) 4 x 4 x2 2 x d ( 4 x ) 1 (3) d x 2 2 4 x 4 x2 x2 (4) d x 4 x2 dx 1 1 (5) 2 2 x 2 x 4 x dx (6) 4x x2
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2
2
2
2
2
2 2 a cos a cos t a cos t d t ∴ 原式 t d t a2 x2 2 t sin 2t C a 2 4 x a2 x2 sin 2t 2 sin t cos t 2 a a x 1 a2 arcsin x a 2 x 2 C 2 a 2
f ( x) f ( x) d( ) f ( x) f ( x)
1 f ( x) 2 C 2 f ( x)
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小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
1 sin 2 x cos 2 x 等 (2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
a sec t tan t d t sec t d t ∴ 原式 a tan t ln sec t tan t C1
de
x
dln x
例6. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
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例7. 求
e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
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例14. 求
解: 原式=
ex
ex
1 1 x ( x ) d( x e ) x x e 1 x e
ln x e x ln 1 x e x C x ln x ln 1 x e x C
1 1 xe x xe x 分析: x x xe (1 xe ) xe x (1 xe x )
f (sin x)cos xdx f (cos x)sin xdx
dsin x dcos x
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(6) (7 )
(8)
x x f ( e )e dx
1 f (ln x) dx x
f (tan x)sec 2 xdx
dtan x
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例12 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 ( 1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
4 2 2
1 cos 4 x ) 1 ( 1 2 cos 2 x 4 2
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x) 1 ( 4 2 2
dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 x x x d ( 1 e ) (1 e ) e dx d x x 1 ex 1 e x x ln(1 e ) C
解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
例8. 求 sec 6 xdx .
2 tan xd x 解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d sec
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
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x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
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常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
d(a x b)
dx
n
1 n d x xn
万 能 凑 幂 法
(4) (5)
1 (t (C t )] )d t( tx) t [ft[] 1 ( x )
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例16. 求
), , 解: 令 x a sin t , t ( 2 2 则
a 2 x 2 dx (a 0) .
a x a a sin t a cos t dx a cos t d t
( x 1)e dx xe dx e dx
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x
x
x
例15. 求 解: 原式
f ( x) f ( x) f ( x) 1 f ( x) f 2 ( x)
dx
f ( x) f 2 ( x) f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) f ( x)