高等数学换元法

de
x
dln x
例6. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
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例7. 求

e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
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例10. 求 解法1
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
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例14. 求
解: 原式=
ex
ex
1 1 x ( x ) d( x e ) x x e 1 x e
ln x e x ln 1 x e x C x ln x ln 1 x e x C
1 1 xe x xe x 分析: x x xe (1 xe ) xe x (1 xe x )
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a t
x
例17. 求
), , 解: 令 x a tan t , t ( 则 2 2
x 2 a 2 a 2 tan 2 t a 2 a sec t
dx a sec t d t a sec2 t d t sec t d t ∴ 原式 a sec t ln sec t tan t C1
万能凑幂法
n 1 1 f (xn ) 1 d xn f (x ) x dx n x
n
n n f ( x ) d x f ( x n )x n 1 dx 1 n
(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法
(4) 巧妙换元或配元
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思考与练习
1. 下列各题求积方法有何不同?
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求
解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
注: 当
时
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例2. 求
解:
1 dx 2 x)2 a 1 (a x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C 2 a a 1 u
a sec t tan t d t sec t d t ∴ 原式 a tan t ln sec t tan t C1
第二节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
公式
f (u )du
即
u ( x)

f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
1 (t (C t )] )d t( tx) t [ft[] 1 ( x )
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例16. 求
), , 解: 令 x a sin t , t ( 2 2 则

a 2 x 2 dx (a 0) .
a x a a sin t a cos t dx a cos t d t
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例12 . 求
1 cos 2 x 2 解: cos x (cos x) ( ) 2 2 1 ( 1 2 cos 2 x cos 2 x) 4
4 2 2
1 cos 4 x ) 1 ( 1 2 cos 2 x 4 2
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x) 1 ( 4 2 2
( x 1)e dx xe dx e dx
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x
x
x
例15. 求 解: 原式
f ( x) f ( x) f ( x) 1 f ( x) f 2 ( x)
dx

f ( x) f 2 ( x) f ( x) f ( x) dx 2 f ( x) f ( x)
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常用的几种配元形式:
1 (1) f (ax b)dx a 1 n n 1 (2) f ( x )x dx n 1 n 1 (3) f (x ) dx n x
d(a x b)
dx
n
1 n d x xn
万 能 凑 幂 法
(4) (5)
2
x a
2
2
ln
x2 a2 x
C 1 a
(C C1 ln a)
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t a
x
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例18. 求
则 解: 当x a 时, 令 x a sec t , t ( 0 , ) , 2
x 2 a 2 a 2 sec 2 t a 2 a tan t dx a sec t tan t d t

∴原式 =
1 (1 cos 8 x) 8
1 4
(1 cos 4 x) sin 2 2 x cos 2 x 1 8
1 cos 8 x d(8 x ) d x 64 2 1 cos 4 x d( 4 x ) 1 sin 2 x d (sin 2 x ) 2 32
dx dx ( 2) (1) 4 x 4 x2 2 x d ( 4 x ) 1 (3) d x 2 2 4 x 4 x2 x2 (4) d x 4 x2 dx 1 1 (5) 2 2 x 2 x 4 x dx (6) 4x x2
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1 dx dx ∴ 原式 = 2a x a xa
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
1 ln x a ln x a 2a
1 xa C C ln 2a x a
1 u2
想到公式 du
arctan u C
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例3. 求
解:
a
dx
x)2 1 (a

x) d (a x )2 1 (a
想到

du 1 u2
arcsin u C

f [ ( x)] ( x)dx
f ( ( x))d ( x)
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(直接配元)
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例4. 求 解:
sin x dcos x cos xdx cos x
类似
cos x dx d sin x sin x sin x
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例5. 求 解:
1 ( x a) ( x a) 1 1 1 1 ( ) 2 2 2a ( x a)( x a ) 2a x a x a x a
f (sin x)cos xdx f (cos x)sin xdx
dsin x dcos x
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(6) (7 )
(8)
x x f ( e )e dx

1 f (ln x) dx x
f (tan x)sec 2 xdx
dtan x
或
x ln tan C 2
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例11. 求
x3 (x2 a2 )
3 2
dx .
1 1 (x2 a2 ) a2 2 x 2 dx 2 dx 解: 原式 = 3 3 2 ( x2 a2 ) 2 2 (x2 a 2 ) 2 1 2 2 2 2 12 ( x a ) d( x a ) 2 a2 2 2 2 2 3 2 d ( x a ) (x a ) 2
则


(t ) f [ (t )] (t ) F ( x) [ 1 ( x) ] d dt 1 F ( x) f [ (t )] (t ) f ( x) d t dx (t ) f ( x) dx F ( x) C [ 1 ( x)] C
dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 x x x d ( 1 e ) (1 e ) e dx d x x 1 ex 1 e x x ln(1 e ) C
解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
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解法 2
(sec x tan x) sec x tan x sec 2 x sec x tan x dx sec x tan x d (sec x tan x) sec x tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C

cos x dx
4 3 2
1 4
3 2 cos 2 x 1 cos 4 x ) dx ( 2 2
1 cos 4 x d ( 4 x) cos 2 x d( 2 x ) d x 8
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例13. 求
2 解: sin 2 x cos 2 3x [ 1 (sin 4 x sin 2 x )] 2 2 1 2 sin 4 x sin 2 x 1 sin 2 2 x 1 sin 4 x 4 4 4
2
2
2
2
2
2 2 a cos a cos t a cos t d t ∴ 原式 t d t a2 x2 2 t sin 2t C a 2 4 x a2 x2 sin 2t 2 sin t cos t 2 a a x 1 a2 arcsin x a 2 x 2 C 2 a 2
例8. 求 sec 6 xdx .
2 tan xd x 解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d sec
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
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2. 求 提示:
法1 法2
法3
(x ) x
1 10
10
10
dx
10
1 d x 10 10
作业
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二、第二类换元法
第一类换元法解决的问题
f [ ( x)] ( x)dx f (u )d u u ( x)
难求 易求
若所求积分 f (u )d u 难求，
f ( x) f ( x) d( ) f ( x) f ( x)
1 f ( x) 2 C 2 f ( x)
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小结 常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
1 sin 2 x cos 2 x 等 (2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
f [ ( x)] ( x)dx 易求,
则得第二类换元积分法 .

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定理2 . 设
是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 则有换元公式
其中 t 1 ( x) 是 x (t ) 的反函数 .
证: 设 f [ (t )] (t ) 的原函数为 (t ) , 令