11(3)第十一章3 积分变换法求解定解问题

第十五章 积分变换法求解定解问题
１5.１ 傅里叶变换法解数学物理定解问题
用分离变量法求解有限空间的定解问题时，所得到的本征值谱是分立的，所求的解可表为对分立本征值求和的傅里叶级数．对于无限空间，用分离变量法求解定解问题时，所得到的本征值谱一般是连续的，所求的解可表为对连续本征值求积分的傅里叶积分．因此，对于无限空间的定解问题，傅里叶变换是一种很适用的求解方法．本节将通过几个例子说明运用傅里叶变换求解无界空间（含一维半无界空间）的定界问题的基本方法，并给出几个重要的解的公式．下面的讨论我们假设待求解的函数u 及其一阶导数是有限的．
15.1.1 弦振动问题
例15.1.1 求解无限长弦的自由振动定解问题
（假定：函数u 及其一阶导数是有限的，以后不再特别指出．这一定解问题在行波法中已经介绍，读者可以比较行波解法和傅氏解法）
2000,()|() |()t t x x t t t u a u x u x u x ϕψ==⎧-=-∞<<∞⎪=⎨⎪=⎩ 【解】
应用傅里叶变换，即用i x
e ω-遍乘定解问题中的各式，并对空间变量x 积分（这里把时间变量看成参数），按照傅里叶变换的定义，我们采用如下的傅氏变换对： i i (,)(,)d 1(,)(,)d 2πx x U t u x t e x u x t U t e ωωωωω∞
--∞∞-∞==⎰⎰
简化表示为 [(,)](,)u x t U t ω=F
对其它函数也作傅氏变换，即为 ()()
[][(])()x x ϕωψω==ΦψF F 于是原定解问题变换为下列常微分方程的定解问题
222200((,)0(,)|(,))(|)t t t U a U t t U t U t ωωωωωω==Φψ⎧∂+=⎪∂⎪⎨=⎪⎪=⎩ 上述常微分方程的通解为
i i (,)()()at at U t A e B e ωωωωω-=+
代入初始条件可以定出 111()()()22i 111()()()22i A a B a ωωωω
ωωωω=Φ+ψ=Φ-ψ 这样
i i i i 1111(,)()()()()22i 22i
() ()cos()sin()at at at at U t e e e e a a at at a ωωωωωωωωωωωωωωωω--=Φ+ψ+Φ-ψ=Φ+ψ 最后，上式乘以1
2π并作逆傅氏变换．应用延迟定理和积分定理得到
11(,)[()()]()d 22x at x at u x t x at x at a ϕϕψξξ+-=++-+⎰
这正是前面学过的的达朗贝尔公式.
15.1.2 热传导问题
例15.1. 3 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题
200, (,0)|()
t x x t u a u x t u x ϕ=⎧-=-∞<<∞>⎨=⎩ 【解】 作傅氏变换，[(,)](,)u x t U t ω=F [()]()x ϕω=
ΦF 定解问题变换为
22(,)0(,0)()U a U t U ωωωω'⎧+=⎨
=Φ⎩ 常微分方程的初值问题的解是
22
(,)()a t U t e ωωω-=Φ 再进行逆傅里叶变换，
22221i i i 1(,)[(,)]()d 2π1 [()d ]d 2πa t x a t x u x t U t e e e e e ωωωξωωωωωϕξξω∞---∞
∞---∞∞-∞==Φ=⎰⎰⎰F 交换积分次序得
22i ()1(,)()[d ]d 2πa t x u x t e e ωωξϕξωξ∞∞---∞-∞=⎰⎰ 引用积分公式
2
222
4
d e e e βσωβωσω∞--∞=⎰
且令 i()x βσξ==- 以便利用积分公式，即得到
2
2()4(,)(]d x a t u x t ξϕξξ
--∞-∞=⎰
15.1.3 稳定场问题 我们先给出求半平面内(0)y >拉普拉斯方程的第一边值问题的傅氏变换系统解法（读者可以与格林函数解法进行比较）
例 15.1.5 定解问题
x 0 (,0)(,0)() lim (,)0 xx yy u u x y u x f x u x y →±∞+=-∞<<∞>⎧⎪=⎨⎪=⎩ 【解】 对于变量x 作傅氏变换，有
1[(,)](,), [()]
()
u x y U y f x F ωω-==F F 定解问题变换为常微分方程 222(,)0,(,0)()
lim (,)0U U y y
U F U y ωωωωωω→±∞∂-=∂== 因为ω可取正、负值，所以常微分定解问题的通解为
||||(,)()()y y U x y C e D e ωωωω-=+
因为lim (,)0U y ωω→±∞=，故得到
()0, ()()C D F ωωω==
常微分方程的解为 ||(,)()y U y F e ωωω-=
设 ||(,)y G y e ωω-=
根据傅氏变换定义，||y e ω-的傅氏逆变换为 0||i i i 22011111d [d d ] [] 2π2π2πi i π()y x y x y x y e e e e y x y x x y ωωωωωωωωω∞∞--++-∞-∞=+=+=-++⎰⎰⎰再利用卷
积公式
1[()()]()()d F G f g x ωωξξξ
∞--∞=-⎰F 最后得到原定解问题的解为 22()(,)d π()y f u x y x y ξξξ∞-∞=-+⎰ 容易看出与格林函数解出的结果具有相同的表示式．
15.2 拉普拉斯变换解数学物理定解问题
由于要作傅氏变换的函数必须定义在),(+∞-∞上，故当我们讨论半无界问题时，就不能对变量x 作傅氏变换了．由此本节介绍另一种变换法：拉普拉斯变换法求解定解问题．
15.2.1 无界区域的问题
例15.2.1 求解无限长细杆的热传导（无热源）问题
20(,), (,0)|() t xx t u a u f x t x t u x ϕ=⎧-=-∞<<∞>⎨=⎩ (15.2.1)
【解】 先对时间t 作拉氏变换
[(,)](,), [(,)](,)u x t U x p f x t F x p ==L L [(,)](,)(,0) (15.2.2)L =-t
u x t pU x p u x 由此原定解问题中的泛定方程变为 22222d 11()(,)0 (15.2.3)d ϕ-++=U p U x F x p x a a a
对方程(15.2.3)实施傅氏逆变换来进行求解.利用傅氏逆变换公式
1222πb x b e b ω--⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦F
以及卷积定理
[]-1()()()()d F G f x g ωωξξξ∞-∞=-⎰F
得方程(15.2.3)的解为
(,)(d (,d U x p F p ξξϕξξξξ
--∞∞-∞-∞=+⎰⎰ (15.2.4)
对(15.2.4)式作拉氏逆变换,并查阅拉氏变换表，得原定解问题(15.2.1)的解为
22220()(,)(d 4() (,d d (15.2.5)4()ξϕξξξξττξτ∞-∞∞-∞⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-⎢⎥-⎣⎦⎰⎰⎰t x u x t a t x f a t。