利用导数解决不等式问题
导数在不等式中的应用
φκκκκκκ导数在不等式中的应用导数是研究函数性质的一种重要工具。
例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。
而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质；因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。
下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。
一、利用导数证明不等式（一）、利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。
因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。
即把证明不等式转化为证明函数的单调性。
具体有如下几种形式：1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。
例1：x>0时,求证；x2x2-－ln(1+x)＜0证明：设f(x)= x2x2-－ln(1+x) (x>0), 则f'(x)=2x1x-+∵x>0,∴f'(x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减，所以x>0时,f(x)<f(0)=0，即x2x2-－ln(1+x)<0成立。
2、把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。
例2：已知：a,b∈R,b>a>e, 求证:a b>b a, (e为自然对数的底)证：要证a b >b a 只需证lna b >lnb a 即证：blna －alnb>0设f(x)=xlna －alnx (x>a>e)；则f '(x)=lna －a x, ∵a>e,x>a ∴lna>1,a x<1,∴f '(x)>0,因而f(x)在（e, +∞）上递增 ∵b>a,∴f(b)>f(a)；故blna －alnb>alna －alna=0；即blna>alnb所以a b >b a 成立。
利用导数证明或解决不等式问题
利用导数证明或解决不等式问题
导数在解决不等式问题中起着非常重要的作用，利用导数可以轻松地证明和解决各种
不等式问题。
本文将通过一些具体的例子，来展示导数在不等式问题中的应用。
我们来看一个简单的例子：证明当x>0时，e^x\geq1+x。
我们可以利用导数来证明这
个不等式。
我们计算e^x和1+x的导数，分别为e^x和1。
然后我们发现e^x-1\geq x，这意味着在x>0时，e^x\geq1+x。
这样就利用导数证明了这个不等式。
除了证明不等式，我们还可以利用导数来解决不等式问题。
我们要求解不等式
x^2-5x+6>0。
我们可以通过求解x^2-5x+6的导数来判断x^2-5x+6的增减性。
首先求导得
到2x-5，然后令2x-5=0，解得x=\frac{5}{2}。
这说明在x<\frac{5}{2}时，x^2-5x+6<0，而在x>\frac{5}{2}时，x^2-5x+6>0。
不等式x^2-5x+6>0的解集是x<\frac{5}{2}或
x>\frac{3}{2}。
高中数学 1.3利用导数解决不等式问题课后反思 新人教A
2015高中数学 1.3利用导数解决不等式问题课后反思新人教A版选修2-1课后自我反思本节课是一堂二轮专题复习课，本节课旨在通过各项师生、生生互动环节，一步步引导学生发现并归纳梳理写作策略，使学生能够运用导数来解决不等式问题，现在讲教学后的几点思考与大家分享：一、教学的环节设计:我先从与回顾导数所能解决的问题入手，自然轻松地询问学生的证明含指数和对数的不等式的常用方法有哪些，然后过渡到分享自己的见解，然后让学生总结规律。
通过板演展示，让学生初步了解运用不等式解决问题，尤其是不等式问题的常见思路，再进入合作探究环节，补充完整证明复杂一点的不等式的常用方法，让学生对含有两个元的不等式问题如何构造函数有一个初次的感知。
接着，又过渡到另外一个构造函数问题，通过师生问答的形式，总结出构造函数的一些结论和规律。
然后，让学生通过小组合作的形式，让学生自己发现证明含N的不等式问题的技巧，也就是一般规律。
之后，通过问答的形式，提炼出本节课的主题，给与进一步的方法指导。
然后，学生独立完成自己的学案。
同时，通过共同批阅的方式，对学生的答案进行评价和批阅，再次渗透方法。
最后布置作业，让学生进一步巩固本节课探究的成果。
二、不足与反思我认为这节课的教学步骤比较清晰，环节较为紧凑，每一步设计都为下一步的开展做了铺垫，使学生在面临新的任务时不感到突兀。
但是，以下几点还需要改进：1.导入环节，我感觉有点过于繁杂。
提出的问题太多，没有把学生的神经给调动起来，精力不集中的学生也许还没有意识到老师所卖的关子，有点太仓促。
如果再增加点师生的互动，采取更加活泼轻松的形式或许能够在课堂的最初环节就紧抓住学生的心，一下激活学生的思维，为下一步的活动开展奠定基础。
2.探究环节，在学生探究环节上时间较短，另外我感觉形式有点单一，如果让学生多活动活动，效果应该会更好，充分发挥学生的参与过程，使课堂内容更加丰富。
总之，本节课上的有些前松后紧，如果再上一遍的话，我会合理地分配时间，语言再凝练一些。
利用导数解不等式和比较大小
利用导数解不等式和比较大小为了利用导数解不等式和比较大小，需要注意以下两点：1. 利用导数解不等式对于一个一元函数f(x)，如果它在 x=a 处连续可导，且在 x=a 的某个邻域内 f'(x)>0，那么当 x>a 时，f(x) 严格单调增加；当x<a 时，f(x) 严格单调减少。
这个性质可以用来解一元不等式。
具体来说，假设要解的不等式是 f(x)>0，可采用以下步骤：1）找出 f(x) 的零点 a。
2）判定 a 的单调性。
3）结合 a 的单调性，确定 f(x) 在何时大于0。
例如，要解不等式 x^2-2x+1>0，可以先求出它的零点 a=1。
在x<1 的邻域内，f'(x)=2x-2>0，因此 x<1 时，f(x) 严格单调增加；在 x>1 的邻域内，f'(x)=2x-2>0，因此 x>1 时，f(x) 严格单调增加。
因此，f(x)>0 的解集为 (-∞,1)∪(1,+∞)。
2. 比较大小对于两个函数 f(x) 和 g(x)，如果它们在某个区间内连续可导，且在该区间内 f'(x)>g'(x)，则在该区间内 f(x) 严格大于 g(x)。
具体来说，假设要比较 f(x)=x^3 和 g(x)=x^2，可采用以下步骤：1）求出它们的导数 f'(x)=3x^2 和 g'(x)=2x。
2）找出 f'(x)-g'(x) 的零点 a=0。
3）判定 a 的单调性。
4）结合 a 的单调性，确定 f(x) 和 g(x) 在何时大小关系。
在 x<0 的邻域内，f'(x)-g'(x)=3x^2-2x<0，因此 x<0 时，f(x) 小于 g(x)；在 0<x<1 的邻域内，f'(x)-g'(x)=3x^2-2x>0，因此0<x<1 时，f(x) 大于 g(x)；在 x>1 的邻域内，f'(x)-g'(x)=3x^2-2x>0，因此 x>1 时，f(x) 大于 g(x)。
利用导数证明或解决不等式问题
利用导数证明或解决不等式问题导数是微积分中的重要概念，在解决不等式问题中，导数可以发挥很大的作用。
下面我们将以一些具体的例子来说明如何利用导数证明或解决不等式问题。
例子1：证明不等式x^2≥0在实数域中恒成立。
解析：对于任意实数x，在实数域中，不管x取何值，其平方x^2都大于等于0。
我们可以通过导数来证明这个不等式。
对x^2进行求导，得到导函数2x。
我们知道，导数表示函数的变化率，对于x^2来说，导函数2x表示了函数的斜率，也就是说，无论x取何值，函数x^2的斜率总为正数或者0。
因为函数的斜率总是非负的，所以x^2≥0在实数域中恒成立。
例子2：求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的极值点。
解析：要求函数f(x)的极值点，我们可以先求出函数的导数f'(x)，然后将f'(x)=0进行求解。
导数为0的点即为极值点。
将f'(x)=3x^2-6x+2=0进行求解，可以得到x=1或者x=2。
接下来，我们可以求出函数在x=1和x=2处的函数值，并比较求出极值点。
f(1)=1^3-3*1^2+2*1=0f(2)=2^3-3*2^2+2*2=0对f(x)进行求导，得到导函数f'(x)=3x^2-6。
接下来，我们可以将x轴上的一些点带入函数f'(x)进行判断。
当x<−√2时，f'(x)>0；当−√2<x<√2时，f'(x)<0；当x>√2时，f'(x)>0。
由此可见，函数f(x)=x^3-6x在区间(−∞,−√2)，(−√2,√2)，(√2,+∞)上是单调的。
第4讲 第2课时 利用导数解决不等式恒(能)成立问题
求解不等式恒成立问题的方法 (1)构造函数分类讨论：遇到 f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般 采用作差法，构造“左减右”的函数 h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数 u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足 h(x)min≥0 或 u(x)max≤0，将比较法的思想融 入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对 参数进行分类讨论． (2)分离函数法：分离函数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是 参数 a，另一端是变量表达式 v(x)的不等式后，若 a≥v(x)在 x∈D 上恒成立， 则 a≥v(x)max；若 a≤v(x)在 x∈D 上恒成立，则 a≤v(x)min.
第四章 导数及其应用
第4讲 导数与函数的综合应用 第2课时 利用导数解决不等式恒(能)
成立问题
1
PART ONE
核心考向突破
考向一 恒成立问题
例 1 (2020·新高考卷Ⅰ节选)已知函数 f(x)＝aex－1－ln x＋ln a．若 f(x)≥1，求 a 的取值范围．
解 解法一：∵f(x)＝aex－1－ln x＋ln a， ∴f′(x)＝aex－1－1x，且 a>0. 设 g(x)＝f′(x)，则 g′(x)＝aex－1＋x12>0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，即 f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
解
(2)对于任意的 s，t∈[12，2]，都有 f(s)≥g(t)成立，等价于在[12，2]上， 函数 f(x)min≥g(x)max.
由(1)可知在[12，2]上，g(x)的最大值为 g(2)＝1. 在12，2 上，f(x)＝ax＋xln x≥1 恒成立等价于 a≥x－x2ln x 恒成立． 设 h(x)＝x－x2ln x，则 h′(x)＝1－2xln x－x， 令 φ(x)＝1－2xln x－x，φ′(x)＝－(2ln x＋3)，当 x∈[12，2]时，φ′(x)<0，
利用导数解决不等式恒成立问题
利用导数解决不等式恒成立问题作者：张景辉来源：《广东教育·高中》2010年第09期不等式恒成立问题是近年高考的热点问题,常以压轴题形式出现,交汇函数、方程、不等式和数列等知识,有效地甄别考生的数学思维能力.由于不等式恒成立问题往往都可以转化为函数的最值问题,而导数,以其本身所具备的一般性和有效性,在求解函数最值中,起到无可替代的作用.因此,我们就不等式恒成立问题的两种常见类型,探讨如何利用导数进行解决.类型一:“f (x)≥a”型(其中a为常数)形如“f (x)≥a”或“f (x)≤a”型不等式,是恒成立问题中最基本的类型,许多复杂的恒成立问题最终都可归结为这一类型.根据恒成立的本质,我们可以进行如下转化:(1)对任意x∈D,有f (x)≥a(其中a为常数)恒成立对x∈D,f (x)min≥a;(2)对任意x∈D,有f (x)≤a(其中a为常数)恒成立对x∈D,f (x)max≤a.形式推广:(1)对于任意的x∈D,f (x)≥g (x)恒成立对于任意的x∈D,f (x)-g (x)≥0恒成立对x∈D,[f (x)-g (x)]min≥0;对于任意的x∈D,f (x)≤g (x)恒成立对于任意的x∈D,f (x)-g (x)≤0恒成立对x∈D,[f (x)-g (x)]max≤0;(2)函数f(x)在区间D单调递增在f′(x)≥0在x∈D恒成立对x∈D,[f ′ (x)]min≥0;函数f (x)在区间D单调递增在f ′(x)≤0在x∈D恒成立对x∈D,[f ′(x)]max≤0.例1:已知函数f(x)=x2-alnx+a(a>0)在(0,+∞)满足f (x)≥0恒成立,求a的取值范围.分析:根据对任意x∈(0,+∞),f(x)≥0恒成立对x∈(0,+∞),f(x)min≥0. 问题转化为求函数f(x)在x∈(0,+∞)的最小值,进而我们借助导数,求出函数f(x)的最小值.解析:令f ′(x)=2x-==0,因为a>0,x>0,解得x=.列表:由表可得,f(x)min=f()=-aln+a=(3-ln).因为对任意x∈(0,+∞),f (x)≥0恒成立,所以对x∈(0,+∞),f(x)min≥0.所以f(x)min=(3-ln)≥0,解得a≤2e3,因为a>0,所以a的取值范围为(0,2e3].例2:已知函数f(x)=x2+a,g (x)=alnx(其中a>0),对任意x∈(0,+∞),有f(x)≥g (x)恒成立,求a的取值范围.解析:对任意x∈(0,+∞),有f(x)≥g (x)恒成立对任意x∈(0,+∞),f(x)-g (x)≥0恒成立,即对任意x∈(0,+∞),x2+a-alnx≥0恒成立.利用例1的结论,可得a的取值范围为(0,2e3].例3:已知函数f (x)=x+(其中a为常数),若对任意a∈(0,m],有函数f(x)在定义域单调递增,求m的最大值.解析:函数f(x)的定义域为(0,+∞),根据函数f(x)在定义域单调递增,可得f ′(x)=1+=≥0在x∈(0,+∞)恒成立,因为x2>0,所以条件转化为不等式x2-alnx+a≥0在x∈(0,+∞)恒成立,利用例1的结论,可得a的取值范围为(0,2e3],因为a∈(0,m],所以m的最大值为2e3.小结:在面对不同形式呈现的恒成立问题,我们应想方设法转化为“f (x)≥a”型的结构形式,利用导数在求解函数最值的优越性,从而轻松、简便地解决相应问题.类型二:“f (x1)≥g(x2)”型形如任意x1,x2∈D,都有f (x1)≥g(x2)恒成立对x∈D,有f (x)min≥g (x)max;任意x1,x2∈D,都有f (x1)≤g(x2)恒成立对x∈D,有f (x)max≤g (x)min.例4:已知f(x)=x+,g(x)=-x2+2lnx,其中a>0.若对任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≥g (x2)恒成立,求a的取值范围.分析:根据任意x1,x2∈(0,+∞),都有f(x1)≥g (x2)恒成立对x∈(0,+∞),有f(x)min≥g (x)max,进而建立关于a的不等式,求得a的取值范围.解析:令f′(x)=1-==0,因为a>0,x>0,解得x=a.列表:由表可得,f(x)min=f(a)=a+=2a.令g′(x)=-2x+==0,因为x>0,解得x=1.列表:由表可得g(x)max=g(1)=-1.因为对任意x1,x2∈(0,+∞),都有f (x1)≥g(x2)恒成立.所以对x∈(0,+∞),有f (x)min≥g(x)max,即2a≥-1,解得a≥-,所以a的取值范围为[-,+∞).小结:至此,相信仍有不少同学难于辨别“f (x1)≥g(x2)”型与“f (x)≥g(x)”型的差异.那么,下面让我们一起比较这两种类型的差异,以便我们在实际操作中能够更好地理解和辨别.“对任意x1,x2∈D,有f (x1)≥g(x2)恒成立”等价于“对x∈D,有f (x)min≥g(x)max”.而“对任意x∈D,有f (x)≥g(x)恒成立”能够推出“函数f (x)图像恒在函数g(x)图像的上方”,但不一定推出“f(x)min≥g(x)max”成立.巩固练习:1. 已知函数f (x)=+lnx(a>0)在[1,+∞)单调递增,求a的取值范围;2. 已知函数f (x)=+lnx(a>0),g (x)=+1,若对任意x1,x2∈(0,+∞)有f (x1)≥g(x2)恒成立,求a的取值范围;答案:1. [1,+∞);2. [e,+∞).根据以上两种不等式恒成立类型的探究与学习,从中我们可以体验到不等式恒成立问题在正确转化为函数最值问题后,便可以借助导数作为求解函数最值的有效工具,把抽象、复杂的不等式恒成立问题,转化为直观、简单的函数最值问题,最终达到解决问题的目的.责任编校徐国坚。
导数解决不等式问题
导数解决不等式问题导数是微积分中非常重要的一个概念，它在解决不等式问题时起到了至关重要的作用。
本文将详细介绍导数的概念以及它在不等式问题中的应用，以便读者对这一概念有更深入的理解。
首先，我们来了解导数的定义。
导数是函数在某一点上的变化率，记作f'(x)或df(x)/dx。
从几何意义上来讲，导数表示了函数曲线在某一点上的切线的斜率。
更加具体地说，对于函数y=f(x)，在点x0处的导数f'(x0)等于函数曲线在该点处的切线与x轴之间的夹角的正切值。
导数有几个重要的性质，其中一个是导数的代数性质。
根据代数性质，如果两个函数的导数都存在，那么这两个函数的和（或差）的导数等于它们各自的导数的和（或差）；而两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
这些性质可以帮助我们在解决不等式问题时更方便地处理函数的导数。
在不等式问题中，导数可以提供关于函数增减性的重要信息。
通过研究函数的导数，我们可以确定函数的增减区间，并通过这些信息解决不等式问题。
具体来说，我们可以通过以下步骤来解决不等式问题：1.找到函数的导数。
这一步需要求得函数的导数表达式。
2.找到导数的零点。
导数的零点对应于函数增减的临界点，即在这些点上函数可能发生极大值或极小值的变化。
通过求导数的零点，我们可以得到函数的增减区间。
3.检查临界点。
在临界点上函数的导数可能为零，但并不一定。
因此，在找到导数的零点后，我们还需要检查这些点是否是函数的极值点。
4.确定函数的增减性。
通过上述步骤，我们可以得到函数的增减区间。
根据函数在不同区间上的增减性，我们可以解决不等式问题。
通过这一方法，我们可以有效地解决包含不等式的问题。
在具体的应用中，导数在许多不等式问题中都能起到关键作用。
例如，在求函数的极值时，我们可以使用导数来确定极值点的存在，并通过比较函数在这些点附近的取值来确定函数的最大值或最小值。
同样地，在研究不等式中的函数的图像时，导数提供了图像在不同区间上的斜率信息，有助于我们推断函数在不同区间上的变化趋势。
利用导数“三招”破解不等式恒成立问题
利用导数“三招”破解不等式恒成立问题不等式恒成立问题一直是高考命题的热点，把函数问题、导数问题和不等式恒成立问题交汇命制压轴题成为一个新的热点命题方向．[典例] (2017·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝⎛⎭⎫1＋12·⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n <m ，求m 的最小值． [方法演示]解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．①若a ≤0，因为f ⎝⎛⎭⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意； ②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －a x 知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增． 故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点． 由于f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0. 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0. 令x ＝1＋12n ，得ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12n . 从而ln ⎝⎛⎭⎫1＋12＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋122＋…＋ln ⎝⎛⎭⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1. 故⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n <e. 而⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋123>2， 所以m 的最小值为3. [解题师说](1)对a 分类讨论，并利用导数研究f (x )的单调性，找出最小值点，从而求出a . (2)由(1)得当x >1时，x －1－ln x >0.令x ＝1＋12n ，换元后可求出⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122·…·⎝⎛⎭⎫1＋12n 的范围．[应用体验]1．已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax . (1)当a ＝2时，求函数f (x )的极值； (2)当a ＜0时，讨论f (x )的单调性；(3)若对任意的a ∈(－3，－2)，x 1，x 2∈[1,3]恒有(m ＋ln 3)a －2ln 3＞|f (x 1)－f (x 2)|成立，求实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，当a ＝2时，函数f (x )＝1x ＋4x ，所以f ′(x )＝－1x 2＋4.由f ′(x )＞0，得x ＞12，f (x )在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递增； 由f ′(x )＜0，得0＜x ＜12，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减， 所以函数f (x )在x ＝12处取得极小值f ⎝⎛⎭⎫12＝4，无极大值． (2)f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝12或x ＝－1a .①当－1a >12，即－2＜a ＜0时，由f ′(x )＞0，得12＜x ＜－1a ；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜12或x ＞－1a ，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，－1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞上单调递减．②当－1a <12，即a ＜－2时，由f ′(x )＞0，得－1a ＜x ＜12；由f ′(x )＜0，得0＜x ＜－1a 或x ＞12，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－1a ，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，③当a ＝－2时，f ′(x )≤0，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递减．(3)由(2)知当a ∈(－3，－2)，x 1，x 2∈[1,3]时，函数f (x )在区间[1,3]上单调递减； 所以当x ∈[1,3]时，f (x )max ＝f (1)＝1＋2a ，f (x )min ＝f (3)＝(2－a )ln 3＋13＋6a ，故对任意的a ∈(－3，－2)，恒有(m ＋ln 3)a －2ln 3＞1＋2a －(2－a )ln 3－13－6a 成立，即am ＞23－4a .因为a ＜0，所以m ＜23a －4，又⎝⎛⎭⎫23a －4min ＝－133，所以实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－133.[典例] (2018·(1)若f (x )在区间⎣⎡⎭⎫－12，1上的最大值为38，求实数b 的值； (2)若对任意的x ∈[1，e]，都有g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x 恒成立，求实数a 的取值范围． [方法演示]解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝23.当x ∈⎝⎛⎭⎫－12，0时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，23时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫23，1时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数． ∵f ⎝⎛⎭⎫－12＝38＋b ，f ⎝⎛⎭⎫23＝427＋b ， ∴f ⎝⎛⎭⎫－12>f ⎝⎛⎭⎫23. ∴f ⎝⎛⎭⎫－12＝38＋b ＝38， ∴b ＝0.(2)由g (x )≥－x 2＋(a ＋2)x ，得(x －ln x )a ≤x 2－2x ， ∵x ∈[1，e]，∴ln x ≤1≤x ，由于不能同时取等号， ∴ln x <x ，即x －ln x >0，∴a ≤x 2－2x x －ln x 在x ∈[1，e]上恒成立．令h (x )＝x 2－2xx －ln x ，x ∈[1，e]，则h ′(x )＝(x －1)(x ＋2－2ln x )(x －ln x )2，当x ∈[1，e]时，x －1≥0，x ＋2－2ln x ＝x ＋2(1－ln x )>0，从而h ′(x )≥0， ∴函数h (x )＝x 2－2xx －ln x 在[1，e]上为增函数，∴h (x )min ＝h (1)＝－1，∴a ≤－1. 故实数a 的取值范围为(－∞，－1]． [解题师说]由不等式恒成立求解参数的取值范围问题，一般采用分离参数的方法，转化为求不含参数的函数的最值问题，如本例(2)转化为a ≤x 2－2xx －ln x，从而将问题转化为求函数h (x )＝x 2－2xx －ln x，x ∈[1，e]的最小值问题．[应用体验]2．(2018·湖北七市(州)联考)函数f (x )＝ln x ＋12x 2＋ax (a ∈R)，g (x )＝e x ＋32x 2.(1)讨论f (x )的极值点的个数；(2)若对任意的x ∈(0，＋∞)，总有f (x )≤g (x )成立，求实数a 的取值范围．解：(1)法一：由题意得f ′(x )＝x ＋1x ＋a ＝x 2＋ax ＋1x (x >0)，令f ′(x )＝0，即x 2＋ax ＋1＝0，Δ＝a 2－4.①当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，x 2＋ax ＋1≥0对x >0恒成立，即f ′(x )＝x 2＋ax ＋1x≥0对x >0恒成立，此时f (x )没有极值点．②当Δ＝a 2－4>0，即a <－2或a >2时．若a <－2，设方程x 2＋ax ＋1＝0的两个不同实根为x 1，x 2，不妨设x 1<x 2，则x 1＋x 2＝－a >0，x 1x 2＝1>0，故x 2>x 1>0，∴当0<x <x 1或x >x 2时，f ′(x )>0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，故x 1，x 2是函数f (x )的两个极值点．若a >2，设方程x 2＋ax ＋1＝0的两个不同实根为x 3，x 4， 则x 3＋x 4＝－a <0，x 3x 4＝1>0，故x 3<0，x 4<0. ∴当x >0时，f ′(x )>0，故函数f (x )没有极值点． 综上，当a <－2时，函数f (x )有两个极值点， 当a ≥－2时，函数f (x )没有极值点． 法二：f ′(x )＝x ＋1x ＋a ， ∵x >0，∴f ′(x )∈[a ＋2，＋∞)．①当a ＋2≥0，即a ∈[－2，＋∞)时，f ′(x )≥0对∀x >0恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，f (x )没有极值点．②当a ＋2<0，即a ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＝0有两个不等正数解，设为x 1，x 2，∴f ′(x )＝x ＋1x ＋a ＝x 2＋ax ＋1x ＝(x －x 1)(x －x 2)x(x >0)． 不妨设0<x 1<x 2，则当x ∈(0，x 1)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(x 1，x 2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈(x 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以x 1，x 2分别为f (x )极大值点和极小值点，故f (x )有两个极值点．综上所述，当a ∈[－2, ＋∞)时，f (x )没有极值点， 当a ∈(－∞，－2)时，f (x )有两个极值点． (2)f (x )≤g (x )⇔e x －ln x ＋x 2≥ax ，因为x >0，所以a ≤e x ＋x 2－ln xx 对∀x >0恒成立． 设φ(x )＝e x ＋x 2－ln x x(x >0)， 则φ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x ＋2x －1x x －(e x ＋x 2－ln x )x 2＝e x (x －1)＋ln x ＋(x ＋1)(x －1)x 2，当x ∈(0,1)时，φ′(x )<0，φ(x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0，φ(x )单调递增， ∴φ(x )≥φ(1)＝e ＋1，∴a ≤e ＋1. 故实数a 的取值范围为(－∞，e ＋1].导数应用的问题，其中求参数的取值范围是重点考查题型．在平常教学中，教师往往介绍利用变量分离法来求解．但部分题型利用变量分离法处理时，会出现“00”型的代数式，而这是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则．[洛必达法则]法则1 若函数f (x )和g (x )满足下列条件： (1)li m x →af (x )＝0及li m x →ag (x )＝0； (2)在点a 的去心邻域内，f (x )与g (x )可导且g ′(x )≠0； (3)li m x →af ′(x )g ′(x )＝l ，那么li m x →a f (x )g (x )＝li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l .法则2 若函数f (x )和g (x )满足下列条件： (1)li m x →af (x )＝∞及li m x →ag (x )＝∞； (2)在点a 的去心邻域内，f (x )与g (x )可导且g ′(x )≠0； (3)li m x →af ′(x )g ′(x )＝l ，那么li m x →a f (x )g (x )＝li m x →a f ′(x )g ′(x )＝l .[典例] 已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋bx，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0.(1)求a ，b 的值；(2)如果当x >0，且x ≠1时，f (x )>ln x x －1＋kx ，求k 的取值范围．[方法演示]解：(1)f ′(x )＝a x ＋1x －ln x(x ＋1)2－bx 2. 由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－12，且过点(1,1)，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝1，f ′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a 2－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. (2)法一：由(1)知f (x )＝ln x x ＋1＋1x，所以 f (x )－ln x x －1＋k x ＝11－x 22ln x ＋(k －1)(x 2－1)x .设h (x )＝2ln x ＋(k －1)(x 2－1)x (x >0)， 则h ′(x )＝(k －1)(x 2＋1)＋2x x 2.①设k ≤0，由h ′(x )＝k (x 2＋1)－(x －1)2x 2知，当x ≠1时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减． 而h (1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得11－x 2h (x )＞0.从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－ln x x －1＋kx＞0， 即f (x )＞ln x x －1＋kx. ②设0＜k ＜1.由于y ＝(k －1)(x 2＋1)＋2x ＝(k －1)x 2＋2x ＋k －1的图象开口向下，且Δ＝4－4(k －1)2>0，对称轴x ＝11－k >1，所以当x ∈1，11－k时，(k －1)(x 2＋1)＋2x >0， 故h ′(x )>0，而h (1)＝0，故当x ∈⎝⎛⎭⎫1，11－k 时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＜0，与题设矛盾，③设k ≥1.此时h ′(x )＞0，而h (1)＝0，故当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＞0，可得11－x 2h (x )＜0，与题设矛盾．综上所述，k 的取值范围为(－∞，0]．(法一在处理第(2)问时很难想到，现利用洛必达法则处理如下) 法二：由题设可得，当x >0，x ≠1时，k <2x ln x1－x 2＋1恒成立．令g (x )＝2x ln x1－x 2＋1(x >0，x ≠1)， 则g ′(x )＝2·(x 2＋1)ln x －x 2＋1(1－x 2)2，再令h (x )＝(x 2＋1)ln x －x 2＋1(x >0，x ≠1)， 则h ′(x )＝2x ln x ＋1x －x ，又h ″(x )＝2ln x ＋1－1x 2，易知h ″(x )＝2ln x ＋1－1x 2在(0，＋∞)上为增函数，且h ″(1)＝0，故当x ∈(0,1)时，h ″(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，h ″(x )>0，∴h ′(x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，故h ′(x )>h ′(1)＝0， ∴h (x )在(0，＋∞)上为增函数．又h (1)＝0，∴当x ∈(0,1)时，h (x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，h (x )>0， ∴当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0， ∴g (x )在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数． 由洛必达法则知， li m x →1g (x )＝2li m x →1x ln x 1－x 2＋1＝2li m x →1 1＋ln x －2x＋1＝2×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝0，∴k ≤0， 故k 的取值范围为(－∞，0]． [解题师说]解决本题第(2)问时，如果直接讨论函数的性质，相当繁琐，很难求解．采用参数与变量分离较易理解，但是分离出来的函数式的最值无法求解，而利用洛必达法则却较好的处理了它的最值，这是一种值得借鉴的方法．[应用体验]3．已知函数f (x )＝x (e x －1)－ax 2，若当x ≥0时，f (x )≥0，求a 的取值范围． 解：当x ≥0时，f (x )≥0，即x (e x －1)≥ax 2. ①当x ＝0时，a ∈R ；②当x >0时，x (e x－1)≥ax 2等价于a ≤⎝⎛⎭⎫e x－1x min .记g (x )＝e x －1x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝(x －1)e x ＋1x 2.记h (x )＝(x －1)e x ＋1，x ∈[0，＋∞)，则h ′(x )＝x e x >0.因此h (x )＝(x －1)e x ＋1在[0，＋∞)上单调递增，且h (x )>h (0)＝0，所以g ′(x )＝h (x )x 2>0， 从而g (x )＝e x －1x 在(0，＋∞)上单调递增．由洛必达法则有li m x →0g (x )＝li m x →0 e x －1x ＝li m x →0 e x1＝1，所以g (x )>1，即有a ≤1. 故实数a 的取值范围为(－∞，1].1．(2017·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝(1－x 2)e x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)当x ≥0时，f (x )≤ax ＋1，求a 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝(1－2x －x 2)e x .令f ′(x )＝0，得x ＝－1－2或x ＝－1＋ 2. 当x ∈(－∞，－1－2)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(－1－2，－1＋2)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(－1＋2，＋∞)时，f ′(x )＜0.所以f (x )在(－∞，－1－2)，(－1＋2，＋∞)上单调递减，在(－1－2，－1＋2)上单调递增．(2)f (x )＝(1＋x )(1－x )e x . ①当a ≥1时，设函数h (x )＝(1－x )e x ，则h ′(x )＝－x e x ＜0(x ＞0)． 因此h (x )在[0，＋∞)上单调递减， 又h (0)＝1，故h (x )≤1，所以f (x )＝(x ＋1)h (x )≤x ＋1≤ax ＋1. ②当0＜a ＜1时，设函数g (x )＝e x －x －1，则g ′(x )＝e x －1＞0(x ＞0)， 所以g (x )在[0，＋∞)上单调递增，而g (0)＝0， 故e x ≥x ＋1.当0＜x ＜1时，f (x )＞(1－x )(1＋x )2， (1－x )(1＋x )2－ax －1＝x (1－a －x －x 2)， 取x 0＝5－4a －12， 则x 0∈(0,1)，(1－x 0)(1＋x 0)2－ax 0－1＝0， 故f (x 0)＞ax 0＋1.当a ≤0时，取x 0＝5－12， 则x 0∈(0,1)，f (x 0)＞(1－x 0)(1＋x 0)2＝1≥ax 0＋1. 综上，a 的取值范围是[1，＋∞)． 2．已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3.(1)若对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围． (2)证明：对一切x ∈(0，＋∞)，ln x ＞1e x －2e x恒成立．解：(1)由题意知2x ln x ≥－x 2＋ax －3对一切x ∈(0，＋∞)恒成立， 则a ≤2ln x ＋x ＋3x.设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x (x ＞0)，则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2.当x ∈(0,1)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增． 所以h (x )min ＝h (1)＝4，因为对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤h (x )min ＝4，故实数a 的取值范围是(－∞，4]． (2)问题等价于证明x ln x ＞x e x －2e (x ＞0)．又f (x )＝x ln x (x ＞0)，f ′(x )＝ln x ＋1， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e . 设m (x )＝x e x －2e (x ＞0)，则m ′(x )＝1－xe x， 当x ∈(0,1)时，m ′(x )＞0，m (x )单调递增， 当x ∈(1，＋∞)时，m ′(x )＜0，m (x )单调递减， 所以m (x )max ＝m (1)＝－1e ，从而对一切x ∈(0，＋∞)，f (x )＞m (x )恒成立，即x ln x ＞x e x －2e恒成立．所以对一切x ∈(0，＋∞)，ln x ＞1e x －2e x 恒成立．3．已知函数f (x )＝bx 2－2ax ＋2ln x .(1)若曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线为y ＝2x ＋4，求实数a ，b 的值；(2)当b ＝1时，若y ＝f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，a ≥52，若不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由题可知f (1)＝b －2a ＝6，∵f ′(x )＝2bx －2a ＋2x ，∴f ′(1)＝2b －2a ＋2＝2，联立可得a ＝b ＝－6. (2)当b ＝1时，f (x )＝x 2－2ax ＋2ln x ，∴f ′(x )＝2x －2a ＋2x ＝2(x 2－ax ＋1)x. ∵f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2， ∴x 1，x 2是方程x 2－ax ＋1＝0的两个正根， ∴x 1＋x 2＝a ≥52，x 1·x 2＝1，∴x 1＋1x 1≥52，∴0＜x 1≤12.不等式f (x 1)≥mx 2恒成立，即m ≤f (x 1)x 2恒成立． f (x 1)x 2＝x 21－2ax 1＋2ln x 1x 2＝x 31－2ax 21＋2x 1ln x 1 ＝x 31－2(x 1＋x 2)x 21＋2x 1ln x 1＝－x 31－2x 1＋2x 1ln x 1.令h (x )＝－x 3－2x ＋2x ln x ⎝⎛⎭⎫0＜x ≤12， 则h ′(x )＝－3x 2＋2ln x ＜0， ∴h (x )在⎝⎛⎦⎤0，12上是减函数， ∴h (x )≥h ⎝⎛⎭⎫12＝－98－ln 2，故m ≤－98－ln 2， ∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－98－ln 2. 4．(2018·张掖诊断)已知函数f (x )＝mxln x，曲线y ＝f (x )在点(e 2，f (e 2))处的切线与直线2x ＋y ＝0垂直(其中e 为自然对数的底数)．(1)求f (x )的解析式及单调递减区间；(2)是否存在最小的常数k ，使得对任意x ∈(0,1)，f (x )>k ln x＋2x 恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)f ′(x )＝m (ln x －1)(ln x )2， 由f ′(e 2)＝m 4＝12，得m ＝2，故f (x )＝2x ln x， 此时f ′(x )＝2(ln x －1)(ln x )2. 由f ′(x )<0，得0<x <1或1<x <e ，所以函数f (x )的单调递减区间为(0,1)，(1，e)．(2)f (x )>k ln x ＋2x 恒成立，即2x ln x >k ln x ＋2x 恒成立⇔k ln x <2x ln x－2x 恒成立， 当x ∈(0,1)时，ln x <0，则有k >2x －2x ·ln x 恒成立．令g (x )＝2x －2x ·ln x ，则g ′(x )＝2x －ln x －2x. 再令h (x )＝2x －ln x －2，则h ′(x )＝x －1x <0， 所以h (x )在(0,1)上单调递减，所以h (x )>h (1)＝0，故g ′(x )＝h (x )x>0， 所以g (x )在(0,1)上单调递增，g (x )<g (1)＝2⇒k ≥2.故存在常数k ＝2满足题意．。
利用导数解决不等式恒成立中参数问题优秀教案
利用导数解决不等式恒成立中地参数问题一、单参数放在不等式上型：【例题1】（07全国Ⅰ理）设函数．若对所有都有，求地取值范围．解：令，则，（1）若，当时，，故在上为增函数，∴时，，即．（2）若，方程地正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．∴时，，即，与题设相矛盾．综上，满足条件地地取值范围是．说明：上述方法是不等式放缩法．【针对练习1】（10课标理）设函数，当时，，求地取值范围．解：【例题2】（07全国Ⅰ文）设函数在及时取得极值．（1）求、地值；（2）若对于任意地，都有成立，求地取值范围．解：（1），∵函数在及取得极值，则有，．即，解得，．（2）由（1）可知，，．当时，；当时，；当时，．∴当时，取得极大值，又，．则当时，地最大值为．∵对于任意地，有恒成立，∴，解得或，因此地取值范围为．最值法总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上地最值．【针对练习2】（07重庆理）已知函数在处取得极值，其中、、为常数．（1）试确定、地值；（2）讨论函数地单调区间；（3）若对任意，不等式恒成立，求地取值范围．解：【针对练习3】（10天津文）已知函数，其中．若在区间上，恒成立，求地取值范围．解：【例题3】（08湖南理）已知函数．（1）求函数地单调区间；（2）若不等式对任意地都成立（其中是自然对数地底数），求地最大值．解：（1）函数地定义域是，．设．则，令，则．当时，，在上为增函数，当时，，在上为减函数．∴在处取得极大值，而，∴，函数在上为减函数．于是当时，，当时，．∴当时，在上为增函数．当时，，在上为减函数．故函数地单调递增区间为，单调递减区间为．（2）不等式等价于不等式，由知，．设，，则．由（1）知，，即．∴，，于是在上为减函数．故函数在上地最小值为．∴a地最大值为．小结：解决此类问题用地是恒成立问题地变量分离地方法，此类方法地解题步骤是：①分离变量；②构造函数（非变量一方）；③对所构造地函数求最值（一般需要求导数,有时还需求两次导数）；④写出变量地取值范围．【针对练习4】（10全国1理）已知，若，求地取值范围．解：【针对练习5】若对所有地都有成立，求实数地取值范围．解：二、单参数放在区间上型：【例题4】已知三次函数图象上点处地切线经过点，并且在处有极值．（1）求地解析式；（2）当时，恒成立，求实数地取值范围．解：（1）∵，∴，于是过点处地切线为，又切线经过点，∴，①∵在处有极值，∴，②又，③∴由①②③解得：，，，∴．（2），由得，．当时，，单调递增，∴；当时，，单调递减，∴．∴当时，在内不恒成立，当且仅当时，在内恒成立，∴地取值范围为．【针对练习6】（07陕西文）已知在区间上是增函数，在区间，上是减函数，又．（1）求地解析式；（2）若在区间上恒有成立，求地取值范围．解：三、双参数中知道其中一个参数地范围型：【例题5】（07天津理）已知函数，其中，．（1）讨论函数地单调性；（2）若对于任意地，不等式在上恒成立，求地取值范围．解：（1）．当时，显然．这时在，上内是增函数．当时，令，解得．当变化时，，地变化情况如下表：由（2）知，在上地最大值为与地较大者，对于任意地，不等式法二：变量分离．∵，∴，即．令，，∴在上递减，最小值为，从而得，∴满足条件地地取值范围是．或用，即，进一步分离变量得，利用导数可以得到在时取得最小值，从而得，∴满足条件地地取值范围是．法三：变更主元．∵，∴在递增，即地最大值为．以下同上法．说明：本题是在对于任意地，在上恒成立相当于两次恒成立，这样地题，往往先保证一个恒成立，在此基础上，再保证另一个恒成立．【例题6】设函数，，若对于任意地，不等式在上恒成立，求实数地取值范围．解：在上恒成立，即在上恒成立．由条件得，又，∴，即．设，则．令，，当，；当，，∴时，，于是，∴在递减，∴地最小值为，∴，因此满足条件地地取值范围是．【针对练习7】设函数，其中，．若对于任意地，不等式在上恒成立，求地取值范围．解：四、双参数中地范围均未知型：【例题7】（10湖南理）已知函数，对任意地，恒有．（1）证明：当时，；（2）若对满足题设条件地任意，，不等式恒成立，求地最小值．解：（1）易知．由题设，对任意地，，即恒成立，∴，从而．于是，且，因此．故当时，有，即当时，．（2）由（1）知，．当时，有．令，则，．而函数地值域是．因此，当时，地取值集合为．当时，由（1）知，，．此时或，．从而恒成立．综上所述，地最小值为．【针对练习8】若图象上斜率为3地两切线间地距离为，设．（1）若函数在处有极值，求地解析式；（2）若函数在区间上为增函数，且在区间上都成立，求实数地取值范围．解：五、双参数中地线性规划型：【例题8】（12浙江理）已知，，函数．（1）证明：当时，①函数地最大值为；②；（2）若对恒成立，求地取值范围．解：（1）①．当时，，在上恒成立，∴在上递增，此时地最大值为：；当时，，此时在上递减，在上递增，∴在上地最大值为：．综上所述：函数在上地最大值为．②∵，当时，．当时，．设，，列表可得，∴当时，，∴．（2）由①知：函数在上地最大值为，∴．由②知：，于是对恒成立地充要条件为：或，在坐标系中，不等式组所表示地平面区域为如图所示地阴影部分，其中不包括线段．作一组平行线，得，∴地取值范围为．【针对练习9】已知函数．（1）若，求地单调区间；（2）若地两个极值点，恒满足，求地取值范围．解：六、双参数中地绝对值存在型：【例题9】（06湖北理）设是函数地一个极值点．（1）求与地关系式（用表示），并求地单调区间；（2）设，．若存在，使得成立，求地取值范围．解：（1），由，得，即得，则．令，得或，由于是极值点，∴，即．当时，，则在区间上，，为减函数；在区间上，，为增函数；在区间上，，为减函数．当时，，则在区间上，，为减函数；在区间上，，为增函数；在区间上，，为减函数．（2）由（1）知，当时，，在区间上地单调递增，在区间上单调递减，那么在区间上地值域是，而，，，那么在区间上地值域是．又在区间上是增函数，且它在区间上地值域是，由于，∴只须仅须且，解得．故地取值范围是．【针对练习10】（10辽宁理）已知函数．（1）讨论函数地单调性；（2）设，如果对任意，，，求地取值范围．解：总结：关于运用导数解决含参函数问题地策略还有很多，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强，对于某些“含参函数”题目，不一定用某一种方法，还可用多种方法去处理．这就要求我们养成良好地数学思维，有良好地观察与分析问题地能力，灵活地转化问题能力，使所见到地“含参函数”问题能更有效地解决．版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.p1Ean。
导数的应用——利用导数证明不等式
导数的应用——利用导数证明不等式导数是微积分中的重要概念，它不仅在数学中有广泛的应用，还能帮助我们解决一些实际问题。
利用导数来证明不等式是导数的另一个重要应用之一、在本文中，我们将探讨如何使用导数来证明一些不等式。
在开始之前，我们需要回顾一下导数的定义。
对于函数f(x)，如果在特定点x处的导数存在，那么导数的定义为：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h)-f(x))/h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
证明不等式的基本方法是比较函数在一些区间内的导数大小关系。
如果可以证明在这个区间内，一个函数的导数始终大于另一个函数的导数，那么我们可以推断出，这个区间内的一个函数始终大于另一个函数，从而得到不等式的证明。
下面将通过一些具体的例子来说明如何利用导数证明不等式。
例1：证明当x>0时，e^x>1+x首先，我们定义函数f(x)=e^x-(1+x)，我们需要证明当x>0时，f(x)>0。
对于上述函数，我们可以计算它的导数f'(x)=e^x-1、现在我们只需要证明当x>0时，f'(x)>0即可。
对于x>0，显然有e^x>1，因此f'(x)=e^x-1>1-1=0，即f'(x)>0。
由此可知，当x>0时，f(x)是递增函数。
由此得到，f(x)>f(0)，即e^x-(1+x)>1-(1+0)=0。
因此，当x>0时，e^x>1+x。
例2：证明当 x>-1 时，(1+x)^n>1+nx在这个例子中，我们需要证明当 x>-1 时，(1+x)^n>1+nx，其中 n是正整数。
我们定义函数 f(x) = (1+x)^n-(1+nx)，我们需要证明当 x>-1 时，f(x)>0。
同样地，我们计算这个函数的导数f'(x)=n(1+x)^(n-1)-n。
用导数解决不等式恒成立问题(二)(市特级教师示范课)
则：f (x) ex 1
令 f (x) 0 x 0
当x变化时， x, f (x), f (x) 变化情况如下表：
x (, 0) 0 (0, )
f ( x)
—
0
+
f (x)
极小值
f (x)min f (0) 1 ex x 0 ex x
二、例题分析：
二、例题分析：
变式一.证明 不等式 ex x
如何证明？
二、例题分析：
变式一.证明 不等式 ex x
分析一：要证明 不等式f(x)>g(x) 即等价于证明：
（A）f(x)min>g(x)
请选择？
（B）f(x)>g(x)max
（C）f(x)min>g(x)max
二、例题分析：
变式一.证明 不等式 ex x
1
二、例题分析：
变式二：求证 直线 y=x在曲线y=lnx 的上方.
本题小结： 要证明 f(x) 的图象在g(x) 的上方
思路
本题小结：
要证明 f(x) 的图象在g(x) 的上方
等 价
思路
只要证明 f(x) > g(x)
二、例题分析：
变式三：若对任意x>0
ln x
，x
bx恒成立，
求正数b的取值范围.
三、课堂小结：
本节课你收获了什么？ 总结
三、课堂小结：
本节课你收获了什么？ 总结
函数位置关系. 不等式. 函数的最值.
三、课堂小结：
本节课你收获了什么？ 总结
函数位置关系. 不等式. 函数的最值.
转化：移项、去分母、恒等变形……
三、课堂小结：
利用导数证明不等式的四种常用方法
利用导数证明不等式的四种常用方法方法一：使用函数的单调性如果函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（或递减），则对于任意的x1,x2∈[a,b]，有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)）。
举例说明：证明当x＞0时，e^x＞1+x。
我们考虑函数f(x)=e^x-(1+x)，取f'(x)=e^x-1、如果f'(x)≥0，则f(x)在x＞0上单调递增，且f(x)在x=0处取到最小值。
通过计算可得f'(x)≥0，所以f(x)在x＞0上单调递增，即e^x-(1+x)≥0。
即e^x＞1+x。
方法二：使用函数的极值点如果函数f(x)在一些点x0处取得极小值（或极大值），则该点附近的函数值也有相应的性质。
举例说明：证明(1+x)^n > 1+nx，其中n为自然数。
我们考虑函数f(x) = (1+x)^n - (1+nx)，取f'(x) = n(1+x)^(n-1) - n。
令f'(x) = 0，可得x = -1/(n-1)。
我们先考虑x ∈ (-∞, -1/(n-1))，在此区间上f'(x) > 0，所以f(x)在此区间上单调递增。
当x < -1/(n-1)时，有f(x) > f(-1/(n-1)) = 0。
所以在此区间上(1+x)^n > 1+nx。
同理可得，当x ∈ (-1/(n-1), +∞)时，也有(1+x)^n > 1+nx。
方法三：使用函数的凹凸性如果函数f(x)在一些区间上是凹的（或凸的），则函数的函数值也有相应的性质。
举例说明：证明当a＞0时，有√a≤(a+1)/2我们考虑函数f(x) = √x，取f''(x) = -x^(-3/2)。
我们知道，当f''(x)≥0时，函数f(x)在该区间上为凹函数。
计算可得f''(x)≥0，所以f(x)在[0, +∞)上为凹函数。
利用导数证明或解决不等式问题
利用导数证明或解决不等式问题不等式问题是数学中常见的问题类型之一，对于不等式问题的解答，有时我们可以利用导数的概念进行证明或解决。
导数是微积分中的重要概念，它可以帮助我们分析函数的增减性和凹凸性，从而帮助我们解决不等式问题。
在本文中，我们将探讨利用导数证明或解决不等式问题的方法和思路。
我们将简要介绍导数的概念，然后结合具体的不等式问题，探讨利用导数证明或解决不等式问题的方法和例子。
导数的概念在微积分中，函数的导数是描述函数变化率的重要概念。
一个函数在某一点的导数可以用来表示这个函数在该点的变化速率，也可以用来表示函数图像在该点的切线斜率。
函数在某一点的导数可以通过下面的极限来定义：\[f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\]\(f'(x)\) 表示函数 \(f(x)\) 在点 \(x\) 处的导数。
导数的定义可以直观地理解为函数图像在某一点的切线斜率，也可以理解为函数在该点的变化速率。
导数有许多重要的性质，例如导数可以用来判断函数的增减性、凹凸性以及极值点等。
利用导数证明不等式在数学中，我们常常遇到需要证明不等式是否成立的问题。
利用导数可以帮助我们证明一些不等式。
对于一个实数函数 \(f(x)\) ，如果我们要证明在某个区间上 \(f(x)\)大于等于某个常数，我们可以利用导数的定义来进行证明。
假设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a,b]\) 内可导，且在该区间上 \([a,b]\) 上函数的导数 \(f'(x)\) 大于等于零（\(f'(x) \geq 0\)），则可以得出在该区间上函数 \(f(x)\) 单调递增。
那么对于任意 \(x \in [a,b]\)，都有 \(f(x) \geq f(a)\) 成立。
我们可以利用导数的性质，证明函数在某个区间上大于等于某个常数。
利用导数证明或解决不等式问题
利用导数证明或解决不等式问题在数学中，不等式问题是一个重要且常见的问题类型。
不等式问题涉及到数学中的大小关系，通过比较不同数值的大小关系来判断不等式的成立或者不成立。
在解决不等式问题的过程中，利用导数进行证明和解决不等式问题是一种常见的方法。
导数是函数在某一点的变化率，它可以帮助我们很好地理解函数的性质，并且在解决不等式问题时起到了重要的作用。
本文将详细介绍如何利用导数证明或解决不等式问题。
让我们回顾一下导数的基本概念。
在数学中，导数衡量了函数在特定点的变化率。
对于函数y=f(x)，它在点x处的导数记作f'(x)，表示函数在点x处的斜率或者变化率。
导数可以被理解为函数曲线在某一点的切线的斜率，它告诉我们函数在这一点的变化方向和速度。
导数的正负号以及大小可以帮助我们判断函数在该点附近的增减性，从而帮助我们理解函数的性质。
在利用导数证明或解决不等式问题时，我们通常需要借助导数的性质和相关定理来进行推导和证明。
在一元函数的情况下，我们可以通过求导和导数的性质来分析函数的单调性、极值、凹凸性等，从而进一步解决不等式问题。
下面通过具体的例子来介绍如何利用导数证明或解决不等式问题。
例1：证明不等式x^2>0成立。
解：我们将函数y=x^2进行求导，得到y'=2x。
首先我们观察到当x=0时，有y=0，因此0为该函数的一个根。
对于x≠0的情况，函数的导数始终为正数，说明函数在整个实数域上是单调递增的，因此函数的值始终大于0。
我们通过导数的信息证明了不等式x^2>0成立。
解：首先我们将不等式2x^2-3x+1>0转化为函数f(x)=2x^2-3x+1>0，然后求出函数的导数f'(x)=4x-3。
我们找出函数f(x)的驻点，即f'(x)=0的点，求解方程4x-3=0得到x=3/4。
然后我们观察驻点处的导数的正负号，由于3/4是f'(x)的零点，所以我们取x=0和x=1来代入f'(x)进行验证。
不等式论文：利用导数证明不等式的常用方法
不等式论文：利用导数证明不等式的常用方法不等式的证明问题是中学数学教学的一个难点,在中学必修课本中只作了简单介绍.而利用导数证明不等式思路清晰、方法简捷、操作性强,易被学生掌握.下面介绍如何构造辅助函数证明不等式.一、作差构造函数证明不等式【例1】当x＞0时,求证:x-x22＜ln(x+1).证明:设f(x)=x-x22-ln(x+1)(x＞0),则f′(x)=-x2x+1.∵x＞0,∴f′(x)＜0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以x＞0时,f(x)＜f(0)=0,即x-x22＜ln(x+1)成立．点评:一般地,若证明不等式f(x)＞g(x)成立,通常构造辅助函数f(x)=f(x)-g(x),即证明f(x)＞0.【例2】当x＞-1时,证明不等式x1+x≤ln(1+x)≤x成立.证明:作函数f(x)=x1+x-ln(1+x),有f′(x)=-x(1+x)2.当x＞0时，f′(x)＜0；当-1＜x＜0时,f′(x)＞0.所以f(0)=0是函数f(x)的极大值也是最大值.故可知f(x)在x＞-1时,f(x)≤0．同理可证g(x)=ln(1+x)-x在x＞-1时，g(x)≤0．综上获证.点评: 构造辅助函数后,通常利用函数的单调性、极值、最值证明不等式成立.二、换元简化后证明不等式【例3】若x∈(0,+∞),求证:1x+1＜lnx+1x＜1x.证明：令1+1x=t,则x=1t-1.∵x＞0,∴t＞1.则原不等式可转化为1-1t＜lnt＜t-1，令f(t)=t-1-lnt，∴f′(t)=1-1t.∵当t∈(1,+∞)时,有f′(t)＞0,∴f(t)在(1,+∞)上为增函数.故f(t)＞f(1)=0,即t-1＞lnt.令g(t)=lnt-1+1t,则g′(t)=1t-1t2=t-1t2.同理可知当t∈(1,+∞)时，g(t)在(1,+∞)上为增函数.故g(t)＞g(1)=0,即lnt＞1-1t.综上可知,1x+1＜lnx+1x＜1x.点评:若所证不等式比较复杂,可通过换元的思想转化为简单的或熟悉的不等式，再进行证明.三、利用条件结构构造函数证明不等式【例4】定义y=log x+1f(x,y),x＞0,y＞0,若e＜x＜y,证明：f(x-1,y)＞f(y-1,x).证明:f(x-1,y)=xy,f(y-1,x)=yx.要证f(x-1,y)＞f(y-1,x),只要证xy＞yx.xy＞yx lnxx＞lnyyylnx＞xlny.令h(x)=lnxx,则h′(x)=1-lnxx2,当x＞e时,h′(x)＜0,∴h(x)在(e,+∞)上单调递减.∵e＜x＜y,∴h(x)＞h(y),即lnxx＞lnyy.∴不等式f(x-1,y)＞f(y-1,x)成立.点评:此题构造的方式不是直接作差或作商，而是根据题目的特点，先用分离变量的方式将两个变量分别变形到式子的两边，再构造函数.四、利用f(x)min＞g(x)max证明不等式【例5】证明对一切x∈(0,+∞),都有lnx＞1ex-2ex成立.证明:问题等价于证明xlnx＞xex-2e，x∈(0,+∞).设f(x)=xlnx,x∈(0,+∞),则f′(x)=lnx+1,易得f(x)的最小值为-1e,当且仅当x=1e时取得.设g(x)=xex-2e,x∈(0,+∞),则g′(x)=1-xex，易得g(x)max=g(1)=-1e.当且仅当x=1时取得.从而对一切x∈(0,+∞)，都有lnx＞1ex-2xe成立.五、利用已知(证)不等式证明不等式【例6】已知函数f(x)=lnx,g(x)=2x-2(x≥1).（1）试判断f(x)=(x2+1)f(x)-g(x)在定义域上的单调性；（2）当0＜a＜b时,求证:f(b)-f(a)＞2a(b-a)a2+b2.解:（1）易知f(x)=(x2+1)lnx-(2x-2),当x＞1时，f′(x)=2xlnx+(x-1)2x,则f′(x)＞0.函数f(x)=(x2+1)f(x)-g(x)在［1,+∞)上递增.（2）由（1）知当x＞1时,f(x)＞f(1)=0,∴f(x)＞0 .即(x2+1)lnx-(2x-2)＞0,∴ln x＞2x-2x2+1.①设x=ba,由0＜a＜b可知x＞1.则①式可化为lnba＞2ba-1(ba)2+1，即lnb-lna＞2a(b-a)a2+b2.故当0＜a＜b时,f(b)-f(a)＞2a(b-a)a2+b2.点评:证明不等式时,若能注意到所证不等式与所给函数的关系,往往能打开解题思路.【例7】已知函数f(x)=alnx-ax-3(a∈r)．（1）求函数f(x)的单调区间;（2）求证：ln22ln33ln44…lnnn＜1n(n≥2,n∈n*)．解:（1）f′(x)=a(1-x)x(x＞0),当a＞0时,f(x)的单调增区间为(0,1),减区间为(1,+∞)；当a＜0时,f(x)的单调增区间为(1,+∞)，减区间为(0,1);当a=0时，无单调区间．（2）令a=-1，此时f(x)=-lnx+x-3，所以f(1)=-2.由（1）知f(x)=-lnx+x-3在(1,+∞)上单调递增，∴当x∈(1,+∞)时，f(x)＞f(1)，即-lnx+x-1＞0，∴lnx＜x-1对一切x∈(1,+∞)成立，∵n≥2，m∈n*,则有0＜lnn＜n-1，∴0＜lnnn＜n-1n.∴ln22l n33ln44…lnnn＜122334…n-1n=1n(n≥2,n ∈n*).点评:对证明如下两个不等式(1) lnx≤x-1；(2)ex≥x+1时，应给予更多关注.总之，利用导数证明不等式,关键是如何根据不等式的结构特征构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值,从而证得不等式.。
《利用导数解决不等式问题》教学设计
《利用导数解决不等式问题》教学设计《利用导数解决不等式问题》教学设计【学习目标】知识技能1、会利用导数作为工具证明不等式;2、能够构造函数,结合放缩和函数的单调性、最值达到证明目的过程方法：(1)在“分析、实验、讨论、总结”的探究过程中,发展学生自主学习能力；(2)强化数形结合思想情感态度：(1)培养学生的探究精神；(2)体验动手操作带的成功感【教学重点难点】1 灵活准确的构造函数2 利用可导函数解决不等式证明；【学情分析】导数之难,难在对函数单调性的认识并且导数工具的运用,充分体现了“数形结合思想”问题研究的核心就是“函数的单调性”结合本节试题的结构和内容分析，结合着高三年级学生他们的认知结构及其心理特征，归纳总结做题规律，使学生明确做题的方向。
我们都知道数学是一门培养人的逻辑思维能力的重要学科。
因此，在教学过程中，不仅要使学生“知其然”，还要使学生“知其所以然”。
我们在以师生既为主体，又为客体的原则下，展现获取理论知识、解决实际问题方法的思维过程。
考虑到我校高三年级学生的现状，我主要采取引导加点拨的教学方法，让学生真正的参与教学中去，而且在堂活动中得到新的认识和体验，产生践行的愿望。
当然教师自身也是非常重要的教学资。
教师本人应该通过堂教学感染和激励学生，充分调动起学生参与活动的积极性，激发学生对解决难题问题的渴望，并且要培养学生以理论联系实际的能力，从而达到最佳的教学效果。
同时也体现了改的精神。
【教学过程】一、前思考：（引入题）1、利用导数能解决哪些问题？2、复习上节证明含对数和指数的不等式的两种常用方法：设计意图：利用提出问题吸引学生，由抽签法进行幸运抽奖活动，激发学习兴趣，达到调动学生积极性的目的若学生能说出导数除了能解决单调性和最值问题，还能解决不等式问题，则追问利用导数证明不等式常用的方法是啥；若学生不清楚，则用简单的例子引导他们，对于复杂一点的不等式问题又如何下手呢？从而引入授内容二、观察分析，初步探究例1．若函数=在R上可导且满足不等式x>－恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：．a>b【解】由已知x+>0 ∴构造函数，则x+>0，从而在R上为增函数。
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考点43 利用导数解决不等式问题
1.（13天津T8）设函数2()e 2,()ln 3x x g x x x x f +-=+-=. 若实数,a b 满足()0,()0f a g b ==, 则（ ）
A. ()0()g a f b <<
B. ()0()f b g a <<
C. 0()()g a f b <<
D. ()()0f b g a <<
【测量目标】利用导数解决不等式问题.
【考查方式】已知两个函数，通过导数判断函数的单调性，比较值的大小.
【试题解析】首先确定b a ,的取值范围，再根据函数的单调性求解.
()e 10x f x '=+>，∴()x f 是增函数. （步骤1）
∵()x g 的定义域是()0,+∞，∴()120,g x x x
'=+> ∴()x g 是()0,+∞上的增函数. （步骤2）
∵()010,(1)e 10,0 1.f f a =-<=->∴<<（步骤3）
(1)20,g =-<(2)ln 210,12,()0,()0.g b f b g a =+>∴<<∴><（步骤4）
2.（13湖南T21）（本小题满分13分）已知函数21()e 1x x f x x
-=
+． ⑴求()f x 的单调区间；
⑵证明：当时1212()()()f x f x x x =≠时，120x x +<．
【测量目标】导数的运算，导数研究函数的单调性，导数在不等式证明问题中的应用．
【考查方式】考查导数的运算、利用导数求函数单调区间的方法、构造函数判断函数大小的方法． 【试题解析】⑴ 函数的定义域,-∞+∞（），
2211()e e 11x x x x f x x x '--⎛⎫'=+ ⎪++⎝⎭
222(11)e 1)(1)e 21)x x x x x x x -+-⋅+--⋅=+（（22232e 1)x
x x x x --+=⋅+（（步骤1） 22420∆=-⨯<，∴当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x y f x '>=单调递增，
当时(0,)x ∈+∞，()0,()f x y f x '=单调递减．
∴()y f x =在(,0)-∞上单调递增，在(0)x ∈+∞，上单调递减．
（步骤2） ⑵当1x <时，由于2101x x
->+，e 0x >，故()0f x >；同理，当1x >时，()0f x <．（步骤3） 当1212()()()f x f x x x =≠时，不妨设12x x <，由⑴知，1(,0)x ∈-∞，2(0,1)x ∈．（步骤4） 下面证明：
(0,1)x ∀∈，()()f x f x <-，
即证 2211e e 11x x x x x x --+<++⇔1(1)e 0e x x x x ---<．（步骤5） 令1()(1)e e
x x x g x x +=--，则2()e (e 1)x x g x x -'=--．（步骤6） 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，从而()(0)0g x g <=，即1(1)e 0e x x
x x +--
<． (0,1)x ∴∀∈，()()f x f x <-．
（步骤7） 而2(0,1)x ∈，22()()f x f x ∴<-，从而12()()f x f x <-．（步骤8）
由于1x ，2(,0)x -∈-∞，()f x 在(,0)-∞上单调递增，
所以12x x <-，即120x x +<．（步骤9） 3.（13课标ⅡT12）若存在正数x 使2x （x -a ）＜1成立，则a 的取值范围是 （ ）
A.（-∞，+∞）
B.(-2, +∞)
C.(0, +∞)
D.（-1，+∞）
【测量目标】利用导数解决不等式问题.
【考查方式】带未知数的不等式，由x 的范围得出未知数的范围.
【参考答案】D
【试题解析】把参数a 分离出来，利用导数知识进行求解.()121,2x x x a a x -<∴>-令()()1,'12ln 20.2
x x f x x f x -=-∴=+>()()0,f x ∴+∞在上单调递增，()()0011,f x f ∴>=-=-()1+.a D ∴-∞的取值范围为，，故选。