高三数学复数复习

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高三复数复习课件

三角函数图像的绘制方法
利用MATLAB绘制三角函数图像
使用MATLAB的绘图功能，可以绘制正弦、余弦和正切函数的图像。
利用Python绘制三角函数图像
使用Python的matplotlib库，可以绘制正弦、余弦和正切函数的图像。
04
复数在解方程中的应用
一元二次方程的解法及其应用
实数根与虚数根
一元二次方程的解可以是实数或虚数，通过判别式
复数解的形式
二元一次方程组的解也可以表示为复数形式，包括实部和虚部。
在几何中的应用
二元一次方程组的解可以表示平面上的点，通过几何意义可以直观地理解方程组的意义。
多元一次方程组的解法及其应用
01
消元法与代入法
多元一次方程组可以通过消元法和代入法求解，得到多个未知数的值。
02
复数解的形式
多元一次方程组的解也可以表示为复数形式，包括实部和虚部。
谢谢您的聆听
THANKS
复数的表示方法
复数可以用平面坐标系中的点来表示，实部为横坐标，虚部为纵坐标。
复数的性质及其运算规则
复数的性质
复数具有实部和虚部，可以比较大小，可以进行四则运算等。
复数的运算规则
复数的加法、减法、乘法和除法运算都有特定的规则，需要掌握。
复数的几何意义与坐标表示
复数的几何意义
复数可以用平面坐标系中的点来表示，也可以用向量来表示。
利用复数计算三角函数的值
对于复数$z = a + bi$，其三角形式为$r(\cos \theta + i \sin \theta)$，则 $\sin z = \sin \theta (\cos \theta + i \sin \theta)$，$\cos z = \cos \theta (\cos \theta + i \sin \theta)$。

高三数学复习知识点之复数

高三数学复习知识点之复数1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=-1.⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i的数（其中a，b∈R）；② 实数—当b = 0时的复数a + b i，即a；③ 虚数—当b≠0时的复数a + b i；④ 纯虚数—当a = 0且b≠0时的复数a + b i，即b i.⑤ 复数a + b i的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：a+bi=c+di<=>a=c且b=d(其中,a,b,c,d∈R)特别的a+bi=0<=>a=b=0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z₁,z₂为复数，则1°若z₁+z₂>0，则z₁>-z₂.（×）[z₁,z₂为复数，而不是实数]2°若z₁<z₂，则z₁-z₂<0.（√）②若a,b,c∈C，则(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0是a=b=c的必要不充分条件.（当(a-b)²=i²，(b-c)²=1,(c-a)²=0时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：d=|z₁-z₂|.其中z₁,z₂是复平面内的两点z₁和z₂所对应的复数，d表示z₁和z₂间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：|z-z0|=r(r>0).⑵曲线方程的复数形式：①|z-z0|=r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②|z-z₁|=|z-z₂|表示线段z₁z₂的垂直平分线的方程.③|z-z₁|+|z-z₂|=2a(a>0且2a>|z₁z₂|表示以Z₁,Z₂为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示线段Z₁,Z₂）.④||z-z₁|-|z-z₂||=2a(0<2a<|z₁z₂|,表示以Z₁,Z₂为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设z₁,z₂是不等于零的复数，则①||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ<0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,λ>0).②||z₁|-|z₂||≤|z₁-z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ>0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ<0).注：3. 共轭复数的性质：注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4⑴①复数的乘方：zⁿ=z·z·z...z}n(n∈N﹢)②对任何z，z₁,z₂∈C及m,n∈N﹢有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i²=-1,i的4次方=1若由就会得到-1=1的错误结论.②在实数集成立的|x|=x₂. 当x为虚数时，|x|≠x²，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：若ω是1的立方虚数根。

高三数学复数的有关概念总复习

第十四章复数——复数的有关概念（二）知识点详析1．知识体系表解2．复数的有关概念和性质：(1)i称为虚数单位,规定,形如a+bi的数称为复数,其中a，b∈R．(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)(3)复数的相等设复数，那么的充要条件是：．(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的．复数z=a+bi．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．(7)复数与实数不同处①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小．②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．有关计算：⑴怎样计算？（先求n被4除所得的余数，）⑵是1的两个虚立方根，并且：⑶复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数z1、z2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z1、z2对应的向量共线且同向（反向）时取等号。

⑷棣莫佛定理是：⑸若非零复数，则z的n次方根有n个，即：它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？都位于圆心在原点，半径为的圆上，并且把这个圆n等分。

⑹若，复数z1、z2对应的点分别是A、B，则△AOB（O为坐标原点）的面积是。

⑺=。

⑻复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：①轨迹为一条射线。

②轨迹为一条射线。

③轨迹是一个圆。

④轨迹是一条直线。

⑤轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在。

⑥轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在。

4．学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容，加强对复数概念的认识；(2)(3)正确区分复数的有关概念；(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合；(5)正确掌握复数的运算：复数代数形式的加、减、乘、除；三角形式的乘、除、乘方、开方及几何意义；虚数单位i 及1的立方虚根ω的性质；模及共轭复数的性质；(6)掌握化归思想——将复数问题实数化（三角化、几何化）；(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。

高三复数知识点总结

高三复数知识点总结在高三数学学习中，复数是一个非常重要的知识点。

复数在数学中具有重要的应用价值，尤其在代数、几何以及物理学等领域中起着关键作用。

本文将对高三复数知识点进行总结和归纳，以帮助同学们更好地掌握和应用相关概念。

一、复数的定义和表示方法复数是由实数和虚数单位i所组成的，可表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实部和虚部。

实部和虚部都是实数。

复数具有加法、减法、乘法和除法运算。

二、复数的加减法复数的加减法可以通过分别对实部和虚部进行相应的运算得出。

例如，(a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i。

三、复数的乘法复数的乘法需要用到乘法公式，即(a+bi)(c+di) = (ac-bd) +(ad+bc)i。

四、复数的除法复数的除法需要用到公式，即(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。

五、共轭复数共轭复数是指实部相同，虚部符号相反的两个复数。

对于复数a+bi，它的共轭复数表示为a-bi。

共轭复数在复数的除法和复数的模运算等方面非常有用。

六、复数的模复数的模是指复数与原点之间的距离，可用勾股定理计算。

对于复数a+bi，它的模表示为|a+bi| = √(a^2 + b^2)。

七、复数的辐角复数的辐角是指复数与正实轴之间的夹角，可用三角函数计算。

对于复数a+bi，它的辐角表示为arg(a+bi)。

八、复数的指数形式复数可以用指数形式表示，即re^(iθ)，其中r为模，θ为辐角。

指数形式可以转化为三角形式，即a+bi的形式。

九、复数的平方根对于复数a+bi，它的平方根可以通过求解方程z^2 = a+bi得到。

解得的两个根可以通过共轭复数的概念得到。

十、复数在几何中的应用复数在几何中有广泛的应用，比如描述平面上的点、表示向量、表示旋转变换等。

通过将复数与平面上的点一一对应，可以进行各种几何运算。

数学复习复数与虚数

数学复习复数与虚数数学复习：复数与虚数一、复数的概念及运算在数学中，复数是由实数和虚数相加或相减组成的。

虚数单位 i 定义为：i^2 = -1。

复数的一般表示形式为 a+bi，其中 a 为实部，b 为虚部。

1. 复数的定义和表示方法复数是由实数和虚数组成的数，一般表示为 a+bi，其中 a 是实部，b 是虚部。

例如，5+3i 就是一个复数。

2. 复数的加法和减法复数的加法：若 z1 = a+bi，z2 = c+di，则 z1+z2 = (a+c)+(b+d)i。

复数的减法：若 z1 = a+bi，z2 = c+di，则 z1-z2 = (a-c)+(b-d)i。

3. 复数的乘法和除法复数的乘法：若 z1 = a+bi，z2 = c+di，则 z1*z2 = (ac-bd)+(ad+bc)i。

复数的除法：若 z1 = a+bi，z2 = c+di，则 z1/z2 =[(ac+bd)/(c^2+d^2)]+[(bc-ad)/(c^2+d^2)]i。

二、虚数的概念及运算虚数是复数中虚部不为零的数。

虚数单位 i 定义为：i^2 = -1。

虚数的一般表示形式为 bi，其中 b 为虚数的系数。

1. 虚数的定义和表示方法虚数是由虚部不为零的复数，一般表示为 bi，其中 b 是虚数的系数。

例如，3i 就是一个虚数。

2. 虚数的乘法和除法虚数的乘法：若 ix = (0+1i)(x+0i) = 0+xi = xi。

虚数的除法：若 ix = xi，则i = √(-1) = ±√i，即虚数的除法需要使用复数表示。

三、复数的应用领域复数在数学中有广泛的应用，特别是在电路分析、信号处理、傅里叶分析等领域。

1. 电路分析在电路分析中，复数可以方便地表示电流和电压的相位关系。

2. 信号处理在信号处理中，复数用于表示信号的频谱特性和频域滤波操作。

3. 傅里叶分析在傅里叶分析中，复数用于描述信号的频谱分量和信号的频域特性。

高考数学复数知识点、公式(最齐全)

数系的扩充和复数概念和公式总结1.虚数单位i:它的平方等于-1, 即21i=-2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根, 即方程x2=－1的一个根, 方程x2=－1的另一个根是－i3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=14.复数的定义：形如(,)+∈的数叫复数, a叫复a bi ab R数的实部, b复数集, 用字母C复数通常用字母z表示, 即(,)=+∈z a bi a b R5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈, 当且仅当b=0时, 复a bi ab R数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时, 复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时, z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时, z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时, z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等, 那么我们就说这两个复数相等如果a, b, c, d∈R, 那么a+bi=c+di⇔a=c, b=一般地, 两个复数只能说相等或不相等, 而不能比较大小.即使是3,62++也没有大小。

i i如果两个复数都是实数, 当两个复数不全是实数时不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a, 纵坐标是b, 复数z=a+bi(a、b ∈R)可用点Z(a, b)表示, 这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x轴叫做实轴, y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0, 0)设z1=a+bi, z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数,8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 复数的加法运算满足交换律和结合律10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i d c ad bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化）复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。

高三复数总复习知识点、经典例题、习题

复数一．基本知识【1】复数的基本概念（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部实数：当b = 0时复数a + b i 为实数虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数；纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数（2）两个复数相等的定义：（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习）（5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模；【2】复数的基本运算设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++；（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；（3）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ 特别22z z a b ⋅=+。

（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-⋅⋅⋅⋅⋅⋅【3】复数的化简c di z a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==⋅=++-+ 对于()0c di z a b a bi +=⋅≠+，当c d a b=时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi +==+进一步建立方程求解二．例题分析【例1】已知()14z a b i =++-，求（1）当,a b 为何值时z 为实数（2）当,a b 为何值时z 为纯虚数（3）当,a b 为何值时z 为虚数（4）当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。

高考复数知识点精华总结

高考复数知识点精华总结1．复数的概念：（1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)；（3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。

2．复数集整数有理数实数(0)分数复数(,)无理数(无限不循环小数)纯虚数(0)虚数(0)非纯虚数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。

应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。

4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ，（1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ；（2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ；（3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模, 且2||z z z ⋅==a2+b2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。

高中数学复数知识点总结

1. 复数的概念与表示1.1 复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，形式为a + bi，其中a和b都是实数，而i是虚数单位，满足i^2 = -1。

1.2 复数的表示复数可以用代数形式、几何形式和指数形式表示。

•代数形式：a + bi•几何形式：复平面上的点•指数形式：re^(iθ)2. 复数的运算2.1 复数加减法对于两个复数a + bi和c + di，它们的和与差分别为：•和：(a + c) + (b + d)i•差：(a - c) + (b - d)i2.2 复数乘法对于两个复数a + bi和c + di，它们的积为：(ac - bd) + (ad + bc)i2.3 复数除法对于两个复数a + bi和c + di，它们的商为：((ac + bd) + (bc - ad)i) / (c^2 + d^2)3. 复数的性质与运算规律3.1 复数的模复数a + bi的模为：|a + bi| = √(a^2 + b^2)3.2 复数的共轭复数a + bi的共轭为：a - bi3.3 复数的运算规律•交换律：(a + bi)(c + di) = (c + di)(a + bi)•结合律：((a + bi)(c + di))(e + fi) = (a + bi)((c + di)(e + fi))•分配律：(a + bi)(e + fi) = ae + afi + bei + bfi•单位元：1 + 0i•逆元：对于非零复数a + bi，其逆元为(a + bi)^{-1} = (a^2 + b^2)^{-1}(a - bi)4. 复数的应用4.1 复数与方程许多实系数一元二次方程可以通过配方、因式分解等方法转化为复数根的形式。

4.2 复数与函数复数可以表示为函数的极限、积分和级数。

例如，欧拉公式e^(iθ) = cos(θ) + i sin(θ)。

4.3 复数与物理在电磁学、量子力学等领域，复数常用于表示波动方程、能量本征值等物理量。

复数知识点总结-高三数学一轮复习

知识点总结3 复数一．复数的相关概念及运算法则1.虚数单位：i ，规定i 2=−1；复数的代数形式：z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，a 叫实部，b 叫虚部2.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的分类① z 是实数⇔b ＝0；② z 是虚数⇔b ≠0；③ z 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0.3.共轭复数：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数z ＝a －b i.4.复数的模：复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |=|a +bi |=√a 2+b 2.5.复数相等的充要条件：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R ).特别地，a ＋b i ＝0⇔a ＝0且b ＝0(a ，b ∈R ).6.复数的运算法则加减法：(a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ；乘法：(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；除法：(a ＋b i)÷(c ＋d i)＝22ac bd c d ++＋22bc-a d c d +i(c ＋d i ≠0).(,,,)a b c d R ∈其中 [来源:] 二．复数的几何意义1.复数(,)z a bi a b R =+∈与复平面上的点(,)Z a b 一一对应，2.复数(,)z a bi a b R =+∈对应平面向量OZ ；3.复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．4.复数(,)z a bi a b R =+∈的模||z 表示复平面内的点(,)z a b 到原点的距离．三．复数的几个常见结论1.(1±i)2＝±2i.2.11i i +-＝i ，11i i-+＝－i. 3.虚数单位的周期T =4 即：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0(n ∈Z ).4.z ∙z ̅=|z |2=a 2+b 2；。

高三复数的知识点归纳总结

高三复数的知识点归纳总结复数是数学中的一个重要概念，它在高中数学中被广泛研究和应用。

掌握复数知识对于理解和解决各类数学问题具有重要意义。

在高三阶段，学生需要对复数的基本概念、运算规则以及与其他数学知识的联系有较为深入的了解。

本文将对高三阶段复数的相关知识点进行归纳总结。

1. 复数的定义和性质复数是由实数和虚数组成的数。

其中，实数部分与虚数部分分别用虚数单位i表示，虚数单位i的平方为-1。

复数可以表示为 a+bi 的形式，其中a为实部，b为虚部。

复数包含了实数，并且可以在复平面上进行表示。

复数的共轭、模、幂等性质是复数运算的重要基础。

2. 复数的四则运算复数的加减法与实数的加减法类似，分别对实部和虚部进行运算。

复数的乘法可以使用分配律展开计算，利用虚数单位i的平方性质化简计算。

复数的除法可以通过乘以共轭形式，并结合有理化等技巧化简问题。

四则运算的结果仍为复数，需要对结果进行合并和化简。

3. 复数的模与论证复数的模是复数到原点的距离，也是复数自身的绝对值。

根据复数的定义，模的计算公式为√(a^2 + b^2)，其中a和b分别为实部和虚部。

复数的模具有非负性、三角不等式等性质。

通过模也可以计算复数的幂，利用三角函数的定义，可以将复数表示为模与辐角的形式，其中辐角表示复数与正实轴的夹角。

4. 复数与二次函数复数与二次函数之间存在着密切的联系。

对于二次函数的解，当判别式为负时，存在共轭的复数解；当判别式为零时，存在重根的解；当判别式为正时，存在两个不同的实数解。

在解二次函数问题时，通过运用复数知识可以得到更全面的解释和解答。

5. 复数平面与向量复数平面也称为阿尔及利亚平面，它由实轴和虚轴构成。

复数可以在复数平面上表示为点，复数的加减乘除运算可以通过复数平面上的几何对应关系进行解释和理解。

复数的模可以表示为原点到该复数所对应的点的距离。

复数还可以和向量一一对应，在复数平面上的几何运算可以转化为向量上的运算。

高三总复习复数.doc

高考必考专题2：复数一、课堂重点1、复数的代数形式： a bi a, b R ，a叫实部， b 叫虚部，实部和虚部都是实数。

2、复数相等：a bi c di a c且 b=d ； a bi 0 a 0且 b=0实数 (b=0)3、复数的分类：复数Z a bi一般虚数 (b 0,a0) 虚数 (b 0)0, a 0)纯虚数 (b4、复数的模：若向量uur uur| a bi | a2 b2 OZ表示复数z，则称 OZ的模r为复数z的模，z ；5、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

6、复数的几何意义：复数 z a bi a,b R 一一对应复平面内的点Z (a,b)7、复数的四则运算加法： z1 +z2=( a+bi )+( c+di )=( a+c)+( b+d) i . a, b, c, d R减法： z - z =( a+bi )-( c+di )=( a- c)+( b- d) i . a, b, c, d R1 2乘法： z1z2= ( a+bi )( c+di )=( ac－bd)+( bc+ad) i .a, b, c, d R复数的加法运算满足交换律和结合律；复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。

除法：z1(a+bi) (c+di)=a bi=ac bd bc adi a, b, c, d R z2 c di c2 d 2 c2 d 28、常用算式：1i ， (1 i )2 2i ， (1 i) 2 2i ，1 i i ，1i i i 1 i 1 i二、例题精讲1. （ 2008 上海）若复数z 满足 z (1+i) =1-i (I 是虚数单位 ) ，则其共轭复数z =____________.2. （ 2009 浙江）设z 1 i （ i 是虚数单位），则2z2 ( ) zA ．1 iB ． 1 iC ． 1 iD ． 1 i3. （北京理）在复平面内，复数z i (1 2i ) 对应的点位于（）A ．第一象限 B4. (2012 年山东 ) 复数 3 i1 i ．第二象限C．第三象限D．第四象限. 等于（）A ．1 2i B. 1 2i C. 2 i D. 2 i5. 若复数z1 4 29i , z2 6 9i, 其中i是虚数单位，则复数( z1 z2 )i 的实部为.6. (2012 年四川 ) 复数（）A. B.7.（安徽理） i 是虚数单位，若D.1 7i2a bi (a,b R) ，则乘积 ab 的值是( )iA. －15B. －3C. 38.(2015 高考北京 ) 复数i 2 i （）A ． 1 2i B． 1 2i C． 1 2i D． 1 2i－ 3+i9. （ 2013 年新课标文）复数z＝2+i 的共轭复数是（）+i － i C. － 1+i D. － 1－ i 10. （ 2014 年新课标文）已知复数，其中i 是虚数单位，则 = .11．（ 2013 年高考辽宁卷（文））复数的Z1模为（）i 1A ．1B． 2 C． 2 D．2 2 212．（ 2013 年高考课标Ⅱ卷（文）） ||= （）A ． 2 B． 2 C．D． 1113．（ 2013 年高考湖南）复数z=i · (1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限214．（ 2013 年高考四川卷）如图, 在复平面内, 点A表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是（）A．A B．B C．C D．D315．（ 2013 年高考课标Ⅰ卷）1 2i（）(1 i )2A．1 1 i B．11i C．11i D．11i2 2 2 2416．（ 2013 年高考北京卷）在复平面内, 复数i (2 i) 对应的点位于（）A．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限517．（ 2013 年高考山东卷）复数, 则（）A． 25 B．C． 5 D．618．（ 2013 年高考江西卷）复数z=i(-2-i)(i 为虚数单位 ) 在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限719．（ 2013 年高考浙江卷）已知i 是虚数单位 , 则(2+i)(3+i)= （）A． 5-5i B． 7-5i C． 5+5i D． 7+5i208．（ 2013 年高考安徽）设 i 是虚数单位,若复数a 10 ( a R) 是纯虚数,则a的值为（）3 iA． -3 B． -1 C． 1 D． 3219．（ 2013 年高考福建卷）复数z 1 2i (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2210．（ 2013 年高考广东卷）若i ( x yi ) 3 4i , x, y R ,则复数 x yi 的模是（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 52311．（ 2013 年高考天津卷） i 是虚数单位 . 复数 (3 + i)(1-2i) = ______.2412．（ 2013 年高考重庆卷）已知复数z 1 2i ( i 是虚数单位),则z ____________.2513（． 2013 年上海）设m R , m2 m 2 m2 1 i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m ________. 2614 ．（ 2013 年高考湖北卷）i 为虚数单位,设复数z1, z2 在复平面内对应的点关于原点对称, 若z1 2 3i , 则 z2 __________.27．（ 2012 年高考浙江）已知i 是虚数单位 , 则3i = （）1 iA． 1-2i B． 2-i C． 2+i D． 1+2i28．（ 2012 年高考天津） i 是虚数单位 , 复数53i （）4 iA ． 1 iB ． 1 iC ． 1 iD ． 1 i i29． (2015 高考四川 ) 设 i 是虚数单位，则复数i 32()i30．（ 2012 年高考山东）若复数 z 满足 z(2i ) 11 7i(i 为虚数单位 ), 则 z 为（）A ． 3+5iB ． 3-5iC ． -3+5iD ． -3-5i31．（ 2012 年高考辽宁）复数（）A ．B ．C ．D ．32．（ 2012 年高考课标）复数 z=3i 的共轭复数是（）2 iA ． 2 iB ． 2 iC ． 1 iD ． 1 i33．（ 2012 年高考江西）若复数 z=1+i (i为虚数单位 )z 是 z 的共轭复数 ,则 z 2 + z 2的虚部为（）A ． 0B ．1C ． 1D ． 234．（ 2012 年高考湖南）复数 z=i(i+1)(i为虚数单位 ) 的共轭复数是（）A ． -1-iB ． -1+iC ． 1-iD ． 1+i35．（ 2012 年高考广东） ( 复数 ) 设 i 为虚数单位 , 则复数34i（）iA ． 4 3iB ． 4 3iC ． 4 3iD ． 4 3i36．（ 2012 年高考（福建文））复数 (2 i )2 等于（）A ． 3 4iB ． 5 4iC ． 3 2iD ． 5 2i37．（ 2012 年高考北京）在复平面内 , 复数10i对应的点坐标为（）3 iA ． (1,3)B ． (3,1)C ． ( 1,3)D ． (3, 1)38．（ 2012 年高考安徽）复数 z 满足 : ( z i )i2 i ; 则 z（）A ． 1 iB ． 1 iC ．iD ．i39．（ 2012 年高考上海）计算 :3 i=_______(i为虚数单位 ).1 i40．（ 2012 年高考湖北）若3 bi a bi ( a, b 为实数 , i 为虚数单位 ), 则 a b ____________.1 i41． (2015 高考广东 ) 若复数z i 3 2i ( i 是虚数单位)，则z （）A ．3 2iB ． 3 2iC ． 2 3iD ． 2 3i 42．（浙江）把复数的共轭复数记作，i 为虚数单位，若 =（）A． 3-i B． 3+i C． 1+3i D． 343．（天津）是虚数单位，复数=（A． B ． C ．D．44.（四川）复数 =（）A．B．C． 0 D．45. （山东）复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限46. （全国新课标）复数（）A. B. C. D.47. （全国大纲）复数，为的共轭复数，则（）A．B．C．D．48. （辽宁）为正实数，为虚数单位，，则（）B. C.49. （江西）若，则复数（）A． B ．C．D．50. （湖南）若，为虚数单位，且则（）A．，B．C． D ．51. （湖北）为虚数单位，则 =（）A． - B． -1 C．D．152. （福建） i 是虚数单位，若集合S=，则（）A．B．C． D ．53. （广东）设复数满足，其中为虚数单位，则=（）A．B．C．D．54. （北京）复数（）A． i B． -i C ．D．55. （安徽）设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（）C. D.56.（江苏）设复数ｚ满足（ i 是虚数单位），则的实部是 _________.57. （上海）复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，则等于 _________.58. （湖南）复数2等于（）1 iA. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i59. （全国 2 卷）复数（） A.B.C.D.60. （陕西）复数 z= i 在复平面上对应的点位于（）1 iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限61. （辽宁）设 a,b 为实数，若复数1+2i1 i ，则（）a3, b 1bi1, b 3A. aB.a 3,b 1C.aD.a 1,b32 22 262. （江西）已知（ x+i ）（ 1-i ） =y ，则实数 x ，y 分别为（）=-1 ， y=1B. x=-1， y=2 C. x=1，y=1D. x=1， y=263. （安徽）已知，则 i()= （）A.B.C. D.64. （浙江）设 i 为虚数单位，则5 i （）1 i+3i+3i65. （山东）已知a2ib i a, b R ，其中 i 为虚数单位，则 a b （）iA.1B. 1C. 2D. 366. （北京）复平面内，复数 6+5i, -2+3i对应的点分别为 A, 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是（）+8i+2i+4i +i67. （四川） i 是虚数单位，计算 i ＋ i 2 ＋i 3＝（）A. － 1C.iD.i68. （天津） i 是虚数单位，复数 3i=（）1 i+2i +4i69. （广东）若复数 z 1=1+i ， z 2=3-i ，则 z 1·z 2=（）A． 4+2iB. 2+iC. 2+2i70. （福建数） i 是虚数单位 , (1 i)4 等于 ()1-iA ． iB ． -iC ． 1D ． -171. （全国 1 卷）复数32i（）2 3iB.i i+13i （）72. （山东）已知a 2ibi （a,b ∈ R ），其中 i 为虚数单位，则 a+b=（）i73. （安徽） i 是虚数单位，i（）33iA.13i B.13i C. 1 3i D.1 3 i4 124 12262674. （湖北）若 i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数 Z ，则表示复数z的点是（）1 iA ． E75. （上海）若复数z 1 2i （ i 为虚数单位），则 z z z.76. （重庆）（已知复数 z=1+i，则2z =____________.2i z77. （北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为.1 i78. （江苏）设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i （其中 i 为虚数单位），则 z 的模为 ___________.79． [2014 ·重庆卷 ] 复平面内表示复数 i(1 － 2i)的点位于 ()A ．第一象限B．第二象限 C．第三象限D ．第四象限10i80． [2014 ·全国卷 ] 设 z ＝ 3＋ i ，则 z 的共轭复数为 ()A ．－ 1＋ 3iB．－ 1－ 3iC ． 1＋ 3iD ．1－ 3i81． [2014 ·安徽卷 ] 设 i 是虚数单位，－z－＝()z 表示复数 z 的共轭复数．若z ＝1＋ i ，则＋ i · ziA ．－2B．－ 2iC ．2D． 2i1＋i 282． [2014 ·北京卷 ] 复数 1－i ＝ ________．83． [2014 ·福建卷 ] 复数 z ＝ (3 － 2i)i的共轭复数 z 等于 ( ) A ．－ 2－ 3iB．－ 2＋ 3iC． 2－ 3iD． 2＋3i 84． [2014 ·广东卷 ] 已知复数 z 满足 (3 ＋ 4i)z ＝ 25，则 z ＝ ()A ．－ 3＋ 4iB．－ 3－ 4i C ． 3＋ 4iD． 3－ 4i85． [2014 ·湖北卷 ] i1－ i 2)为虚数单位，＝ (1＋ iA ．－ 1B ． 1C ．－ iD ． iz ＋i86． [2014 ·湖南卷 ] 满足z ＝ i(i为虚数单位 ) 的复数 z ＝ ()11 1 1 11＋ 2i－ 2iC．－ 2＋ 2iD．－ 2－ 2i87． [2014 ·江西卷 ] －是 z 的共轭复数，若－－＝ 2(i 为虚数单位 ) ，则 z ＝() zz ＋ z ＝ 2，(z － z )i A ． 1＋iB．－ 1－ i C．－ 1＋ iD． 1－ i88． [2014 ·辽宁卷 ] 设复数 z 满足 (z － 2i)(2 －i) ＝ 5，则 z ＝ () A ． 2＋3iB． 2－ 3i C．3＋ 2i D． 3－ 2i（ 1＋ i ） 389． [2014 ·新课标全国卷Ⅰ ] （ 1－ i ） 2＝()A ． 1＋i B． 1－ i C90． [2014 ·新课标全国卷Ⅱ ] 设复数．－ 1＋ iD．－ 1－ iz 1， z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， z 1＝ 2＋ i ，则 z 1z 2＝()A ．－ 5B ． 5C ．－ 4＋ iD．－ 4－i91．[2014 ·山东卷 ] 已知 a ，b ∈ R ，i 是虚数单位，若 a － i 与 2＋ bi 互为共轭复数，则 (a ＋ bi)2＝()A ． 5－4iB ． 5＋4i C．3－ 4iD．3＋ 4i2－2i92． [2014 ·四川卷 ] 复数 1＋ i ＝ ________．7＋ i93． [2014 ·天津卷 ] i 是虚数单位，复数 3＋ 4i ＝()A ． 1－iB ．－ 1＋ i31 D17 25＋ i．－＋ i25 7794. (2011 年四川 ) 已知复数，则 =（）A.B.C. 195. （ 2012 年上海）若 1 2 i 是关于 x 的实系数方程x2bx c 0的一个复数根 , 则（）A ． b 2, c 3 .B ． b 2, c 1 .C ． b2, c1 . D ． b2, c 3 .96. （重庆）复数（）A ．B ．C ．D ．97.(2015 高考新课标 ) 若 a 为实数且 (2 ai )( a 2i )4i ，则 a （）A ．1B ．0C ．1D ．298.(2015 高考新课标 1) 设复数 z 满足1 z= i ，则 |z|=()1 zB.2C.399.(2015 高考湖北 ) 为虚数单位， 607的共轭复数为（）i．．．．A ．B ．C ．1D ．100.(2015 高考山东 ) 若复数 z 满足z 为虚数为单位，则 z =（）i ，其中 i1 iA. 1 iB.1 iC.1 iD.1 i101.(2015 高考安徽 ) 设 i 是虚数单位，则复数2i 在复平面内所对应的点位于（）1 iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限102.(2015 高考重庆 ) 设复数 +（，b ）的模为3 ，则（ + ）（ - bi ）=________.a bi a Ra bi a103.(2015 高考天津 ) i 是虚数单位，若复数 1 2i a i 是纯虚数，则实数 a 的值为.104.(2015 江苏高考 ) 设复数 z 满足 z23 4i （ i 是虚数单位），则 z 的模为 _______.1 2105.(2015 i1i （ i 为虚数单位），则复数 z =（高考湖南 ) 已知）zA. 1 iB.1 iC.1 iD.1 i106.(2015 高考上海 ) 若复数 z 满足 3z z 1 i ，其中 i 为虚数单位，则 z．107.(2015 高考上海 ) 设 z 1 ，z 2 C ，则“ z 1 、z 2 中至少有一个数是虚数” 是“ z 1 z 2 是虚数” 的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D．既非充分又非必要条件。

高考复数知识点精华总结

高考复数知识点精华总结1.复数的概念：复数是由实部和虚部组成的数，可以表示为z=a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位。

2.复数集：复数集包括整数、有理数、实数（当b=0时）、分数、小数、无理数、纯虚数和虚数。

3.复数a+bi的实部为a，虚部为b，i是虚数单位。

当b=0时，a+bi是实数，当b≠0时，a+bi是虚数。

若a=0且b≠0，则a+bi是纯虚数。

4.复数的四则运算：加法、减法、乘法、除法都可以用实数单位和虚数单位进行运算。

特殊复数的运算包括周期性运算和(1±i)2=±2i等。

5.共轭复数与复数的模：复数z=a+bi的共轭复数为a-bi，模为|z|=√(a^2+b^2)。

共轭复数关于实轴对称，若b=0，则实数a与其共轭复数相等。

6.两个复数相等的定义为a+bi=c+di，其中a、b、c、d都是实数。

复数不能进行大小比较，只能由定义判断它们相等或不相等。

在运算中需要将虚数单位i的平方i^2=-1结合到实际运算过程中去。

6.复数的除法可以通过将分母实化得到，即满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠0)的复数x+yi被称为复数a+bi除以复数c+di的商。

由于两个共轭复数的积是实数，因此可以得到以下公式：a+bi / (c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + (bc-ad)i/(c^2+d^2)7.复数a+bi的模表示复数a+bi的点到原点的距离。

1.例1：对于复数z=m+1+(m－1)i，当m=1时，z是实数；当m≠1时，z是虚数；当m=-1时，z是纯虚数；当m<-1时，z对应的点Z在第三象限。

例2：已知(2x－1)+i=y－(3－y)i，其中x。

y∈R，求x。

y。

解得x=2.y=4.2.例4：对于复数z＝m25+(m2+3m－10)i，当虚部m2+3m－10=0时，z为实数，解得m=2；当虚部m2+3m－10≠0且分母不为零时，z为虚数，解得m≠2且m≠±5；当虚部为0且分母不为零时，z为纯虚数，解得m=-2.3.计算i＋i2＋i3+……+i2005，可以将i的周期性用以下公式表示：i＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005=(i－1－i+1)+ (i－1－i+1)+……+(i－1－i+1)+i。

高考复数知识点及总结

高考复数知识点及总结高考对学生来说是一次至关重要的考试，而数学作为其中重要的科目之一，复数知识点在高考中也扮演着重要角色。

掌握好复数的概念和运算规则能够为学生在高考中取得更好的成绩提供有力支撑。

本文将对高考中常见的复数知识点进行总结，帮助同学们更好地应对高考数学考试。

1. 复数的概念复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a和b为实数，i为虚数单位，满足i^2=-1。

复数包括实数和纯虚数两种情况，实部为0的复数称为纯虚数。

2. 基本运算规则2.1 复数的加法和减法对于两个复数(a+bi)和(c+di)，其加法和减法的运算规则分别如下：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i2.2 复数的乘法对于两个复数(a+bi)和(c+di)，其乘法的运算规则如下：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i2.3 复数的除法对于两个复数(a+bi)和(c+di)，其除法的运算规则如下：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i3. 复数的共轭对于复数a+bi，其共轭复数定义为a-bi。

共轭复数的性质是实部相等，虚部的符号相反，即(a+bi)的共轭复数为(a-bi)。

4. 复数的模和幅角4.1 复数的模对于复数a+bi，其模定义为|a+bi|=√(a^2+b^2)，表示复数到原点的距离。

4.2 复数的幅角对于非零复数a+bi，其幅角定义为arg(a+bi)，表示与正实轴之间的夹角，通常用弧度表示。

5. 复数的指数运算复数的指数运算可以利用欧拉公式来进行计算。

欧拉公式表达为e^(ix)=cosx+isinx，其中e为自然对数的底数。

6. 复数的根对于复数a+bi和正整数n，复数a+bi的n次方根有n个，可以利用公式(a+bi)^(1/n)=r^(1/n)[cos(θ/n)+isin(θ/n)]其中r为复数的模，θ为复数的幅角。

高中数学知识复习总结(复数)

复数知识复习总结1.虚数单位i 的性质(1)它的平方等于-1，即 21i =-; (2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；（2）i 与－1的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x 2=－1的一个根，方程x 2=－1的另一个根是－i ；（3）i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, 4n =1。

2．复数的定义与表示：（1）形如(,)a bi a b R +∈的数叫复数， a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示*（2）复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即(,)z a bi a b R =+∈，把复数表示成a +bi 的形式，叫做复数的代数形式。

3 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b =0时，复数a +bi (a 、b ∈R )是实数a ；当b ≠0时，复数z =a +bi 叫做虚数；当a =0且b ≠0时，z =bi 叫做纯虚数；当且仅当a =b =0时，z 就是实数0 4．复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C[题目3]如果复数2(i)(1i)m m ++是实数，则实数m =____________[题目4]如果复数ibi212+-的实部与虚部互为相反数，那么实数b 等于________ [题目1] 23212123n n n n ii i i --+++++（n Z ∈）的值等于_______________[题目2] 计算2341234()n n i i i i n i --+-++-（*n N ∈）的值。

5．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a ，b ，c ，d ∈R ，那么a +bi =c +di ⇔a =c ，b =d 。

这是解决复数问题时进行虚实转化的工具：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

【高三学习指导】高三数学二轮复习口诀：复数

【高三学习指导】高三数学二轮复习口诀：复数高三
数学二轮复习口诀：复数，供大家参考。

《复数》
虚数单位i一出，数集扩大到复数。

一个复数一对数，横纵坐标实虚部。

对应为丛藓科扭口藓平面上点，原点与它连成箭。

箭杆与x轴正向，阿芒塔就是齿脂角度。

箭杆的长即是模，常将数形来结合。

代数几何三角式，相互转化试一试。

代数运算的实质，存有i多项式运算。

i的正整数次慕，四个数值周期现。

一些重要的结论，熟记巧用得结果。

虚实互化本领大，复数相等来转化。

利用方程思想求解，特别注意整体赋值之术。

几何运算图上看看，乘法平行四边形，
减法三角法则判;乘法除法的运算，逆向顺向做旋转，伸缩全年模长短。

三角形式的运算，须将辐角和模辨。

利用棣莫弗公式，乘方开方极便利。

辐角运算很奇特，和差是由积商得。

四条性质离不得，相等和模与共轭，
两个不能为实数，比较大小大忌。

复数实数很紧密，须特别注意本质区别。

上面的高三数学二轮复习口诀：复数，对于大家的复习非常有帮助，希望大家好好利用。

高三数学 复数复习

高三复数复习课件

高三数学复习知识点之复数

高三数学 复数的有关概念总复习

高三复数知识点总结

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