建平中学自招真题含解析

．
【答案】 2 或 5 ．
【解析】根据原式中绝对值函数的分段点进行分情况讨论．
若 x 1，则 1 x 4 x 7 x 2 ，符合条件； 若 1 x 4 ，则 x 1 4 x 7 ，无解； 若 x 4 ，则 x 1 x 4 7 x 5 ，符合条件； 因此 x 2 或 5 ．
位线长为 5， AOB 的面积为 S1 ， COD 的面积为 S2 ，则 S1 S2
xy 10x 1
．
y
【答案】 2009 ． 99
【解析】由题意得
y
0
，所以1
2019 y
99 y2
0 ，于是
x,
1 y
都是方程 99t2
2019t
1
0
的根． 因为 xy 1，所以 x 1 ，即 x, 1 为该方程两个不同的实根．
y
y
因此， xy 10x 1 x 1 10x 1 ，由韦达定理 x 1 2019 ， x 1 1 ，
学只有一位同学统计正确，则这次比赛中有
名选手参加比赛．
【答案】 33 ．
【解析】设中国象棋社有 x 名选手参赛，则共开展了 x x 1 场比赛．
2
由于每场比赛不论胜负或平局，两个参赛选手的得分总和均增加 2 ，
所以最后的得分总数为 x x 1 2 x x 1 ．
2
因此， x x 1 1054, 1056, 1060, 1066 中的一个．
部分弓形的圆心角为 2CDA 120 ． 于是这个弓形的面积为
S扇形
Байду номын сангаас
S三角形
62
120 360
1 2
6 6sin120
12
9
3．
10. 如图边长为 5 的圆内接正方形 ABCD 中，P 为 CD 的中点，连接 AP 并延长交圆与点 E ，
则 DE 的长为
．
【答案】 10 ．
A
D
【解析】设正方形中心为 O ，则 OAB 为等腰直角三角形，
且正方形外接圆半径为 OA 2 AB 5 2 ．
2
2
根据弦长公式 DE 2R sin DAE ，又
5
B
sin DAE DP AP
DP AD2 DP2
2
5，
52
5 2
2
5
P
E
C
所以 DE 2 5 2 5 10 ． 25
11. 如图，在梯型 ABCD 中， AB // CD ， AC 、 BD 相交于点 O ，若 AC 6 ， BD 8 ，中
验证可知只有 x x 1 1056 有整数解 x 33 ，因此共有 33 名选手参赛．
6. 二次函数 y x2 2ax a 在 0 x 3 上有最小值 2 ，则 a 的值为
．
【答案】 2 或 2 ．
【解析】二次函数 y x2 2ax a 在 0 x 3 上的最小值在 x 0 或 x 3 或 x a 时取到，
y
y
y
y 99
y 99
所以 x 1 10x 1 2019 10 2009 ．
y
y 99 99 99
4. 计算： 14 26 21 39
．
14 26 21 39
【答案】 2 6 5 ．
2 3 【解析】原式
7 13
2 3
2 3
3 2 2 65．
2 3 7 13 2 3
8.
已知 ABC
中，满足
1 tan A
1 tan B
5 tan C
，
AB
10 ，则
AC
BC
．
2
2
2
【答案】14 ．
【解析】设 ABC 三边分别为 a,b, c ，且内切圆半径为 r ，
则 tan
A 2
r bca
，
于是
bca 2r
acb 2r
5a bc
2r
，
2
化简得 7c 5a b ． 因为 c 10 ，所以 a b 14 ．
15 进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E
10 进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
例如，用十五进制表示： 5 9 E ， 3 D 11 ， E D 1C ，则 A C
．
【答案】 80 ．
【解析】在十进制下， A 10, C 12 ，故 A C 1012 120 ．
9. 有一张矩形纸片 ABCD ，其中 AD 6 ，上面有一个以 AD 为直径的半圆，正好与对边 BC
相切，如图（甲），将它沿着 DE 折叠，使 A 点落在 BC 上，如图（乙），这时，半圆还
露在外面的部分（阴影部分）的面积是
．
A
D
D
E
B
C
BA
C
甲
乙
【答案】12 9 3 ．
【解析】由题意 AD 2AB 12 ． 因为 AD 12, CD 6 ，故 DAC 30 ，因此阴影
将120 从十进制转换为15 进制可得结果为80 ．
2. 如果 x 1 x4 1成立，那么满足它的所有整数 x 的值是
．
【答案】 2, 4 ．
【解析】若 x 1x4 1，则 x 1 1或 x 4 0 且 x 1 0 ． 因此 x 2 或 x 4 ．
3. 设实数 x 、 y 分别满足 99x2 2019x 1 0 、 y2 2019 y 99 0 ，并且 xy 1 ，则
5. 建平中学社团活动丰富多彩，有 JTV 社（金苹果电视台）、04 辩论社、智能机器人社、
健美操社……，在一次社团文化节上，中国象棋社开展了社员 PK 活动，每个选手和其
他选手比赛一局，每局赢者得 2 分，输者得 0 分，平各记 1 分，现有四位同学统计了比
赛中全部选手得分总数，总分分别是 1054、1056、1060、1066，经核实，上述四位同
建平中学自招真题
1. 进制是人们规定的一种进位方法．计算机中常用十六进制是逢 16 进 1 的计数制，而十
五进制是 15 为基数进位的计数制，该数制很少使用，但在度量衡中，我国的就面积单
位却与国际公制面积单位存在着十五进制关系，现采用数字 0 ~ 9 和字母 A ~ E 共 15 个
计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表：
分别对应 a 0, a 3, 0 a 3的情况． 若 x 0 时取最小值，则 a 2 符合条件； 若 x 3 时取最小值，则 a 2.2 不符合条件．； 若 x a 时取最小值，则 a a2 2 ，解得 a 2, 1，其中 a 2 符合条件． 因此 a 2 或 2 ．
7. 已知实数 x 满足 x 1 x 4 7 ，则 x 的值是