九年级数学培优(动点、图形与函数综合题)

九年级数学培优学案

一．图形的平移、折叠和旋转

1. 折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。

2. 平移性质——平移前后图形全等，对应点连线平行且相等。

3. 旋转问题考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。

例题解析

例1、如图，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ．

（1）用x 表示ADE △的面积；

（2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式；

（3）求出510x <<时y 与x 的函数关系式；

（4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？

例2、如图（1），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）．

（1）求A B 、两点的坐标；

（2）用含t 的代数式表示MON △的面积1S ；

（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记MPN △和OAB △重合部分的面积为2S ， ①当2t <≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；

②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △面积的516

？

例3、如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．

（1）四边形OABC 的形状是 ，

当90α=°时，BP BQ

的值是 ； （2）①如图1，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求

BP BQ 的值； ②如图，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．

（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使12

BP BQ =？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

练习1、已知抛物线m x x y ++=42

（m 为常数）经过点（0，4）

⑴求m 的值；

⑵将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线。已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l 2）与平移前的抛物线的对称轴（设为l 1）关于y 轴对称；它所对应的函数的最小值为－8.

①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式；

②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P ，使得以3为半径的⊙P 既与x 轴相切，又与直线l 2相交？若存在，请求出点P 的坐标，并求出直线l 2被⊙P 所截得的弦AB 的长度；若不存在，请说明理由。

二、因动点产生的线段和差问题

例1、已知，如图1，二次函数y ＝ax 2＋2ax －3a （a ≠0）的图像的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 的右侧），点H 、B 关于直线l ：333y x =+对称． （1）求A 、B 两点的坐标，并证明点A 在直线l 上；

（2）求二次函数的解析式；

（3）过点B 作BK //AH 交直线l 于点K ，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，联结HN 、NM 、MK ，求HN ＋NM ＋MK 和的最小值．

（一）观察想象

点M 、N 运动时，从点B 到点K ′，最短的路径是线段BK ′，而不是折线B -N -M -K ′．因此当M 、N 落在线段BK ′上时，BN ＋NM ＋MK ′的和最小．K ′是什么？点K ′是点K 关于直线AH 的对称点．

（二）简答

（1）点A 的坐标为（－3，0），点B 的坐标为（1，0）．

（2）二次函数的解析式为23333y x x =-

-+． （3）如图2，点B 与点H 关于直线AK 对称，点K ′与点K 关于直线AH 对称，那么HN ＋NM ＋MK ＝BN ＋NM ＋MK ′，当M 、N 落在线段BK ′上时，BN ＋NM ＋MK ′的和最小，最小值为BK ′(如图3)． 点K 的坐标为(3,23)．在30°的Rt △BDK 中，BK ＝4．在30°的Rt △BKK ′中，BK ′＝8．

练习1、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC＝1

2

．点D在边AC上（不与A、C

重合），连结BD，F为BD的中点．

（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE（如图1）．设CF kEF

，则k = ；

（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD的中点（如图2）．求证：BE－DE＝2CF；

（3）若BC＝6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD 的中点，求线段CF长度的最大值．