九年级数学培优(动点、图形与函数综合题)

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九年级中考数学几何动点问题专项训练(含答案)

九年级中考数学几何动点问题专项训练1如图，已知△ABC 中，AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm.如果点P 由B 出发沿BA 向点A 匀速运动，同时点Q 由A 出发沿AC 向点C 匀速运动，它们的速度均为2 cm/s.连接PQ ，设运动的时间为t (单位：s)(0≤t ≤4)．第1题图(1)当t 为何值时，PQ ∥BC ；(2)设△AQP 的面积为S (单位：cm 2)，当t 为何值时，S 取得最大值，并求出最大值；(3)是否存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知BP ＝2t ，AP ＝10－2t ，AQ ＝2t ，∵PQ ∥BC ，∴△APQ ∽△ABC ，∴＝，AP AB AQ AC即＝，解得t ＝，10－2t 102t 8209即当t 为 s 时，PQ ∥BC ；209(2)∵AB ＝10 cm ，AC ＝8 cm ，BC ＝6 cm ，∴AB 2＝AC 2＋BC 2，∴△ABC 为直角三角形，∴∠C ＝90°，如解图，过点P 作PD ⊥AC 于点D，第1题解图则PD ∥BC ，∴△APD ∽△ABC ，∴＝，AP AB PD BC∴＝，10－2t 10PD 6∴PD ＝(10－2t )，35∴S ＝AQ ·PD ＝ ·2t ·(10－2t )＝－t 2＋6t ＝－(t －)2＋7.5，121235656552∵－<0，抛物线开口向下，有最大值，65∴当t ＝秒时，S 有最大值，最大值是7.5 cm 2；52(3)不存在．理由如下：假设存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分，则S △AQP ＝S △ABC ，12即－t 2＋6t ＝××8×6，651212整理得t 2－5t ＋10＝0，∵b 2－4ac ＝(－5)2－4×10＝－15<0，∴此方程无解，即不存在某时刻t ，使线段PQ 恰好把△ABC 的面积平分．2.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 以每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 匀速运动，到达B 点即停止运动．M ，N 分别是AD ，CD 的中点，连接MN .设点D 运动的时间为t .(1)判断MN 与AC 的位置关系；(2)求在点D 由点A 向点B 匀速运动的过程中，线段MN 所扫过区域的面积；(3)若△DMN 是等腰三角形，求t的值．第2题图解：(1)MN ∥AC .证明：在△ADC 中，M 是AD 的中点，N 是DC 的中点，∴MN ∥AC ；(2)如解图①，分别取△ABC 三边中点E ，F ，G 并连接EG ，FG ，第2题解图①根据题意，可知线段MN 扫过区域的面积就是▱AFGE 的面积．∵AC ＝6，BC ＝8，∴AE ＝3，GC ＝4，∵∠ACB ＝90°，∴S ▱AFGE ＝AE ·GC ＝12，∴线段MN 扫过区域的面积为12；(3)依题意可知，MD ＝AD ，DN ＝DC ，MN ＝AC ＝3.121212分三种情况讨论：(ⅰ)当MD ＝MN ＝3时，△DMN 为等腰三角形，此时AD ＝AC ＝6，∴t ＝6.(ⅱ)当MD ＝DN 时，AD ＝DC .如解图②，过点D 作DH ⊥AC 于点H ，则AH ＝AC ＝3，12第2题解图②∵cos A ＝＝，AB ＝10，AH AD AC AB即＝.3AD 610∴t ＝AD ＝5.(ⅲ)当DN ＝MN ＝3时，AC ＝DC ，如解图③，连接MC ，则CM ⊥AD.第2题解图③∵cos A ＝＝，即＝，AM AC AC AB AM 6610∴AM ＝，185∴t ＝AD ＝2AM ＝.365综上所述，当t ＝5或6或时，△DMN 为等腰三角形．3653.如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 边上，动点P 以2厘米/秒的速度从点A 出发，沿△AED 的边按照A →E →D →A 的顺序运动一周．设点P 从点A 出发经x (x >0)秒后，△ABP 的面积是y .(1)若AB ＝8厘米，BE ＝6厘米，当点P 在线段AE 上时，求y 关于x 的函数表达式；(2)已知点E 是BC 的中点，当点P 在线段ED 上时，y ＝x ；当点P 在线段AD 125上时，y ＝32－4x .求y 关于x的函数表达式．第3题图解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABE ＝90°，又∵AB ＝8，BE ＝6，∴AE ＝＝＝10，22BE AB +2268+如解图①，过点B 作BH ⊥AE 于点H，第3题解图①∵S △ABE ＝AE ·BH ＝AB ·BE ，1212∴BH ＝，245又∵AP ＝2x ，∴y ＝AP ·BH ＝x (0<x ≤5)；12245(2) ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝DC , AD ＝BC ，∵E 为BC 中点，∴BE ＝EC ，∴△ABE ≌△DCE (SAS)，∴AE ＝DE ，∵y ＝x (P 在ED 上), y ＝32－4x (P 在AD 上)，125当点P 运动至点D 时，可联立得，，{y ＝125x y ＝32－4x )解得x ＝5，∴AE ＋ED ＝2x ＝10，∴AE ＝ED ＝5，当点P 运动一周回到点A 时，y ＝0，∴y ＝32－4x ＝0, 解得x ＝8，∴AE ＋DE ＋AD ＝16，∴AD ＝BC ＝6，∴BE ＝3，在Rt △ABE 中，AB ＝＝4，22-BE AE 如解图②，过点B 作BN ⊥AE 于N ，则BN ＝，125第3题解图②∴y ＝x (0<x ≤2.5)，125∴y ＝.{125x （0<x ≤5）32－4x （5≤x ≤8）)4.如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，点E 在AD 边上运动，且不与点A 和点D 重合，连接CE ，过点C 作CF ⊥CE 交AB 的延长线于点F ，EF 交BC 于点G .(1)求证：△CDE ≌△CBF ；(2)当DE ＝时，求CG 的长；12(3)连接AG ，在点E 运动过程中，四边形CEAG 能否为平行四边形？若能，求出此时DE的长；若不能，说明理由．第4题图(1)证明：如解图，在正方形ABCD 中，DC ＝BC ，∠D ＝ ∠CBA ＝ ∠CBF ＝ ∠DCB ＝ 90°，第4题解图∴∠1＋∠2＝ 90°，∵CF ⊥CE ，∴∠2＋∠3＝ 90°，∴∠1＝ ∠3，在△CDE 和△CBF 中，，{∠D ＝ ∠CBFDC ＝BC ∠1＝ ∠3)∴△CDE ≌△CBF (ASA);(2)解：在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，∴△GBF ∽△EAF ，∴＝，BG AE BF AF由(1)知，△CDE ≌△CBF ，∴BF ＝ DE ＝，12∵正方形的边长为1，∴AF ＝AB ＋BF ＝，32AE ＝AD －DE ＝，12∴＝，BG 121232∴BG ＝，16∴CG ＝BC －BG ＝；56(3)解：不能．理由：若四边形CEAG 是平行四边形，则必须满足AE ∥CG ，AE ＝ CG ，∴AD －AE ＝BC －CG ，∴DE ＝BG ，由(1)知，△CDE ≌△CBF ，∴DE ＝BF ，CE ＝CF ，∴△GBF 和△ECF 是等腰直角三角形，∴∠GFB ＝ 45°，∠CFE ＝ 45°，∴∠CFA ＝ ∠GFB ＋∠CFE ＝ 90°，此时点F 与点B 重合，点D 与点E 重合，与题目条件不符，∴点E 在运动过程中，四边形CEAG 不能是平行四边形．5. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝AB .14(1)求证：EF ⊥AG ；(2)若点F ，G 分别在射线AB ，BC 上同时向右、向上运动，点G 运动速度是点F 运动速度的2倍，EF ⊥AG 是否成立(只写结果，不需说明理由)?(3)正方形ABCD 的边长为4，P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB 时，求△PAB周长的最小值．第5题图(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ＝BC ，∠EAF ＝∠ABG ＝90°，∵点E ，G 分别是边AD ，BC 的中点，AF ＝AB ，14∴＝，＝，AE AB 12AF BG 12∴＝，AE AB AF BG又∵∠EAF ＝∠ABC ＝90°，∴△AEF ∽△BAG ，∴∠AEF ＝∠BAG ，又∵∠BAG ＋∠EAO ＝90°，∴∠AEF ＋∠EAO ＝90°，∴∠EOA ＝90°，即EF ⊥AG ；(2)解：EF ⊥AG 仍然成立；(3)解：如解图，过点O 作MN ∥AB 分别交AD 、BC 于点M ，N ，连接PA，第5题解图∵P 是正方形ABCD 内一点，当S △PAB ＝S △OAB ，∴点P 在线段MN 上(不含端点)，作点A 关于MN 的对称点A ′，连接BA ′交MN 于点P ，此时PA ＋PB ＝PA ′＋PB ＝BA ′最小，即△PAB 的周长最小．∵正方形ABCD 的边长为4，∴AE ＝AD ＝2，AF ＝AB ＝1，1214∴EF ＝＝，22AF AE 5OA ＝＝，AE ·AF EF 255∵∠AMO ＝∠EOA ，∠EAO ＝∠EAO ，∴△EOA ∽△OMA ，∴＝，AEOA OA AM ∴OA 2＝AM ·AE ，∴AM ＝＝，AE OA 225∴A ′A ＝2AM ＝，45∴BA ′＝＝，22'AB A A 4265故△PAB 周长的最小值为4＋.42656.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝45°，AB ＝4cm.点P 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿边AB 向终点B 运动．过点P 作PQ ⊥AB 交折线ACB 于点Q ，D 为PQ 中点，以DQ 为边向右侧作正方形DEFQ .设正方形DEFQ 与△ABC 重叠部分图形的面积是y (cm 2)，点P 的运动时间为x (s)．(1)当点P 不与点B 重合时，求点F 落在边BC 上时x 的值；(2)当0<x <2时，求y 关于x 的函数解析式；(3)直接写出边BC 的中点落在正方形DEFQ 内部时x 的取值范围．第6题图解：(1)如解图①，延长FE 交AB 于点G ，由题意，得AP ＝2x ，∵D 为PQ 中点，∴DQ ＝DP ＝x ，∵四边形DEFQ 为正方形，∴DQ ＝DE ＝GP ＝x ，∵FG ⊥AB ，∠B ＝45°，∴△FGB 是等腰直角三角形，∴BG ＝FG ＝PQ ＝2x ，∴AP ＋PG ＋BG ＝AB ，即2x ＋x ＋2x ＝4，∴x ＝，45第6题解图①(2)当0<x ≤时，y ＝S 正方形DEFQ ＝DQ 2＝x 2，45∴y ＝x 2，(0＜x ≤)45如解图②，当<x ≤1时，设BC 交QF 于点M ，BC 交EF 于点N ，过点C 作CH 45⊥AB 于点H ，交FQ 于点K ，则CH ＝2，∵PQ ＝AP ＝2x ，∴CK ＝2－2x ，∴MQ ＝2CK ＝4－4x ，∴FM ＝x －(4－4x )＝5x －4，∴y ＝S 正方形DEFQ －S △MNF ＝DQ 2－FM 2，12∴y ＝x 2－(5x －4)2＝－x 2＋20x －8，12232∴y ＝－x 2＋20x －8 (＜x ≤1) ，23245第6题解图②如解图③，当1<x <2时，PQ ＝PB ＝4－2x ，∴DQ ＝2－x ，∴y ＝S △DEQ ＝DQ 2，12∴y ＝(x －2)2，12∴y ＝x 2－2x ＋2(1＜x ＜2)，12第6题解图③(3)1<x <.32【解法提示】当Q 与C 重合时，E 为BC 的中点，2x ＝2，∴x ＝1；当Q 为BC的中点时，BQ ＝，PB ＝1，∴AP ＝3，∴2x ＝3，∴x ＝，∴x 的取值范围是2321<x <.327.如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两34点，点P 、Q 同时从点A 出发，运动时间为t 秒．其中点P 沿射线AB 运动，速度为每秒4个单位长度，点Q 沿射线AO 运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q 为圆心，PQ 为半径作⊙Q .(1)求证：直线AB 是⊙Q 的切线；(2)过点A 左侧x 轴上的任意一点C (m ，0)，作直线AB 的垂线CM ，垂足为点M ，若CM 与⊙Q 相切于点D ，求m 与t 的函数关系式(不需写出自变量的取值范围)；(3)在(2)的条件下，是否存在点C ，直线AB 、CM 、y 轴与⊙Q 同时相切，若存在，请直接写出此时点C 的坐标，若不存在，请说明理由．第7题图(1)证明：如解图，连接QP ，∵y ＝－x ＋3交坐标轴于A ，B 两点，34∴A (4，0)，B (0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，AB ＝＝5，22OB OA ∵AQ ＝5t ，AP ＝4t ，在△APQ 与△AOB 中，＝＝t ，＝＝t ，AQ AB 5t 5AP AO 4t 4∴＝，AQ AB AP AO又∵∠PAQ ＝∠OAB ，∴△APQ ∽△AOB ，∴∠APQ ＝∠AOB ＝90°，又∵PQ 为⊙Q的半径，∴AB 为⊙Q 的切线；第7题解图①(2)解：①当直线CM 在⊙Q 的左侧与⊙Q 相切时，如解图①，连接DQ ，∵AP ⊥QP ，AP ＝4t ，AQ ＝5t ，∴PQ ＝3t ，∴易得四边形DQPM 为正方形，∴MP ＝DQ ＝QP ＝3t ，∴cos ∠BAO ＝＝＝，MA AC PA QA 45又∵MA ＝MP ＋PA ＝3t ＋4t ＝7t ，AC ＝AO －CO ＝4－m ，∴＝，∴m ＝＝－t ＋4；7t 4－m 4516－35t 4354②当直线CM 在⊙Q 的右侧与⊙O 相切时，如解图②，连接DQ ，PQ ，由①易得MA ＝PA －PM ＝4t －3t ＝t，第7题解图②AC ＝4－m ，∴＝，t 4－m 45∴m ＝－t ＋4；54综上所述，m 与t 的函数关系式为m ＝－t ＋4或m ＝－t ＋4；35454(3)解：存在，点C 的坐标为(－，0)或(，0)或(－，0)或(，0)．3827827232【解法提示】①如解图③，当⊙Q 在y 轴的右侧与y 轴相切，∴OQ ＝QP ＝3t ，∴OA ＝OQ ＋QA ＝3t ＋5t ＝8t ＝4，∴t ＝，12第1题解图③则m ＝－t ＋4＝－，35438∴C 1(－，0)；38m ＝－t ＋4＝，54278∴C 2(，0)；278②如解图④，当⊙Q 在y 轴的左侧与y 轴相切，OA ＝AQ －OQ ＝5t －3t ＝2t ＝4，∴t ＝2，第7题解图④则m ＝－t ＋4＝－，354272∴C 3(－，0)；272m ＝－t ＋4＝，5432∴C 4(，0)．32综上所述，点C 的坐标为(－，0)或(，0)或(－，0)或(，0)．38278272328.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ＝8，∠BAD ＝60°.点E 从点A 出发，沿AB 以每秒2个单位长度的速度向终点B 运动．当点E 不与点A 重合时，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，作EG ∥AD 交AC 于点G ，过点G 作GH ⊥AD 交AD (或AD 的延长线)于点H ，得到矩形EFHG .设点E 运动的时间为t 秒．(1)求线段EF 的长(用含t 的代数式表示)；(2)求点H 与点D 重合时t 的值；(3)设矩形EFHG 与菱形ABCD 重叠部分图形的面积为S 平方单位，求S 与t 之间的函数关系式．第8题图解：(1)由题意可知AE ＝2t ，0≤t ≤4，∵EF ⊥AD ，∠BAD ＝60°，∴sin ∠BAD ＝＝，EF AE 32∴EF ＝AE ＝t ；323(2)如解图①，∵点H 与点D 重合，菱形ABCD 中，∠DAC ＝∠BA ＝30°，AD 12＝AB ＝8，∴在Rt △ADG 中，DG ＝AD ·tan30°＝8×＝，33833∴在矩形FEGD 中，EF ＝DG ＝，833由(1)知EF ＝＝t ，8333∴t ＝；83第8题解图①(3)①当0<t ≤时，点H 在AD 上，83∵AE ＝2t ，∠BAD ＝60°，∠DAC ＝30°，∴EF ＝t ，AH ＝HG ＝EF ＝3t ，AF ＝t ，333∴FH ＝AH －AF ＝2t ，∴S ＝EF ·FH ＝t ·2t ＝2t 2；33②如解图②，当<t ≤4时，点H 在AD 的延长线上，83设GH 与CD 交于点M ，由(2)知∠DAC ＝30°，∴在菱形ABCD 中，∠BAC ＝30°，∵EG ∥AD ，∴∠AGE ＝∠DAC ＝30°，∴∠BAC ＝∠AGE ，∴AE ＝EG ，∵AE ＝2t ，EF ＝t ，∠BAD ＝60°，3∴在Rt △AFE 中，AF ＝AE ·cos60°＝2t ×＝t ，12∴DF ＝8－t ，∵AE ＝EG ＝FH ＝2t ，∴DH ＝2t －(8－t )＝3t －8，∵AB ∥CD ，∴∠HDM ＝∠BAD ＝60°，∴在Rt △DHM 中，HM ＝DH ·tan60°＝(3t －8)，3则DH ＝3t －8，HM ＝(3t －8)，3第8题解图②∴S ＝S 矩形HGEF －S △DHM ＝EF ·FH －DH ·HM ＝2t 2－(3t －8)·(3t －8)123123＝2t 2－(9t 2－48t ＋64)332＝2t 2－t 2＋24t －32393233＝－t 2＋24t －32，53233∴S 与t 之间的函数关系为S＝⎧<≤⎪⎪⎨⎪+-<≤⎪⎩2280383(4).3t t。

【九年级数学代数培优竞赛专题】专题13 巧解二次函数与图形面积综合题【含答案】

专题13 巧解二次函数与图形面积综合题知识解读因动点产生的图形面积问题，是抛物线与三角形、四边形相结合的重要形式，解决这类问题常常用到以下技巧：（1）图形的面积割补；（2）利用平行线的性质作等积变形；（3）等量代换，即把面积之比转化为线段之比；（4）“等底，等高，等面积”由二推一，即以其中任意两个为条件，第三个为结论，命题总成立.培优学案典例示范例1如图13-1，已知抛物线y=ax2＋bx＋3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标.【提示】（1）只需将A点，C点坐标代入解析式中即可；（2）思路一：△ACE的面积可由12AC×h表示，因为AC固定，若要它的面积最大，则只需h最大，即点E到直线AC的距离最大，如图13-2，若设一条平行于AC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个公共点时，该点就是点E.不妨把这种方法形象的记忆为“平行切线法”。

思路二：基于“分割图形”考虑.如图13-3，过点E 作x 轴的垂线，交AC 于点F .设E （x ，x 2-4x ＋3），则S △AEC =S △AEF ＋S △CEF =32EF ，即△ACE 的面积取决于EF 的长。

若把EF 的长称为△ACE 的“竖直高”，把A ，C 两点横坐标之差的绝对值称为△ACE 的“水平宽”，则△ACE 的面积可直接记为“12×竖直高×水平宽”。

思路三：基于“补全图形”考虑。

但要分点E 在x 轴下方和上方两种情况讨论（为什么要分两种情况？），如图13-4，同时一定要搞清楚线段长度与点坐标的关系，长度是正的，要用大坐标减去小坐标，若不能区分，加上绝对值，请读者自行完成。

【跟踪训练】1.如图13-5，抛物线223212--=x x y 交x 轴正半轴于点A ，交y 轴于点B ，点C 是线段AB 方的抛物线上的一点，求ABC ∆的面积的最大值，并求出此时点C 的坐标。

九年级数学下册2023年中考专题培优训练(培优篇)：函数

九年级数学下册2023年中考专题培优训练（培优篇）：函数一、单选题1．下列曲线中不能．．表示y 是x 的函数的是（） A ． B ．C ．D ．2．如图，直线1:3L y x =+与直线2:L y ax b =+相交于点()4A m ，，则关于x 的不等式3x ax b +≤+的解集是（）．A ．4x ≥B ．4x ≤C ．1x ≥D ．1x ≤3．若直线3y x =与x 轴所夹的锐角为α，则sin α的值为（） A 3B ．12C 3D 34．下列四个选项中，不符合直线3y x =--的性质特征的选项是（） A ．经过第二、三、四象限 B ．y 随x 的增大而减小 C ．与x 轴交于()3,0 D ．与y 轴交于()0,3-5．已知反比例函数()0ky k x=≠，当21x -≤≤-时，y 的最大值是6，则当2x ≥时，y 有（）A ．最小值6-B ．最小值3-C ．最大值6-D ．最大值3-6．如图，正比例函数y ax =（a 为常数，且0a ≠）和反比例函数ky x=（k 为常数，且0k ≠）的图像相交于)(2,A m -和B 两点，则不等式kax x<的解集为（）A ．<2x -或2x >B ．22x -<<C ．20x -<<或2x >D ．<2x -或02x <<7．对于反比例函数2023y x=，下列说法正确的是（） A ．图象分布在第二、四象限内 B ．图象经过点()1,2023-- C ．y 随x 的增大而减小 D ．0x <时，y 随x 的增大而增大8．如图，P 是反比例函数()50y x x=>的图象上一点，PA x ⊥轴于点A ，动点B 从原点O 出发，沿y 轴正方向移动，连接AB ，BP ．在点B 移动过程中，PAB 的面积（）A ．越来越大B ．不变C ．越来越小D ．先变大后变小9．对于二次函数()222y x =-+的图像，下列说法正确的是（） A ．对称轴为直线2x =- B ．最低点的坐标为()2,2 C ．与x 轴有两个公共点D ．与y 轴交点坐标为()0,210．如图，在平面直角坐标系中，点()12,A m y -，()2,B m y 都在二次函数()21y x n =-+的图象上．若12y y >，则m 的取值范围是（）A ．1m <B ．1m >C ．2m <D ．>2m11．如图，一场篮球比赛中，一名篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2y x bx c =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知球出手时离地面高2.25米，距篮筐中心的水平距离OH 是4米，篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，该抛物线的表达式为（）A ．20.2 2.25y x x =--+B ．20.2 2.25y x x =-++C ．20.22 2.25y x x =--+D ．20.22 2.25y x x =-++12．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，其对称轴为直线12x =-，且与x轴的一个交点坐标为()2,0-．下列结论：①0abc >；①a b =；①930a b c -+>；①20a c +=；①关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．如图，点A 是反比例函数ky x=图象上一点，过点A 作AH x ⊥轴，垂足为H ，连接OA ，已知AOH △的面积是6，则k 的值是__________．14．把抛物线2(1)3y x =-++向左平移2个单位长度，然后向下平移3个单位长度，平移后抛物线的表达式为__________．15．一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间t （h ）与行驶速度v （km/h ）满足函数关系kt v=，其图象为如图所示的一段曲线，且端点为()40,1A 和(),0.5B m ．若行驶速度不得超过60km/h ，则汽车通过该路段最少需要_________h ？16．反比例数4y x =-，当4y <时，x 的取值范围是______．17．如图，在平面直角坐标系中，OAC 的顶点A 在反比例函数ky x=的图象上，点C 在x 轴上，AC 边交反比例函数图象于点B ，若2BOCS=，且2AB BC =，则k 的值为___________．18．如图，直线334y x =--与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 是x 轴上的一个动点，将ABC 沿BC 所在直线折叠后，点A 恰好落在y 轴上点D 处，则点C 的坐标为______．三、解答题19．如图，直线1l ：23y ax =+与x 轴和y 轴分别交于B ，C 两点，直线2l ：23y x b =-+与x轴交于点A ，并且这两直线交点P 的坐标为()22，．(1)求两直线的解析式； (2)求四边形AOCP 的面积．20．李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水，甲壶比乙壶加热速度快．在一段时间内，水温y （①）与加热时间x （s ）之间近似满足一次函数关系，根据记录的数据，画函数图象如下：(1)加热前水温是 ①．(2)求乙壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式． (3)当甲壶中水温刚达到80①时，乙壶中水温是 ①．21．如图，直线2y ax =+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与双曲线()0k y x x=>相交于点P ，PC x ⊥轴于点C ，且4PC =，点A 的坐标为()4,0-．(1)求一次函数的解析式； (2)求双曲线的解析式；(3)若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点，且QH x ⊥轴于H ，当以点Q 、C 、H 为顶点的三角形与AOB 相似时，求点Q 的坐标． 22．如图，已知一次函数112y x =-与反比例函数()0k y k x =≠相交于点(),1A m 、()2,B n -．过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点M 、N ．连接,,OA OB AB ．(1)求反比例函数的解析式；(2)若四边形OMAN 的面积记作1S ，AOB 的面积记作2S ，求12S S 的值． 23．为了做好校园疫情防控工作，学校每周要对办公室和教室进行药物喷洒消毒，消毒药物在每间教室内空气中的浓度y （单位：3mg/m ）与时间x （单位：min ）的函数关系如图所示．在进行药物喷洒时y 与x 的函数关系式为2y x =，药物喷洒完成后y 与x 成反比例函数关系，两个函数图象的交点为(5,)A n ．(1)n 的值为__________；(2)当5x ≥时，y 与x 的反比例函数关系式为__________；(3)当教室空气中的药物浓度不高于31mg/m 时，对人体健康无危害．当教室药物喷洒完成45min 后，学生能否进入教室？请通过计算说明．24．某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．假设果园增种x 棵橙子树，增种后果园橙子的总产量为y 个，那么请你求出当果园增种多少棵橙子树时，橙子的总产量最多，并求出此时的总产量．25．如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()()2,0,4,0A B -，与y 轴正半轴交于点C ，且2OC OA =，抛物线的顶点为D ，直线y mx n =+经过B ，C 两点，与对称轴交于点E ．(1)求抛物线及直线BC 的函数表达式；(2)点M 是直线BC 上方抛物线上的动点，连接,MB ME ，得到MBE △，求出MBE △面积的最大值及此时点M 的坐标；(3)直线()0y kx k =>交线段BC 于点H ，若以点O ，B ，H 为顶点的三角形与CDE 相似，求k 的值；(4)点N 在对称轴上，满足BNC ABC ∠=∠，求出点N 的坐标．。

九年级数学下册2023年中考专题培优训练动点产生的问题【含答案】

九年级数学下册2023年中考专题培优训练动点产生的问题一、单选题1．如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，点P 从点B 出发，沿折线BC-CD 方向移动，移动到点D 停止.在△ABP 形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A ．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形B ．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形C ．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形D ．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形2．如图，等边△ABC 的边长为8cm ，点P 从点C 出发，以1cm/秒的速度由C 向B 匀速运动，点Q从点C 出发，以2cm/秒的速度由C 向A 匀速运动，AP 、BQ 交于点M ，当点Q 到达A 点时，P 、Q 两点停止运动，设P 、Q 两点运动的时间为t 秒，若∠AMQ ＝60°时，则t 的值是（）A ．B ．2C ．D ．33833．如图，平行四边形ABCD 的边BC 上有一动点E ，连接DE ，以DE 为边作矩形DEGF 且边FG 过点A ．在点E 从点B 移动到点C 的过程中，矩形DEGF 的面积（）A ．先变大后变小B ．先变小后变大C ．一直变大D ．保持不变4．如图，四边形中，，，，点，分别为线段ABCD ∠A =90°AB =23AD =2M N BC ，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则 AB M B E F DM MN 长度的最大值为（）EF23A．3B．C．4D．25．如图，在平面直角坐标系中，P是直线y＝2上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ切⊙P于点Q，则线段OQ的最小值为（）35 A．1B．2C．D．△ABC∠ACB6．如图所示，在中，是钝角，让点C在射线BD上向右移动，则（）△ABCA．将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，而不会再是钝角三角形B．△ABC△ABCC．将先变成直角三角形，然后再变成锐角三角形，接着又由锐角三角形变为钝角三角形△ABCD．先由钝角三角形变为直角三角形，再变为锐角三角形，接着又变为直角三角形，角形然后再次变为钝角三角形7．如图所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点(不含端点B，C)。

2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：一次函数-动态几何问题【含答案】

2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷：一次函数-动态几何问题一、单选题1．如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C的方向运动到点C停止，设点P的运动路程为x（cm），在下列图象中，能表示△ADP的面积y（cm2）关于x（cm）的函数关系的图象是（）A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形的边上沿着C→B→A的方向运动(点P与A不重合)．设P的运动路程为x，则下列图象表示△ADP的面积y关于x的函数关系的是( )A．B．C．D．3．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y=-x+b与⊙O相交，则b的取值范围是（）0≤b≤22−22<b<22−23≤b≤23−22≤b≤22 A．B．C．D．4．如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC 的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）A．B．C．D．5．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从点A出发，沿A→D→C的路径以每秒1cm的速度运动（点P不与点A、点C重合），设点P运动时间为x秒，四边形ABCP的面积为ycm2，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．A B 4.P,QРA1 6．在数轴上，点表示－2，点表示为数轴上两点，点从点出发以每秒个单Q B2Q位长度的速度向左运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，点到达ОQ BРQР原点后，立即以原来的速度返回，当点回到点时，点与点同时停止运动．设点xРQ y y x运动的时间为秒，点与点之间的距离为个单位长度，则下列图像中表示与的函数关系的是（）A．B．C．D．7．已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．8．如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终点C，设P点经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图图能大致反映y与x函数关系的是( )A．B．C．D．9．如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止。

2023年中考数学一轮综合培优测试卷：动点产生的问题(三角形+四边形+圆)【含答案】

2023年中考数学一轮综合培优测试卷：动点产生的问题一、综合题1．如图，已知△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，P 、Q 是△ABC 边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A→B 方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B→C→A 方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△PBQ 的面积；（2）当点Q 在边BC 上运动时，出发几秒钟后，△PQB 能形成等腰三角形？（3）当点Q 在边CA 上运动时，求能使△BCQ 成为等腰三角形的运动时间．2．如图，是边长为12 的等边三角形，动点同时从两点出发，分别沿ΔABC cm M 、N A 、B 方向匀速移动.AB 、BC （1）若点的运动速度是2，点的运动速度是4，当N 到达点C 时，M cms N cms 两点都停止运动，设运动时间为，当时，判断的形状，并说明理由；M 、N t(s)t =2ΔBMN （2）当它们的速度都是2，且当点M 到达点B 时，两点停止运动，设点M 的运cms M 、N 动时间为，则当t 为何值时，是直角三角形？t(s)ΔMBN 3．如图1，中，D 为AC 边上一动点（不含端点），过点D 作交BC 于点E ，过△ABC DE//AB 点E 作交AB 于点F ，连接AE ，DF ．点D 运动过程中，始终有．EF//AC AE =DF（1）求证：； ∠BAC =90°（2）如图2，若，当时，求AD 的长．AC =3, tanB =34AF =AD 4．如图，在中，，点在上运动，点在上，始终保持与ΔABC ∠ACB =90°P AC D AB PD 相等，的垂直平分线交于点，交于，PA BD BC E BD F（1）判断与的位置关系，并说明理由； DE DP （2）若，，求线段的长.AC =6BC =8PA =2DE 5．如图，已知A ，B ，C ，D 为矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，AD ＝6 cm ，动点P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，点P 以3 cm/s 的速度向点B 移动，一直到点B 为止，点Q 以2 cm/s 的速度向点D 移动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动．问：（1）P ，Q 两点从开始出发多长时间时，四边形PBCQ 的面积是33 cm 2 （2）P ，Q 两点从开始出发多长时间时，点P 与点Q 之间的距离是10 cm?6．如图，在中，，，，点P 由点A 出发，沿Rt △ABC ∠B =90°AB =8cm BC =10cm AB 边以的速度向点B 移动；点Q 由点B 出发，沿边以的速度向点C 移动.如果1cm/s BC 2cm/s 点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，问：（1）经过几秒后，？AP =CQ （2）经过几秒后，的面积等于？△PBQ 15cm 27．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，过点A （8，6）分别做x 轴、y 轴的平行线，交y 轴于点B ，交x 轴于点C ，点P 是从点B 出发，沿B→A→C 以2个单位长度/秒的速度向终点C 运动的一个动点，运动时间为t （秒）．（1）直接写出点B 和点C 的坐标：B （，）C （，）．（2）当点P 运动时，用含t 的代数式表示线段AP 的长，并写出t 的取范围；（3）点D （2，0），连结PD 、AD ，在（2）的条件下是否存在这样的t 值，使S △APD =S 四边形18ABOC ，若存在，请求t 值，若不存在，请说明理由．8．如图，在中，，．若动点P 从点C 开△ABC ∠C =90°AC =8cm ，BC =6cm ，AB =10cm 始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒2cm ．设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，CP 把的周长分成相等的两部分？ △ABC （2）当t 为何值时，CP 把的面积分成相等的两部分？△ABC （3）当t 为何值时，的面积为？△BCP 12cm 29．如图1，在中，，， .点D 从A 点出发，沿线段AB△ABC AC =BC ∠ACB =90°AB =4cm 向终点B 运动.过点D 作AB 的垂线，与的直角边AC （或BC ）相交于点E.设线段AD 的△ABC长为a（cm），线段DE的长为h（cm）.（1）为了探究变量a与h之间的关系，对点D在运动过程中不同时刻AD，DE的长度进行测量，得出以下几组数据：变量a（cm）00.51 1.52 2.53 3.54变量h（cm）00.51 1.52 1.510.50在平面直角坐标系中，以变量a的值为横坐标，变量h的值为纵坐标，描点如图2-1；以变量h的值为横坐标，变量a的值为纵坐标，描点如图2-2.根据探究的结果，解答下列问题：a=1.5ℎ=ℎ=1a=①当时，▲；当时，▲ .②将图2-1，图2-2中描出的点顺次连接起来.③下列说法正确的是▲ .（填“A”或“B”）A.变量h是以a为自变量的函数B.变量a是以h为自变量的函数△ABC（2）如图3，记线段DE与的一直角边、斜边围成的三角形（即阴影部分）的面积(cm2)为s.0≤a≤22<a≤4①分别求出当和时，s关于a的函数表达式；②当时，求a 的值.s =1210．如图所示，△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ．点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动．如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发，（1）如果P 、Q 同时出发，几秒后，可使△PBQ 的面积为8平方厘米？（2）线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．11．如图，中，厘米，厘米，点从出发，以每秒2厘米的速度向运动，点△ABC AB =8AC =16P A B 从同时出发，以每秒厘米的速度向运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，Q C 3A 设运动的时间为．t（1）用含的代数式表示：，　　．t AP =AQ =（2）当以，，为顶点的三角形与相似时，求运动时间是多少？A P Q △ABC 12．已知：四边形，点在直线上，将沿翻折得到，点的ABCD E BC △ABE AE △AFE B 对应点恰好落在直线上，直线交直线于点．F DE AF CD G（1）如图①，当四边形为矩形时， ABCD ①求证：；DA =DE②若，，求线段的长；BE =3CE =2AF （2）如图②，当四边形为平行四边形时，若，直接写出此时的值．ABCD BE CE =32AFAG 13．如图1，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝12cm ，AC ＝8cm ，现有动点P 从点B 出发，沿射线BA方向运动，动点Q 从点C 出发，沿射线CA 方向运动，已知点P 的速度是2cm/s ，点Q 的速度是1cm/s ，它们同时出发，设运动时间是ts （t ＞0）.（1）当t ＝4时，求△APQ 的面积.（2）经过多少秒时，△APQ 的面积是△ABC 面积的一半.14．如图，在平面直角坐标系中，△AOP 为等边三角形，A （0，1），点B 为y 轴上一动点，以BP为边作等边△PBC ．（1）当点B 运动到（0，4）时，AC= ．（2）求∠CAP 的度数；（3）当B 点运动时，AE 的长度是否发生变化？并说明理由．15．如图，已△ABC 中，AB =AC =12厘米（可得出∠B =∠C ），BC =9厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．（1）若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，1秒钟时，△BPD 与△CQP 是否全等，请说明；（2）点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD ≌△CPQ ？16．如图，在中，，，，现有一个动点P 从点A 出发，以Rt △ABC ∠C =90°AC =20cm BC =15cm 4cm/s 的速度沿AC 向终点C 运动，动点Q 同时从点C 出发，以2cm/s 的速度沿CB 向终点B 运动，当有一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为ts ，的面积为S ，求：△PCQ（1）S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）当时，求线段PQ 的长；t =3s （3）当t 为何值时，？S =425S△ABC答案解析部分1．【答案】（1）解：当t ＝2时，则AP ＝2，BQ ＝2t ＝4，∵AB ＝16cm ，∴BP ＝AB﹣AP ＝16﹣2＝14（cm ），在Rt △BPQ 中，S △PBQ ＝ BP×BQ ＝28cm 212（2）解：由题意可知AP ＝t ，BQ ＝2t ， ∵AB ＝16，∴BP ＝AB﹣AP ＝16﹣t ，当△PQB 为等腰三角形时，则有BP ＝BQ ，即16﹣t ＝2t ，解得t ＝，163∴出发秒后△PQB 能形成等腰三角形163（3）解：①当CQ ＝BQ 时，如图1所示，则∠C ＝∠CBQ ，∵∠ABC ＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ ＝90°．∠A+∠C ＝90°，∴∠A ＝∠ABQ ，∴BQ ＝AQ ，∴CQ ＝AQ ＝10，∴BC+CQ ＝22，∴t ＝22÷2＝11秒．②当CQ ＝BC 时，如图2所示，则BC+CQ ＝24，∴t ＝24÷2＝12秒．③当BC ＝BQ 时，如图3所示，过B 点作BE ⊥AC 于点E ，则BE ＝＝，AB ⋅BC AC 12×1620=485∴CE ＝，BC 2−BE 2=122−(485)2=365∴CQ ＝2CE ＝14.4，∴BC+CQ ＝26.4，∴t ＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t 为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ 为等腰三角形．2．【答案】（1）解：△BMN 是等边三角形当t=2时，AM =4，BN=8，∵△ABC 是等边三角形且边长是12∴BM=12-4=8，且∠B=60°∴BM=BN ∴△BMN 是等边三角形（2）解：△BMN 中，BM=12-2t ，BN=2t①当∠BNM=90°时，∠B=60°∴∠BMN=30°∴∴∴t=2BN =12BM 2t =12(12−2t)②当∠BMN=90°时，∠B=60°∴∠BNM=30°∴∴∴t=4BM =12BN 12−2t =12×2t综上：当t=2或t=4时，△BMN 是直角三角形.3．【答案】（1）证明：，∵DE//AB,EF//AC ∴四边形ADEF 是平行四边形．，∵AE =DF ∴四边形ADEF 是矩形．∴∠BAC =90°（2）解：当时，由（1）知，AF =AD 此时四边形ADEF 是正方形．，∵DE//AB ．∴∠DEC =∠B, ∠EDC =∠BAC =90° ．∴tan∠DEC =tanB =34在中，设，则．Rt △DEC DC =3x DE =4x ∵四边形ADEF 是正方形，．∴AD =DE =4x ．∴AC =AD +DC =7x =3 ，∴x =37∴AD =4x =1274．【答案】（1）解：．理由如下，DE ⊥DP ∵ ，∠ACB =90°∴ ，∠A +∠B =90°∵ ，PD =PA ∴ ，∠PDA =∠A ∵ 垂直平分，EF BD ∴ ，ED =EB ∴ ，∠EDB =∠B ∴ ，∠PDA +∠EDB =90°∴ ，∠PDE =180°−∠PDA−∠EDB =90°即 .DE ⊥DP （2）解：连接，设，PE DE =x 由（1）得，，又，，BE =DE =x CE =BC−BE =8−x PD =PA =2PC =CA−PA =6−2=4∵ ，∠PDE =∠C =90°∴ ，PC 2+CE 2=PD 2+DE 2=PE 2∴ ，22+x 2=42+(8−x)2解得，即．x =194DE =1945．【答案】（1）解：设P ，Q 两点从开始出发xs 时，四边形PBCQ 的面积是33cm 2.则由题意得 ×(16－3x ＋2x)×6＝33，12解得x ＝5.∵16÷3＝ >5，163∴x ＝5符合题意．故P ，Q 两点从开始出发5s 时，四边形PBCQ 的面积是33cm 2（2）解：设P ，Q 两点从开始出发ys 时，点P 与Q 之间的距离是10cm ，过点Q 作QH ⊥AB 于H ，∴∠QHA ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠D ＝90°，∴四边形ADQH 是矩形，∴AH ＝DQ ＝(16－2y)cm ，QH ＝AD ＝6cm ，∴当P 点在H 点上方时，pH ＝AH －AP ＝16－2y －3y ＝(16－5y)(cm)；当P 点在H 点下方时，pH ＝AP －AH ＝3y －(16－2y)＝(5y －16)(cm)， ∴pH ＝|16－5y|cm.在Rt △PQH 中，根据勾股定理得pH 2＋QH 2＝PQ 2，即(16－5y)2＋62＝102，解得y 1＝1.6，y 2＝4.8. ∵16÷3＝，∴y 1＝1.6和y 2＝4.8均符合题意．故163P ，Q 两点从开始出发1.6s 或4.8s 时，点P 与点Q 之间的距离是10cm6．【答案】（1）解：设经过秒后，，则， x AP =CQ AP =xcm CQ =(10−2x)cm依题意，得，化简，得，x =(10−2x)3x =10解得.x =103答：经过秒后， .103AP =CQ （2）解：设经过秒后，的面积等于，则，y △PBQ 15cm 2BP =(8−y)cm,BQ =2ycm 依题意，得，12(8−y)×2y =15化简，得，y 2−8y +15=0解得 .y 1=3,y 2=5答：经过3秒或5秒后，的面积等于 .△PBQ 15cm 27．【答案】（1）0；6；8；0（2）解：当点P 在线段BA 上时，由A （8，6），B （0，6），C （8，0）可得：AB=8，AC=6，∵AP=AB-BP ，BP=2t ，∴AP=8-2t （0≤t ＜4）；当点P 在线段AC 上时，∵AP=点P 走过的路程-AB=2t-8（4≤t≤7）；（3）解：在两个符合条件的t 值，当点P 在线段BA 上时，∵S △APD =AP•AC ，S ABOC =AB•AC ，12∴•（8-2t ）×6=×8×6，1218解得：t=3＜4，当点P 在线段AC 上时，∵S △APD =AP•CD ，CD=8-2=6，12∴•（2t-8）×6=×8×6，1218解得：t=5＜7，综上所述：当t 为3秒和5秒时S △APD =S ABOC ，188．【答案】（1）解：在中，△ABC ，∵AC =8 cm ，BC =6cm ，AB =10cm 的周长为，∴△ABC 8+6+10=24(cm)∴当CP 把的周长分成相等的两部分时，点P 在AB 上，此时．△ABC CA +AP =BP +BC =12cm∵运动速度为每秒2cm ，∴2t =12，解得 t =6故当t 为6时，CP 把的周长分成相等的两部分△ABC （2）解：∵当点P 在AB 中点时，CP 把的面积分成相等的两部分，此时AP= =5cm△ABC 12AB∴ ，AC +AP =8+5=13(cm)∴2t =13，解得，t =6.5故当t 为6.5时，CP 把的面积分成相等的两部分．△ABC （3）解：分两种情况：当点P 在AC 上时，，∵S △BCP =12cm 2∴12×BC ×CP =12.∵BC =6 cm ， ∴CP =4cm ， ∴2t =4，解得；t =2当点P 在AB 上时，，∵S △BCP =12 cm 2， S △ABC =24 cm 2 ，∴S △BCP =12S △ABC∴点P 为AB 的中点，∴2t =13，解得．t =6.5当t 为2或6.5时，的面积为．△BCP 12cm 29．【答案】（1）解：①1.5；1或3；②连线如图2-1、图2-2所示：；③A（2）解：①如图3，当时，，0≤a ≤2ℎ=a∴阴影部分的面积：；s =12AD ⋅DE =12a ⋅ℎ=12a 2当时，，2<a ≤4ℎ=4−a ∴阴影部分的面积： .s =12BD ⋅DE =12(4−a)⋅(4−a)=12(4−a)2∴当时，；当时， .0≤a ≤2s =12a 22<a ≤4s =12(4−a)2②当时，令，解得或（不符合题意，舍去）.0≤a ≤212a 2=12a =1a =−1当时，令，解得或（不符合题意，含去）.2<a ≤412(4−a)2=12a =3a =5∴当时，或 .s =12a =1a =310．【答案】（1）解：设经过x 秒，使△PBQ 的面积等于8cm 2，依题意有：（6-x ）•2x=8，解得12x 1=2，x 2=4，经检验，x 1，x 2均符合题意，故经过2秒或4秒，△PBQ 的面积等于8cm 2（2）解：不能，理由如下：设经过y 秒，线段PQ 能将△ABC 分成面积相等的两部分，依题意有：S △ABC = ×6×8=24，12 （6﹣y ）•2y=12，12y 2﹣6y+12=0，∵△=b 2﹣4ac=36﹣4×12=﹣12＜0，∴此方程无实数根，∴线段PQ 不能否将△ABC 分成面积相等的两部分11．【答案】（1）2t 厘米；(16-3t)厘米（2）解：，∵∠PAQ =∠BAC 当时，∽，即，解得；∴AP AB =AQ AC △APQ △ABC 2t 8=16−3t 16t =167当时，∽，即，解得．AP AC =AQ AB △APQ △ACB 2t 16=16−3t8t =4运动时间为秒或4秒．∴16712．【答案】（1）解：①证明：如图①中，四边形是平行四边形，∵ABCD ，∴AD//BC ，∴∠AEB =∠DAE 由翻折的性质可知，，∠AEB =∠AED ，∴∠DAE =∠AED ．∴DA =DE ② 四边形是矩形，∵ABCD ，∴AD =BC ，，∵BE =3EC =2 ，∴BC =AD =5 ，∴AD =DE =5由翻折的性质可知，，BE =EF =3 ，∴DF =DE−EF =5−3=2 ，∵AF ⊥DE ，∴∠AFD =90° ．∴AF =AD 2−DF 2=52−22=21（2）如图②中，延长交的延长线于．AG BC T设，，则，，，BE =3a EC =2a AD =BC =DE =5a EB =EF =3a DF =2a，∵AD//ET ，∴AD ET =AF FT =DF EF =23 ，，∴5a ET =23AF =23FT，，∴ET =152a AF =25AT ，∴CT =ET−EC =112a ，∴AD CT =AG TG =5a 5.5a =1011设，，则，AG =10b GT =11b AT =21b ，∴AF =25×21b =425b，∴FG =10b−425b =85b．∴AF AG=425b 85b =214当点E 在BC 的延长线上时，同法可得，AF AG =3综上所述，的值为或3．AF AG 21413．【答案】（1）解：∵点P 的速度是4cm/s ，点Q 的速度是2cm/s ，当t ＝4时，BP ＝2t ＝8cm ，CQ t ＝4cm ，∴AP ＝4cm ，AQ ＝4cm ，∴S △APQ 4×4＝8.=12×（2）解：设经过t 秒△APQ 的面积是△ABC 面积的一半.根据题意得： S △ABC 12×8＝24cm 2，12=12×12×当0＜t ＜6 时如图1：S △APQ（12﹣2t ）（8﹣t ）＝24，=12整理得t 2﹣14t+24＝0，解得t ＝12（舍去）或t ＝2.当6＜t ＜8时如图2：S △APQ（2t﹣12）（8﹣t ）＝24，=12整理得t 2﹣14x+72＝0，△＜0，无解.当t ＞8时如图3：S △APQ（2t﹣12）（t﹣8）＝24，=12整理得t 2﹣14x+24＝0，解得t ＝12或t ＝2（舍去）.综上所述：经过2秒或12秒△APQ 的面积是△ABC 面积的一半.14．【答案】（1）4（2）解：由（1）知△PBO ≌△PCA ∴∠CAP=∠BOP 又∵∠BOP=60゜，∴∠CAP=∠BOP=60゜（3）解：当B 点运动时，AE 的长度不发生变化，理由是：∵A （0，1），∴OA=1，∵∠CAP=∠BOP=∠OAP=60゜，∴∠BAC=180°-∠CAP-∠OAP=180°-60°-60°=60゜∵∠EAO=∠BAC=60゜，∠AOE=90°，∴∠AEO=30゜，∴AE=2AO=2，即当B 点运动时，AE 的长度不发生变化15．【答案】（1）解：∵t=1（秒）,∴BP=CQ=3（厘米）∵AB=12,D 为AB 中点,∴BD=6（厘米）又∵PC=BC-BP=9-3=6（厘米）∴PC=BD ∵AB=AC,∴∠B=∠C,在△BPD 与△CQP 中, {BP =CQ∠B =∠CBD =PC∴△BPD ≌△CQP （SAS)（2）解：∵V P ≠V Q ,∴BP≠CQ,又∵∠B=∠C,要使△BPD ≌△CPQ,只能BP=CP=4.5,∵△BPD ≌△CPQ, ∴CQ=BD=6．∴点P 的运动时间：(秒)，此时 (厘米／秒)t =BP 3=4.53=1.5V Q =cQ t =61.5=416．【答案】（1）解：由条件可得：，，AP =4t CQ =2t ∴，CP =20−4t ∴，S =12CP ⋅CQ =12(20−4t)×2t =−4t 2+20t0≤t ≤5（2）解：当时，，，t =3CP =20−4t =8CQ =6∴PQ =CP 2+CQ 2=82+62=10cm（3）解：由题意可得：，S =−4t 2+20t =425×12×15×20整理得：，t 2−5t +6=0解得：，，t 1=2t 2=3∴当t 为2或3时，．S =425S△ABC。

2023年九年级中考数学专题培优训练：三角形的动点问题【含答案】

2023年九年级中考数学专题培优训练：三角形的动点问题一、单选题1．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运动，同时动点E从点C出发沿CA以2cm/s的速度向点A运动，当以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间是（）A．3s或4.8s B．3s C．4.5s D．4.5s或4.8s2．如图，在平面直角坐标系中，等边△OBC的边OC在x轴正半轴上，点O为原点，点C坐标为(12，0)，D是OB上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥OB于点G.当G与D重合时，点D的坐标为()A．(1，√3)B．(2，2√3)C．(4，4√3)D．(8，8√3)3．如图，在等腰三角形ACB中，AC=BC=5，AB=8，D为底边AB上一动点（不与点A，B重合），DE△AC，DF△BC，垂足分别为E，F，则DE+DF的值等于（）A．125B．3C．245D．64．如图，点C是线段AB上一点，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作等边△ACD和等边△BCE，连结DE，点F为DE的中点，连结CF.若AB＝2a（a为常数，a＞0），当点C在线段AB上运动时，线段CF的长度l的取值范围是（）A．√3a3≤l≤√3a2B．√3a2≤l≤aC．a2≤l≤√3a3D．√3a3≤l≤a5．如图，在等边△ABC中，BC=12,D、E是BC边上的两点，BD=CE=2，点M,N,P分别是线段AB,AC,DE上的一动点，连接MN、AP,MN与AP交于点G，若四边形AMPN是平行四边形，则点P由点D移动到点E的过程中，下列结论正确的是（）①MG=NG；②△NPC∼△ABC；③当P运动到BC中点时，四边形AMPN是菱形，且菱形面积为18√3；④点P由点D移动到点E的过程中，点G所走的路径长为4A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2；P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G；当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是（）A．5B．4C．3D．07．在四边形ABCD中，△A＝45°，△D＝90°，AD△BC，BC＝1，CD＝3．点P，Q同时从点A出发，点P以√2个单位长度/秒向点B运动，到达点B停止运动；点Q以2个单位长度/秒沿着AD→DC向点C运动，到达点C停止运动．设点Q运动时间为ts，△APQ的面积为S，则S随t变化的函数图象大致为（）A．B．C．D．8．如图，在直角坐标系中，等腰直角△ABO的O点是坐标原点，A的坐标是（﹣4，0），直角顶点B在第二象限，等腰直角△BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（）A．y=﹣2x+1B．y=﹣x+2C．y=﹣3x﹣2D．y=﹣x+2二、填空题9．在△ABC中，AB=AC，BC=5，∠BAC=90°，点D为直线BC上一动点，以AD为直角边在AD的右侧作等腰Rt△ADE，使∠DAE=90°，AD=AE，A、E两点间的最小距离为．10．如图，在Rt△ABC中，△C＝90°，AC＝6，△B＝30°，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是．11．如图，在矩形ABCD中，边AB，AD的长分别为3和2，点E在CD上，点F在AB的延长线上，且EC=BF，连接FC。

九年级数学培优(动点产生的直角三角形、平行四边形)

九年级数学培优学案一．动点问题与几何图形和函数解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。

审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。

解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。

认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征与数、式的数量、结构特征的关系，确定解题的思路和方法．当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。

二．知识点讲解（一）.因动点产生的直角三角形问题例1.如图1，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x ＝1，直线BC 与抛物线的对称轴交于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC 的函数表达式；（3）点E 为y 轴上一动点，CE 的垂直平分线交CE 于点F ，交抛物线于P 、Q 两点，且点P 在第三象限．①当线段34PQ AB =时，求tan ∠CED 的值； ②当以C 、D 、E 为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P 的坐标．温馨提示：可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．1.思考想象当点E 或F 在y 轴上运动时，△CDE 有两次机会成为等腰直角三角形． 2.思路点拨（1）．第（1）、（2）题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题．（2）．第（3）题的关键是求点E 的坐标，反复用到数形结合，注意y 轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系．(3)．根据C 、D 的坐标，可以知道直角三角形CDE 是等腰直角三角形，这样写点E 的坐标就简单了．3.满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C(0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A(－1，0)，B(3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B(3，0)和点C(0，－3)，得303k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17(,)24--，点F 的坐标为7(0,)4-．所以:7553,2.442FC OC OF EC FC =-=-===进而得到513,22OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为1(0,)2-．直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为: （1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以 2tan 3DH CDE EH ∠==． ②1(12,2)P --，265(1,)22P --．考点伸展第（3）题②求点P 的坐标的步骤是：如图3，图4，先分两种情况求出等腰直角三角形CDE 的顶点E 的坐标，再求出CE 的中点F 的坐标，把点F 的纵坐标代入抛物线的解析式，解得的x 的较小的一个值就是点P 的横坐标．练习1.设直线1L ：11y k x b =+与2L ：22y k x b =+，若1L ⊥2L ，垂足为H ，则称直线1L 与2L 是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C(0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A(3，0)、B(2，7)、C(0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l1，过A 、P 两点的直线为2L ，若1L 与2L 是点P 的直角线，求直线1L 与2L 的解析式．练习2.如图1，直线443y x=-+和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．①求S与t的函数关系式；②设点M在线段OB上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．（二）.因动点产生的平行四边形问题例2.如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△MAB 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y ＝－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．1.思考想象当点M 在第三象限内抛物线上运动，S 随m 变化的图像，当D 是AB 的中点时，S 取得最大值．当点Q 在直线y ＝－x 上运动时，以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形有3个时刻可以成为平行四边形．2.思路点拨（1）．求抛物线的解析式，设交点式比较简便．（2）．把△MAB 分割为共底MD 的两个三角形，高的和为定值OA ．（3）．当PQ 与OB 平行且相等时，以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，按照P 、Q 的上下位置关系，分两种情况列方程．3.满分解答(1) 因为抛物线与x 轴交于A(－4,0)、C(2,0)两点，设y ＝a(x ＋4)(x －2)．代入点B(0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-．(2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ//OB ，PQ ＝OB ＝4．设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-． ①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得225x =-±．此时点Q 的坐标为(225,225)-+-（如图3），或(225,225)--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=．解得4x =-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．考点伸展在本题情境下，以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形能成为直角梯形吗？如图6，Q(2,－2)；如图7，Q(－2,2)；如图8，Q(4,－4)．练习1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1y x =+与334y x =-+交于点A ，分别交x 轴于点B 和点C ，点D 是直线AC 上的一个动点．（1）求点A 、B 、C 的坐标．（2）在直线AB 上是否存在点E ，使得以点E 、D 、O 、A 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出BECD的值；如果不存在，请说明理由．练习2.已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数334y x=+的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数32y x=的图像上，且MO＝MA．二次函数2y x bx c=++的图像经过点A、M．（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数334y x=+的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标．。

初三数学动点练习题及答案

初三数学动点练习题及答案动点是初中数学中一个重要的概念，它在几何图形的运动中起到关键的作用。

为了帮助初三学生更好地理解和掌握动点的概念，我为大家准备了一些动点练习题及答案。

以下是具体的练习内容：练习一：1. 在平面直角坐标系中，点A(3, 4)绕原点顺时针旋转90度，求旋转后点的坐标。

2. 点B(2, -1)绕坐标原点逆时针旋转180度，求旋转后点的坐标。

练习二：1. 已知正方形ABCD的边长为5个单位长度，点O为其中一条对角线的中点，求点O绕点A顺时针旋转270度后的坐标。

2. 如图所示，正方形EFGH的边长为8个单位长度，点A是边EF 上的一个点，点B是边HG上的一个点，连结AB并延长到点C（BC=3），求点C绕点A逆时针旋转120度后的坐标。

练习三：1. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为(-2, 3)，将点P绕原点顺时针旋转60度，求旋转后点的坐标。

2. 点Q的坐标为(4, -1)，将点Q绕坐标原点逆时针旋转240度，求旋转后点的坐标。

练习四：1. 如图所示，矩形ABCD的长为8个单位长度，宽为6个单位长度，点O是矩形中心，将整个矩形逆时针旋转90度后，求旋转后点O的坐标。

2. 已知矩形PQRS的长为10个单位长度，宽为6个单位长度，点O 是矩形PR的中点，求点O绕点P顺时针旋转180度后的坐标。

解答如下：练习一：1. 点A(3, 4)绕原点顺时针旋转90度后，点的坐标为B(-4, 3)。

2. 点B(2, -1)绕坐标原点逆时针旋转180度后，点的坐标为C(-2, 1)。

练习二：1. 点O绕点A顺时针旋转270度后的坐标为D(-5, -3)。

2. 点C绕点A逆时针旋转120度后的坐标为E(7, 2)。

练习三：1. 点P(-2, 3)绕原点顺时针旋转60度后，点的坐标为Q(-1, -3)。

2. 点Q(4, -1)绕坐标原点逆时针旋转240度后，点的坐标为R(4, 1)。

练习四：1. 旋转后点O的坐标为D(-3, 7)。

2023年九年级数学下册中考数学综合培优测试卷：一次函数图像与几何变换【含答案】

2023年九年级数学下册中考数学综合培优测试卷：一次函数图像与几何变换一、单选题1．在平面直角坐标系中，把直线y=3x 向左平移2个单位长度，平移后的直线解析式是（）A ．y=3x+2B ．y=3x-2C ．y=3x+6D ．y=3x-62．若一次函数y=2x-3的图象平移后经过点(3，1)，则下列叙述正确的是( )A ．沿x 轴向右平移3个单位长度B ．沿x 轴向右平移1个单位长度C ．沿x 轴向左平移3个单位长度D ．沿x 轴向左平移1个单位长度3．在平面直角坐标系中，将直线沿y 轴向下平移6个单位后，得到一条新的直线，该直y =−32x +3线与x 轴的交点坐标是（）A ．B ．C ．D ．(0，3)(−2，0)(4，0)(6，0)4．已知直线向下平移2个单位长度后得到直线，且直线与直线关于l 1：y =kx +3l 2l 2l 3：y =−x +1y 轴对称，则k 的值为（）.A ．B ．1C ．2D ．3−15．在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移6个单位长度，则平移后的图象与x 轴的y =3x 交点坐标为（） A ．(2,0)B ．(-2,0)C ．(6,0)D ．(-6,0)6．把直线y=-x+1向上平移3个单位长度后得到的直线的解析式为（）A ．y=-x+4B ．C ．y=x+4D ．y=x-27．将直线沿x 轴向左平移3个单位得到直线L ，则直线L 的解析式是（）y =2x +5A ．y ＝2x ＋2B ．y ＝2x ＋8C ．y ＝2x －1D ．y ＝2x ＋118．对于一次函数y ＝﹣2x+4，下列结论错误的是( )A ．函数的图象不经过第三象限B ．函数的图象与x 轴的交点坐标是(2，0)C ．函数的图象向下平移4个单位长度得y ＝﹣2x 的图象D ．若两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在该函数图象上，且x 1＜x 2，则y 1＜y 29．将一次函数y ＝﹣3x 的图象沿y 轴向下平移4个单位长度后，所得图象的函数表达式为（）A ．y ＝﹣3（x ﹣4）B ．y ＝﹣3x +4C ．y ＝﹣3（x +4）D ．y ＝﹣3x ﹣410．在平面直角坐标系中，将直线先关于轴作轴对称变换，再将所得直线关于y =−3x +4x y 轴作轴对称变换，则经两次变换后所得直线的表达式是（）A ．B ．C ．D ．y =4x−3y =−4x +3y =3x +4y =−3x−411．将直线向上平移2个单位长度，则平移后的直线所对应的函数解析式为（）y =−2x +3A ．B ．C ．D ．y =−2x +1y =−4x +5y =−2x +5y =−4x +112．将直线向上平移5个单位长度后得到直线，则下列关于直线的说y =x +1y =kx +b y =kx +b 法错误的是（）A ．函数图象经过第一、二、三象限B ．函数图象与轴的交点在轴的正半轴x xC ．点在函数图象上(−2，4)D ．随的增大而增大y x 二、填空题13．直线 +3的图像是由正比例函数　　图像向（填上或下）平移 y =3x 个单位得到或由正比例函数图像向（填左或右）平移个单位得到可以得到的一条直线14．直线沿轴平移3个单位，则平移后直线与轴的交点坐标为　　.y =2x−1y y 15．在平面直角坐标系中，把直线y=2x 向左平移1个单位长度，平移后的直线解析式是．16．将正比例函数y=﹣2x 的图象沿y 轴向上平移5个单位，则平移后所得图象的解析式是　．17．如图，在平面直角坐标系中，A （1，0），B （3，0），点C 在第一象限，∠ABC=90°，AC=25，直线l 的关系式为： .将△ABC 沿x 轴向左平移，当点C 落在直线l 上时，线段AC 扫y =−x−3过的面积为　　平方单位.18．已知直线与直线关于y 轴对称，当时，，当y 1=ax +b(a ≠0)y 2=kx +5(k ≠0)x >−52y 1>0时，，则直线．x >52y 2<0y 1=三、综合题19．如图，直线与轴、轴交于点、，直线与轴l 1:y =2x +1x y D A l 2:y =mx +4x y 轴分别交于点、，两直线相交于点．C B P(1,b)（1）求，的值； b m （2）求的值；S △PDC −S △PAB （3）垂直于轴的直线与直线，分别交于点，，若线段的长为x x =a l 1l 2M N MN 2，求的值．a 20．如图，直线y ＝kx ＋4的图象与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B （2，0），直线AF 交x 轴负半轴于点F ，且OF ＝2OA ．（1）求出k 的值为，直线AF 的解析式为；（2）若将直线AB 沿y 轴向下平移，平移后的直线恰好经过C （﹣3，0），与y 轴相交于点D ，且直线CD 与直线AF 交于点E ，求点E 的坐标．21．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象相交于y =x +5y =kx k k ≠0 ，两点.A(−1，m)B（1）求反比例函数的表达式；（2）将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，使平移后的图象与反y =x +5y b (b >0)比例函数的图象有且只有一个交点，求的值.y =kx b 22．已知反比例函数与正比例函数相交于 .y 1=kx y 2=x A(2，2)（1）求值.k （2）画出反比例函数的图象.（3）当时，直接写出的范围？y 1>y 2x （4）根据图象，解不等式 .kx <x−323．背景知识：已知两直线，，若，则m ：y 1=k 1x +b 1n ：y 2=k 2x +b 2(k 1k 2≠0)m ⊥n ；若，则 .k 1k 2=−1m//n k 1=k 2应用：在平面直线坐标系中，直线交x 轴于点C ，交y 轴于点D ，若 xoy l 1：y =x−1l 2⊥l 1于点，交y 轴于点A ，交x 轴于点B.P(2，1)（1）求直线的表达式； l 2（2）求的面积；△ABC （3）若将直线向下平移个单位，得到新的直线，交y 轴于点E ，交直线于点F ，l 1q l 3l 2使得，求的值.S △AEF =16q 24．已知：如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝ x+3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点C34是点A 关于y 轴对称的点，过点C 作y 轴平行的射线CD ，交直线AB 与点D ，点P 是射线CD 上的一个动点．（1）求点A ，B 的坐标．（2）如图2，将△ACP 沿着AP 翻折，当点C 的对应点C′落在直线AB 上时，求点P 的坐标．（3）若直线OP 与直线AD 有交点，不妨设交点为Q(不与点D 重合)，连接CQ ，是否存在点P ，使得S △CPQ ＝2S △DPQ ，若存在，请求出对应的点Q 坐标；若不存在，请说明理由．答案解析部分1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】A 7．【答案】D 8．【答案】D 9．【答案】D 10．【答案】D 11．【答案】C 12．【答案】B13．【答案】y=3x ；上；3；y=3x ；左；114．【答案】（0，2）或（0，）−415．【答案】y=2x+216．【答案】y ＝－2x+517．【答案】4018．【答案】或2x +55+2x19．【答案】（1）解：∵点在直线上，∴ ，P(1,b)l 1:y =2x +1b =2×1+1=3∵ 在直线上，∴ ，∴P(1,3)l 2:y =mx +43=m +4m =−1（2）解：∵直线与轴、轴交于点、，l 2:y =−x +4x y D A ∴ ，，A(0,1)D(−12,0)∵直线与轴、轴分别交于点、，l 2:y =−x +4x y C B ∴ ，，B(0,4)C(4,0)∴S △PDC −S △PAB =12DC ⋅y P −12AB ⋅x P =12×(12+4)×3−12×(4−1)×1=214（3）解：设直线与直线，分别交于点，， x =a l 1l 2M N 当时，；当时，，x =a y M =2a +1x =a y N =4−a ∵ ，∴ ，解得或，MN =2|2a +1−(4−a)|=2a =13a =53所以的值为或 a 135320．【答案】（1）-2；y ＝+412x （2）解：∵直线AB 沿y 轴向下平移，平移后的直线恰好经过C （﹣3，0）， ∴设直线DC 的解析式为y ＝﹣2x+d ，把C （﹣3，0）代入得d ＝﹣6，∴直线DC 的解析式为y ＝﹣2x﹣6．解得，{y =−2x−6y =12x +4{x =−4y =2∴E （﹣4，2）．21．【答案】（1）解：由题意，将点代入一次函数得： A(−1，m)y =x +5m =−1+5=4∴A(−1，4)将点代入得：，解得 A(−1，4)y =k x k−1=4k =−4则反比例函数的表达式为；y =−4x （2）解：将一次函数的图象沿轴向下平移个单位得到的一次函数的解析式为 y =x +5y b y =x +5−b 联立{y =x +5−by =−4x 整理得： x 2+(5−b)x +4=0一次函数的图象与反比例函数的图象有且只有一个交点∵y =x +5−b y =−4x 关于x 的一元二次方程只有一个实数根∴x 2+(5−b)x +4=0 此方程的根的判别式 ∴Δ=(5−b)2−4×4=0解得 b 1=1，b 2=9则b 的值为1或9.22．【答案】（1）解：∵反比例函数y 1= 与正比例函数y 2=x 相交于A （2，2）.kx ∴k=2×2=4（2）解：描出点（1，4），（2，2），（4，1），用平滑的曲线连接，画出反比例函数的图象如图，（3）解：由图象可知，当0＜x＜2和x＜-2时，y1＞y2.（4）解：观察图象，直线y=x向下平移3个单位，与反比例函数的交点为（4，1）和（-1，-4），∴不等式＜x-3的解集为：-1＜x ＜0和x ＞4.kx 23．【答案】（1）解：由，得，l 1：y =x−1k 1=1 ，，∵l 2⊥l 1∴k 2⋅k 1=−1，∴k 2=−1设，把代入解析式得：b=3，l 2：y =−x +b P(2，1) ；∴l 2：y =−x +3（2）解：由图象可得：，与x 轴交于点B 、C ，令y=0，则有 ∵l 2：y =−x +3l 1：y =x−1∴B(3，0)，C(1，0)，又与y 轴交于点A ，令x=0，则有，∵l 2：y =−x +3∴A(0，3) OA=3，BC=2，；∴∴S △ABC =12BC ⋅OA =3（3）解：将直线向下平移个单位，得到新的直线，∵l 1q l 3 ，令x=0则，，∴l 3：y =x−1−q y =−1−q ∴E(0，−1−q) ，∴AE =3−(−1−q)=4+q 交直线于点F ，解得，∵l 3l 2∴{y =−x +3y =x−1−q {x =4+q 2y =2−q 2 ，，∵S △AEF =12AE ⋅F x =16∴12×(4+q)⋅4+q 2=16解得（不符题意，舍去）.q 1=4，q 2=−12 .∴q =424．【答案】（1）解：令x=0，则y=3，∴B （0，3），令y=0，则 x+3=0，34∴x=﹣4，∴A （﹣4，0）；（2）解：∵点C 是点A 关于y 轴对称的点， ∴C （4，0），∵CD ⊥x 轴，∴x=4时，y=6，∴D （4，6），∴AC=8，CD=6，AD=10，由折叠知，AC'=AC=8，∴C'D=AD﹣AC'=2，设PC=a ，∴PC'=a ，DP=6﹣a ，在Rt △DC'P 中，a2+4=（6﹣a ）2，∴a= ，83∴P （4，）；83（3）解：设P （4，m ）， ∴CP=m ，DP=|m﹣6|，∵S △CPQ =2S △DPQ ，∴CP=2PD ，∴2|m﹣6|=m ，∴m=4或m=12，∴P （4，4）或P （4，12），∵直线AB 的解析式为y= x+3①，34当P （4，4）时，直线OP 的解析式为y=x ②，联立①②解得，x=12，y=12，∴Q （12，12），当P （4，12）时，直线OP 解析式为y=3x ③，联立①③解得，x= ，y=4，43∴Q （，4），43。

2013—2014学年度初三数学培优班练习卷(因动点产生的梯形问题)

2013—2014学年度初三数学培优班练习卷（因动点产生的梯形问题）班级座号姓名一、选择题.1、如图1所示，梯形ABCD 中，AD∥BC，AB=，BC=4，连结BD ，∠BAD 的平分线交BD 于点E ，且AE∥CD，则AD 的长为（）2、如图2所示，在直角梯形ABCD 中AB ∥CD ，∠B=90°．动点P 从点B 出发，沿梯形的边由BCDA 运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，把y 看作x 的函数，函数图象如图2所示， △ABC 的面积为（） A ．10B ．16C ．18D ．323、如图3所示，直角梯形AOCD 的边OC 在x 轴上，O 为坐标原点，CD 垂直于x 轴，D （5，4），AD=2．若动点E 、F 同时从点O 出发，E 点沿折线OA→AD→DC 运动，到达C 点时停止；F 点沿OC 运动，到达C 点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E 运动秒x 时，△EOF 的面积为y （平方单位），则y 关于x 的函数图象大致为【】A ．B ．C ．D ．4、如图4所示，动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发，沿B ⇒C ⇒D ⇒A 的顺序运动，得到以点P 移动的路程x 为自变量，△ABP 面积y 为函数的图象，如图2，则梯形ABCD 的面积是（） A ．104 B ．120C ．80D ．1125、如图5所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，CA 是BCD ∠的平分线，且,4,6,AB AC AB AD ⊥== 则tan B =（）A 、、、114 D6、如图6所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是【】A． B． C． D．7、如图7所示，在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则梯形ABCD的周长是（）A．14 B．23 C．27 D．388、如图8所示，直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AB=4，AD=DC=2，设点N是DC边的中点，点M是梯形ABCD内或边界上的一个动点，则的最大值是（）A．4 B．6 C．8 D．109、如图9所示，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．则四边形ADMN的面积y（cm2）与两动点运动的时间t（s）的函数图象大致是（）A． B． C． D．10、如图10所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°．动点P从点B出发，沿梯形的边由B→C→D→A运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则A 到BD的距离为（）11、直角梯形ABCD，如图11所示，动点P从B点出发，由B→C→D→A沿边运动，设动点P运动的路程为x，△ABP面积为f（x），已知f（x）图象如图2，则△ABC面积为（）A．10 B．16 C．20 D．3212、如图12所示，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD运动至点D停止．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．613、如图13所示，在直角梯形ABCD，∠B=90°，DC∥AB，动点P从B点出发，由B--C--D--A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果关于x的函数y的图象如图2，则△ABC的面积为（）A．10 B．16 C．18 D．3214、如图14所示，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，BC⊥DC于点C，AB=2，CD=3，∠D=45°，动点P从D点出发，沿DC以每秒1个单位长度的速度移动，到C点停止．过P点作PQ垂直于直线 AD，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒，△DPQ与直角梯形ABCD重叠部分的面积为S，下列图象中，能表示S与t的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．15、如图15所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD相切的圆内运动，则α+β的取值范围是（）二、填空题.1、如图16所示，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC ，AC 与BD 相交于点P 。

九年级上册动点题

九年级上册动点题一、与二次函数有关的动点题。

题1：已知二次函数y = -x^2+2x + 3，设点P为该二次函数图象上的一个动点，当点P 到x轴的距离为4时，求点P的坐标。

解析：因为点P到x轴的距离为4，所以| y|=4。

1. 当y = 4时：方程-x^2+2x + 3=4，即x^2-2x + 1 = 0。

对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0（这里a = 1，b=-2，c = 1），根据求根公式x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}，Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×1 = 0。

解得x = 1，此时点P的坐标为(1,4)。

2. 当y=-4时：方程-x^2+2x + 3=-4，即x^2-2x 7 = 0。

这里a = 1，b=-2，c=-7，Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4×1×(-7)=32。

根据求根公式x=(-b±√(Δ))/(2a)=(2±√(32))/(2)=1±2√(2)。

此时点P的坐标为(1 + 2√(2),-4)和(1-2√(2),-4)。

题2：二次函数y = x^2-2x 3的图象与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C，点M为抛物线上一动点，若△ MBC的面积等于△ ABC的面积，求点M的坐标。

解析：1. 先求A、B、C三点的坐标：对于y = x^2-2x 3，令y = 0，则x^2-2x 3 = 0，因式分解得(x 3)(x+1)=0，解得x=-1或x = 3，所以A(-1,0)，B(3,0)。

令x = 0，得y=-3，所以C(0,-3)。

那么△ ABC的面积S_△ ABC=(1)/(2)× AB× OC，AB = 3 (-1)=4，OC = 3，所以S_△ ABC=(1)/(2)×4×3 = 6。

2. 设点M的坐标为(m,m^2-2m 3)。

2023年九年级中考数学复习++几何图形动点与函数图像综合讲义

几何图形动点与函数图像综合考向一判断函数图像（1）面积问题：①函数类型：与面积相关的量如果有一个变化的量为一次函数，如果有两个变化的量为二次函数；②节点、自变量取值范围及函数值；③函数的增减性等（2）线段长度问题：①根据相似性质对应边成比例或面积公式等确定函数关系式；②节点、自变量取值范围及函数值；③函数的增减性等1.如图，在Rt △ABC中，△C=900，AC=1cm，BC=2cm，点P从A出发，以1cm/s的速沿折线AC→ CB→ BA运动，最终回到A点。

设点P的运动时间为x（s），线段AP的长度为y（cm），则能反映y与x之间函数关系的图像大致是（）2.如图，点E、F、G、H是正方形ABCD四条边（不含端点）上的点，DE=AF=BG=CH。

设线段DE的长为x cm，四边形EFGH的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象大致是（）3.如图，菱形ABCD的边长为5cm，sinA＝，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止．设点P运动x（s）时，△APQ的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象是（）A B C D4.如图，在菱形ABCD中，△B＝60°，AB＝2．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一点也随之停止．设△APQ的面积为y，运动时间为x 秒．则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是（）A B C D5.如图，在等边三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，△EDF＝90°，△F＝30°，DE＝4，点B，C，D，E在一条直线上，点C，D重合，△ABC沿射线DE方向运动，当点B与点E 重合时停止运动．设△ABC运动的路程为x，△ABC与Rt△DEF重叠部分的面积为S，则能反映S与x之间函数关系的图象是（）6.如图，在四边形ABCD中，AD△BC，△A＝45°，△C＝90°，AD＝4cm，CD＝3cm．动点M，N同时从点A出发，点M以cm/s的速度沿AB向终点B运动，点N以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点N的运动时间为ts，△AMN的面积为Scm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．7.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线AB上的动点（点E不与点A，点B重合），点F在线段DA的延长线上，且AF＝AE，连接ED，将ED绕点E顺时针旋转90°得到EG，连接EF，FB，BG．设AE＝x，四边形EFBG的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（）A．B．C．D．8.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D．设运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）9.如图，O是边长为4 cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A—B—M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1 cm/s，设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA，OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象可以是（）10.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止(不含点A和点B)，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致为（）11.如图，AD、BC是△O的两条互相垂直的直径，点P从点O出发，沿O→C→D→O的路线匀速运动，设△APB＝y(单位：度)，那么y与P运动的时间x(单位：秒)的关系图是（）12.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成。

初中九年级数学培优试卷

一、选择题（每题5分，共20分）1. 若方程x²-5x+6=0的解为x₁和x₂，则x₁+x₂的值为（）A. 5B. -5C. 6D. -62. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）A. y=x²B. y=|x|C. y=x³D. y=2x3. 在直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴的对称点为（）A.（-2，3）B.（2，-3）C.（-2，-3）D.（2，3）4. 若a、b、c是等差数列的前三项，且a+b+c=9，则b的值为（）A. 3B. 4C. 5D. 65. 下列图形中，是圆的内接四边形的是（）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 梯形二、填空题（每题5分，共20分）6. 若∠ABC=45°，∠ACB=90°，则∠BAC的度数为______。

7. 若等差数列的前三项分别为2，5，8，则该数列的公差为______。

8. 若函数f(x)=2x-3在x=2时的函数值为1，则k的值为______。

9. 若a，b，c是等比数列的前三项，且a+b+c=27，则b的值为______。

10. 若直角三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为______。

三、解答题（每题10分，共30分）11. （1）解方程：x²-6x+9=0。

（2）已知等差数列的前三项分别为2，5，8，求该数列的通项公式。

12. （1）若函数f(x)=2x-3在x=2时的函数值为1，求k的值。

（2）已知函数f(x)=kx²+2x+1在x=1时的函数值为0，求k的值。

13. （1）在直角坐标系中，已知点A（-2，3），点B（2，-3），求线段AB的中点坐标。

（2）已知正方形的对角线长为10，求正方形的面积。

四、综合题（每题10分，共20分）14. 已知等差数列的前三项分别为2，5，8，求：（1）该数列的通项公式；（2）该数列的前10项之和。

15. 在直角坐标系中，已知点A（2，3），点B（-3，4），点C（-2，1），求：（1）线段AB的长度；（2）三角形ABC的面积。

初三数学几何动点问题专题练习及答案

动点问题专题训练1、如图，已知ABC△中，10AB AC==厘米，8BC=厘米，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，BPD△与CQP△是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使BPD△与CQP△全等？（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC△三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在ABC△的哪条边上相遇？2、直线364y x=-+与坐标轴分别交于A B、两点，动点P Q、同时从O点出发，同时到达A点，运动停止．点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O→B→A运动．（1）直接写出A B、两点的坐标；（2）设点Q的运动时间为t秒，OPQ△的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；（3）当485S=时，求出点P的坐标，并直接写出以点O P Q、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．3如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=－2x－8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P.（1）连结PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；（2）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？4 如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．（1）求直线AC的解析式；（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位／秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC 所夹锐角的正切值．5在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．α7如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B ====︒∥，，，．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒．（1）求BC 的长．（2）当MN AB ∥时，求t 的值．（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），P M N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使P M N △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.图16（备用图）C M AD EB FC 图4（备用） ADE BF C 图5（备用） A D E B F C 图1 图2 A D E B F C P N M图3 A DE BF C P NM （第8题）9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度； (2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标；(4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．11已知一个直角三角形纸片OAB ，其中9024AOB OA OB ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C 的坐标；（Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，设OB x '=，OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，且使B D OB '∥，求此时点C 的坐标．A D F C GB 图1 A D FC G B 图2 AD F CG B 图312问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN 的值．类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AM BN 的值等于；若14CE CD =，则AM BN 的值等于；若1CE CD n =（n 为整数），则AMBN的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AM BN 的值等于．（用含m n ，的式子表示）参考答案1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠，∴BPD CQP △≌△． ·····················（4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米/秒．··················（7分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯，解得803x =秒． ∴点P 共运动了803803⨯=厘米．∵8022824=⨯+，∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ········· （12分） 2.解（1）A （8，0）B （0，6） · 1分（2）86OA OB ==， 10AB ∴=点Q 由O 到A 的时间是881=（秒）∴点P 的速度是61028+=（单位/秒）1分当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，方法指导：为了求得AM BN 的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（2） AB C D EF M 图（1） A B C DE F M N当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， ······· 1分 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+···················· 1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ·························· 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， ·············· 3分3.解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8）， ∴OA =4，OB =8. 由题意，OP =－k ， ∴PB =PA =8+k .在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P 在线段OB 上时,作PE⊥CD 于E .∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =32，PD =3， ∴PE. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ， ∴△AOB ∽△PEB ，∴2,AO PE AB PB PB =，∴PB =∴8PO BO PB =-=∴8)P -，∴8k =. 当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,－8)， ∴k =－8， ∴当k－8或k =－8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.4.5.解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-．由△AQF ∽△ABC，4BC =，得45QF t =．∴45QF t =．∴14(3)25S t t =-⋅，即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP =90°．由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB=，即335t t -=．解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠APQ =90°．由△AQP∽△ABC ，得 AQ APAB AC=，即353t t -=．解得158t =．（4）52t =或4514t =． ①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】6.解（1）①30，1；②60，1.5；分（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED .∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形. ……………………6分在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2,∴∠A =300.∴AB =4,AC . ∴AO =12AC ……………………8分在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2. ∴BD =2. ∴BD =BC .又∵四边形EDBC 是平行四边形，∴四边形EDBC 是菱形 ……………………10分7.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC ⊥于K ，DH BC ⊥于H ，则四边形ADHK 是矩形 ∴3KH AD ==． ·······················1分在Rt ABK △中，sin 4542AK AB =︒==．2cos 45424BK AB =︒== ················2分在Rt CDH △中，由勾股定理得，3HC ==∴43310BC BK KH HC =++=++= ··············3分（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 ∵MN AB ∥ ∴MN DG ∥ ∴3BG AD ==∴1037GC =-= ·····················4分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，． ∵DG MN ∥∴NMC DGC =∠∠ 又C C =∠∠∴MNC GDC △∽△ ∴CN CMCD CG = ·······················5分即10257t t -= 图4图5（图①） A D C B K H （图②） A D C B G M N解得，5017t =······················· 6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =-∴103t = ························· 7分②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=-在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t -==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==∴535t t -=解得258t = ························ 8分解法二：∵90C C DHC NEC =∠=∠=︒∠∠， ∴NEC DHC △∽△ ∴NC EC DC HC = 即553t t -= ∴258t = ························· 8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025t FC C MC t ===-解得6017t =解法二：∵90C C MFC DHC =∠=∠=︒∠∠， ∴MFC DHC △∽△ ∴FC MCHC DC =即1102235tt -= ∴6017t =综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 ··9分8.解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． ··· 1分∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ·· 2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC ········· 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG ==同理4MN AB ==． ·······················4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠． ∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ··········6分②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． ·······················7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ·········8分A DC B M N （图③）（图④） AD C B M NH E （图⑤）A D CB H N MF 图1A DEB FC G图2ADEBF CPNMG H当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形． ∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形． ·· 10分 9解：（1）Q （1，0） ······················· 1分点P 运动速度每秒钟1个单位长度． ················ 2分（2）过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==． ∴1046AF =-=．在Rt △AFB中，10AB == 3分过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ．∴6,8BH AF CH BF ====． ∴8614,8412OG FH CG ==+==+=．∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分（3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△APM ∽△ABF ．∴AP AM MP AB AF BF ==． 1068t AM MP∴==． ∴3455AM t PM t ==，． ∴3410,55PN OM t ON PM t ==-==．设△OPQ 的面积为S （平方单位） ∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10）············ 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大． ·····6分此时P 的坐标为（9415，5310）． ··················7分（4）当 53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等． ············9分10.解：（1）正确． ··········· （1分）证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．（2分）BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°．AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°， ∴BAE CEF ∠=∠．AME BCF ∴△≌△（ASA ）． ···················（5分） AE EF ∴=． ·························（6分）（2）正确． ············· （7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ． ········ （8分） BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠．ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． ·················· （10分） AE EF ∴=．（11分）11.解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合，则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =. 图3A D E BFCPN M 图4A D EBF CPM N 图5A DEBF （P ） CMN GGRGA D F C GB M A D FC GB N∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，. ······················ 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ', 则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，，则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.()2224y y x ∴-=+，即2128y x =-+ ·························· 6分由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤. ··················7分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠. 又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥. Rt Rt COB BOA ''∴△∽△. 有OB OC OA OB''=，得2OC OB ''=. ·················· 9分在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =.由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C的坐标为()016. ················· 10分12解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． ········ 1分∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =． ·········· 3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=， 222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+． ················· 5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =． ·················· 6分∴15AM BN =．······················· 7分方法二：同方法一，54BN =． ················ 3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形．∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°． 90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠，°，．在BCE △与NGM △中90E B CM N G B C N G C N G M ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ······ ５分 ∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 ·············· 6分AEF M N 图（1-2）A B C DE FM G∴15AM BN =．······················ 7分类比归纳25（或410）；917； ()2211n n -+ ················· 10分联系拓广2222211n m n n m -++ ························ 12分。

中考数学动点问题专题练习(含答案)

动点专题一、应用勾股定理建立函数解析式例1(2000年·上海)如图1，在半径为6，圆心角为90°的扇形OAB 的弧ＡB 上,有一个动点P,ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为G ．（1)当点Ｐ在弧AB 上运动时，线段ＧO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度．(２)设P Ｈx =,GP y =，求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围)．(3）如果△PG Ｈ是等腰三角形,试求出线段PH 的长．二、应用比例式建立函数解析式例2(2006年·山东)如图2,在△ＡBC 中,ＡＢ=AC ＝1,点D,Ｅ在直线B Ｃ上运动.设BD=,x ＣＥ=y . (1)如果∠B ＡC=3０°,∠DA Ｅ=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式;(２)如果∠B ＡＣ的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α，β满足怎样的关系式时,（1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.AEDCB 图2H M NG PO A B 图1 x yC三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4(２0０4年·上海）如图,在△A ＢＣ中,∠BAC ＝９0°,AB=AC ＝22,⊙A 的半径为1.若点Ｏ在BC 边上运动(与点B 、C 不重合)，设ＢO=x ,△AOC 的面积为y .（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域．(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆Ｏ，求当⊙O 与⊙Ａ相切时， △AO Ｃ的面积．一、以动态几何为主线的压轴题（一）点动问题．１.(09年徐汇区)如图，ABC ∆中，10==AC AB ,12=BC ，点D 在边BC 上,且4=BD ,以点D 为顶点作B EDF ∠=∠,分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F . (1)当6=AE 时，求AF 的长；（２)当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时,求BE 的长; （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时,求BE的长．AB C O 图8HAB CDEOlA ′(二）线动问题2,在矩形A ＢＣD 中,AB ＝3,点O 在对角线A Ｃ上，直线ｌ过点O ，且与AC 垂直交ＡＤ于点E ．（1)若直线l 过点B,把△ABE 沿直线l 翻折,点A 与矩形A ＢＣＤ的对称中心A ＇重合，求BC 的长; （2)若直线l 与AB 相交于点F,且ＡＯ=41AC,设AD 的长为x ,五边形ＢＣDEF 的面积为S.①求S 关于x 的函数关系式，并指出x 的取值范围;②探索:是否存在这样的x ,以A 为圆心,以-x 43长为半径的圆与直线l 相切,若存在，请求出x 的值;若不存在,请说明理由．(三)面动问题３.如图，在ABC ∆中,6,5===BC AC AB ,D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合),且保持BC DE ∥,以DE 为边,在点A 的异侧作正方形DEFG .(１）试求ABC ∆的面积；(２)当边FG 与BC 重合时,求正方形DEFG 的边长; (3)设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出定义域;(4）当BDG ∆是等腰三角形时,请直接写出AD 的长.解决动态几何问题的常见方法有:C一、特殊探路,一般推证例２:（２00４年广州市中考题第11题)如图,⊙O １和⊙Ｏ2内切于A,⊙O1的半径为３，⊙O2的半径为2，点Ｐ为⊙O1上的任一点（与点A 不重合)，直线ＰA 交⊙O2于点Ｃ,PB 切⊙O2于点B ，则PCBP的值为(A)2 (Ｂ）3 （C)23（Ｄ)26二、动手实践,操作确认例４(２003年广州市中考试题）在⊙Ｏ中，C 为弧AB 的中点,D 为弧A Ｃ上任一点(与A 、C 不重合）,则(A)A Ｃ+CB=AD+ＤB (B) A Ｃ＋C Ｂ<AD+DB（Ｃ） AC+CB ＞A Ｄ＋D Ｂ（D) ＡＣ+C Ｂ与AD+ＤB 的大小关系不确定例５:如图，过两同心圆的小圆上任一点C 分别作小圆的直径CA 和非直径的弦CD ，延长CA 和C Ｄ与大圆分别交于点B 、Ｅ，则下列结论中正确的是( ＊ ) （A)AB DE = (B ）AB DE >(Ｃ）AB DE <(D ）AB DE ,的大小不确定三、建立联系，计算说明例6:如图,正方形ABCD 的边长为4,点Ｍ在边DC 上,且ＤM=１,Ｎ为对角线A Ｃ上任意一点,则ＤN ＋ＭN 的最小值为 .BMND CBA以圆为载体的动点问题中,AC＝５，ＢC=12，∠ＡCＢ＝90°,P是ＡB边上的动点（与点A、B不重例1．在Rt ABC合）,Q是BC边上的动点（与点B、C不重合),当PQ与ＡＣ不平行时，△CPＱ可能为直角三角形吗?若有可能，请求出线段CＱ的长的取值范围；若不可能,请说明理由。

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九年级数学培优学案
一．图形的平移、折叠和旋转
1. 折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。

轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。

2. 平移性质——平移前后图形全等，对应点连线平行且相等。

3. 旋转问题考查三角形全等、相似、勾股定理、特殊三角形和四边形的性质与判定等。

旋转性质----对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角。

注意旋转过程中三角形与整个图形的特殊位置。

例题解析
例1、如图，在ABC △中，9010A BC ABC ∠==°，，△的面积为25，点D 为AB 边上的任意一点（D 不与A 、B 重合），过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设DE x =，以DE 为折线将ADE △翻折（使ADE △落在四边形DBCE 所在的平面内），所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y ．
（1）用x 表示ADE △的面积；
（2）求出05x <≤时y 与x 的函数关系式；
（3）求出510x <<时y 与x 的函数关系式；
（4）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
例2、如图（1），直线l 的解析式为4y x =-+，它与x 轴、y 轴分别相交于A B 、两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M N 、两点，设运动时间为t 秒（04t <≤）．
（1）求A B 、两点的坐标；
（2）用含t 的代数式表示MON △的面积1S ；
（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记MPN △和OAB △重合部分的面积为2S ， ①当2t <≤4时，试探究2S 与t 之间的函数关系式；
②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，2S 为OAB △面积的516
？
例3、如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(80)-，，直线BC 经过点(86)B -，，(06)C ，，将四边形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转α度得到四边形OA B C '''，此时直线OA '、直线B C ''分别与直线BC 相交于点P 、Q ．
（1）四边形OABC 的形状是，
当90α=°时，BP BQ
的值是；（2）①如图1，当四边形OA B C '''的顶点B '落在y 轴正半轴时，求
BP BQ 的值； ②如图，当四边形OA B C '''的顶点B '落在直线BC 上时，求OPB '△的面积．
（3）在四边形OABC 旋转过程中，当0180α<≤°时，是否存在这样的点P 和点Q ，使12
BP BQ =？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
练习1、已知抛物线m x x y ++=42
（m 为常数）经过点（0，4）
⑴求m 的值；
⑵将该抛物线先向右、再向下平移得到另一条抛物线。

已知这条平移后的抛物线满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l 2）与平移前的抛物线的对称轴（设为l 1）关于y 轴对称；它所对应的函数的最小值为－8.
①试求平移后的抛物线所对应的函数关系式；
②试问在平移后的抛物线上是否存在着点P ，使得以3为半径的⊙P 既与x 轴相切，又与直线l 2相交？若存在，请求出点P 的坐标，并求出直线l 2被⊙P 所截得的弦AB 的长度；若不存在，请说明理由。

二、因动点产生的线段和差问题
例1、已知，如图1，二次函数y ＝ax 2＋2ax －3a （a ≠0）的图像的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 的右侧），点H 、B 关于直线l ：333y x =+对称．（1）求A 、B 两点的坐标，并证明点A 在直线l 上；
（2）求二次函数的解析式；
（3）过点B 作BK //AH 交直线l 于点K ，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，联结HN 、NM 、MK ，求HN ＋NM ＋MK 和的最小值．
（一）观察想象
点M 、N 运动时，从点B 到点K ′，最短的路径是线段BK ′，而不是折线B -N -M -K ′．因此当M 、N 落在线段BK ′上时，BN ＋NM ＋MK ′的和最小．K ′是什么？点K ′是点K 关于直线AH 的对称点．
（二）简答
（1）点A 的坐标为（－3，0），点B 的坐标为（1，0）．
（2）二次函数的解析式为23333y x x =-
-+．（3）如图2，点B 与点H 关于直线AK 对称，点K ′与点K 关于直线AH 对称，那么HN ＋NM ＋MK ＝BN ＋NM ＋MK ′，当M 、N 落在线段BK ′上时，BN ＋NM ＋MK ′的和最小，最小值为BK ′(如图3)．点K 的坐标为(3,23)．在30°的Rt △BDK 中，BK ＝4．在30°的Rt △BKK ′中，BK ′＝8．
练习1、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC＝1
2
．点D在边AC上（不与A、C
重合），连结BD，F为BD的中点．
（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE（如图1）．设CF kEF
，则k = ；
（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD的中点（如图2）．求证：BE－DE＝2CF；
（3）若BC＝6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD 的中点，求线段CF长度的最大值．。